Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

DESCOMPOSICION, CRECIMIENTO Y REACCIONES QUIMICAS:

Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; la cantidad M del material es una función del tiempo t, esto es M = M(t). Aún más, dadas las características de los materiales radioactivos, al paso del tiempo ocurre una desintegración o decaimiento del material. Esto no quiere decir que el material desaparezca, sino que la configuración interna de sus átomos cambia y dejan de ser radioactivos. Experimentalmente se ha llegado al conocimiento de que, en cualquier tiempo t > 0, la rapidez de cambio de la cantidad M(t) de material radioactivo es directamente proporcional a la cantidad de material presente. Simbólicamente Simbólicamente esto se expresa así:

Dónde:  

()

 

∞

= Es la rapidez de cambio de M(t). =

Denota la proporcionalidad existente entre la cantidad pre sente M(t) del material radioactivo y su rapidez de cambio.

Se afirma entonces que:

k = Factor de proporcionalidad.

Según la ley de descomposición y de crecimiento esta expresado por:

   

= =−



(Para el crecimiento).

 (Para la descomposición).

Esta ecuación diferencial representa el modelo matemático por resolver y es de variables separables.

Integrando se tiene:

Entonces la solución general es:

Es común conocer la cantidad de material existente y el t = 0, lo que se expresa por

M(o) = Mo. Con esto podemos calcular la constante C.

Entonces se tiene:

OBSERVACIONES: Para hallar la vida media del material radioactivo. 

( )= 2

 

EJEMPLOS: 1. Un material radioactivo se desintegra 1/3 en 1000 años. Determinar su vida media. M = Cantidad de material radioactivo.

M T

M(o) 0

1/3 M(o) 1000

M(o)/2 t

Aplicamos  

=−

 (Para la descomposición).

Hallamos C

M(O) = C . M(O) = C

()

Hallamos k

  = M ()   =   M=C

(o)

=     = 3  Ln  = Ln (3) 1000k = Ln (3) K=

 () 

Hallamos la Vida media:

    = Mo (() )   = =       Ln3 Ln ( ) =    () -t =  t = 630 años

2. Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y, después de 2 años, se observa que el 5% de la masa original se desintegró, determinar: a) Una expresión para el momento “t”. b) El tiempo para que se desintegre el 10 % de la masa original.

M = Cantidad de material radioactivo. M T

100M(o) 0

95 M(o) 2

90M(o) t

 =    a) Una expresión para el momento “t”. Determinamos C. Determinamos k.

00 ( ) =  ( ) 00 ( ) =  

 



 

95 ( ) =00 ( )  ()  95=00  95  =00  = 00 95  00 = 2  95  =0.02564  



  



La expresión para el momento “t” es.

( ) =00 .

 





b) El tiempo para que se desintegre el 10 % de la masa original.

90 ( ) =00 ( ) .( )  90=00 .( ) 90 .( ) =00 .( ) = 00 90 0.02564 = 00 90   00 = 0.02564  90  = 4,076 ñ  



  

























 



 















3. Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad proporcional a su cantidad de material presente. Un bloque de ese material tiene originalmente una masa de 100 gr. Y cuando se le observa después de 20 años. Su masa ha disminuido a 80 gr. Encuentre una expresión para la masa de ese material como función del tiempo. Encuentre también la vida media del material.

M = Cantidad de material radioactivo. M(t) t

100M(o) 0

80M(o) 20

M(o)/2 t

 =    a) Una expresión para el momento “t”. Determinamos k.

Determinamos C .

80 ( ) =00 ( )  () 80=00  80  =00  = 00 80 20 = 00 80  = 20 (00 80 ) =0.06  

00 ( ) =  ( ) 00 ( ) =  



 

 







( ) =00 . 





a) La expresión para el momento “t” es.

 

  







b) Encontramos la vida media del material.

( ) =00 ( ) .( ) 2  =00  2 .( ).( ) =200 .( ) = (200) 0.06 = (200)   (200) = 0.06 = 474.76 ñ

 



  



 



















 















4. Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar que tanto tiempo toma el 90 % de la radiactividad para disiparse.

M = Cantidad de material radioactivo. M

M(o)

M(o)/2

9M(o)/10

t

0

38

t

 =    b) Que tiempo tarda el 90% de la radioactividad para dispersarse”. Determinamos k.

Determinamos C .

  

( )=  ( ) ( )=

 

( ) = ( )  () 2   2 =  =2  = (2) 8 = (2) 2 = 8

  

 

 





Encontramos el tiempo.



9 ( ) = ( ) ( ()) 0 9 = 2 0 09  = − 8 (2) 8 09  − = (2) = 5.77 ℎ 

  



























 















5. Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento proporcional a B misma. Si entre el medio día a las 2p.m la población se triplica. A qué tiempo, si no se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que el medio día.

M = Cantidad de bacterias B. M

M(o)

M(o)

100M(o)

t

0

2

t

 =    Determinamos C .

Determinamos k.

( )= ( )=

 



 

 ( ) = ( ) () =  ()=  ()=2 = 2()  

()

 

   











Encontramos el tiempo.

()   00() = () 00= 







(00) = 2 () 2 (00) = () = 8.8 ℎ 























6. Se encontraron huesos fósiles de un animal. Se analizaron y se detectó que

cada hueso contenía una centésima parte del 14 C radioactiva. Determinar la antigüedad aproximada de los huesos encontrados. Supongamos que M (t) es la cantidad presente de 14 C en cada hueso al cabo de un año y que M0 Es la cantidad original (inicial) de dicha sustancia radioactiva en cada hueso. M (t) está determinada por la solución del PVI:

Por lo tanto la antigüedad (edad) aproximada de los huesos es: t = 37206 años 

PROBLEMAS PROPUESTOS

grupo N°6

1. Un material radioactivo se desintegra 1/3 en 1000 años. Determinar su vida media. M = Cantidad de material radioactivo. 2. Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y, después de 2 años, se observa que el 5% de la masa original se desintegró, determinar: c) Una expresión para el momento “t”. d) El tiempo para que se desintegre el 10 % de la masa original. 3. Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad proporcional a su cantidad de material presente. Un bloque de ese material tiene originalmente una masa de 100 gr. Y cuando se le observa después de 20 años. Su masa ha disminuido a 80 gr. Encuentre una expresión para la masa de ese material como función del tiempo. Encuentre también la vida media del material. 4. Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar que tanto tiempo toma el 90 % de la radiactividad para disiparse. 5. Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento proporcional a B misma. Si entre el medio día a las 2p.m la población se triplica. A qué tiempo, si no se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que el medio día. 6. Se encontraron huesos fósiles de un animal. Se analizaron y se detectó que

cada hueso contenía una centésima parte del 14 C radioactiva. Determinar la antigüedad aproximada de los huesos encontrados.