Aplicaciones de Derivadas e Integrales - Blumenfarb

APLICACIONES DE DERIVADAS E INTEGRALES

1. Defin Definir ir de deriv rivad adaa de un unaa fu func ncii n en un punto. Cuáles son las interpretaciones geométrica y física de lo anterior? Dar ejemplos mat emá emático tico y físico. físico. Enunci Enunciar ar algún algún problema problema d e índole numérica. La derivada de una función y=f(x) en un punto x 0 de su dominio, indicada por y=f x0), es un número real que mide la pendiente de  de la recta tange te a la curva curva que represen representa ta la función función en e punto x 0.

Aplicación geométrica: El valor valor numéric numéricoo de la la derivada derivada ser un elemento esencial ial pa para estudiar iar el cr creci miento y el decrecimiento de funciones: Si f'(x) > 0 para todo x ϵ al  al intervalo ( a,b), entonces f(x) es creciente en (a,b) Si f'(x) < 0 para todo x ϵ al  al intervalo ( a,b), entonces f(x) es decreciente en (a,b) Y el valor numérico de la segunda d rivada determina puntos de inflexión y conc vidad de funciones: Si f''(x) > 0 para todo x ϵ al intervalo a,b), entonces f(x) es cóncava en (a,b) ᴗ Si f''(x) < 0 para todo x ϵ al intervalo a,b), entonces f(x) es convexa en (a,b) ᴖ Ej: Siendo f(x)= 2x 4 -8x -3

f'(x)= 8x³ -8

→f'(x)= 8x³ -8= 0 x= 1→punto crítico (1, -9) →f''(x)= 24 ²

→f''(1)= 24.1 ² →como es f''(1) > 0 es un mínimo

(-∞,1) →f'(0)= 8.0³ -8= -8 →como es < 0 es decreciente en (- ∞,1) (1,∞) →f'(2)= 8.2³ -8= 56 →como es > 0 es 0 es creciente en (1, ∞) Aplicación física: La 1er derivada se utiliza para hallar la velocidad instantánea y la 2da para la ac leración instantánea. Supongamos qu que un au automóv móvil se m ueve de acuerdo con la siguiente expresión S(t)= -t³+9t²+t Determine la velocidad cuando la ac leración es =0 S(t)= -t³+9t²+t S'(t)= -3t ²+18t+1 →t=? S''(t)= -6t+18 →S''(t)= -6t+18= 0 t= 3 →S'(3)= -3.3²+18.3+1 S'(3)= 28m/s

2. Definir función creciente y decreciente en un intervalo. Definir máximos y mínimos (extremos locales) relativos de una función. ¿Cómo se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función? Enunciar los dos criterios (necesario y suficiente) que permiten evaluar el crecimiento de una función en un punto. Ilustrar con un ejemplo numérico. Función creciente: Cuando la función y= f(x) en un intervalo (a,b) si para todo par de puntos x1, x2, siendo x1 0 la función seria creciente y no podría tener máximo o mínimo en ese punto. Si f'(x0) < 0 la función seria decreciente y no podría tener máximo o mínimo en ese punto. Entonces la única alternativa es que f'(x 0)= 0 para que en ese punto haya un máximo o un mínimo. Esta condición es necesaria pero no suficiente, ya que puede ocurrir q en un punto se verifique dicha condición sin que tenga allí la función un extremo local.

Criterio de la segunda derivada(condición suficiente) Si la segunda derivada de una función no se anula en un punto x 0 que anula la derivada primera: f'(x 0)= 0, resulta: Si f''(x0) > 0, la f (x) hay un mínimo local en x 0. Si f''(x0) < 0, la f (x) hay un máximo local en x 0. Ej Problemas de optimización:

Se pide calcular la superficie mínima a cubrir con baldosas para un borde perimetral de una piscina rectangular de 18m², teniendo en cuenta que dicho borde tiene 1m de ancho en los lados largos y de 2m en los lados cortos.

Área borde= (x+4m) . (y+2m) - Área piscina Área piscina= 18m² = x . y y= 18m²/x Área borde= (x+4) . (18/x +2) A = 2x + 72/x + 26 Derivar para hallar máximos y mínimos:

•

A' = 2 - 72/x²

→A' = 2 - 72/x²= 0

x = ± 6 →se considera el valor positivo porque las distancias no son negativas

Comprobar con la 2da derivada si es un mínimo:

•

A'' = 72/x³ Despejar:

→ x= 6

A'' = 1/3 →como es positivo es un mínimo

•

y= 18m²/6m y= 3m Área borde= (6m+4m) . (3m+2m) - 18m² Área borde= 32m²

3. Integrales aplicadas a la fí  ica. Enuncie el concepto de trabajo de un a fuerza  como aplicación del cálculo integral. Enuncie la L y de Hooke y explique su utilidad. Dé un e emplo numérico y resuélvalo. Enunciar algún ejemplo senci llo para cada una de ellas y resolverlo.

Trabajo de una fuerza El trabajo efectuado por una fuer a dirigida F, que mueve un objeto sobre un eje 'x', puede ser: Constante: T = F.s, donde 's' es l distancia a la que se ha dezplazado el bjeto. No constante: para calcular el tra ajo efectuado por dicha fuerza se realiz por medio de una integral definida. Sea F(x) la fuerza que h ce desplazar un objeto situado en un p nto 'x' desde un punto 'a' hasta otro punto 'b' sobre el eje x, donde a ≤ x ≤ b. Subdividiendo el intervalo [a,b] en n  pares, se puede calcular el trabajo ef ctuado al mover el objeto a lo largo de un pequeño interval Δx, sumar luego todos estos trabajos y pasar al límite. n

T= lím ∑F(xi).Δx=

→∞

n

i=1

∫ab F(x).dx

De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza requerida F para estirar o co  primir  un resorte es proporcional a la longitud de la deformación (estiramiento o compresión) 'x' del resorte, esto es F(x)= - k . x donde la constante k es la constante del resorte y se mide en g/cm en el sistema CGS. En ese caso, el trabajo realizado or la fuerza, si el resorte se estiró desd un cierto punto hasta un punto 'b' (o se comprimió en el mismo intervalo) será:

∫

b

T= a  kx. dx

∫b

= k a  x. dx b = k x² /2│ a = k/2 (b²-a²)

4 T= 2  10.x.dx 4 = 10. x² /2│2 = 10/2 (4²-2²) T= 60 gcm

∫

x=fuerza k=constante

4. Defina momentos de 1º y d 2º orden para un sistema de puntos en un plano. Explique cómo los utiliza para calcular el centro de gravedad del mismo. Se suponen ubicados sobre una rect a un conjunto de puntos materiales con mas as m 1, m 2,  … m n de abscisas   conocidas respecto de un origen O. El momento de 1er orden o mome to estático, respecto del origen O, a la su atoria de los productos de las abscisas x 1, x 2 , … x n,  por las mas as correspondientes. Siendo el resultado va lores positivos y negativos, que se miden en gcm. n

(1)

M

= m1x1 + m2x2 …+mnxn = ∑ mixi i=1

Para el momento de 2do orden o omento de inercia, respecto del origen O, la sumatoria de los productos de las masas por los cuad rados de las distancias al origen. Siendo el r esultado valores positivos. n

(2)

M

= m1x1² + m2x2² …+mnxn² = ∑ mi i² i=1

Desplazando el eje de coordenadas a un nuevo punto G  sobre la recta, baricentro, centro de gravedad o centro de masas del sistema de m sas mi distribuidas en los puntos de abscis s xi, tal que el momento estático se anule, y siendo x G su abscisa: MG(1) = m1(x1-xG) + m2(x2-xG) …+mn(xn-xG) = 0 m1x1 + m2x2 … mnxn = xG (m1 + m2 …+mn) Si M es la m sa total →M= m1 + m2 …+mn n

xG = ∑ mixi i=1 n

= M(1) M

∑ mi i=1

El centro de gravedad es un punto fi ticio tal que, si en él se concentrara la mas total del sistema, su momento estático sería igual al mom ento estático del sistema. •

Ejemplo de puntos aline dos En un punto de abscisas ; (-3); 5; (-4) cm se han colocado masas de 7; 5; 2; 1 gr. n

M = ∑ mixi = 7gr. 1cm + 5gr. (-3)cm + 2gr. 5cm + 1gr. (-4)cm = -2gc (1)

i=1 n

M = ∑ mixi² = 7gr.(1²cm) + 5gr.(-3²cm) +2gr.(5²gcm) +1gr.(-4²cm) = 1 18gcm² (2)

i=1 n

xG = ∑ mixi i=1 n

∑ mi i=1

= M(1) = -2gc  = -0.13cm 15 M

•

Ejemplo de puntos no alineados

 _ __________ M= ∑mi= 14g

n

Mx = ∑ ∆m.y →masa multiplicada la distancia al eje y! (1)

i=1

= 2g.3cm +5g.(-2)cm +2g.2cm +4g.5cm +1g.(-2)cm=  18gcm n (1)

My = ∑ ∆m.x

→masa multiplicada la distancia al eje x!

i=1

= 2g.(-4)cm +5g.(-3)cm +2g.3cm +4g.6cm +1g.7cm= 14gcm n (2)

Mx = ∑ ∆m.y ²

→masa multiplicada la distancia al eje y al cuadrado

i=1

= 2g.(3cm)² +5g.(-2cm)² +2g.(2cm)² +4g.(5cm)² +1g.(-2cm)²= 150gcm n (2)

My = ∑ ∆m.x ²

→masa multiplicada la distancia al eje x al cuadrado

i=1

= 2g.(-4cm)² +5g.(-3cm)² +2g.(3cm)² +4g.(6cm)² +1g.(7cm)²= 288gcm n

xG = ∑ ∆mixi i=1 = Mx(1) = 18gcm = 1.3cm M  14g n

∑ mi i=1 n

yG = ∑ ∆miyi i=1 = My(1) = 14gcm = 1cm M  14g n

∑ mi i=1

G= (xG, yG)= (1.3; 1)

•

Superficie

Sea una figura plana limitada por el arco de la curva AB representando por la función y= f(x), las ordenadas x=a, x=b y el eje de las x; se supone que dicha figura es homogénea: posee una densidad superficial δ constante.

b Mx(1)= δ a x.y.dx b My(1)= δ a y².dx

∫ ∫

masa total M= δ.A

b A= a y.dx

∫

b xG= 1/A a x.y.dx b yG= 1/2A a y².dx

∫

∫

Si la figura tiene 1 eje de simetría, el baricentro deberá estar forzosamente en él, y si posee dos ejes de simetría, se hallará en la intersección de ambos. Ej:

1 Área= 0 x-1.dx

∫

f(x)= x-1 entre [0;1]

1 = 1/2 x² -x│0

xG= ∫01 x.[f(x)].dx (-1/2) = ∫01 x²- x.dx (-1/2) 1 = 1/3x³ -1/2x² │0 (-1/2) = 1/3 - 0

yG= ∫01 [x-1]².dx -1 = ∫01 x²- 2.1.x + 1².dx -1 1 =1/3x³ -x² +x │0 -1 = -1/3 - 0

= 1/3

= -1/3 G= (1/3; -1/3)

= (1/2-1) - 0= -1/2

•

Volumen

Con una integral definida, se puede determinar el baricentro de un cuerpo de revolución, el cual estará ubicado sobre el eje de rotación. Sea un sólido por la rotación de la curva y= f(x) alrededor del eje de las x. Sobre el eje x (y=0; z=0)la única coordenada que habrá que evaluar será xG b xG= π a x.y².dx V

∫

b

→V= π∫a y².dx

•

Ejemplo de una  \"L\" (momento de inercia y baricentro). ¿De una superficie plana rectangular respecto de un eje paralelo a su base?

RESUMEN: momentos estático y de inercia, y baricentro

M(1) (1)

n

M = ∑ mixi i=1

Puntos alineados

(1)

M(2)

BARICENTRO

n

n

M = ∑ mixi² i=1

xG = ∑ mixi = M(1) M n

i=1

∑ mi i=1

(1)

n

Mx = ∑ ∆m.y i=1

Puntos NO alineados

(1)

n

Mx = ∑ ∆m.y² i=1

n

xG = ∑ ∆mixi = Mx(1) M n

i=1

∑ mi i=1

n

My(1) = ∑ ∆m.x i=1

n

My(1) = ∑ ∆m.x² i=1

n

yG = ∑ ∆miyi i=1 = My(1) M n

∑ mi i=1

Superficie

(entre f(x) y ejes) Superficie

∫ ∫

∫

b Mx(1)= δ a x.y.dx b My(1)= δ a y².dx

b xG= 1/A a x.y.dx b yG= 1/2A a y².dx

masa total M= δ.A

b A= a y.dx

∫

∫

║

(entre G(x) y F(x))

∫

b xG= π a x.y².dx V

Volumen

(de revolución sobre un eje, o sea q las otras 2 coordenadas =0)

Placa Plana

(Teorema de Steiner)

b

→V= π∫a y².dx Mx( ) = b x h³ 12 (2) Mx  = ∑Mx de cada rectángulo My( ) = b³ x h 12 (2) M  = ∑M de cada rectángulo Mx,y(2) =

MG² + M . d²

xG= ∑áreai x yGi = áreaT

yG= ∑áreai x xGi = áreaT

5. Aplicaciones geométricas de las integrales fórmulas y ejemplos. Área entre f(x) y ejes La integral definida de una función entre un intervalo [a,b] representa el área limitada por la gráfica de la función y el eje de coordenada.

Área entre f(x) El área entre funciones se obtiene de la resta de la integral de la función superior y de la inferior.

Volumen de solido de revolución El volumen de un cuerpo generado al girar una o más f(x) alrededor de un eje y limitado por un intervalo [a,b] se obtiene calculando el área de dicha función elevada al cuadrado y multiplicada por

π.