Aplicaciones de Circuitos de Primer Orden y Segundo

2011

Aplicaciones de los circuitos transitorios en Mecatrónica

PAULINA CAMPOVERDE ANDRES GUERRERO ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL EJÉRCITO 23/10/2011

TEMA: Aplicaciones de los circuitos transitorios de primero y segundo orden en Mecatrónica

OBJETIVOS:  

Conocer las diferentes aplicaciones de los circuitos RL, RC y RLC en Mecatrónica. Conocer las ventajas y desventajas de los circuitos transitorios en la vida útil.

 INTRODUCCIÓN  Hablaremos sobres las diferentes aplicaciones de los circuitos transitorios desde un modelo para sistemas de suspensión de automóviles, un capacitor de descargar, un circuito para una luz de neón destellante, etc. Por ello debemos saber que un régimen transitorio es aquella respuesta de un circuito eléctrico que se extingue en el tiempo, en contraposición al régimen permanente, que es la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el circuito o bien la excitación del mismo. Dando como resultado respuesta completa en la cual se distingue dos términos:  

Respuesta natural: tensión (o intensidad) debida a la energía almacenada en las bobinas y/o condensadores del circuito. Respuesta forzada: tensión (o intensidad) debida a las fuentes conectadas al circuito (respuesta en régimen permanente o estacionario).

Los transitorios son de gran importancia. Se producen en todos los circuitos (el encendido ya es un transitorio) y se suelen extinguir de forma natural sin causar problemas. También son útiles en temporizadores, multivibradores, osciladores de relajación, fuentes de alimentación conmutadas, etc. Además aquí se mostrara las diferentes aplicaciones en Macatrónica lo cual nos ayudara a comprender mejor el funcionamiento y comportamiento de los circuitos transitorios de primer y según orden, así como la utilidad en la vida diaria.

 JUSTIFICACION  La realización de este proyecto es conocer más acerca de los circuitos con elementos que almacenan energía (capacitor e inductor), ya sea de primer como de según orden, pero principalmente es asimilar la utilización de ellos con ejemplos prácticos en todos los diferentes casos que se puedan mostrar o aparecer. Su estudio ayudara a entender con más profundidad los cambios que se producen tanto en el voltaje como en la corriente, al momento de que estos se cargan o descargan, y cuando se usa una fuente continua, ya que crean diferentes características en la estabilidad de un circuito.

 MARCO TEÓRICO Circuitos de primer orden RL y RC 

Los circuitos de primer orden son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un condensador o inductor), y que además pueden describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden: 1. Circuito RC (Resistor y Condensador) 2. Circuito RL (Resistor e Inductor)

 Respuesta Los circuitos serie RL y RC tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensión, respectivamente. Al cerrar el interruptor S en el circuito serie RL, la bobina crea una fuerza electromotriz (f.e.m.) que se opone a la corriente que circula por el circuito, denominada por ello fuerza contra electromotriz. Como consecuencia de ello, en el mismo instante de cerrar el interruptor (t0) la intensidad será nula e irá aumentando exponencialmente hasta alcanzar su valor máximo, Io = E / R (de t0 a t1). Si a continuación, en el mismo instante de abrir S (t2) se hará corto circuito en la red RL, el valor de Io no desaparecería instantáneamente, sino que iría disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3). Por otro lado, en el circuito serie RC, al cerrar el interruptor S (t0 en la figura 2), el condensador comienza a cargarse, aumentando su tensión exponencialmente hasta alcanzar su valor máximo E0 (de t0 a t1), que coincide con el valor de la f.e.m. E de la fuente. Si a continuación, en el mismo instante de abrir S (t2 en la figura 2) se hará corto circuito en la red RC, el valor de Eo no desaparecería instantáneamente, sino que iría disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).

 Régimen de Funcionamiento En ambos circuitos se da por lo tanto dos tipos de régimen de funcionamiento (figura 2):

 

Transitorio: desde t0 a t1 (carga) y desde t2 a t3 (descarga). Permanente: desde t1 a t2.

La duración del régimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de la resistencia, R, la capacidad, C, del condensador y de la auto inductancia, L de la bobina. El valor de esta duración se suele tomar como 5τ, donde τ es la denominada constante de tiempo, siendo su valor en cada circuito:

Si R está en ohmios, C en faradios y L en henrios , τ estará en segundos. Matemáticamente se pueden obtener las ecuaciones en régimen transitorio de cada circuito que se muestran en la siguiente tabla: Carga en RL

Descarga en RL

Carga en RC

Descarga en RC

Circuitos de segundo orden El análisis correspondiente para los circuitos de segundo orden: Circuitos con los dos tipos de elementos almacenadores de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de segundo orden. En estos casos requerimos dos constantes arbitrarias para evaluar las dos formas de almacenamiento de energía. Y para poder determinarlas exige conocer la energía inicial o el + valor inicial de la variable, y la primera derivada de la variable en t = 0 . Si hay una excitación del tipo permanente sobre el circuito es necesario, lógicamente, la respuesta en el estado final, o de régimen. Analizaremos primero el caso del circuito en serie y considerando una malla constituida por una resistencia R, una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0, y un capacitor también cargado inicialmente con su carga representada por una tensión inicial E0. I0 R

L + C

i(t)

E0

Siendo una malla cerrada aplicamos la segunda ley de Kirchhoff  eR + eL + eC = 0, que en función de la corriente i (t) quedará:

L

di dt

1

+ R i +

C

t

 i dt = 0

[1]



Debe hacerse notar aquí que, si bien no está indicado en los circuitos como en los casos de primer orden, las polaridades de las tensiones están definidas conforme al sentido de la corriente i (t) del circuito. Si no fuera así  los signos en las ecuaciones serían distintos. Diferenciando una vez obtenemos:

L

2 d i

di

+ R

2

dt

dt

+

1 C

i = 0

[2]

Los valores iniciales son: i(0) = I0

1

y

C

0



 i dt = E

0



Si t = 0 en [1]:

L

di(0) dt

L

+ R i(0 ) +

di(0) dt

i C



0

 i dt = 0 

+ RI0 + E0 = 0

Por lo tanto: di(0) dt

= -

1 L

(R I0 + E0) = K

Esta primera derivada de la corriente puede tomar cualquier valor dependiendo del circuito y de la condición de carga inicial. Como necesitamos dos constantes arbitrarias intentamos una función consistente en la suma de dos soluciones de primer orden (nada impide que se aplique otro método):

p t p t itt = A1 e 1 + A2 e 2

ditt

Con:

dt

= A1 p1 ep1 t + A2 p2 ep2 t

2

d itt

Y:

[3]

2

2

= A1 p1 ep1 t + A2 p2 ep2 t

2

dt

Si la ecuación [3] satisface a la ecuación [2] entonces será:



2

L A 1 p1 e p1t

+

A1 e

p1t

1 C



 Lp2  1  



2

pt A 2 p2 e 2

+R

A1 e p1 t + A 2 e p2 t

+ R p1 +

1 

 C 

pt pt A 1 p1 e 1 + A 2 p2 e 2





= 0

   

2

+ A 2 e p2t  Lp2 + R p2 +

1 



C 

= 0

Ya que los productos de las constantes por las exponenciales no pueden ser nulas, porque se perdería la posibilidad de resolver el problema, deben serlo necesariamente las expresiones encerradas entre paréntesis. Las p 1 y p2 deben ser raíces de la ecuación:

2

p

+

R L

p +

1

= 0

LC

Con lo que:

p1,2 = -

R 2L

R

2

 ( ) 2L

1 LC

O: p1,2 = -

 

2 2 - 0

Si ponemos que:

 =

R 2L

y

02 =

1 LC

El parámetro α se lo conoce como coeficiente de amortiguamiento , tiene la dimensión de 1/segundo, la inversa de una constante de tiempo que nos indica la velocidad de decrecimiento del transitorio en el tiempo. W 0, por su parte, tiene las mismas dimensiones y se denomina frecuencia angular natural , pulsación natural , o de resonancia , del circuito. Ambos dependen exclusivamente de los elementos y estructura de la red, y no de la excitación. En función de la expresión de p 1,2 se pueden deducir tres casos que dependen de la relación entre α y W0:

1er caso) Si α > W0, el coeficiente de amortiguamiento es mayor que la pulsación natural, se dice que el circuito está sobreamortiguado, o tiene amortiguamiento hipercrítico . Los valores de p son reales, negativos y distintos, y la solución es la suma de dos exponenciales reales.

do

2 caso) Si α = W0, el coeficiente de amortiguamiento es igual a la pulsación natural, el circuito está críticamente amortiguado, o tiene amortiguamiento crítico . Los valores de p son reales, negativos e iguales, y la solución es la más complicada de resolver.

er

3 caso) Si α < W0, el coeficiente de amortiguamiento es menor que la pulsación natural, se dice que el circuito está subamortiguado, o tiene amortiguamiento subcrítico , o es oscilatorio armónico amortiguado . Los valores de p son complejos conjugados, y la solución es la suma de dos exponenciales complejas que llevan a una función de respuesta oscilatoria amortiguada.

4to caso) De interés teórico no realizable prácticamente, que se obtendría si el circuito no tuviese pérdidas. En tal caso α = 0, y se llegaría al caso oscilatorio libre o sin amortiguamiento .

 APLICACIONES Circuitos RLC  

Descripción del Uso de un capacitor de descarga (detonador slapper).

Solución

Un dispositivo conocido como unidad de descarga capacitiva (CDU) se diseña para producir potencia muy alta .Una aplicación práctica del CDU es su uso como lo que se llama detonador slapper. El mismo se muestra en la figura 8.22a que consiste en una sustancia aislante pulida, la cual es cubierta está cubierta selectivamente de cobre en la forma de un mono o corbata de lazo. Sobre el centro de moño se coloca un material polimido llamado bólido. El dispositivo se posiciona cerca de un perdigón explosivo. Cuando una corriente grande se descarga a través del moño, la hoja se calienta tan rápido que explota y la presión producida por la presión impulsa la delgada pieza de polimido hacia arriba a velocidades de 3 a 7 Km/s. Cuando el bólido se impacta con el perdigón explosivo, la energía cinética del bólido se difunde al perdigón y resulta una detonación.

El CDU se modela como se muestra en la figura 8.22b. La resistencia representa la región del moño, la bobina representa la inductancia en el circuito, el interruptor es típicamente una chispa, y el capacitor cargado es la fuente de energía. Los valores típicos de los componentes se muestran en la figura. Una gráfica de corriente como función del tiempo que sigue al cierre del conmutador se muestra en la figura 8.23. Un valor aproximado de l a potencia promedio entregada por el dispositivo puede obtenerse dividiendo la energía total almacenada en el condensador entre el tiempo total de descarga. La energía total almacenada en el capacitor es aproximadamente de 1 J y, como se muestra en la figura 8.23, la energía es descargada alrededor de un us y 1J/1us es un megawatt.



Esquema experimental para un disparador de riel

El mismo que se muestra en la figura 8.24. Con el interruptor sw-2 abierto, el interruptor sw-1 está cerrado y el suministro de potencia se carga al banco de los capacitores a 10KV. Entonces el interruptor sw-1 se abre. El disparador de riel se dispara cerrando el conmutador sw-2. Cuando el capacitor se descarga, la corriente hace que la hoja final del disparador explote; creando un plasma caliente que se acelera hacia la parte inferior del tubo. La caída del voltaje al vaporizador la hoja insignificante y por tanto más del 95% de la energía permanece disponible para acelerar el plasma. El flujo de corriente establece un campo magnético y la fuerza sobre el plasma causada por el campo magnético, que es proporcional al cuadrado de la corriente en cualquier instante de tiempo, acelera el plasma. Cuanto más alto sea el voltaje inicial, más grande es la aceleración.

El diagrama del circuito para el circuito de descarga se muestra en la figura 8.25. La resistencia de la línea (conductor pesado) incluye la resistencia del interruptor. La resistencia de la hoja y del plasma resultante es insignificante, y, por tanto, la corriente que fluye entre el conductor superior y el inferior depende de los componentes restantes del circuito en la trayectoria cerrada que se especifica en la figura 8.24. La ecuación diferencial para la respuesta natural de la corriente es: 2

d  i (t ) 2

dt 



 Rbus di(t )  Lbus dt 



1

 LbusC 

0

Solución

Para describir la forma de onda de la corriente a través de la Ec. Característica. Usando los valores del circuito, la ecuación característica es: S 2  37.5  10 4 S  5.83  1010  0

Y las raíces de la ecuación son: S1, S2= (-18.75   j 74)  104 y por tanto la red esta subamortiguada.

Las raíces de la ecuación característica ilustran que la frecuencia resonante amortiguada es: W d   740 Krad  / s Por tanto,

 f d   118KHz T  

1

 f d 

 8.5us

Una gráfica real de la corriente se muestra en la figura 8.26, y esta grafica verifica que el   periodo de la respuesta amortiguada es realmente 8.5us.

Dos aplicaciones adicionales de los CDU son las bolsas de aire de los automóviles y los cerrojos explosivos utilizados en la NASA para proporcionar separaciones de etapas seguras en un coche multietapa. En la aplicación de la bolsa de aire, un alambre delgado se solda entre dos puntas. El alambre está rodeado por una mezcla pirotécnica. En el impacto, una corriente pasa a través del alambre vía las puntas. Cuando el alambre se calienta lo suficiente para encender la mezcla, un gran volumen de gas frio se produce y la bolsa se expande. La NASA emplea un número de cerrojos, que están eléctricamente aislados del cohete, para proporcionar el soporte mecánico necesario para mantener dos etapas unidas. Cada cerrojo es la carga resistiva en un CDU. Al tiempo de la separación, una señal común de control de fuego se manda a los conmutadores en el CDU y la energía en el capacitor se descarga a través del cerrojo, haciendo que este se vaporice. Todos los cerrojos explotan de forma simultánea y ocurre la separación de la etapa.

Claramente, todos los cerrojos deben soltarse simultáneamente para evitar un accidente catastrófico. Circuitos de primer orden (RL Y RC) 

Se modela el circuito para una luz de neón destellante.

El capacitor carga hacia la fuente de voltaje de 9V, a través de la resistencia. La luz de neón está diseñada para encenderse cuando el voltaje del capacitor alcanza 8V. Cuando la luz se enciende, descarga completamente el capacitor, se apaga y el ciclo c omienza nuevamente. Esta es una forma de lo que se llama un Osciloscopio de relajación. Si C=10uF, encontraremos R de modo que la luz destelle una vez por segundo. Solución

Primero debemos encontrar una expresión para el volteje del capacitor si suponemos que la luz nunca se enciende. El volteje en el capacitor es:

V c (t )  V s  V  e t  /  RC   9  9e t  /  RC  S

En t=1 segundo, el voltaje del capacitor debe ser 8V.Por tanto, V (1)  8  9  9e 1 /  RC 

Si resolvemos para RC, se contiene RC=0.455 S Finalmente, R=0.455/C=45.5KΩ



 El circuito de un marcapasos

Se muestra en la figura 7.31.81 SCR (rectificador controlado de silicio) es un dispositivo de estado sólido que tiene dos modos distintos de operación. Cuando el voltaje a través del SCR se incrementa pero es menor que 5 V, el SCR se comporta como un circuito abierto según se muestra en la figura 1 .32a. Una vez que el voltaje a través del SCR alcanza 5 V el dispositivo funciona como una fuente de corriente, tal como se muestra en la figura 7.32b. Este comportamiento continuará mientras el voltaje del SCR se mantenga por arriba de los 0.2 V. En este voltaje, el SCR se apaga y de nuevo es un circuito abierto.

Suponga Que t=0, Vc (t) es 0 volts y el capacitor de I uF comienza a cargar hacia la fuente de voltaje de 6 v. Encuentre el valor de la resistencia tal que Vc (t) sea igual a 5 V (el voltaje de encendido del CR) en 1 segundo. En t=1 segundo, el SCR se enciende y comienza a descargar al capacitor. Encuentre e1 tiempo requerido para que Vc (t) caiga de 5 V a 0.2 V. Finalmente, graficamos Vc (t) para los tres ciclos.

Solución Para t