Aplicaciones de Algebra Lineal en La Electronica y Mecatronica

2011 Aplicaciones de algebra lineal en la electrónica y mecatronica

Geovanny Yaguana 11/06/2011

El algebra lineal se usa para muchas cosas en la electrónica como: 1) La ley de ohm en otras palabras dice que en un gráfico de I en función de V se obtiene una recta que pasa por el origen con pendiente R, todo elemento que no cumpla con esa regla no se los llama óhmicos. Aplicaciones: Una hidroeléctrica

2) En teoría de circuitos, o análisis de modelos circuitales se hace uso de la resolución de ecuaciones de n variables y n incógnitas al aplicar el método de mallas o nodos. Mediante el método de las mallas es posible resolver circuitos con varias mallas y fuentes.

Consiste en plantear las corrientes de cada malla como su intensidad por su resistencia y sumar o restar las intensidades por las resistencias relacionadas con mallas adyacentes.

a) Se asigna un sentido arbitrario de circulación de corriente a cada malla (las que se quieren calcular). El sentido no tiene porqué ser el real (de hecho antes de calcularlo no se lo conoce). Si se obtiene como resultado alguna corriente negativa, el sentido real de la misma es al revés del utilizado para esa malla.

b) Se plantea a la suma de las fuentes de cada malla como I por R de la malla y se le restan las ramas comunes con otras mallas. El signo que se les pone a las fuentes depende del sentido de circulación elegido para la corriente. Si se pasa a través de la fuente de negativo a positivo con el sentido elegido, se utiliza (+), de lo contrario (-).

Malla

Malla 2

+ V2 = I2 (R2 + R3 + R4) – I1 (R2) – I3 (R4)

Malla 3 - V3 = I3 (R4 + R5) – I2 (R4)

1

c) Los valores de resistencias y de tensiones se conocen, por lo tanto quedan 3 ecuaciones con 3 incógnitas (para 3 mallas interiores) en donde cada incógnita es la corriente de malla. Resolviendo el sistema se obtienen las corrientes. Si se obtiene alguna corriente negativa quiere decir que el sentido real es al revés del elegido.

3) También para ver la respuesta en frecuencia a señales de uso frecuente, pero de forma indefinida, se suele hacer la ecuación de la i(t) mediante escalones unitarios y rampas. Frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico.

Ejemplos de ondas de distintas frecuencias; se observa la relación inversa con la longitud de onda. Para calcular la frecuencia de un suceso. Según el SI (Sistema Internacional), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz. Un hercio es aquel suceso o fenómeno repetido una vez por segundo. Así, dos hercios son dos sucesos (períodos) por segundo, etc. Esta unidad se llamó originariamente «ciclo por segundo» (cps) y aún se sigue utilizando. Otras unidades para indicar la frecuencia son revoluciones por minuto (rpm). Las pulsaciones del corazón y el tempo musical se miden en «pulsos por minuto» (bpm, del inglés beats per minute).

Un método alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones (periodo) y luego calcular la frecuencia (f) recíproca de esta manera:

donde T es el periodo de la señal.

4) El campo eléctrico y magnético como campos vectoriales sería imposible entenderlo sin pasar por álgebra lineal. Si estamos en una teoría no relativista, el campo eléctrico es un campo vectorial, es decir, es una aplicación lineal de R^3 sobre R^3, es decir, das tres números reales y te devuelve tres números reales. Es lo que comúnmente se conoce como vector. En cambio el campo magnético no es un vector, es un pseudovector. La diferencia está en que dicho pseudovector no rota como un vector, pero por lo demás, cumple lo mismo que un vector.

Si entramos en una teoría relativista, las cosas cambian un poco más. Ni el campo eléctrico ni el magnético son vectores, son las COMPONENTES DE UN TENSOR, en particular, el tensor de Faraday o electromagnético. Un tensor es una aplicación multilineal de los vectores y/o vectores duales sobre los reales. Para que lo entiendas mejor, es una generalización o extensión de los vectores. Un tensor de orden cero es un escalar, un tensor de orden 1 es un vector, un tensor de orden 2 es un tensor de orden 2 y así sucesivamente.

Pero también podemos complicarnos un poco y entrar en el ÁLGEBRA DE CLIFFORD. En dicha álgebra no existen los vectores tal y como se conocen en el análisis vectorial, por lo tanto el campo eléctrico no es un vector y el magnético tampoco. El álgebra de Clifford tiene una particularidad curiosa. Si hacemos el producto Clifford de dos objetos equivalentes a vectores en el algebra ordinaria, obtenemos directamente el producto escalar y el vectorial, cosa que con los vectores son dos cosas diferentes. Si te interesa saber algo más sobre el álgebra de Clifford, te diré que directamente de ella salen los cuaterniones de Hamilton y como consecuencia lógica, los números complejos. Es decir, los números complejos no son más que la subálgebra pareja de Clifford (se demuestran que son isomorfos)

Como la mecatronica es la unión de la mecánica, el software y la electrónica el algebra lineal interviene en cada una de ellas.

En la mecatronica se usa para la transformación de espacios vectoriales, para el análisis de señales por medio de LaPlace, en realidad son un tema similar.

Lo que hace es transformar la señal en una forma donde sea más simple calcular y luego lo antitransforma.

Se utiliza todo el cálculo vectorial en todas las ingenierías. Resolución de sistemas lineales y hasta no lineales, por ejemplo resolución de circuitos de mallas por medio de gauss jordan.

Bibliografía: http://www.fisicapractica.com/metodo-mallas.php http://www.esi2.us.es/DFA/CEMI/Teoria/Tema6-1x2.pdf http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080430202654AAzXwi5 http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia http://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-eingenieria/fisica/respuestas/307955/campo-magnetico-y-electrico http://es.scribd.com/doc/39973271/ClasesTeoricas4