Aplicación del teorema de Castigliano a la resolución de problemas estáticamente indeterminados

Aplicación del teorema de Castigliano a la resolución de problemas estáticamente indeterminados indeterminados Este teorema se utiliza en la r esolución de problemas estáticamente indeterminados. Estudiaremos primeramente aquellos problemas en los que las cantidades hiperestáticas forman parte de las ligaduras, es decir, son elementos del sistema de reacción en los apoyos. Sean X, Y, Z…las fuerzas de reacción estáticamente indeterminadas. La energía de deformación del sistema será una función de estas fuerzas. Para apoyos fijos o apoyos cuyo movimiento será perpendicular a la dirección de las reacciones, reacc iones, las derivadas parciales de la energía de deformación re specto a las fuerzas desconocidas deberán ser nulas, de acuerdo con el teorema de Castigliano. Por consiguiente,

              De este modo se tienen tantas ecuaciones como reacciones hiperestáticas. Se observara que las ecuaciones representan las condiciones de mínimo de la función U, lo que nos dice que las fuerzas fuerzas de reacción hiperestáticas toman los los valores necesarios para que que sea mínima la energía de deformación del sistema. Esta propiedad constituye el principio del trabajo mínimo tal como se aplica a la determinación de ligaduras hiperestáticas. Como ejemplo de aplicación de este principio, consideramos una viga empotrada por un extremo y apoyada por el otro, sometida a la acción de una carga uniformemente repartida. Este problema tiene una ligadura hiperestática. Tomando la reacción en el apoyo derecho X como ligadura hiperestática, se encontrara su valor por la condición.

   La energía de deformación de la viga, es:

    ∫   En donde

   

Sustituyendo en (a), se obtiene

    ∫      ∫                         De donde

     En lugar de la reacción X, pudo haberse tomado como ligadura hiperestática el par



, en el

empotramiento del extremo izquierdo de la viga. En ese caso habríamos expresado la energía de deformación en función de sección es



. la ecuación (b) es valida. El momento flector para cualquier

             Como la sección del empotramiento no gira cuando la v iga se flexa, la derivada de la energía de

    ∫     ∫ *     +                     

deformación respecto a

deberá ser cero. Expresando analíticamente esta condición , se tiene

De donde el valor absoluto del momento es

     Los problemas en que se consideren como cantidades hiperestáticas las tensiones que correspondan a las barras sobrantes de un sistema también pueden resolverse aplicando el teorema de Castigliano.

Representando por

Y por es:

Si







la energía de deformación de las barras inclinadas en la figura (a)

la energía de deformación de la barra vertical figura (b), la energía de deformación total

                             

es el desplazamiento real hacia abajo del nudo O la derivada con relación a X de la energía U,

del sistema de la figura (a) será igual a

, puesto que la fuerza X del sistema tiene dirección

opuesta a la del desplazamiento . Al mismo tiempo, la derivada

valdrá ; por consiguiente,

Se ve que el verdadero valor de la fuerza X en la barra sobrante es el que hace mínima la e nergía de deformación total del sistema. Poniendo, en vez de U, su valor (c), en la ecuación (d) se obtiene

             De donde

     Un razonamiento análogo se aplica al caso de sistemas estáticamente indete rminados con una barra sobrante. Para fijar las ideas, consideremos la estructura de la figura (a). Las reac ciones pueden determinarse por las ecuaciones de la est ática, es decir, el sistema esta isostáticamente apoyado; pero al ir a determinar las tensiones en las barras, vemos que existe una barra sobrante. Supongamos que esta barra sobrante sea la CD. Quitaremos dicha barra, y en sus extremos C y D aplicaremos dos fuerzas X iguales a la tensión que le correspondería y , por consiguiente, opuestas entre si. Tenemos ahora un sistema estáticamente deter minado sometido a la acción de la fuerza conocida P y de las dos desconocidas X. las te nsiones correspondientes a las barras de este sistema se podrán hallar calculando: primero, las que produce la carga real P y que

representaremos por



, siendo i el numero de orden de la barra; segundo, las que se originan en

dichas barras cuando se prescinde de las carga exterior P y se pone en lugar de las fuerzas X dos fuerzas unidad

Estas ultimas tensiones o fuerzas interiores las representaremos por



. La fuerza interna

correspondiente a cada barra, cuando actúan simultáneamente la fuerza P y las fuerzas X, serán

      La energía de deformación total del sistema será:

    (   )              La ecuación se extiende a todas las barras del sistema, incluso a la CD, de que habíamos prescindido. Se aplica ahora el teorema de Castigliano y la derivada de U respecto a X da el desplazamiento de los extremos F y



, el uno hacia el otro.

En el caso actual, la barra es continua y este desplazamiento es cero. Por consiguiente,

    Es decir, la fuerza X en la barra sobrante es tal que hace mínima la energía de deformación del sistema. Para esta barra

      

Mediante las ecuaciones (f) y (g), tendremos

  )  (  )    (                  De donde

     ∑        ∑   Este procedimiento es también aplicable a un sistema en el que existen varias barras sobrantes. El principio del trabajo mínimo puede aplicarse también en el casi de que las cantidades hiperestáticas sean pares. Consideremos por ejemplo, una viga sobre tres apoyos uniformemente cargada:

Si se toma como ligadura hiperestática e l momento en el apoyo central y se corta la viga por el apoyo B, se obtendrán dos vigas apoyadas en la figura (b) cargadas con los pares desconocidos



, además de con la carga uniforme conocida de valor q. al no existir rotación del extremo B’

respecto al extremo del B”, debido a que en nuestro caso (figura (a)) , la elástica es una curva continua.

    Expresión que indica que también en este caso e l valor que corresponde a la cantidad hiperestática hace mínima la energía de deformación del sistema

Ejemplo.



 

La carga vertical P esta sostenida por una barra vertical DB de longitud y sección

y por dos

     .determinar las tensiones en las barras y  la relación  , para la que dichas tensiones son numéricamente iguales.  barras igualmenten inclinadas de longitud y sección

Solución: El sistema es hiperestático. Sea X la fuerza de extensión de la barra vertical. Las fuerzas de

 √   y la energía de deformación del sistema es:          

compresión en las barras inclinadas serán

El principio del trabajo mínimo da:

            De donde

       Sustituyendo en la ecuación

   √   Se obtiene

   √ 

Ejemplo. Determinar la reacción horizontal X en el sistema representado en siguiente figura

Solución: La fuerza desconocida X intervendrá solamente en la parte de energía potencial de flexión que corresponde el trozo AB de la barra. Para este trozo, mínimo da:



, y la ecuación del trabajo

   ∫    ∫       ∫                    De donde:

     