Aplicacion Del Metodo Smith and Ichiyen

Aplicaciones del balance Computacional en Plantas Concentradoras

Uso de los balances Metalúrgicos - Reportes diarios (balances globales) - Balances por circuitos o secciones - Balances puntuales - Para determinar deficiencias en el circuito y determinar posibles soluciones.

CUANDO HACER UN BALANCE GLOBAL - Cuando las eficiencias de control y grado están por debajo de los objetivos o búsqueda de mejoras. - Cuando se instala nuevos equipos - Cuando se efectúan cambios de reactivos - Cuando se modifican los circuitos - Cuando el proceso está con eficiencias y grados por encima del normal. - Cuando cambia las características del mineral tratado - Cuando se efectúan trabajos de instrumentación y automatización. - Cuando se requiere dimensionar un equipo

PLANIFICACION DE UN BALANCE Š Hacer el diagrama de flujo Š Establecer frecuencia y tiempo de muestreo Š Técnica a utilizar Š Modelamiento matemático Š Confirmar si los puntos de muestreo son accesibles y si las muestras tomadas serán representativas. Š Diseñar los muestreadores de acuerdo a la cantidad de flujo y tamaño de partícula. Š Calidad y cantidad de materiales a utilizar Š Muestreo en planta

TECNICAS DE CÁLCULO Método algebraico (clásico) Mínimos cuadrados y Multiplicadores de Lagrange. Método Computacional (Smith e Ichiyen)

MÍNIMOS CUADRADOS C1

Cto-Pb

Cto-Zn C4(1-α1-α2)

C2α1

C3a2

C1 − C2α1 − C3α2 − C4 (1−α1 −α2 ) = 0 ∆(1)i C1 − C2α1 − C3α2 − C4 + C4α1 + C4α2 = 0 (C1 − C4 ) + α1 (−C2 + C4 ) + α2 (C 4−C3 ) = 0 (C1 − C4 ) + α1 (C4 − C2 ) + α2 (C 4−C3 ) = 0

∑ ∆(1)

2 i

= [(C1 − C 4 ) + α1 (C 4 − C 2 ) + α 2 (C 4 − C3 )]

2

i

∂ ∑ ∆(1) i i

∂α 1

2

= 2[(C1 − C 4 ) + α 1 (C 4 − C 2 ) + α 2 (C 4 − C3 )](C 4 − C 2 )

A = (C1 − C 4 )(C 4 − C 2 ) B = (C 4 − C 2 )

2

C = (C 4 − C 3 )(C 4 − C 2 )

A + Bα 1 + Cα 2 = 0 Bα 1 + Cα 2 = − A

∑ ∆(1)

2 i

= [(C1 − C 4 ) + α 1 (C 4 − C 2 ) + α 2 (C 4 − C3 )]

2

i

∂ ∑ ∆(1) i i

∂α 2

2

= 2[(C1 − C 4 ) + α 1 (C 4 − C 2 ) + α 2 (C 4 − C3 )](C 4 − C3 )

D = (C1 − C 4 )(C 4 − C 3 )

E = (C 4 − C 2 )(C 4 − C 3 ) F = (C 4 − C 3 )

2

D + Eα 1 + Fα 2= 0 Eα 1 + Fα 2= − D

AJUSTE DE DATOS CON MÉTODO DE LAGRANGE ∆ (1) i − ∆ (c1 ) + ∆ (c 2 )α 1 + ∆ (c3 )α 2 + ∆ (c 4 )(1 − α 1 − α 2 ) = 0 Sm = Si µ 2λi ∑ (Condicione s _ de _ Balance )

Sm = Si + 2λi [∆ (1) i − ∆ (c1 ) + ∆ (c 2 )α 1 + ∆ (c3 )α 2 + ∆ (c 4 )(1 − α 1 − α 2 ) ] Si = ∆ (c1 ) 2 + ∆ (c 2 ) 2 + ∆ (c3 ) 2 + ∆ (c 4 ) 2 Sm = ∆ (c1 ) 2 + ∆ (c 2 ) 2 + ∆ (c3 ) 2 + ∆ (c 4 ) 2 +

2λi [∆ (1) i − ∆ (c1 ) + ∆ (c 2 )α 1 + ∆ (c3 )α 2 + ∆ (c 4 )(1 − α 1 − α 2 )]

∂Sm = 2∆ (c1 ) + 2λi (−1) ∂∆ (c1 ) ∆ (c1 ) = λi

∂Sm = 2∆(c2 ) + 2λi (α1 ) ∂∆(c2 ) ∆(c2 ) = −λiα1 ∂Sm = 2∆(c3 ) + 2λi (α 2 ) ∂∆(c3 ) ∆(c3 ) = −λiα 2 ∂Sm = 2∆(c4 ) + 2λi (1 − α1 − α 2 ) ∂∆(c4 ) ∆(c4 ) = −λi (1 − α1 − α 2 ) ∂Sm = 2[∆(1) i − ∆(c1 ) + ∆(c2 )α1 + ∆(c3 )α 2 + ∆(c4 )(1 − α1 − α 2 )] ∂λi

Reemplazando valores de ∆(c1), ∆(c2), ∆(c3) y ∆(c4) se tiene:

∆(1) i λi = 2 2 2 1 + α1 + α 2 + (1 − α1 − α 2 )

(

)

∆(1) i = (c1 − c4 ) + α1 (c4 − c2 ) + α 2 (c4 − c3 ) C1 (calc) = C1 (exp) + ∆c1 C2 (calc) = C2 (exp) + ∆c2 C3 (calc) = C3 (exp) + ∆c3 C4 (calc) = C4 (exp) + ∆c4

EJEMPLO Flujo Cabeza Conc. Bulk Conc. Zinc Relave

%Zn 3.42 8.32 56.24 0.25

%Pb 1.51 50.29 1.63 0.18

%Cu 0.27 8.03 1.22 0.03

%Ag 0.0136 0.4165 0.0253 0.0016

Matriz Principal

2640.17 533.94

533.94 3138.87

Matriz Inversa

0.000392258

-6.67251E-05

94.27

0.0250

-6.67251E-05

0.000329936

179.54

0.0529

c 1© Zn Pb Cu Ag

3.42 1.52 0.26 0.0137

c 2© 8.32 50.29 8.03 0.4165

c 3© 56.24 1.63 1.22 0.0253

c 4© 0.25 0.18 0.05 0.0014

METODO COMPUTACIONAL 8 w2 4

1

2

3 Ro

5

7

Scv

w3

Cleaner

6

DATOS

Flujo 1 2 3 4 5 6 7

Nombre Alimento Relave rougher Relave Final Conc. rougher Concentrado final Relave cleaner Conc. scavenger

w1

%Zn 3.93 8.11 0.49 42.73 52.07 34.64 11.86

%Zn 3.93 8.11 0.49 42.73 52.07 34.64 11.86

%Cu 0.163 0.466 0.14 0.96 0.657 1.02 0.44

%Fe 11.57 14.35 13.09 14.37 14.67 14.66 13.75

Ecuaciones Circuito

C 1 −C 6 w1 − C 4 (1 − w1 ) = 0

Rougher

C8 w2 + C1 *1 + C7 (w3 − w1 ) − C5 w3 − C3 (1 + w2 − w1 ) = 0 Scavenger

C 3 (1 + w2 − w1 ) − C 8 w2 − C 4 (1 − w1 ) = 0 Cleaner

C 5 w3 − C 7 (w3 − w1 ) − C 6 w1 = 0

C1

B (w) =

w1 =

0.0643

w2 =

3.6255

w3 = C2

0.2008 C3

C4

C5

C6

C7

1

-(1+w2-w1)

0

-w 3

0

(w 3-w 1)

w2

0

(1+w2-w1)

-(1-w 1)

0

0

0

-w 2

0

0

0

w3

-w 1

-(w 3-w 1)

0

B (w) =

Mi =

Mi =

1

-4.5612

0

-0.2008

0

0.1365

3.6255

0

4.5612

-0.9357

0

0

0

-3.6255

0

0

0

0.2008

-0.0643

-0.1365

0

C12

0

0

0

0

0

0

0

C22

0

0

0

0

0

0

0

C32

0

0

0

0

0

0

0

C42

0

0

0

0

0

0

0

C52

0

0

0

0

0

0

0

C62

0

0

0

0

0

0

0

C72

15.445 0 0 0 0 0 0 0 65.772 0 0 0 0 0 0 0 0.2401 0 0 0 0 0 0 0 1825.9 0 0 0 0 0 0 0 2711.3 0 0 0 0 0 0 0 1199.9 0 0 0 0 0 0 0 140.66

-1

δci= -MiB'(BMiB') Bci 1

0

-4.561154 4.56115

B' =

0

0

-0.9357

0

-0.200765

0

0.20077

0

0

-0.0643

0.136462

0

-0.13646

3.625457 -3.62546

0

-15.4449

0

0

299.9967 -299.997

-MiB'=

0

0

0

0.22466

0

366.5682

0

-366.568

0

0

174.345

-163.745

0

163.745

-509.9553 509.955

0

MiB'=

15.4449

0

0

-299.9967

299.997

0

0 -0.22466

0

-366.5682

0

366.568

0

0 -174.345

163.745

0 -163.745

509.9553 -509.955

0

3328.536 -3217.15 -95.9392

BMiB'=

-3217.152 3217.36 -95.93923

0

0 107.15

-1

(BMiB') =

0.038921

0.03892

0.03485

0.038918

0.03923

0.03485

0.034849

0.03485

0.04054

-0.601131 -0.60109 -0.53824 0.000763 -0.09248 0.00068 -1

-MiB'(BMiB') =

0.008743

0.00881

0.00783

1.492753

1.49266

-2.0845

6.075697

6.0753

7.06711

-0.666809 -0.66677 0.93114 -0.001297

0.1572

-0.00116

6.085304

Bci =

-6.465455 0.503386

(7 x 3) * (3 x 1) = ( 7 x 1) -MiB'(BMiB')-1Bci = -0.04 0.60 0.00 -1.62 1.25 0.72 -1.02

C(e) 3.93 8.11 0.49 42.73 52.07 34.64 11.86

C(c ) 3.89 8.71 0.49 41.11 53.32 35.36 10.84

J = ∑ (cˆi − ci )' Mi −1 (cˆi − ci )

Función Objetivo

i

(cˆi − ci ) =

(cˆi − ci ) = '

-0.043 0.603 0.000 -1.616 1.250 0.722 -1.025 -0.04267 0.6029 0.0002 -1.6161 1.2504 0.7219 -1.0249

-1 Mi = 0.06475

0 0 0 0 0 0 -0.0028 0.0092 0.0007 M-1*(C(c )-C) = -0.0009

0 0 0 0 0 0 0.0152 0 0 0 0 0 0 4.1649 0 0 0 0 0 0 0.0005 0 0 0 0 0 0 0.0004 0 0 0 0 0 0 0.0008 0 0 0 0 0 0 0.0071

Resultados finales w1 =

0.0643

w2 =

3.6255

Valores de constantes calculadas

0.0005 w3 = 0.2008 0.0006 -0.0073 (c©-c)' Mi-1(c©-c)= 0.0156 Función Objetivo Parcial (hoja) Balance del Zn Sumatoria total= 0.0552 Celda Objetivo total

Para calcular la función objetivo se vincula el contenido de la información de función objetivo de cada elemento, de acuerdo a la cantidad de ensayes a considerar. Por ejemplo aquí se tiene los resultados para uno, dos y tres elementos. Cu, Fe y Zn w1 = 0.0643 w2 = 3.62546 w3 = 0.20077 Cu y Zn w1 = 0.06442 w2 = 3.50447 w3 = 0.20104 Cu y Fe w1 = 0.04229 w2 = 1733.2 w3 = 50.6277

0.0552

F.O.

0.0432

F.O.

0.0133

F.O.

Fe w1 = w2 = w3 = Cu w1 = w2 = w3 = Zn w1 = w2 = w3 =

-0.96449 4496.8 0.03107

0.0009

F.O.

0.04455 2103.36 0.26831

0.0017

F.O.

0.06669 1.89648 0.14369

1E-13

F.O.

Valores experimentales y ajustados con Cu, Zn y Fe Valores calculados Flujo 1. Alimento 2. Relave rougher 3. Relave Final 4. Conc. rougher 5. Concentrado final 6. Relave cleaner 7. Conc. scavenger

%Cu 0.170 0.410 0.136 0.923 0.656 1.049 0.480

%Fe 12.374 13.772 12.226 14.538 14.531 14.541 14.172

%Zn 3.89 8.71 0.49 41.11 53.32 35.36 10.84

Valores experimentales %Cu 0.163 0.466 0.140 0.960 0.657 1.020 0.440

%Fe 11.570 14.350 13.090 14.370 14.670 14.660 13.750

%Zn 3.93 8.11 0.49 42.73 52.07 34.64 11.86

COMPROBACION DEL BALANCE - CONSIDERANDO EL MÉTODO COMPUTACIONAL w1 =

0.0643

w2 =

3.6255

w3 =

0.2008

Circuito rougher Conc. Scv Rel. CL. Feed (f) Feed © Rel.Ro Conc Ro Feed ©

Peso 3.63 0.14 1.00 4.76 4.56 0.20 4.76

Ensayes químicos %Cu %Fe %Zn 0.48 14.17 10.84 1.05 14.54 35.36 0.17 12.37 3.89 0.43 13.80 10.08 0.41 13.77 8.71 0.92 14.54 41.11 0.43 13.80 10.08

Contenido Metalico Cu Fe Zn 0.02 0.51 0.39 0.00 0.02 0.05 0.00 0.12 0.04 0.02 0.66 0.48 0.02 0.63 0.40 0.00 0.03 0.08 0.02 0.66 0.48

Circuito scavenger Relave Ro Conc.Scv Relave Scv Relave Ro ©

Peso 4.56 3.63 0.94 4.56

Ensayes químicos %Cu %Fe %Zn 0.410 13.772 8.713 0.480 14.172 10.835 0.136 12.226 0.490 0.410 13.772 8.713

Contenido Metalico Cu Fe Zn 0.02 0.63 0.40 0.02 0.51 0.39 0.00 0.11 0.00 0.02 0.63 0.40

CONSIDERANDO EL MÉTODO DE LAGRANGE w1 =

0.0580

w2 =

1.7147

w3 =

0.1150

Circuito rougher Conc. Scv Rel. CL. Feed (f) Feed © Rel.Ro Conc Ro Feed ©

Peso 1.715 0.057 1.000 2.772 2.657 0.115 2.772

Ensayes químicos %Cu %Fe %Zn 0.36 13.07 11.74 0.98 14.75 34.87 0.14 11.26 3.93 0.29 12.45 9.40 0.59 15.41 8.29 1.04 14.19 42.26 0.61 15.36 9.70

Contenido Metalico Cu Fe Zn 0.006 0.224 0.201 0.001 0.008 0.020 0.001 0.113 0.039 0.008 0.345 0.261 0.016 0.409 0.220 0.001 0.016 0.049 0.017 0.426 0.269

CONCLUSIONES - Para efectuar balances metalúrgicos en plantas concentradoras, es necesario contar con experiencia para realizar un trabajo de garantía. - La cantidad de puntos de muestreo y las ecuaciones deben ser elegidas, en función a las facilidades de toma de muestra y la representatividad de ellas. - Elegir el mejor método que se adecúe al circuito en estudio. - Concluido los cálculos efectuar inmediatamente la interpretación del balance, por secciones y equipos (diagnóstico).