APLICACION DEL METODO GAUSS Nuevo

 

 APLICACIONES  APLICACIONE S DEL METODO GA GAUSS-JORDAN  USS-JORDAN 

EJERCICIO 1.  Una empresa fabrican fabricante te de artícu artículos los elect electróni rónicos cos prod produce uce princ principalme ipalmente nte tres  productos que son: estereos, grabadoras y videograbador videograbadoras, as, la compañía cuenta con tres departamentos y son de producción, ensamble y acabado. Para producir los Productos se establecen en la siguiente tabla:

 Artículo

Producció n

Estéreo

0

Ensambl   Acabad  e o 10 4

Horas disponibles 280

Grabadora

1

16

4

348

Videograb.

5

10

10

680

 ¿Cuál es el número número de horas por artículo? 

 SOLUCION   SOLU CION 

0 1   5

10

4

16

4 

10

10

280

  680  348

Primero vamos a invertir el renglón 1 por el 2 1 0   5

 

÷ 10

1 0   5

16

4

348

10

4 

280

10

10

  680 

16

4

348

10

4 

280

10

10

  680 

x-5

 

El segundo renglón entre 10: 10/10 4/10  280/10

=1 =0.4 =28

El tercer renglón x (- 5 )  5 - 5 = 0 16x - 5 = - 80 + 10 4 x - 5 = - 20 + 10 348 x – 5 = 1,740 – 680

1 0   0

1 0   0

= - 70 = - 10 = 1,060

16

4

1

0.4  

 70

 10

16

4

1

0.4  

 70

 10

348 

  1,060  28

348 

  1,060  28

El primer renglón x ( - 16 ) + 16 – (-16) = 0  28 x (- 16) = - 448 + 348 = -100 0.4 x (- 16) = - 6.4 + 4 = - 2.4

En el tercer rrenglón englón x 70 + 70 + 70 = 0 0.4 x 70 = 28 – 10 = 18  28 x 70 = 1960 – 1,060 = 900

1 0   0

0

  2.4

1

0 .4  

0

18

 100  28  900  

 

1 0   0

  2.4

0 1

0.4  

0

18

 100  28  900  

El tercer renglón ÷ 18, tenemos: 18÷ 18 = 1 900 ÷ 18 = 50

1 0   0

  2.4

0 1

0.4  

0

1 0   0

 100  28  50  

1

  2.4

0 1

 100  28  50  

0.4  

0

1

-2.4 + 2.4 = 0 El primer renglón x 50, tenemos: -2.4 x 50 = - 120 + 100 = 20 0.4 – 0.4 = 0 El segundo renglón por – 50, tenemos: 0.4 x - 50 = - 20 + 28 = 8

1 0   0

1 0  0 

0

0

1

0 

0

1

0

0

1

0 

0

1

20

  50  8

20

  50  8

 

Por último, lograremos tener el RESULTADO:  x = 20  y = 8  z = 50

EJERCICIO 2. Antecedentes:  Anteceden tes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distri dis tribuci bución ón cor corre recta cta de recur recursos sos es un pro proble blema ma cri critic tico. o. Est Estas as situac situacion iones es se  presentan al organizar inventarios de construcción, distribución de productos y  recursos recu rsos en la inge ingenier niería, ía, Aun Aunque que los pr problema oblemass siguie siguientes ntes tie tienen nen que ve verr con la  fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio  panorama de otros problemas. problemas.   Un ingeniero ingeniero industrial supervisa la pr producción oducción de cuatro tipos de computadoras. computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos-.

  En este cuadro se resumen las cantidades necesarias necesarias para cada uno de estos recursos en la producción producción de cada tipo d dee comput computadoras. adoras. Si se dispone diaria diariamente mente de 504 horas, hombre, 1970 kg de metal, 970 Kg de plástico y 601 componentes electrónicos.  ¿Cuántas computadoras computadoras de cada tipo se pued pueden en construir por día?     SOLUCION:  SOLU CION:   La ca canti ntidad dad tot total al pr produ oducid cida a de cad cada a com comput putado adora ra est esta a re restr string ingida ida al tot total al de recursos disponibles en ccada ada ca categoría tegoría diariamente. Estos rrecursos ecursos d disponibles isponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de computadoras.   3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504   Y así sucesivamente con los demás recursos.    20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 1970 10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 970 10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601

 

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultánea de otra manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de computadoras. Si los recursos dispon disponibles ibles repres representados entados por el vector de términ término o independiente de las ecuaci cion onees anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente,, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. simultáneamente En este caso caso la cant cantidad idad tota totall de cada tipo de comp computad utadora ora produ producida cida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los métodos de  gauss.    Aplicando la eliminación eliminación Gaussiana se tiene q que: ue:    X1=10  X2=12  X3=18   X4=15   Es Esta ta in info form rmaci ación ón se usa usa en el cálcu cálculo lo de la lass ga gana nanc ncia iass tota totale les. s. Por ejem ejempl plo, o, suponiendo las ganancias que corresponden a cada computadora están dadas por  P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada ccon on un día de actividad está está dada por:   P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4   Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeicientes del siguiente cuadro.   COMPUTADORA GANANCIA 1 1000  2 700 3 1100 4 400   P P

= =

 

1000(10)+ 44 200

700(12)+

1100(18)+

400(18)

=

  De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con diarios con los recursos especiicados en el problema.

EJERCICIO 3.DISTRIBUCION DE RECURSOS: Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correc cor recta ta de rec recurs ursos os es un pr proble oblema ma crí crític tico. o. Eta Etass sit situac uacion iones es se pr prese esent ntan an al  organiza orga nizarr inv inventa entarios rios de cons construc trucción ción de prod productos uctos y recu recursos rsos en la inge ingenier niería, ía, aunque los problemas siguientes tienen que verpanorama con la fabricación de productos, el  análisis general tiene importancia en un amplio de otros problemas.

 

Ejemplo: Un ingeniero civil supervisa la producción de cuatro tipos de mezclas de concreto  para la elaboración de prefabricados. prefabricados. Se rrequiere equiere cuatro clase clasess de recursos: Horas-Hombre Grava  Arena  Agua

Mezcla 1 2 3 4

 

Mano de obra

Grava

Arena

Agua

8 10 18 50

50 63 100 125

25 38 50 55

25 20 25 38

 

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de 800 Horas-Hombre, 1500 Kg de Grava, 400 Kg de arena y 885 Litros de agua. ¿Cuántas mezclas de cada tipo se  pueden realizar por día?  día?   SOLUCION   SOLU CION  La cantidad total producida de cada mezcla está restringida al total de recursos disponibles en categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de mezcla.

8x1

+

10x2

+

18x3

+

50x4 =