aplicacion de los metodos numericos en mineria

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

CÁLCULO DEL TIEMPO UTILIZADO POR LOS CAMIONES PARA EL TRANSPORTE DE MINERAL ATRAVES DE UNA RAMPA EN ESPIRAL DESDE EL NIVEL MAS BAJO DE UNA MINA SUBTERRANEA HACIA LA PLANTA DE TRITURACIÓN TRITUR ACIÓN HACIENDO USO DE LAS FORMULAS DE NEWTON - COTES López

Herrera, Persi

 O 

Mayhua

Flores, Henrry

 O 

Medina

 O 

 O 

Ulloa,

Fidel

Villanueva Pino, Jheferson

Escuela Profesional de Ingeniería de Minas, Universidad Nacional de Trujillo  Av. Juan Pablo II s/n, La Libertad, Trujillo, Perú

RESUMEN El presente trabajo de investigación tiene por objeto determinar el tiempo empleado por los camiones para trasladar el mineral a través de una rampa que tiene la forma de espiral del nivel más bajo de una mina subterránea hacia la planta de trituración (ubicada en la superficie); teniendo como dato la velocidad promedio de cada camión . Para ello conociendo la función empleada en el diseño de la rampa y valiéndonos de las reglas del cálculo diferencial e integral; así como también utilizando el método de cuadratura numérica (fórmulas de Newton  –  Cotes), encontramos la longitud de toda la trayectoria de la rampa, siendo antes esta seccionada en partes y empleando la fórmula que más nos convenga para minimizar errores. Una vez obtenido la longitud total de la rampa y conociendo la velocidad promedio de cada camión de carga, hacemos uso de las leyes de las leyes de la dinámica de la física clásica para calcular el tiempo empleado por cada camión en su recorrido en la trayectoria de salida. Nos fue posible conocer el tiempo siendo este de gran importancia para minimizar costos y mejorar la productividad de la empresa minera.

5Km/h

1

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

PARÁMETROS Y CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR UNA RAMPA EN ESPIRAL PARA MINIMIZAR EL TIEMPO DE TRASLADO DE MINERAL DE UNA SECCIÓN DE LA MINA HACIA LA PLANTA DE TRITURACIÓN  Al diseñar la construcción de una rampa en espiral para el acceso a una mina subterránea se debe considerar diversos parámetros tales como: la sección, radio de curvatura, longitud total, peralte y declive. Lo más recomendable en su diseño es que las curvas de las rampas deban tener un radio de curvatura grande; estor radios se eligen en razón a los equipos a emplearse. La longitud total de la rampa es otra de las características primordiales en el desarrollo de esta; teniendo en cuenta que atreves de ella circula todo el equipo motorizado y nos sirve como medio de transporte de todo el mineral hacia la planta de trituración. De la longitud de la rampa así como su gradiente depende el menor o mayor tiempo en que los camiones empleen en transportar el material producto del minado; puesto que si se disminuye el tiempo de transporte, entonces aumenta la productividad de la empresa minera. Para ello con el fin de obtener una rampa en espiral que cumpla con todas las condiciones antes mencionadas se emplea en su diseño la siguiente función parametrizada:

f̅  a =100cost ;100sent;10√ t

; Donde

t∈ 1,22

Basándose en estos datos necesitamos conocer el tiempo empleado por l os camiones en recorrer todo el trayecto de la rampa, puesto que como se mencionó anteriormente conocer tal dato es de gran importancia. Se debe de tener en cuenta que durante el recorrido los camiones se trasladan a una velocidad demasiado lenta que en promedio alcanza

5Km/h

SOLUCIÓN:

PA SO Nº1

Teniendo como datos la curva parametrizada

=100 =100 =10√   Aplicamos la integral de línea para encontrar la longitud de la curva, así tenemos:

      = ∫ =  [ + + ] 2

…………………………(1)

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

Donde:

 =−100sin ⃗´  = 100cos10 {  = 2√ 

=100cos ⃗ =100sen = 10√  Luego:

⃗ =(100,100,1010√ ) ⃗ ´  =−100,100, 2√   10   ‖⃗´‖=  −100 +100 + 2√  

Como sabemos;

 10   = ‖⃗´ ‖=  −100 + 100 + 2√  

Utilizando la ecuación (1) nos queda:

 10   ==  −100 + 100 + 2√    ==  100+ + 25   ==  100 + 25   ==  400+ 1 

 ==  400+1  

………………. … …………………2 3

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

PA SO Nº2



Para desarrollar la integral (2) hacemos uso de la integración numérica y en este caso daremos solución a la integral mediante la regla de los  de Simpson.

  .   .   .   +   =    =   +. +  +. +   .   .   .   +.  +⋯+  +. +  +. +  +. Entonces:

. 5 4 00+1  + 5 4 00+1  +   +  =    .  .  .   4 00+1 4 00+1 + 5    +⋯+ 5    +. 5 400+1    Ahora evaluamos para cada caso usando la regla de los





de Simpson

El valor de h es constante ya que los puntos se encuentran espaciados a 0.5 Por lo tanto h = 0.5

.

.    + = 3ℎ  1 +31.5 +32 +2.5  8  ∗.  100.1249+300.2499+300.1874+100.0500

=

=150.1148

4

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

.

 5 4 00+1 = 3ℎ  2.5 +33 +33.5 +4 8 . 

= 3∗0.8 5 100.0500+300.1250+300.1071+100.0312 =150.058 .  3ℎ .  5 400+1 =  8  4+34.5+35+5.5 = 3∗0.8 5 100.0312+300.0833+300.0750+100.0227 =150.0398

.

 5 4 00+1 = 3ℎ  5.5 +36 +36.5 +7 8 . 

= 3∗0.8 5 100.0227+300.0625+300.0577+100.0179 =150.0301 .  3ℎ .  5 400+1 =  8  7 +37.5 +38 +8.5 = 3∗0.8 5 100.0179+300.0500+300.0469+100.0147 =150.0243  3ℎ . . 5 400+1 =  8  8.5+39+39.5+10 = 3∗0.8 5 100.0147+300.0417+300.0395+100.0125 5

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

=150.020

.

.  3ℎ  5 400+1 =  8  10 +310.5 +311 +11.5

.

 3ℎ . 5 400+1 =  8  11.5+312+312.5+13

= 3∗0.8 5 100.0125+300.0.357+300.0341+100.0109 =150.0175

= 3∗0.8 5 100.0109+300.0312+300.0300+100.0096 =150.0153 .  3ℎ .  5 400+1 =  8  13 +313.5 +314 +14.5 = 3∗0.8 5 100.0096+300.0278+300.0268+100.0086 =150.0136  3ℎ . . 5 400+1 =  8  14.5 +315 +315.5 +16 = 3∗0.8 5 100.0086+300.0250+300.0242+100.0078 =150.0123 6

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

.

.  3ℎ  5 400+1 =  8  16 +316.5 +317 +17.5

= 3∗0.8 5 100.0078+300.0227+300.0221+100.0071 =150.0112  3ℎ . . 5 400+1 =  8  17.5 +318 +318.5 +19 = 3∗0.8 5 100.0071+300.0208+300.0203+100.0066 =150.0103 .  3ℎ .  5 400+1 =  8  19 +319.5 +320 +20.5 = 3∗0.8 5 100.0066+300.0192+300.0187+100.0061 =150.0095  3ℎ . . 5 400+1 =  8  20.5 +321 +321.5 +22 = 3∗0.8 5 100.0061+300.0179+300.0174+100.0057 =150.008 7

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

Por lo tanto reemplazando todos los todos los valores calculados:

 .   .   .   4 00+1  5   =   +. +  +. +  +.  +⋯ .   .   .   +  +. +  +. +  +.    +  = 2100.3866 ………………………. 3 PA SO Nº3

Para determinar el tiempo empleado por un camión en transportar el mineral a través de la rampa, utilizamos la ecuación física (4).

=  ………………………4

10 Km/h

Teniendo como dato la velocidad promedio ( ecuación (3), reemplazamos en la expresión (4)

 y la longitud de la rampa en la

1 =0.42ℎ=2512 = 2100.5/ℎ3866  1000 2512

Por lo tanto el tiempo el tiempo empleado por los camiones en recorrer la trayectoria de la rampa es de

8

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

CONCLUSIONES Utilizando las fórmulas de Newton Cotes utilizadas en las diferentes secciones convenidas se logró determinar la longitud total de la rampa que conecta los diferentes subnivel de la mina con la planta de trituración ubicada en la superficie la cual nos dio un valor de . Una vez obtenida la longitud total de la rampa pasamos a obtener el tiempo que tardará un camión en trasladar de forma segura y eficaz su respectiva carga hacia la planta de trituración. La velocidad nos dio un resultado de . Es muy importante determinar la longitud de la rampa ya que a partir de ella se puede realizar el programa de desarrollo y determinar el costo de inversión y aumentar la productividad.

2100.3866 m

25min12s

ANEXOS TABLA Nº1: Valores de las variables (x, y, z) en función del parámetro t t

x

y

z

1

54.03023059

84.1470985

10

1.5

7.073720167

99.7494987

12.2474487

2

-41.6146837

90.9297427

14.1421356

2.5

-80.1143616

59.8472144

15.8113883

3

-98.9992497

14.1120008

17.3205081

3.5

-93.6456687

-35.0783228

18.7082869

4

-65.3643621

-75.6802495

20

4.5

-21.0795799

-97.7530118

21.2132034

5

28.36621855

-95.8924275

22.3606798

5.5

70.86697743

-70.5540326

23.4520788

6

96.01702867

-27.9415498

24.4948974

6.5

97.65876257

21.5119988

25.4950976

7

75.39022543

65.6986599

26.4575131

7.5

34.66353178

93.7999977

27.3861279

8

-14.5500034

98.9358247

28.2842712

8.5

-60.2011903

79.8487113

29.1547595

9

-91.1130262

41.2118485

30

9.5

-99.7172156

-7.51511205

30.82207

10

-83.9071529

-54.4021111

31.6227766

10.5

-47.5536928

-87.969576

32.4037035

11

0.442569799

-99.9990207

33.1662479

11.5

48.33047588

-87.5452175

33.9116499

12

84.38539587

-53.6572918

34.6410162

12.5

99.77982792

-6.63218974

35.3553391

13

90.74467815

42.0167037

36.0555128

13.5

59.49206633

80.3784427

36.7423461

14

13.67372182

99.0607356

37.4165739

9

MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MINERÍA

14.5

-35.4924267

93.4895056

38.0788655

15

-75.9687913

65.028784

38.7298335

15.5

-97.8453463

20.6467482

39.3700394

16

-95.765948

-28.7903317

40

16.5

-70.2397058

-71.1785342

40.620192

17

-27.5163338

-96.1397492

41.2310563

17.5

21.94399632

-97.5626005

41.8330013

18

66.03167082

-75.0987247

42.4264069

18.5

93.95248937

-34.2480618

43.0116263

19

98.87046182

14.987721

43.5889894

19.5

79.58149698

60.553987

44.1588043

20

40.80820618

91.2945251

44.7213595

20.5

-7.95635673

99.6829794

45.2769257

21

-54.772926

83.6655639

45.8257569

21.5

-88.1791728

47.1639003

46.3680925

22

-99.9960826

-0.88513093

46.9041576

IMAGEN Nº1: Modelado de los datos de la tabla Nº1 en AutoCAD.

BIBLIOGRAFÍA [Burd02] Burden - Faires. Análisis numérico. 7va.Ed., Thomson Editores. Capítulo 4. [Chap10] C. Chapra, P. Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 6ta. Ed. McGraw- Hill Editores. Parte 6.

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