Aplicación de Los Métodos Numéricos en La Ingeniería Eléctrica

Aplicación de los métodos numéricos en la ingeniería eléctrica SOLUCION A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, APLICACIÓN EN LA INGENIERIA ELECTRICA. En la ingeniería eléctrica, un problema común es conocer el valor de la corriente en un circuito o el valor de las caídas de voltaje de los elementos del mismo. Para ello se usan distintos tipos de análisis de circuito. Los más conocidos son el análisis de mallas o análisis nodal, estos se desprenden de las leyes de Kirchhoff, Con estas dos técnicas, es posible analizar cualquier circuito lineal mediante la obtención de un conjunto de ecuaciones simultáneas que después sean resueltas para obtener los valores requeridos de corriente o tensión.

En el análisis de circuitos, a menudo uno se encuentra con un conjunto de ecuaciones simultáneas que tienen la forma

donde hay n incógnitas X1, X2, . . ., Xn por resolver. El sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como

Existen varios métodos para resolver la matriz, en este caso se mostrarán el método de Gauss Jordán y regla de Cramer

Ejemplo; Resolución de un circuito mediante análisis nodal Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura a. En el nodo 1, la aplicación de la LCK y de la ley de Ohm produce.

i 1=i 2+i 3 5=

V 1−V 2 V 1 + 4 2

Multiplicando por 4

3 V 1−V 2=20 En el nodo 2 se hace lo mismo

i 2+i 4 =i 1+i 5

V 1−V 2 V +10=5+ 2 4 6

Multiplicando por 12, y haciendo la suma algebraica se obtiene.

−3 V 1 +5 V 2=60 Acomodando las dos ecuaciones en forma matricial

Haciendo uso de los metodos numericos podemos resolver esta matriz por el metodo de Gauss Jordan. Podemos colocar la matriz, como una matriz aumentada.Quedando de la siguiente manera. Resolviendo. Sumamos el primer reglon al segundo.

[

3 −1 20 −3 5 60

]

r 2=r 1 +r 2

[

3 −1 20 0 4 80

]

Multiplicamos por 1/3 el primer reglón.

[

−1 20 3 3 4 80

1 1 r 1=( )r 1 3 0

]

Multiplicamos el segundo reglón por ¼

[

1 1 r 2=( )r 2 4 0

−1 20 3 3 1 20

]

Por ultimo para eliminar el -1/3 del primer reglón, multiplicamos el primer reglón por 1/3 y se lo sumamos al primer reglón.

r 1=

( 31 ) r + r [ 10 2

1

0 13.333 1 20

]

De lo cual obtenemos que el Valor de los voltajes en los nodos son:

V 1=13.333 V y V 2=20 V

Otra manera de resolver la matriz es con la regla de Cramer.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes.

Para obtener el Valor de una incognita, se cambia la columna de la incognita con la matriz columna de resultados.

Por lo que concluimos que estos dos métodos numéricos son mucha utilidad para resolver ecuaciones lineales. Como las que se presentaron en este problema, que es muy común en la práctica del ingeniero eléctrico. Donde el el análisis de circuitos es una herramienta muy efectiva, si se va de la mano con conocimientos de métodos numéricos. ERROR Y EXACTITUD, APLICACIÓN EN LA INGENIERIA ELECTRICA En la ingeniería eléctrica el proceso de medición es muy importante, como menciona la frase “todo lo medido puede ser controlado”, lo mismo se aplica en la ingeniería eléctrica. El proceso de medición generalmente requiere el uso de un instrumento como medio físico para determinar la magnitud de una variable. Los instrumentos constituyen una extensión de las facultades humanas y en muchos casos permiten a las personas determinar el valor de una cantidad desconocida la cual no podría medirse utilizando solamente las facultades sensoriales, por lo cual se hace uso de voltímetros, galvanómetros, multímetros de gancho, e incluso instrumentos más sofisticados como el Megger de Tierras y el osciloscopio. Par lo tanto, un instrumento se puede definir asi: dispositivo para determinar el valor o la magnitud de una cantidad a variable. El trabajo de medicion emplea una serie de terminos, los cuales se definen aqui:

Instrumento: dispositivo para determinar el valor o la magnitud de una cantidad o variable. Exactitud: aproximación con la cual la lectura de un instrumento se acerca al valor real de la variable medida. Precisión: medida de la reproducibilidad de las mediciones; esto es, dado el valor fijo de una variable, la precisión es una medida del grado con el cual las mediciones sucesivas difieren una de otra. Sensibilidad: relación de la señal de salida o respuesta del instrumento respecto al cambio de la entrada o variable medida.

Resolución: cambio más pequeño en el valor medido al cual responde el instrumento. Error: desviación a partir del valor real de la variable medida.

Para ilustrar la diferencia entre exactitud y precisión, se pueden comparar dos voltímetros de la misma marca y modelo. Ambos medidores tienen agujas delgadas, escálalas con espejo para evitar la paralaje, y escalas calibradas exactas, por consiguiente, se pueden leer con la misma precisión. Si el valor de la resistencia en serie en uno de los medidores cambia considerablemente, la lectura puede tener un error elevado. Por to tanto, la exactitud de los dos medidores puede ser muy diferente. (Para determinar cuál medidor esta en error, se deben realizar mediciones de comparación con un medidor patrón.) La precisión se compone de dos características: conformidad y el número de cifras significativas con las cuales se puede realizar la medición. Considérese, por ejemplo, que una resistencia cuyo valor real es 1. 384 572 Ω se mide con un óhmetro, el cual repetidamente indica 1.4 Ω. Pero el observador ¿puede leer el valor real en la escala? Su estimación de la lectura en la escala marca un valor de 1.4 Ω. Esto está tan cercano al valor real como él pueda estimar la lectura de la escala. Aunque no haya desviaciones del valor observado. El error creado por las limitaciones de la escala es un error de precisión. El ejemplo ilustra que Ia conformidad es necesaria pero no es su suficiente en cuanto a precisión por la falta de cifras significativas. De modo semejante. la precisión cx una condición necesaria pero no suficiente para la exactitud. (con frecuencia el principiante se inclina por aceptar el valor de las lecturas en la carátula del instrumento, y desconoce que las exactitudes de las mismas no necesariamente están garantizadas por la precisión. De hecho. una buena técnica de medición requiere un continuo escepticismo respecto a la exactitud de los resultados. En trabajos críticos, una buena práctica dicta que el observador realice un conjunto independiente de mediciones con diferentes instrumentos o técnicas de medición. no sujetos a los mismos errores sistemáticos. También debe asegurarse de que los instrumentos funcionen apropiadamente. que estén calibrados conforme a un patrón. Ejemplo Cuatro observadores efectuaron un conjunto de mediciones independientes de voltaje, que se registraron como 117.02 v, 117.11 v, 117.08 v y 117.08 v. Calcúlese a) el voltaje promedio b)rano del error Solucion Primeramente, lo primero que observamos es que todas las mediciones son cercanas entre si, por lo cual decimos que son precisas.

E 1+ E2+ E3 + E4 117.02+117.11+117.08+117.03 = =117.06 N 4

a)

E promed =

b)

Rango=Emax −E promed=117.11−117.06=0.05V

Pero también

E promed −Emin =117.06−117.02=0.04

El rango de promedio del error equivale a

0.05+ 0.04 =± 0.05 V 2

Cuando se suman dos o más mediciones con diferentes grados de exactitud, el resultado es tan exacto según lo sea la medición menos exacta.

LOS ERRORES EN LAS MEDICIONES ELECTRICAS Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero es importante descubrir cuál es la exactitud real y cómo se generan los diferentes errores en las mediciones. Un estudio de los errores es el primer paso al buscar modos para reducirlos con objeto de establecer la exactitud de los resultados finales.

Los errores pueden provenir de diferentes fuentes y por lo general se clasifican en tres categorías principales:

Errores gruesos: son en gran parte de origen humano. como mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, así como equivocaciones en los cálculos. Errores sistemáticos: se deben a fallas delos instrumentos, como partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo del usuario.

Errores aleatorios: ocurren por causas que no se pueden establecer directamente debido a variaciones aleatorias en los parámetros o en los sistemas de medición.

Análisis de los tipos de errores Errores graves o gruesos Errores cometidos por el ser humano, ocurren cuando hay una mala lectura del instrumento o cuando no se conoce el equipo. Es imposible la eliminación total de este tipo de errores, por lo cual uno se tiene que anticipar a ellos con capacitación acerca del instrumento. Algunos de errores de este tipo son fácilmente identificables. Por ejemplo. un voltímetro bien calibrado puede dar una lectura errónea cuando se conecta a través de dos puntos en un circuito de alta resistencia. El mismo dispositivo conectado en un circuito de baja resistencia puede dar una lectura más confiable. Estos casos indican que el voltímetro adquiere un “efecto de carga" en el circuito, lo cual altera el estado original en el proceso de medición.

Ejemplo Efecto Carga En un voltímetro con sensibilidad de 1,000 Ω/V se lee 100 V en su escala 150-V conectado a través de una resistencia desconocida en serie con un miliamperímetro. Cuando el miliamperímetro indica 5 mA, calcúlese a) el valor de la resistencia aparente desconocida; b) el valor de la resistencia real desconocida: c) el error debido al efecto de carga del voltímetro. Solucion. a) La resistencia total en el circuito

RT =

V T 100 V = =20 k Ω I T 5 mA

Si se desprecia la resistencia del miliamperimetro , el valor de la resistencia desconocida es

R x =20 k Ω

b) La resistencia del voltimetro es de

Rv =1000

Ω ×150 V =150 k Ω V

Debido a que el voltimetro está en paralelo con la resistencia desconocida.

R x=

RT R V 20 ×150 = =23.05 RV −RT 130

c) El porcentaje de error

%Error=

real−aparente 23.05−20 ×100 = ×100 =13.23 real 23.05

En conclusión, el análisis de errores es muy importante en la ingeniería electica para evitar daños ya sea al equipo o al usuario mismo. Por lo cual las mediciones realizadas tienen que ser lo más exactas y precisas posibles y sobre todo tratar de reducir los errores al mínimo.