Aplicación de Límites y Funciones en La Ingenieria de Sistemas

Facultad de Ingeniería de Sistemas Curso

:

Tema en la

:

Matemática I Aplicación de Límites y funciones Ingeniería de Sistemas

Docente

:

Lic. Jorge Luis Vivas García

Alumno

:

William Abel Peralta Torres

Ciclo

:

II

Piura – Perú

2016

FUNCIONES MATEMATICAS QUE SE USAN EN INGENIERIA 1 Los ingenieros durante su preparación y durante su vida profesional utilizan todos o casi todos los métodos de la matemática clásica. Pero el resultado debe ser efectivo: un número o una función, que involucre a las magnitudes relacionadas con el objeto de estudio. La argumentación o la estructura lógica le parecen al ingeniero exentos de importancia, pues él confía en las matemáticas y en que sus leyes y métodos no entrañan contradicciones. Por otra parte, muchos conceptos de funciones matemáticas se han convertido en elementos indispensables de la cultura general y en particular del ingeniero. Incluso en la vida cotidiana, los conocimientos referentes a la velocidad de variación de una magnitud (derivada) o al efecto sumario producido por algún factor son suficientemente útiles. Ellos ensanchan el horizonte intelectual y son aplicables en numerosas situaciones.

En la Ingeniería es frecuente el uso de las funciones la cual requiere la creación de nuevas estructuras matemáticas. La realización de simulaciones acertadas desemboca a veces en una más profunda comprensión de fenómenos físicos y biológicos fundamentales. Esa comprensión luego se contrasta con datos reales, lo cual crea una interacción dinámica entre la matemática y las otras ciencias. La existencia de computadoras poderosas y baratas ha permitido que los matemáticos dispongan de una amplia gama de software. El acceso a esos instrumentos se está generalizando y resulta esencial en la comunidad internacional de todas las ramas de la matemática.

Se

advierte

en

estos

momentos

que

están

emergiendo

nuevas

e

interesantes áreas matemáticas (la biomatemática, computología)

I.

INTRODUCCION

En todas las ingenierías se encuentra presente el cálculo diferencial, cada una de ellas esta relacionada a la solución de problemas y a la innovación. En ingeniera en Sistemas una de las ramas en las que más se utiliza los límites es en la realización de gráficos. El cálculo diferencial e integral se utiliza en todo lo que tenga una gráfica y quieras saber el área o la pendiente de manera que te dé unos resultados que

los

Los

límites

puedas

aplicar

matemáticos,

en

sabemos

un que

problema son

para

en

particular.

"predecir"

el

comportamiento de una función matemática cuando tiende a un número o al infinito.

II. FUNCIONES POLINOMICAS El álgebra es básica para la solución de cualquier problema, y la utilizas a lo largo de toda la carrera, como: II.1. Algebra de polinomios II.2. Productos notables y factorización II.3. Solución de ecuaciones polinomiales III. FUNCION DE SISTEMAS DE ECUACIÓN Son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos). Ejemplo: 4.5x3 − x. III.1. III.2. III.3.

Función constante: f(x)= a Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado. Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del

segundo grado. Ejemplo: 3x2 − 5x + 1 III.4. Función racional: Son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula.

IV.

FUNCIONES TRASCENDENTALES

Cualquier función que no se puede expresar como una solución de una ecuación polinómica se le llama función trascendental. IV.1.

Función exponencial

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

IV.2.

Función logarítmica

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

IV.3.

Funciones trigonométricas

La trigonometría es indispensable para los que quieran estudiar las carreras de ingeniería civil, mecánica y electrónica. Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente; Arcoseno, Arcocoseno, Arcotangente.

IV.4.

Funciones

hiperbólicas:

seno

hiperbólico,

coseno

hiperbólico, tangente hiperbólica. Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares.

V.

Limites V.1.

Definición de Limites

En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que una sucesión o una función tiene un límite si progresivamente alcanza un número, que se llama el límite

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

V.2.

Teoremas de Límites

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8.

9.

10. 11.

(al igual que su recíproca)

12.

(al igual que su recíproca)

13.

(al igual que su recíproca)

14.

f(x) acotada y g(x) infinitésimo

15. 16.Asíntotas Verticales: Puntos donde la imagen de la función tiende a infinito Horizontales: Oblicuas: y = mx + n

V.3.

Uso de los Límites

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas. V.4.

Teoremas de Continuidad Si las funciones f y g sobre

los

intervalos

respectivamente

y

si

entonces: a. es

continua

sobre

el

intervalo U b. es continua sobre U c. es

continua

sobre

(Producto de dos funciones) d.

U

es

continua

excepto

sobre

U,

para

Teorema b La función f definida por real,

es

(Recuerde

continua

, donde para

todo

es un polinomio número

real.

que para

)

Según el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:

Ejemplos 1.

La función

definida por

es continua para todo

, ya que el polinomio en el denominador se hace cero cuando se evalúa en

,

o

2.

La función que

y

definida por

es continua para

tal

Teorema d Sean

y

Además

dos

y

funciones

g

es

tales

continua

en

que

d.

Entonces

Ejemplo: Sean

y dos funciones tales que:

, Como

y g es continua para

pues

, entonces

Teorema e Si

es una función continua en

y

es una función continua en

, entonces la composición de funciones

es continua en .

Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito de funciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.

Ejemplo 1. Sean

y

dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones ,

Note que

.

es una función polinomial y por lo tanto continua para todo

. La función f es continua para

Luego la función

será continua

para los valores de x tales que Como

sea mayor o igual que cero.

y

, entonces la función h

será continua para todo valor real. 2. Consideremos las funciones definidas por , La función

. es continua para

, y la función

es continua

para todo valor real por ser función polinomial. Luego la función

siempre 3.

, dada por

, es decir, siempre que

sea continua

.

La función h definida por

es continua siempre que

sea mayor que cero. Esta última condición se satisface cuando

Teorema f La función seno definida por dominio, o sea. sobre todo

es continua sobre todo su

.

Ejemplo

La función f definida por

es continua siempre que x sea

diferente de cero, pues en

se tiene que

no está definida.

Teorema g La función coseno denotada por dominio

es continua sobre todo su .

Ejemplo La función

puede considerarse como la composición de las

funciones con ecuaciones continua para

,

. Como la función f es

y la función g es continua para todo x en

función h es continua siempre que sucede cuando: ,

,

par.

, entonces la

sea mayor o igual a cero, lo que

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos. Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces tal que f(c) = 0 Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a) < k < f(b) entonces tal que f(c) = k

VI. Aplicaciones de límites en la ingeniería de sistemas VI.1. OBJETIVOS: VI.2. General: Demostrar la aplicación de límites matemáticos en la ingeniería de sistemas a través de los conocimientos adquiridos en clase y consultas precias en la web para la futura aplicación en la carrera. VI.3.

Específicos:

Estimar desempeño máximo de procesadores cuando reciben N cantidad de datos. VI.4.

Límite:

El límite es la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito y para comprenderlo mejor se dice que tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En la imagen se aprecia que la función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si se puede aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se aproxima indefinidamente a, siendo distinto de a.

lim f ( x )=1 x→x0

Sabemos que los límites son para "predecir" el comportamiento de una función cuando tiende a un número o al infinito. Durante esta presentación vamos a tratar de dar a entender 2 de las posibles aplicaciones de límites en la ing. de sistemas. 1) Calcular la ganancia de velocidad global del sistema al mejorar o aumentar el rendimiento de una parte del computador. 2)Usando la definición para encontrar el número de bits de direcciones que puede gestionar un microprocesador y diseñar una memoria que cumpla con características previamente planteadas.

VII.

Ganancia de velocidad

Para calcular el aumento de rendimiento que puede obtenerse al mejorar alguna parte de un computador se utiliza la Ley de Amdahl: La mejora obtenida en el rendimiento global de un computador al utilizar algún modo de ejecución más rápido está limitada por la fracción de tiempo que se puede utilizar ese modo más rápido. La ganancia de velocidad global de un sistema se define por el siguiente cociente:

ejecucion con tiempo¿ sin ⁡mejora (Tsin) gv global= tiempo ¿ de ¿ mejora(Tcon )

Si llamamos fm a la (fracción de tiempo que puede utilizarse el modo de ejecución con mejora), y gv mejora la ganancia de velocidad propia del elemento o modo mejorado, la ganancia de velocidad global del sistema vendrá dada por la siguiente expresión:

gv global=

VIII.

Tsin 1 = Tcon ❑

Conexiones del micro procesador diseño de memorias: El espacio de direccionamiento lógico identifica la máxima capacidad de memoria con la que puede trabajar un micro procesador(CM) Cada chip de memoria tiene asignado un rango de direcciones lógicas. Dicho rango es igual a la capacidad del chip de memoria expresada en bytes. Cualquier dirección lógica (DL) que esté incluida en dicho rango provocara el acceso a un chip del conjunto. Mientras que los restantes chips están inactivos.

$0000

Bus de datos (BD): determina el Tamaño de la palabra.

$DFFF CHIP 1 ROM $1000 $102A

CHIP 2 RAM

$2FFF

64 K

Bus de direcciones (AB): determina las conexiones del microprocesador

2 AD=direcciones físicas ESPACIO DE MEMORIA LIBRE IX. Conclusiones: Tras el estudio de las nombradas funciones

lim 2

n =direcciones físicas

x→ n

n= tamaño en bits de AB

matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química. El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria. *Al finalizar la presentación podemos concluir que el límite nos ayuda a predecir cuál será el porcentaje de aumento de un sistema si se mejora el rendimiento de uno de sus componentes.

* Se pudo concluir que los limites nos ayudan a encontrar el máximo de direcciones que puede gestionar un microprocesador para el diseño de memorias. Recomendaciones

Para poder resolver los problemas es necesario saber aplicar límites y resolver los mismos, los ejercicios se vuelven menos complejos con la práctica por lo cual se recomienda realizar varios ejercicios de límites.