Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales Parte III-MEZCLAS

1.1.

MEZCLAS

La disolución está dada por la mezcla de dos sustancias un soluto más un solvente, donde se da una separación de partículas de un cuerpo sólido por medio de un líquido, en este caso el soluto viene ser un líquido (alcohol, otros), sólido o gas y el solvente un líquido (agua).



ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD TIENE LA SIGUIENTE FORMA:

Tasa de acumulación = Tasa de entrada – Tasa de salida

 =  ó   =    =  ó ó     =    =       =   >0  

= 0

 

: :    :  

 

: :    -:     

EJERCICIOS PROPUESTOS DESAROLLADOS 1. Un tanque contiene 500 galones de salmuera. Al tanque fluye salmuera que contiene 2 libras de sal por galón, a razón de 5 galones por minuto y la mezcla bien homogenizada, sale a razón de 10 galones por minuto. Si la cantidad máxima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minutos. ¿Cuál era la cantidad de sal inicial en el tanque?

 = 5  =2 /ó  =     = 500 /  =10/ 

 = 5  = 2 /ó :  =500510  = 10  =/500510)

dx = taza de acumulacion = taza de entrada del soluto  taza de salida del soluto dt  =        =     = 500510      500510 =    10   500510 = 10   2  = 10  10012

  2  = 10  100 tomara forma de ecuacione diferenciales de primer orden    =         = ∫ entonces como se esta trabajando en funcion de la variable t y x   = ∫   ∫ −   =   ∫ − −   =  −   = − −   = −−   = −   = 100  − multiplicamos el factor de integracion por nuetsra EDPO    =     = ∫   2  = 10  100   = 100  −  =10100− 100−  2100− 100 100− =10100− 100− =10100−

−   100 − 100 =10 

1

100−=10100−   10 100−    = 100 − 100− =10100  100 remplasando para x libras de soluto en un t = 20min =10100  100 =1010020  10020 =1080  80 =80080 ahora para hallar la cantidad consentrada x,con valor inicial t = 0  = 5  = 5      0 = 2 /ó  =2 /ó  =     = 500 /  =10/ 

:  =500510  = 10  =/500510)

  = 500510   = 500 del depocito inicial tenemos que la concentracion C   = 500  = 500 500  =     0 la concentracion lo igualamos o al 100% o lo igualamos a la unidad entonces para cantidad en % se trabaja con respecto al 100% y cuando se trabaja con cantidad en unidades de masa se trabaja co respecto a 1  20  = 800  80  =       =50051020  =500100    800 80  =   500100 = 1 80080 =400 =400/6400 =1/16   ℎ            =0

=80080

=800 161 80 =400 Ejemplo 1. - 50 Un tanque inicialmente contiene 50 galones de agua pura. Al inicio,

en el tiempo t=0, una salmuera que contiene 2 lb de sal disuelta por galón fluye al tanque a una tasa de 3 gal/min. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación

y la mezcla simultáneamente fluye fuera del tanque a la misma tasa. 1. ¿Qué cantidad de sal contendrá el tanque en el tiempo t > 0? 2. ¿Qué cantidad de sal contendrá el tanque después de 25 min? 3. ¿Qué cantidad de sal contendrá el tanque después de un tiempo muy largo? solución

Supongamos que x(t) denota la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t. Utilizando la ecuación básica

 =  La salmuera fluye a una tasa de 3 gal/min, y cada galón contiene 2 lb de sal. Así,    = 2  /  3  /  = 6  /  Puesto que la tasa del flujo de salida iguala a la tasa de entrada, el tanque contiene 50 galones de la mezcla en cualquier tiempo t. Estos 50 galones contienen x(t) libras de sal en el tiempo t, y así la concentración de sal en el tiempo t es 50 x(t)

lb/gal. Así, puesto que la mezcla fluye hacia fuera del tanque a una tasa de 3 gal/min, tenemos

3 / =( /)3 / = 50 50





Así, la ecuación diferencial para  como una función de es

 = 6  3  50 Puesto que inicialmente el tanque no contiene sal, entonces se tiene la siguiente condición inicial x (0) = 0 La ecuación es lineal y separable. Separando variables, tenemos

 = 3  100 50 Integrando y simplificando, obtenemos

 =100 − 

Aplicando la condición inicial x (0) =0, encontramos que c = 100. Así, tenemos

 =  ( − )………∗1 Esta es la respuesta a la pregunta 1. Para la pregunta 2, después de transcurrir 25 min, tenemos t = 25, y la ecuación da.

25 = 100 1−. ≈ 78  La pregunta 3 esencialmente pide determinar la cantidad de sal a medida de que t

→ ∞. Para responder a la pregunta hacemos t → ∞ en la ecuación (*1) y observamos que x → 100. Ejemplo 3. Un tanque inicialmente contiene 50 gal de salmuera en la que se tiene disuelto 10 lb de sal. Una salmuera que contiene 2 lb de sal por galón fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación y la mezcla simultáneamente fluye fuera del tanque a una tasa más lenta de 3 gal/min. ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque en el tiempo t > 0?

Supongamos que x denota la cantidad de sal presente en el tanque en el tiempo t. Aplicamos la ecuación básica

 =  La salmuera fluye a una tasa de 5 gal/min, y cada galón contiene 2 lb de sal. Así,   = 2/ 5 /  = 10 /  La salmuera fluye a una tasa de 3 gal/min, y cada galón contiene C lb de sal. Así  =  / 3 /  donde C lb/ gal denota la concentración. Sin embargo, puesto que la tasa de salida es diferente a la tasa de entrada, la concentración no es tan simple. En el tiempo t = 0, el tanque contiene 50 gal de salmuera. Ya que la salmuera fluye a una tasa de 5 gal/ min pero sale a una tasa más lenta de 3gal/ min, hay una ganancia neta de 5



3 = 2 gal/ min de salmuera en el tanque. Así, a los t minutos la cantidad de salmuera en el tanque es

50  2  De aquí que la concentración C en el tiempo t minutos es

Y así

 /  SALE = 502

Por lo tanto, la ecuación diferencial es

 =10 3  502 Puesto que inicialmente el tanque contiene 10 lb de sal, tenemos la condición inicial

0 = 10 Solución. La ecuación diferencial (3.28) no es separable pero es lineal. Escribiéndola en la forma estándar,

  3 = 10  502 encontramos el factor integrante

 ∫ +  . = 

   = 250 

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante, tenemos

3 250 = 10250 250    502  [250.]=10250     250 .  = 2250   o

 = 425 

  250

Aplicando la condición inicial, encontramos

10 = 100    50 o

=9050 =22,500√ 2 Así, la cantidad de sal en cualquier tiempo t > 0 está dada por

 = 425  22,500√ 2 250