Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales en La Ingenieria Mecanica

Universidad Rafael Landívar  Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales Ing. William Mejía

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA MECÁNICA

Xavier Portocarrero arn! "#"$%"& 'uatemala "# de noviem(re de $#")

Aplicación de las E.D.  *corde a lo +lanteado +or el Ingeniero Mec,nico Industrial -ose Feli+e astillo L+e/0 las ecuaciones diferenciales se a+lican en una gran cantidad de maneras en la ingeniería. Enfocadas al ,rea de ingeniería mec,nica0 algunas a+licaciones 1ue se les da a las ecuaciones diferenciales son2  *n,lisis de cuer+os en e1uili(rio  *n,lisis de cuer+os en movimiento uniforme 3 acelerado M*4 5Movimiento *rmnico 4ím+le6 Resonancia 4istemas mec,nicos 5masa7resorte0 cadena7carga0 etc.6  *n,lisis de estructuras Lu(ricacin Mec,nica de fluidos Dise8o de m,1uinas En la ma3oría de estos temas0 las ecuaciones diferenciales se utili/an generalmente +ara determinar velocidades0 aceleraciones0 momentos0 esfuer/os0 deformaciones0 etc. • • • • • • • • •

En su e9+eriencia +ersonal0 el Ing. astillo considera 1ue el ,rea en el 1ue m,s se a+lican las ecuaciones diferenciales es en la mec,nica de fluidos 3 en el Dise8o de m,1uinas 5siendo !ste :ltimo el tema en 1ue m,s ;a em+leado dic;as ecuaciones60 3a 1ue la ma3oría de las ,reas en 1ue a+lican dic;as ecuaciones 5si no es 1ue todas6 est,n contenidas en este. *l momento de dise8ar una m,1uina0 ;a3 1ue tomar en cuenta no solo su com+ortamiento< sino tam(i!n los materiales de los cuales est, ;ec;a0 las características del lugar en 1ue se encontrar, u(icada dic;a m,1uina0 las fuer/as 1ue act:an en cada +arte de la m,1uina 3 su efecto so(re ella. a(e mencionar 1ue la ma3or a+licacin 1ue se le da a las ecuaciones diferenciales en el ,rea de ingeniería es en las le3es de ne=ton< 3a 1ue cada una +uede deducirse a trav!s de las ecuaciones diferenciales. Ejemplo (Mecánica de Fluidos)

4ea un reci+iente cilíndrico +arcialmente lleno de agua 3 a(ierto a la atmsfera. Dic;o reci+iente gira a una velocidad angular de "# rad>s 3 est, montado en un ascensor. En condiciones de re+oso0 la altura del nivel del lí1uido es de &# cm. ?uedando un es+acio li(re entre el nivel del lí1uido 3 la su+erficie del vaso de "# cm0 el radio del cilindro es de @ cm. 4a(iendo 1ue cuando el ascensor se +one en marc;a0 tanto en sentido ascendente como descendente0 la aceleracin del mismo es de " m>s $ 3 su deceleracin +ara cual1uier sentido de la marc;a es de #0% m>s $.

Determine la ecuación que rige la posición del nivel del líquido en función del  radio.

4ALUIBC Ecuacion a utili/ar2 1

2

dP = ρr ω dr − ρ aθ dθ− ρg r

( ) 1+

a z g

dz

Puesto 1ue no ;a3 aceleracin angular la ecuacin +asa a ser de la siguiente forma2 2

dP = ρr ω dr − ρg

( ) 1+

a z g

dz

De(ido a 1ue las su+erficies son de +resin constante la ecuacin 1uedaría así2 0 = ρr ω

2

( ) ( ) ( ) ∫ ( )

dr − ρg

2

 ρr ω dr = ρg

2

r ω dr = g r

∫r ω 0

1+

1+

a z g

1+

a z

dr = g  z0

g

dz

dz

g

dz

 z

2

a z

1+

a z g

dz

/# es la altura del lí1uido cuando r#

2

2

r ω 2

| ( )| r

=g

1+

2

2

2

=g

 z

g

0

r ω

 z

a z

 z0

( )( 1+

a z

 z − z0 )

g

Des+ejando +ara /0 la ecuacin resultante es2 2

2

r ω  z = + z 0 2 ( g + a z )

Para determinar /# se igualan los vol:menes del lí1uido en re+oso 3 en movimiento2  R

π R  z inicial=∫ 2 πrzdr 2

0

(

 R

2

)

2

r ω π R  z inicial=∫ 2 πr + z 0 dr + g a 2 (  z ) 0 2

 R

3

2

πr ω π R  z inicial =∫ + 2 πr z0 dr g a + 0 (  z ) 2

4

2

4

2

|

 R

πr ω 2 π R  z inicial= + π r  z 0 4 ( g + a z ) 0 2

πR ω 2 π R  z inicial= + π R  z 0 4 ( g + a z ) 2

2

2

R ω  z inicial= + z 0 4 ( g + a z ) 2

2

R ω  z 0= z inicial− 4 ( g + a z )

La ecuacin de la +osicin del nivel del lí1uido en funcin del radio es2 2

2

2

2

r ω R ω  z = z inicial+ − 2 ( g + a z ) 4 ( g + a z )

Donde2 •

•

ω =10 g= 9.8

rad s

2

m 2

s

•

•

z inicial=30 cm R=radio del cilindro ( 6 cm )

El valor de a z  de+ende de si el elevador asciende o desciende 3 de si acelera o desacelera< +or lo 1ue dic;o valor estaría dado de la siguiente forma2 4entido ascendente •

 m

o

o

•

 *celeracin a z=1 s Desaceleracin

2

a z=−0.7

 m s

2

4entido descendente o

o

 *celeracin

a z= 0.7

Desaceleracin

m 2

s

a z=−1

m 2

s

Conclsiones Las ecuaciones diferenciales tienen un sinfín de a+licaciones en todos los cam+os< es+ecialmente en la Ingeniería. Las ecuaciones diferenciales +ermiten modelar0 descri(ir 3 +redecir el com+ortamiento de cual1uier cuer+o 3>o fenmeno< inde+endientemente del estado 3 am(iente en 1ue se encuentren. La ma3oría de le3es 3 ecuaciones físicas 3 mec,nicas se deducen a trav!s de ecuaciones diferenciales.

!i"lio#$a%&a Ing. -ose Feli+e astillo astillo. Licenciado en Ingeniería Mec,nica Industrial Magister en Cegocios 3 *dministracin 5M*6 ergad,0 -. 5$##@6 Mec,nica de fluidos. Universidad Polit!cnica de atalu8a Ediciones UP2 'ranada.