Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales a Los Circuitos Electricos
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Problemas de Circuitos Eléctricos
El caso donde una resistencia, condensador, e inductor fueran conectados en serie con una batería o generador . Considere el circuito del diagrama. Cuando el interruptor K está cerrado, fluye una corriente instantánea. Si Q es la carga instantánea en el condensador C , entonces por la ley de Kirchhoff ,
L •
dI dt
RI
Q C
E (t )
Donde E(t), la fem, puede depender del tiempo, pero donde L, R, C son constantes. Puesto que I=dQ/dt se convierte en: 2
L
d Q 2
dt
R
dQ dt
Q C
E (t )
La comparación con la ecuación general de las vibraciones forzadas, muestra la analogía entre cantidades mecánicas y eléctricas. Analogía entre los Sistemas Mecánicos y Eléctricos Masa Constante de amortiguamiento Constante de resorte Fuerza impresa Desplazamiento Velocidad (v)
m a k F(t) x dx/dt
Inductancia Resistencia Recíproca de la Capacitancia Voltaje impreso o fem Carga Corriente (I)
L R 1/C E(t) Q dq/dt
Debido a la marcada analogía entre las cantidades mecánicas y eléctricas, la cual se cumple aún en casos más complicados, muchos de los enunciados hechos para sistemas mecánicos se aplican a sistemas eléctricos y viceversa. •
•
En efecto, la analogía es a menudo usada en la industria para estudiar sistemas mecánicos los cuales pueden ser muy complicados o costosos de construir, o cuando las consecuencias pueden ser muy peligrosas.
En particular, el fenómeno de resonancia ocurre en sistemas eléctricos. Sin embargo, contrario a los efectos peligrosos que pueden resultar en resonancia mecánica, los efectos de resonancia eléctrica son principalmente muy útiles. Los campos de radio, televisión, radar y comunicaciones serían virtualmente imposibles si no fuese por la resonancia eléctrica. Es debido a la resonancia eléctrica que sintonizamos nuestro radio a la frecuencia de la estación de radio transmisor para conseguir la recepción. •
EJEMPLO Un inductor de 0,5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios, un condensador de 0,02 faradios, un generador con un voltaje alterno dado por 24 sen 10t, t 0, y un interruptor K (Figura).
Establezca una ecuación diferencial para la carga instantánea en el condensador. Encuentre la carga y la corriente al tiempo t si la carga en el condensador es cero cuando el interruptor K se cierra en t = 0. Formulación matemática . La caída de voltaje a través de la resistencia es 6I.
La caída de voltaje a través del inductor es 0.5 dI/dt. La caída de voltaje a través del condensador es Q/0.02 = 50Q.
Por tanto, por la ley de Kirchhoff:
6 I 0.5
dI
dt
50Q 24sen10t
o puesto que I = dQ/dt 2
0.5
d Q 2
dt
6
2
d Q 2
dt
12
dQ dt
dQ dt
50 Q 24 sen10 t
100 Q 48 sen10 t
Las condiciones son Q = 0 e I = dQ/dt = 0 en t = 0 . Solución. La solución complementaria es .
e
6 t
( A cos 8t Bsen8t )
Asumiendo la solución particular A sen 10t + B cos 10t , encontramos. A 0 B 2 5
Por tanto, la solución general es:
Q
e
6 t
( A cos 8t Bsen 8t )
2 5
cos10 t
De las condiciones iniciales encontramos. A
2 5
B
3 10
Donde, la solución requerida es:
Q
1 10
e
6 t
( 4 cos 8t 3sen8t )
2 5
cos10 t
La corriente está definida por:
I 5e
6 t
sen8t 4sen10t
Gráfica de la Carga
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