Aplicación de las derivadas

 TRABAJO  TRABAJO PRÁCTICO PRÁCTICO N°2:

 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS DERIVADAS A  ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA: COSTO TOTAL, TOTAL, COSTO PROMEDIO Y COSTO MARGINAL

ANÁLISIS MATEMÁ MATEMÁTICO TICO 2° Cs. ECONÓMICAS AÑO: 2012 CONTENIDO: 1- Intro!""#$n: Intro!""#$n: Costo Tot%&' Tot%&' Costo Pro()#o Pro()#o * Costo M%r+#n%&. 2- D)s%rro& D)s%rro&&% &% &os ),)(&os ),)(&os A' B * C - S# &% /$r(!&% /$r(!&% +)n)r%& %r% &% /!n"#$n Costo Tot%& )s 3

2

CT = a x + b x + cx + d

' ot)n)r &% )"!%"#$n "orr)son#)nt) "orr)son#)nt) %: %. !n"#$n !n"#$n Costo M%r+#n%& M%r+#n%& . !n"#$n !n"#$n Costo Costo Pro( Pro()#o )#o - E&%st#"#% ) &% )(%n% )(%n% * )&%st#"#% )&%st#"#% "r!3%%. E,)(&os 4+. 4+. 25 * 256 7- In+r)so tot%&' #n+r)so #n+r)so (%r+#n%&. E,)(&o 4+. 02 8- In+r)so In+r)so or "on") "on")to to ) #(!)st #(!)sto. o. 1- INTROD9CCIÓ INTROD9CCIÓN: N: COSTO TOTAL' TOTAL' COSTO PROMEDIO PROMEDIO  COSTO MAR;INAL. MAR;INAL. 1

S# )& "osto tot%&  y  )  ) ro!"#r * "o()r"#%%r x  !n#%)s  !n#%)s ) !n %rt so&%()nt)' )nton")s &% /!n"#$n )& "osto tot%& s) !))  x ) . r)r)s)nt%r ()#%nt) &% )>r)s#$n  y = f  ( ( x !n"#on)s !n"#on)s ) #/)r)nt)s t#os s) !t#%n %r% r)r)s)nt%r r)r)s)nt%r r)&%"#on)s ) "osto tot%&? or &o "o(@n' &%s /!n"#on)s ) "osto t#)n)n &%s s#+!#)nt)s ro#)%)s: 1- C!%no )& n@()ro ) !n#%)s ro!"#%s )s #+!%& % ")ro' )& "osto tot%& )s n!&o o os#t#o. Es )"#r' f  ( ( 0 ) ≥ 0.  S# f  ( ( 0 )> 0 ' )nton")s f  ( ( 0 )  r)r)s)nt% )& "osto ,o o &os "ostos ,os ) ro!""#$n. ro!""#$n. 2- E& "osto "osto tot%& s) #n"r)( #n"r)()nt% )nt% % ()#% ()#% =!) %!()nt %!()nt% % >' %s< =!)

' 

f  ( x )  )s

s#)(r) os#t#%. - E& "osto tot%& tot%& ) ro!"#r ro!"#r !n% "%nt#% )n )>tr)(o )>tr)(o +r%n) ) "!%&=!#)r "!%&=!#)r %rt- )s "$n"%% G%"#% %rr#%' )s )"#r' f  ( x )> 0 ? s#n

)(%r+o' )n &os n#)&)s #n#"#%&)s ) ro!""#$n &% "!r% )& "osto tot%& s!)&) s)r "$n"%% G%"#% %%,o' &o =!) "orr)son) "orr)son) % !n "osto (%r+#n%& )"r)"#)nt). )"r)"#)nt). S# &% /!n"#$n ) "osto tot%& s) r)r)s)nt% or  y = f  ( ( x  x ) Enton")s )& "osto ro()#o "osto ()#o o or !n#% )s  ( x )  y f  (  y´ =  =  x

 x

  )& "osto (%r+#n%& (%r+#n%& )s dy =f '  ( x  x ) dx

L% r#()r% )r#%% )& "osto ro()#o ro()#o "osto (%r+#n%& (%r+#n%& ()#o ()#o )s '   ( x ) d ´  y  x f  ( x )− f  (  = 2 dx

 x

H0

'   x ) =0 s# * s$&o s#  x f  ( x )− f  ( ( x '  Esto )s' f  ( ( x )= x f  ( x ) '

f  ( ( x ) = f ' ( x )  x

As< !)s' )& "osto ro()#o )s ( s)+@n )& "!%& #"Go "osto ()#o * )& "osto (%r+#n%& son #+!%&)s? )s )"#r' &%s "!r%s )& "osto (%r+# (%r+#n%& n%& * "osto ro()#o ro()#o s) "ort%n )n )& !nto ( 0, b ≥ 0, c ≥ 0

Costo Tot%&:

Costo Pro()#o:

Costo M%r+#n%&:

 y  y =  =ax + b +( c / x )  x dy =2 ax + b dx

Costo M%r+#n%& ()#o:

dy c =a− 2 dx  x

E& "osto tot%& s) r)r)s)nt% or &% %rt) ) !n% %r4o&% "orr)son#)nt) %& r#()r "!%r%nt)' )& "osto ro()#o s) r)r)s)nt% % s! )3 or &% r%(% ) !n% G#ro&% s#t!%% )n )& r#()r "!%r%nt)' * )& "osto (%r+#n%&' or !n% &#(os o (#st) !n !nto (4>#(o r)&%t#o )n  x= -b!a, )ro s# !n !nto ) 2 ≤ 0' )nton")s b − 3 ac #n)>#$n )n #"Go %&or )  x" Por "ons#+!#)nt)' s# 3

2

 y = a x + b x + cx + d  no t#)n) (4>#(o o (#(o o (#(%"#$n % &% )&%st#"#% ) &% )(%n% * t%(#n &% )&%st#"#% )>%"t% ) &% )(%n% )n )& !nto =!) "orr)son) % &% "%nt#% * %& r)"#o (o#"%o? %)(4s' )%&!%r &% )&%st#"#%-%r"o %s4nos) )n &% "%nt#% * )& r)"#o ro()#o. *P  r   )  "  #    o

> C%nt#% A& )s),%r > )n &% )"!%"#$n ) )(%n%'  y =

2

√

 y =

 20− x

1 2

2

( 20− x )

 x =20 −2 y

2

11

 y 1=2

 y 1=2 + ( 0.06 ) ( 2 )=1.88

 x 1=12

 x 1=20−2 ( 1.88) =12.93

∆ y =−0.12 ∆ x =0.93

2

>

 "   % n t  #       %   

* Pr)"#o

L% )&%st#"#%-%r"o ) &% )(%n% )n  =5, 1 H12' )s  Ey  x 1 ∆ y = ∙  Ex  y 1 ∆ x

¿

2 12

(  ) −0.93 0.12

¿−1.29 L!)+o &% %ro>#(%"#$n % &% )&%st#"#% r)"#o ) &% )(%n%' )n

 y 1=2, x1 + 12

)s

-3"56"

12

 Ex

L% )&%st#"#%-!nto ) &% )(%n% )n  y 1=2, x1 =12 )s

 Ex  y dx = ∙  Ey  x dy

¿

¿

y 20 −2  y

2  y

2

(−4  y )

2

2

 y −10

 Ex −8 = =−1.33 (Y =2 )  Ey 6

=!) )s )& %&or )>%"to ) &% )&%st#"#%-r)"#o ) &% )(%n% )n

 y 1=2, x1 =12 ¿

L% )&%st#"#%-%r"o ) &% )(%n% )n  y 2=1.88,  x2= 12.93  )s

 Ex  y 2  ∆ x = ∙  Ey  x 2 ∆ y

¿

  1.88 12.93

(  ) −0.93 0.12

1

¿−1.13 =!) )s &% %ro>#(%"#$n % &% )&%st#"#% r)"#o ) &% )(%n% )n

 y 2=1.88,  x2= 12.93

 L% )&%st#"#%-!nto ) &% )(%n% )n  y 2=1.88,  x2= 12.93  )s

2

 Ex 2 y  = 2  Ey  y −10  Ex =−1.09 (Y =1.88 )  Ey

=!) )s )& %&or )>%"to ) &% )&%st#"#% r)"#o ) &% )(%n% )n )& n!)o !nto. L% )&%st#"#% %r"o %s%% )n &% "%nt#% * )& r)"#o ro()#o )s  Ex  y 1+ y 2  x 2− x 1   3.88 −0.93 = ∙ =  Ey  x 1+ x 2  y 2− y 1 24.93 0.12

(  )

¿−1.21

EJEMPLO 4+. 256: 9n% /!n"#$n ) )(%n% )st4 %% ()#%nt) &% )>r)s#$n  x =

25

 y

4

%r% 1  Y  7

D)t)r(#n%r &% )&%st#"#% ) &% )(%n%. Cons#)r) )& !nto

 y =2, x =

r)"#o s) #n"r)()nt% )n 7' )t)r(#n) &% )&%st#"#%-%r"o )n )& !nto

25 16

? s# )&

 y =2, x =

25 16

'

* )n )& !nto =!) r)r)s)nt% &% "%nt#% * )& r)"#o (o#"%o.

1

 C   % n t  #       %   

Pr)"#o

P  r   )  "  #    o

C%nt#%

D)s),%no Y )n &% )"!%"#$n ) )(%n%'  x =

 y =

25

 y

4

25

1/ 4

 x

U)r +. 2.K0

17

Osr)s) =!) s# 1  Y  7' )nton")s

1 25

≤ x ≤ 25



dx −100 = 5 dy  y  Ex  y dx = ∙  Ey  x dy

¿

( ) −100

y 25

 y

 y

5

4

¿− 4 Co(o !o )t)r(#n%rs) %&#"%no )& r)s!&t%o ot)n#o )n )& "%so +)n)r%& s)V%&%o %nt)s. )r + 2.K1  y 1=2  x 1=1.56

 y 2=2 + ( 0.05 ) ( 2 )=2.1  x 2=

P%r% )& !nto  y 1=2 '

(

25

( 2.1 )4

=1.29

 x 1=1.56

2 −0.27  Ex  y 1  ∆ x = ∙ =  Ey  x 1 ∆ y 1.56 0.1

∆ y = 0.1 ∆ x =−0.27

' &% )&%st#"#%-%r"o ) &% )(%n% )s

)

¿− 3.46 P%r% )& !nto  y 2=2.1,

 x 2=1.29

' &% )&%st#"#%-%r"o ) &% )(%n% )s

 Ex  y 2  ∆ x = ∙  Ey  x 2 ∆ y

18

¿

2.1 1.29

(

−0.27 0.1

)

¿− 4.40  Ex  Ey

*

7- IN;RESO TOTAL' IN;RESO MAR;INAL. P%r% "!%&=!#)r /!n"#$n ) )(%n% %%  y=%x/,)& #n+r)so tot%& R o #)n I )s )& ro!"to ) 1 ' )& n@()ro ) !n#%)s )(%n%%s' * Y, )& r)"#o or !n#% ) &% "%nt#% )(%n%%'  R= xy = x ∙ f  ( x )

  )& #n+r)so (%r+#n%& "on r)s)"to % &% "%nt#% )(%n%% )s dR  dy  = x + y dx dx

L% )&%st#"#% ) &% )(%n% "on r)s)"to %& r)"#o )s  Ex  y dx = ∙  Ey  x dy

  %o =!)

1 dx = dy dy '   ' dx

1K

()

 Ex  y 1 =  Ey  x dy dx dy y = dx  Ex  x  Ey

( )

As< !)s' dR y  = + y dx  Ex  Ey

( )

¿ y 1 +

1

 Ex  Ey

En /or(% %&t)rn%t#%' dR  dy  = x + y dx dx

¿ y

(

 x dy +1  y dx

(

 Ey  Ex

¿ y 1 +

)

)

( )

¿ y 1 +

1

 Ex  Ey

Esto )s' )& #n+r)so (%r+#n%& )s )& ro!"to )& r)"#o !n#t%r#o * &% )>r)s#$n !no (4s )& r)"")to )n )& "%so ) r)"#o "onst%nt)' )n )& "!%& )& r)"#o no ))n) ) &% "%nt#% ro!"#%' )& #n"r)()nto )n )& r)"#o "orr)son#)nt) %& !nto ) )=!#&#r#o )s ()nor =!) )& %&or )& #(!)sto. Osr)s) =!) !n s!s##o !)) s)r "ons#)r%o "o(o !n Q#(!)sto. L% "!r% ) o/)rt% s) )s&%3%r#(o #n+r)so os#&) ro)n#)nt) ) #(!)stos !)) )t)r(#n%rs) "ons#)r%no )& #n+r)so (%r+#n%& ) &os #(!)stos "on r)s)"to % &  $  x" Por &o +)n)r%&' )s (4s "on)n#)nt) "ons#)r%r % T   "o(o /!n"#$n )  x, *% =!) &   s) r)s)nt% )n /or(% &#n)%& )n &% r)&%"#$n )>#st)nt) )ntr) &  * x"

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