Aplicacion de La Ec. Diferencial

1.

Si cua cuand ndo o la tem tempe pera ratu tura ra del del air airee es de de 20 ºC, ºC, se se enfr enfría ía una una sus susta tanc ncia ia des desde de 100 100 ºC hasta 60 ºC en 10 minutos, hallar la temperatura después de 40 minutos T 10 6 x 0 0 t 0 1 40 0 Tm = 20 dT 

dT 

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

( T  − Tm)

= −Kdt 

dT 

 x

∫ 

40

= − K ∫ 

Aplicando integral: 60

dT 

100

(T  −Tm )

∫ 

dT 

100

(T  −20 )

∫ 

40

= − K ∫ 

dt 

0

10

= − K ∫ 

dt 

0

40

− 20 = − K (t  ) ln 60 − 20 −ln 100 − 20 = − K (10 ) ln T 

−

1

ln

10

60

10

100

0

1

dT 

∫ 

100

1

ln

 x − 20

40 ln

 x − 20

 x − 20

= − K ∫  0

 x − 20

1

ln

10

2

1 2

1

= ln

80

dt 

1

= ln

80

ln

=

80

40

(T  −Tm )

80

4

Calculando x:  x

0

Reemplazando K 

1

= K 

2

0

100

10

60

dt 

(T  −20 ) x = − K (t  ) ln T  −20 ln  x −20 −ln 100 −20 = − K ( 40 ) − 1 ln  x −20 = K  100

16

 x − 20

⇒

80

=

1 16

= 5 ⇒ x = 25º C 

La temperatura es de 25 ºC 2. Sab Sab ien iendo do que que un un cue cuerp rpo o en el air airee a 10 10 ºC, ºC, se enf enfrí ríaa des desde de 200 200 ºC ºC a 100 100 ºC en 40 minutos, digase en cuanto tiempo se enfriara desde 100 ºC a 10 ºC en el aire a 25 ºC T

20 0 0

10 0 t 40 Con Tm1 = 10 dT 

10 x dT 

( T  − Tm ) ⇒

= − K 

dt 

(T  − Tm )

= −Kdt 

Aplicando integral: 100

dT 

200

(T  −Tm )

∫ 

40

1

100

dT 

200

(T  −10 )

∫ 

= − K ∫  0

dt 

40

= − K ∫  0

dt 

−10 = − K (t  ) ln 100 −10 − ln 200 −10 = − K ( 40 ) ln T 

−

1 40

ln

100

40

200

0

9 19

= K 

Con Tm2 = 25 10 dT  100 (T  −Tm2 )

∫ 

10

dT 

100

(T  −Tm )

∫ 

40

 x

1

10

dT 

100

(T  − 25)

∫ 

 x

= − K ∫  dt 

= − K ∫  dt  40

 x

= − K ∫  dt  40

− 25 = − K (t  x ) ln 10 − 25 − ln 100 − 25 = − K ( x − 40) 10

ln T 

−

40

100

1

 x − 40

ln

−

3 25

= K 

Reemplazando K  1

 x −40

ln

−

3 25

=

1 40

ln

9 19

⇒x =112.42

3.

Supóngase que la temperatura de una tasa de café es de 200 ºF inmediatamente que ha sido servida. Un minuto después se ha enfriado a 190 ºF en un cuarto a 70 ºF ¿Cuándo estará a 150 ºF; 120 ºF? T

20 0 t 0 Tm = 70 dT 

19 0 1

15 0 t1

120 t2

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

= −Kdt 

−ln

dT 

200

(T  −Tm )

∫ 

1

190

dT 

200

(T  −70)

∫ 

= − K ∫ dt 

ln

0

1

= − K ∫ dt 

t 1

0

−ln

12 13

190

1

200

0

200

(T  −Tm )

∫  ∫ 

200

ln T 

150

− 70

= − K ∫  dt 

−

70

120

dT 

200

(T  −Tm )

t 2

120

dT 

200

(T  −70)

= − K ∫  dt  0

t 2

= − K ∫  0

dt 

120

2

0

200

2

0

−ln

= − K ∫  dt 

5 13

= K (t  ) 2

0

Reemplazando K 

(t  )

= − K 

200

ln 150

1

−70 = − K (t  t  ) ln 120 −70 −ln 200 −70 = − K ( t  )

t 1

(T  −70)

  12   =t   ln 13        

ln T  t 1

dT 

150

1

= 6.0656

∫  ∫ 

Calculando t1: dT 

= K (t  )

Calculando t2:

= K 

150

8 13

−70 = − K (t  ) ln 190 −70 −ln 200 −70 = − K  ln T 

13

Reemplazando K 

Aplicando integral: 190

8

− ln

200

t 1 0

( t  )

− 70 = − K 

1

  5     12   ln    = t  ln 13     13         t  =11.9375 2

2

4.

Si la temperatura del aire es de 20 ºC y el cuero se enfría en 20 minutos desde 100 ºC hasta 60 ºC ¿Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30 ºC? T

10 0 0

t Tm dT 

6 0 2 0

30 x

= 20

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

Aplicando integral: 60

dT 

100

(T  −Tm )

∫  ∫ 

20

60

dT 

100

(T  − 20 )

ln T 

− 20

= − K ∫ 

dt 

0

20

60 100

= − K ∫  0

= − K (t 

dt  20 0

)

= −Kdt 

ln 60

−

1

−20 −ln 100 −20 = − K ( 20 ) 1

ln

20

= K 

2

Calculando x: 30

dT 

100

(T  −Tm )

30

dT 

∫  ∫ 

 x

= − K ∫  dt  0

 x

= − K ∫  dt 

(T  −20 ) ln T  −20 = − K (t  x ) ln 30 −20 −ln 100 −20 = − K ( x ) 100

0

30

0

100

− 1 ln 1 = K   x

8

Reemplazando K  1

ln

 x

1 8

1

=

ln

20

1 2

= 20(3)  x = 60 min  x

5.

Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30 ºF. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0 ºF y después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15 ºF, hallar la temperatura inicial desconocida del cuerpo T t Tm dT 

x 0

0 1 0

15 20

= 30

( T  − Tm) ⇒

=  K 

dt 

dT 

(T  − Tm)

dT 

15

=

Kdt 

∫  (T  −  x

30 )

Aplicando integral: dT 

20

= K ∫ 

∫  (T  −Tm ) 0

dT 

15

15

30 )

dt 

10

−30 = K (t  ) ln 15 −30 −ln 0 −30 = K (10 ) ln T 

1 10

ln

1 2

15

20

0

10

dT 

∫  (T  −Tm)  x

6.

ln

1

20

0

dt 

ln

20 ln

−

= K ∫ 

20

15

−

 x −30

= K 

Reemplazando K 

= K 

Calculando x: 15

1 20

= K ∫ 

dt 

0

20

∫  (T  − 0

dt 

10

0

−30  x = K (t  ) ln 15 −30 −ln  x −30 = K ( 20 ) ln T 

15

20

= K ∫ 

 x

−

−

15

 x −30

15

 x −30

15

 x −30

=

1 10

ln

1 2

= ln 1

4

=1

4

= −30

Una barra metálica a una temperatura de 100 ºF se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0º F. si después de 20 minutos la temperatura de la barrea es 50 ºF Hallar  a) El tiempo que necesitará la barra para llegar a una temperatura de 25 ºF  b) La temperatura de la barra después de 10 minutos

T

10 0 0

t

5 0 2 0

2 5 y

x 10

=0

Tm dT 

dT 

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

− 1 ln 1 = K 

( T  − Tm)

= −Kdt 

Aplicando integral: 50

∫ 

100

50

∫ 

100

ln T  ln

1

 y

4

−

100

ln

2

dT  100 T 

100

25

1 4

7.

−

= − K (t   y )

25

 x

0

100

dt 

=− K (t 

10 0

)

ln

 x

100

= K 

Reemplazando K 

0

ln T 

1

10

0

y

100

ln

−

 y

0

=− K (10)

100

= − K ∫  dt 

= − K ∫  0

 x

 x

ln

∫  (T  −Tm) dT  ∫  T  = − K ∫  dt 

2

= − K ∫  dt 

100

= K 

dT 

1

10

∫ 

Calculando y: 25

ln

10

(T  −Tm )

 x

=− K ( 20 )

20

1

20

dT 

 x

∫ 

=− K  t  0

1

=−

Calculando x:

dt 

ln T  

1

1

ln

 y =40 min

20

100

2

0

0

dt 

( )

50

1

20

∫ 

20

∫ 

4

Reemplazando K  −

dT  =− K  (T  −Tm ) dT  =− K  (T  )

 y

1 10

ln

 x 100

=−

1 20

ln

1 2

= 70.71º  F  min

= − K ( y )

Un cuerpo a una temperatura de 50 ºF se pone en un horno cuya temperatura se mantiene a 150 ºF. si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 75 ºF, hallar el tiempo requerido por le cuerpo para llegar a una temperatura de 100 ºF. T

50

t

0

Tm dT 

7 5 1 0

100 x

= 150

( T  − Tm ) ⇒

=  K 

dt 

dT 

(T  − Tm )

=

Kdt 

Aplicando integral: dT 

75

10

= K ∫ 

dt  ∫  (T  −Tm) dT  ∫  (T  − ) = K ∫  dt  50

0

75

10

150

50

0

−150 = K (t  ) ln 75 −150 −ln 50 −150 = K (10 ) ln T 

1 10

ln

3 4

75

10

50

0

= K 

Calculando x: dT 

100

∫ 

 x

(T  −Tm )

50

dT 

100

∫ 

= K ∫  dt  0

 x

= K ∫  dt 

(T  −150 ) ln T  −150 = K (t  x ) ln 100 −150 −ln 50 −150 = K ( x ) 50

0

100

0

50

1

ln

 x

1 2

= K 

Reemplazando K  1

ln

1

=

2

 x

1

3

ln

10

4

 x = 24.1

8.

Un tarro de crema inicialmente a 25 ºC, se va ha enfriar colocándolo en el  pórtico donde la temperatura es de 0 ºC. suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15 ºC después de 20 minutos ¿Cuándo estará a 5 ºC? T

25

t

0

1 5 2 0

5 x

=0

Tm dT 

Calculando x:

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

dT 

5

= −Kdt 

∫  (T  −Tm ) dT  ∫  T  = − K ∫  dt  25

5

Aplicando integral: 15

20

25

20

20

15 20

3 4

−

9.

ln T  1

ln

5

5 25

=− K (t  0 ) x

=− K ( x )

0

ln T  ln

0

0

15

0

x

25

= − K ∫  dt  ∫  (T  dT  −Tm ) dT  ∫  T  = − K ∫  dt 

 x

= − K ∫  dt 

1

= − K (t 

20 0

)

= − K ( 20) ln

20

3 4

= K 

−

1

 x

ln

1 5

= K 

Reemplazando K  1

 x

ln

1 5

=

1 20

ln

3 4

= 20(3)  x =111 .89 min  x

Un tarro de crema inicialmente a 25 ºC, se va ha enfriar colocándolo en el  pórtico donde la temperatura es de 0 ºC. suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15 ºC después de 20 minutos ¿Cuándo estará a 5 ºC? T t Tm

10 0 0 = 20

6 0 2 0

30 x

dT 

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

= −Kdt 

Calculando x: dT 

60

∫ 

dT 

60

∫ 

ln T 

− 20

ln 60 1

ln

2 1

−

dt 

0

100

= − K (t 

20 0

)

20

2

−20

ln 30 20 0

)

1

ln

0

30 100

= − K (t  x ) 0

− 20 −ln 100 −20 = − K (t  x ) 0

= − K ( x )

8

= − K ( 20) 1

20

ln T 

− 20 −ln 100 − 20 = − K (t 

ln

 x

25

dt 

0

60

0

5

20

T  − 20

100

= − K ∫  dt 

100

= − K ∫ 

= − K ∫ 

 x

∫  (T  −Tm) dT  ∫  T  − = − K ∫  dt 

20

(T  − 20)

100

dT 

30

Aplicando integral:

− 1 ln 1 = K  8

 x

= K 

Reemplazando K  1

ln

8

 x  x

1

=

1

ln

20

1 2

= 60 min

10.

Se calienta agua hasta el punto de ebullición. El agua se remueve luego del calor  y se guarda en un cuarto el cual está a un temperatura de 60 ºC. después de 3 minutos la temperatura del agua es de 90 º C. a) Encuentre la temperatura del agua después de 6 minutos.  b) ¿Cuándo la temperatura del agua será 75ºC? T

10 0 0

t Tm

9 0 3

x

75

6

y

= 60

dT 

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

= −Kdt 

Aplicando integral: 90

dT 

100

(T  −Tm )

∫  ∫ 

3

90

dT 

100

(T  − 60 )

= − K ∫  dt  0

3

= − K ∫  dt  0

− 60 = K (t  ) ln 90 −60 −ln 100 −60 = K  t  ln T 

3

90

3

100

0

3 0

ln T 

= − K (3)

ln

− 1 ln 3 = K 

−

ln

4

3

4

−60

 x −60 40 1 6

ln

x 100

=− K (t  0 ) 6

=− K (6 )

 x −60 40

= K 

Calculando x:  x

∫  ∫ 

100

 x

100

dT 

6

(T  −Tm ) dT  T  −60

= − K ∫  dt  0

6

= − K ∫  dt  0

Reemplazando K 

1

ln

 x −60

6

 x

=

40

1

−60 = − K (t  y ) ln 75 −60 −ln 100 −60 = − K ( y )

3

ln

3

4

=82.5º C  dT 

100

(T  −Tm )

∫  ∫  11.

 y

 y

75

dT 

100

T  − 60

= − K ∫  dt 

8

Reemplazando K 

0

−

 y

= − K ∫  dt  0

1

 y

ln

3 8

=

1 3

3

ln

4

 y =10 .23 min

La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110 ºF. cuando el termómetro marca 36 ºF se coloca en un horno. Después de 1 y 2 minutos respectivamente marca 60 ºF y 82 ºF T

36

6 0 1

t

0 Tm =? dT 

82 2

( T  − Tm) ⇒

=  K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

=

Kdt 

Calculando x: 82

dT 

60

∫  (T  −Tm ) 36

82

−Tm = K (t  ) ln 60 −Tm − ln 36 −Tm = K (1) 60 −Tm = K  ln 36 −Tm 1

36

0

2

0

−Tm = K (t  ) ln 82 −Tm − ln 36 −Tm = K ( 2 ) 1 82 −Tm ln = K  2 36 −Tm ln T 

0

60

dT 

36

0

∫  T  −Tm = K ∫ dt 

ln T 

0

∫  T  −Tm = K ∫  dt 

1

1

36

2

36

= K ∫ dt 

dT 

60

dT 

∫  (T  −Tm) = K ∫  dt 

Aplicando integral:

12.

0

100

− 1 ln 3 = K 

Calculando y: 75

75

ln T 

82

2

36

0

Reemplazando K 

−Tm = ln 60 −Tm 2 36 −Tm 36 −Tm Tm = 81º F  1

ln

82

Supongamos que la razón a que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea un cuerpo originalmente a 120 ºF e enfría hasta 100 ºF en 10 minutos en aire a 60 ºF. Encontrar una expresión del cuerpo en un instante cualquiera T

12 0 t 0 Tm = 60 dT  dt 

10 0 10

y x

(T  − Tm ) ⇒

= − K 

Aplicando integral:

dT 

( T  − Tm )

= −Kdt 

dT 

100

∫ 

(T  −Tm )

120

dT 

100

∫ 

120

2

−

= − K (t 

20 0

)

1

−60 −ln 120 −60 = − K (t 

2

ln

10

10 0

)

− 1 ln  y −60 = K  60

 x

Reemplazando K  1

ln

− 60

 y

 x

= K 

3

0

60

= − K (10)

3

− 60

 y

10 ln

dT 

∫  ∫ 

120

60

dT 

 y

120

13.

ln

10

2 3

=  x ln

10

= − K ∫  dt  0

2 3  x

 x

10

 x

 x

T  − 60

1

  y − 60   =  2   ⇒  y − 60 =  2            60  3     60    3  

 x

(T  −Tm )

=

60

Calculando expresión:  y

0

120

−60 −ln 120 −60 = − K (t  x )  y −60 = − K ( x ) ln

dt 

0

120

= − K (t  x )

 y

ln  y

= − K ∫ 

100

−60

ln 100

0

−60

ln T 

dt 

20

T  −60

ln T 

ln

10

= − K ∫ 

= − K ∫  dt 

 2    y − 60 = 60    3  

10

0

Un químico desea enfriar desde 80 ºC hasta 60 ºC una sentencia contenida en un matraz y que esta a 90 ºC. Se coloca a el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 18 ºC y se observa que después de 2 minuntos la temperatura desciendo 10 ºC. halle el tiempo total de enfriamiento. T

80

7 0 2

t

0 Tm = 15 dT 

60 x

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

= −Kdt 

Aplicando integral: dT 

70

∫  (T  −Tm) 80

dT 

70

2

2

−15 −ln 80 −15 =− K ( 2 )

11

1

( )

60

13

−

0

−15 100 =− K  t  0

ln 70 ln

= − K ∫  dt 

15

ln T 

0

2

∫  T  − 80

2

= − K ∫  dt 

ln

=− K ( 2 ) 11 13

−

60

80

14.

15

1

60 80

( ) x

=− K  t  0

−15 −ln 80 −15 =− K ( x ) =− K ( x ) 9

ln

 x

13

= K 

Reemplazando K 

= − K ∫  dt 

 x

1

0

 x

 x

 x

∫  (T  −Tm) dT  ∫  T  − = − K ∫  dt  80

9 13

= K 

dT 

−15

ln 60 ln

Calculando x: 60

ln T 

ln

9 13

= 1 ln 11 2

13

= 4.45 min

0

Se desea enfriar una solución contenida en un matraz y que esta a 90 ºC. Se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 18 ºC y se

observa que después de 2 minutos la temperatura desciende 10 ºC. Halle el tiempo total de enfriamiento. T

90

1 0 2

t

0 Tm = 18 dT 

0 x

(T  − Tm) ⇒

= − K 

dt 

dT 

( T  − Tm)

= −Kdt 

Calculando x: 10

dT  (T  −Tm )

∫  dT  ∫  T  − 90

10

∫  (T  −Tm ) 90

2

= − K ∫  dt  0

0

−18 = − K (t  ) ln 10 −18 −ln 90 −18 = − K ( 2 ) −

ln

−

1

1 9

ln

2

10

2

90

0

9

0

0

( ) x

ln 0

−18 −ln 90 −18 =− K ( x )

ln

− 1

1 4

ln

 x

= K 

= − K ∫  dt 

−18

−

−

0

ln T 

= − K ( 2 ) 1

 x

= − K ∫  dt   x

18

90

2

ln T 

dT 

0

∫  T  −

= − K ∫  dt 

18

90

dT 

0

Aplicando integral:

90

=− K  t  0

=− K ( x ) −

1 4

= K 

Reemplazando K  1

ln

 x

1 16

=

1

ln

2

1 81

 x =1.26 min

15.

Un termómetro, que marca 75 ºF se lleva fuera donde la temperatura es de 20 ºF Cuatro minutos después el termómetro marca 30 ºF. Encontrar: a) La temperatura del termómetro 7 minutos después que este ha sido llevado al exterior.  b) El tiempo que le toma al termómetro caer desde 75 ºF hasta mas o menos 1 2

grados con respecto ala temperatura del aire

T

75

t

0

Tm dT  dt 

3 0 4

x

10

7

y

= 20

(T  − Tm ) ⇒

= − K 

Aplicando integral:

dT 

( T  − Tm )

= −Kdt 

dT 

30

4

∫  (T  −Tm ) = − K ∫  dt  75

Reemplazando K 

0

dT 

30

∫  (T  − 75

20 )

= − K ∫  dt  0

30

−20 = − K ( 4) ln 30 − 20 −ln 75 − 20 = − K ( 4 ) 75

2

−20 = 7 ln 5

2

4

11

7

−20 =  2      5  11    x = 20.25º C   x

4

Calculando y:

= − K ( 4)

11

 x

4

ln T 

ln

ln

dT 

10

 y

∫  (T  −Tm) = − K ∫  dt  dT  ∫  T  − = − K ∫  dt  75

1

−

2

ln

4

= K 

11

10

dT 

7

∫  (T  −Tm ) = − K ∫  dt  dT  ∫  T  − = − K ∫  dt  75

0

7

 x

20

75

− 20  x − 20

ln T 

ln

55

0

x 75

= − K (t 

7 0

)

16.

20

10

0

75

− 1 ln − 2 = K   y

11

Reemplazando K   y

ln

4 121

=

1 4

ln

4 121

 y =4 min

5

Determinar el camino S recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 segundos el cuerpo recorre 100 metros y en 15 segundo 200 metros. x

S

T

t

dS 

10 0 10

=  KS  ⇒

dt 

200 15

dS 

=  Kdt 

S 

Aplicando integral: dS  S 

100

∫  S 

ln ln

S 

10

= K ∫  t 

)

(10 −t )

ln

S 

= K (15 − t )

200

(15 −t )

= K (10 −t )

1

ln

1

10

S 

S 

dt 

= K (t  t 

100

100

S 

= K 

100

ln

200

∫ 

S 

S 

ln

dS 

S 

200

S 

dt 

15

= K  t  t 

)

= K 

Reemplazando K  1

(15 −t )

ln

  S        200  

S  200

(10 −t ) ln 10

15

= K ∫  t 

S  200

Calculando 2do tramo:

17.

0

−20 = − K (t  y ) ln 10 −20 −ln 75 −20 = − K ( y ) ln T 

1

= −K ( 7 )

− 1 ln  x −20 = K  7

 y

75

Calculando x:  x

0

−t 

S  200

=

1

(10 −t )

ln

= (15 −t ) ln 15

S    =       100  

S  100

S  100

−t 

t 

S  = 25.2

5

Una cierta sustancia radiactiva tiene un vida media de 38 horas. Encontrar que tanto tiempo tomal el 90% de la radioactividad para disiparse

x

x0

9 x0

 x

0

2

t

0

dx

10

38

= − Kx ⇒

dt 

t

dx

= − Kdt 

 x

∫ 

2

dx  x

 x0

= − K ∫ 

2

(t  )

ln 2

−

1

(

K  38

ln 2

38

0

t 

= K 

9 x0

∫ 

10

 x0

dx  x

10

= K 

ln

9 10

=− 1

38

38 ln

Calculando t:

t  = − t 

= − K ∫ dt  0

0

Reemplazando K  1

)

9

ln

t 

38

= − K 

=−

1

−

t 

= − K (t )

10

dt 

0

 x 0

(t  0 )

= − K 

10

9

ln

38

 x0

ln  x

ln  x

 x0

Aplicando integral:  x0

9 x0

t  =126

9 10

ln 2

ln 2