Aplicacion de La Derivada en La Fisica (Cinematica)

 

 

UNIVERSIDAD NACIONAL  “SANTIAGO  “SANTI AGO ANTÚNEZ ANT ÚNEZ DE MA MAYOL YOLO” O”

  FACULTAD

   

CURSO

: INGENIERIA CIVIL  

TEMA

: MATEMATICA I : APLICACION DE LA DEVIVADA EN LA FISICA 

 

DOCENTE

: KLEBER

 ALUMNO

: AYALA TOLEDO JESUS  

DE LA CRUZ SOLANO RAPHAEL

 

MORALES RAMOS DANNY 

 

 APLICACIÓNES DE LA DERIVADA DERIVADA A LA FISICA  (CINEMATICA)

2

 

Sabe Sabemo moss que que el movi movimi mien ento to de un móvi móvill desc descri ribe be el ca camb mbio io de po posi sici ción ón de un determinado tiempo, es decir:

V  =

dx dt 

Supongamos que se hace rotar un(objeto) esfera sobre una mesa sin considerar la fuerza fuerz a que causa dicho movimie movimiento nto y partir partir de un punto de referencia referencia medimos medimos la distan dis tancia cia y el tiempo tiempo hasta hasta donde donde se detien detienee la esfera esfera y anotam anotamos os en el plano plano xt formando una nube de puntos. ntonces esta nube de puntos se apro!ima al comportamiento de una "#nea $ecta y eso quiere decir que podemos representar el comportamiento del fenómeno por la función "ineal  x (t ) = at + b .  % as# sucesivamente muchos fenómenos f#sicos podemos representar representar o modelar con funciones de diversas clases. &ien, ahora &ien, ahora supong supongamo amoss que  x(t ) = at + b   sea una función arbitraria que describe cualquier movimiento f#sico:

"a 'elocidad edia (

V 

  m

) es:

V m =

 x − xo t − t  o

3

 

"a celeración edia (

a

  m

) es:

am =

V (t ) − V (to ) t − t o

"a velocidad instant*nea ( V  (t ) )

 +ara determinar la velocidad se supone el incremento ∆ x  y ∆t  deben apro!imarse a cero por ello el punto  se debe apro!imar a + y a medida de esa apro!imación θ   tambin se apro!iman, sabemos tambin que

secante

 L

 s

´

 es:

 Escriba aquí la ecuación.  Escriba aquí la ecuación .

mL s =

 xt − xt o    ∆x t − to

=

∆t 

α 

 y

inicialmente la pendiente de la recta

= tgα 

 

mL s mLt   % a medida que  se hace hace apro!ima a + la pe pendiente ndiente  se apro!ima a obviamente ∆ x  y ∆t  se hacen cada vez m*s peque-os.  dem*s las apro!imaciones apro!imaciones lo denotaremos denotaremos con el trmino trmino de l#mite.

lim  x → 0

 xt − xt o t − to

=

 

∆x

 

lim ∆t  = tgθ  = mL

t 

= x′(t ) 

x →0

s decir: si

x′(to  ) =

dx (t o ) dt 

= V (t o )

n general:

  dx (t )

⇒

V (t ) = x ′(t ) =

a(t ) = V ′(t ) 

jercicios resueltos jemplos: ./ "a posición de un móvil en función de tiempo es

 x ( t ) =  2t 2 − 8

 donde: 4

 

0!1 se mide en metros 0t1 se mide en segundos

 x ( t ) a) 2i 2ibu buja jarr la la gr* gr*fi fica ca  b) ncuentre la velocidad velocidad media para los los intervalos: t ∈ 

[ 0,1]

0,3 3] t ∈  [ 0, t ∈ 

[ 1, 2]

[ 0, 4] c) 2ibuje 2ibuje la la gr*fi gr*fica ca de la la veloci velocidad dad en en t ∈  d) ncuentre ncuentre la velocid velocidad ad para para t34, t34, t35 y t36 [ 0,1]  y t ∈  [ 1, 2] e) ncuentre ncuentre la acele aceleració ración n media media para t ∈  0, 3] [ 0,3 f) 2ibuje 2ibuje la la gr*fi gr*fica ca de la la aceler aceleraci ación ón para para t ∈  Solución  x ( t ) =  2t 2 − 8  es: a) "a gr gr*fi *fica de

 b)

  x (t ) − x(t2 ) V ( m) = 1 t2 − t 1

[ 0,1] 7 t ∈ 

  5

 

V ( m) =

7 t ∈ 

1− 0

 x (3) − x(0)

V =

dx(t )

1

=

2

m  s

3−0

=

10 − (−8) 3

=6

m  s

dt 

 x (2) − x (1) 2 −1

=

0 − (−6) 1

=6

m  s

= 4t 

V(t ) =  4t 

d)

V (0 ) =  0 d.)

−6 − ( −8)

[ 1, 2]   V (m) =

c)

=

[ 0,3 ] V ( m) =

7 t ∈ 

 x(1) − x (0)

 m  s

V ( 2) =  8   d.5)

m  s

V (3 =   12 (3))  

d.6)

m  s 6

 

a( m ) = e)

7 t ∈ 

V (2) − V (1) t( 2 ) − t (1)

[ 0,1]  

a( m ) =

7 t ∈ 

V (1) − V (0) 1− 0

 

=

4−0

=

4

=

4

1− 0

m  s 2

[ 1, 2]

a( m ) =

V (2) − V (1) 2 −1

 

=

8− 4 1

m  s 2

f)

d v

 

a = →   = a dt 

4

m s

 en t ∈ 

0, 3] [ 0,3

7

 

2.- La posición de una partcula est! dada por la ecuación" t 3 − 6 t 2 − 20 t −#0

x

  =

$alcular" %l inter&alo de tiempo 'ue transcurre para 'ue su &elocidad se anule  la lonitud recorrida en ese tiempo.

*olución" & = 

dx

2

 = 3t  -12t − 20

⇒ 3t

2

-12t − 20 = 0 ⇒ t = #,2+ s



dt x(0) = −#0 m  x(#,2+ x(#,2+)) = −1+#,+ m

3)

%l mo&imiento de una partcula est! deinido por la ecuación x

 t3 −10 t2 − 20 t −16

  =

x en metros  t en seundos. $alcular la lonitud recorrida por la partcula entre t0s  t 12 s.

*olución" x = 2 t 3 − 6 t 2 + 28 t −10 = 2.103 −6 ⋅102 + 28 ⋅10 −10 =16+0 m

  v= a=

dx dt  dv dt 

=6

 m 2 2 t − 12 t  + 28 = 6. 6.10 − 12 ×10 +28 =#0 #08  s

= 12t  − 12 = 12.10 − 12 = 108

m  s 2

8. Esta era la situación del movimiento del autobús y de los cuatro viajeros en función del tiempo:

8

 

Ecuaciones de movimiento  del:

Autobús

e  = 

40 22#

t 2

   t  − 3+.4# Viajero (1) e = #. 3#

Viajero (2) e =  8t   − 80

Viajero (3) e  = /6

Viajero () e =

100   2 100 t     − t  + /# #2/ 23

e es el espacio en metros y t  el !onde tiempo en se"undos#

a) $En %u& instante lle"an a la parada los viajeros 1 y 2' (ay %ue mirar en la "rfica y tambi&n *aciendo clculos con las ecuaciones dadas) b) $A %u& distancia se encuentran de la parada los viajeros 3 y + cuando arranca el autobús de la parada' (ay %ue mirar en la "rfica y tambi&n *aciendo clculos con las ecuaciones dadas) c) $En %u& instante y a %u& distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro viajeros con el autobús' (ay %ue mirar en la "rfica y tambi&n *aciendo clculos con las ecuaciones dadas) d) ,alcula la velocidad tanto del autobús+ como de cada viajero+ en cada instante calculando la derivada de cada función espacio e) !educe %u& viajero alcan-a el autobús .suavemente. y cul no# 

So!"#$% & 'o*+&

9

 



l viajero  llega a la parada a los 9 seg de haber arrancado el autobs, y  el 5 a los 4 seg.

 dem*s de verlo en en la gr*fica se puede deducir deducir haciendo y34 en las ecuaciones de movimiento de cada uno. e = #. 3#   t  − 3+.4#

 e34, t39 seg e=8   t   − 80  e34, t34 seg

 b) l viajero 6 se encuentra a ;< metros de la parada cuando cuando arranca el autobs, y el el 8 a ;= m.  dem*s de verlo en en la gr*fica se puede deducir deducir haciendo t34 t34 en las ecuacione ecuacioness de movimiento de cada uno. e = /6  t34, o cualquier valor de t, e3; sea, el viajero  alcanza al autobs a los  seg de haber arrancado. ?aciendo lo mismo con el viajero 5, obtenemos que alcanza al autobs a los = seg. l 8 lo alcanza a los 56 seg, y el 6 a los 56 seg. d)

E"!&"#o%*, -* +o.#+#*%to -*:

40

 utobs

e   =

 'iajero 

e =  #. 3#  t  − 3+.4#

22#

D*#.&-&/.*o"#-&-

t 2

 

 

v bus = e (t ) = 

v1 = e (t )  =

de dt 

de dt 

=

=

80 22#

t 

#.3#

10

 

 'iajero 5

 'iajero 6

 'iajero 8

e  = 8   t   − 80

  e = /6

e=

 

v 2 = e (t )  =

 

v3 = e (t )  =

100   2 100 t  + /#   t    − #2/ 23

v 4 = e (t )  =  

de dt 

de dt 

=8

=

200 #2/

0

t  −

100 23

e) @omo ya conocemos en qu instante alcanza cada viajero al autobs, calculando la  velocidad en dichos instantes y compar*n compar*ndola dola con la del autobs podremos podremos saber la respuesta.

 'iajero

instante de

 velocidad viajero viajero

velocidad bus

alcance

razón  velocidades



 seg

eA()3=.6= mBs

eA()36.; mBs

=.6=B6.;3.69

5

= seg

eA(=)3C mBs

eA(=)3=.6 mBs

CB=.63.=

6

56 seg

eA(56)34 mBs

eA(56)3C.5 mBs 4BC.534

8

56 seg

eA(56)38.6 mBs

eA(56)3C.5 mBs 8.6BC.534.=5

"o ideal es que el viajero vaya a la misma velocidad que el autobs en el momento del alcance, por tanto la razón de velocidades deber#a ser . l viajero que lo coge m*s suavemente es el  pues esta razón es la m*s pró!ima a . "e sigue el 5. l 8 le costar* bastante, pero el que corre verdadero peligro si lo intenta es el 6. ste viajero ha permanecido quieto (vel34) a ;< metros de la parada, esperando que pase por all# el autobs, pero ste ya va muy r*pido al pasar. l viajero 8, que estaba a ;= metros de la parada ha corrido en dirección a la parada, y se ha vuelto para correr en la misma dirección del autobs y coger velocidad para el momento del alcance.

11

 

=. /ma"inemos %ue el número de bacterias de un cultivo var0a con el tiempo+ epresado en minutos+ se"ún la ecuación 455645t7t 2 para t∈85+349  $,ul es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t min' !ibuja la "rfica de la función e interpreta el resultado en la "rfica ;,/? !E= @