Aplicación de La Condensacion Al Analisis Dinamico de Estructuras

2010

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras. Analisis Estructural II DÍAZ CHÁVEZ, David Ricardo FLORIANO MIRANDA, Leonel David HERAS CHUNQUE, Juan Carlos SALAZAR ALCÁNTARA, Fernando Andreé SOTO ORRILLO, José Termófilo TACILLA ALVARADO, Dany Roel

E. A. P. Ingeniería Civil 11/10/2010

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

1

La complejidad dentro del análisis dinámico de estructuras, hace laborioso el cálculo de las reacciones que ocurren en la estructura a causa de las diferentes acciones externas que puedenafectarla, tales como el viento, temperatura y principalmente las cargas sísmicas. Puesto que para obtener gran precisión en el cálculo de estas estructuras, es necesario recurrir al método de los elementos finitos, lo cual aumenta el tamaño de las incógnitas a resolver, es necesario recurrir a un método que nos permita reducir dicho número.Por esta razón se ha utilizado una suerte de métodos de reducción, tanto iterativos, con soluciones aproximadas, y otros. En este informe se presenta el método de condensación dinámica, la que reduce el número de grados de libertad dinámicos en los más significativos, que reflejan el comportamiento global de la estructura, sin perder la precisión precisión en el cálculo. Además presentaremos un ejemplo de

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aplicación numérica, y la aplicación de este método a las estructuras reales. Debido al poco conociemiento que tenemos en cuanto a los conceptos del análisis dinamico de estructuras, nos hemos limitado a presentar lo que otros autores, expertos en el tema ya han estudiado y han transmitido en sus publicaciones, basando nuestro informe en la Tesis: APLICACIÓN DE LA CONDENSACIÓN CINEMÁTICAAL ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS de Eduardo Martínez Marín y en el Libro: DINAMICA ESTRUCTURAL: TEORÌA Y CÀLCULO de M. Paz.

-

Describir el procedimiento de la condensación condensación dinámica.

-

Aplicar el método en la realización de ejemplos numéricos. E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

-

Mostrar la aplicación en el análisis de estructuras reales.

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Capítulo I: Aplicación de la condensación cinemática ala análisis dinámico de estructuras (Eduardo Martínez)

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La condensación es un método aproximado, que permite reducir los grados de libertad de una estructura, con el fin de simplificar la solución de la misma. Según el Ing. Eduardo Martínez Marín, egresado de la Universidad Politécnica de Madrid, define a la condensación cinemática de la siguiente manera: “De forma general podíamos definir la condensación como una

transformación que permite pasar de un sistema dinámico a otro equivalente en sus respuestas fundamentales, con un grado de simplicidad mucho mayor.”

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Desde un punto de vista estructural, la condensaciónCinemática puede entenderse como un paso posterior y Complementario a la modelización de la estructura, es decir que, partiendo de un modelo complejo realizado reflejando

muyFielmente

elementosfinitos,

permita

la

estructura

obtener

un

inicial

modelo

por simple

medio de

de

masas

concentradas de una forma rigurosamente matemática y que además permita la selección ingenieril de los parámetros estructurales. Una vez conseguido un modelo dinámico simple, este permite su estudio de forma cómoda, eliminando toda la problemática que trae consigo un exceso de información. Por otra parte, debido a que la condensación es una transformación

definible

matemáticamente,

como

se

desarrollara

posteriormente, permite,Una vez realizado el estudio dinámico, aplicar la E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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transformación en sentido inverso, proceso que denominamos expansión, y lograr de forma matemáticamente rigurosa el paso de los esfuerzos dinámicos calculados en el modelo condensado al modelo de elementos finitos, con lo que podemos calcular de forma precisa los esfuerzos y tensiones con un alto grado de precisión. La transformación antes aludida se basa en la dependencia funcional de las características dinámicas: desplazamientos, velocidades y aceleración, de todos los puntos de la estructura, respecto de estas mismas características en unos pocos que denominaremos como primarios. Se podría expresar la condensación desde un punto de vista matemático partiendo de la ecuación general dinámica:

Mv + Cv + Kv = F (t) [1.l]

Y suponiendo conocida una función de transformación T de manera que podemos expresar las deformaciones v en función de otras (de menor número) que denominaremos vc, es decir:

v = TVc [1.2]

Donde T es una matriz de n por s, siendo n los grados de libertad y s una parte de estos que se denominaran condensados o primarios. E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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Si en esta ecuación derivamos dos veces, suponiendo que la matriz de transformación T no depende del tiempo, nos quedara:

V= TVc v = TVv

Sustituyendo estas ecuaciones en la 1.1 obtendremos:

M*vc + C*vc + K*vc =*F(t)

[1.3]

Esta ecuación diferencial es lógicamente análoga a la [1.1] y sus soluciones podrán aplicarse a esta simplemente Usando la transformación [1.2]

A lo largo de este capítulo se desarrollara la expresión Matemática de esta transformación.

Notemos que en la ecuación [1.1] si se trata del ejemplo anterior, las matrices K, M y C serán de orden (550,550)queal aplicar la transformación [1.2]y convertirse en las matrices K*, M* y C* serán del orden de (20,20) , E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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con lo cual el grado de compilación del análisis dinámico queda muy reducido.

la condensación cinemática proporciona la ventaja de poder seleccionar los grados de libertad en los cuales se va a concentrar las masas y sobre los que se realizara el cálculo dinámico. Resulta evidente que esto impone un conocimiento de la forma de comportamiento de la estructura ante los esfuerzos dinámicos a los que va a estar sometida. Esta ventaja que inicialmente resulta clara, puede en algún caso no resultar tan evidente, pues existen estructuras en las cuales la forma de comportamiento no esté tan clara ni pese a un estudio detallado se puede intuir. Ante este problema se pueden adoptar dos soluciones: la primera es ceñirse a una serie de comportamientos estructurales que bajo una perspectiva lógica recomienda unos criterios de selección de grados de libertad, o bien atender unos criterios matemáticos que nos clasifiquen según su importancia todos los grados de libertad.

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Por otra parte, la condensación, al ser aplicada como instrumento de reducción de grados de libertad, resulta ser un método aproximado de resolución de la ecuacióndinámica. Bajo esta perspectiva, es lógico que el método indica en el cálculo un determinado grado de error que más adelante se cuantifica y se estudia, pero el grado de aproximación depende en gran parte de que grados de libertad se elijan másque delnúmero de ellos. Por lo dicho anteriormente, resulta de suma importancia la importancia la elección de grados de libertad que han de ser considerados como primarios, tanto porque la precisión del cálculo va a depender en una parte importante de esta elección, como porque una buena elección nos va adar una visión clara del comportamiento de la estructura.

El criterio más claro a la hora de elegir grados de libertad se podría resumir en que el comportamiento de zonas que están unidas entre si por elementos muy rígidos resulta similar. En este caso toda la zona puede ser representada por un solo grado de libertad. Por ejemplo, en la figura II.4.a serepresenta un forjado que esta cimentado con cuatro pilares;si suponemos que la rigidez del forjado en su plano es altaante un esfuerzo horizontal, es lógico que un punto cualquiera del forjado, por ejemplo el A, pueda representar de forma eficiente a todo el. En este caso resultaría poco útil colocar más grados de libertad en el forjado. Notemos que ante un esfuerzo horizontal el forjado. Notemos que E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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anteun esfuerzo horizontal el forjado se desplazaría todo 61 deforma análoga. (Ver Fig.II,4.b).

En contraposición, si intentamos ver el comportamientodel forjado ante un esfuerzo dinamice en dirección verticaly elegimos el punto A como grado de libertad, este no nosrepresentaría bien el movimiento pues existirían unos "efectos locales" debidos a la diferencia de rigidez del forjado a flexión con los pilares a tracción que introducirían un error considerable. (Ver Fig.II.4.c).

En este caso deberíamos elegir puntos como el 1,2,3,4en los arranques de los pilares que nos darían idea de laforma de comportamiento de la estructura ante esfuerzos verticales. Figura II.4 .d. La segunda alternativa de elección de grados de libertades tomar un criterio matemático estructural a la hora de clasificar la importancia relativa de los grados de libertad. Entre los métodos empleados el más general es el de la comparación entre la matriz de masas y la de rigidez. Parte del criterio de que las frecuencias más bajas producen los mayores esfuerzos en la estructura. Este criterio es ampliamente aceptado, ya que la práctica lo confirma. Con esta hipótesis el método consiste en encontrar una relación entre la frecuencia circular

W

y los términos de las matrices

de rigidez y de masas. E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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Empleando

la

analogía

con

el

oscilador

simple

12

estableceruna

proporcionalidad entre el cuadrado de la frecuencia circular y el cociente entre los términos de la diagonal de la matriz de rigidez y la de masas:

   Eligiendo los grados de libertad que tengan menor relación



Este criterio da unos resultados satisfactorios y solosqueda la decisión de que numero de grados de libertad se toman.

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Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

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A lo largo de los apartados anteriores se han enumerado una serie de características de la condensación, enunciándose las ventajas numéricas y estructurales que proporciona. Con esta premisa quizás no haya quedado suficientemente claro el carácter de "método aproximado" que tiene la condensación. Se decía que para frecuencias bajas las fuerzas inerciales son despreciables frente a las deformaciones en los grados de libertad que no fuesen primarios, Esto es cierto en la medida en que los grados de libertad secundarios se hayan elegido de forma acertada. En caso contrario pueden aparecer, como se comentara en capítulos sucesivos, una serie de problemas que pueden hacer perder precisión al método. La mayor parte de estos problemas suelen estar producidos por una mala elección de los grados de libertad, aunque existe otro cuya causa es la propia flexibilidad de algún tipo de estructuras. Típicos dentro de este tipo de problemas tenemos los fenómenos locales producidos por amplificación de deformaciones en estructuras blandas, por ejemplo en forjados o vigas secundarias en edificios. Sin embargo, si se conoce la respuesta global de E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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la estructura principal, estos efectos locales se pueden analizar en forma desacoplada estudiando su vibración, considerando en detalle su flexibilidad local, sujeta en sus puntos de apoyo a la estructura principal a la exc itación global.

En este ítem se verá en forma práctica todo el cálculo dinámico, sin limitarnos a la parte de la condensación, ya que en caso contrario se perdería la continuidad del planteamiento. El ejemplo que se dará ilustra el método del cálculo dinámico que se realizara con datos reales realizando todas las operaciones sin utilizar el programa excepto posteriormente solo para la comprobación. El ejemplo trata de una simple ménsula que se ha representado en la figura adjunta, siendo las características geométricas del material las siguientes: -

Longitud: 4m. E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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-

-

 

Material: Modulo Modulo Densidad = 2.5 Sección: Ancho = 0.5 Canto = 0.5

Los pasos a realizar en el ejemplo son los siguientes: E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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a) Definición geométrica de la estructura. b) Cálculo de las matrices elementales de rigidez. c) Ensamble de la matriz de rigidez general. d) Obtención de la matriz de masas. e) Elección de los grados de libertad primarios. f) Cálculo de las deformaciones generales de la estructura. g) Obtención de la matriz de transformación T y de rigidez. h) Cálculo de la matriz de masas condensad». i) Obtención de las frecuencias y autovalores.  j) Aplicación de la transformación T (proceso de expansión), k) Obtención de esfuerzos y tensiones.

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  incluye la localización geométrica de les nudos, así como la determinación de los distintos elementos que forman la estructura. Se le conoce como modelización. En nuestro ejemplo tomamos 5nudos y 4 barras según: a. Definicióngeométrica de los nudos:

0

0

0

1

0

2

0

3

0

4

b. Características de las barras:

1

2

0.25

0.00521

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2

3

0.25

0.00521

3

4

0.25

0.00521

4

5

0.25

0.00521

21

Empleando el método de las deformaciones, es decir resolver la ecuación:



Donde P es el vector de cargas, del vector de deformacionesque es nuestra incógnita y k la matriz de rigidez de la estructura. Esta matriz se forma por ensamble o acoplamiento de las matrices de rigidez elementales. Estas representanlas reacciones (fuerzas o momentos) que se producenen los nudos de un elemento cuando a uno de ellos se le provocauna deformación o un giro unitario.

En nuestro ejemplo los elementos son barras cuya matrizde rigidez elemental aparece en la figura siguiente. En el casode elementos finitos las expresiones de la matriz de rigidezresultan más complejas, pero en todo caso responden características análogas.

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A

:

Área

I

:

Inercia

E

:

Módulo de elasticidad

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                                  [        ] Notemos que en el caso de barras la matriz de rigidezviene expresada en coordenadas locales de la barra,donde eleje X' corresponde al eje de la barra en el sentido del nudoi al nudo j y el eje Y* es perpendicular a éste y formando sentido positivo. E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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                

según el método de las deformaciones, las matrices elementales se deben ensamblar para formar la matriz de rigidez global. Para esto, las matrices elementales deben estar en coordenadas globales. La operación de ensamblaje consiste en la formación de una matriz K 15*15. La que se obtiene por la superposición de las matrices de los elementos sumando termino a término. La diagonal principal y los elementos cercanos se les denomina ancho de banda y representa la máxima separación de nudos unidos por un elemento y multiplicado por el número de libertades por nudo.

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Nudo

Libertad

1

2

3

4

5

1

1 1 2

2 2 3

3 E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

6

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3 4

4 4 5 5 5

 todos los términos sestan afectados del coeficiente 10 6.

Considerando la matriz de masas diagonal, como se desarrolló en el primer capítulo, nos encontramos con una matriz con todos los elementos finitos fuera de la diagonal nulos, así como también las masas de giro. En nuestro ejemplo tendrán el valor 0.625 en los nudos no extremos y 0.3125 en los dos nudos extremos, teniendo la matriz de masas la forma:

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esta operación es muy importante y esencial en todo el proceso de condensación, pues de ella depende en una parte la buena calidad de los resultados. Estamos tomando en el ejemplo dado dos grados de libertad, ambos de movimiento horizontal, y situados en los nudos 3 y 5. De acuerdo con la expresión K* tiene la expresión

Donde



, 

 la matriz de rigidez condensada

 es la inversa de la partición de la matriz de flexibilidad

correspondiente a los grados de libertad primarios. Con esta idea, la forma práctica de operar será cargar la estructura con cargas unitarias en los puntos donde hemos situado los grados de libertad y resolver la estructura con estas cargas, calculando las deformaciones generales de la estructura. En el ejemplo las cargas unitarias serán en dirección X y en los nudos 3 y 5. Una vez resuelto el sistema. E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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

donde F son estas fuerzas unitarias, obtenemos la matriz de deformaciones de la estructura que aparece escrita en la figura III.8, donde la primera columna corresponde a las deformaciones cuando se sitúa en el nudo 3 una fuerza unitaria en la dirección X. La columna 2 son las deformaciones cuando la fuerza unitaria está en el nudo 5. En la figura III.8 está escrita la matriz



y su inversa



.

Este proceso es inmediato si nos remitimos a la expresión:

T

 F 11  F 12

* F 11

1

Donde las matrices F11 y F12 son deformaciones calculadas en la siguiente expresión:

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0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.080

0.176

0.0

0.0

28

0.0144 0.036  D  10 3 *

0.256

0.640

0.0

0.0

0.192

0.576

0.448

1.296

0.0

0.0

0.192

0.720

0.640

2.048

0.0

0.0

0.192

0.768

 F 11  10 3 *

0.256;0.640 0.640 : 2.048

La anterior matriz es la matriz deformada para cargas unitarias en los grados dee libertad primario y la obtención de F11. Además se muestra la matriz F11-1.

 F 111  104

1.79

0.558

0.558

0.223

Es a partir de este punto donde obtengo la matriz de transformación T.

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T

 F 11  F 21

4

* F11

1

1

; F 11  10

1.79

0.558

0.558

0.223

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.080

0.176

0.448

0.053

0.0

0.0

0.0

0.0

0.144

0.336

0.695

0.053

0.256

0.640

1.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.192

0.576

0.215

0.214

0.448

1.296

0.76

0.39

0.0

0.0

0.0

0.0

0.192

0.720

0.58

0.53

0.640

2.048

0.0

1.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.192

0.768

0.85

0.64

 F  103

 T  

29

g) MATRIZ DE TRANSFORMACION CONDENSADA k: Se ha visto la expresión de F11-1 la cual es:

k*  F 111  104

1.79

0.558

0.558

0.223

Con la siguiente expresión obtenemos entonces la MATRIZ DE MASA CONDENSADA.  M *  T T  MT  Pero se sabe que la matriz de masas es una matriz diagonal por lo que la expresión queda de la forma:

 M *ij  T T il M ll T lj Y para los elementos que concierne a la diagonal:

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mij * 

30

n



tki 2 .mkk

 

k 1

Y para elementos que no conciernen a la diagonal: n

mij *   t ki .t kj mkk

 

k 1

NOTA: Se deberá tener en cuenta que la matriz M* no siempre será una matriz diagonal.

Para el caso de la matriz del ejemplo tenemos:  M * 

1.11

0.173

0.173

0.41

h) OBTENCION DE FRECUENCIAS Y AUTOVALORES:

Dada la expresión:

 K * w2 M  *  0 Se puede obtener una ecuación de grado “n” en

2

w

, cuyas soluciones son las frecuencias

propias de vibración, para nuestro caso las soluciones son:

w12  7460 w22  2.61*105 Estas corresponden a las frecuencias y están dadas en ciclos por segundo.

 f  1  13.74  c.p.s   f  2  81.30  c.p.s 

Las soluciones analíticas para una ménsula tienen la expresión:

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w1  wn 

 0.597 

2

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 EI 

2

 L

m

 n  0.5

2

2

 

2

 L

EI  m

, si n  2

En nuestro caso tenemos las frecuencias d

w1  14.14 c.p.s.  w1  81.30  c.p.s.

e:

w1  14.14 c.p.s.  w1  81.30 c.p.s.

Haciendo una comparación de las frecuencias teoricas con las frecuencias de condensación, se deduce la excelente aproximación del método dado que las diferencias en las frecuencias son minimas.

Ahora, si sustituimos el valor de

w

1

 en el determinante anterior y eliminamos una

ecuación, como por ejemplo, como la primera; resolviendo la siguiente expresión se obtiene las deformadas modales:

k  w2 M  .   0   

0.416

0.885

0.885 1.04

Los coeficientes de participación se obtienen mediante la expresión siguiente: 1

 j     D j   j  i)

1.26     0.81 0.27 1  0.54

0.68

0.58 1

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMACION T: Conocido como el proceso de expansión, una vez obtenida la expresión de la matriz   de autovalores del modelo condensado, realizamos el producto T   que permite obtener las

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deformadas de todos los nudos en la estructura parca cada modelo condensado. Estas deformadas se representan a continuación:

w1   13.74 c.p.s PROCESO DE EXPANSION  D



w2   81.30 c.p.s 

T    :

.

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 j)

0.416

0.085

1.24

-1.04

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.448

0.053

0.119

0.451

0

0

0

0

0.695

0.053

-0.223

-0.672

1

0

0.416

0.885

0

0

0

0

0.215

0.214

-0.35

0.032

0.76

0.39

0.80

0.273

0

0

0

0

0.58

0.53

-0.418

1.08

0

1

1.24

-1.04

0

0

0

0

0.85

0.64

-0.439

1.43

8

33

Obtención de los esfuerzos y tensiones: Ya conocemos los movimientos de los nudos en la estructura, entonces ahora se debe calcular los ESFUERZOS MODALES que actúan en los distintos elementos, o las tensiones. Como ejemplo en la siguiente figura se indican las deformaciones de la barra 2 y se han escrito los esfuerzos. Se les va considerara positivos los de la cara dorsal respecto de los ejes locales de la barra.

Estos esfuerzos corresponden al espectro de respuesta vienen afectados del coeficiente de partición de cada modo.

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DEFORMACIONES DEL MODO 1:

 Dx=0.416   Nudo 3=  Dy=0.000 Gy=-0.354 

Dx=0.119   Nudo 2=  Dy=0.000  Gy=0.223  Coeficientes de participación: 1-26

Aceleración máxima Sa obtenida en el espectro: 3.21

De esta manera indicamos los esfuerzos modales de una barra:

BARRA NUDO AXIAL CORTANTE MOMENTO 2

2

0

5.09

7.77

2

3

0

-5.09

-4.70

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Capítulo II: Condensación dinámica (M. Paz)

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36

Recientemente se ha propuesto (Paz, 1984, 1986) un método de reducción, que puede considerarse como una ampliación del método de condensación estática. El algoritmo para este método empieza asignando un valor aproximado (por ejemplo, cero) al primer valor característico



, aplicando condensación dinámica

,-,-, ,-,-,-

a la matriz dinámica del sistema la cual está dada por

. El

algoritmo continua con la solución del problema característico reducido, para determinar los valores característicos primero y segundo,

. A continuación se

aplica la condensación dinámica a la nueva matriz dinámica

,

para reducir el problema y calcular los valores característicos segundo y tercero,



, El proceso continua de este modo obteniendo, en cada paso, un valor

característico virtualmente exacto y una aproximación al valor característico del siguiente orden. El método de condensación dinámica, como se ha indicado, no requiere ni inversión de matrices ni tampoco desarrollos en serie. Para demostrar este hecho consideremos el problema característico de un sistema estructural discreto, para

* +   {} ,-  {*  ̈̈ +}  ,-  {*+}  **++

el cual se desea reducir los grados de libertad secundarios   y retener los grados de libertad primarios , en caso, las ecuaciones de movimiento libre pueden escribirse en matrices con particiones, en la forma

E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

37

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

(13.28)

*+  *+  ,-   {*  ̈̈ +}  **++

La sustitución de

  en la ecuación (13.28), nos da el problema

característico generalizado

Donde

 

(13.29)

  es la aproxinmacion al valor característico de orden

aproximado para

i.

Este valor

, fue calculado en el paso precedente del proceso. Para

comenzar el proceso, se toma un valor aproximado o simplemente cero para el primer valor característico



.

Los tres pasos siguientes son ejecutados para calcular el valor característico de orden i ,   y el vector característico correspondiente , así como una



aproximación para el valor característico del orden siguiente Paso I.

 ,,-- ,-{*+}  **++

El valor aproximado de

*+

:

 se introduce en la ecuación (13.9); se aplica el

procedimiento Gauss-Jordan para eliminar las coordenadas secundarias reduciendo la ecuación (13.29) a

*+

(13.30)

La primera ecuación en la ecuación (13.30) puede escribirse como

*+,-{}

Consecuentemente,

* +

(13.31)

 puede expresarse como

*+  ,-{}

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(13.32)

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

Donde

Y

Paso 2.La

,-,,̅-- *+ {*+} ,,̅-,-,-,,-,-,̅,   ,,- ,̅-{}

matriz de masa reducida

calculan como

(13.33)

  y la matriza de rigidez reducida

 

Y (13.35)

En que la matriz de transformación matriz dinámica reducida Paso 3. El

38

,-

, la

(13.34)

, es dada por la ecuación (13.33) y la

 es definida en la ecuación (13.30).

problema característico reducido

(13.36)



Es resuelto, para obtener un valor más aproximado , su correspondiente vector característico , como también una aproximación para el valor característico

{} 

del siguiente orden,



.

Estos tres pasos pueden ser aplicados en un proceso iterativo. Esto es, el valor de  obtenido en el paso 3 puede ser usado como valor más aproximado en el paso



I y obtener un valor de



más exacto en el paso 3. La experiencia ha demostrado

que una o dos de estas iteraciones produce una solución virtualmente exacta del problema característico. Una vez que el vector característico   del sistema

{}

reducido ha sido calculado, se denomina el modo normal de orden i   del sistema, aplicando

la

ecuación

(13.32)

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como

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

39

*+ ,-{} Ejemplo Nº1: En la figura se muestra un edificio simple, de iguales propiedades en todos sus pisos. Para esta estructura determinar lo siguiente: (a) las frecuencias naturales y los modos normales correspondientes al sistema con cuatro grados de libertad, (b) las frecuencias naturales y modos naturales, calculados después de la condensación dinámica de las coordenadas y1 e y3.

Figura: Edificio simple para el ejemplo Nº1

Las matrices de rigidez y de masa con las coordenadas en el orden y 1, y2, y3, y4 están dadas, respectivamente, por las ecuaciones: Matrices de rigidez y de masa: E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

    ,-          ,-    

40

 

(a)

 

(b)

La aplicación de estas matrices en la ecuación (13.29), nos da la matriz dinámica del sistema:

               ,-       ] [                     ,-                              ,-       ,̅-     

Paso I.

Suponiendo que no tenemos una estimación inicial para

proceso sustituyendo

(a)

, empecemos el

 en la ecuación (a):  

(b)

La aplicación del proceso Gauss-Jordan, para eliminar las dos primeras filas, nos da

Que por las ecuaciones (13.30) y (13.33), da

Paso 2:  

las matrices reducidas de rigidez y de masa son calculadas por las

ecuaciones (13.34) y (13.35) como E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

,-,-,-,-       ,-,-,-                             ,-                              ,-       ,-    ,-  ,-,-,-       ,-  ,- ,-    Paso 3:

41

la solución del problema característico y

Estos valores para

 y

 pueden mejorarse por iteración, esto es, introduciendo

 en la ecuación (13.29). Esta sustitución nos da

La eliminación de las dos primeras filas da

de donde

Y

Las matrices reducidas de masa y de rigidez son, entonces,

y

La solución del problema característico reducido

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42

,- ,-{} *+

Prodúcelos valores característicos

    {}  {}   

(c)

Y los correspondientes vectores característicos  

(d)

El mismo procedimiento se aplica al segundo modo, empanzando por introducir

              ,-                            ,-     ,-    ,-  ,-,-,-  

en la ecuación (13.29) el valor aproximado para

, calculado para aqu{el

en la ecuación (c). en este caso, obtenemos

La eliminación de las dos primeras filas da

de donde

y

Las matrices reducidas de masa y rigidez son, entonces,

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y

,-,-,-   ,-,-{} *+                 ,-                      

La solución del problema característico reducido

Da

Seguimos con una iteración

 en la ecuación (13.29) para obtener:

Eliminando las dos primeras filas:

de donde

Y

     ,-     ,-    ,-  ,-,-,-  

Las matrices de masa y rigidez son

y

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43

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44

,-,-,-   ,- ,-{} *+ {}

La solución del problema característico

ahora da

 

 

(e)

Por lo tanto, de las ecuaciones (c), (d) y (e), hemos obtenido los dos primeros valores característicos

    {}  {}   

(f)

Y los correspondientes vectores característicos  

(g)

Los vectores característicos para el sistema son entonces determinados por la ecuación (13.32) como sigue:

                                   

y ordenando

 

(h)

Y

y ordenando

 

(i)

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Los valores característicos y los vectores característicos

45

,( ) () ()-

,

calculados para este ejemplo, usando condensación dinámica, son virtualmente idénticos a los valores obtenidos en la solución exacta del problema, ecuaciones (c) y (d) del ejemplo 13.3. Debe notarse que la normalización de los vectores característicos, ecuaciones (h) e (i) no es necesaria cuando los vectores característicos reducidos están normalizados con respecto a la masa reducida del sistema, esto es, si el vector característico satisface la ecuación de normalización

{}

{},-{} {},-,-,-{}

Entonces por la ecuación (13.34) obtenemos

y puesto que por la ecuación (13.32)

*+  ,-{}

,

vemos que

*+,-*+ * +  ,- {}

Esto demuestra que el vector característico   resulta normalizado, con respecto a la matriz de masa del sistema , si   ha sido normalizado con respecto a la masa

,-

 del sistema reducido.

En la siguiente figura se muestra Un edificio simple, de iguales propiedades en todos sus pisos. Usando el método de condensación m

dinámica.

y4 para todos los pisos: m=kp*seg2/cm

k m

E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II y3 para todos los pisos: k=327.35 kp/cm

k m y2

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

Los factores participantes calculados por:

 ∑    (() )      Usando los valores de h del ejemplo 1son:

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46

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

47

Los desplazamientos espectrales, obtenidos del diagrama espectral de la figura 8-10 de la sección 8.4,para las frecuencias naturales determinadas en la ecuación (f)del ejemplo 1,a saber. 1000 500

1  0   0  0  

   0    0    0    1    0    0     5

d  e  s    p l  a  z  a  m   i  e n  t  o 

   0    0    2

   0    0    1

200

e n   p u   l  a   g   d  a  s  

   0     5

100

1  0  

   0    1 movimiento maximo del terr eno

5   2  

    5

1  

20

0  . 5  

   2    1     5  .    0

0  . 2  

10

   2  .    0

0  . 1  

   1  .    0

0  . 0  5  

5

    5    0  .    0

0  . 0  2  

   2    0  .    0

0  . 0  1  

2

2  0   0  

2  0      0    2

50

5  0   0  

  d   d  a    v  e   a    r   g     l  a   d  e 1  0      n    i  o 0     c    r  a   e    l   e 5  0     a  c

   1    0  .    0

0  . 0  0   5  

    5    0    0  .    0

1 0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

Fig.8.10.rspuesta espectral para diseño normalizado a 1.0g con 5% de amortiguación .(reproducido de N.M.NEWMARK Y W.J.HALL “procedures and

criteria for earthquare resistant desing”building practices for disaster

 √   √  

mitigation, dept. of commerce, feb. 1973)

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

48

Los desplazamientos máximos a nivel de los pisos, con relación al desplazamiento de la base, calculados por:

  ∑ () ERRORES EN LOS DEPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTO PIS EXACTO CONDENSACION ERROR CONDENSACION O (cm) DINAMICA(cm) DINAMICA % 1 6,274 6,275 0,00 2 11,65 11,65 0,00 3 15,64 15,65 0,00 4 17,81 17,8 0,00 Condensación dinámica con una iteración: Son:

 ()  ( )   ()  ( )   ()  ()   () ()  E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

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49

De la tabla anterior el método de condensación dinámica con una iteración de resultados virtualmente exactos para los desplazamientos cuando solamente se consideran los modos del sistema reducido.

El método de condensación dinámica esencialmente requiere de aplicación de operaciones elementales , las cuales llevan a cabo en forma rutinaria en solución

de un sistema lineal de ecuaciones algebraicas, usando el

proceso de eliminación gauss-jordan.las operaciones elementales se requieren para transformar la ecuación (13.29)en forma dada por la ecuación 13.30. Sin embargo el método también requiere el cálculo de la matriz reducida de masa la cual está dada por la ecuación 13.34. Esta última ecuación corresponde la multiplicación de tres matrices de dimensiones igual al número total de coordenadas en el sistema. Por lo tanto, por un sistema definido por muchos grados de libertad, el cálculo de la matriz reducida de masa requiere un número grande de operaciones numéricas. Una modificación del método de condensación dinámica recientemente propuesta por paz (1989), evita tener que efectuar tal cálculo .eta modificación consiste en la determinación única de la matriz de rigidez k por la simple eliminación de desplazamientos en la ecuación 13.29(después de hacer w=0)esto hace el cálculo innecesario de k para cada modo usando la ecuación 13.35.aun mas, la modificación propuesta también elimina el tiempo consumido al calcular l1a matriz reducida de masa para el modo i se calcula de la ecuación 13.35 como

,-  ⌈̅⌉,-

………………….(13.37)

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50

̅ ⌈  ⌉ ,Donde

es la matriz reducida de rigidez, la cual ya ha sido calculada y

es la matriz dinámica indicada en la participación de la matriz de la

ecuación (13.30). Como se ha visto, el método modificado de condensación dinámica esencialmente requiere, para cada frecuencia natural calculada, la aplicación de proceso gauss- Jordán para eliminar s incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales, como el sistema de la ecuación (13.29) .

Ejemplo 3. Usando el problema Nº1 para nuestro ejemplo ilsutrativo usando el método de condensación dinámica.

Los cálculos iniciales del método modificado son idénticos a los emprendidos en el problema Nº1. Por lo tanto, del problema Nº 1 tenemos.

    ,-      ,-           ,-    ,-     (a)

  (b)

 ,

 

 

(c) (d)

Y

 (e)

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51

Ahora, la matriz reducida de masa se calcula de la ecuación (13.39), después de

,- ,- ,- ,,-   , -  ,-   sustituir en esta ecuación

  por

 y

 por

 dadas por las ecuaciones (a) y

(d), respectivamente, y obtenemos.

 

(f)

Las matrices reducidas de rigidez y de masa dadas por las ecuaciones (a) y (f) se usan para resolver el problema característico reducido

, - ,- {} *+  

Y obtener los valores característicos.

     ,

 

(g)

Y el vector característico del primer modo.  

(h)

El vector característico en términos de las cuatro coordenadas originales se obtiene, entonces, de la ecuación (13.31) como.

        

 

(i)

La combinación de las ecuaciones (h) e (i) da el vector característico para el primer modo:

       

  (j)

Análogamente, para el segundo modo, en la ecuación (a) del ejemplo 13.5 hacemos , de la ecuación (g), para obtener las siguiente matrices, después de reducir las primeras dos coordenadas. E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

  ,-    ,-   ,                          ,-              

La matriz reducida de masa

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 se calcula entonces de la ecuación (13.37) como.

Finalmente, la solución del correspondiente problema característico reducido da par el segundo modo.

Valor característico Modo

Solución

Condensación Error

%

Método

Error %

E. A. P. Ingeniería Civil | Análisis Estructural II

Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

exacta

dinámica

1

39.48

39.48

0.00

39.46

0.05

2

327.35

327.35

0.00

319.41

2.42

53

modificado

Los resultados obtenidos en este ejemplo mediante el método modificado, aun cuando son suficientemente aproximados, no están tan cercanos a la solución exacta en comparación con los resultados obtenidos en el problema Nº1 con la aplicación directa del método de condensación dinámica. La tabla dada muestra y compara los valores característicos calculados en ambos ejemplos con la solución exacta de este problema.

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Aplicación de la Condensación cinemática al análisis dinámico de estructuras.

-

Se logró describir el procedimiento de la condensación dinámica.

-

Logramos aplicar el método en la realización de ejemplos numéricos.

-

Logramos mostrar la aplicación en el análisis de estructuras reales.

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