Aplicación de Funciones en La Ingenieria de Sistemas (Julio Canepa)

INTRODUCCION

Las funciones matemáticas son de gran importancia para darle solución a mucho muchos s probl problema emas s de la vida vida cotid cotidian iana, a, por por lo cual cual para para nuest nuestra ra carrera carrera también son muy útiles por el cual podemos estudiar fenómenos fenómenos en el cual cual se pued puede e pred predec ecir ir por por medi medio o de func funcio ione nes s respu espues esta tas s tangibles o aproximarse a un resultado. En el presente trabajo, se detallarán las caracter caracter   sticas sticas de las diferentes funciones matemáticas matemáticas y  y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana. Las funciones funciones a  a las !ue nos dedicaremos son las siguientes" •

#unción $rigonométrica #unción  $rigonométrica

•

#unción %uadrática #unción  %uadrática

•

#unción &fn 'Lineal(

•

#unción Logartmica

•

#unción Exponencial

•

#unción )olinómica

 $ambién  $ambién hablaremos hablaremos un poco sobre algunos algunos conceptos conceptos básicos de las funciones.

Funciones Funciones Constantes Numéricas o Absolutas *na constante es una expresión !ue tiene un valor +jo. *na constante numé numéri rica ca se escr escrib ibe e como como un núme númerro real. eal. Esto Estos s son son ejem ejempl plos os de constantes numéricas" 27123,7600,0076

Los números negativos son especi+cados con el signo '(. )or ejemplo"

−27 −123,760 −0,0076 %onstante &bsoluta *na constante absoluta es a!uella !ue en todos los problemas tienen siempre el mismo valor- existen muchas más constantes absolutas )or ejemplo" El número PI

( π ) o sea la relación entre el diámetro y el

perm permetr etro o de una una circun circunfer feren encia cia en geom geometr etra a eucli euclidia diana na en /0- el número

e  'la constante neperiana(.

%onstantes &rbitrarias *na constante &rbitraria, &rbitraria, es a!uella a la !ue se le pueden dar diferentes diferentes valores, siempre y cuando no altere a la ecuación diferencial.

%oncepto de 1ariable *na variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no especi+c especi+cado ado compren comprendid dido o en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos o variables, !ue pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. 2e llaman as por!ue varan, y esa variación es observable y medible. )or )or ejemplo ejemplo""  x

 x  es una variable del universo

{2 , 4 , 6 , 8 } . )or lo tanto,

puede puede tener cual!uiera cual!uiera de dichos valores, es decir !ue puede ser

reempla3ada por cual!uier número par menor a 4 .

5ntervalo de una variable Los intervalos son los subconjuntos conexos de /. 6ás precisamente, son las únicas partes 5 de / !ue veri+can la propiedad siguiente"si x e y

pertenecen a 5, x 7 y, entonces para todo 3 tal !ue x 7 3 7 y, 3 pertenece a 5. ')( 2e pueden clasi+car los intervalos según sus caractersticas topológicas 'intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos, abiertos y cerrados( o según su caractersticas métricas 'su longitud" nula, +nita no nula, o in+nita(.2e usan habitualmente dos notaciones" 8ab( o 8a- b8 para representar el conjunto de los x tal !ue a 7 x 9 b. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en #rancia y en la francofona. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina !ue el corchete es una mano !ue tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior,

a  pertenece al intervalo mientras !ue

b  no.

 $ambién existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis" si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como ':- ;( y ';- 0( 'es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda(, entre los dos intervalos cabe un signo ; 'o lo !ue corresponda según los intervalos( cabe, apretado pero cabe. 6ientras !ue si los dos intervalos son ':, ;< y 8;, 0(, o ':, ;< y ';, 0( el número no cabe, o cabe muy estrangulado. = sea, !ue si los dos intervalos son abiertos, el número ; no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio. &!u están todos los casos posibles, con a 7 b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud" ; . [ a , b ]  intervalo cerrado de longitud +nita o¿ 0 a,b¿ .¿

l = b −a . a ≤ x ≤ b .

intervalo cerrado en a, abierto en b 'semicerrado, semi

abierto(, de longitud +nita >. ¿ a , b ¿ o ¿

l =b −a . a ≤ x < b .

intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud +nita

l=b −a . a A:ON es evidente !ue

 radianes al ángulo sin

( θ + 2 π )=sin θ . Lo

mismo ocurre con las otras cinco funciones. Hadas sus respectivas de+niciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

2i el punto ), de la de+nición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero- por tanto, puesto !ue la división por cero no está de+nida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 4:O, 0B:O y 0B:O no están de+nidas. 2i el punto ) está en el eje x, la y es :- en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como :O, ;C:O y ;C:O tampoco está de+nida. $odos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a :.%omo r es siempre mayor o igual !ue la x o la y, los valores del varan entre

−1 y + 1 . La

tan θ

tener cual!uier valor real. La !ue

+1

y la

cot θ

!ecθ y la

o menor o igual !ue

sin θ

y

cos θ

!ue son ilimitadas, y pueden

c!c " pueden ser mayor o igual

−1 .%omo se ha podido ver en los

anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo. 2i

θ  es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo

'+gura ?(, las de+niciones de las funciones trigonométricas dadas más

arriba se pueden aplicar a

θ   como se explica a continuación. 2i el

vértice  A  estuviera situado en la intersección de los ejes

 x

de la +gura >, si  A#   descansara sobre la parte positiva del eje $

es el punto

sin θ= y /  =a / c

 P

de manera !ue

e

 y

 x  y si

 A$ = AP = , entonces el

, y as sucesivamente"

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. )or ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene !ue

θ= 45 °  y !ue

sabe, por el $eorema de )itágoras, !ue !ue

2

2

c =2 a

 o !ue

c =√ 2 a . )or tanto"

#unciones )olinómicas

2

2

2

c =b + a

b =a , y además se

. He a!u se deduce

Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales 'o más generalmente de números de cual!uier anillo(, por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra

 x -

es

decir,

un

polinomio

es

una

expresión

del

tipo

 P ( x )= a + bx + c x +% x + e x +& , en la !ue la mayor potencia de la variable 2

3

4

se la llama grado del polinomio.

%oncepto de %urva En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de lnea continua, de una dimensión, !ue vara de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sera el caso lmite de una curva de radio in+nito.

Pra+ca de una función En matemáticas, la grá+ca de una función

f  : ' → (   es la visuali3ación

de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográ+ca. $ambién

puede de+nirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados

( x , f  ( x )) de la función f  - es decir, como un subconjunto del producto cartesiano  ' )(  . Las únicas funciones !ue se pueden visuali3ar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. 2i la función es continua, entonces la grá+ca formará una curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visuali3arlas de forma unvoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visuali3ar cortes de la función para los !ue los valores de todas las variables excepto dos permane3can constantes. El concepto de grá+ca de una función se generali3a a la grá+ca de una relación. Qotar !ue si bien cada función tiene una única representación grá+ca, pueden existir varias funciones !ue tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes. Ejemplos" •

La grá+ca de la función

es D';,a(, '0,d(, '>,c(.

0( )'x( F x>  >x0 M 0x  B

Eercicios de Eem!los de A!licaciones de las Funciones" Problema # *n lan3ador de peso puede ser modelado usando la ecuación 2

 y =−0,0241 x + x +5,5 - donde

 x  es la distancia recorrida en pies y

 y

es la altura 'medida también en pies(- !ue tan largo es el tiroR 2olución" El lan3amiento termina cuando la pesa llega a tocar el suelo, por lo !ue  y =0  y esno nos lleva a tener una ecuación de la forma" 2

0 =−0,0241 x + x +5,5

*sando la fórmula de la ecuación cuadrática tenemos !ue" 2

a x + bx + c =0 → x =

−b * √ b 2−4 ac 2a

/eempla3amos los valores y procederemos a hallar

 x , asi"

−1 * √ ( 1 ) − 4 (−0,0241 ) ( 5,5 )  x1= 46,4  x = = 2 (−0,0241 )  x 2=−4,9 2

{

%omo podemos ver, la solución es  x =46,4 +e!  ya !ue la otra solución no es válida ya !ue nos resulta una distancia negativa. 2i !ueremos saber dónde se encontrará el peso en su máxima altura podemos hacer una grá+ca para hallar tal distancia

He la grá+ca se puede observar !ue en aproximadamente la distancia desde el punto de lan3amiento a 0; pies, se encuentra la bala en su máxima altura la cual seria ;@,CB;4pies aprox.

Problema $ 30 -g *n algodonero recoge cada hora, y demora media hora preparándose todos los das cuando inicia la jornada. La función lineal !ue representa esta situación es"

 y =30 t  15

Honde  y representa los Sg de algodón recogido y transcurrido en horas.

t 

el tiempo

 $abule y gra+!ue la función lineal- Tcuánto algodón ha recogido el algodonero en una jornada de C horasR 2olución" /eempla3ando valores en la función lineal tenemos !ue"  y =30 ( 8 )  15 =225 -g

)or lo !ue en una jornada de trabajo de CJ, el algodonero logra recolectar 00@g de algodón. La tabla y su grá+ca se muestran a continuación"

Problema % *na población de aves, cuenta inicialmente con @: individuos y se triplica cada 0 aIos. ;. T%uál es la fórmula de la función !ue representa el crecimiento de la población de avesR 0. T%uántas aves hay después de ? aIosR >. THespués de cuánto tiempo la población de aves será de ;::: individuosR 2olución" ;. *sando la fórmula de la ecuación exponencial tenemos !ue" f  ( x )=50 ( 3

 x / 2

)

0. &hora las aves !ue hay pasado ? aIos es la siguiente" f  ( 4 )=50 ( 3

4 /2

) =50 ( 3 )=50 ( 9 ) =450  Ave! 2

>. El tiempo !ue tarda en !ue la población de aves sea ;::: se calcula asi" 1000=50 ( 3

 x / 2

) → 20 =3 x /2

&hora aplicamos la ley de los logaritmos y tenemos !ue"

( )=

ln20  x ln20=  ln 3 → x =2 2 l /3

5,45 a0o!

&hora tabulemos valores y gra+!uemos la función, como se muestra a continuación"