Aplicación de Ecuaciones Diferenciales Exactas en Termódinámica y Transferencia de Calor

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Como ya vimos las ecuaciones se pueden usar en diferentes aplicaciones de la vida diaria. Las ecuaciones Exactas por su facilidad en cuanto a seguir una regla matemática pueden ser usadas para obtener ecuaciones generales de crecimiento de tasa Una propiedad de un sistema puede ser definida en función de las restantes propiedades a través de una ecuación diferencial. Esto equivale a decir “una propiedad o función de estado es una función de variables de estado. !ea " la propiedad de un sistema# que depende de las propiedades x e y. !i las propiedades x e y definen completamente al sistema# entonces " $ "%x#y& es un unaa fu func nció iónn de es esta tado do.. 'e es esta ta ma mane nera ra## un pe pequ que( e(oo ca camb mbio io en la proopi pr pieeda dadd " %d %d"& "& pue uedde ex exppliliccar arsse po porr pe peqque ue((os camb mbio ioss en la lass propiedades x %dx& e y %dy& de acuerdo con)

Esta expresión se denomina diferencial exacta# y se caracteri*a porque su valor  %d"& depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables %x e y&. Esta ecuación diferencial total nos proporciona una forma de calcular  los cambios de una función de estado a través de los cambios combinados de las variables independientes i ndependientes.. Una diferencial inexacta es una función matemática cuyo valor ya no depende exclusivamente de los valores iniciales y finales de sus variables# sino que además# depende del camino seguido para producir estos cambios en los valores de las variables.

+ara determinar si una diferencial es exacta o inexacta# se aplica el criterio de Euler. Cualquier diferencial# independientemente de su exactitud o no# puede ser escrita como)

donde , y - son funciones de las propiedades x e y. !i d" es una diferencial exacta# deberá existir una función " $ "%x#y& tal que se cumpla que)

Comparando las dos ltimas ecuaciones# se deduce que)

entonces d" es diferencial exacta si y sólo si cumple la regla de !c/0art* de las segundas derivadas cru*adas# las derivadas segunda de estas funciones deben ser iguales# pues)

+or lo tanto# el criterio de Euler para establecer la exactitud de una diferencial es)

1esumiendo) una propiedad o función de estado es una función de variables de estado. +ara que una función " sea una función de estado# es necesario y sufici suf icient entee que la dif difere erenci ncial al d" sea una dif difere erenc ncial ial ex exact acta. a. Las sig siguie uiente ntess cuatro afirmaciones son equivalentes2 si una de ellas se cumple# las otras tres también se cumplen) 3.

" es una función de estado2

4.

d" es una diferencial exacta2

5.

6d" $ 7 2

8.

6d" $ " 9 " # in inde depe pend ndie iennte del ca cami minno rec recor orri rido do..

Coeficientes Termodinmicos

Los co Los coef efic icie ient ntes es term te rmod odin inám ámic icos os so sonn rela re laci cion ones es entr en tree propie prop ieda dade dess termodinámicas. ,atemáticamente son derivadas parciales de una variable respecto de otra. E:emplos) •

Coeficiente de dilatación lineal#

•

Calor espec;fico a presión constante#

•

Coeficiente de compresibilidad isotérmico#

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES ECU ACIONES DIFERENCIALES EN TERMODINÁMICA  El calor transferido tiene una dirección as; como también una magnitud  La tasa de conducción de calor en una dirección especificada es proporcional al gradiente de temperatura # el cual es el cambio de temperatura por unidad de longitud. < El calor fluye desde un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura que está en contacto con el primero. 'e forma vectorial) /aciendo las sustituciones respectivas# y reordenando adecuadamente los términos) finalmente tenemos la ecuación en coordenadas cartesianas

A!"ic#ci$n en tr#nsferenci# de c#"or 

CONDUCCIÓN DE CALOR < La conducción de calor o transmisión de calor por conducción es un proceso de transmisión de calor basado en el contacto directo entre los cuerpos# sin intercambio de materia.

Ley de =ourier  Establece que el flu:o de transferencia de calor por conducción en un medio isótropo es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura en esa dirección.

'e forma integral ) transferencia de energ;a si se expresa la ley de la conservación de la energ;a en su forma mas elemental# energ;a que entra menos la energ;a que sale mas la energ;a que se genera menos la energ;a que se consume es igual a la energ;a que se acumula se obtiene la siguiente ecuación diferencial) +1>-C>+>? 'E @1A-!=E1E-C>A 'E CAL?1 Ec%#ci$n diferenci#" e&#ct# en tr#nsferenci# de c#"or 

La ecuación del calor es de importancia fundamental en campos cient;ficos divers diversos. os. En matemáticas matemáticas## es el prototipo de ecua ecuación ción difer diferencia enciall parc parcial ial parabólica.. En estad;stica parabólica estad;stica## la ecuación del calor está conectada con el estudio de ,ovimiento bro0niano2 bro0niano 2 la ecuación de la difusión# difusión # una versión más general de la ecuación del calor# se presenta con respecto al estudio de la difusión qu;mica y de otros procesos relacionados. 'UE DESCRI(E)

La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las mltip ml tiples les apl aplica icacio cione ness qu quee tie tiene ne en div divers ersas as ram ramas as de la cie cienc ncia. ia. En las matemáticas generales# representa la t;pica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estad;stica está relacionada con los procesos aleatorios. +or otro lado# en el campo de la qu;mica nos predice# entre otros procesos de transferencia de calor# que si :untamos un material a 7B y otro a 377B# rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 7B. DE DONDE SE LA O(TIENE)

Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas parciales lineal y de segundo orden %E'+& con 4 variables independientes D e .

!i “U “U re repr pres esen enta ta la va varia riabl blee de depe pend ndie ient ntee 2 y “D “D e “ “ re repr pres esen enta tann la lass variables independientes# entonces tenemos que)

donde A#F#C#...#G son funciones de x e y. Cuando G%x#y& $ 7# se dice que la ecuac Cuando ecuación ión es /omog /omogénea énea22 en caso contrario se dice que es no /omogénea. E:emplo))

$ 7 Ecuación /omogénea $xy Ecuación no /omogénea  Algunos e:emplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempe(an un papel importante en >ngenier;a son las siguientes.

*+ Ec%#ci$n ,idimension#" de L#!"#ce

-+ Ec%#ci$n %nidimension#" de ond#

Ec%#ci$n %nidimension#" de" c#"or 

En esta investigación vamos a centrarnos solamente en la ecuación del calor  ya que es el tema que nos corresponde anali*ar en la cual no vamos a deducir  la forma en que se obtuvo# sino nicamente en cómo se la resuelve para poder  aplicarlas en los problemas propuestos. +ara res +ara resolv olverl erlaa va vamos mos a ap aplica licarr un pro proce cedim dimien iento to gen genera erall con conoci ocido do co como mo método de separación de variables# el cual vimos durante las /oras de clase en la materia de matemática avan*ada# aqu; lo más importante respecto a dic/o método. ,E@?'? 'E !E+A1AC>H- 'E IA1>AFLE!) Este método busca una solución particular en forma de un producto de una función de “x# una función de “y# como U%x#y&$ D%x&. %y&  A veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales lineal con 4 variables en 4 ecuaciones ordinarias. +ara /acerlo notemos que)

'?-'E) DJderivación ordinaria 2 Jderivación ordinaria 'e esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se redu re duce ce al pr prob oble lema ma má máss co cono noci cido do de re reso solv lver er ec ecua uaci cion ones es dif difer eren enci cial ales es ordinarias. >lustraremos esta técnica para la ecuación del calor. Ecuación del calor  La ec ecua uaci ción ón un unid idim imen ensi sion onal al de dell ca calo lorr es el mo mode delo lo de va vari riac ació iónn de la temper tem peratu atura ra use usegn gn la pos posici ición ón xy el tie tiempo mpo ten una var varilla illa ca calen lentad tadaa de longitud Ly de temperatura inicial f%x&que se extiende a lo largo del e:e xy cuyos

extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. !i El flu:o de calor se produce solamente en la dirección del e:e x. -o se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla. -o se genera calor en la varilla. la varilla es /omogénea# esto es# su densidad por unidad de longitud es constante. su calor espec;fico y su conductividad térmica son constantes# entonc ento nces es la te temp mper erat atur uraa u% u%x# x#t& t&de de la va vari rillllaa es está tá da dada da po porr la so solu luci ción ón de dell problema con condiciones iniciales y de contorno

La constante K es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad térmica.

SOLUCIÓN DEL PRO(LEMA

+ara resolver este problema por el método de separación de variables# se empie*a por suponer que)

@iene una solución de la forma )

+ara de +ara dete term rmin inar ar Dy @# pr prim imer eroo se ca calc lcul ulan an la lass de deri riva vada dass pa parc rcia iale less de la función u

F>FL>?G1A=A •

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