APLICACION DE DERIVADA EN CALCULO DE VIGAS

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

PRESENTACION El siguiente trabajo se ha realizado con el motivo de dar a conocer lo importante que es aprender Calculo 1, Calculo 2 y las otros conceptos básicos que debemos tener muy presentes al momento de resolver problemas cotidianos que se nos presentara en nuestra carrera Ingeniería Civil, como por ejemplo como resolver un cálculo de una viga y otros cálculos de estructura.

INGENIERIA CIVIL

Página 1

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

Indice 1. NOMBRE DEL PROYECTO. APLICACIÓN DE DERIVADAS EN EL CÁLCULO DE UNA VIGA 2. FORMULACION DEL PROBLEMA: 3. OBJETIVOS: 4. HIPOTESIS 5. CONTENIDO MARCO TEÓRICO Aplicación de las Derivadas en los Problemas de Ingeniería Civil i. Resistencia de Vigas ii. Ecuaciones de equilibrio iii. Cálculo de Derivadas iv. Funciones Implícitas v. Cálculo de la primera derivada vi. Derivada de Orden Superior CONCLUSIONES Bibliografía ANEXOS

INGENIERIA CIVIL

Página 2

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

1. NOMBRE DEL PROYECTO. APLICACIÓN DE DERIVADAS EN EL CÁLCULO DE UNA VIGA INTRODUCCIÓN : La madera ha sido en el pasado el material más utilizado para construir, hasta que los avances tecnológicos en hormigón y acero la relegaron a un segundo plano. El uso del cálculo diferencial es muy amplio tanto en los trabajos de ingeniería civil, al igual que en diversas ramas. Teniendo en cuenta la importancia de la madera, no solo en el sentido tradicional o decorativo, sino también como material suplente del hormigón (tal como se lo hacía hasta unas cuantas décadas atrás en nuestro país), se ha dedicado un espacio para presentar un ejemplo práctico y muy útil, como es el cálculo de la máxima resistencia de una viga en función de sus dimensiones; lo cual es muy útil al momento de cortar una barra a partir de un tronco, aprovechando completamente su espesor y su anchura. Una demostración muy sencilla, pero ventajosa al momento de decidir las medidas de la viga que será extraída. Un problema matemático que, sin el conocimiento del cálculo de máximos y mínimos a través de la derivada, sería muy complejo de solucionar. En la ingeniería civil la aplicación del cálculo diferencial, principalmente las derivadas de puntos máximos y mínimos son de gran relevancia ya que nos ayudan a identificar la flexibilidad de una viga de madera dependiendo de la calidad de esta. Los futuros ingenieros civiles debemos tener dominio de estos conceptos que sustentan los sistemas de la ciencia y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y precisar el comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional. En este proyecto se detalla la aplicación de máximos y mínimos en una función para calcular la viga con mayor resistencia que se puede obtener a partir de un tronco en general.

INGENIERIA CIVIL

Página 3

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

2. FORMULACION DEL PROBLEMA: La resistencia en una viga viene dada por la relación directamente proporcional entre en el ancho y el cuadrado del espesor de la misma lo que se obtiene aplicando el cálculo infinitesimal como es el cálculo de máximos y mínimos a partir de la primera derivada. Así como también podemos hacernos las siguientes preguntas: -

¿Qué importancia tiene el cálculo infinitesimal dentro de los conocimientos necesarios que debe adquirir un estudiante de la carrera de Ingeniería civil para aplicarlo en el diseño de obras civiles?

-

¿Cómo aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura de cálculo diferencial, en el contexto de la ingeniería civil?

-

¿Cómo determinar y analizar el método científico de cálculo diferencial aplicado en el ejercicio para encontrar la viga de madera con mayor resistencia?

INGENIERIA CIVIL

Página 4

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

3. OBJETIVOS: -

Identificar la importancia del cálculo, en la aplicación de los diseños de ingeniería civil..

-

Aplicar los conocimientos adquiridos en la signatura de cálculo 1 y calculo 2, en el contexto de la ingeniería civil.

-

Determinar y analizar el método aplicado en el ejercicio para encontrar la viga de madera con mayor resistencia.

INGENIERIA CIVIL

Página 5

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

4. HIPOTESIS Atravez de este proyecto quiero demostrar que Cálculo 1 y Calculo 2, sirve en cualquier rama de la ingeniería solo para deducir ciertas fórmulas, sobre todo en Análisis Estructural si de Área Civil hablamos, después de esas deducciones y aprender a usar los resultados ya que muchos temas de aplicación son: Trabajo Virtual, Viga Conjugada, Fórmula de la Escuadría, Momento Flexionante y Fuerza Cortante, por citar algunos. Saber estos cursos son herramientas matemáticas aplicables en el soporte y análisis teórico de las diversas áreas de la ingeniería civil como la hidráulica, la ingeniería estructural, la programación lineal, la toma de decisiones, la estadística, la mecánica de suelos, la mecánica de sólidos, etc., ya que se requiere conocimientos de álgebra, geometría analítica, trigonometría, etc

INGENIERIA CIVIL

Página 6

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

5. CONTENIDO a. MARCO TEÓRICO i. Aplicación de las Derivadas en los Problemas de Ingeniería Civil La ingeniería civil es la rama de la ingeniería que aplica los conocimientos de física, química, cálculo y geología a la elaboración de infraestructuras, obras hidráulicas y de transporte. La denominación "civil" se debe a su origen diferenciado de la ingeniería militar. Tiene también un fuerte componente organizativo que logra su aplicación en la administración del ambiente urbano principalmente, y frecuentemente rural; no sólo en lo referente a la construcción, sino también, al mantenimiento, control y operación de lo construido, así como en la planificación de la vida humana en el ambiente diseñado desde esta misma. Esto comprende planes de organización territorial tales como prevención de desastres, control de tráfico y transporte, manejo de recursos hídricos, servicios públicos, tratamiento de basuras y todas aquellas actividades que garantizan el bienestar de la humanidad que desarrolla su vida sobre las obras civiles construidas y operadas por ingenieros. Apartar del cálculo diferencial se pudieron calcular formulas, como por BxH A= ejemplo, la fórmula del área de un triángulo , salió a partir de 2 calcular el área bajo la recta de un triángulo. Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc. ii. Resistencia de Vigas

INGENIERIA CIVIL

Página 7

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS” En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o funcionamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.

La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales. iii. Ecuaciones de equilibrio Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones sólo se pueden cumplir si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante: ∂Vy ( x) =Py( x ) ∂x

INGENIERIA CIVIL

Página 8

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

∂ Mz( x ) =Vy (x) ∂x

A lo largo de la historia, las vigas se han realizado de diversos materiales; el más idóneo de los materiales tradicionales ha sido la madera, puesto que puede soportar grandes esfuerzos de tracción, lo que no sucede con otros materiales tradicionales pétreos y cerámicos, como el ladrillo.

iv. Cálculo de Derivadas Historia. Los grandes creadores del calculo diferencial fueron el ingles Isacc Newton (1642- 1727) y el alemán Gottfried Wihelm Leibniz (1646- ¡716) de manera diferente pero independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaton y generalizaron ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes maneras) y con éxito desde la antigüedad , antes de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia asociados al nombre de grandes personalidades como por ejemplo: Gilles de Roberval, Johannes Kepler, Rene descartes , Pierre de Fermat, Galkileo Galilei, Cristian Huygens, Jhon wallis, Bonabentura Cavaklieri, Isaac Barrow para tener la perspectiva científica e histórica apropiada debe decirse que una de las contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la geometría analítica(la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat A criterio grupal, el calculo infinitesimal, constituye uno de los mas grandes descubrimientos llevado a cabo por el intelecto humano. Definición el Cálculo Diferencial : La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue INGENIERIA CIVIL

Página 9

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS” desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en Chinaalrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral. Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y laderivación. A criterio grupal, el cálculo infinitesimal, constituye uno de los más grandes descubrimientos llevado a cabo por el intelecto humano.

La Derivada la derivada puede entenderse geométricamente de la siguiente forma: “La recta tangente a la curva y= f(x) en P[c,f(c)] es la recta que pasa por P con pendiente”: m=lim m=lim ❑ h→ 0

h→0

f ( c +h ) −f (c) h

“Siempre y cuando exista el límite y no sea ∞ ó -∞ “ nos presentan la definición formal de la derivada de la siguiente forma: La derivadade una función f es otra función (léase “f prima”) cuyo valor encualquier número x es f ´ ( x)=lim h →0

INGENIERIA CIVIL

f ( x+ h )−f ( x) h Página 10

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

Si este límite existe, decimos que f es derivable en x. Determinar una derivada recibeel nombre de derivación; la parte del cálculo asociada con la derivada se denomina cálculodiferencial. Regla General para Derivar -

Se atribuye una f(x) rx+∆x y se calcula el nuevo valor de f(y)+∆y 2. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y(incremento de la función). Se divide ∆y por ∆x(incremento de la variable independiente) Se calcula el límite de este cociente cuando x tiende a 0. El limite hallado es la derivación buscada, la operación de la derivada de una función se llama derivación v. Funciones Implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'. Ejemplo: Encuentre dy/dx, si 4x2y - 3y = x3 – 1 Método: Derivación implícita y ( 4 x 2−3 )=x 3−1 3

y=

x −1 ( 4 x2 −3 )

3x x 4 x2 9 x ( ¿¿ 3−1)(8 x) 2 (4 x −3)( ¿¿ 2)− (¿¿ 2+8 x) ( 4 x 2−3 ) 2 = ( 4 x 2−3 ) 2 ¿ ¿ dy =¿ dx

INGENIERIA CIVIL

Página 11

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS” dy 2 2 =4 x 9 x +8 x dx dy 3 =x −1 dx

Igualamos las derivadas de los dos lados. Después de utilizar la regla para el producto en el primer término, obtenemos, Después de utilizar la regla para el producto en el primer término, obtenemos,

Se iguala a cero la primera derivada y se encuentran las raíces de la ecuación resultante.  Estas raíces son los valores críticos de la variable  Se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que el valor crítico.  Si el signo de la derivada es primeramente + y después – la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado. Cálculo de la primera derivada Saber que una función tiene, o no, extremos relativos es de gran ayuda al trazar su gráfica. Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b),excepto tal vez en número critico c dentro del intervalo si f´(x) > 0 para toda x en (a,c) y f´(x) < 0 para toda x en (b,c) la gráfica de f sobre el intervalo (a,b) puede ser como la figura 3, es decir f (c) es un máximo relativo. Derivada de Orden Superior La operación de derivación toma una función f y produce una nueva función f`. Si ahora derivamos f´, producimos otra función denotada por f ´´(léase “f biprima”) y denominada segunda derivada de f.A su vez, puede derivarse, y de ahí producir f```,que se denomina tercera derivada de f, y así sucesivamente. La cuarta derivada se denota con f (4), la quinta derivada se denota con f (5), etcétera. Por ejemplo, si 3

2

f ( x )=2 x −4 x +7 x−8

INGENIERIA CIVIL

Página 12

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS” 2

f ´ ( x )=6 x −8 x +7 f ´ ´ ( x )=12 x−8 f ´ ´ ´ ( x )=12 f ´ ´ ´ ´ ( x )=0

Actividades previas al desarrollo de un ejercicio. 1. por creerlo el más adecuado para exponer el tema de máximos mínimos. 2. La elaboración de gráficos fue determinante para la resolución de nuestro problema. 3. Tuvimos que revisar los apuntes de geometría analítica para obtener la ecuación de la elipse. 4. Aplicamos el método de derivación explicita, por considerarlo proceso más rápido para éste determinado ejercicio. 5. Se analiza la aplicación de máximos y mínimosen el siguiente ejercicio. Enunciado del Ejercicio: “La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto del ancho por el cuadrado de su espesor (altura). Calcular las dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco cuya sección transversal es una elipse de semiejes a (mayor) y b (menor)” Identificamos los datos.

INGENIERIA CIVIL

Página 13

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

Una vez obtenidas nuestras ecuaciones, procedemos a despejar ecuaciones y suplantarlas hasta conocer el valor de nuestras incógnitas. Cabe destacar que al existir dos ecuaciones con dos incógnitas, el sistema tiene solución.

INGENIERIA CIVIL

Página 14

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

INGENIERIA CIVIL

Página 15

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

CONCLUSIONES  Adquirimos conceptos prácticos sobre el cálculo infinitesimal. Determinamos que el cálculo diferencial es indispensable para desarrollar ejercicios del cálculo integral, siendo éste último fundamental para resolver problemas que se presentan en la ingeniería civil.  La aplicación de cálculo de máximos y mínimos nos permitió resolver de una forma rápida y sencilla uno de las tantas interrogantes que se pueden presentar en ejecución de una obra civil.  Identificamos los valores proporcionales que afectaran a las dimensiones que tendrá la viga con mayor resistencia que se puede obtener a partir del tronco de un árbol.

Bibliografía ELIZONDO, F. G. (s.f.). Analisis matematico . Ramos, E. (s.f.). Analisis matematico 1. http://es.slideshare.net/michaelpradomacias/proyecto-clculo-i-definitivo

INGENIERIA CIVIL

Página 16

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

ANEXOS

INGENIERIA CIVIL

Página 17

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

INGENIERIA CIVIL

Página 18

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

INGENIERIA CIVIL

Página 19

CALCULO 2 – “CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS”

INGENIERIA CIVIL

Página 20