APA Calculo

1Aplicación del cálculo en la administración

Cristian Rojas & Miguel Gutiérrez. Enero 2015. Nombre de la institución. Nombre del departamento. Nombre de la asignatura

Agradecimientos

Gracias por su preferencia de normasapa.com, no olviden recomendarnos con sus colegas y compañeros. ESTA PAGINA ES OPCIONAL Resumen En este documento se busca hacer un estudio sintetizado del cálculo desde la óptica de la derivación, analizar el significado de la derivada y de las razones de cambio. Se realiza una pequeña introducción al concepto de la derivada para posteriormente realizar un ejercicio de derivación del tema de razones de cambio aplicadas al área de la administración. Paso seguido se realizan unas conclusiones y se da por terminado este trabajo contando con su respectiva bibliografía en el área de referencias.

Tabla de Contenidos Introducción.........................................................................................................................1 Objetivos..........................................................................................................................1 Derivada como razón de cambio.....................................................................................1 Marco Teorico......................................................................................................................2 La Derivada.....................................................................................................................2 La Derivada como un limite............................................................................................3 Formulas y propiedades de la derivada...........................................................................4 Desarrollo del problema......................................................................................................5 Observaciones y conclusiones.............................................................................................7 Referencias..........................................................................................................................8

Lista de figuras Figura 1. Derivada de una función en un punto...................................................................2 YFigura 2. Principales formulas de derivación...................................................................4

Introducción

Objetivos Objetivo General Entender el concepto de derivada y saber que tiene una relación directa con sucesos que se pueden observar en nuestro alrededor. Objetivo Especifico Comprender la aplicación de la operación conocida como derivación para encontrar el valor de la razón de cambio en un instante determinado de una variable que represente un proceso en el área de la administración. La derivada como una razón de cambio En el área de las matemáticas existen multitud de funciones y operaciones que nos son de utilidad dada la situación requerida, una de estas situaciones que se puede estudiar es la velocidad con la que una magnitud varía o cambia respecto al tiempo o a otra magnitud diferente. Existen múltiples magnitudes que podemos observar diariamente cambiando como por ejemplo la velocidad de un vehículo la cual representa la tasa como varia su posición a través del tiempo, también podemos observar como varia el volumen de llenado de un tanque a través de un grifo y no solo áreas físicas si no también financieras como por ejemplo la tasa de variación del valor de una moneda a través del tiempo o dependiendo de otras variables. La herramienta matemática que será de utilidad para analizar estos tipos de variación se conoce como derivada y se puede aplicar a múltiples áreas incluida la administración.

Marco Teórico La Derivada En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto (enlace).

Figura 1. La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde) (enlace).

La Derivada como un límite Es posible analizar y entender el concepto de derivada por medio de un límite. Queda determinado como la recta que para por un punto P cuya pendiente está dada por la secante entre el punto P y un punto Q diferente que se acerca cada vez al punto P. La fórmula matemática que nos representa a la derivada de f(x) como un límite está dada por: f ' ( x )=lim

h→0

f ( x +h ) −f (x ) h

Ahora aplicaremos un ejemplo para calcular la derivada de una función. Hallaremos la derivada de f ( x )=x 2 +3 por medio del concepto delimite.

f ' ( x )=lim

h→0

f ( x +h ) −f (x ) h x

[¿¿ 2+3] h ' f ( x ) =lim ¿

[( x +h )2 +3]−

h→0

x [¿¿ 2+3 ] h f ' ( x )=lim ¿

[x 2 +2 hx+ h2 +3]− h →0

f ' ( x )=lim

[2 hx +h2 ] h

f ' ( x )=lim

h [2 x+ h] h

h→0

h→0

' f ( x )=lim 2 x +h h→0

f ' ( x )=2 x

Formulas y propiedades de la derivada Hasta ahora se ha definido el concepto de la derivada y su desarrollo por medio de un límite, pero este proceso es tedioso en la mayoría delos casos es más sencillo derivar por medio de propiedades y fórmulas que ya están definidas así que se indican las principales fórmulas de derivación que harán el proceso más práctico.

Figura 2. Principales fórmulas de derivación (Stewart, 2008).

Desarrollo del problema

En este apartado se realiza el análisis de la derivada en el área de la administración por medio del desarrollo de un problema tomado del capítulo 2 del libro “Cálculo Diferencial para administración y ciencias sociales, un enfoque constructivista mediante

la reflexión y la interacción, 2da Edición”, se hace el desarrollo matemático para posteriormente hacer un pequeño análisis del mecanismo de la derivación y su utilidad al momento de tomar decisiones basadas en datos. Problema El ingreso en miles de pesos, de una compañía de seguros de vida está dado por la siguiente función: I ( x )=√ 1+ x 2 Donde x es el número de pólizas vendidas. Estima la rapidez con la que cambia el ingreso si se han vendido 100 pólizas. Solución Primero debemos obtener una función que nos determine la tasa de variación de variación o razón de cambio de los ingresos en cualquier momento o para cualquier cantidad de pólizas vendidas, para esto hallaremos la derivada I ' ( x )=√ 1+ x 2+ x

I ' ( x )=√ 1+ x + 2

2x 2 √ 1+ x2

x2 √ 1+ x2

Ahora simplificamos esta función 2

I ' ( x )=

1+2 x √1+ x 2

I ' (x) .

Esta función nos indica la razón de cambio de los ingresos para cualquier valor de pólizas vendidas, entonces para saber la razón de cambio para 100 pólizas vendidas basta con evaluar en x=100, esto es hallar I ' ( 100 )=

I ' ( 100 ) .

1+2 ¿ 1002 √1+1002

I ' ( 100 )=200

Mies de pesos Poliza vendida

Observaciones y conclusiones



Se logró estudiar la derivada y su relación directa con sucesos de la vida real.



En el problema realizado se entendió de manera clara que existe una relación del

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cálculo y la derivada con procesos de la administración. Se pudo entender que si conocemos la rapidez con la que varía una magnitud

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podemos tomar decisiones adecuadas para los procesos son de interés. Además cabe notar que al saber el punto de variación de una magnitud se puede pensar en optimizar esta velocidad en un proceso de administración o de alguna

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otra rama con el objetivo de sacar el mayor provecho o ganancia. Se analizó y dejo entendido que existen formas prácticas de hallar la derivada de una función dependiendo de su forma.

Referencias Stewart James, (2008). Cálculo Diferencial trascendentes tempranas, 6ta Edición. Galván, Cienfuegos, Elizondo, Favela, Rodríguez, Romero, (2006) Cálculo Diferencial para administración y ciencias sociales, un enfoque constructivista mediante la reflexión y la interacción, 2da Edición. Enlace, [Disponible en internet] https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada