Anualidades Modulo

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS ANUALIDAD Se llama anualidad o serie uniforme a un conjunto de pagos, o flujos de pago, iguales y periódicos. Aquí el término pago hace referencia tanto a ingresos como a egresos. De la misma manera, el término anualidad se utiliza para indicar que los pagos son periódicos indistintamente del período de pago. Los períodos pueden ser un día, una semana, una quincena, un mes, un trimestre, un semestre, el año u otro período de tiempo pactado. Se utilizara la siguiente notación para el tratamiento de las anualidades: VP = Valor presente VF = Valor futuro A = Valor de cada pago periódico N = Número de pagos periódicos i = Tasa de interés por período La tasa de interés debe coincidir con el período de capitalización. Las principales clases de anualidades son: a._ Vencida b._ Anticipada c._ Diferida d._ Perpetua ANUALIDAD VENCIDA Es aquella en la que el pago se hace al final del período. Fórmulas

Valor Presente:

 1  (1  i )  n  VP  A *   i  

Valor Futuro:

o

 1  i  n  1  VP  A *  n  i * (1  i ) 

 (1  i ) n  1  i  

VF  A * 

EJERCICIOS EN ALBERTO CARDONA Pág. 81 1º._ Hoy adquiero un equipo y me comprometo a cancelarlo con 18 cuotas mensuales cada una por valor de $7.500. Si me cobran una tasa de interés del 3% mensual ¿Cuánto cuesta el equipo de contado? ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 2º._ El costo de mantenimiento estimado para una maquinaria nuestra es de $23.000 mensuales, si lo realizamos nosotros. Una empresa especializada nos ofrece firmar un contrato con el cual se comprometen hacerlo por un pago único al iniciar el año por $285.000. Si nosotros consideramos una tasa de interés igual al 3% mensual. ¿Cuál decisión debemos tomar? 3º._ Por concepto de arrendamiento de un local, pagamos $30.000 mensuales. Si la tasa de interés es igual a 2,8% mensual, ¿Cuánto es el valor presente equivalente al iniciar el año? 4º._ He adquirido una obligación para cancelarla en 15 cuotas quincenales, cada una por un valor de $20.000. Inmediatamente de cancelar la cuota No. 9, deseo hacer un pago en esta fecha por el total de la deuda. ¿Cuánto debo cancelar si la tasa de interés es del 1,3% quincenal? 5º._ Un fabricante de abonos les ofrece a los agricultores un nuevo producto para mejora de los pastos. El costo de una aplicación es de $850.000 y los beneficios adicionales aparecen al mes y permanecen durante 5 meses con un valor de $250.000. Determinar si es conveniente o no para el agricultor, si se tiene una tasa de interés igual a 2,5% mensual. 6º._ Usted le compra a su mejor amigo una caja de herramientas y pacta pagarle hoy $10.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales, cada una por valor de $4.000. Después de hacer el negocio usted se entera que el valor de contado era de $40.000 ¿Cuánto ganó o cuánto perdió en pesos de la fecha de compra, en este negocio con su amigo? Utilice una tasa de interés igual al 3% mensual. 7º._ Una revista que se publica semanalmente, decide ofrecer un plan de suscripciones por un año. Cada número tiene un costo de $210 y la editorial está interesada en reconocer una tasa de interés igual a 0,8% semanal ¿Cuánto debe cobrar por la suscripción anual? 8º._ Un afiliado de la Cooperativa de Empleados solicita un préstamo para cancelar en pagos mensuales iguales, durante un año. La cooperativa cobra una tasa de interés del 2% mensual. ¿Cuánto es el valor del préstamo que puede solicitar, si dispone de $10.000 mensuales para cancelarlo? Solución Se conocen las siguientes variables: A=$10.000 mensuales; n= 12 meses i=0,02 mensual

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS Línea de tiempo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

meses $10.000

 1  (1  i )  n   i  

VP  A * 

Reemplazando:

 1  (1  0,02) 12   1  (1,02) 12   VP  10 . 000 *     0,02 0,02    

VP  10.000 * 

 1  0,788493175581656   0,211506824418344   VP  10.000 *    0,02 0,02    

VP  10.000 * 

VP  10.000 *10,5753412209172  VP  $105.753,41 TABLA DE AMORTIZACION PERIODO S

DEUDA INICIAL

INTERESES

ANUALIDAD

AMORTIZACION DE LA DEUDA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$105.753,41 $ 97.868,48 $ 89.825,85 $ 81.622,36 $ 73.254,81 $ 64.719,91 $ 56.014,31 $ 47.134,59 $ 38.077,28 $ 28.838,83 $ 19.415,61 $ 9.803,92

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00 $ 10.000,00

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

2.115,07 1.957,37 1.796,52 1.632,45 1.465,10 1.294,40 1.120,29 942,69 761,55 576,78 388,31 196,08

7.884,93 8.042,63 8.203,48 8.367,55 8.534,90 8.705,60 8.879,71 9.057,31 9.238,45 9.423,22 9.611,69 9.803,92

DEUDA FINAL $ 97.868,48 $ 89.825,85 $ 81.622,36 $ 73.254,81 $ 64.719,91 $ 56.014,31 $ 47.134,59 $ 38.077,28 $ 28.838,83 $ 19.415,61 $ 9.803,92 -$ 0,00

9º._ Al finalizar cada uno de los próximos 5 años espero consignar $85.000 en una cooperativa que reconoce el 25% efectivo anual ¿Cuál será el valor de mis ahorros al finalizar el 5º año? ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 10º._ Hallar el valor presente, el valor futuro y serie uniforme equivalente de los ingresos y de los egresos, considerando una tasa de interés del 32% anual: $290.000 $200.000 $100.000 0

1

2

$100.000 3

4

5

6

$100.000 7

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9

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12

$150.000 $170.000 $210.000 11º._ Se desea conocer el valor que se puede retirar, al finalizar el año, de la Caja de Ahorros en la cuál consignamos desde el 1º de enero, $60.000 mensual, que es el producto del arrendamiento de un inmueble. La caja reconoce el 2% mensual. EJERCICIOS DE JAIME A. GARCIA 1º._ Hallar el valor de contado de un artículo que a crédito se adquiere con 18 cuotas de $20.000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra una tasa de interés del 2,5% mensual. 2º._ Un televisor tiene un valor de contado de $63.500. Se desea adquirir a crédito así: una cuota inicial de $15.000 y el resto financiado a 18 meses con cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es del 3% mensual, hallar el valor de las cuotas. 3º._ Durante un año y medio se hacen depósitos de $12.000 cada uno por mes vencido, en una institución de ahorro que paga un interés del 3% mensual. Calcular la suma total acumulada en la cuenta de ahorros al final de este tiempo. 4º._ Se debe reunir $850.000 para dentro 2 años. Con tal fin se hacen depósitos iguales por mes vencido en una institución que paga el 2,65% mensual. Hallar el valor de los depósitos. 5º._ Se tiene una deuda hoy de $42.000 y debe cubrirse en cuotas mensuales de $2.000 cada una; si la tasa de interés que se cobra es del 3% mensual ¿Al cabo de cuánto tiempo se habrá pagado la deuda?

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 6º._ Un activo, que de contado tiene un valor de $32.000, puede adquirirse financiado a 20 cuotas mensuales de $2.100 cada una ¿Cuál es la tasa de interés mensual que se cobra? 7º._ Financiar $5’400.000 a un año y medio (1 ½ año) con cuotas trimestrales iguales y un interés del 32% ATV (Anual Trimestre Vencido). Nota. Cuando se habla de financiar una deuda se refiere a determinar cuándo y cuánto debe pagarse. 8º._ Se tiene una obligación que en un primer momento se había pactado cubrir en 18 cuotas de $15.000 por mes anticipado; se decide pagarla de contado. Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual, hallar este valor de contado. 9º._ El propietario de una casa recibe por concepto de arriendo de la misma $350.000 mensuales, de los cuales deposita el 40% cada mes en una corporación de ahorro que paga 2,5% de interés mensual. Realiza cada depósito el mismo día que recibe la renta. Si la casa estuvo arrendada por espacio de 2 años, hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros al final de los dos años. 10º._ Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado de la siguiente manera: 18 cuotas mensuales de $26.000 cada una, para cancelar la primera dentro de 5 meses y una tasa de interés del 3% mensual. Transcurrido un mes, se opta por cubrir en un solo pago el valor de la deuda; hallar el valor de este pago único. 12º._ Usted tiene un contrato que estipula el pago de una deuda mediante 30 cuotas mensuales iguales de $22.000 cada una y un interés sobre saldos del 30% anual durante el primer año y del 33% anual de allí en adelante. Si usted desea saldar hoy este contrato con un pago único, ¿De cuanto es ese pago? 13º._ Usted debe financiarle a una persona una deuda por valor de $3’000.000 de hoy a 20 meses con cuotas mensuales iguales y un interés del 29% nominal trimestral, durante el primer año, y del 34,5% anual de allí en adelante. 14º._ Financiar $1’000.000 a un año con cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de 4 meses sabiendo que la tasa de interés será del 3,5% mensual durante los primeros 4 meses y del 4% mensual de allí en adelante. 15º._ Financiar $3’000.000 de hoy, a tres (3) años en cuotas mensuales iguales y un interés del 24% MV, durante el primer año y del 29% anual de allí en adelante, sabiendo que la primera cuota se paga dentro de 6 meses, y que la última debe ser el doble de la cuota uniforme. 16º._ El gerente de una empresa solicita un préstamo por $45’000.000 a un banco, comprometiéndose a pagar esta deuda en dos años y medio (2½) con cuotas mensuales iguales y un interés del 3% mensual para el primer año y del 3,5% mensual de allí en adelante. Para cumplir esta obligación, el gerente ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS autoriza hacer depósitos iguales por mes anticipado en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2,5% mensual. El valor del depósito debe ser tal que al final del mes se tenga la suma exacta para pagar la cuota del banco. Al cabo de 10 meses la cuenta de ahorros aumenta la tasa de interés al 3,4% mensual, y la empresa continúa haciendo los mismos depósitos. Hallar el saldo que tendrá la empresa en la cuenta de ahorros una vez saldada la deuda con el banco. 17º._ Supongamos que una ley exige que toda inversión que se haga en una institución financiera pagará un impuesto del 12% anual sobre los intereses devengados en ese año. Usted invierte allí la suma de $3’000.000, y la institución promete pagarle el 36% anual de interés. Hallar el total acumulado al cabo de 10 años, si además cada trimestre usted deposita $50.000 durante los 10 años. 18º._ Financiar una deuda de $3’000.000 a 2 años en cuotas mensuales iguales y cuotas extraordinarias semestrales que sean el doble de las cuotas mensuales, sabiendo que la tasa de interés es del 34,49% EA. 19º._ (4.1) ¿Qué cantidad deberá invertir hoy una persona en una cuenta de ahorros que paga un interés del 30% capitalizable mensualmente, para poder retirar $25.000 mensuales durante 3 años? 20º._ (4.2) ¿Qué series de pagos uniformes serán equivalentes a cada uno de los valores siguientes: a._ $1’600.000 dentro de 8 años, pagos anuales, y una tasa de interés del 8% trimestral? b._ $3’100.000 dentro de 5 años, pagos semestrales y una tasa de interés del 33% anual? c._ $1’500.000 de hoy, pagos mensuales, durante un año y una tasa de interés del 15% semestral? 21º._ (4.3) En una universidad existe la costumbre de que cada promoción semestral haga una donación por $500.000, diez años después de graduados. Esta costumbre se inicio en junio 30 de 1978 con el grupo que terminó en junio 30 de 1968. Si la universidad invierte estas donaciones semestrales en una institución financiera que paga un interés del 34% anual, ¿Cuánto tendrá acumulado la universidad por concepto de estas donaciones en diciembre 30 de 1993? 22º._ (4.4) Tres personas A, B, y C, deciden ahorrar dinero durante tres (3) años; determinar cuál tiene mayor cantidad de dinero al cabo de los tres años, sabiendo que: A hace depósitos mensuales de $30.000 y la tasa de interés es del 32,4% AMV; B deposita $100.000 cada trimestre al 33% ATV; y C deposita $205.000 cada semestre al 34% anual. 23º._ (4.5) Un padre de familia debe reunir $2’300.000 para dentro de 4 años. Con este fin, abre una cuenta de ahorros hoy con $220.000, en una entidad que paga un interés del 32% capitalizable mensualmente, y de aquí en

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS adelante cada mes deposita $R. Hallar el valor de R, de tal manera que el padre de familia cumpla su objetivo. 24º._ (4.6) Una persona deposita $50.000 mensuales durante 4 años en una entidad que paga un interés del 30,5% nominal trimestral. Al cabo de ese tiempo, la persona empieza a retirar $50.000 por mes vencido y durante 4 años. Averiguar el saldo que le quedará a la persona en su cuenta al final de los ocho (8) años. 25º._ (4.7) Una compañía debe adquirir un terreno para ampliar sus instalaciones y las condiciones son las siguientes: una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto en 8 pagos trimestrales de $10’000.000 cada uno, el primero de estos pagos debe hacerlo dentro de un año. Determinar el valor de contado del terreno sabiendo que en la financiación se pactó un interés del 36% ATV. 26º._ (4.8) Resolver el problema anterior sabiendo que la tasa de interés es del 30% nominal mensual durante el primer año del crédito y del 36% ATV de allí en adelante. 27º._ (4.9) El 1º de junio de 1988 se adquirió un negocio con $4’000.000 de cuota inicial y 10 pagos trimestrales de $550.000 cada uno; el primero con vencimiento el 1º de julio de 1991. ¿Cuál es el valor de contado del negocio para una tasa de interés del 29% capitalizable trimestralmente? 28º._ (4.10) Se supone que una casa tiene un valor de contado de $280’000.000. Se adquiere con una cuota inicial de $10’000.000 y el resto en cuotas mensuales iguales durante un año y medio (1 ½); si la tasa de interés de la financiación es del 35% anual, hallar el valor de las cuotas mensuales. 29º._ (4.11) Usted como asesor de una empresa debe decidir entre comprar hoy una máquina cortadora que tiene un valor de $18’600.000 o pagar el servicio de corte a otra empresa por valor de $520.000 mensuales. ¿Cuántos meses mínimo deberá prestar servicio la máquina para que usted se decida por la compra de ésta, si la tasa de descuento de su empresa es del 30% anual? 30º._ (4.12) Un artículo tiene un valor de contado de $585.000 y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto a 18 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de ocho (8) meses y un último pago por $80.000 tres (3) meses más tarde de la última cuota mensual. Si la tasa de interés es del 31% AMV durante los siete primeros meses y del 9% trimestral de allí en adelante, hallar el valor de las cuotas uniformes mensuales. 31º._ (4.13) Usted deposita $10.000 cada mes durante 2 años, en una entidad que paga un interés del 28% nominal mensual. A partir del segundo año empieza a retirar $10.000 por mes vencido y durante un año y medio (1 ½), y desde esta fecha deposita por trimestre vencido y durante 2 años, $50.000. Hallar el total acumulado en la cuenta de ahorros, un año más tarde del último depósito trimestral. ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 32º._ (4.14) Un ahorrador deposita $100.000 mensuales por mes vencido y durante 4 años, en una cuenta de ahorros que abona un interés de 29,5% nominal trimestral. Si a partir de los 4 años retira, por trimestre vencido, la misma suma depositada, ¿Durante cuánto tiempo puede hacer retiros? 33º._ (4.15) Está construyéndose un restaurante que entrará en servicio dentro de 1 año. Supongamos que las utilidades sean de $650.000 mensuales y durante 4 años de servicio. Si usted desea tomar en arriendo este restaurante, ¿Cuál será el valor, en pesos de hoy, que debe ofrecer para que al cabo de los cinco (5) años usted tenga una ganancia adicional de $3’000.000, si la tasa de oportunidad es del 32% anual? 34º._ (4.16) Hallar el número mínimo de depósitos de $85.000 cada uno y por mes vencido, para lograr sobrepasar los $2’420.000 en el momento de hacer el último depósito, si el dinero rinde el 29% capitalizable trimestralmente. 35º._ (4.17) Un artículo tiene un valor de contado de $735.000; se adquiere financiado con una cuota inicial del 35% del valor de contado y el resto en cuotas mensuales de $28.500 cada una. Si el interés por la financiación es del 28% nominal trimestral, hallar el número de cuotas y el valor de la última (dos soluciones). 36º._ (4.18) Un automóvil tiene un valor de contado de $16’000.000; puede adquirirse con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado a 3 años en cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es del 42% MV, hallar el valor de las cuotas sabiendo que la primera se paga dentro de 3 meses. 37º._ (4.19) resolver el problema 36º (4.18) suponiendo que la primera cuota se paga al cabo de 8 meses, pero durante este tiempo se cubren los intereses mensuales. 38º._ (4.20) Resolver el problema 37º (4.19) para una tasa de interés del 40% anual durante los cinco (5) primeros meses y del 38% anual de allí en adelante. 39º._ (4.21) El dueño de un restaurante desea saber, dentro de un año, la diferencia entre el valor futuro de los ingresos y el de los egresos para un año de funcionamiento de su restaurante y con los siguientes datos: paga un arriendo de de $250.000 por mes anticipado; un seguro al principio del año por un valor de $550.000; por obra de mano y maquinarias $150.000 mensuales; por materias primas para la preparación de los alimentos $300.000 cada mes; por ingresos diarios (30 días al mes), $40.000; y la tasa de oportunidad del dueño del restaurante es del 3% mensual. 40º._ (4.22) Un padre de familia quiere depositar hoy una cantidad de dinero suficiente para cubrir los gastos de matrícula en bachillerato de su hijo que está cumpliendo hoy cinco (5) años e ingresará en bachillerato a la edad de 12 años. Se prevé que para esa época el valor promedio de la matrícula por mes anticipado será $300.000. Si el depósito lo hace en una entidad que paga el

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 29% anual, hallar el valor del depósito, sabiendo que los meses de estudio son los 12 del año. 41º._ (4.23) Un señor deposita $ 225.000 al principio de cada año comenzando en 1990, en una institución que paga un interés del 30% convertible trimestralmente; las fechas de capitalización son los últimos días de marzo, junio, septiembre y diciembre. En qué fechas de éstas y de qué año, llegará a sobrepasar, en la menor cantidad, la suma de $3’420.000. 42º._ (4.24) Se desea reunir $500.000 para dentro de un año y $650.000 para dentro de un año y medio (1 ½). Con tal fin se abre una cuenta de ahorros en la que se depositarán cantidades iguales cada mes, de tal manera que puedan tenerse las sumas deseadas en las fechas correspondientes. Si la cuenta de ahorros paga el 28% nominal mensual, hallar el valor de las cuotas. 43º._ (4.25) Un activo que tiene un valor de contado de $850.000 puede adquirirse financiado con el siguiente plan: cuota inicial de $350.000 y 12 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de seis (6) meses y un pago adicional por valor de $220.000 dentro de 18 meses. Hallar el valor de las cuotas uniformes sabiendo que el interés para la financiación es del 33% nominal trimestral. 44º._ (4.60) Una institución financiera otorga un crédito a un usuario por $30’000.000, en las condiciones siguientes: a._ Tiempo de 3 años b._ Período de gracia 8 meses y en este período solamente se pagarán intereses c._ cuotas mensuales iguales d._ Tasa de interés 38,4% AMV Determinar el valor de las cuotas uniformes 45º._ (4.61) Una obligación que constaba de 15 pagos por mes anticipado con una tasa de interés del 2,5% mensual, debe sustituirse por una serie equivalente de 22 pagos por mes vencido de $18.500 cada uno; el primer pago debe hacerse dentro de 5 meses y con una tasa de interés del 2,8% mensual durante los 6 primeros meses y del 3% mensual de allí en adelante. Hallar el valor de la primera anualidad. 46º._ (4.62) Sustituir una deuda que consta de 4 pagarés de $1’300.000 cada uno para pagar cada año y con un interés del 33% nominal trimestral por su equivalente en una serie uniforme de pagos mensuales durante los 4 años y con una tasa de interés del 30% nominal trimestral durante los 2 primeros años y del 31% nominal trimestral de allí en adelante. Hallar el valor de estos pagos uniformes. ¿Es equivalente, para este caso, utilizar el valor presente o el va lor futuro? 47º._ (4.63) Una persona debe cubrir 2 pagarés en sus fechas correspondientes: uno por valor de $2’000.000 para dentro de 1 año y el otro por valor de $2’500.000 para dentro de 2 años. Con tal fin, la persona decide ahorrar cantidades mensuales iguales, durante 15 meses, en una cuenta de ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS ahorros que paga un interés del 36% anual. Determinar el valor de los depósitos mensuales. 48º._ (4.65) Una persona adquiere una casa financiada así: cuota inicial financiada a 6 pagos mensuales de $800.000 cada uno y el resto a un plazo de 5 años con cuotas mensuales iguales y un interés sobre saldo del 30% nominal mensual. Si la primera cuota se cancela dentro de 6 meses, hallar el valor de las cuotas mensuales sabiendo que la casa tiene un valor de contado de $135’000.000 49º._ (4.66) Una señora adquiere una casa financiada así: cuota inicial de $40’000.000 y el resto a 2 años con cuotas mensuales iguales y un interés del 34% nominal mensual. Si la primera cuota se paga dentro de 8 meses, hallar el valor de las cuotas uniformes sabiendo que la casa tiene un valor de contado de $115’000.000 50º._ (4.68) ¿Cuál es el mínimo de meses (entero) durante los cuales una persona debe depositar $120.000 por mes anticipado a un interés del 3,5% mensual para que 2 meses después de haber realizado el último depósito, la persona tenga la suma necesaria para comprar de contado en esa fecha un artículo que financiado se cancelaría con 8 cuotas por trimestre vencido de $860.000 cada una y un interés del 32% nominal trimestral? 51º._ (4.69) Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $385.000 y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: una cuota inicial por valor de $65.000, 12 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de seis meses y un último pago dentro de veinte meses por $80.000. Determinar el valor de las cuotas uniformes sabiendo que el almacén que ofrece el artículo cobra un interés de 3,8% mensual durante los 6 primeros meses y del 3,5% mensual de allí en adelante. 52º._ (4.70) ¿Qué cantidad uniforme debe depositarse por mes anticipado a partir de hoy y durante dos años y medio (2 ½), en una cuenta que abona un interés del 3% mensual para poder pagar de contado dentro de 3 años, una deuda que contraída en esa fecha se amortizaría con 18 pagos iguales por trimestre vencido y un interés del 3,3% mensual? Expresar el valor de la primera anualidad en función de la segunda. 53º._ (4.71) Un señor deposita $1’250.000 al principio de cada año, comenzando en 1990, en una corporación financiera que paga un interés del 32% nominal trimestral; las fechas de capitalización son los últimos días de marzo, junio, septiembre y diciembre de cada año. ¿En qué fecha de éstas y de qué año, llegará a sobrepasar en el mínimo la cifra de $26’500.000 millones? 54º._ (4.72) Un ahorrador deposita hoy $100.000 en una cuenta de ahorros que paga un interés del 24% nominal trimestral. Cuatro años más tarde, retira la mitad del saldo existente en su cuenta de ahorros y empieza a depositar por mes vencido, la suma de $20.000 y durante tres años más. Dos años después del último de estos depósitos, retira todo el saldo de la cuenta de ahorros. Hallar el valor de los retiros. ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 55º._ (4.73) Resolver el problema 4,63, si la tasa de interés es del 36% anual durante el primer año y del 38% anual de allí en adelante. 56º._ (4.74) Una deuda que debería amortizarse con $300.000 hoy y 20 cuotas mensuales iguales de $20.000 cada una, pagando la primera dentro de 3 meses, debe sustituirse por dos pagos iguales, el primero dentro de 1 año y el segundo dentro de 2 años. Si la tasa de interés acordada para esta deuda es del 35% anual, determinar el valor de cada uno de estos pagos. 57º._ (4.75) Un activo puede adquirirse con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto a 24 cuotas mensuales iguales de $56.850 cada una; la primera debe pagarse dentro de 8 meses. Determinar el valor de contado si el interés que se cobra es del 28% nominal mensual durante los ocho primeros meses y del 30% nominal trimestral de allí en adelante. 58º._ (4.76) Una persona debe reunir $11’200.000 para dentro de 3 años; con tal fin hace los siguientes depósitos en una cuenta que abona un interés del 34% anual: $2’250.000 hoy, $1’150.000 dentro de un año y una cantidad $X cada mes durante el tercer año. Se pide calcular el valor de X. 59º._ (4.77) Un empresario adquiere un crédito por $20’000.000 para invertirlo en su empresa y le cobran un interés del 36% nominal trimestral. En el contrato del crédito se estipula que la deuda total de capital e intereses se cubra al cabo de 5 años, con un solo pago. Para cubrir esta obligación el industrial debe depositar la mitad de sus utilidades mensuales en una institución financiera que paga un interés del 31,5% nominal mensual. ¿Cuál será la utilidad mensual que el empresario deberá obtener en su empresa para poder cumplir la obligación? 60º._ (4.78) Una obligación que consta de quince (15) pagos iguales por mes anticipado con tasa de interés del 2% mensual, debe sustituirse por una serie equivalente de 22 pagos por mes vencido de $27.000 cada uno, el primero debe hacerse dentro de 5 meses, con una tasa de interés del 2% mensual durante los 5 primeros meses y del 2,5% mensual de allí en adelante. Hallar el valor de la primera anualidad. 61º._ (4.79) Un empleado se propone hacer depósitos iguales al final de cada año por valor de $3’100.000 cada uno, en una cuenta de ahorros que paga un interés del 29% nominal trimestral, durante los 20 años de trabajo en una empresa, con el fin de poder retirar cantidades iguales mensuales durante los 10 años siguientes al retiro de la empresa. Determinar el valor que podrá retirar mensualmente. 62º._ (4.80) Se abre una cuenta de ahorros hoy con un depósito de $150.000 y luego depósitos mensuales de $ 25.000 cada uno durante los próximos 20 meses. Dentro de 2 años se empieza a retirar la suma de $ 40.000 mensuales; si la cuenta de ahorros paga un interés de 28% nominal mensual durante los 2 primeros años y del 32% nominal mensual de allí en adelante, ¿Cuántos retiros pueden realizarse? Determinar el valor del último retiro.

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 63º._ (4.81) Una deuda de $10’000.000 de hoy debe financiarse a 5 años con cuotas mensuales iguales y un interés del 28% nominal mensual durante el primer año, del 32% nominal trimestral durante los 2 años siguientes y del 36% anual de allí en adelante. Hallar el valor de las cuotas sabiendo que la primera debe pagarse dentro de 5 meses. 64º._ (4.82) Se necesita reunir la suma de $6’000.000 para dentro de tres años; con este fin se harán depósitos mensuales iguales durante los 3 años, en una entidad que pagará un interés del 2,8% mensual durante el primer año, del 3% mensual durante el segundo año y del 3,3% mensual para el tercer año. Determinar el valor de cada depósito. 65º._ (4.83) Se tiene una obligación que consta de 18 cuotas mensuales iguales de $212.500 cada una; la primera debe pagarse dentro de 4 meses. Se desea sustituir esta obligación por otra equivalente que conste de dos pagos, uno por valor de $2’120.000 dentro de un año y el otro para finales del segundo año. Si el tipo de interés convenido es del 30% anual durante el primer año y del 33% anual de allí en adelante, determinar el valor del último de los pagos de sustitución. 66º._ (4.84) Usted necesita reunir $1’000.000 para dentro de 2 años. Por tanto, decide depositar hoy una cantidad $X en una institución bancaria que paga un interés del 2,8% por mes anticipado; usted retira estos intereses al principio de cada mes y los deposita en una cuenta de ahorros que promete pagar un interés del 38,4% nominal mensual vencido. Hallar el valor de X para que al final de los 2 años, reunidos los saldos de las dos cuentas, usted tenga la suma de dinero deseada. 67º._ (4.85) El gerente de una empresa pide un préstamo de $20’000.000 a un banco y se compromete a cubrir esta deuda en 15 pagos mensuales iguales y con un interés del 3% mensual. Para poder cumplir esta obligación, el gerente hace depósitos iguales por mes anticipado en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2,8% mensual. El valor de cada depósito debe ser tal que al final del mes se tenga la suma exacta para pagar la cuota del banco. Al cabo de 8 meses, la cuenta de ahorros aumenta la tasa de interés del 3% mensual y desde ese momento el gerente duplica el valor de cada depósito. Hallar el saldo que tendrá en la cuenta de ahorros una vez amortizada la deuda con el banco, sabiendo que en ese momento no se hace depósito. 68º._ (4.86) Una familia adquiere hoy un electrodoméstico que de contado costará $485.500. Sin embargo, lo adquieren a crédito así: cuota inicial del 22% del valor de contado y el resto para amortizar en 6 cuotas meses iguales; el primero debe pagarse dentro de cuatro meses. Si el interés que cobra la casa comercial es del 3,5% mensual durante los cinco primeros meses y del 3,9 % mensual de allí en adelante, hallar el valor de las cuotas mensuales. 69º._ (4.87) Una obligación que consta de 18 pagos iguales por mes anticipado y con una tasa de interés del 2,6% mensual, debe sustituirse por una serie equivalente de 24 pagos iguales por mes vencido de $3.500 cada uno; el primero debe pagarse dentro de 4 meses y con una tasa de interés de 2,6% ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS mensual durante los 3 primeros meses y del 36% nominal mensual de allí en adelante. Hallar el valor de cada pago de la primera anualidad. 70º._ (4.88) Un señor que acaba de ser pensionado por una empresa, decide comprar un taxi para seguir trabajando. Debe pagar de cuota inicial el equivalente al 35% del valor del auto y el resto a 4 años con cuotas mensuales iguales y un interés del 2,7% mensual. Al cabo de dos años y medio de estar pagando cuotas, la compañía que financio la deuda le informa al propietario del taxi que las cuotas que aun faltan por pagar tienen un valor en esa fecha de $11’850.000. Determinar el valor de contado del taxi. 71º._ (4.89) Resolver el problema 4.88, si la tasa de interés es del 2,7% mensual durante los dos primeros años y del 3,2% mensual de allí en adelante. 4.90 Un artículo tiene un valor de contado $365.000 pero puede adquirirse financiado con el siguiente plan: Cuota inicial de 35% del valor de contado y el resto en 18 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de cinco meses y un último pago de $ 45.000 dentro de dos años. Si la tasa del 31% nominal mensual durante los cinco primeros meses y del 9% trimestral de allí en adelante, hallar el valor de las cuotas mensuales iguales. 4.91 Un pequeño proyecto requiere hoy $80’000.000 los cuales obtienen de una entidad financiera que cobra un interés del 36% ATV y deben cubrirse con dos pagos iguales a 2 y 3 años. Para cubrir ésta obligación, el administrador del proyecto deberá depositar mensualmente cantidades iguales en una corporación que paga el 28,5% AMV. Determinar el valor de los depósitos mensuales. 4.98 Financiar dos obligaciones, una por $2’300.000 de hoy y otra de $1’700.000 para dentro de quince meses, ambas con un interés del 29% anual, por su equivalente en 20 cuotas mensuales iguales y un interés del 2,3% mensual para el primer año, y del 30,5% anual de allí en adelante, sabiendo que la primera de estas cuotas uniformes se pagará dentro de 3 meses. 4.100 Una fábrica construyo una gran bodega en la cuál sobra un espacio considerable. La empresa puede arrendar parte de la bodega y depositar ese dinero al 31% anual. Si el metro cúbico de bodega puede arrendarse por $6.500/mes, ¿Cuántos metro cúbicos deberá arrendar la empresa para que logre tener, por esté concepto, un total acumulado en la cuenta de $12’000.000 al cabo de cuatro años? 4.101 Con el fin de reunir $15’000.000 para dentro de 5 años, usted abre la cuenta de ahorros con un depósitos inicial de $1’300.000 y luego depósitos mensuales iguales durante los 5 años. Si al cabo de 2 años usted debe retirar de la cuenta $2’000.000, hallar el valor de los depósitos mensuales para que a los 5 años tenga la cantidad deseada, sabiendo que la cuenta de ahorros para el 3% mensual durante los 2 primeros años y el 3,8% mensual para los 3 años siguientes.

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS 4.102 Una persona adquiere hoy un apartamento con el siguiente plan: cuota inicial financiada a seis pagos mensuales de $2’100.000 cada uno y un interés del 3% mensual, y el resto a cinco años mensuales iguales: debe pagar la primera dentro de cuatro meses y el interés es del 37,5% MV. Determinar el valor de las cuotas mensuales, si el apartamento tiene un valor de contado de $85’000.000. 4.103 Resolver el problema 4.102 si la tasa para la financiación de la cuota inicial es del 2,8% mensual y para el resto la tasa de interés es del 34% MV para los dos primeros años, del 32% MV para los dos años siguientes y del 35% EA para el último año. ANUALIDAD CON INTERES ANTICIPADO Es aquella donde el pago de los intereses se realiza al principio de cada período. El deudor paga cuotas iguales en cada período, excepto en punto inicial. Ejemplo: 1 Un banco comercial le otorga un crédito a una persona en las siguientes condiciones: Préstamo Tiempo Tasa de interés Abono a la deuda Cuotas

$ 2’000.000 1 año 32% TA (Trimestre Anticipado) Trimestre vencido Uniformes a partir del primer trimestre

 1  (1  i ) n    Do i  A  Do *    A n n i  1  (1  i )   1  (1  i )      i  

Do  A * 

Donde: Do = Deuda n = Número de períodos i = Tasa de interés por período anticipado A = Anualidad

1 García, Jaime A. Matemáticas Financieras. Cuarta Edición. Editorial Pearson. Pág. 132.

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS $ 2’000.000

0

1

2

3

4

$160.000 $564.160,89 0,32  0,08 Tasa trimestre anticipada: 4 Interés: $2’000.000 * 0,08 = $160.000 A

2'000.000

2'000.000 2'000.000 2'000.000 2'000.000  A   A   A   A  1  0,71639296 0,28360704 3,545088 1  (1  0,08) 4 1  (0,92) 4 0 , 08 0 , 08 0,08 0,08

A  $564.160,8897 El abono a capital se hace de la siguiente manera: En el período n En el período n-1 En el período n-2 . . . En el período 3 En el período 2 En el período 1

A A-i *A = A*(1-i) A-i *[A*(1-i)+A] = A(1-i)2

A*(1-i)n-3 A*(1-i)n-2 A*(1-i)n-1

Amortización de la deuda En el período 4= $564.160,89 En el período 3 = $564.160,89*(1-0,08)  $564.160,89 * 0,92  $519.028,02 ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS En el período 2 = $564.160,89*(1-0,08) 2 $564.160,89 * 0,8464  $477.505,78 En el período 1 = $564.160,89*(1-0,08)3  $564.160,89 * $439.305,32 Pago de intereses Los intereses de cada período de obtienen de la diferencia entre la “anualidad” y la “amortización de la deuda”. La deuda final se obtiene de la diferencia entre la “deuda inicial” y la “amortización de la deuda”.

PERIODOS 0 1 2 3 4

DEUDA INICIAL 2’000.000,00 2’000.000,00 1’560.694,68 1’083.188,90 564.160,89

INTERESES

ANUALIDAD

160.000,00 124.855,57 86.655,11 45.132,87 0

564.160,89 564.160,89 564.160,89 564.160,89

AMORTIZACION DE DEUDA 0 439.305,32 477.505,78 519.028,02 564.160,89

DEUDA FINAL 2’000.000,00 1’560.694,68 1’083.188,90 564.160,89 0

Ejemplo. 2 La Perla Ltda. adquiere, el 1º de febrero del año 2006, un préstamo del Banco Latino por valor de $10’000.000 con un plazo de un año, cuotas trimestrales, con intereses del 28% anual, pagaderos trimestre anticipado. El cálculo de los intereses que el banco se descontará por el primer trimestre en forma anticipada lo hará con la formula de interés simple así: Interes 

capital * tiempo * tasa _ de _ int eres 100.000 * 28% * 90  Interes   $700.000 360 _ dias 360

Asiento contable: Fecha Febrero 1º

Código 111005 17050 5 21051 0

Cuenta Bancos Intereses pagados anticipado Obligaciones bancarias

Debito Crédito $ por 9’300.000 700.00 $ 0 10’000.000

Línea de tiempo: 2 Díaz Hernando. Contabilidad General. Editorial Prentice Hall. Pág. 186. ALBEIRO CONTRERAS T. DOCENTE

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS

Cálculo de la amortización de la anualidad  1  (1  i ) n    Do i  A  Do *    A n n i  1  (1  i )   1  (1  i )      i  

Do  A * 





0,07

A  10'000.000 * 

4

 1  (1  0,07) 



0,07

 A  10'000.000 * 





4

 1  (0,93) 



0,07 0,07     A  10'000.000 *      1  0,74805201  0,25194799 

A  10'000.000 * 

A  10'000.000 * 0,27783511985946  A  $ 2.778.351 Amortización de la deuda En el período 4 (n) :

A= 2’778.351

= $ 2’778.351

En el período 3 (n-1) :

A*(1- i) = 2’778.351*(1-0,07)

= $ 2’583.867

En el período 2 (n-2) :

A*(1-i)2 = 2’778.351*(1-0,07)2

= $ 2’402.996

En el período 1 (n-3) :

A*(1-i)3 = 2’778.351*(1-0,07)3

= $ 2.234.786

Tabla de amortización PERIODO S

DEUDA INICIAL

0 1 2 3 4

$ 10.000.000 $ 10.000.000 $ 7.765.214 $ 5.362.218 $ 2.778.351

INTERESES $ $ $ $ $

700.000 543.565 375.355 194.485 0

Asientos de ajustes

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ANUALIDAD $ $ $ $

2.778.351 2.778.351 2.778.351 2.778.351

AMORTIZACION DE LA DEUDA $ $ $ $ $

2.234.786 2.402.996 2.583.867 2.778.351

DEUDA FINAL $ 10.000.000 $ 7.765.214 $ 5.362.218 $ 2.778.351 $ 0

ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS Febrero 28 Marzo 31 Abril 30

FORMAS DE AMORTIZAR PRÉSTAMOS 3 Teóricamente existen infinitas formas de amortizar una deuda debido a que los deudores y acreedores pueden pactar libremente las condiciones. Ejemplo. Se adquiere una deuda por $100.000 al 24% anual durante 4 años. Forma 1: Pago total con un pago único al final. El prestamista sólo recibe el capital y los intereses al final de los cuatro años. PERIODO S 1 2 3 4

CAPITAL INICIAL $ 100.000 $ 124.000 $ 153.760 $ 190.662

INTERESES CAUSADOS $ 24.000 $ 29.760 $ 36.902 $ 45.759

INTERESES PAGADOS $ $ $ $ 136.421

ABONO A CAPITAL $ $ $ $ 100.000

PAGO TOTAL $ $ $ $ 236.421

Ésta situación equivale al valor futuro aplicando la formula de interés compuesto. VF  VP * (1  i ) n VF  $100.000 * (1,24) 4  VF  $100.000 * 2,36421376  VF  $236.421,376

Forma 2: Pago de intereses anuales y del capital al final. Bajo ésta modalidad los intereses se cancelan en el momento en que se causan (al final de cada año) y el capital se devuelve al final de los cuatro años. PERIODO S 1 2 3 4 TOTALES

CAPITAL INICIAL $ $ $ $

100.000 100.000 100.000 100.000

INTERESES CAUSADOS $ $ $ $

24.000 24.000 24.000 24.000

INTERESE S PAGADOS $ 24.000 $ 24.000 $ 24.000 $ 24.000 $ 96.000

ABONO A CAPITAL

PAGO TOTAL

$ $ $ $ 100.000 $ 100.000

$ 24.000 $ 24.000 $ 24.000 $ 124.000 $ 196.000

Forma 3: Pago de capital e intereses en cuotas anuales uniformes. Bajo este tercer esquema el prestatario paga la deuda en 4 cuotas iguales, que incluyen capital e intereses, al final de cada año. 3 García S. Oscar León. Administración Financiera. Fundamentos y Aplicaciones. Editorial Prensa Moderna Impresores s.a. Pág.126.

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ANUALIDADES MATEMATICAS FINANCIERAS El valor de dicha cuota se obtiene aplicando la formula del valor presente de una anualidad.  1  (1  i )  n  VP  A *   i   Reemplazando:  1  (1,24)  4   1  0,422973597784999    100.000  A *    0,24  0,24   

100.000  A * 

 0,577026402215001   100.000  A * 2,40427667589584  0,24  

100.000  A *  A

PERIODO S 1 2 3 4 TOTALES

100.000  A  $41.592,5508917312 2,40427667589584

CAPITAL INICIAL $ 100.000,00 $ 82.407,45 $ 60.592,69 $ 33.541,38

INTERESES CAUSADOS $ 24.000,00 $ 19.777,79 $ 14.542,25 $ 8.049,93

INTERESES PAGADOS $ 24.000,00 $ 19.777,79 $ 14.542,25 $ 8.049,93 $ 66.369,97

ABONO A CAPITAL $ 17.592,55 $ 21.814,76 $ 27.051,30 $ 33.544,62 $ 100.003

PAGO TOTAL $ $ $ $ $

41.592,55 41.592,55 41.593,55 41.594,55 166.373,20

Forma 4: Pago del capital en cuotas anuales iguales e intereses sobre saldos al momento de su acusación.

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