Anualidades ESAN

Valera, R. (2012). Anualidades. En Matemática financiera:conceptos, problemas y aplicaciones (pp.71-158)(420p.)(5a ed). Piura : Universidad de Piura. (C37991)

Anualidad.es 3.1

Conceptos

3.1 .1

Concepto de Anualidad

Es una serie de pagos periódicos, que se hacen en cantidades iguales, y a intervalos regulares de tiempo. Final del periodo de pago

Inicio del pertodo de pago

o

R

R

R

R

1

1

1

1

1

2

3

4

S=?

A=? Periodo o intervalo de pago

~· . *"''m!!l!r..es}~

Plazo o término de la anualidad

El tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el último período de pago se llama "término o plazo de la anualidad". El tiempo que hay entre cada pago sucesivo se llama período o intervalo de pago, y este plazo, expresado en número de días, meses trimestres etc. , debe ser el mismo entre cada período de pago.

3.1.2

Elementos de una Anualidad

Los principales elementos que conforman una anualidad son los siguientes: 71

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

R : Pago Periódico es el importe cobrado o pagado, según sea el

caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad. S:

El Valor Futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos ( R ), capitalizados al final del enésimo período.

A:

El Valor Actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos ( R ), descontados a una tasa de interés o de actualización.

i : Es la tasa de interés efectiva por período.

n : El número de períodos se obtiene al multiplicar el tiempo en

años por la frecuencia de capitalización de los intereses (n =N*m ).

3.2

Clasificación de las Anualidades

En términos generales, las anualidades se clasifican en anualidades eventuales y anualidades ciertas.

e 3.2.1

VITALICIAS

)

e

)

TEMPORALES

)

e r

e: TEMPORALES

~

e

1 PERPETUAS

)

Anualidades Eventuales o Contingentes

Pertenecen a este grupo aquellas anualidades en las que el comienzo o el final de la serie de pagos son imprecisos y dependen de algún acontecimiento previsible pero sin exactitud.

72

Anualidades

Ejemplo: Un contrato hecho por una compañía de seguros de vida, en la que se obliga a pagar, a partir de una determinada fecha, una cierta cantidad de dinero a una ersona mientras ésta viva. Estas anualidades a su vez pueden ser:

•

Vitalicias: Son las anualidades que tienen vigencia mientras dure la vida del rentista. Podría ser el caso de una pensión por jubilación.

•

Temporales: Son, en esencia, anualidades vitalicias que terminan después de un determinado número de pagos, aún cuando el rentista continúe con vida. Un ejemplo podría ser el seguro que cubra los estudios universitarios de una persona.

3.2.2

Anualidades Ciertas

Reciben este nombre aquellas anualidades en las que la duración de la serie de pagos, no depende de alguna eventualidad externa, sino que se estipula en términos concretos por adelantado. Las anualidades ciertas, de acuerdo a su duración, se clasifican en perpetuas y temporales.

•

Temporales: Son aquellas que tienen un plazo de duración determinado. Por ejemplo, un crédito hipotecario a pagar mensualmente durante veinte años.

•

Perpetuas: Son las que tienen duración ilimitada, quiere decir que el fm del horizonte temporal no está determinado. Por ejemplo, la emisión de un tipo de bonos que pagan una renta a perpetuidad.

Las anualidades ciertas y eventuales pueden ser a su vez:

•

Vencidas u Ordinarias: Cuando las rentas se efectúan al final del período.

•

Anticipadas o Adelantadas: Cuando las rentas se efectúan al comienzo del período.

7?.

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

3.3

Cálculo del Valor de una Anualidad

Podemos calcular el valor de una anualidad, en cualquiera de los tres casos siguientes: •

Al fmal del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es el monto o valor futuro (S).

·•

Al comienzo del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es al valor actual (A).

•

En un punto intermedio del plazo de la anualidad.

3.4

Anualidad Vencida u Ordinaria

Se caracteriza porque sus pagos periódicos iguales, se hacen al final de cada intervalo de pago.

3.4.1

Cálculo del Monto o Valor Futuro (S)

Consiste en hallar la suma de todos los pagos periódicos a una misma tasa de interés por periodo, y al fmal del plazo de la anualidad. Con un ejemplo se detallará la forma com.o se obtiene este monto. Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de S/. 100 1~ fmal de cada trimestre, durante un año, al 9% efectivo trimestral.

1

Datos: R =lOO i = O. 09 trime¡stral n=4 S=?

o

74

1

2

3

4

100

100

lOO

lOO

Anualidades

Solución: S=100(1+0.o9Y +100(1+0.09Y +100(1+0.o9Y +100

S= 457.31 Deducción de la fórmula: Simbólicamente tenemos:

S= R(l +if +R(l +if +R (1 +iY +R Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razón geométrica ( r ), para luego hallar la suma de sus términos.

Primer término: a = 1 Últin1o término: u

(1 + iY

La fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica finita es:

f * (1+ i) -1 - -'----'--( 1+ i) -1 4

(u * r )- a - (1+ i S-

- (r-1) -

(l+i)-1

-

i

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

S=R

[

(l+ir-11 . l

cuando cuatro (4) es el número de períodos y de pagos. 75

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas yaplicaciones

Por lo tanto, la fórmula del monto de una anualidad ordinaria cuyos pagos (R) son pagaderos al final de cada período, durante n períodos y a una tasa de interés i , sería:

En el ejemplo visto tenemos que:

s = 1oo[.....;_(1_+o_.o---'9)_4-_1 J 0.09 S =457.31

3.4.2

Cálculo del Valor Actual (A)

Consiste en hallar la suma de los valores actuales de todos los pagos periódicos al comienzo del plazo de la anualidad. Con los datos del ejemplo anterior, hallar el valor actual o presente de dichos pagos.

A=?

o

1

1

1

2

3

4

100

100

100

100

1

2

3

A= 100(1 + O.o9r + 100(1 + 0.09r + 100(1 + 0.09r + 100(1 + 0.09r

A =323.97 Deducción de la fórmula:

Simbólicamente tenemos:

76

4

Anualidades

Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

A =R[ (1 +ir

1

+(1 +i)-2 +(1 +ir3 +(1 +i)-4

J

y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razón geométrica ( r ), términos. r=

para luego hallar la suma de sus

' )1 1+ i 1 Q =(l+i) 2 (1 + i)

Pri.rner término: a= (1 + i)-4 Último término: u= (1 +i)-

1

La fórmula de la suma de los términos de lma progresión geométrica finita

(u*r)-a (1+ir1 *(l+iY -(l+i)-4 1-(l+i)-4 S = (r -1) = (1 + -1 l

ii

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

l

rJ 4

A=R l- (1+ i l

cuando cuatro (4) es el número de períodos y de pagos. La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad ordinaria cuyos pagos ( R ) son pagaderos al final de cada período, durante n períodos y a una tasa de interés i, sería:

77

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

En el ejemplo visto tenemos que: S=lOOrl-(1+0.09)-4

l

0.09

S

1

S =323.97

3.4.:i

Cálculo de una Anualidad en un Punto Intermedio

Para una mejor ilustración del cálculo de una anualidad en un punto intermedio usaremos un ejemplo 1 Ejemplo: Se tiene una anualidad ordinaria con pagos trimestrales de S/. 5 000 durante dos años, pactados a una tasa efectiva trimestral del 7 .5%. Hallar el valor de la anualidad al final del primer año. Datos: R = 5 000 i =O. 07 5 trimestral n=4*2=8 X =valor buscado al fmal del primer año

o

1 5 000

2 5 000

3 5 000 '

4 5 000

5

6

7

5 000

5 000

5 000

8 5 000

S=? 1

A=? 1

Solución: •

78

Hallar el monto S al final del primer año de los pagos anteriores a la fecha; inclusive el pago en esa fecha:

Anualidades

5

S= •

ooo[ (1+0.075r -1] = 22 364.60 0.075

Hallar el valor actual A al fmal del primer año de los pagos posteriores a la fecha. 5 ooo[l-(1+0.075r A=

•

0.075

4 ]

= 16 746.63

El valor de la anualidad al fmal del primer año (..W es: S + A = 22 3 64 .6 O+ 16 7 46 .6 3 = 3 9 111.2 3

3.4.4 Problemas Resueltos de Anualidades Vencidas l. ¿Qué monto obtendré si deposito S/. 500 al fmal de cada mes durante cuatro años, si la tasa efectiva mensual es del 0.5%? Datos:

R=500 i =0.005 mensual Plazo =4 años n=4*12= 48

Solución:

s = soo[ (1 +O.oos)" -1J 0.005 S= 27 048.91

S=? 2. ¿Qué cantidad de dinero tendré que depositar hoy día en un banco para poder disponer de S/. 500 al fmal de cada m_es durante tres años, si el banco paga una tasa efectiva mensual del 0.5~1,?

Datos:

Solución:

R=500 i=0.005 Plazo =3 años n · 3*12=36 A=?

A= soo[1- (1 +o.oosr"]

0.005 A =16 435.5

79

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

3. La empresa ABC hace un préstamo al banco, que se cancela mediante pagos semestrales vencidos de S/. 20 000 durante dos años a una tasa efectiva semestral del 18%. ¿Cuánto deberá ABC al cabo de un año después de haber cancelado los dos primeros pagos?

o

3

2 20000

Datos:

R=20 000 i =18% semestrnl n=2*2=4 A=?

20000

4 20 000

20 000

Solución: 20 ooo[l-(1+0.18r

2 ]

A=-------0.18

A =31 312.84

4. Una empresa azucarera reserva S/. 15 000 al fmal de cada mes durante tres años en un fondo que gana 12% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuál será el valor del fondo al fmal del tercer año, y cuánto será el monto 2.5 años después de hacer el último depósito? Datos:

R=15 000 i =12%/ 12=1 %~nsual n=3*12=36

S=?

Solución:

Y-1]

15 000 [ (1 +O. O1

6

S=----=-----0.01 8=646153.17

S=C(1+iY n

=12 * 2. 5 =30

8=64{) 153.17(1+0.0lj

0

S= 870 916.85 5. Se solicita un crédito por $ 100 000 al Banco Regional. Se cancelará con pagos mensuales vencidos durante dieciocho meses.

80

Anualidades

La tasa de interés del mercado es 2.8436% efectivo mensual. ¿De cuánto será cada pago? Solución:

Datos:

A= lOO 000 n =18 meses i =2.8436% trensual R=?

R[1- c1 + o.o28436r

18

J

1()() 000 = ---=---------=0.028436 R=7175.08

6. Terry recibe un crédito de$ 7 000 pagaderos por medio de cuatro pagos semestrales vencidos, a una tasa del1.5% efectivo mensual: a) ¿Cuánto pagará semestralmente? b) ¿A cuánto ascenderían estos pagos si es que se acordase pagar mensualmente? Solución: a) Datos:

Solución;

i =0.015 rrensual

R [t-(1 + 0.093443)-4] 7 000 = - - - = ' - - - - - - - = 0.093443 R =2 177.03

n=2x 12=24 12

(1+0.015)

=(1+i)

2

i =9.3443% sem.

b) Datos:

Solución:

i =0.015 rrensual n= 2 x 12 = 24

7 000=

R [1-(1 + o.093443

rJ 24

0.093443

R= 349.46 7. ¿Qué cantidad de dinero tendré que invertir en una financiera, para obtener un pago de $ 3 500 al final de cada año durante cuatro años, si la financiera paga el 9% anual capitalizable mensualmente?

81

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

Datos:

Solución:

R=3 500 i =O. 09112 = 0.0075 mensual 2

(1 + 0.0075Y = (1 +TEA

y

3 5oo[1-(1+0.093807)-4] A= 0.093807 A= 11 244.91

TEA=9.3807% 8. Valeria desea comprar un equipo de sonido que al contado cuesta SI. 2 800. El vendedor le ofrece que no pague nada de cuota inicial, sino que haga un solo pago de S/. 3 500 al fmal de seis meses; sin embargo ella prefiere hacer pagos mensuales iguales, acordando con el vendedor efectuarlos al fmal de cada período. ¿De cuánto debería ser cada pago periódico? Datos: Solución:

C=2 800 S=3 500 n=6 i=?

S=C(l+ir 6

3 500 =2 800(1 + i)

i =3.7891% mensual

Para hallar el pago periódico, usamos la fórmula del Valor Futuro o la fórmula del Valor Actual. Datos:

A=2 800 n=6

i =3.7891% R=?

Solución:

R[ 1- (1 + 0.03 7891 )-6]

2 800 = - - - - - - 0.037891 R=530.47

9. Cuando Pía cumplió catorce años, su abuela decide depositarle al fmal de cada trimestre la cantidad de S/. 550 en una cuenta de ahorros en el Banco América que paga el 3.5~ó efectivo mensual. Si tiene pensado hacer estos depósitos durante ocho años consecutivos, calcular la cantidad que tendrá Pía en su cuenta al cumplir veintitres años, si se sabe que la tasa de interés permaneció invariable hasta que cumplió veinte años, fecha en que la tasa efectiva trimestral subió al 16%. Datos:

R=550 n=24 i=3.5% 82

(1 + o.o35Y = (1 +

iY

i= 10.871788% trimestral

Anualidades

Solución:

14 años

o

2

1

3

4

5

6

7

i = 10.8718%

n

,,,"

·

·

j = 16% n=8

=24

8

9 i = 16% n =4

~~

R=550

~ ~s,

s, 24

sso[ (1+0.10871788) S,=

-1]

0.10871788

S1 =55 164.667 Por lo tanto: S,

=55 164.66 7 (1 + O.16 i

2

SI = 327 458.95

R=550· n=8· i=l6%

'

'

8

S2 -

5 50 [ ( 1+ o.16) -1

J

--=-----·

-

0.16

S2 =7 832.05 Por lo tanto: 4

S2 = 1 832.05 (1 + o.16)

s2 = 14 181.02 Entonces, Pía al cumplir veintitrés años tendrá en su cuenta:

ST = s, +S2 ST = 327 458.95 + 14 181.02 ST =341 639.97

83

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

10. Jorge ahorró en una A.FP $ 100 mensuales, durante toda su vida laboral que duró treinta años, los cuales incluyen dos años de inactividad por falta de trabajo. Al final de estos treinta años se jubila. Pero durante los años catorce y veintiun no pudo ahorrar los $ 100 al mes ya que no tuvo trabajo. Si la tasa es del 0.5o/ó mensual, y si se estima que Jorge vivirá quince años más después de su jubilación, ¿cuánto deberá recibir mensualmente en su ancianidad durante esos quince años? Solución: Primero, tenemos que calcular el monto acumulado hasta el año trece, en que Jorge dejó de trabajar:

*

R=100

i = 0.005 mensual

n = 13 12 =156 meses·

'

años

o

1

13

3

2

Ahora debemos calcular el monto que se acumuló el año que dejó de trabajar, aunque no aportó los $ 100 mensuales durante ese año, el monto acumulado hasta ese año siguió ganando intereses de la siguiente manera:

R[(l+i) -1] s13

=

i

56

=

Ioo[(l+o.oo5Y -1] = 23 544.73

0.005

Acumulado hasta el año 14:

e= 23

n = 1 *12 = 12 meses

544. 73;

2

s14

=23 544.73(l+O.oosY = 24 996.92

Lo que se acumuló hasta el año veinte será:

e= 24 996.92; 84

n = 6 * 12 = 72 meses

Anualidades

años 15

14

20

16 72

S= 24 996.92(1 + 0.005) = 35 796.41

oo[(1 + o.oo5) -1 J=8 640.89 72

1 S=

0.005 s2o =35 796.41+8 640.89 S20 = 44 437.3

Ahora, calcularemos el monto que se acumuló en el segundo año que no trabajó, que es el año veintiuno. El tnonto hasta ese momento es el siguiente:

n = 1*12 =12 meses

C= 44 437.3;

12

S= 44 437.3(1 +0.005) = 47 178.09 Finalmente hallaremos el monto total acumulado hasta el año treinta:

*

e= 47 178.09;

n = 9 12 = 108 meses

años 21

22

23

30

24 08

s = 47 178.09 (1 + o.oo5i = 80 849.07 too[ (1 + o.oo5yos -1 J S=

0.005

= 14 273.98

85

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

El monto total acumulado durante los treinta años de su vida laboral es:

=80 849.07 + 14 S30 =95 123.06 S30

273.98

El monto que va a percibir mensualmente, durante los próximos quince años:

A= 95 123.06;

n=15*12=180 meses

J

R[1-(1+irn A = --=------=l

R[ 1- (1 + o.oo5r J 180

95123.06 = --=------=0.005 R=802.70

11. La compañía "ERLI S.A." ha decidido cancelar las doce últimas cuotas mensuales de un préstamo contraído con la Caja Municipal. Sí las cuotas pendientes de pago son fijas y cada una de ellas asciende a S/. 15 000. a) ¿Cuánto tendría que cancelar hoy, si la TEA con la que fueron calculadas las cuotas es del 18%, pero se sabe que para recalcular la deuda se toma la TEA vigente que es del 15%? b) ¿Le favorece o le perjudica que para recalcular su deuda tomen una TEA menor? a)

o A=?

86

1 15 000

2

12

15 000

15 000

Anualidades

(1+0.15j =(l+ij

2

i =0.011714917 mensual

A= 15 ooo[1- (1 + o.Ol1714917r'

2

J

0.011714917 A = 167 011.14

b) Si no hubiese variado la TEA, tendría que pagar lo siguiente:

( 1+ o.18

i =(1 + i i

2

i =0.0138888 mensual A =15 ooo[ 1- (1+ o.o 1388 88

r' J 2

0.0138888 A= 164 751.20 Con lo cual vemos que, si para recalcular la deuda se hubiese tomado la TEA del 18% y no la TEA del 15%, se hubiera ahorrado S/. 2 259.94.

12. María Lucía compró un departamento por el cual debe hacer un pago periódico n:tensual de $ 550 durante diez años; pactándose una tasa efectiva anual del 11.5%. a) Si al efectuar el trigésimo pago desea liquidar el saldo de su deuda con un pago único ¿Cuánto deberá pagar adicionalmente en esa fecha para liquidar su deuda?

b) ¿Cuál será el valor al contado del departam.ento? Datos:

R=550 n=~

(1 +ir = (1 +TEA j

(1+iY 2 =(l+o.usy i = 0.9112% mensual

87

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

Solución: a)

A= 550[1- c1 +O.o09mr"'

J

0.009112 A =33 678.13 b) 120

55o[1-c1 + o.o09u2r

J

A=--=---------= 0.009112

A=40034.32 13. Luis Perales desea comprar dos camionetas para distribuir gaseosas. En DAEWOO, el precio al contado de ambas camionetas es de S/. 120 000, pero le proponen un crédito con las siguientes condiciones: Sin cuota inicial y cuotas mensuales iguales para pagar al fmal de cada mes por S/. 6 712.59 a una tasa efectiva del 3% mensual. Calcular en cuántos meses se pagarán las camionetas. Datos:

A=120 000 R=6 712.59 i =O. 03 trensual n=?

Solución:

6 712.59[1- (1 +O.o3rn

J

120 000 = -----=------= 0.03 3 60016 712.59 = 1- (Lo3rn 0.463694 = (t.o3r, log (0.463694)=-n * log (1.03) n=26meses

14. El Sr. Sergio García decide comprar una máquina ABSX 30 para complementar su gimnasio; el vendedor le ofrece un plan de cuotas, en la que mensualmente tendría que desembolsar $ 930, acordándose una tasa efectiva anual del 18%. Si su deuda está actualmente valorizada en $ 7 817.18. Determinar el número de meses que le restan para cancelar su deuda. 88

Anualidades

Datos:

R=930 A=7 817.18 TFA=18%

(l+TEAi =(1+ii

2

(1 + o.t8Y = (1 + iY

2

i =0.01388843 mensual

Solución: 930[1- (1 +0.01388843rn

J

7 817.18 = --=----------=0.01388843 0.883295 = (1.01388843 rn log (0.883295) = -n * log (1.01388843) n =9 meses

15. Juan Ruiz desea realizar sus estudios de Master en Dirección de Empresas. Después de averiguar el costo de estos estudios, se dio con la sorpresa que serían de$ 16 000. Juan solamente contaba con $ 6 000 ahorrados, por lo que se vio en la necesidad de prestar $ 1O 000 al banco con las siguientes condiciones: Préstamo TEA Plazo Forma de pago

$ 10 000

18% 4 años cuotas mensuales

a) Hallar a cuánto asciende la cuota de cada pago mensuaL b) Al finalizar el primer año, luego de efectuar el pago correspondiente a ese período, Juan Ruiz desea saber cuál es el saldo de su deuda luego de amortizar $ 2 000 de ésta. e) Si la TEA al comenzar el segundo año aumt~ntó en 2% ¿A cuánto ascenderán las cuotas restantes? Solución: a)

(1 +TEA} = (1 + i } (1+0.18) =(l+i)

2

2

i =1.3 88843~/o mensual

89

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

R [1-(1 + 0.01388843 )-4

8 ]

1o 000= --=---------=0.01388843 R= 286.8259 b) 36

286.8259[1- (1 +0.01388843r ] A=---=--------= 0.01388843 A=8 082.61 Como decide amortizar $ 2 000, su deuda será de: 8 082.61-2 000 = 6 082.61

e)

(1 + TEAY = (1 +ij

2

(1 + 0.20i =(1 + ii

2

i =1.530947% mensual

R [1- (1 + o.ol50947r

36 ]

6 082.61 =~-------= 0.0150947 R =221.03

16. Un alumno que recién termina la Univ.ersidad, está planeando comprarse un departamento cuyo precio al contado es de$ 40 000. Para ello, se pone en contacto con el Banco América que le ofrece financiar el 75% del valor del departamento, exigiéndole a cambio cuotas mensuales de $ 360.05 cada una durante 15 años. ¿Cuál es el costo del financiamiento anual? Datos: A =40 000 * 0.75 = 30 000 R = 360.05 n = 15 * 12 = 180 i=? 90

Anualidades

Solución: 360.05[1-(1 + i)-ISO] 30 000 = ---==-----

i

La i se puede hallar rápidamente con la ayuda de una calculadora financiera o con una hoja de cálculo. Manualmente el cálculo hay que hacerlo por el método de prueba y error que consiste en probar aleatoriamente con distintas tasas de interés hasta que encontremos una tasa que satisfaga esta ecuación. El primer paso sería igualar la ecuación a cero.

ir J --=-----=-- 30 000 =o 360.o5[1-(1 +

180

l

Probamos con i =5% , y esto es igual a: S/. -22 800.1; resultado que al ser negativo quiere decir que la tasa que estamos buscando es menor al 5%. Ahora probamos con i = 0.5%, y esto es igual a S/. 12 667.19; resultado que al ser positivo quiere decir que la tasa que estamos buscando es mayor al 0.5%; entonces ya sabemos que la tasa que estamos buscando se encuentra dentro de este rango hasta que finalmente encontramos que una i igual al 1% ( i = 1% ) logra satisfacer esta ecuación, haciendo que ésta sea igual a cero. A continuación, hallamos el costo anual del financiamiento (TEA):

(1+TEAY = (l+O.otY

2

TEA= 12.6825% 17. La Cía. San Andrés contrae una deuda con el banco por $ 200 000 pagaderos en diez años mensualmente, a una tasa del 1.5% efectivo mensual (TEM). Al fmalizar el cuarto año luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes, se plantea lo siguiente: a) ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para liquidar su deuda? 91

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

b) ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $2 500? e) ¿Afecta que al calcular el valor actual de mi deuda considere una tasa efectiva mensual menor, por ejemplo del1 %? Solución: a) A=?

meses

o

2

3

48

R

49

118

50

119

[1- c1 + o.o15r J 120

200 000 =~-------=0.015 R =3 603.704

2

= 3 603 .704[ 1-(1 +0.015f'

A 48

0.015

A48 =158 003.20 b)

2 soo[1- (1 +o. ot5r

72 ]

A=----~--------~

0.015 A =109 611.66

Pagaría: 158 003.20-109 611.66 = 48 391.54 e)

n=72·

R = 3 603.704;

'

A 48

i=1%

= 3 603.704[1-(1+0.01f']

0.01 A48 = 184 3 30.870 92

]

120

Anualidades

184 330.870 vs 158 003.201

Aparentemente, esta situación parecería favorable al cliente; sin embargo, al calcular a cuánto ascendería el valor actual de su deuda en el caso de que las cuotas se recalculen con una tasa menor, en este caso del 1%, podemos observar que se le estaría perjudicando, como se ve al comparar los valores actuales calculados con las tasas mensual del 1.5% y del 1%. Esto ocurre porque las cuotas pactadas fueron calculadas inicialmente con una tasa mayor y al calcularlas con una tasa menor estaríamos castigándolas menos y obteniendo, por lo tanto, un mayor valor actual. 18. Hoy día se contrae una deuda por $ 11 000, con el acuerdo de pagarla en 24 meses con una TEM del4%. Luego de efectuado el sexto pago y ante la aparición de problemas financieros, se plantea al acreedor: a) El deseo de seguir pagando siempre y cuando la deuda pendiente se la refmancien a 3 años, contados a partir de ese momento. ¿Cuánto sería el pago mensual que tendría que asumir? b) Le afecta que le bajen la tasa de interés al 3%, al momento de recalcular las cuotas pendientes de pago. Solución: a) A=?

o

6

23

24

93

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

R[ 1-(1 + o.04r J 11 000 =- - = - - - - - - = 24

0.04

R= 721.44

721.44[ 1- (1 + o.04

4=

rJ 18

0.04

4, = 9 133.08 R

R

R

R

R

R

-+-·--+---1 o

1

3

2

34

35

36

R[lc1 + o.o4 r J 9 133.08=-----36

0.04

R=483 b) R [1- (1 + o.o3r

36

J

9 133.08 =---=------=0.03 R =418.32

Como se puede apreciar habría una reducción significativa en las cuotas, disminuyendo$ 64.68 (483 ·- 418.32).

19. El Sr. Pelayo desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 100 000. Al solicitar información sobre el fmanciamiento el vendedor le dice lo siguiente: ~

• • •

Cuota inicial: $ 15 000 y 3 alternativas de pago: 12 mensualidades de$ 8 037.56 c/u. 18 mensualidades de$ 5 669.67 c/u. 24 mensualidades de$ 4 494.00 c/u.

Luego de escuchar al vendedor, el Sr. Pelayo le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente:

94

Anualidades

•

• • •

Cuota inicial: $ 15 000 Al fmalizar el primer mes $ 5 000 Al finalizar el segundo mes $ 1O000 A partir del tercer mes dieciséis pagos iguales.

El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago teniendo en cuenta que el costo mensual de financiamiento de esa casa comercial es del2%. 100 000

A=?

~ o 1

15 000

5000

2

10000

3

16

17

18

R

R

R

R

¿A cuánto ascenderá cada pago R ? 1

100 ooo= 15 ooo+ 5 oooc1 +o.02r + 1o oooc1 +0.02)-2

R[ 1- (1 + 0.02r

16 ]

+ -----------------------

0.02 R = 5 401.06

*1.02-2

20. Suponer que la Cía. PIQUET desea adquirir cuatro camiones de 3~ Ton. c/u. cuyo precio cash es de $ 20 500 c/u. El costo mensual del fmanciamiento ofrecido es del 4.25%, por lo que las alternativas de pago son las siguientes: Cuota inicial de$ 6 500 y tres formas de pago: • • •

12 mensualidades de$ 1 513.45 c/u. 24 mensualidades de$ 941.87 c/u. 36 mensualidades de$ 766.25 c/u.

a) Si compro cuatro camiones utilizando el crédito de la casa comercial. ¿Cuánto pagaría mensualmente en total si el plazo para pagar fuese de 24 meses, además de la cuota inicial que en total sería de $ 26 000? 95

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

b) Además de pagar la cuota inicial, ¿cuánto hubiese tenido que pagar mensualmente por la compra de cinco camiones de ese mismo tipo, si el fmanciamiento se hubiese hecho por el saldo y a través de un Banco que tiene un costo del18% anual? Solución: a) El costo de la casa comercial será el siguiente: Mensual: Anual:

4.25~/o

(1 + 0.0425Y 2 -1= 64.78%

Y por la compra de cuatro camiones pagaré lo siguiente: 941.87 * 4 =3 767.48 mensualmente

b) Por la compra de cinco camiones pagaría lo siguiente:

y

(1 + 0.18 = ( 1+ i

y 2

i =1.3888% A =14 000* 5= 70 000

R[ 1- (1 +0.013888r J 70 000 = 24

---:=..,_ _ _ _ _ __ : : .

0.013888 R=3 449.74

3.4.5

Problemas Propuestos de Anuaiidades Vencidas

l. Lucía tiene en su poder los siguientes docmnentos: •

96

Catorce letras de S/. 8 000 cada una. La primera vence al comenzar el noveno mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalo de un mes.

Anualidades

•

Además tiene diez letras de S/. 6 000 cada una: La primera vence al fmal del séptimo mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalos de dos meses. Si la tasa de liquidación de estos documentos es del 12.6825(% anual, y le ofrecen S/. 150 000 por todo el paquete de documentos. ¿Debería aceptar la ofetta o no?

Rpta: Teóricamente no conviene la oferta, ya que S/. 150 000 es mayor que S/. 148 283.20, que es el valor actual de esas letras el día de hoy.

2. El Sr. Suárez compró un auto, pagando una cuota inicial de $ 5 000 y comprometiéndose a pagar $ 200 cada tres meses durante los próximos diez años. Se pactó una tasa efectiva trimestral del1.5%. •

¿Cuál era el valor de contado del auto? Rpta: $ 10 983.169

•

Si el Sr. Suárez omitiera los primeros doce pagos, ¿Cuánto tendrá que pagar en el vencimiento del décimo tercer pago para ponerse al corriente? Rpta: $ 2 847.36

E,)

®

Después de haber hecho m;ho pagos, el Sr. Suárez desea liquidar el saldo existente mediante un pago único en el vencimiento del noveno pago. ¿Cuánto deberá pagar además del pago regular vencido? Rpta: $4 929.22 Si Suárez omite los primeros diez pagos, ¿Cuánto deberá pagar cuando venza el décimo primer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 7 047.86

3. El Sr. Dulanto viene depositando en el Banco lVIundo cuotas de $ 1 527.18 al fmal de cada mes, con el propósito de que a] final de su rnuerte sea entregado dicho dinero a su hijo. Dos meses después de la muerte del Sr. Dulanto se le notificó a su hijo que era acreedor de $ 35 000, habiéndose pactado una TEA del 15% ¿durante cuántos m.eses ha estado depositando dinero el Sr. Dulanto? Rpta: 20 meses.

97

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

4. El Sr. Lira decide adquirir un departamento valorizado en$ 50 000. Al investigar en la inmobiliaria acerca de las formas de pago, le proponen tres alternativas de pago, a pagar en un lapso de cinco años. Alternativa 1: Sin cuota inicial y sesenta mensualidades de $ 1 142.13 c/u. Alternativa 2: Una cuota inicial de $ 5 000 y sesenta mensualidades de$ 946.62 c/u. Alternativa 3: Una cuota inicial de $ 10 000 y sesenta mensualidades de$ 868.4 c/u. ¿Cuál será la mejor alternativa de crédito para el Sr. Lira? Rpta: Al Sr. Lira le conviene la alternativa número dos, ya que el costo efectivo anual de su fmanciamiento, es el menor (10%). 5. Ciro Bazán desea comprar un nuevo motor que cuesta S/. 2 000 al contado. El dueño le ofrece que haga un solo pago de S/. 3 000 dentro de seis meses. Pero Ciro le propone pagar una cuota inicial de S/. 700, y el resto a pagarlo en cuotas iguales al fmal de cada mes durante doce meses. ¿Cuál será el pago periódico que Ciro tendría que hacer? Rpta: El pago periódico debería ser de S/. 163.59. 6. Tres jóvenes deciden emprender un negocio de venta de artesanías para lo cual necesitan un capital inicial de $ 15 000; monto que solicitan a un prestamista a pagar en cinco años. El prestamista les asigna cuotas mensuales a una tasa capitalizable mensualmente del 98%. Al fmal del segundo año, el negocio obtiene considerables utilidades por lo cual los socios deciden cancelar el 50% de su deuda en ese momento y el saldo pagarlo en doce cuotas quincenales. a) ¿Cuánto pagarán los socios al fmal del segundo año y a cuánto ascenderán las nuevas cuotas a pagar? Rpta: Lo que tendrán que pagar es de $ 7 119.77, y las nuevas cuotas ascenderán a 759.77 1

b) ¿En cuántos pagos mensuales de $ 707.1907 cancelarían el saldo de la deuda a partir del tercer año? Rpta: Sería en 22 pagos mensuales.

98

Anualidades

e) Si los socios están dispuestos a pagar como máximo cuotas quincenales de$ 750 y el prestamista incrementa su tasa activa a 10% efectivo mensual ¿Aceptaría el incremento propuesto por el banco? Rpta: Probablemente no, porque el monto de la cuota sería de $797.9. 7. Sí depositó $ 2 000 en la Caja Rural Piura al fmal de cada mes esperando recibir un monto de $ 56 486.4. ¿Cuánto tiempo tendrá que estar el dinero en dicha entidad fmanciera, si se sabe que la tasa efectiva anual que paga la Caja Rural Piura es del12.6825? Rpta: 25 meses. 8. Un recién egresado de la UDEP empieza a trabajar en una consultoría a partir del 1 de Enero de 2005, ganando $ 600 mensualt::, y se propone dentro de tres años hacer una maestría a tiempo parcial que tiene un valor de$ 21 000. Se sabe que el Banco Financiero al comenzar su maestría le puede fmanciar el 50~ó del costo. ¿Cuánto deberá ahonar mensualmente para poder pagar el otro 50%, sabiendo que la TEA en ahorros es del 2%? Rpta: Lo que debería ahorrar mensualmente es de $ 283.32. 9. Ernesto Gallo percibe mensualmente un sueldo de $ 7 000. Con ocasión de querer viajar, pidió un préstamo al Banco Económico por un monto de$ 70 000. El sectorista del banco le comunicó que su crédito había sido aceptado y que el interés anual que se le cobrarla seria del 18% pagadero en cinco años, a través de cuotas mensuales iguales. Después de un año y ímedio de recibido el préstamo y después de cancelada la cuota respectiva correspondiente a ese período; Ernesto Gallo encontró una propuesta mejor en el Banco de NY (que recién llegaba a la ciudad) y decidió renunciar, amortizando con una parte de su CTS el 35% del importe recibido como préstamo; la amortización se realizó el n1ismo mes en que el Sr. Gallo renunció. Ernesto Gallo quisiera saber, ¿cuánto tendría que pagar mensualmente a partir del siguiente mes y durante el resto del tiempo que le queda hasta cumplir los cinco años inicialmente pact:'ldos? Rpta: Tendría que pagar $ 953.31

99

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

1O. Juan López abre una libreta de ahorros el día de hoy con S/. 8 000 en el Banco Popular, el cual paga una tasa anual del 19.5618%. El Sr. López está viendo la posibilidad de comprarse unos artefactos para implementar su hogar y se ha dado un plazo de doce meses para acumular en su libreta S/. 20 000 y así poder comprar al contado los artefactos posibles. ¿Cuánto tendrá que depositar mensualmente el Sr. López para que al doceavo mes Hegue a recaudar el monto propuesto? Rpta: Tendrá que depositar S/. 800.16

11. La Universidad de Piura piensa adquirir un ómnibus para transpotte del alumnado, que tiene un valor de S/. 50 000. Debido a la reciente falta de liquidez, el activo podría ser pagado en cuotas trimestrales durante seis años, para lo cual la empresa comercializadora plantea una TEA del 38%. Al final del tercer año la Universidad de Piura decide refmanciar a cinco años con cuotas semestrales el monto que aún tiene por pagar, aceptándose un interés del 20% semestral. ¿A cuánto ascenderá la nueva cuota a pagar? Rpta: La nueva cuota ascenderá a S/. 8 640.23 12. Cueto tiene una deuda de S/. 12 000, que deberá pagar en doce cuotas iguales de S/. 1 100.16 al final de cada 1nes. ¿A cuánto ascenderían dichas cuotas si quisiera cancelarlo en treinta y seis mensualidades? Rpta: Los pagos serían de S/. 433.83

13. Guilletmo desea adquirir un auto del añ.o. La empresa Velúculos Grau les hace una propuesta de un carro marca Toyota Yaris, cuyo precio al cash es de $ 14 000. La empresa les propone lm financiamiento de tres años, que consiste en dieciséis pagos tnensuales iguales de$ 299 5 seguidos de veinte pagos de $ 400, La ,empresa trabaja con una tasa de interés del 26.075% anuaL Guillermo desea saber cuál será el monto total que habrán pagado tma vez que haya cancelado todos sus pagos, considerando el costo del dinero en el tiempo. Rpta: El monto total cancelado será de$ 17 838.57 14. Pilar desea adquirir un televisor, con la condición de que el pago se realice al crédito. El vendedor le informa que según el plan de pagos deberá cancelar una cuota mensual de $ 915 durante dieciocho meses, pactándose una tasa de interés del 3% efectivo 100

Anualidades

mensual. Pilar desea saber cuánto tendrá que pagar el décimo octavo mes, si se sabe que a partir del décimo tercer mes dejó de pagar. Rpta: Tendrá que pagar$ 5 918.60.

15. Jaime desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 60 000. Luego de escuchar al vendedor sobre las alternativas de fmanciarniento que ofrece, Jaime le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente: • s

•

Cuota inicial: $ 1O 000, a pagar al fmal del primer mes. Al comenzar el tercer mes $ 5 000 A partir del quinto mes, seis pagos mensuales iguales.

El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago, teniendo en cueniü que la TEA que cobra por el financiamiento esa casa comercial es del 60.1032% Rpta: El pago mensual sería de$ 10 212.41

16. Martha solicita a

banco un préstarr1o de $ 480 para adquirir un equipo de sonido. La forma de pago propuesta es de diecisiete cuotas mensuales, calculadas con una tasa del 59.89% compuesta trimestralmente. De otro lado, la casa cmnercial le ofreció una alternativa de crédito, consistente en pagar quince cuotas de $ 53 mensuales. ¿Cuál de estas dos opciones le convendrá a Martha? Rpta: Le convendrá un crédito del banco porque le cobra una tasa menor. liD

17. Hoy día Marlene contrae una deuda, con intereses al 7% convertible trimestralmente, por la que se compromete a pagar lo siguiente: durante los próximos cinco años pagará$ 500 al fmal de cada tres meses, seguidos de pagos de $ 600 cada tres meses por los siguientes tres años. Hallar el impmte de la deuda actuaL Rpta: La deuda actual es de S/. 12 931.027

18. Cierta compañía constructora vende casas en las siguientes condiciones:

:•

SI. 50 000 al realizar el contrato.

o

12 mensualidades de S/. 5 000 cada una, abonándose el pago de la primera al tnes de fnmaclo el contrato. 101

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

• •

S/.125 000 al momento de la entrega de las llaves, que está prevista para dentro de un año. 96 pagos mensuales de S/. 4 800 cada uno, a continuación de la fmalización de los primeros doce pagos de S/. 5 000.

Si la tasa de interés que · aplican es del 6.5% anual capitalizable mensualmente. Se pide: a) Hallar el valor del inmueble en el momento de entrega de las llaves. Rpta: S/. 598 746.13 b) Hallar el valor de contado del departamento. Rpta: S/. 561 163.94 19. Pedro tiene tres deudas: una de S/. 10 000 pagadera dentro de dos años pactada al 4% efectivo mensual, otra deuda de S/. 8 000 que vence dentro de tres años pactada al 50% capitalizable semestralmente y una tercera deuda de S/. 5 000 que vence dentro de cuatro años con una tasa del 60% efectivo anual. Sí después de veinticinco meses plantease pagar el 50% de sus tres deudas y el saldo en seis cuotas trimestrales; y si además, la tasa con la que le fuesen a liquidar sus deudas fuese del 60% efectivo anual. ¿A cuánto ascenderían dichas cuotas trimestrales considerando la TEA del 60%? Rpta: S/. 7 369.58 20. La Cía. Ford ofrece las siguientes alternativas para comprar un automóvil: a) Valor al contado$ 12 920 b) Hacer ocho pagos cada treinta días de $ 1 820 cada uno, y uno de $ 1 116.94 a los trecientos sesenta días. e) Un solo pago de$ 14 98938 luego de transcurridos noventa y cinco días. Si la tasa efectiva diaria que cobra esta casa comercial es del 0.15% ¿qué alternativa de compra le convendrá más al cliente? Rpta: La más barata es "b", ya que su valor actual seria de $ 12 607.13 102

Anualidades

21. Pía alquila un local comercial durante cinco años por un importe trimestral de $ 3500. Pía recibe como alternativa del usuario la propuesta de efectuarle un pago de $ 19 000 al inicio del contrato. Considerando que Pía puede invertir el importe de los alquileres que percibirá a una tasa efectiva mensual del 5% ¿le convendrá la alternativa propuesta? Rpta: No le conviene, por que el valor actual de los pagos es mayor que $ 19 000 22. Con la fmalidad de disponer de $ 20 000 dentro de dos años, una persona piensa realizar depósitos mensuales iguales en una entidad financiera que paga una tasa una tasa efectiva mensual del 2.5~1> a) Calcular el importe de los depósitos que tendría que efectuar para poder reunir lo planeado. Rpta: $ 618.25 b) Si después de haber cumplido con realizar los depósitos hallados en el apartado "a" durante un año, la TEA baja al 19.56%, se pide hallar los nuevos depósitos por realizar con la fmalidad de disponer de los $ 20 000 planeados inicialmente. Rpta: $ 751.64 23. Se tiene una deuda de $ 90 000 pagadera mensualmente, durante cinco años, a una TEA del 16%. a) Suponga que luego de transcurridos dos años, desde que se desembolsó el préstamo, usted tuvo problemas económicos que le impidieron pagar las seis cuotas siguientes ¿Cuánto tendría que pagar, para ponerse al corriente con el banco, vencido la trigésima cuota? Rpta: $ 13 233.70 b) Con los datos del apartado anterior, ¿cuánto tendría que pagar en ese momento para cancelar el total de su deuda? Rpta: $ 66 487.14 e) Si suponemos que no canceló las primeras doce cuotas ¿cuánto deberá pagar cuando venza el décimo tercer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 105 699.27 103

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

24. Rafael solicita un préstamo de $ 5 000 el 15 de febrero de 201 O, a pagar mensualmente (plazo fijo)~ en un período de dos años, pactándose una tasa efectiva mensual del 1.6878%. El primer pago se haría en marzo de 20 1O y el último pago se haría en febrero de 2012, acordándose pagar doble cuota los meses de julio, y diciembre. a) Calcule el importe mensual a pagar para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre. Rpta: $ 219.2 y $ 438.4 b) Calcule el importe mensual a pagar, para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre, suponiendo que se le conceden dos períodos de gracia; tanto para el pago del principal como para el pago de intereses. Rpta: $ 239.69 y $ 479.38 25. Un conocido banco de la localidad vende computadoras en las siguientes condiciones: •

Precio Cash $ 943 ó fmanciado en 36 meses a través de cuotas mensuales de $ 39 cada una, a la mejor tasa del mercado (1.1715% mensual).

¿A cuánto ascendería la cuota mensual a pagar, "sí efectivamente me estuviesen cobrando" dicha tasa de interés mensual? Rpta: R = $ 32.21 26. Mario contrae una deuda con el banco por $ 1O 000 pagaderos mensualmente, durante cinco años, a una tasa efectiva anual del 26.8242 %. Al fmalizar el segundo año, luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes, se plantea lo siguiente: ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento, para que a futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $ 200? Rpta: $2 234.86. 27. Usted contrae una deuda con el banco por$ 40 000 pagaderos en 5 años mensualmente a una tasa efectiva anual (TEA) del12.6825%. Suponga que luego de cancelar la cuota correspondiente al vigésimo cuarto mes, usted tiene problemas fmancieros que le 104

Anualidades

obligan a pedir un refmanciamiento, consistente en pagar su deuda pendiente en seis años. ¿A cuánto ascendería el nuevo pago mensual a pagar, luego de aceptarse el refmanciamiento de la deuda, a la TEA inicialmente pactada? Rpta: $ 523.72 28. Sí mis ingresos sólo me permiten pagarle al banco $ 300 mensuales, y deseo endeudarme por un lapso de 2 años. ¿Cuánto es lo máximo que podría pedirle prestado a dicha institución, teniendo en cuenta que la tasa efectiva mensual que me cobran es del 1.25 %? Rpta: $ 6 187.27 29. Se quiere comprar al crédito una camioneta cuyo precio cash es de $ 20 000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de$ 5 000 y el saldo a pagar en 24 mensualidades iguales con un interés mensual del 2%. Al preguntar el cliente a cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar, el vendedor procede a efectuar su cálculo de la siguiente manera:

R =15 000+15 000*0.02*24 = 24

925

El cliente dubitativo se pregunta lo siguiente: a) ¿Cuál es el costo efectivo mensual de este crédito? Rpta: 3.407082% b) ¿A cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar si, efectivamente, me estuviesen cobrando un interés mensual del 2%? Rpta: $793.06 30. Usted contrae una deuda con el banco por $ 40 000 pagaderos mensualmente, durante diez años, a una tasa efectiva anual del 19.5618 %. Suponga que usted dejó de pagar las cuotas 36, 37, 38 y 39 y que desea cancelar, al fmal del periodo cuarenta, todas ellas junto con las restantes. ¿Cuánto tendría que pagar en total para liquidar su deuda? Rpta: $ 37 161.06 31. David Alcázar solicita un crédito por S/. 120 000, a pagar mensualmente durante un año, a una tasa efectiva mensual del3%. 105

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

Suponga que junto con el pago de la cuarta mensualidad desea prepagar (amortizar) S/. 30 000 adicionales de su crédito. a) Calcular el saldo de su deuda después de realizado el prepago. Rpta: S/. 54 625.55 b) Calcular la nueva cuota mensual a pagar en los ocho meses restantes. Rpta: S/. 7 781.76 e) Sí después del prepago el señor Alcázar desea seguir pagando la misma cuota mensual que venía pagando, en cuántos meses más terminaría de cancelar su crédito, y a cuánto ascendería la última cuota mensual a pagar. Rpta: Terminaría de pagar aprox. dentro de cinco meses, y la última cuota mensual a pagar ascendería a S/. 11 377 .41. d) Sí después de realizado este prepago de S/. 30 000, hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho, ¿De qué importe tendrían que ser las cuatro cuotas restantes, para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. 13 033.76 e) Sí al fmalizar el cuarto mes hubiese cancelado el valor actual de las cuotas cinco, seis y siete (S/. 34 100.18), y además hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho, ¿De qué importe tendrían que ser las cuatro cuotas restantes, para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. 12 055.45.

106

Anualidades

3.5 Anualidad Ade~antada o Anticipada Es una anualidad cuyo pago periódico se hace al principio de cada intervalo de pago.

3.5.1

Cálculo del Monto o Valor Futuro (S )

Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de SI. 100 son pagaderos al principio de cada trimestre durante un año, a una tasa efectiva trimestral del9%. Datos: R =100 i = 0.09 trimestral n=4 S=?

1

o

1

2

3

100

100

100

100

4

Solución:

s = IOO(l + o.o9y + 1oo (1 + o.o9) + 1oo(1 + o.o9f + 1oo(1 + o.o9y S= 498.47 Deducción de la fórmula: Simbólicamente tenemos: 4

S= R(1 +i) + R(l +iY +R(l +i) + R(l+iY Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que: 107

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

S=R [(1+i)4+(l+i)3+(l+i)2+(l+i)1] Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razón geométrica ( r ), para luego hallar la suma de sus términos. (1 + i)

r=

Primer término: a=

4

(1 +if

=1+i

.

(1 + i)

Último término: u= (1 +

tY

La fórmula de la sruna de los términos de una progresión geométrica fmita es: 4

(u* r )-a = (1 + i) * (1 + i)- (1 + i) =~~-~~ (1 + iJ - (1 + i) S= (r-1)

(1+i)-1

i

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

Cuando cuatro es el número de períodos; aumentándose n en 1

(n=4+1=5). La fórmula del monto de una anualidad adelantada cuyos pagos ( R ) son pagaderos al inicio de cada período, durante n períodos y a una tasa de interés i , sería:

S=R

-"

~-

,,-:;...

n.~':. 1

'l