ANUALIDADES AAAAAAA

EJERCICIOS DE INGENIERIA ECONIMICA CAPITULO4 ANUALIDADES 1- Hallar el monto y el valor presente de 20 pagos de $2000 c/u, suponga una tasa del 18 %. A = $2000 ie = 18 % N = 20 $2.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 111 1 1 1 1

19 20

1 1

VP 1 − (1 + ip ) Vp =A  ip 

−N

1 − (1 + 0.18 ) Vp = 2000  0.18 

(1 + ip ) N −1 Vf =A   ip  

  

−20

  

Vp = $10.705,49299 $293.255,94

(1 + 0.18 ) 20  Vf = 2000   0.18  

Vf =

2- Para la compra de un automóvil que vale $6000000; se exige una cuota inicial del 40 % y el resto se cancela en 36 cuotas mensuales, ¿a cuánto ascenderá la cuota, si los intereses son del 3.5 % efectivo mensual?

P = $6000000 Cuota inicial = 40% ($6.000.000) = $2.400.000 Saldo = $3.600.000 = Vp i = 3.5% EM N = 36 A=? 1 2

A=

36

ip ⋅Vp

1 − (1 + ip )

−N

A=

0,035 ⋅ 3600000

1 − (1 + 0.035 )

−36

=

A = $177.442,986

3- Si en el problema anterior se ofrecen dos cuotas extraordinarias: la primera de $350000 en el mes 5, y la segunda de $500000, en el mes 18. ¿cuál será el valor de la cuota ordinaria? P = $6.000.000 Cuota inicial = 40% ($6.000.000) = $2.400.000 Saldo = $3.600.000 = Vp i = 3.5% EM N = 36

$2.400.000

ff

$50000 0

$350.000

5

5

18

$6.000.000

Utilizando la ecuación del valor y tomando cero como foco se tiene:

6000000 = 2400000 + 350000 (1 + 0,035 )

A = $149633,7

−5

+ 500000 (1 + 0,035 )

−18

+A

[1 − (1 + 0,035 ) ] −36

0,035

4- Una persona va a comprar una máquina que vale $800000, con el objeto de poder disponer de esa cantidad el 15 de Diciembre de 1989, comienza a hacer depósitos mensuales de $R, en un fondo que paga el 30% CM. Si el primer depósito lo hace el 15 de Febrero de 1988, hallar el valor del depósito mensual. Vf = $800000 A=? r = 30% CM = 2,5% EM N = 23 Para el cálculo de N, es necesario correr la fecha de inicio un mes hacia atrás para poder hablar de una anualidad, es decir, la fecha de inicio se tomará desde el 15 de enero de 1988. 15 15

12 01

0

11

1989 1988 1,

lo que equivale a 23 meses A=? 15

1

23

 (1 + ip ) N −1 Vf = A  ip  

A=

Vf ⋅ ip

(1 + ip )

N

−1

=

800000 ⋅ 0,025

(1 + 0,025 ) 23

A = $26.157,10

−1

5- Un documento estipula pagos trimestrales de $10000, iniciando el primer pago el 20 de enero de 1987 y terminando el 20 de julio de 1995. si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos trimestrales de $R, comenzando el 20 de abril de 1988 y terminando el 20 de julio de 1989, hallar el valor de la cuota. Suponga una tasa del 20% CT. Sugerencia: El valor de los documentos debe ser igual en el punto que escoja como fecha focal. Cuota = $10000 Primer documento: Inicio = 20 – 01 – 87 Final = 20 – 07 – 95 Segundo documento: Inicio = 20 – 04 – 88 Final = 20 – 07 – 89 i = 20% CT N1 = 35 N2 = 6 1 − (1 + ip ) Vp =A  ip 

−N 1

 1 − (1 + 0,05 ) −35   = 10000   = $163741 ,9429 0,05   

Es necesario llevar este valor presente a valor futuro con fecha final el 20/10/88, es decir, Vf = 163741 ,9429 (1,05)5 = $208980,8227 1 − (1 + 0,05 ) −6  R  0,05  , luego R = $41.172,87 $208980,8227 = 

6- Una persona se compromete a pagar $60000 mensuales, a partir del 8 de julio de 1988 hasta el 6 de diciembre de 1989. Para dar cumplimiento a ese contrato, se propone hacer depósitos mensuales de $R c/u, en una cuenta de ahorros que como mínimo le garantiza el 1,5% efectivo mensual. Si el primer depósito lo efectúa el 8 de marzo de 1986, ¿cuál será el valor de $R, suponiendo que el último depósito lo hará: Vf = $60000 Inicio = 8 – 07 – 88 Final = 8 – 12 – 89 N = 18 meses.  (1 + ip ) N −1 (1 + 0,015 ) 18 −1 Vf = A  = 60000   = $1229362 ,543 ip 0,015    

A. El 8 de diciembre de 1989? Na = 46 meses (1 + 0,015 ) 46 −1 R  0,015 $1229362 ,543 =   , luego R = $18.749

B. El 8 de julio de 1988? Nb = 29 meses. Como el último día de pago es el 8 de diciembre de 1989, es necesario trasladar este pago al 8 de julio de 1988, es decir, los 46 meses iniciales menos los 29 de esta nueva modalidad de pago se distancian 17 meses. Por lo tanto: (1 + 0,015 ) 29 −1 R  0,015 $1229362 ,543 (1,015)-17 =   , luego R = $26514

C. El 8 de junio de 1988? Nc = 28 meses. Como el último día de pago es el 8 de diciembre de 1989, es necesario trasladar este pago al 8 de junio de 1988, es decir, los 46 meses iniciales menos los 28 de esta nueva modalidad de pago se distancian 18 meses. Por lo tanto: $1229362

,543

(1 + 0,015 ) 28 −1  R  0,015  , luego R = $27.271 (1,015)-18 = 

D. El 8 de abril de 1987? Nd = 14 meses. Como el último día de pago es el 8 de diciembre de 1989, es necesario trasladar este pago al 8 de abril de 1988, es decir, los 46 meses iniciales menos los 14 de esta nueva modalidad de pago se distancian 32 meses. Por lo tanto: (1 + 0,015 ) 14 −1 R  0,015 $1229362 ,543 (1,015)-32 =   , luego R = $49.411

7. Una deuda de $800.000 va a ser cancelada en pagos trimestrales de $78000 durante tanto tiempo como fuere necesario. Suponiendo una tasa del 30% CT. A. ¿Cuántos pagos de $78000 deben hacerse? Vp = $800000 A = $78000 I = 30% CT = 7.5% ET N=?

1

2

3

1 − (1 + ip ) −N Vp =A  ip 

4

5

N

6

 , luego 800000 = 78000 

1 − (1 + 0,075 ) −N    0,075  .

De

tal

manera que N ≈ 20 pagos.

B. ¿Con qué pago final hecho 3 meses después del último pago de $78000 cancelará la deuda? 1 − (1,075 ) 800000 = 78000  0,075 

$22.054,42

−20

 −21  + R (1,075 )  ,

luego

R

=

8. Resuelva el problema anterior si la tasa es del 42% CT. Justifique su respuesta desde el punto de vista matemático y desde el punto de vista financiero. 1 − (1 + ip ) −N  Vp =A  , luego 800000 = 78000 ip  

1 − (1 + 0,105 ) −N    0,105   , como los

Logaritmos de números negativos no existen, no es posible hallar el valor de n.

9. Desean reunirse exactamente $60000 mediante mensuales de $1000 en un fondo que paga el 36% CM.

depósitos

A. ¿Cuántos depósitos de $1000 deben hacerse? Vf = $60000 A = $1000 i = 36% CM = 3% EM  (1 + ip ) N −1 Vf =A  , luego ip  

 (1 + 0,03 ) N −1 60000 = 1000   0,03  

De tal manera que N = 34 pagos mensuales. B. ¿Qué depósito adicional hecho conjuntamente con el último depósito de $1000 completará los $60000? (1 + ip ) N −1 Vf =A   ip   + R, así:  (1 + 0,03 ) 34 −1 60000 = 1000  +R 0,03   . De tal manera que R = $2270

C. ¿Qué depósito adicional hecho un mes después del último depósito de $1000 completará los $60000? (1 + 0,03 ) 34 −1 60000 = 1000  (1,03 ) + R 0,03   De tal manera que R = $538

10- Resolver el problema anterior, incluyendo un depósito adicional de $7000, en el periodo 10 A. VF = 60.000 A = 1000 I = 3% EM (1 + ip ) N −1 VF = A   ip   (1 + 0.03 ) N −1 60.000 =1000   0.03   60000 = 33333 .333 (1 + 0.03 )

93333 .33 = (1 + 0.03 )

N

2.3140 = (1.03 ) In 2.3140 = N * In1.03 N = 28 .3840

( 33333

N

+ 7000 (1 + 0.03 ) N )

− 33333 .33 + 7000 (1 + 0.03 )

.33 + 7000

)

N

N = 28.3840 B. (1 + 0.03 ) 29 −1  0.03  

60.000 =1000 

60000 = 57493 .39 + Af Af = 2506 .6074

Af = 2506.6074

+ 7000 (1 + 0.03)19 ) + Af

C. (1 + 0.03 ) 29 −1 60.000 =1000   * (1.03 ) 0.03   Af = 781 .8056

Af = 781.8056

+ 7000 (1 + 0.03) 20 ) + Af

11- Para cancelar una deuda de $80.000, con intereses al 24% CM, se hacen pagos mensuales de $3000 cada uno A. Cúantos pagos de $3000 deben hacerse VP = 80000 I = 24 % CM= 2% EPM A = 3000 N=? − In [1 − (VP * ip ) / A] In (1 + ip ) − In [1 − ( 80000 * 0.02 ) / 3000 ] N = In (1 + 0.02 ) 0.762140052 N = 0.019802627 N =

N = 38 .48681494

N = 38 pagos

B. Con qué pago adicional, hecho conjuntamente con el último pago de $3000 se cancelará la deuda?. (1.02 ) −38 −1 −38 80000 = 3000   + Af (1.02 )  − 0.02  80000 − 79321 .92181 = Af (1.02 ) −38

Af= 1439.084532

C. Con qué pago adicional, hecho un mes después del último pago de $3000 cancelará la deuda? 80000 = 3000

(− (1.02 )

−38

) + Af (1.02 )

−1

0.02 80000 − 79321 .92181 Af = (1.02 ) −39

Af= 1467.866214

−39

12- Resolver el problema anterior suponiendo que se hace un pago adicional de $10000 con la décima cuota A.

(

)

3000 − (1.02 ) −1 −10 +10000 (1.02 ) 0.02 − 0.02 ( 80000 − 8203 .482999 ) +1 = 1.02 −N 3000 In 0.521356553 = −N In1.02 N = 32 .89664114

80000 =

−N

N=32 Pagos Mensuales B.  − (1.02 ) −32 −1   +10000 (1.02 ) −10 + Af (1.02 ) −32 80000 = 3000    0.02   80000 − 70405 .00447 − 8203 .482999 = Af 1.02 −32 Af = 2622 .36185

Af=2622.36185

13. Una maquina cuesta al contado $600.000, para promover las ventas, se ofrece que pueda ser vendida en 24 cuotas mensuales iguales, efectuándose la primera el día de la venta. Si se carga un interés del 3% efectivo mensual, calcular el valor de cada pago.

P= $600.000 N = 24 Cuotas mensuales i = 3% Efectivo Mensual $ 600.000 A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Meses

24 Cuotas Valor Presente •

Anualidad Anticipada

VP =

[

A 1 − (1 + ip ) ip

$600 .000 =

−N

](1 + ip )

[

A 1 − (1 + 0.03 ) 0.03

$600 .000 = A(17 ,44360839 A=

−24

](1 +0.03 )

)

$600 .000 17 ,44360839

A= 34.396,55289 14. Un fondo de empleados presta a un socio la suma de $2 millones para ser pagado en 3 años, mediante cuotas mensuales uniformes,

con intereses sobre saldos al 24% CM. Si en el momento de pagar la sexta cuota, decide pagar en forma anticipada las cuotas 7 8 y 9: A. ¿Cuál debe ser el valor a cancelar al vencimiento de la sexta cuota? B. ¿Cuál debe ser el valor de los interese descontados? P = $ 2`000.000 N = 3 años r = 24 %CM r 0.24 ip = = = 0.02 n 12 ip = 0.02 Efectivo Mensual

A

Meses 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Anualidad A=

A=

P i (1 + i )

(1 + i ) N

N

−1

2`000 .000 (0.02 )(1 + 0.02 )

(1 + 0.02 ) 36

36

−1

A =78.465,7052 Valor presenten en la sexta cuota

36

A = $ 78.465,7052

[

]

VP =

A 1 − (1 + ip ) ip

VP =

780465 ,7052 1 − (1 + 0.02 ) 0.02

−N

[

−3

]

VP = $226 .285 ,9374

$226 .285 ,9347 +$78 .465 .7052 =$304 .751 ,64 Intereses

(78 .465 ,7052 ) x( 4 ) =$313

.862 ,8212

I =$313 .862 ,8212 −$304 .751 ,64 I =$9111 .18090

I = 9111.18090

15. Una persona adopta un plan de ahorros del fondo ABC, que establece depósitos de $1000, comenzando el primero de febrero de 1986 hasta el primero de abril de 1987 y, depósitos mensuales de $2000, desde el primero de mayo de 1987 hasta el primero de diciembre de 1987. El capital así reunido permanecerá en el fondo hasta el primero de junio de 1988, fecha en la cual le será entregado al suscriptor junto con intereses calculados al 12% CM.

El plan anterior estaba funcionando perfectamente según lo proyectado, pero por razones comerciales la junta directiva del fondo ABC decidió que, a partir del primero de octubre de 1986, el fondo pagara a todos sus clientes de ahorros el 18% CM. ¿Cuál será el capital que el primero de junio de 1988, le entregaran a la persona que a decidido adoptar el plan? ANUALIDAD $ 1.000 $ 2.000

INICIA 01/02/8 6 01/05/8 7

HASTA 01/04/8 7 01/12/8 7

N 15 PAGOS MENSUALES 8 PAGOS MENSUALES

$ 2.000 $ 1.000 Pagos Mensuales 0

1

15 0

2

12 % CM

r =12 %CM r 0.12 ip = = = 0.01 n 12 ip = 0.01 Efectivo Mensual

Valor Futuro o Anualidad Anticipada

1

8

2

18 % CM

r =18 %CM r 0.18 ip = = = 0.015 n 12 ip = 0.015 Efectivo Mensual

VF =

[

A (1 + ip )

]

− 1 (1 + ip ) ip

N

      (1.01 ) 9 −1 (1.015 ) 6 −1  (1.015 ) 8 −1    20  14  6 VF = 1000  (1.015 )  + 1000  (1.015 )  + 2000  (1.015 )       0.01   0.015   0.015          VF = 12 .618 ,04785 + 7.673 ,285057 +18 .441 ,66223

Vf=38.732,99514

16- Un Contrato de arriendo por 1 año establece el pago de $20.000 mensuales al principio de cada mes. Si ofrecen cancelar todo el contrato a su inicio, ¿Cuánto deberá pagar, suponiendo:

VP

2 1

3 1

4 1

5

$20.00 0 6 7 1

a- Tasa del 30% CM; ip =

r n

ip= 2.5% EM 30 ip = 12 VP = A

VP = $20 .000

1 − (1 + i ) − n  p  1 + i     p  i p    

1 −(1 +0.025  0.025  

)

−12

 (1 +0.025  

VP = 210.284,1743

)

8

9 1

10 1

11 12 1 1

b- Tasa 3% efectivo mes anticipado 3% MA → EM → i =

ia 0.03 = 1 − i a 1 − 0.03

EM = 0.030927835 ip = 3.0927835% EM VP

1 − (1 + i ) − n  p  1 − i  =A    p  i p    

VP = $20 .000

1 −(1 +0.030927835  0.030927835  

)

−12

VP = 204.105,0927

 (1 −0.030927835  

)

17- Una máquina produce 2000 unidades mensuales las cuales deben venderse a $80C/U. El estado actual de la máquina es regular y si no se repara podría servir durante 6 meses mas y luego desecharla, pero si hoy hacemos una reparación total a un costo de $800.000, se garantizaría que la máquina podría servir durante un año contado a partir de sus reparación. Suponiendo una tasa de 4% efectivo mensual, ¿Será aconsejable repararla? Unidades = 2000u/mensuales Pvund = $80 c/u n = 6meses Egreso = $800.000 hoy n = 12meses i = 4%EM

VP1

$160.0 00

VP

1 1

2 1

3 1

4 1

Ingresos Ingresos

= Pvu * Q

Ingresos

= $80 * 2000

Ingresos = 160.000 por mes VP

1 − (1 + i ) − n  p   =A   i p    

VP =$160 .000

1 −(1 +0.04 ) −6  0.04  

   

VP1= 838.741,8971 VP2

5 1

6 1

1 1

2 1

$160.0 00 3 4 5 1 1

6 1

7

800.000

VP = A

1 − (1 + i ) − n  p     i p    

VP =$160 .000

1 −(1 +0.04 ) −12  0.04  

   

VP2= 1.501.611,802 VPN

( 0.04 )

= ΣVPN

( Ingreos )

− ΣVPN

( Egresos )

VPN −1( 0.04 ) = 838 .741 ,8970 − 0

VPN1=838.741,8970 VPN

( 0.04 )

= ΣVPN

( Ingreos )

− ΣVPN

( Egresos )

VPN −1( 0.04 ) =1.501 .611 ,802 −800 .000

VPN2=701.611,8020

8

9 1

10 1

11 12 1 1

18-) Elaborar la tabla para amortizar la suma de $3.000.000 en pagos trimestrales durante 15 meses con una tasa del 46% CT. ip = 0.115 EPT

P = $3'000 .000

1 − (1 + ip ) −n  P = A  ip  

n =5

1 − (1 + 0.115 ) −5  3'000 .000 = A  0.115  

3'000 .000 = A[3,649877847

]

A = $821.945,3159 n 0 1 2 3 4 5

Valor cuota 821.945,32 821.945,32 821.945,32 821.945,32 821.945,32

Abono interés 345.000,00 290.151,29 228.994,98 160.805,69 84.774,63

Abono capital 476.945,32 531.794,03 592.950,34 661.139,63 737.170,69

Saldo 3.000.000,00 2.523.054,68 1.991.260,66 1.398.310,32 737.170,69 0,00

19-) Elaborar una tabla para capitalizar la suma de $2.000.000 mediante depósitos semestrales durante 3 años. Suponga una tasa del 42% CS. n=6

ip = 0.21 EPS

S = $2'000 .000

 (1 + ip ) n − 1 S = A  ip  

(1 + 0.21) 6 −1  2'000 .000 = A  0.21  

2'000 .000 = A[10 ,18299227

]

A = $196.405,9234

n 1 2 3 4 5 6

Valor Cuota 196.405,9234 196.405,9234 196.405,9234 196.405,9234 196.405,9234 196.405,9234

Abono interés Abono capital Saldo 0,0000 196.405,9234 196.405,9234 41.245,2439 237.651,1673 434.057,0908 91.151,9891 287.557,9125 721.615,0032 151.539,1507 347.945,0741 1.069.560,0773 224.607,6162 421.013,5397 1.490.573,6170 313.020,4596 509.426,3830 2.000.000,0000

20-) Una persona desea reunir $800.000 mediante depósitos mensuales de $A cada uno durante 5 años en una cuenta que paga el 30% CM ¿Cuál es el total de intereses ganados hasta el mes 30? ip = 0.025 EPM

S = $800 .000

 (1 + ip ) n − 1 S = A  ip   800 .000 = A[135 ,99159

n = 60

(1 + 0.025 ) 60 −1 800 .000 = A  0.025  

]

A = $196.405,9234 El total de los intereses ganados hasta el mes 30 son

I = $81.785,6644

n Valor Cuota Abono interés Abono capital 1 5.882,7167 0,0000 5.882,7167 2 5.882,7167 147,0679 6.029,7846 3 5.882,7167 297,8125 6.180,5293 4 5.882,7167 452,3258 6.335,0425 5 5.882,7167 610,7018 6.493,4185 6 5.882,7167 773,0373 6.655,7540 7 5.882,7167 939,4311 6.822,1479 8 5.882,7167 1.109,9848 6.992,7016 9 5.882,7167 1.284,8024 7.167,5191 10 5.882,7167 1.463,9904 7.346,7071 11 5.882,7167 1.647,6580 7.530,3748 12 5.882,7167 1.835,9174 7.718,6341 13 5.882,7167 2.028,8833 7.911,6000 14 5.882,7167 2.226,6733 8.109,3900 15 5.882,7167 2.429,4080 8.312,1247 16 5.882,7167 2.637,2111 8.519,9278 17 5.882,7167 2.850,2093 8.732,9260 18 5.882,7167 3.068,5325 8.951,2492 19 5.882,7167 3.292,3137 9.175,0304 20 5.882,7167 3.521,6895 9.404,4062 21 5.882,7167 3.756,7996 9.639,5163 22 5.882,7167 3.997,7875 9.880,5042 23 5.882,7167 4.244,8001 10.127,5168 24 5.882,7167 4.497,9880 10.380,7048 25 5.882,7167 4.757,5057 10.640,2224 26 5.882,7167 5.023,5112 10.906,2279 27 5.882,7167 5.296,1669 11.178,8836 28 5.882,7167 5.575,6390 11.458,3557 29 5.882,7167 5.862,0979 11.744,8146 30 5.882,7167 6.155,7183 12.038,4350 81.785,6644

TOTAL INTERESES AL MES 30

Saldo 5.882,7167 11.912,5014 18.093,0306 24.428,0731 30.921,4916 37.577,2457 44.399,3935 51.392,0951 58.559,6142 65.906,3212 73.436,6960 81.155,3301 89.066,9301 97.176,3201 105.488,4448 114.008,3726 122.741,2987 131.692,5478 140.867,5783 150.271,9844 159.911,5008 169.792,0050 179.919,5219 190.300,2266 200.940,4490 211.846,6770 223.025,5606 234.483,9163 246.228,7310 258.267,1660

21-) Para cancelar una deuda de $2.000.000 con intereses al 36% CM se hacen pagos mensuales de $A cada uno, durante 15 años. a- Calcular el valor de la deuda después de haber hecho el pago número 110. b- Calcular el total de los intereses pagados hasta el mes 110. ip = 0.03 EPM

P = $2'000 .000

1 − (1 + ip ) −n  P = A  ip  

n = 180

1 − (1 + 0.03 ) −180  2'000 .000 = A  0.03  

2'000 .000 = A33 ,17033683

A = $196.405,9234 a- El valor de la deuda después de haber hecho el pago número 110 es $1.755.991,8975. b- El total de los intereses pagados hasta el mes 110 es $6.388.423,79.

n 0 1 2 3 4

Valor cuota 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54

Abono interés

Abono capital

Saldo 2.000.000,0000

60.000,0000

294,8354

1.999.705,1646

59.991,1549

303,6805

1.999.401,4841

59.982,0445

312,7909

1.999.088,6932

59.972,6608

322,1746

1.998.766,5185

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54

59.962,9956

331,8399

1.998.434,6787

59.953,0404

341,7951

1.998.092,8836

59.942,7865

352,0489

1.997.740,8347

59.932,2250

362,6104

1.997.378,2243

59.921,3467

373,4887

1.997.004,7356

59.910,1421

384,6934

1.996.620,0422

59.898,6013

396,2342

1.996.223,8081

59.886,7142

408,1212

1.995.815,6869

59.874,4706

420,3648

1.995.395,3221

59.861,8597

432,9758

1.994.962,3463

59.848,8704

445,9650

1.994.516,3813

59.835,4914

459,3440

1.994.057,0373

59.821,7111

473,1243

1.993.583,9130

59.807,5174

487,3180

1.993.096,5949

59.792,8978

501,9376

1.992.594,6574

59.777,8397

516,9957

1.992.077,6617

59.762,3298

532,5056

1.991.545,1561

59.746,3547

548,4807

1.990.996,6753

59.729,9003

564,9352

1.990.431,7402

59.712,9522

581,8832

1.989.849,8569

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54

59.695,4957

599,3397

1.989.250,5172

59.677,5155

617,3199

1.988.633,1973

59.658,9959

635,8395

1.987.997,3578

59.639,9207

654,9147

1.987.342,4431

59.620,2733

674,5621

1.986.667,8810

59.600,0364

694,7990

1.985.973,0820

59.579,1925

715,6430

1.985.257,4390

59.557,7232

737,1123

1.984.520,3267

59.535,6098

759,2256

1.983.761,1011

59.512,8330

782,0024

1.982.979,0987

59.489,3730

805,4625

1.982.173,6363

59.465,2091

829,6263

1.981.344,0099

59.440,3203

854,5151

1.980.489,4948

59.414,6848

880,1506

1.979.609,3442

59.388,2803

906,5551

1.978.702,7891

59.361,0837

933,7518

1.977.769,0374

59.333,0711

961,7643

1.976.807,2730

59.304,2182

990,6172

1.975.816,6558

59.274,4997

1.020,3358

1.974.796,3201

59.243,8896

1.050,9458

1.973.745,3742

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54

59.212,3612

1.082,4742

1.972.662,9000

59.179,8870

1.114,9484

1.971.547,9516

59.146,4385

1.148,3969

1.970.399,5547

59.111,9866

1.182,8488

1.969.216,7059

59.076,5012

1.218,3342

1.967.998,3717

59.039,9512

1.254,8843

1.966.743,4874

59.002,3046

1.292,5308

1.965.450,9566

58.963,5287

1.331,3067

1.964.119,6499

58.923,5895

1.371,2459

1.962.748,4040

58.882,4521

1.412,3833

1.961.336,0206

58.840,0806

1.454,7548

1.959.881,2658

58.796,4380

1.498,3975

1.958.382,8684

58.751,4861

1.543,3494

1.956.839,5190

58.705,1856

1.589,6499

1.955.249,8692

58.657,4961

1.637,3394

1.953.612,5298

58.608,3759

1.686,4595

1.951.926,0703

58.557,7821

1.737,0533

1.950.189,0169

58.505,6705

1.789,1649

1.948.399,8520

58.451,9956

1.842,8399

1.946.557,0122

58.396,7104

1.898,1251

1.944.658,8871

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54

58.339,7666

1.955,0688

1.942.703,8183

58.281,1145

2.013,7209

1.940.690,0974

58.220,7029

2.074,1325

1.938.615,9649

58.158,4789

2.136,3565

1.936.479,6084

58.094,3883

2.200,4472

1.934.279,1612

58.028,3748

2.266,4606

1.932.012,7007

57.960,3810

2.334,4544

1.929.678,2462

57.890,3474

2.404,4880

1.927.273,7582

57.818,2127

2.476,6227

1.924.797,1355

57.743,9141

2.550,9214

1.922.246,2142

57.667,3864

2.627,4490

1.919.618,7652

57.588,5630

2.706,2725

1.916.912,4927

57.507,3748

2.787,4606

1.914.125,0320

57.423,7510

2.871,0845

1.911.253,9476

57.337,6184

2.957,2170

1.908.296,7306

57.248,9019

3.045,9335

1.905.250,7971

57.157,5239

3.137,3115

1.902.113,4855

57.063,4046

3.231,4309

1.898.882,0547

56.966,4616

3.328,3738

1.895.553,6809

56.866,6104

3.428,2250

1.892.125,4559

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4

60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54

56.763,7637

3.531,0718

1.888.594,3841

56.657,8315

3.637,0039

1.884.957,3802

56.548,7214

3.746,1140

1.881.211,2662

56.436,3380

3.858,4974

1.877.352,7688

56.320,5831

3.974,2524

1.873.378,5164

56.201,3555

4.093,4799

1.869.285,0365

56.078,5511

4.216,2843

1.865.068,7522

55.952,0626

4.342,7729

1.860.725,9793

55.821,7794

4.473,0560

1.856.252,9232

55.687,5877

4.607,2477

1.851.645,6755

55.549,3703

4.745,4652

1.846.900,2103

55.407,0063

4.887,8291

1.842.012,3812

55.260,3714

5.034,4640

1.836.977,9172

55.109,3375

5.185,4979

1.831.792,4193

54.953,7726

5.341,0628

1.826.451,3565

54.793,5407

5.501,2947

1.820.950,0617

54.628,5019

5.666,3336

1.815.283,7282

54.458,5118

5.836,3236

1.809.447,4046

54.283,4221

6.011,4133

1.803.435,9913

54.103,0797

6.191,7557

1.797.244,2356

10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 11 0

60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54 60.294,83 54

VALOR DEUDA LUEGO DEL PAGO 110

TOTAL INTERESES AL MES 110

53.917,3271

6.377,5084

1.790.866,7273

53.726,0018

6.568,8336

1.784.297,8936

53.528,9368

6.765,8986

1.777.531,9950

53.325,9599

6.968,8756

1.770.563,1195

53.116,8936

7.177,9418

52.901,5553

6.388.423, 79

1.763.385,1776 1.755.991,897 7.393,2801 5

22- Se necesita $1 millón, para realizar un proyecto de ampliación de una bodega, una compañía A ofrece prestar el dinero, pero exige que le sea pagado en 60 cuotas mensuales vencidas de $36 132.96 c/u. La compañía B ofrece prestar el dinero, pero para que le sea pagado en 60 pagos mensuales de $19 000 c/u y dos cuotas adicionales así: la primera de $250 000, pagadera al final del mes 12, la segunda, de $ 350 000, pagadera al final del mes 24. Hallar la tasa efectiva mensual que coba cada uno, para decidir que préstamo debe utilizar. Compañía A $ 36.132,96

0

1 2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 14

53 54 55 56 57 58 59 60

$ 1.000.000

Calculadora ON FIN VDT

1 No. P AÑO MODO FINAL N

%IA

60

3%

V.A.

PAGO

V.F.

- $ 1.000.000

$ 36.132,96

0

Compañía B

0 58

1 2 3 59 60

12 13 14

15

$250.000

21

22 23

24

53

54 55

56

57

$350.000

∑ Ingresos =∑ Egresos $ 1.000.000 = $ 19.000 a 60

i + $ 250.000(1+i)

-12

+ $ 350.000

(1+i)-24 i=2% 1075182,6616 i=2.5% 966659,819

660456.8469 + 197123.2939 + 217602.5208 = 587264.4732 + 185888.9713 + 193506.3745 =

i=2.75% 622230.1042 + 191416.8641 + 205186.3396 = 1018833,3079 Respuesta: Se debe elegir la opción B.

23- Un equipo de sonido cuesta $400 000 al contado, pero puede ser cancelado en 24 cuotas mensuales de $33 000 c/u efectuándose la primera el día de la venta. ¿Qué tasa efectiva mensual se está cobrando?

A = $33.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

17 18 19 20 21

22 23 24 $ 400.000 1 − (1 + i ) VP = A i 

−n

  

1 − (1 + i ) $400 .00 = $33 .000  i  1 − (1 + i ) 12 .1212 =  i 

−24

−24

  

  

i = 7.159 % EM

Respuesta: 7.159 % EM Se necesita $1 millón, para realizar un proyecto de ampliación de una bodega, una compañía A ofrece prestar el dinero, pero exige que le sea pagado en 60 cuotas mensuales vencidas de $36 132.96 c/u. La compañía B ofrece prestar el dinero, pero para que le sea pagado en 60 pagos mensuales de $19 000 c/u y dos cuotas adicionales así: la primera de $250 000, pagadera al final del mes 12, la segunda, de $ 350 000, pagadera al final del mes 24. Hallar la tasa efectiva mensual que coba cada uno, para decidir que préstamo debe utilizar.

Compañía A $ 36.132,96

0 1 59 60

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

14

53 54 55 56 57 58

$ 1.000.000

Calculadora ON FIN

1 No. P AÑO MODO FINAL

VDT

N

%IA

60

V.A.

PAGO

V.F.

- $ 1.000.000

$ 36.132,96

0

15

24

3% Compañía B

0 1 59 60

2

3

12 13 14

$250.000

21

22 23

$350.000

∑ Ingresos =∑ Egresos

53

54 55

56

57 58

$ 1.000.000 = $ 19.000 a 60 (1+i)

i + $ 250.000(1+i)

-12

+ $ 350.000

-24

i=2% 1075182,6616 i=2.5% 966659,819

660456.8469 + 197123.2939 + 217602.5208 = 587264.4732 + 185888.9713 + 193506.3745 =

i=2.75% 622230.1042 + 191416.8641 + 205186.3396 = 1018833,3079 Respuesta: Se debe elegir la opción B.

23- Un equipo de sonido cuesta $400 000 al contado, pero puede ser cancelado en 24 cuotas mensuales de $33 000 c/u efectuándose la primera el día de la venta. ¿Qué tasa efectiva mensual se está cobrando?

A = $33.000

0 1 2 23 24

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

$ 400.000 1 −(1 +i ) VF = A i 

−n

  

1 −(1 +i ) $400 .00 = $33 .000  i 

−24

1 −(1 +i ) −24  12 .1212 =   i   i = 7.159 % EM

Respuesta: 7.159 % EM

  

17 18 19 20 21 22

24- ¿A qué tasa nominal, convertible mensualmente, esta siendo amortizada una deuda de $ 300.000, mediante pagos mensuales de $ 10.000, durante 4 años? VP = 300.000 A=R= 10.000 n = 48 meses I=? 300.000

1

48

A = 10.000

1 − (1 + i ) VP = A  i 

−n

  

1 − (1 + i ) −48  300000 = 10000   i  

Con interés 2.% EM 1 − (1,02 ) −48  300000 = 10000   0.02  

1 − (1,02 ) −48  300000 −10000   = − 6731 ,19572 0,02  

⇒

Con interés 2,15% EM 1 − (1,0215 ) 300000 = 10000  0.0215 

−48

  

⇒

1 − (1,0215 ) 300000 −10000  0,0215 

−48

  = 2424 ,19254 

INTERPOLANDO 2−X − 6731 ,19572 − 0 = 2 − 2,5 − 6731 ,19572 − 2424 ,19254

( 0,021103 ) x(12 )

= 0,253236

⇒

X = 0.021103

⇒ 25,3236 % NM

⇒ 2,1103 %

EM

Respuesta: 25.3236% NM

25- ¿ A qué tasa nominal, convertible trimestralmente, esta reuniéndose un capital de $ 400.000, mediante depósitos trimestrales de $ 20.000 c/u durante 3 años? VF = 400.000 A=R= 20.000 n = 12 trimestres I=? 400.000

1

12

A = 20.000

(1 + i ) n −1 VF = A   i  

 (1 + i ) 12 −1 400000 = 20000   i  

Con interés 9% EM  (1,09 ) 12 −1 400000 = 20000    0.09 

⇒

 (1,09 ) 12 −1 400000 − 20000   = − 2814 ,39595  0,09 

Con interés 8,8% EM  (1,088 ) 12 −1 400000 = 20000    0.088 

⇒

 (1,088 ) 12 −1 400000 − 20000   = 1964 ,60789  0,088 

INTERPOLANDO 9−X − 2814 ,60789 − 0 = 9 − 8,8 − 2814 ,60789 −1964 ,60789

⇒

X = 0.08882147

Respuesta: 35.5288% NT

⇒ 8,8822147 %

( 0,08882147 ) x( 4)

ET

= 0,35528858

⇒ 35,5288 % NT

26- Una entidad financiera me propone que el deposite mensualmente $10.000 durante 3 años comenzando el primer deposito el dia de hoy y me promete devolver al final de este tiempo $7.000.000. Que tasa efectiva mensual me va a pagar. A= $10.000 n= 3 años = 36 meses Vf = $ 7.000.000 ip = ? $ 10.000,00

1

2

3

4

5

6

7

24 25 27 28 29 30 31 3233

 (1 + ip ) n −1   S = A   ip  

 (1 + ip ) 36 −1   7.000 .000 =10 .000    ip   i =12 .9999 % EPM

Respuesta: 12.9999 % EPM

$ 7´ 000.000,00

34 35 36

27- Un señor compro un automóvil dando una cuota inicial de 20% y el saldo lo cancela con cuotas mensuales de $ 317.689,78 durante 3 años. Después de efectuar el pago de la cuota 24 ofrece cancelar el saldo de la deuda de un solo contado y le dicen que su saldo en ese momento asciende a la suma de $3.060.682,56. A. Calcular con 2 decimales exactos la tasa efectiva mensual que le están cobrando. B. Calcular la tasa efectiva anual equivalente que le cobran. C. Cual es el costo total del automóvil. $ 3´ 060.928,56

$ 317.689,78

0

1

2

3

4

5

6

7

24 25 27 28 29 30 31 32 33

A. 1 − (1 + ip ) −n  P = A  ip  

1 − (1 + ip ) −12  3060928 .56 = 317689 .78   ip   9.634960747

=

1 (1 + ip ) − ip ip

−12

ip = 3.55 % EPM

Respuesta: 3.55 % EM

34 35 36

B.

(1 + i1 ) n = (1 + i2 ) n (1 + 0.0355 )12 = (1 + i2 )1 ie = 51 .9851 %

Respuesta: 51.9851 % EA

C. 1 −(1 +ip ) P = A  ip 

−n

   

1 −(1 +1.0355 ) −36 P = 317 .689 .78   0.0355  P = 6.400 .000 .028

   

6.400 .000 .28 ×100 80 x = 8.000 .000 .035 x=

Respuesta: Costo total del automóvil $ 8.000.000.035