Antonio Ferrer Soria-Física Nuclear y de Partículas (2006)

Colección: Educació. Mate1ials Director de la colección: Guillermo Quintás Alonso

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l.ª edición: febrero 2003 2.' edición, corregida y ampl iada: desembre 2006

© El autor, 2006 © De esta edición: Uni versitat de Valencia, 2006 Coordinación editorial: Maite Simon Maquetación: el autor Cubierta: Diseño: Pere Fuster (Borras i Talens Assessors SL) Tratamiento gráfico: Celso Hernández de la Figuera 1SBN-10: 84-370-6568-2 1SBN- 13: 978-84-370-6568-7 Depósito legal: V-4897-2006 Impresión: GUADA lmpressors, SL

/

Indice

PRESENTACIÓN ..... .. ... ....... .. ..... ... ... ...... ... .... ... ......... ... ....... ..... .. ..... .. ... ....

13

PARTE 1

FÍSICA N1 JC I.EAR ESTJ~IJCTIJRA Y MODELOS N1 JCI .EA RES

Capítulo l. El núcleo atómico: propiedades físicas................................

19

1.1 Introducción a la física nuclear..... .................................................. 1.2 Tamaño y distribución de carga nuclear. Medida del radio de los núcleos .. .. ...... .. .. ... .. ...... .. .. .. ... .............. .. ... ......... ..... ... .. ......... 1.3 Masa y abundancia de núclidos .. .. .......... .. .. ... .. ... ......... ..... .. ... .. ....... 1.-l Energía de ligadura. Fónnula semiempírica de masas ..... .. ... ......... 1.5 Estabilidad nuclear. Parábola de masas .. .... .......... ................... ... .... 1.6 Espín, paridad, isospín y momentos nucleares............................... 1.7 Estructura cuántica de niveles energéticos nucleares E 1.8 Ej ercicios............ ............................................................................

19

Capítulo 2. La fuerza nuclear: el deuterón. Interacción N-N ............... 2. 1 El deuterón, propiedades y m'.uneros cuánticos .. ....... .... ... .. ... .. ... .... 2.2 Fw1ción de ondas del deuterón ... .. .............. ... .. ... .. ..... ..... .... ... ......... 2.3 Difusión N-N. Defasajes .................. .... ................... ........................ 2.4 Potencial de Yukawa ..... .... ............................... ..... .......... ....... .. ....... 2.5 Potencial N-N.............................. ............................. ............ ........... 2.6 E jercicios .. .. ............ ... .. ............... .. ....... ....... ..... ... ....... ............ .........

23 34 40 46 -l9 57 58 61 62

64 73 78 80 8-l 7

Capítulo 3. Modelos nucleares. Modelos colectivos y modelo de capas 3.1 Introducción ................................................................................... . 3 2 Modelos colectivos 3.3 Propiedades colectivas de los núcleos par-par ............................... 3.4 Modelo vibracional ................. ..... ................... ... ............................. 3.5 Modelo rotacional....... ....... ... ....... .... ... ... ....... ..... ....... ......... ............. 3.6 Propiedades de los núcleos con A impar...... ..... .... ... ......... .......... ... 3.7 Modelos de partícula individual. Modelo de capas esférico. ......... 3.8 Modelo unificado... ...... ....... ................................................... ......... 3.9 Ejercicios.......................................... ..... ................................. ........

87 87 89 91 94 101 106 107 124 127

PARTE 11

TÉCNICAS EXPERIMENTALES EN FÍSICA l'\11.JCLEAR Capítulo 4. Interacción de las partículas con la materia ........ .............. . -U Interacción de partículas cargada s con la materia ........... ....... ..... ... 4.2 Interacción partícula-átomo......... ..... .................................... ....... ... 4.3 La fónnula de Bethe-Bloch.. ....... .. ... .. ....... ... .. ... ....... .. ....... ... .. ... .. ... -J.A Interacción de e• y e- con la materia ................................. ... .......... 4.5 Interacción de fotones con la materia........... ... ............................... 4.6 Otros fenómenos: Channeling, Efecto Cherenkov ... .. ............ .. . .... . 4.7 Ejercicios. ....... ... ................... ......... ........ .............. ................... ... .... .

131 131 133 133 1-J.l 147 153 156

Capítulo 5. Detectores de partículas... ...... ... ... ......... ... .... ... ......... ... .. ... .... . 5.1 Generalidades sobre detectores d e partículas. ..... ............... .. .. ....... . 5.2 Magnitudes características de los detectores................ ... .. .... ......... 5.3 Detectores gaseosos. Contador Geiger-Müller .. .. .. ... ..... ..... .. .. .. ... ... 5.4 Detectores de centelleo. Fotomultiplicadores. .... ... ..... ..... .. .. .. ... ...... 5.5 Detectores de es tado sólido .... ... . . ..... .. ... .... ... .. ... .. .. ..... ... .. .. ... ..... .. ... 5.6 Detección de partículas neutras ....... ......................... ..... ......... ..... ... 5.7 Ejercicios. ....... ... .... ... ......... ... ....... .... ... ... ......... ... .. ..... ....... ....... ..... ...

159 159 161 168 172 179 182 184

Capítulo 6. Métodos estadísticos en física nuclear y de partículas ...... . 6. 1 EiTores instr umentales y estadísticos..... ......... ..... ................. ......... . 6.2 Distribuciones de probabilidad........... ............ ................. .. .... .... ..... 6.3 Distribuciones uniforme, binomial, Poisson, Gauss y x2 ... .... . ..• .•.. 6...l Pro Jaoación de cnores estadísticos ................ .......... ........ ......... ..... 6 5 Método de máxima verosimilitud 6.6 Ajustes de curvas ... ... ......... .... ......................... ... .. ..... .............. ..... ... 6.7 Ejercicios........................ .................... ............................................

187 187 189 19 1 198 199 203 209

8

PARTE III DESINTEGRACIONES NUCLEARES Capítulo 7. Radiactividad y desintegración nuclear ................ .............. 7.1 Generalidades............................................................................... 7.2 Ley de desintegración radiactiva................... ... ............................ 7.3 Te01ia cuántica de la desintegración radiactiva..................... ....... 7.4 Tipos de desintegraciones nucleares. Fuentes radiactivas más comunes........................................................................................ 7.5 Se1ies naturales de elementos radiactivos ..... ................... ............ 7.6 Cadenas radiactivas. Ecuaciones de Bateman ........... ....... ........ .... 7.7 Radiactividad artificial.................................................................. 7.8 Aplicaciones de la radiactividad................................... ..... .. ......... 7.9 Dosimetiia. Unidades. Efectos biológicos de la radiación........... 7.10 Sistema de Limitación de dosis..................................................... 7.11 Medidas de protección.................................................................. 7.12 Ejercicios......................................................................................

213 214 2 15 218

Capítulo 8. Teoría de las desintegraciones a........... ............................... 8. 1 Propiedades generales de la desintegración a .. ......... ..... ... .. .. ... .... 8.2 Modelo de Gamow de la desintegración a................................... 8.3 Espectroscopía alfa y estructura nuclear .. ... .. ... ...... ... ... .. .. ... ..... .. .. 8.4 Reglas de selección: Momento angular y paridad........................ 8.5 Ejercicios ..... ....... .. ... .. ... .. .. . ... .... .. .............. ... .. ... ......... ..... .. ... .........

253 253 257 264 264 267

Capítulo 9. Teoría de las desintegraciones p ........................................... 9 .1 Introducción................................................... ... .. .......................... 9.2 Te01ia de la desintegración /3 nuclear................. .......................... 9.3 Espectro ¡3: Plot de Kurie. Medida de la masa del v, ................... 9.4 Semivida comparativa y transiciones prohibidas......................... 9.5 Expc1imento de Reiues y Cowan ............................ ............ ......... 9.6 Violación de la pa1idad en la desintegración f3 ............................. 9.7 Espectroscopía f3. Desintegración doble beta............................... 9.8 Ejercicios ... .. .. ..... ... .. .. ... .. .. . .... ... .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... .. ..... .. ... .. .. ... ....... ..

269 269 272 279 281 289 29 1 291 294

Capítulo 10. Teoría de las desintegraciones)'......................................... 10.1 Introducción. .................................. ....... .......... .. .... ... ..................... 10.2 Conservación de la energía en las desintegraciones y.................. 10.3 Estimadores de\\Teisskopf. Vidas medias. .................................... 10.4 Reglas de selección. Conversión interna....... ............................... l 0.5 Espectroscopía gamma................................................................. 10.6 Efecto Móssbauer ....................... .................................................. 10.7 Ejercicios................. ................... .. ... .............................................

295 295 298 299 305 3 10 310 3 16

219 224 225 229 231 23-4 246

248 250

9

PARTE IV REACCIONES NUCLEARES Capítulo 11. Reacciones nucleares. ....... ..... .............................................. 11.1 Introducción............................... .. ........ ......................................... 11.2 Leyes de conservación.................................................................. 11.3 Clasificación de reacciones nucleares........................................... 11.4 El concepto de sección eficaz....................................................... 11.5 Mecanismos de reacción............................................................... 11.6 Modelo óptico ............................................................................... 11.7 Ejercicios ...... ................................................................................

321 321 322 326 327 337 3-H 3...i2

Capítulo 12. Fisión nuclear .. ... .. .. ... .. ... ...... .......... ............ ... .. ............ ... .. ... 12.l Fisión nuclear............................................................................... 12.2 Reacción de fisión contrnlada.................. ..................................... 12.3 Reactores de fisión........................................................................ 12.4 Ejercicios........................................ .. ... .................................... .....

345 345 353 360 364

Capítulo 13. Fusión y astrofísica nuclear...................................... .. ........ 13 1 Fusión nuclear 13 2 Reactores de fusión 13.3 Astrofísica nuclear........... ............................................................. 13.4 Fusión solar y neutrinos solares .... .......................................... ..... 13.5 Ejercicios............................................. ......... ................................

365 366 37 1 374 379 386

PARTE V fÍSICA DE PARTÍCULAS eneraliCa ítulo 14. Constitu entes de la materia: introducción dades 14 1 Int roducción 14.2 Del e al z:i. Los descubrimientos de partículas........................... 14.3 Clasificación de partículas............................................................ 14.4 Las cuatro interacciones fundamentales....................................... 14.5 El Modelo Estándar......... ............ .. .......................................... ..... 14.6 La gran unificación....................................................................... 14.7 Ejercicios. ...................... .......... ....... .. ............ .......................... ......

389 389 392 399 409 424 424 428

Capítulo 15. Simetrías y leyes de conservación...................................... 15.1 Introducción.. ................................................................................ 15.2 Invruiancia relativista................................................................... 15.3 Traslaciones y rotaciones en el espacio........................................

43 1 431 433 445

10

El grupo SU(2). Espín e isospín ...... .. .......... ......... ........................ Simetrías P, C y 'T............ .. .............. ........................ .............. La invariancia gauge ...... ..................................................... ......... Leyes de conservación en las interacciones fundamentales......... Ejercicios. ................................... .. ................. ...............................

...J-1.8 453 462 464 465

Capítulo 16. Espectroscopía de hadrones .............. ... .. ....... .......... .... ..... .. 16.1 El modelo de quarks de los hadrones .......... ............ ..................... 16.2 Números cuánticos de los hadrones .................. .................. ......... 16.3 La simetría SU(3) .............. ....... .. ................. .......................... ....... 16.4 Multipletes de bru.iones y mesones.... ........................................... 16.5 Masas y momentos magnéticos de los had.rones ................. ......... 16.6 Espectroscopía de mesones pesados ..................... ... ....... .............. 16.7 El descubrimiento del último quru.·k (el quark 1) .... .. .......... .... ... .... 16.8 Ejercicios ....... ................... ........ .... ..................... ...... .............. ... ....

469 469 47 1 473 476 -IB6 494 510 511

Capítulo 17. Interacciones débiles.. ....... ................. ................................. 17.1 Introducción... ............. ...... ... ............................... .. ............... ......... 17.2 Violación de la pru.idad en la interacción débil... .. ............... .. ... .. .. 17.3 Teoría V-A de la desintegración beta.... .......... .. ............................ 17.4 Fenomenología de las corrientes cargadas .. ... .. .. .. ........ ........ .... .... 17.5 Fenomenología de las corrientes neutras.......... .. ................... ... .... 17.6 Los bosones intermediarios W y 2................................................ 17.7 Ejercicios.................................................. ... ....... .. ........................

513 513 519 521 523 536 539 548

15.4 15.5 15.6 15.7 15.8

APÉNDICES Apéndice A . Constantes físicas.. .. ............................... .. ............. ........... Apéndice B . Tablas de partículas...... .. .. ... ............ .. .... ...... ................. .. .. Apéndice C. La ecuación de Dirac ................ ............................. .. ......... Apéndice D. Funciones especiales...... .. ............... ................................. Apéndice E. Masas atómicas............... .. ... .. ...................... ..................... Apéndice F. Tablas estadísticas ...... .......... .. ............. .. .... ............. ......... .. Apéndice G. Estructura electrónica de los elementos...... .............. ....... Apéndice H. La tabla de Mendeleiev.... ............ ........ .. .. .......... .. ..... ... .. ..

553 555 565 567 573 60 1 605 609

ÍNDICE DE BGI IR AS BIBLIOGRAFÍA

6 17

ÍNDICE ANA 1 ÍTICO

619

11

Presentación

EsLas notas contiene n una introducción a la física nuc lear y a la física de pnrl rculas estructurada e n c inco partes: la primera introduce la física nuclear y 1rn1a sobre la estructura nuclear. A continuació n se aborda una parte que integra v:irios te mas sobre metodología experimental, necesaria para comprender los uva nccs ele estas jóvenes d isciplinas científicas. Sigue e l estudio de las desinteg rnc ioncs y las reacciones nucleares. Po r último, se presenta una introducción a l:i física ele partíc ulas. Se completa e l texto con varios apéndices que contienen 111hlas de constantes, partículas y núc leos que pueden ser de gran interés para di versas aplicaciones prácticas. Los temas aquí presentados corresponden a los exigidos e n la materia de11ominada Física nuclear y de partículas, que es una materia troncal de la lice nc iatura de fís icas, impartida en la Univers itat de Valencia a partir del curso

19%/ 1997. Tanto la fís ica nuclear como la física de partículas son dos di sciplinas o 0 11npos de la física que se han desarro llado durante e l s iglo XX y han compartido, e ntre otros, casi toda la misma instrumen tac ió n y la metodología. Para identificar los contenidos de cada uno de estos campos de la física es 111uy instructivo ver la tabla siguiente: Ca mpo de la física /\16111ica

Ente físico

Constituyentes

Cuanto del campo

Fuena

A torno

(e- , p)

1

Nuclear

Núcleo

(p, n)

eleclromagnética (QED) nuclear (Yukawa)

Pa1tículas

quarks (q)

q. lcptones

qqq(bariones)

qq (mesones) (q, q)+(e, 1/)

"7r"

}

gluón (8)

fuerte (QCD)

¡,Zº, w±

electrodébi l (GWS)

'fodos los e ntes descritos en esta tab la, son entes de tamaño extraordinaria111c 111e pequeño. El mayor de e ll os es e l átomo, cuyas dimen sio nes son del orde n de v;irios A( 10 - 10 111) , mienLras que los núc leos son objetos ele 2 a 7 fm ( 10- 15 111) .

/J

l loy e n día se pie nsa que los verdade ros constituy cnlcs de la materia son los lcptoncs y los qu arks, y son e ntes sín estructura (a l me nos son de tamañ o inferio r a 10 18 c m, que es la distanc ia mínim a que se ha ex plo rado hasta hoy g rac ias a los acele rado res de partícul as de mayor e ne rg ía dispo nible; de l orden del Te V = 10 12 eV). La o lra idea contenida en la tabla a nterior se refiere a la de fuerzas debidas a l inte rcamb io de partículas. Ésta es una noción introduc ida por las teorías cuánlicas de campo, y e n particular a la teoría de la e lectrodiná mica c uántica (QED), que supone que la interacción e léctrica entre dos cargas (por ejemplo , la in1c racció n de un e lectró n y un protón como en el caso de l átomo de hidrógeno ) se de be a l inte rca mbio de fotones (cuantos del campo e lectromag né tico) virtuales. Que e l fotó n sea virtual quiere dec ir que no es rea l; así, si fuese real, su ene rg ía sería E = pe y podría interacc ionar con la materia, por ejemplo sufrir e fecto fotoeléctrico. La noción de partícula virtua l es también porque no tiene energ ía bie n defin ida; de hecho es una partíc ula que existe brevemente, durante un in terva lo de tiempo permitido por e l principio de incertidum bre 6.E 6.t "' l'i, por lo que puede no cumplirse la conservac ión de la ene rgía e n el proceso de emisió n y absorción de l fotón. Puede tratarse de un fotón con E > pe (y se lla ma time-like) o bien E < pe siendo entonces space-like. 15 m) ex iste n 26 Entre e l tamaño de l universo ( 10 m) y e l de l protó n (10vive e l donde 4 1 órdenes de magn itud. Curiosam ente, e l tamaño de la Tierra hombre está casi a mitad de camino de los dos extremos. Las masas de los objetos que se estudiará n aquí son extraordin ariamente 2 27 kg). Po r eso se prefiere utili zar unidades eY/c . pequeñas (de l orden de 10Para e nte nder estas unidades basta con recordar la fórmul a de Ei nstein

que relaciona masa , momento y energía. La masa del e lectrón es m e = 0 ,5 1191 2 Me V /c2 y la del protón mr = 938,3 Me V /c . Recué rdese que l e V = 1,6x10 lti plos de l eY. En física nuclear, es mú n e J , y que las energías sue len medirse 3 los niveles exc itados de los clasificar habitua l usar e l ke V ( = 10 e V) para núcleos. Así pues, la c uestión de las un idades en la física nuc lear y de partículas es curiosa. Parece a veces más complejo de lo que rea lmente es. En estas notas se ha pretendido utili zar sistemátic amente e l Siste ma In te rnacional (SI). Sin e mbargo es necesario familia rizarse con otros s iste mas de unidades. 2 Se verá por ejemplo la unidad ele masas atóm ica u = 931 ,49 Me V/c , en la que la masa de l protón es senc illamente m 1, = 1,007276 u. Esta unidad se obtiene al to mar_la masa del carbo no- 12 igua l a l 2u. En física de partícul as es muy frecuente encontrar se e n la bibliograf ía con e l siste ma ele unidades ll amado natural, que sue le utilizarse por comodida d. Es e l siste ma e n e l q ue las constantes fundame ntale s l'i = e = l. En este siste ma, lo ngitudes , masas y tiempos vie nen dacios e n potenc ias ele la e nerg ía. En tocio ca so, sie mpre se puede recupe rar la unidad ST recordando los facto14

\

I H7 , : ~ M eV· f m, así como los valores de las cons1an1cs :l ,!)!)K x 102 :1 f m·seg 1 y li - G,0!:l:l x 1O -i2 M e V ·seg. Es cu rioso recorda r que en 1997, aíio en el que co mencé a lrabajar en ·s1as notas sobre física nuclear y de partícu las, se celebró el centenario del des... Antes ele iniciar e l estudio de las propiedades nucleares es interesa nte recorda r dos históricos experimentos, que marcan el orige n de la física nuclear:: 1 La sección ericaz se describe con detalle en la sección 11.4 del capítulo 11, dedicado al estudio de l as reacciones nucleares.

21

Antonio FN'rf' I' Sorio • e l ex perime nto de Rutherforcl ( 19 11 ), que estudió la colisión e lástica de 7 pan ícul as p + n que tenía lugar en la 12arafina (mate ria l rico en hidrógeno). Así se ve rifi có c ine máticame nte que los hipotéticos rayos e ran neutro nes. Las primeras propiedades que inte resa estudiar son el tamaño y e l radio de los núc leos. Esta información permi tirá conócer las distanc ias e ntre nucl eones en un núcleo y la naturaleza de las fue rzas que actúan entre ellos.

1.2 Tamaño y distribución de carga nuclear. Medida del radio de los núcleos La forma de l núcleo es aprox imadamente t'._Sférica. Cerca de la superfic ie , su co ntorno e s impreciso y la de nsidad va d isminuye ndo prog resivamente. Es lo que se conoce por corteza nuclear. Su distribuc ió n de carga o mate ria se rá ca racterizada medi ante dos paráme tros, el rad io R y e l parámetro ligado a la anchura de la corteza, t. Los resultados experimentales realizados para medir la densidad de ~arga nuc lear conducen a una distribución de l tipo:

po P( r) - l + e(r - R) /t

( 1.4)

llamada de Fermi o de Saxon-Woods; p0 es la de nsidad máx ima de carga nuc lear y e l radio: ( 1.5) R = roA 11° con r 0 ~ 1,2 fm y t = O, 55 ± O, 07 fm. El pará metro r 0 re presenta el tamaí1o med io de l protón (núcleo de l hidróge no, A = l) e n un núc leo . El pa rámetro l 2 J. Chadwick. Narure, 129 ( 1932) 3 12.

23

/\11to11io Ferrer Soria está relacionado con el 1amaíio de l a co rteza !wclear y es prácticamente el mismo para lodos los núcleos. 0 1110 suele ser habitual , el rad io R representa el valor de r para el que la densidad se reduce a la mi tad del va lor máximo (se cumple que p(R) = Po / 2). El paní metro l , mide el in terva lo de r en el q ue la densidad pasa del 62,2 % al 37 ,8 %. En erecto, estos son los va lores de la densidad que se obtienen al hacer

r

!? l:: ~. Sin embargo, para tener una idea de la anchura de la corteza nuclear

~e suele lomar por convenio la anchura en la que la densidad nuclear pasa del

90 % al 10 %. Es fácil comprobar usando (1.4) que la anchura de la corteza nuclear es '1 / In 3 (= 4 , 39 x t ). L a distri bución de Saxon-Woods puede verseen la fi gura 1.2.

4,39 t

O.

' ---- -------------- -,----

o

2

6

4

R

10

8 r (fm)

Figura 1.2: La distribución de Saxon-Woods, para' F? = 5 fm y t = 0.5 fm . Se observa la defini ción de radio nuc lear, R, y de la anchura de la corteza nuclear.

Toda una serie de experimentos se utilizan para medi r esta distribución. • Experimentos para l a medida de la carga nuc lear : • Difusión electrón-núcleo, (e+ N), • Rayos X de isótopos,

• 6. E en núcleos espejo. • Experi mentos para la medida de la materia nuc lear: • Di fusión de Rulherford (las desviaciones) , •

o l isiones 7r-11(1clco,

• Rayos X de álo 111os piónicos o kaónicos.

m111ír·/(J(J otrí111irn : fJfOfJiedadesff.vico.1• l.2.1 Medida del radio ele carga ele los m'tclcos Difusión el:ística e -

+N

#

La fórm ula de De Brog!je >, = re lacio na la lo ngi tud de o nda, A, asociada a una partícul a con cantidad de movimie nto p. Por e llo, deben util iza rse electrones con p 2': 100 Me Y/c, para que pueda n ex plo rar zonas de ta m año ,\ ~ 1O fm . La difusió n e- N es similar a la difracció n de la luz por un disco de di ámetro D; la posic ió n del prime r míni mo de la secció n eficaz diferenc ial aparece en los ángulos f) so lµ c ió n de la ecuación similar a la que se ap lica en la difracció n de Fraunhofe r:

.

sm B =

1, 22>.

( 1.6)

]]

Así, por eje mplo, a partir de resultados de ex pe rimentos de difusión con e lectrones llevados a cabo .en el laborato rio SLAC 3 se dete rminó q ue e l radio de l núc leo del ox ígeno vale R( 16 0) ~ 2, 6 fm, y que e l del carbono es R(' 2 C) ~ 2 , 3 fm.

Factor de forma de carga nuclear Más c uantitativame nte, la d~ns idad ele carga nuc lear se mide a partir de l fac to r de forma nuc lear F (q 2 ), que se de fine como la transformada de Fo urier ele Ja distribución de carga Pch(TJ. La sección eficaz dife re nc ial de Ru therfo rd (

fil1 )

R

vista e n ( 1.1 ) expli-

ca la difu sión c ulo mbiana no relativ ista e ntre dos cargas puntua les. Se puede reescribir en funció n del mo mento transferido e ntre el e lectró n inic ial y fina l, if = fii - p¡, que, al tratarse de una difus ión e lástica Clfii l = lr1D se cumple q 2 = 4p2 s in 2 (B/ 2) . Se tie ne e ntonces:

ya q ue dn

=

27íll( cos B)

=

.Jí.,dq 2 . Sólo depende del mo mento transferido. En

p-

esta última ex pres iói1 se ha introduci"clo la conocida constante de estructu ra fina 2

e 1' , ad imensional, c uyo va lo r numérico es a~ ,i,. 4 7fEonc . .t 01 S i se supone un o bjeto exte nso, se in troduce e l facto r ele forma F(ij), con lo que Ja secció n e ficaz de Ruthe rfo rcl se modifica:

a=

que , en función del momento transfe rido:

3 H. F Ehrenbcrg

et al.. P/Jys. Rev., 1.13 ( 1959) 666.

25

/\111011 io l •' O). L os procesos de desintegración pueden ser, 0' , #, "f, fisión y emisió n ele nucleó n. La descripción detallada de estos procesos se encentra en la parle del tex to clecl icacla al estudio de las clesinlegraciones nucleares (lema 7 y siguientes); aq uí se presenta una breve descripción esquemática ele estos procesos: • desintegración a,

~X ---+ ;=~y + ~ He

• desintegración (3- ,

zAX ---+

[J+,

y A z+1

+ e- +-ll e

~X ---+ ~-t y

+ e++ 11,,

~X* ---+ ~X +'Y

• desintegración "f,

en donde el núcleo X* se encuentra en un estado _excitado, de mayor energía que el del estado X; 238

• fi sión espontánea,

U

-+

~gBr + ~~ 5 La + 3n

cuya probabilidad es grande para núcleos con A elevado (A A- l zA X ---+ z - i Y + p

• y emisión de nucleón,

~X ---+ ~ - v 1

> 250).

o tamb ién

+n

En cada caso intervienen distintos tipos de fuerzas o interacciones. M ás adelante se estudi arán con lodo detalle los mecanismos de desintegración de los núcleos. Se sabe, experimentalmente, que los núcleos estables cumplen la ley:

Zmin =

A 1, 98 + O, 015A213

( 1.37)

en donde Znd n representa el número atómico del núcleo más estable con A nucleones. Puede j ustifi carse si se tiene en cuenta que la fórmu la semiempírica es una función parabólica M = J( Z), la conoc ida parábola de masas, que al calcular el mínimo, 8M / 8Z = O, da lugar a: 1 [m,. - M(' H) ] + acA- ! 3 + 4aA

2acA- 1 l 3

+ 8aAA-

1

A

( 1. 38)

Esta fórmula reproduce los va lores obser vados del cociente Z / A tan lo para núcleos ligeros Z / A "' 1 / 2 como para los pesados (A > 40), Z / A "' l / 2, 5. La fórmul a de masas reproduce por lo tanto la l ínea de estabi lidad de los núcleos en el plano Z, N. También podría utili zarse incluso para predecir masas en las llamadas drip lines, es decir, las líneas en el plano Z , Nen las que $ 1, ,..- S.,, = O, o sea que los núcleos son tan inestables que se desintegran cspo nl~ nea menl c emitiendo un nucleón. Usando la fórmu la de masas también pod ría calcularse el

47

Antonio Ferrer Sorio lím ite de es tabilid ad bajo desintegración a lfa. Se obtjene E0 = 7,07 + 7, 7 x 1 3 A Me V, lo que implica que a partir de A = 151 e l valor de En supera la e nerg ía de li gadura por nucleón E= EL/A y puede tene r lugar (energéti camente) la emi sión espontánea de una partíc ula alfa. Cuando se r~ p1}!sentan las _pará~ Ias de !fla_sa se llega a dos config urac iones según el núme ro de nucleones. Si A es impar, sólo hay un a parábola, mientras que para A par, ex isten dos parábolas separadas de 26, siendo ó el coefic iente que da la energía de apareamie nto de la fórmu la de masas. He aquí varios eje mplos:

o-

A = 100

(41Nb, 43Tc, 45Rh , 47 Ag) (4oZr, 421Vlo, 44Ru, ,16Pd)

A= 128

(4gfn, 51Sb, 5:~ I , 55Cs, 57 L a) (50Sn, 52Te , 54Xe, 55Ba)

estos dos últimos casos, representados en la fi gura l.. 11.

M

z

2

Figura 1.11: Parábola de masas para núcleos con A = 125 y A = 128. Nótese la posibilidad de la desintegración doble f3 de l 128 T e al 128 X e.

Sucederá q ue los núcleos co n Z menor que e l más estable (el de me nor masa) se desinteg rarán vía desintegrac ión fJ- , y los de mayor Z, vía desin tegrac ió n fJ+ , procesos que continuarán hasta llegar prec isame nte a l núcleo más estab le de la parábola de masas. Este conjunto de núcleos estab les frente a las desintegrac io ne s fJ son los que fo rma n e l re fe rido valle de la estabilidad.

48

L a co11c lusión m6s impor1an1c es q ue para los 11úclcos con A par pucdc11 darse dos fenómenos que no pueden darse para A impar; 1) un mismo núcleo puede desin tegrarse de dos formas distintas, ejemplo: 8 1 ---+ A~ 8 X e por ¡J . ~5 8 I ---+ ¿~ 8 Te por f3 1 o bien

¿5

2) puede darse el fenómeno de desintegración doble be1a, es decir, por ej emplo A~ 8 Te ---+ A~ 8 X e, con un ca mbio ele Z = 2. Ésta es una dcsinlcgración de segundo orden; por lo tanto poco probable. L a i mportancia de este proceso es que permite obtener información sobre la naturaleza del neutrino. Para ello, se investi ga si existe desintegración doble f3 con o sin neutrinos, lo que implicaría que los neutrinos son ele tipo Q!r.ac o de tipo Majorana, respectivamente. Estos conceptos se ampl ían en la secció n 9.7 , donde se revisa la situación de la desi ntegración 9oble beta. A la vista de las dos parábolas para los núcleos con A par, se entiende por qué no ex isten casi núcleos estables de tipo impar-impar: siempre ex isten núcleos más estables de tipo par-par y con menor masa. Para núcleos con A par suele haber 2 i sóbaros estab les y en ciertos casos hasta 3 (por ejemplo para l os núcleos con A = 40, 96, 124, 130 , 136, J.76, .180). Para núcleos con A impar sólo ex iste un núcleo estable, que no tendrá de1 sintegración beta (ejemplo, el ~~ Ru ); pero sucede que si la d iferencia ele ma3 sas es pequeña, la desintegració n f3 es poco probab.l e (ejemplos: Jl!\ I n , C rl;

M/ Sn, In ; Ai 3 Sb, T e).

Se verá más adelante también que para núcleos con Z elevado, la inestabil idad nuclear es debida a la fuerte repu lsión cu lombiana y favorece la desi ntegración a; además, si Z 2: 90 explica la d isminución de la energía de ligadura nuclear E L con la deformación nuclear dando lugar a la fi sión espontánea.

1.6 Espín, paridad, isospín y momentos nucleares Se aborda a continuación la definición de los números cuánticos más util izados en física nuclear. Su interés viene del hecho que caracter izan las propiedades de los núcleos. A veces, es posible defi nirlos en función de los números cuánticos de los nucleones constituyentes. Desde el punto ele vista cuántico, un núcleo es una estructura co mpleja todos ellos interaccionando. Supóngase H el hamil toniano del nucleones, A de sistema:

f? 2 fl = """"" - ___!::___ '7 2ni·1 '· 6 A

i= l

A

+ """"" 6

V (ri, ,. ·)

( 1.39)

J

i < J= I

en donde m i es la masa ele los nucleo nes y se han incluido sólo las interacciones de dos nucleones entre sí. No se han tenido en cuenta interacc iones más coinpl('G)

= Rn, (ri )Ye;m, (B;, e/>;)

( 1.43)

en una co mponente radia l , R,,, y una componente angular; en este último caso representada por los armó nicos esféricos, Ye,m· Los números cuánticos que defi nen el estado de cada nucleó n, dado por ( 1.43), serán n, m e, el número cuántico principal, .el momento angular orbital y l a tercera componente de este ú ltimo. A demás, habrá que tener en cuenta el momento angular total .i y su tercera componente mj, que se obtienen a partir de sy mj = f, + 1/ 2.

e,

J=e+

1.6.1 Espín y paridad nucleares Los núcleos, en tanto q ue sistemas cuánticos, tienen espín-paridad fP bien definidos. Si además se supone que los nucleones que lo componen se mueven en un potencial central , tendrán un momento angular orbital {¡; también habrá que tener en cuenta su espín (o sea, el momento angular intrínseco), Si> y por lo tanto el momento angular total de cada nucleón será ];, = l;, + Si . El espín nuclear será la suma: · A

f = '¿) i

( 1.44)

i= l

Se cumple por lo tanto que si entero.

50

A es par, J es entero, y si A es impar, J es semi-

W 111ícleo a 16111 irn: ¡Jmpierlorle.1·ffsicos Todos los estados nuc leares (incluyendo el estado fundamc11tal) tienen un momento ang ular fi nito. P= 11/ 2, + 1/ 2 >. Los núcleos tendrán momento d ipolar mag né tico:

( 1.51) siendo g¡ el facto r giromagnético del núcleo. Recuérdese que en modelos sencillos de partícula individual puede ex pl icarse J como suma de los mome ntos a ngu la res J. de los A nucleones o de un red ucido número de los mismos. Las medidas experimentales, reali zadas por estructura hiperfina, espectroscopía de microondas o NMR dan, para los núcleos, momentos dipolares comprend idos entre - 2µN y +6µN.

Momento cuadrupolar eléctrico Sea una distribució n de carga p(r, B, 220), la excentric idad toma valores : f. E [O, l ; O, 2]. Se trata pues de núcleos muy de sviados ele la forma e sférica, por lo que se les deno minan nú cleos deformados. Po r ejemplo, e l 8 H fes e l núc leo que tie ne mayo r momento c uadrupola r, Q = + 6 barns, lo que implica que f. = 22 %, mientras que para e l deute rón (Q = O, 002859 barn s) se obtie ne e= 4 %.

g

1.7 Estructura cuántica de niveles energéticos nucleares E n En la sección 1.6 se ha descrito la func ió n de ondas nuclear como un a estructu ra compleja de A nucleones, todos e ll os interaccionando , de forma que la ecuac ión ele Schrod inger nuclear ( no relativista) tomaría la fo rma:

( 1.56) siendo \11 1.; la func ión de o nda s de l estado. Ex istirán e stados nucle ares bien de finidos y di stintos, caracteri zados cada uno de e ll os por una e nergía E1.;, en completa analogía con los nive le s excitados de los átomos. Entre estos ni ve les destaca e l estado fu nda me nta l, e l de me no r energía, que es e l más estable y mejor conoc ido. Los niveles nucleares de mayor e ne rg ía que la de l e stado funda mental , ll amados estados excitacfüs podrán clcscxcitarse emitiendo fo to nes, a l igual que e n e l caso ele los átomos. Este es un proceso e lectromagné tico que se deno mina des integración "f. Una forma de estudiar estos nivele s nucleare s exc itados, que se obtiene n e n estados fi nales ele reaccio nes nucle ares o como resultado de otras des integrac io nes nuc leares, es por espectroscopía 'Y nuclear. Un ejemplo de estructura ele nive les nucleares, q ue ade más iluslra las pro 7 7 piedades ele los núcleos espejo es e l de l ¿ Oyó F (véase fi gura 1. 13). Obsé rve!-C la similaridad entre las estruc tu ras d e sus ni veles e ne rgéti cos, co nsecue nc ia d' la invariancia de carga de la inte racció n nuclea r. /

57

A111011io Ferrt'r Sori o En fi n, co mo conclusión fina l, IQ curioso es que hay que recurrir a modelos con ideas lotal mente o puestas a las del modelo de la gota líq uida vi slo anlcriormenle, como por ejemplo el modelo de capas, para poder explicar propied ades lales como el espín, la paridad, los momentos multipolares electromagnéticos, etc. Todo ello es consecuencia de la enorme complejidad del núcleo ató mico.

3/2

4554

5 /2

3843 3 055

3/2-

4r.40

512-

3857

112 -

3 104

l/2+

495

o

51z+17 p

9

IV

871

o

*

Fig ura 1.13: Esquema de niveles nucleares de los dos núcleos espejo 17 O y 17 F, que forma n un doblete de isospín (T = 1/ 2). El valor de la energía de cada nivel se suele representar a la derecha y las unidades sue len ser keV. A la· izqu ierda de cada nivel aparecen lo s números cuánticos de espín-paridad (fP) . La di fe rencia ele masas entre estados fundamentales es M ( 17 P) - M ( 17 0)= 2,76 Me V. El 17 O es estable (en este texto, se imprime un aslerisco *a la derecha del nivel para identifi car a los estables) y el 17 Fes inestable p+ con l 1¡2 64, 49 seg.

=

1.8 Ejercicios 1.1 Io nes de Litio simplemente cargados, liberados de un ánodo ca liente son acelerados mediante una diferencia de potencial de 400 V aplicada ent re ánodo y cátodo. Posteriormente se les hace pasar por un orific io pract icado en e l cátodo y entran e n un campo magnético, uni forme y perpendicul ar a la direcc ió n del movimiento, de 8 X I0- 2 Teslas, siendo los radios de las órbitas de 8,83 y 9,54 cm, respectivamente. Ca lc úle nse los números másicos de los isótopos de Litio. 1.2 a) Utilizando como datos las masas de l entre sus energías de ligadura.

58

15

0 y de l

15

N, calcular la diferencia

mllt Íf'INI f// Óll/iCf/ ,' /)/"f//lit•tfod('.l'jf.l'i ('(/,\' h ) Suponiendo que dicha di ferencia se debe exclusivamenle a la di ferencia de l a~ energías de 'oulornb. enco111r.i r el valor de los radios nuclea res del i ri u y i r. N. l .J Supóngase que la carga eléctrica Z e de un cier1 0 núc leo, a) se d is1ribuye homogéneame111e en Lodo el volumen de una esfera de radio fl. y h) se disl ribuye hornogéneamcnlc sólo sobre la superficie de dicha esfera.

'alcul ar el valor de la relación Uc(vol) / Uc(sup) enlre las correspondientes energías de Coulomb. 1.4 Demostrar que a parlir de una di slribución de carga exponencial para el protón, de la forma: p(R ) = Po cxp(- M.,R), el factor de forma que se obt iene corresponde 2 2 a la denominada fórmula del dipol o: G(q2) = (J + q / AI';] - . Comprobar que para fl1Q = O, 84 Ge Y el radio cuadrático medio vale 0,8 fm.

1.5 /\ partir de las masas (atómicas, en uma) del hidrógeno ( 1,0078), del deuterio (2,0141) y del hc l io (4,0025), y sabiendo que los valores Q de reacción corres31 31 P(d, a ) 29 Si, 29 Si.(d , p) 30 Si, 30 Si(d, p) S·i son, pondientes a l as reacciones: respectivamente, 8, 158, 8,388 y 4,364 MeY, calcular Ja energía cinética máx i ma 31 Si. del electrón en la desintegración fr del

1.6 /\ partir de los valores de Sn y Sp que se dan en Ja tabl a 1.5: a) Obl ener conc lusiones acerca de las energías de ligadura del último protón o

41 41 17 17 nculrón en Jos pares de núcleos espejo ( O, F) y ( Ca, Se), intenlando establecer un comportamiento general o sistemál ico. b) Comparar l as separaciones energéticas de los nucleones en los núcleos con 16 0 y 17 F, Sp para iguai° número de protones o neutrones (ejemplo: Sn para 10 17 0 y 0 ). · c) U til izando Ja sistemática anterior construir una tabla de valores de S,, y Sv 56 Ni, 57 Ni, 57 CtL. correspondiente a los núc leos:

TABLA 1.5: D efectos de masa y energías de separación de varios núcleos.

Núcleo

l!.(MeY)

S .. (M eV )

Sp(McY)

'ºo

- 4,737 - 0,8 10 + 1,952 - 34,047 - 35, 138 - 28,644 - 2 1,759 - 17,624 - 18.268

15,66 4,14 16,8 1 15,64 8,36 16, 19 7,37 3,94 7,46

12, 13 13,78 0,60 8,33 8,89 1,09 8,01 8, 15 3,80

170 11 p

4º Ca ' 11 Ca 11 ' Se 208 pb

2os Pb 20n IJ·i

1.7 Utilizando la fórmula semicmpíri ca de la masa de Weisziicker, :i) Delcrminar el n(11ncro alómi co del núcleo más csl able para un n(1n1cro más ico dado.

59

Al/fonio l·'errer Sorio I>) Estudiar la estabil idad del ~ 35_1/ frente a la e mis ió n de: (i) un protó n, (ii) un

neutrón, (ii i) una partícula et. 1.8 Haciendo uso de la fórmula se mjempírica de la masa: a) Averiguar si e l nucleido radiactivo 138 X e es un emi sor {3- o {3+ . I>) Calcular la energía de las partículas a emitidas por el 235 U. Compárese el resultado de esta predicción con el valo r ex perimental. 1.9 Determi nar clásicamente el momento cuadrupolar eléctrico de un núcleo. Obtener la expresió n cuánt ica correspondiente. siendo mv la masa del protó n. Calcular el 1.10 El magnetón nuclear es µN = ~, ,,;1nv valor de µNen unidades MeYff.

(¡()

La fuerza nuclear: el deuterón. Interacción !V-!V

1 l ~I deuterio, descubierto por Urey en 1932, es uno de los isótopos del hidt ll~l· no , cuya abundancia isotópica es 1 ,5 x 10- 4 • El o tro i sótopo del hidrógeno l'~ l'I 11i1io, inestable, con ti12(3 H ) = 12, 32 años. El hidrógeno y sus dos isótopm li ·nen un papel importante en. física nuclear. Los núcleos respectivos son 2 1 t 11110 ·idos por un nombre distinto: protón, deuterón y tritón para el H , H y 111 , 1c~ pc /?.o

--+

u(i·) = c e- k2 7·

Dek'2r

13 C:08(k 1r) (2. 17)

1

quedando únicamente los tér m i nos con coefic ientes A y . Se c umple: O y se anu le cuando r --+ f111 i1a en 1·

C, para que /l(·r ) sea

71

/\111rmio Ferrer Sorio

(2. 18) en donde la e nergía de ligadura del deu te rón Ect = - 2, 225 Me Y, se to ma negativa, para recordar que se trata de un estado ligado. La c ondic ión de continuidad de la func ión ele o ndas u(r) y su de ri vada,

( rfJ#) r= Ho ,ambas e n R0 , conduce a: (2.19) ecuación trascende ntal que re lac io na Voy Ro. Si se admi te que k2 < < k 1 , consecue nc ia de la pequeña e nergía de ligadura del de ute rón , esta ecuac ión puede aproximarse: cota~ O, lo que implica que k 1 R.o ~ ~·con lo que se logra la relac ió n aproximada e ntre V0 y R o que se buscaba:

Tomando Ro = 1, 975 fm, como valor del radio de l deuterón, se tie ne V0 ~ 30 M e Y, profundidad de l pozo nuc lear. Podrá decirse que e l valor ª Vo ~ 30 Me Y, corresponde al estado tri plete. No ex iste estado singlete li gado con este potenc ia l (potenc ia l estimado para el sing lete 1 V0 "' 200 Me Y). Está c laro pues que la fue rza nuclear depende del espín. La función de ondas u(r ), representada en la fi gura 2.3 , dará la probabilidad de e ncontrar e l nuc león a una distanc ia r de l centro de masas:

o . . . . . . . . . . . . . . . ........ 2 o ~

............

~u................u.....o.~

.........,~

4

10

8

6

r

(fm)

Fi gura 2.3: Func ión ele ondas radia l del clcuterón.

72

J,r1jiwrza 1111('fe" r: W de11 reró11. l111eroctió11

N -N

Se puede calcul ar e l va lo r med io d e r, que pued e aprox imarse a la di sta nc ia que red uce e n un facto r 1/ r· la fun c ió n de ondas v ista e n la ecuac ió n (2 . 17), lo que re presenta la d istanc ia medi a en tre los nucleo nes (doble de l rad io): l

(r) " "k- ~ 4,3fm ·2

l ~slc va lor indica que los nu c leones están poco ligados y baslante a lejados e n promed io, lo que e ra ele esperar ya que los nucleones están poco ligados e n el dc utcró n, vista la e ne rg ía de ligadura Ed y la profundid ad del pozo V0 encontra-

da.

2.3 Difusión N -N . Defasajes El s istema N-N ha s ido amplia mente estud iado . E l m étodo se basa e n co lis io nes pp, np (las fu e ntes de proyectiles n sue len obte ne rse: e n las lín eas ex pe rime ntales de los reactores nucleares o en un acelerador de partícul as a través de la reacció n 7 L i(p, n) 7 Be, en la que se acele ran protones que incide n e n 7 Dí y se producen ne utrones secundarios), que se completa con e l estudio de co lis iones pd y nd. El problem a es que debe sustraerse la coli sión no deseada (por eje mplo s i se quiere estudiar pn ut ilizandopd, se sustraerá e l ruido de fondo deb ido a pp) .

2.3.1 Desarrollo en ondas parciales La dife rencia entre la presencia de un potenc ial o no, al reso lver la ecuaen la c ión de Schrodin ger, se sue le parametrizar introduc ie ndo un defasaje, o nda que descri be a la partícula; este defasaje da la d ife re nc ia de fase entre la o nda d ifu nd ida y la o nda antes de la difusión. Por ejemplo , la soluc ió n ele la i;cuac ió n radial (2. 16) en a usenc ia de potencia l es de la fo rma u ,._, s in (kr), sie ndo p = lik e l m o mento de la partícula (onda), y s i e l potenc ia l es no nul o, pe ro para valores de r grandes, c uando ya no se sie nte e l pote nc ia l se tend ría 'll ,._, s in(kr + o). Luego el defasaje informa sobre :

o,

• la forma e inte ns idad de l po te nc ial y • la dependenc ia con la e ne rg ía de la sección e ficaz. Con ello se llega a una expresió n para la sección e fi caz de difus ió n:

a=

.da J

4n ~

,

dD, dD = k 2 ¿)2C+ 1) sin 2 op(k;)

(2,20)

f ==O

e

que depe nde ele los clefasajes oe, ele cada una de las o ndas que interv ie ne n e n b di fus ió n. A baja energía (T < 20 Me V), el 1ra1amic n10 de los clefasajcs es muy

73

/\111011io

Ferrer Soria

interesante porque si un potenc ia l tiene alc ance Ro, e l mome nto angul ar orbital de la difusión está limitado por:

eRo

-->

u2(r)=

(2.22) Csin(k2r +o)

e n donde se o bserva que la interacción produce un defasaje o(o c ial es atractivo). Se cumple:

M1

= J2µ(Vo +E)

hk2

= J2µE

>

O si e l poten-

y E > O, por supuesto, ya que ahora es un problema de coli sión. Como se ve, se ha conside rado que el nucl eón inc ide nte tiene una energ ía c inética dada por la ecuació n no re lativista, E

2

n,2k2

= fiiµ = --n--2. L./.l

Para el límite de energía nula (E = O), la solución de la ecuación de ondas sería 1t2 (r) = B + Dr. En e l caso en e l que hubiesen estados li gados porq ue V0 es suficiente me nte profundo , se tendría u2(r) = c e- k2r, o sea, lo visto e n e l caso del deute ró n. La ecuación que re laciona V0 y Ro con E, aplicando de nuevo la condición de continuidad en Ro, es:

(2.23) de donde se puede obte ner e l de fasaje o.

74

Lo f 11erza 1111cleor: mde111er611. !111erocci6n N - N 2.3.3 Aproximación de alc~rnce efectivo En el lím ite de energía nula E ---> O, sue le utilizarse la para metri zac ión de 11 lcancc efectivo :

(2.24) sic ndo a la longitud de difusión, que podría definirse como: lím siik bo

a=

k --->

o

por simple inspección de Ja fórmula (2.2 1) anterior y a l igual que a ntes, /i 2 k 2 = El sign ificado fís ico de Ja longitud de difusió n a, a unque tiene dime nsiones de lo ng itud, no tiene nada que ver con una longitud sino que se trata de un parámetro que es proporcional a la intensidad de la interacción. Si se normaliza u 2 (0) = 1, se tiene: '2¡tl~ .

u2(r) =

1 - !:

kz = O

u2(r) =

sin(k2r + bo) sin Óo

kz o/= O

a

(2.25)

La dependencia de Óo con la energía la da e l alcance efectivo, R 0 , que se Ró las expresiones vistas en (2.25):

oh l iene a l ig ualar en

(2.26) co n lo que los pará metros a, ·longitud de difusión y R 0 , a lcance efectivo, caracte rizan e l potencial nuclear. La expres ión completa para la sección eficaz de colisión que se predice uti li zando la ecuac ión de Schrodinger es:

(J

= 47ra2 [ ( 1 -

T

R k2 ) 2

+ ª2 k2

i-i

(2.27)

que para el límite k ---> O(energía nula) se reduce a (2.24). Los parámetros obtenidos e n los experimentos de difusión N-N se dan e n la tabla 2.2. Los defasajes son conocidos para el conjunto de números cuánticos que puede darse en e l siste ma N-N y que conviene recordar.

(a) Para el sistema pp o nn. Se trata de un estado puro de isospín T = 1 (ll amado isovector); e l principio de sime trización da lu gar a las dos pos ibi1id acles sig uientes, {

si S = O =? L par (1So, 1 D2); si S = l =? L impar (lPo, :1.P1 , ~ P2).

75

;\1111J11io

Ferrer Sori(I

(b) Para el sis te ma 11µ , si se s upo.ne e l caso 1' = 1, isovector, se te ndrán los mi smos estados que en e l caso ante rior.

(e) Para el sis te ma np, pero e l isoscalar, o sea isospín T = O; po r e l principio de s imet~i zac i ón se tendrán ahora las posibi lidades, {

si S = O ==> L impar (1 P 1 ) ; siS = l ==> Lpar ( 3 Si , 3 D1 , 3 D2,

) 3 D3.

TABLA 2.2: Promedio experimental del a lcance efectivo (Ro ) y longitud de difusión (a) para el sistema N-N, en experimentos de difusión a baja energía.

S=l ,T=O -

S=O,T=l pp

a

B.o nn

a

np

a

Ro Ro

- 17, 1 ±0, 2 2,794± 0,015 - 16, 6 ± 0, 6 2,84± 0,03 - 23, 715 ± o, 015 2,73± 0,03

fm fm fm fm fm fm

-

-

5, 423 ± o, 005 1, 73 ± 0, 02

fm fm

De los datos de la tabla 2.2 anterior para el sistema pp y e l sistema nn se observa que los valores de a y de Ro son similares; se deduce de ello una propiedad de la fuerza nuclear: la simetría de carga. Para que exis ta independencia de carga, el parámetro a debería ser igual e n todas las combinaciones de carga, incluido el caso de np. Pero la diferencia que ex iste en e l valor de a para los datos del estado np se explica e n e l modelo de Yukawa, que se verá a continu ación, porq ue existe un proceso, e l intercambio de piones cargados 7r±, que só lo puede darse en interacciones np, al contrario que e l intercambio del 7ro que se da en todas las interacciones entre nucleones: nn, pp y np (la masa de l 7r± es mayor que la de l n°; óm1r = 4 , 6 Me V). O sea , a pesar de esta pequeña diferenc ia, se puede adm itir que e fectivamente existe independe ncia de carga. Sin embargo, nodebe olvida rse que e l principio de exclusión de Pauli introduce difere ncias en los sistemas de nucleones idénticos (pp y nn), que e n e l es tado de menor energía deben formar un estado con espín S = O ya que no pueden acop larse los dos con el mis mo es pín. En e l sistema np, a l no ser idénticos, se pueden dar los dos estados S = O y S = l ; este último es el de uterón. La interacc ión np con S:::: O es la misma que la existente entre dos nuc leones idénticos. Se enc ue ntra que, en el interior de un núc leo, la fuerza media entre neutrón y protón es mayor que entre dos nucleones idé nticos. Se observa que si a > O ex iste es tado ligado (el deuterón). Cuantitativamente, para e l deuteró n se tiene una variante de la expresió n (2.26), concre tamente:

76

1 1 2 k2 = -a1 +-R 2 o, k2

Ut flw1 ·w 1111«/l'ar:

et d- son: O si S = O y ± 1, O si S = 1, mientras que los valores propios ele 8 2 serán O si S = O y 2 si S = 1, ya que los estados propios pueden eleg irse de la forma IS ,- >-) y, como es habitual, los valo res propios son ,\IS, >-) = >-!ilS, >-)y S 2 IS, >-) = S(S + l)!i2 IS , >-) .Con e ll o, se puede de mostrar que la relación entre los operadores 8 12 , A y Ses: 812

=

6>-

2

-

28

2

lo que implica que si el sis te ma N N se ac opla con espín O (estado singlete de espín) e l va lor propio de S 12 es cero (la interacción tensorial se anul a) y si el sistema NN está e n estado triplete (S = 1) entonces 5 12 = -4 para A = O y .'1 12 = 2 para A = ± 1, lq que es Jo mis mo que escribir:

Con estas considerac iones, puede comprobarse que e l modelo O PE P predice para la inte racc ió n np: 1. Si

S = O (sing lete de es pín y triplete de isospín):

que es un potenc ia l atrac ti vo.

83

A111011io Ferrer Soria 2. Si S = 1 (triplete de espín y singlete de isospín) e nt onces aparecen dos posibles solucion es a)

con ,\ = ± 1 que implica que 5 12 = 2, con lo que:

'(

S = l.h=± l(·) '

np

1

2(m" - ) Nlp

3g; = - -m"c 4

2

2

2R ]e-r/R --r/ Rr + -r2

[l + -2R

más atractivo que e l potencial V~,= 0 (r) . Este es el responsable de la existenc ia del deuterón y el valor de la helicidad confirma que es prolato (,\ = ± 1; véase la figura 2. 1). b)

con ,\ = O, que conduce a 5 12 = - 4 y da lugar a un potencial repul sivo:

2 4R 4R 2]e-r/R 2(rn") -J.Vlp [1+ r+ -r - -r/- -

S=l.h=O 3g; V .. ' r() = + -m"c np 4

2

R

Una forma de entender la depe ndencia con el espín (J) y el isospín (T) e n el modelo OPEP es a través del intercam bio de un mesón; por ejemplo puede tratarse de un pseudoe scalar (Jp = o- ) o de un vector (JP = 1- ). Buenos ejemplos son el 7í (pseudoe scalar y triplete de isospín, T = 1) y el w (vector y singlete de isospín, T = 0),9 respectivamente.

2.6 Ejercicios 2.1 El deuterón está formado por la unión de un protón y un neutrón que interaccio nan con una fuerza atractiva que deriva de un potencial V(r). La experienc ia muestra que cuando el deuterón se encuentra en su estado fundamen tal, la e nergía de ligadura tiene un valor absoluto de 2,225 Me V. Por otra parte, se puede admitir en primera aprox imac ión, que la energía de interacció n V (r) está representada por un pozo cuadrado más un core (potencia l infinito repuls ivo), tal que V (r) = oo para O < r < e, V (r) = - V0 para e < r < e + R o y V ( r) = O para r > e + Ro (véase la figura 2.7). a) Admitien do que el estado fundamental tiene simetría esféri ca, determin ar la función de onda correspondiente. b) Calcular el radio R o del pozo de potencial , es decir e l alcance de las fuerzas nucleares , para V = 40 Me V. e) Calcular la probabil idad de que la di stanc iar entre los nucleones sea superior e inferior a,Ro +c. Supóngas e que las masas del protón y del neutrón son iguales. 9 Las propiedades de éslos

84

y otros mesones, se estudian en física de partículas. en la sección 16.4.

t,o ft1er·w 111rcleor: mdc111err111. l11t>

1 se tiene un número de estados en el espacio fásico n =

~A ( ro{F)

3

.

Separadamente, dado que los nucleones ti enen espín

1/2, se podría escribir:

A la temperatura T = O, todos los estados están ocupados hasta el llamado momento de Fermi, que es el momento máx imo que puede tener un nucleón. Si se supone un núcleo con Z = N = A/ 2, en el que PF,n = PF,r = pr, se tendrá:

(97!')

1/ :3

h -gPr = ro

(3.5) 2

{M.

independiente de A, resultando Pr ~ 250 M eV/c; o sea, Er = ~ 33 MeV. Por lo tanto, como se sabe que los nucleones tienen una energía de ligadura media [ "' 8 M e V, este modelo predice que están confi nados en un pozo nuclear de profundidad V0 = Er + [ ~ 40 Me V. Que los nucleones se mueven con Pr en el interior de los núcleos, se ha comprobado experimentalmente al estudiar las colisiones e- + N. Como el gas de Fermi se aplica a ferm iones idénticos, la energía Er representa la energía del estado de mayor energía ocupado cumpliendo el principio de excl usión. La energía media de un nucleón es:

(3.6)

90

M odelos 1111

2t;i principio de simc1rizaci6n exige que si se in1crcambia el l(món l con el 2, la función de ondas tlch.: c;1111 biar de >igno ya que >e trata de un sistema de bosoncs idénticos.

97

l\11umio l •effN

Sorio

TABLA 3. 1: Ex citac i on~s debidas a vibraciones cuaclrupolarcs. Como las energías se suelen referir a la del estado fundamcnlal, suele tomarse la energía €o = O como referencia.

NQ de fonones cuadrupolares O (fundame ntal),

1 2 3

Energía

*ruv2 ruv2 + Eü

Eo =

2fiw2

+ Eo

3fiw2 + Eü

valores de JF posibles o+ 2+ o+, 2+, 4+ o+, 2+ , 3+ , 4+, 6 +

Se habla de triplete (2 fonones) o quintuplete (3 fonones) cuadrupolar. La energía de cada estado de un multip lete depende del núme ro de fonones cuadrupolares que orig ina el multiplete (por ejemplo en el caso de fonones cuadrupolares, N 2 ); es dec ir: (3.17)

El modelo predice que todos los mie mbros de l multiplete tiene n la misma energía. O sea, e n principio los tres niveles ¡:!el trip.lete de 2 fo nones cuadrupolares están degenerados en energía. Experi me ntalmente se observa que los niveles del triplete (quintuplete) de 2 (3) fonones cuadrupolares no aparecen degenerados en e ne rgía, sino que tie ne n energías ligeramente dife rentes; ello es debido a la existenc ia de fuerzas residua les que no se han tenido en cuenta en e l hami ltoniano. También se observa que los distintos estados de un mismo multiplete tienen espín difere nte J; e l modelo vibracional no predice diferenc ias de niveles de e nergía entre estados de espín diferente. Un ejemplo típico de nive les nucleares vibracionales es el que tiene e l 114 Cd, co n los nive les (O; 0 ,558 ; [ 1, 135; 1,2 10; 1,284]) Me V, con los números cuánticos esperados (O+ , 2+ , [O+ , 2 + , 4+ ]), o su isótopo 118 Cd, cuyos ni ve les pueden verse e n la figura 3.5. Se observa e l singlete 2+ asociado a vibraciones debidas a un fonó n c uadrupolar y el triple te (O+, 2+ , 4+ ), casi degenerado en e nergía, debido a dos fonones cuadrupolares. Las transic iones entre nive les vibracionales tiene n lugar por e misión de fotones (son tran siciones e lectromagnéticas). Es la espectroscopía gamma la que pe rmite estudi ar los nive les e ne rgéticos de los núcleos para compararlos a las predicciones de los modelos. Aparte de la estructura cuántica de niveles predichos por e l modelo vibracional (los debidos a fonones dipolares o multipletes de fonones c uadrupolares, e tc.) ex isten otras predicciones que pueden e nte nde rse por la propia naturaleza colectiva del modelo. De entre ellas conviene tener presentes: 1. El momento di polar magnético de estados colectivos (tanto vibracionales como rotac io nales) se calcu lan"í:

98

Model os

1111clt' l ll'l' .I' .

¡t(.J )

1\1/odel o.1· col ec1i11os y

1110(/tJ/o dt1 c opo.1·

(.Ji) 'rf ·

l .ucgo para los nive les exci tados 2+ , estarán comprendidos entre 0,8 y 1,0 /I N .

2. 121 momento cuadru polar eléctrico del estado fundamental de los núcleos par-par será prácticamente nulo, Q "" O, ya que en equilibrio son núcleos esféricos.

l. La relación entre niveles energéticos E(4+ )/ E (2+) = 2, O, ya que E ex N 2, número de fonones cuadrupolares, que se cumple para núcleos con A < J 50 ( lo que corresponde a N < 82 en la figura 3.4, si se excluyen las regiones de números mágicos). kcV

3+

2223

o+ 3 +4 + 2+

~========/ 161 5 1286

o 11 65

488

o+

o

Figura 3.5: Ejemplo de estructura tipo vibracional de nive les en el ll 8 C cl.

3.4.3 Vibraciones cuadrupolares y deformación nuclear De lo visto anteriormente se pueden ampliar las siguientes predicciones de l modelo vibracional: 1) l .a frecuenc ia del osci l ador, w2, puede determin arse cx perimcnlalmcnle a parti r de la diferencia entre n iveles energéticos (entre el singlete y el tri p lctc por

99

l\ 111011io f"errer Sorio

ejemplo), y a partir de ahí encontrar un a relación entre los coefi c ientes C'I. y V2, ya que hw2 = nJC2/ D 2. 2) La deformación med ia de un núcleo, (o:21,) = (N ; >., ¡tl&21,¡ N ; ,\, ¡1.) = O, puesto que e l operador & es proporc ional al operador destrucción y e l valor esperado anterior se anula.

3) Al contrario que en e l caso de Ja deformac ión media, la deformación cuadráti(/3 2) = (N ; >.,¡ti la 2µ12 JN ; >., ¡t) , no se anu la. Está rel ac ionada

ca media,

L,,

con la energía del estado vibracio na l: (3. 18)

En efecto , el teorema viria l d ice que e l valor de la e nergía está re lacionado con e l valor esperado de la e nergía potencial: (E ) = 2(V). Al aplicarlo a las vibraciones c uadrupolares, dado que la energía potenc ial es proporc ional a I:,, la21,¡2 segú n (3. 11 ), la energía de l nivel E 2 (N) está rel acionada con la deformación cuadrática media de l núcleo. Así por ejemplo, para un estado de N fonones /3~ = (5 + 2N)n/(2D 2w2 ) , luego para el estado fundamental /3'[¡ = 5/i/( 2D2w2 ). 4) A partir de la de finic ión del radio R, se tiene que la desviac ión c uadrática media de l radio nuclear es (b.R2 ) = R.6(/32 ) . 5) E l momento cuadrupolar de un estado e xcitado v ibracional caracteri zado por N fonones cuadrupolares se calcula:

Aquí se trata de l momento cuadrupolar eléctrico colectivo, debido a la e struc tura de carga nuclear. Sea Pe la de nsidad de carga; como la defi nición del momento cuadrnpolar e s:

eQ20 = Pe

f,

2 r Y20(0 )d3r

'n!ILde.o

si se calcula para un e stado de 1 fonón resulta:

12 ·~ 2 Q N= t = -~ /35ZR0

3 v7f

El e studio de la estructura de niveles se lleva a cabo mediante espectroscopía "f . El hami lton ia no que describe la desintegrac ión de un estado c uadrupolar es func ión de l valor esperado del operador cuadrupolo. La probabi lidad de desintegrac ión / , por ejemplo del estado o+ del triplete a l 2+ del singlete, tiene la forma:

100

M odelos 1111cleo res. /11/odelos cole

220 y

• e ntre núcleos que pueden explicarse por e l modelo de capas y que son los q ue van llenando los estados de las capas l s - 2d, es decir los que tienen número másico A "' 24. Los estados excitados de los núcleos de Ja familia de los lantán idos o Lierras raras (150 :::; A :::; 190) y de los actínidos (220 :::; A :::; 250) son núcleos superdeformados. Se trata de núcleos cuyas fo rmas en eq uili brio no son esféricas. Un núcleo deformado podrá tener distintos estados energéticos que corresponderán cuánticamerite a los estados posibles de asimetría azimutal.

3.5.1 Hamiltoniano rotacional Sea un núcleo con un mome nto angular intrínseco i, que puede explicarse a partir del momento angul ar individua l de los nucleones f = L i Si además e l núc leo gira, inducirá un momento angular fi debido a la rotac ión. C lásicame nte la e nergía rotacional de un objeto con un momento de inerc ia I, g irand o con velocidad angular w es:

J;.

E .n

1 ') 1 2 = -Iw= - Fl 2 2I'

I OI

Antonio /i'errer Sorio ya que e l momento angular de rotación es R = I w. Cuánticamcnlc, el momento angular del núc leo que gira vendrá dado por J = l + .fi. El hami l1 oni ano se 1 3 I Jf. Si se supone que el núcleo tiene simetría axial, podrá escribir H =

L

llamando 'I1 = I

i= l

2

2

1

= I, queda: (3.19)

y los niveles excitados, EJ, del núcleo debidos a los estados de rotación se calcularán como siempre: H IJ, M) = EJ IJ, M). Pero para realizar cálculos (véase la figura 3.6), es habitual utilizar dos siste mas de referencia: • coordenadas intrínsecas (l ,2,3). Referencia n el núcleo respecto a su eje de simetría intrínseco. Entonces hlJ M J( > = J( lilJ M K > • coordenadas laboratorio (x, y, z), en las que J, M defi nen los estados con momento angular bien definidos. Se cumplirá: 2

J 1JMK >= J (J

+ l )h2 JJMJ( >

y J zl JMK >= MhlJMK >

En efecto, para defin ir la orientación en el espacio de un objeto en rotación son necesarios tres parámetros (los ángu los de Euler a , {3, ')'). Cuánticamente, se toma 1J M K >, siendo K la proyección de J en el eje de simetría del núcleo (el sistema intrínseco). K toma los mismos valores que la proyección de J en el eje del laboratorio (M): de -Ja J. Para calcular el espectro energético de los núcleos e n rotación, habrá que resolver la ecuación de valores propios de l hamil tonia no visto e n (3. 19), obteniendo:

n,2

(3.20) 'IJ(J + 1) + Ef( 2 Se observa que para cada estado intrínseco del núcleo definido por K, se tiene una banda rotacional, es decir, un conjunto de niveles e ne rgéticos EJ con momento angular J distinto. En la expresión anterior E 1< representa el valor base de la banda rotacional, que contiene la contribución de la parte intrínseca de la función de ondas, que depende de h y cuyo valor propio es K. El núcleo deformado quedará caracterizado una vez se conozca el momento de inercia I. El mome nto angular total J de los estados perte necientes a una banda rotacional, por conservación de la paridad, toma una serie de valores que dependen del espín y paridad, KP, de la base, que es lo mismo que decir que depende n de l estado intrínseco; así si la banda rotac ional comienza a partir de un estado base:

E.J =

• J O dará lugar a una serie de ni ve les con J = /\, 1( + 1, 1( + 2, .. ., y paridad + o - .

z

,,

3

y

,,

'

2

Figura 3.6: Sistema de referencia para un núcleo deformado con simetría ax ial. J es e l momento angular total, !11 y J( las terceras compo nentes respecto al eje del laboratorio (z) y el eje intrínseco (3). Res el vector que representa el momento angu lar de la rotació n colectiva que se suma al momen to ang ular intrínseco I (con = I

g0 Hf ->

(O; 9 1,4; 299,5; 6 14,4; 1024,6; 151 8, 1; 2082,7) keY (O; 100;32 1; 64 1; 104 1; 1500;2010 ;2560) keY

En estos núcleos par-par, el movim ie nto intrínseco de los nucleones de vale ncia tie ne mome nto angu lar nul o (J< = O). En estos casos los niveles nucleares se de ben a la rotac ión colectiva excl usivamente. Se comprueba también que este modelo predice correctamente el cocie nte B(4+ )/ E(2+)= 3,33, que se observa e n los lantán idos y actín idos (véase por eje mp lo el caso del 238 U de la figura 3.7). La predicción para el momento dipolar magné ti co de estos núcleos es la misma que e n el caso del modelo vibrac ional:

¡

,¿(J) =

(.J~)

ir.¡ 103

A111011io l •errff Sorio

kcV 5

827 776

732

680

5 18

307

148

45

o 238 u 92

Figura 3. 7: Ejemplo de estructura de niveles de tipo rotacional en e l 238 U.

3.5.2 Momentos de inercia nucleares Puede compararse el valor del momento de inercia experimental de los núcleos con algunas formas conocidas. Sea un núcleo de forma elipsoidal. Se introduce el parámetro de dejorma-

ción:-/3 =

1JIIfji. ~ ~ R:i RRJ., con lo que el elipsoide puede parametri-

zarse:

Con esta defi nición, el momento de inercia del el ipsoide rígido toma el valor:

(3.2 1) en donde se verifi ca que si f3 = O se obtiene el momento de inerci a de una esfera rígida. Tomando .11 ~ 170, va lor representativo ele los núcleos lantánidos, el

¡-?

momclll"o ele inercia vale ~ ~ G keV. Si por el contrario se supone que el L..Lr( r¡

núcleo es un llu iclo (contenido por ejemplo en una vasija elipsoide), su momento 104

M odelos 1111c/eores. Nlodelos cole como el defi nido en (3.24), se calcu la:

(Q20)

(16; 2 j(j + 1) - 3m 2 = (jmly 5 r Y20 1Jm) = 2j(j + l ) (r 2 )

en donde (r 2 ) = ./ drR;, (r)r 4 R,,(r) =

(3.36)

Q0 es el momento cuadrupolar intrínse-

co. Si se trata de un núcleo con un protón aislado, fijando m = j en la expresión (3.36), se obtiene:

Q s p --

2j - 1 (

-

2 (j

+ 1)

1

.2)

(3.37)

y como se puede aproxi mar (1· 2 ) = ~ R 2 , entonces Q ,...., A 2 13 prediciendo valores co mprendidos entre 0,0 15 barn (para A = 10) y 0,5 barn (para A = 220), es deci r de 2 a 3 veces más pequeños que l os valores medidos experimental mente. En el caso de lantánidos y actínidos l a di ferencia es mucho mayor, pudiendo llegar a ser de hasta un orden de magnitud. En l a figura 1. 12, se presentó una recopilación de valores experi mentales de los momentos cuadrupolares de los núcleos. La figura 3.13 muestra la comparación de la distri bución de momentos cuadrupolares, a través de los momentos reducidos:

Q,·cd

=

Q/(Z (R 2 ))

(3.38)

medidos en núcleos con Z o N impar. Esta magnitud, permite comparar las deform aciones nucleares, independientemente del tamaño del núcleo. En la figura anterior se observa que Q ,..., O cerca de los números mágicos, y que abundan más los núcleos prolatos.

120

M odelos 1111c/eore.1·. f\/l odl'lo.1· col ec1i110.1· y 11wdelo de co1H1.1·

Figura 3. 13: Valores experimentales del momento cuadrupolar reducido, cuya definición puede verse en la escala de ordenadas. Es una magnitud que permite comparar los momentos cuadrupol ares de los núcleos, independientem ente de su tamaño.

Para núcleos con un neutrón aislado se debería tener Q = O ya que el neutrón no tiene carga; si n embargo no sucede así experimental mente. Se puede suponer que el momento cuaclrupolar es debido al movimiento de los Z protones, encontrándose el neutrón aislado en una posición ciada por 1'/(A - 1) , con lo que se cu mple:

(3.39)

4 2 o sea, Q sn "' A - 113 , que predice valores de 10- a 10- barn. En capas con más de un protón indiv idual, se pueden sumar las contribuciones de cada nucleón, teniendo en cuenta que un hueco se comporta como Q = - Q"": Por lo tanto, como el número máx imo de protones en una ca pu es 2j + J, el momento cuadrupolar eléctrico de un núcleo con n .r protones en la

12 1

A111011io Ferrer Sorio

capa incompleta valdrá:

Q = Q s p ( .1 - -2n,.c ---2) 2J - 1 En la tabla 3.3 se muestran algunos valores ex perimentales de momentos magnéticos y momentos cuadrupolares e léctricos de a lgunos núcleos, que ilustran los conceptos desarro ll ados anteriormente. TABLA 3.3: Valores experimentales del momento di polar magnético y cuadrupolar eléctrico para varios núcleos.

núc leo J.l(J.lN)

Q (barn) núcleo

µ,(µN )

Q (barn)

n - 1, 91 -

::,' Co 4,72 +0,52

p

2,79 lM N b

6, 17 - 0, 37

"H 0,857 +0, 00288 rt>1Dy

- 0,48 +2,51

"O -1 , 89 - 0, 025 ttl>Lu 3, 17 +5,0

'" F e 0,09 z:i::,u

-0,38 +4, 936

En conclusió n, los va lores de los momentos µ y Q no los reproduce con precisión e l mode lo ex tre mo de partícula individual. Sin embargo este mode lo da la tende nc ia coITecta de dichos valores y da tambié n las variac iones re lativas observadas. Las diferenc ias e ntre valo res pred ic ho s y me didas experimenta les aumentan e n los lantánidos y actínidos, debido sobre todo a la deformac ió n nuc lear. Pa ra Z y/o N elevados las discrepanc ias con las predicciones de Q e n e l modelo de part ícula individual llegan a ser de hasta un orden de magnitud.

3.7.7 Hipernúcleos Los núcleos estables están compuestos por nucleo nes (protones y ne utrones). Tambié n se ha n visto muchos núcleos inestables, a nálogamente compuestos por protones y neutrones, en e l plot de Segré (plano Z - N ). Como se verá en física de partículas, además de nuc leones, existen partículas ba rióni cas extrañas,4 por ejemplo aquellas en las que uno de los tres quarks del protón (uud) o del ne utrón (udd), se ca mbia por un quark extraño, s, dando un hipe rón sigma E+ (uus) o un lambda Aº (1ids), que puede n crearse y ex istir en e l interior de un núcleo tras una inte racc ión a gran energía y reemplazar a uno de los nucleones. Por ejemplo, si un neutrón de un núcleo de he lio se cambia por un hipe rón A0 , se obtie ne un hipernúcleo ~ He, compuesto por dos protones, un ne utrón y un hipe rón A0 . Este hipernúc leo no se rá esta ble y se desintegrará necesari amente con una vida media igua l a la de la partícul a Aº (1115). El número 1 115 que se da e ntre pa ré ntesis representa la masa (redondeada) de Ja pa rtícula en Me Y; en este caso, el hipe rón A 0 tie ne una masa de 1 1 15 MeY. 4Se estud i:111 con m:ís deial le en el lema 16 dedicado a los hadrones.

122

Modelos 1111c/eares. Modelos colectivos y 111ode!o de cr1pa.1· En la figura 3. 14 , se muestra el primer hipernúc leo descubierto ( M . D anysz y J. Pniewski , Philosophica/ Magazine 44 ( 195 3) 348), en una emul sió n fotonu 100 kc V. La 1q>rcse11tac ion grtlfica de l