Antologia de Metodos Numericos

CREADOR Y ENCARGADO: EDWIN DE LA O LOBERA

CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN 1.3. CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y ERROR 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE 2.1 BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES. TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN 2.2 MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS (BISECCIÓN Y REGLA FALSA) 2.3 MÉTODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS ASÍ COMO SUS CRITERIOS DE CONVERGENCIA (NEWTON-RAPHSON, SECANTE) 2.4 APLICACIONES DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES 2.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES 3. INTERPOLACIÓN 3.1 INTERPOLACIÓN LINEAL 3.2 FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 3.3 MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS DE NEWTON PARA PUNTOS EQUIDISTANTES 3.4 APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN 3.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA LA INTERPOLACIÓN 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4.1 FORMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES 4.2 REGLA TRAPECIAL 4.3 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4.4 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA INTEGRACIÓN NUMÉRICA 5. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.1 ELIMINACIÓN GAUSSIANA 5.2 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN 5.3 MÉTODO DE GAUSS SEIDEL 5.4 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES 6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 6.1 MÉTODO DE JACOBI 6.2 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 6.3 MÉTODOS DE NEWTON-RAPHSON 6.4 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS RAZONES DE SU APLICACIÓN CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y ERROR ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

EXPOSITOR MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO

2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES. TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS (BISECCIÓN Y REGLA FALSA) MÉTODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS (NEWTON-RAPHSON, SECANTE) APLICACIONES DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

EXPOSITOR SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO DANIEL HERNANDEZ GARCIA CLAUDIA OJEDA SÁNCHEZ BRENDA LÓPEZ AGUILAR CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES.

3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

INTERPOLACIÓN INTERPOLACIÓN LINEAL FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS DE NEWTON APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

EXPOSITOR LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA JULIA IXCHEL DÍAZ ROSALES JHONATHAN MANUEL CORDOVA PEREZ EDWIN DE LA O LOBERA JUAN PABLO JIMÉNEZ CUPIL FRANCISCO ALEJANDRO MADRIGAL DGUEZ.

4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA FORMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES REGLA TRAPECIAL APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

EXPOSITOR JONATHAN GÓMEZ DOMÍNGUEZ ROBERTO DE LA O DE LA CRUZ ESDRAS GARDUZA GARCÍA. LUIS ARTURO DE LA CRUZ CRUZ

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ELIMINACIÓN GAUSSIANA MÉTODO DE GAUSS-JORDAN MÉTODO DE GAUSS SEIDEL APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

EXPOSITOR JAVIER ANTONIO ESQUIVEL GONZALES ARACELI PÉREZ CRUZ ROXANA HERNÁNDEZ ORAMAS EDGAR ESTEBAN GARCÍA SANTANA JULIA IXCHEL DÍAZ ROSALES

6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES MÉTODO DE JACOBI MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL. MÉTODOS DE NEWTON-RAPHSON. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

EXPOSITOR SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO DANIEL HERNANDEZ GARCIA CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES

INTRODUCCIÓN A medida que avanzamos a un nivel profesional encontramos las matemáticas más complejas desde una perspectiva real, es decir, los problemas que se plantean en la vida cotidiana, sobre todo en ingeniería, que abarcan como plano inicial el contenido matemático y aritmético para la solución de los problemas planteados. Como ingenieros no solo encontramos una solución a los problemas sino también una eficiente, aplicable teórica y prácticamente que indiscutiblemente se verá afectada por medios ajenos a la práctica, valores que tenemos en cuenta para concluir con éxito una situación, optimizándola gracias a métodos numéricos obteniendo una solución exacta y precisa del problema. En el trabajo a continuación, se plantea de manera sencilla los conceptos básicos para tener en cuenta y arrancar exitosamente el curso de métodos numéricos, avanzando a situaciones complejas para valernos por medios computacionales y desarrollando pequeños software para grandes soluciones. En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.

NOMBRES: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 1: 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

ALUMNO: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

ALUMNO: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

ALUMNO: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

ALUMNO: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE

“INSTITUTO TECNOLOGICO DE

VILLAHERMOSA” UNIDAD 1:

1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO MATERIA: MÉTODOS NUMÉRICOS

CATEDRÁTICO: ING. JOSE ROMAN ISLAS

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

CARRERA: ING. CIVIL

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO INTRODUCCIÓN A lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales. Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar. Aunque la perfección es una meta digna de alabarse es difícil si no imposible de alcanzarse. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: •Cálculo de derivadas •Integrales •Ecuaciones diferenciales •Operaciones con matrices •Interpolaciones •Ajuste de curvas •Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices Interpolaciones, Ajuste de curvas Polinomios, entre otros.

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: EXACTITUD Y PRECISION • Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero. Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero • Precisión.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Considerando que los métodos numéricos son técnicas iterativas, expresa qué tan cercana es una aproximación o una estimación a un valor, respecto a las aproximaciones o iteraciones anteriores del mismo. Por ejemplo: si leemos la velocidad del velocímetro de un auto, esta tiene una precisión de 3 cifras significativas y una exactitud de 5 km/h. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. La exactitud de una medición hace referencia a su cercanía al valor que pretende medir. La precisión está asociada al número de cifras decimales utilizados para expresar lo medido. Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados, “desplazados”; uno impreciso, resultados “ambiguos”, “difusos”. Por ejemplo: una pesa es exacta si nos entrega el peso correcto, sin agregarle ni quitarle. Asimismo, es más precisa en la medida que el aparato usado es capaz de detectar diferencias de peso más pequeñas. La exactitud y precisión exigibles a una medición, dependerán de los objetivos del estudio que la utiliza. La precisión de un resultado estadístico debe estar de acuerdo con la precisión de los datos originales y con las exigencias propias del proyecto que los usa. Es fácil cometer el error de responder usando más decimales que los contenidos en las mediciones iníciales, aumentando artificialmente la precisión por la propia capacidad de cálculo de los computadores. ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO Por otra parte, es de suma importancia cuidar que, durante el proceso de cálculo intermedio, no se pierda precisión innecesariamente. Es importante mantener el máximo posible de decimales, pues esto ayuda a controlar la aparición y propagación de errores numéricos que invaliden los resultados. Estos son errores de precisión y exactitud ajenos al proceso de medición inicial y son introducidos típicamente por los métodos numéricos usados y por la aritmética del computador que tiene una precisión finita para representar interiormente a los números. TIPOS DE ERRORES En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación. SE DEFINE COMO: Error = Valor real -valor estimado. En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor: Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero. Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como: Si remplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido. Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de: Es= (0.5x 102–2) %=0.5% Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado.

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO LOS ERRORES Es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud obtenida. •

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

ERROR ABSOLUTO. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. EA = / Vv – Va

ERROR RELATIVO.

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades. ER = EA = Vv

/ Vv – Va/ Vv

ERROR RELATIVO PORCENTUAL ERP = EA x 100 % Vv ERROR POR REDONDEO.

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta. Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos.

Proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decima. Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5.

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor. ERROR POR TRUNCAMIENTO Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada. Truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos. Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415. ERROR INHERENTE. Es el que se ocasiona debido a la imperfección de los instrumentos de medición o de cálculo utilizados. Cuando se mide una longitud con una cinta métrica con divisiones hasta el centímetro, el error por la apreciación del instrumento es un centímetro o medio centímetro (5 mm). Es decir, si mide 145,01 m, en realidad, se está diciendo que el valores 145, 01 ± 0, 01 o 145, 010 ± 0, 005. ERROR NUMÉRICO TOTAL Es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Para minimizar los errores de redondeo debe incrementarse el número de cifras significativas. El error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño.

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO CALCULO DE ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO EJEMPLO DE APLICACION: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9999 y 9cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10cm, calcular: a) Error Absoluto b) Error Relativo El error en la medición del puente es e= 10000 – 9999= 1cm Y para el remache es de e= 10-9= 1cm El error relativo porcentual es de €= 1/10000 * 100% = 0.1 % Y para el remache es de €= 1/10 * 100% = 10% Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen 1 error de 1cm el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho una buena medida para el puente. Ejemplo: Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08 x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual: EA = 0.10 x 102 - 0.08 x 102 EA = 2 = 0.2 x 101 ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20% 0.10 x 102

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA CARRETERA A FRONTERA KM. 3.5 CD. INDUSTRIAL NOMBRE: ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 1: 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO ERROR ABSOLUTO: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. ERROR RELATIVO. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. EJEMPLOS 1. Se dice que las medidas de un block son de (10)(20)(40). Y se le da a 3 personas a medir el block, la primera persona toma su medida y son de (11)(19)(41). La segunda persona toma sus medidas (9)(20)(39). La tercera persona toma la ultima medida (10.5)(21)(41). Calcular el valor absoluto y el valor relativo. 2. Las medidas de el muro según un arquitecto son de 30 m. se le mando a un albañil a tomar las medidas y son de 29.65. Calcular los errores absolutos y relativos.

3. Por ejemplo, si en una cinta métrica se lee 99.9 centímetros al medir una longitud de 100 centímetros, entonces el error relativo es |99.9-100|/100 = 0.001, ó 0.1%.

ALUMNO:

ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO CIFRAS SIGNIFICATIVAS Son todos menos los ceros a la izquierda: • • •

537 (Tres cifras significativas) 6,000 (Cuatro cifras significativas) 00027 (Dos cifras significativas)

Cifras significativas son todas las que se conocen con seguridad más una última que ya presenta incertidumbre. ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO ¿Es importante un error de ± 1cm al medir una longitud? No es lo mismo cometer este error al medir la estatura de alguien que al medir la distancia Tierra-Luna.

Como se simplifican las unidades, se dice que es adimensional (sin unidades). Normalmente, el error relativo se presenta como un porcentaje (%). La medida es aceptable si el error relativo es menor o igual a 5%. Este error es el que indica la calidad de una medida.

ALUMNO:

ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA CARRETERA A FRONTERA KM. 3.5 CD. INDUSTRIAL

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA CARRETERA A FRONTERA KM. 3.5 CD. INDUSTRIAL NOMBRE: GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 2: 2.2. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS (BISECCIÓN Y REGLA FALSA). CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.2. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS MÉTODO DE BISECCIÓN Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). ALGORITMO Para aplicar el método consideremos tres sucesiones definidas por las siguientes relaciones:

EJEMPLO NUMÉRICO

ALUMNO: GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.2. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS

MÉTODO DE REGLA FALSA En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante. EL « MÉTODO »  Se busca una solución de la ecuación f(x) = 0, una raíz de f. Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a 0 ,b 0 ] con f(a 0 ) y f(b 0 ) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz.  El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [a k , b k ] que sigue incluyendo una raíz de la función f.  A partir de un intervalo [a k , b k ] se calcula un punto interior c k :

ALUMNO: GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.2. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS

ALUMNO: GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO

NOMBRE: DANIEL HERNANDEZ GARCIA INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 2: 2.3. METODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES ASI COMO SUS CRITERIOS DE CONVERGENCIA (NEWTON - RAPHSON, SECANTE) CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3. METODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS ¿QUÉ ES EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON? El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. ¿POR QUÉ SE LLAMA MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON? El método de Newton-Raphson es llamado así por la razón de que el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro aequationum universalis Análisis que publico en 1690 y el cual contenía este método para aproximar raíces. Mientras que Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método escrito en 1671, pero publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado casi 50 años antes, aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton y se le reconoció posteriormente. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuación que se esta analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca. Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante a la de NewtonRaphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. Su principal diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código para encontrar raíces por medio de este método FÓRMULA Debido a que el método de la secante se basa en el método de Newton-Raphson, pero evitando el usar la derivada de la función. Lo anterior lo logra haciendo uso de la siguiente aproximación:

ALUMNO: DANIEL HERNANDEZ GARCIA

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3. METODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS Si se sustituye dicha aproximación en el lugar de la derivada en la formula de newtonRaphson, se obtiene lo siguiente:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

ALUMNO: DANIEL HERNANDEZ GARCIA

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3. METODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS EJEMPLO # 1 Utilice el método newton- raphson de la secante para encontrar una raíz real de la ecuación polinomial: F(x)=x3+2x2+10x-20=0. Utilizando la ecuación:

Utilice el método de la secante para encontrar una raíz real de la ecuación polinomial: F(x)=x3+2x2+10x-20=0. Utilizando la ecuación:

EJEMPLO # 2 Mediante 𝑥0 = 0

y

𝑥1 = 1

Los valores posteriores son los siguientes:

ALUMNO: DANIEL HERNANDEZ GARCIA

se calcula

𝑥2

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3. METODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS EJEMPLO Use el método de la secante para determinar la raíz de la siguiente función: 𝑖 = 1; 𝑥𝑖−1 = 0; 𝑥𝑖 = 1; 𝐸 = 0.001 Ea = Error Aproximado

𝑓 (𝑥 ) = 𝑥³ + 2𝑥² + 10𝑥 − 20 𝑥𝑖−1 = 𝑥𝑖 −

ALUMNO: DANIEL HERNANDEZ GARCIA

(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 )

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA CARRETERA A FRONTERA KM. 3.5 CD. INDUSTRIAL NOMBRE: CLAUDIA OJEDA SÁNCHEZ. INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 2: 2.4. APLICACIÓN A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.4. APLICACIÓN A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES INTRODUCCIÓN Uno de los problemas que se presentan con frecuencia en ingeniería es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma f(x)=0, donde f(x) es una función real de una variable x, con un polinomio en x. 1. f(x)= 4x ⁵ +x ³-8x+2 o una función trascendente* 2. f(x)=senx+ln3x+x³ FUNCIONES TRANSCENDENTES. Las funciones trascendentes contienen términos trigonométricos, exponenciales o logarítmicos o ambos de la variable independiente. MÉTODO DE BISECCIÓN. Formula: X M = (X I + X D )/2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. Formula: Xi+1=Xi-[f(xi)/f’(x)]=g(xi) EJERCICIOS 1. Se desea calcular la resistencia de dos zapatas, la primera es el cubo de la segunda, y la resistencia total de ambas debe ser de 6 toneladas. Calcular la resistencia de las dos zapatas. 2. Se nos piden calcular las fuerzas de dos columnas, el cuadrado de la primera columna mas la segunda columna debe alcanzar una resistencia de 11 toneladas

ALUMNA: CLAUDIA OJEDA SÁNCHEZ

NOMBRES: BRENDA LÓPEZ AGUILAR CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 2: 2.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

ECUACIÓN NO LINEAL Una ecuación lineal es cualquier ecuación que tenga alguna variable elevada al cuadrado, cubo, etc. Al graficar estas ecuaciones, se forman figuras de tipo parábola, hipérbola, etc. pero nunca una recta. MATLAB Es uno de los programas matemáticos más populares y completos. Esta aplicación te permite realizar cálculos complejos, la implementación de algoritmos, la comunicación con programas en otros lenguajes, o la creación de interfaces de usuario. Se trata de un lenguaje de alto nivel utilizado de forma matricial, empleado en universidades, centros de investigación y desarrollo, o en los entornos de ingeniería industria, electrónica y matemáticas.

CARACTERISTICAS DEL MATLAB Entre las características que podemos encontrar en MATLAB destacan:  Diversas herramientas para la exploración, diseño y resolución de problemas interactivos.  Funciones matemáticas para álgebra lineal, estadística, optimización e integración numérica.  Lenguaje de alto nivel para cálculo técnico.  Dispone de un gran número de librerías y funciones matemáticas.  Herramientas para la creación de interfaces gráficas de usuario personalizadas.  Facilidad en la obtención de gráficos en 2D y 3D.

ALUMNO (A):

BRENDA LÓPEZ AGUILAR CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional. EXCEL Microsoft Excel es una aplicación para manejar hojas de cálculo. Este programa es desarrollado y distribuido por Microsoft, y es utilizado normalmente en tareas financieras y contables. Es un software que permite crear tablas, calcular y analizar datos. Este tipo de software se denomina software de hoja de cálculo. Excel permite crear tablas que calculan de forma automática los totales de los valores numéricos que especifica, imprimir tablas con diseños cuidados, y crear gráficos simples. Excel trabaja con hojas de cálculo que están encuadernadas en libros de trabajo. Un libro de trabajo es un conjunto de hojas de cálculo y otros elementos, el cual contiene 16 hojas de trabajo implícitamente. Esta cantidad puede ser disminuida o incrementada según sea necesario. La hoja de trabajo cuenta con un tamaño máximo de 256 columnas y 16 384 filas. Se pueden insertar y eliminar hojas de cálculo, moverlas, copiarlas y cambiarles el nombre simplemente pulsando el botón derecho del ratón cuando esté colocado encima de una etiqueta de hoja de cálculo. De esta forma, un libro de trabajo puede tener tantas hojas como queramos y podremos llamarlas con el nombre que decidamos.

ALUMNO (A):

BRENDA LÓPEZ AGUILAR CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA CARRETERA A FRONTERA KM. 3.5 CD. INDUSTRIAL NOMBRE: LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 3: 3.1. INTERPOLACIÓN LINEAL CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.1. INTERPOLACIÓN LINEAL INTERPOLACIÓN LINEAL La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación general de Newton. Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1.

En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla.

Tenemos dos puntos en el plano y queremos encontrar la recta que pasa por ellos dos. Eso es la interpolación lineal. Supongamos que tenemos dos puntos caracterizados por (x,y): (x1,y1) (x2,y2)

ALUMNO: LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.1. INTERPOLACIÓN LINEAL Y queremos una ecuación lineal del tipo: y=ax+b Buscamos los valores de "a" y "b" para que pasen por los puntos: y1 = a x1 + b y2 = a x2 + b (Recordemos que x1, x2, y1, y2 son datos, las incógnitas ahora son "a" y "b") Restando ambas ecuaciones se llega a qué: a = (y1 - y2) (x1 - x2) Y remplazando esto en la primera ecuación se despeja: b = (x1 * y2 - x2 * y1) (x1 - x2) Es decir, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) es: y = [ (y1 - y2) / (x1 - x2) ] x + (x1 * y2 - x2 * y1) (x1 - x2) Tenemos una tabla doblada recargada en la pared y deseamos saber la altura de esta es determinadas partes de la tabla. Tenemos los puntos (3,4) y (-2,9) y queremos la recta que pasa por ellos. La formula para la pendiente es: a = (y1 - y2) (x1 - x2) a = (4 - 9) = - 5 / 5 = -1 (3 - (-2))

ALUMNO: LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.1. INTERPOLACIÓN LINEAL Y ahora la ordenada al origen "b": b = (x1 * y2 - x2 * y1) (x1 - x2) b = (3 * 9 - (-2) * 4) = 35 / 5 = 7 (3 - (-2) Así obtenemos que la recta es: y=-x+7 ¿ESTARÁ ESTO CORRECTO?

Para x=3 y=-3+7=4 Para x= -2 y = - (-2) + 7 = 9 Otros valores X= -(-1) +7 = 8 ALUMNO: LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA

ING. CIVIL Carrera METODOS NUMERICOS Materia: 3.2 FORMULA DE INTERPOLACION DE LAGRANGE Temas de la unidad: Julia Ixchel Díaz Rosales Alumno:

10300438 # control

ENERO JUNIO 2012 Periodo: JUAN ROMAN ISLAS Asesor:

VILLAHERMOSA TABASCO

Julia Ixchel Díaz Rosales

“Fórmula de interpolación de Lagrange” Existen situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, predecir la existencia de otros valores con aproximación adecuada. La fórmula de interpolación permite calcular de manera aproximada los valores de la función f(x). Y consiste en sustituir la función g(x) que pudiera convenir. 𝑦= +

+ +

(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) … (𝑥 − 𝑥𝑛) 𝑦1 (𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4) … (𝑥1 − 𝑥𝑛)

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) … (𝑥 − 𝑥𝑛) 𝑦2 (𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥4) … (𝑥2 − 𝑥𝑛)

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥4) … (𝑥 − 𝑥𝑛) 𝑦3 + ⋯ (𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥3 − 𝑥4) … (𝑥3 − 𝑥𝑛) (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) … (𝑥 − 𝑥𝑛 − 1) 𝑦𝑛 (𝑥𝑛 − 𝑥1)(𝑥𝑛 − 𝑥2)(𝑥𝑛 − 𝑥3) … (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 − 1)

Estas son las coordenadas de los puntos que definen la función tabular y Y es el valor de esta función para un valor dado de x. Puede demostrarse que si los valores de x están igualmente espaciados, la fórmula coincide con la de Newton.

Ejemplo. En un levantamiento topográfico se tomaron los siguientes puntos de la poligonal de apoyo, los cuales se encuentran ubicados en la siguiente tabla, encontrar el valor de Y para x=2. x o 1 4 6

y 2 3 18 38

Teniendo 4 puntos en este ejemplo, la fórmula de interpolación de Lagrange se reduce a:

𝑦= +

(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) 𝑦1 + 𝑦2 (𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4) (𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥4)

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥4) (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) 𝑦3 + 𝑦4 (𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥3 − 𝑥4) (𝑥4 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥2)(𝑥4 − 𝑥3)

Sustituyendo los valores de la Tabla, se obtiene:

𝑦= +

(2 − 1)(2 − 4)(2 − 6) (2 − 0)(2 − 4)(2 − 6) 2+ 3 (0 − 1)(0 − 4)(0 − 6) (1 − 0)(1 − 4)(1 − 6)

(2 − 0)(2 − 1)(2 − 4) (2 − 0)(2 − 1)(2 − 6) 18 + 38 = 6 (4 − 0)(4 − 1)(4 − 6) (6 − 0)(6 − 1)(6 − 4)

Entonces, para x=2, y=6

Julia Ixchel Díaz Rosales

NOMBRE: JHONATHAN MANUEL CORDOVA PEREZ INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 3: 3.3 MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS DE NEWTON PARA PUNTOS EQUIDISTANTE CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.3 MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS DEFINICION La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. El problema de la interpolación consiste en encontrar el valor de la función f(x) para un valor de x incluido entre dos valores consecutivos de la tabla, xk