antologia de calculo vectorial tecnologico de estudiios superiores de valle de bravo

ING. ELECTRICA

CALCULO VECTORIAL

ANTOLOGIA

Tecnológico de Estudios Superiores de Valle de Bravo

Ingeniería Eléctrica

Materia: calculo vectorial Antología de cálculo vectorial Ingeniero en sistemas. Roque Matías López Elaborado por: TRINIDAD HERNÁNDEZ ABRAHAM Grupo 301

TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Unidad 1

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Cantidad: valor de una magnitud representativa de magnitudes Vector: son aquellos donde se necesita indicar claramente la dirección y el sentido en que actúan. Características:    

Punto de aplicación u origen Magnitud, intensidad o modulo del vector indica su valor, se representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional. Dirección, señala la línea que actúa, puede ser horizontal, vertical u oblicua. Sentido, queda señalado por la punta de la flecha e indica hacia donde actúa el vector.

Vectores coplanares Si se encuentran en el mismo plano, o en dos ejes. No encuentra coplanares, si están en diferente plano. Es decir en tres ejes (x, y, z). Vectores libres: son aquellos que se localizan en un punto fijo en el espacio, además de que no tienen ningún punto en común con otros vectores. Vectores deslizantes: son aquellos que se pueden desplazar o deslizar a lo largo de su línea de acción es decir en su misma dirección. Sistema de vectores concurrentes o angulares Un sistema de vectores es concurren cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruzan en algún punto de cruce constituye el punto de aplicación de los vectores. Sistema de vectores coliniales Se tiene un sistema de vectores coliniales cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Representación de los vectores Si queremos representar un vector en una cartulina no usaremos la misma escala que si la hacemos en una hoja de nuestro cuaderno. Propiedad de los vectores A) Igualdad de los vectores: dos vectores son iguales si su magnitud, dirección y sentido B) Adición: solo se puede sumar dos o más vectores si tienen las mismas unidades de medida C) Negativo de un vector: se define como aquel vector que sumado al vector da la resultante cero.

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D) Ley conmutativa de la adición de los vectores: cuando se suman dos vectores, el resultante de la adicción es la misma, sin importar el orden el que se sumen los vectores. Método grafico del paralelogramo La resultante, es decir aquel vector capaz de sustituir al usar el método grafico basta con trazar uno de los componentes f1 y f2 utilizando. Una escala conveniente y después una paralela a FR a partir de f2 y una paralela a f2 a partir de f1.

Método del polígono Para hallar la resultante podemos tomar como base cualquiera de los 9 vectores, si tomamos a f1 entonces el extremo de f2. Método del triángulo: es un polígono determinado por tres rectas que se cruzan dos a dos entre los puntos y los puntos son vectores y los segmentos de la recta determinados son los de triángulos. Magnitud escalares -Son acompañadas por Unidad y magnitud 40 kg.

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Cantidad escalar -Son los valores que representan distintos objetos.

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Algebra de vectores Un vector es un objeto matemático y magnitud. La palabra vector se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R=R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1,x2,x3). En R. La suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a+b =(a1+a2) +(b1+b2)= (a1+b1, a2+b2) El producto escalar v

Suma de vectores

w

Resta de vectores Si v y w son dos vectores cualquiera, entonces la diferencia de w con respecto a v se define como v – w= v + (- w).

-

W

+w

V – w =v + (-w) 7-5=7+ (-5) 2=2

(w1 + w2, v1 + v2) V + w = (v, w, + v2, w2) TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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K = Escalar Kv = (k, kv2) Z

z

y

x

x

Derecha

y

Izquierda

Ejercicio: Trazar un sistema de coordenadas derecho y localizar los puntos cuyas coordenadas son: A) B) C) D) E) F) G) H) I) J) K) L)

(3,4,5) (-3,4,5) (3,-4,5) (3,4,-5) (-3,-4,5) (-3,4,-5) (3,-4,-5) (-3,-4,-5) (-3,0,0) (3,0,3) (0,0,-3) (0,3,0)

Z

Y

X

Trazar los siguientes vectores con los puntos iniciales ubicando el origen. a) V1= 3,6 b) V2=-4,-8 c) V3=-4,-3 d) V4=5,-4 e) V5=3,0 f) V6=3, 4,5 g) V7=3, 3,0 Vector.

B=4N

y

A=2N

 Magnitud  Dirección  Sentido

R=sqrt (a^2+b^2) TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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R=sqrt(16 +4) R=2 sqrt(5) y (v1+w1,v2+w2) w1,w2

v1,v2

v+w=(v1+w1,v2+w2)

x

asi por ejemplo si v=1-2 y w=7,6 entonces. v+w= (8,4)= (v1+w1,v2+w2) = 1+7, -2+6

Si v=(1,-3,2) y w=(4,2,1) entonces. 1.-

v+w = (1+4, -3+2, 2+1 ) = (5, -1, 3)

2.- 2v = v (1,-3, 2) = (2, -6, 4) 3.- -w = w(4, 2, 1) = (-4, -2, -1) 4.- v-w = (1-4, -3 -2, 2 -1) = (-3, -5, -1) Kv= (kv1 , kv2) Algunas veces un vector se coloca de modo que su punto inicial no este en el origen si el vector p1,p2 tiene como punto inicial a p1,x1,y1 p1(x1,y1,z1) y como punto terminal p2(x2,y2,z2) entonces P1p2= (x2-x1 , y2-y1, z2-z1) P1p2 se obtienen al restar las coordenadas del punto inicial a las coordenadas del punto terminal. z

P1 (x1,y1,z1)

op1

P2 (x2,y2,z2) Op2

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y x ejercicio. Las componentes del vector V=p1p2 con punto inicial p1(2,-1,4) y punto termianl p2(7,5,-8) son:

V=(7-2 , 5-1 , -8-4) V=[(7-2) , (5+1) , (-8-4)] V=(5 ,6 , -12)

Propiedades de las operaciones vectoriales. Si u,v y w son vectores en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensional y k y L son escalares, entonces se cumplen las siguientes relaciones. Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K espacio vectorial, si en él se han denido dos operaciones, una interna y otra externa, llamadas respectivamente suma y producto por un escalar que pasamos a describir. La suma de dos elementos (o vectores) u;v2 V da lugar a otro elemento de V , que denotamos u + v , y que tiene las propiedades. Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tupas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión. a.- u+v = v+u b.- u+o = 0+u = u c.- (u+v) w = u+(v+w) d.- u+(-u) = 0 e.- k(lu) = (kl)u f.- k(u+v) = ku+kv g.- (k+l)u = ku+lu h.- 1u= u. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Norma de un vector. la longitud de un vector u a menudo se denomina norma de u y se denota por llull=√ nota: un vector de norma 1 se denomina vector unitario. Si p1(x1,y1,z1) y p2(x2,y2,z2) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia de entre los puntos es la norma del vector p1 y p2 ya que: P1,p2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) )

d=√(

(

)

(

)

ejercicio. La norma del vector u= -3,2,1 es )

llull=√(

( )

( )

llull=√ ||u||=√

= sqrt 14 = 3.7416

La distancia d entre los puntos P1(2, -1, -5) y P2 (4, -3,1) d= √( d=√

) (

(

)

(

)

)

d=√ d= √ ||ku||=||k|| ||u|| 1.- encontrar la norma de v. a.- v=(4,-3) = ||v||= √

(

)

b.- v=(2,3) = ||v||= √

√

√ √

c.- v(-5,0) = ||v||= √ d.- v(2,2,2) = ||v||= √( )

√

e.- v=(0,6,0) = llvll= √ TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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2.- encontrar la distancia entre p1 y p2 P1 (3.4) P2 (5,7) )

d= √(

(

)

√

√

√

P1 (-3,6) P2 (-1,-4) (

d=√(

)

(

)

√

p1 (7,-5,1) P2 (-7,-2,-1) d=√

3.- sean u= 2,-2,3

v= 1,-3,4 w= 3,6,-4

En cada inciso evaluar la expresión dada: a.- llu+vll

b.- llull+llvll

=√

=√

√

c.- -ll2ull+llull

d.- -ll3u+5v+wll

=16.4924

= 32.3419

Producto punto de vectores. Sean u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio bidimensional o tridimensional, y suponer que estos vectores se colocan de modo de sus puntos iniciales coinciden. Por ángulo entre u y v se entiende el ángulo determinado por u y v que satisfacen. u ө

u

Ɵ

Ɵ u

v

v

v v

u Ɵ Producto cruz de vectores. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Si u= (u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) son vectores en el espacio tridimensional entonces se da el producto cruz de vectores. En Matemáticas, el producto cruz, producto vectorial, o producto vectorial de Gibbs es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Suma de vectores b=4N

2n a=2N

4n

w1,w2

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(v1

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Construir la gráfica de una curva plana en forma paramétrica Ecuaciones paramétricas en la línea recta Es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas. Curva: es el caso límite poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curvas planas y curva alabeada. La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundir. Se define como ecuación paramétrica Ecuación vectorial de la recta     

(x, y)=(p1, p2)+t(v1, v2) (x, y)……..cualquiera de los infinitos puntos de la recta. (p1, p2)….coordenadas del punto conocido. T…………parámetro. (v1, v2)….coordenadas o componentes del vector director.

Ejemplo: (x, y)= (2, 3)+t(4,5) T=0 (x, y)= (2,3)+0(4,5)

x=2

y=3

x=7

y=5

T=1 (x,y)=(2,3)+1(4,5)

Para sumar componentes T=2 (2,3)+(8,10) (10,13) Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas Expresión matemática de la recta paramétrica X=p1+tv1 Y=p2+tv2 TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Vamos a partir de la ecuación vectorial (x,y)=(p1,p2)+t(v1,v2) Por lo tanto (x,y)=(p1+tv1),(p2+tv2) Entonces para esta igualdad se cumpla tenemos: x=p1+tv1

y=p2+tv2

Ejemplo: asignar un valor a t= 0, 3 x=3+2t 3 5

9 7

y=4+5t 4 9 19 6 Ecuación continúa de la recta =

Ejemplo:

P1=(-3,1) Resuelve por proceso dando valores a x=3 y x=5 3+3/2=y-1/3

5+3/2=y-1/3

3*3=y-1

4*3=y-1

9+1=y

12+1=y

Ejercicio, obtener la ecuación cartesiana de la curva definida por las ecuaciones paramétricas. X=2t-3 y Y=4t-1

y=4(x+3)-1

(x,y)=(-3)+t(2)

y=(4x+12)/2-1

(X+3)/2=t

y=2x+6-1 Y=2x+5 ecuación cartesiana

Obtener una ecuación cartesiana de la gráfica de ecuaciones paramétricas. X=2cost π

tm=0

Y=2sent

2π

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tm=2π

X=2cost Página 14

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Y=2sent Identidad trigonométrica

(

)

Consideren las ecuaciones paramétricas x=coshipt y=senhipt. Obtener la ecuación cartesiana.

Derivada de una función paramétrica X=f(t)

Y=g(t) Si

se pueden dividir ambos miembros de esta ecuación entre

y obtener

. a) cerrada pero no simple

b) Simple pero no cerrada

c) Ni simple ni cerrada

Ejemplo: dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas.

Tabulación y grafica t -2

0

-1

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-1 0 1 2

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-3 -4 -3 0

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-0.5 0 0.5 1

Derivadas paramétricas Sea la función paramétrica: X=f(t)

y=g(t)

Donde t derivada Donde dy/dt es la derivada de “y” con respecto a “t” y dx/dt es la derivada de “x” con respecto a “t”. Ejercicio: dy=2t (

(

)

) dx=cos(t+2)

Coordenadas polares y graficas Este sistema es importante debido a que ciertas curvas tienen los conjuntos dados de coordenadas polares, pueden representarse mediante una ecuación, como se verá en la sección. P(r,ϴ)

(x,y)……..(r, ) (2,4)……( √ ,63°20´´6´)

Ejemplo: Localice cada uno de los siguientes puntos que tienen los conjuntos dados de coordenadas polares: y a) 2, b) 5, c) 1, TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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d) 3,

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-x

x

e) 4, f)

-y √

al dividir miembros a miembros las ecuaciones de (1)

Ejemplo: Cuya representacion en coordenadas cartesianas es ( √ ) para obtener las coordenadas polares (r,ϴ), donde r>0 y 0 se aplica (2) y (3): √( √ )

( )

-1/2=-30°

√ R=2

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FUNCIONES VECTIRIALES DE UNA VARIABLE REAL OBJETIVO: RECONOSE UNA FUNCION VECORIAL CONTESTOS Y MANEJARLA COMO UN VECTOR

EN

DISTINTOS

3.1 Definición de una función vectorial de una variable real Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es:

De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2, f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que:

Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como:

Y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como:

Un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial. Usualmente cualquier vector adquiere la forma general F=A + B + C. Cuando los valores de A, B y C dependen de un solo factor, sea t, entonces la ecuación puede ser escrita como F(t) = x(t) + y(t) + z(t) Un vector de esta forma es llamado función vectorial de una variable real, porque el valor del vector depende de una sola variable, aquí esta variable es t. El valor de la función variará con cada cambio en el valor de t. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Los valores de x(t), y(t) y z(t) se llaman componentes o funciones componentes de F(t). Algunas propiedades de la función principal del vector dependerán de las funciones componentes. I à Si todas las funciones componentes de una función vectorial F(t)son continuas, sólo entonces la función F(t) es continua. I Ià Para? encontrar la derivada de una función dada, necesitamos encontrar la derivada de los componentes individuales. Esto es, para F(t) = x(t) + y(t) + z(t)

F‟(t) = x‟(t) + y‟(t) + z‟(t)

Una función valorada vectorial de dos dimensiones, esto es, una función vectorial sea k, una función vectorial de una variable en dos dimensiones puede ser escrita como f(k) = (2k,-k). Aquí, en lugar del 2 puede utilizarse otra constante. Una función vectorial de dos dimensiones toma un plano y los vectores unitarios que denotan el plano son Y. Esto significa que el rango de tal función es bidimensional. Un concepto interesante en relación a las funciones vectoriales es que incluso un vector multidimensional puede ser transformado en un vector de dos dimensiones. Supongamos una función f(x, y, z). Una manera de convertirla en una función de dos dimensiones es (x – y, x22/ z). Funciones vectorial y curva en r3 Se introdujeron las ecuación para métrica al considerar una partícula que se mueve en un plano de modo que las coordenadas (x, y) de su posición en cualquier instante t están determinadas por las ecuaciones. ( )

( )

Esta idea se pude extender al espacio tridimensional, donde las coordenadas (x, y) de la posición de la partícula en cualquier tiempo t están dadas por las tres ecuaciones paramétricas. ( )

( )

( )

Para cualquier posición de la partícula existe en un vector y los puntos terminales de las representaciones de la posición de estos vectores determinan una curva recorrida por la partícula. Esta idea nos conduce a considerar una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su contra dominio es un conjunto de vectores. A esta función se le llama función vectorial. 3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polares tenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo. La longitud de estas rectas forma la coordenada radial del sistema, es decir, „r‟ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).

Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva. La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r. Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetría de la curva: 1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cual ya esté trazado. Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar. 2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo. Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son los cardioides, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc. Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3cos(2t) Primeramente, debemos tratar de analizar la ecuación. Las curvas polares tienen un patrón fijo y mediante el análisis de la ecuación dada, puede identificarse el tipo de curva. La ecuación anterior es una Rosa polar. Las Rosas polares también pueden tener un número par o impar de pétalos. Con el fin de determinar el número de pétalos que contiene el gráfico, necesitamos calcular a n. Si n es un par entero, entonces la curva tendrá 2.n número de pétalos, de lo contrario contendrá un número n de pétalos. En el ejemplo anterior tenemos que n = 2 por lo tanto, la curva también tendrá2.n número de pétalos, es decir, 4.

Función vectorial Sea f, g y h funciones reales de la variable real t. entonces se define la función ( ) ( ) ( ) donde t es cualquier numero vectorial R por medio de ( ) real del dominio común de f, g yh. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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En el plano, se define una función vectorial R2 mediante donde t pertenece al dominio común de f y g.

( )

( )

( )

Ejemplo: Si R es la función definida por ( )

(

√

)

( ) ( ( ) Si ( ) √ ) , entonces el dominio de R es el conjunto de vectores de t para los cuales f(t), g(t) y h(t) están definidos como f(t) esta definida para t>2, g(t) está definida para todo número real diferente de 3, y +. h(t) está definida para todos los números positivos, el dominio de * La ecuación ( )

( )

( )

( )

Se denomina ecuación vectorial la cual describe la curva definida por las correspondientes ecuaciones paramétricas; esto es, una curva puede definirse por medio de una ecuación vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Si en la ecuación, n(t)=0 para todo t del dominio de R, entonces la curva c yace en el plano xy y está definida por las correspondientes paramétricas. La curva plana definida por la ecuación vectorial ( )

(

)

(

)

También puede definirse por las ecuaciones paramétricas Una ecuación vectorial de una curva proporciona una dirección a la curva en cada punto. Esto es, si se piensa que la curva es descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida del tiempo, de modo que al vector R(t) se le llama vector de posición. ( )

(

)

(

)

Y

X

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Al eliminar t de las ecuaciones paramétricas se obtiene 3 ecuaciones en (x,y,z) denominada ecuaciones cartesianas de la curva c. la gráfica de cada ecuación cartesiana es una superficie, c es la intersección de dos superficies. Las ecuaciones de cualesquiera dos superficies que mantienen c pueden considerarse como las ecuaciones que definen a c. Ejercicio: Dibuje la curva que tiene la ecuación vectorial . X=2cost

x/2cos=t

( )

y=2sen(x/2cos)

Y=2sent Z=t

z=x/2cos

T

X

y

Z

0

2

0

0

1/2π

0

2

1/2

Π

-2

0

Π

3/2 π

0

-2

3/2 π

2π

2

0

2π

5/2 π

0

2

5/2 π

3π

-2

0

3π

7/2 π

0

-2

7/2 π

4π

2

0

4π

y=2senx/2cos

Z

y

x

Ecuación cartesiana

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(

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) ( )

( ) Resuelve: ( ) constantes deferentes a 0

( )

donde a, b y c son (

( Dibuje la cubica alabeada que tiene la ecuación vectorial

t

x

y Z

0

0

0 0

1

1

1 1

2

2

4 8

( )

Definición de producto punto El producto de dos vectores A y B, denotado por A.B, se define como sigue: 1.- Si A= (a1. a2) y B= (b1. b2) son dos vectores de v2, entonces A.B=a1b1+a2b2. 2.-Si A= (a1, a2, a3) y B= (b1, b2, b3) son dos vectores de v3, entonces. A.B= a1b1 + a2b2 + a3b3 Ejemplo: Producto cruz Operación vectorial para vectores de v3, tiene aplicaciones en la geometría, el movimiento planetario, la electricidad, el magnetismo y la mecánica. A continuación. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Se estudiara esta operación junto con sus propiedades si A y B son dos vectores. Si A= (a1, a2, a3) y B= (b1, b2, b3), entonces el producto cruz de A y B, denominado por AxB, está dada por AxB= (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1) Ejemplo: si A= (2,1,-3) y B=(3, -1, -4), entonces de la definición es: AxB= (4 -3, 0 -8, -2 -3) AxB= (1, -8, -5) o AxB =(1, -17, -5) =i,-17j, -5k Definición de las operaciones con funciones vectoriales Dadas las funciones vectoriales F, G y las funciones reales F y G: 1) Si la suma de F y G, denotada por F+G, es la función vectorial definida por ( )( ) ( ) ( ) 2) La diferencia de F y G, denotada por F-G, es la función vectorial definida por ( )( ) ( ) ( ) 3) El producto de F y G, denotada por F.G, es la función vectorial definida por ( )( ) ( ) ( ) 4) El producto cruz de F y G, denotada por FXG, es la función vectorial definida )( ) ( ) ( ) por ( 5) El producto de f(t), denotada por ∫f, es la función vectorial definida por ( )( ) ( ) ( ) )( ) 6) La función compuesta de F y G, denotada por F 0 ᴽ, es la función ( ( ( )) Ejemplo: ( ) Dada ( ) () () √ , ( ) √ , , calcule a) (F+G)(t); b) (F-G)(t); c) (F.G)(t); d) (FXG)(t); e) (Ff)(t); (F)(Gof)(t). a) (F+G)(t)= ( b) (F-G)(t)= ( c) (F.G)(t)= ( ( d) (FXG)(t)= ( ) =( e) (Ff)(t)=

) )

( ( (

)) √

) ) ) )

√ √

(√

( √ ) ( ) (√ ) √ )

(

)

f) (Gof)(t)= Producto cruz

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ANTOLOGIA

Por tanto, la fórmula del producto cruz puede escribirse como AXB=

3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial. Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales. Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo „t‟ porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo. Entonces la derivada de esta función se denota como, lim = [ (t + h) - (t)]/ h Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto. Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en „t‟. 2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la función dada es diferenciable para ese intervalo. Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo cerrado. Ahora diferenciemos una función valorada vectorial. (t) = t cos (t), −2 sin (t)> f(t) = t cos (t) g(t) = −2 sin (t) TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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d(f(t))/ dt = cos (t) – t sin (t) d(g(t))/ dt = −2 cos (t) (t) = < cos (t) – t sin (t), −2 cos (t) Existen ciertas propiedades de la derivada de una función vectorial. Algunas de ellas se analizan a continuación. Asuma que Y y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de tiempo „t‟. También que es una función valorada real que puede ser diferenciada en el instante de tiempo „t‟, y que s es una cantidad escalar. Entonces: La diferenciación del producto de una cantidad escalar con una función vectorial es producto de esa cantidad escalar con la derivada de la función vectorial.

2. La diferenciación de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones vectoriales.

Esta regla también es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales. 3. La diferenciación del producto de una función vectorial y una función valorada real es igual a la suma del producto de la función real con la derivada de la función vectorial y la derivada de la función real con la función vectorial.

Definición de la derivada de una función vectorial si R es una función vectorial, ( ) ( ) denotada por R‟ y definida por ( ) Si este límite existe La notación dtR(t) se emplea en ocasiones en lugar de R(t) se emplea en ocasiones en lugar de R(t). El teorema siguiente se deduce de la definición. Si R(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Ejercicio: Si R(t)=(2)-sen(t)i+cos(t)j-t^2k, entoces R‟(t)=costi-sentj-2tk Teorema de la derivada de la suma de dos funciones vectoriales si R y Q son dos funciones vectoriales diferenciales en un intervalo en R + Q es diferenciable en el ( ) ( ) intervalo, y , ( ) ( ) Teorema de la derivada del producto de dos funciones vectoriales Si R y Q son dos funciones vectoriales diferenciables en un intervalo, en toces R.Q ( ) ( ) ( ) ( )es diferenciable en el intervalo , ( ) ( )- , Teorema la derivada del producto de una función real y una función vectorial *, ( )-+*, ( )-+

Si R es una función vectorial

,

( ) ( )

( )

La derivada del producto cruz de dos funciones vectoriales ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( )

( )

La regla de la cadena para funcione vectoriales ( ) Si ( )

(

,

( )-

, ( )

( )

( )

)

, ( )-

derivada

Ejemplo: ( )

(

))

( )

( ) ( )

Suma: , ( )

( )-

(

)

(

)

Por producto ( ) ( )

( ) ( )

( ),

-

( )

( )

, ( )

( )-

(

)(

, ( )

( )-

(

)

( )

( )

)

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, ( )-, *,

( )-,

,

( )-

CALCULO VECTORIAL

( )( )-

, ,

( )

( )-, ( )-,

( ),

( )( )-

,

( )-, ( )-,

*,

ANTOLOGIA

( )

,

( )-,

( )-

( )-

,

( )-,

( )-

( )-

Ejercicios: ( )

( ,

*,

( -,

) )

-

, -,

( ) -

,

-

,

-,

-

,

-,

-+

3.4 Integración de funciones vectoriales Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como:

Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada. La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,

Aquí la integración se hace con respecto a „t‟, la cual es la variable. Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para que la integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de „t‟ está incrementándose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,

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ANTOLOGIA

El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces

si, f R en [a, b]. Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r‟(t) = - y r(0) = + 2 . Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar „r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales, r‟(t) = r(0) = Ahora integremos r‟(t) como, r‟(t) dt = dt - dt + dt r(t) = Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como, r(0) = = c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2 Entonces la función r(t) se calcula como . Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario. De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado. Integral definida Si Q es la función vectorial determinada por Q (t)= f(t)i + g(t) j + h (t)k Entonces la integral indefinida de q (t) está definida por: Esta definición es consistente con la definición de la integral definida por la real debido a que si se obtiene la derivada en los dos miembros de (4) con respecto a t, resulta. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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dt∫ ( )

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∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

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¡

f(t)+jg(t)+kh(t) y se obtiene una constante escalar arbitraria ∫ Donde de ( )

( )

( )

( )

es un vector constante ordinario

Ejemplo: ( ) = =1/2

j+ k+c

=

+f( ( ) ∫

( ) ∫

∫

=

3.5 Longitud de arco Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta es una estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente. Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación, La primera derivada de la función será, Tenemos la longitud del arco de la función como, Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t). TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Sin embargo, tenemos, Esto puede ser escrito como, La ecuación anterior puede ser aproximada mediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial, Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ n Por lo tanto, se puede concluir que, Esto implica que tenemos, La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta. La longitud del arco también está representada por la ecuación, En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que, Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente. Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s)) Será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco. Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p‟2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p‟(t(s))/ ds Esto significa que, | p2 (s) | = | p‟(t) |/ (ds/ dt) Después de haber visto un montón de fórmulas, pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente. Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0

(t) = ←cos (t)/ , -sin (t)/ , 0> (t)= 1/

(t) = ←cos (t), -sin (t), 0>

= ←sin (t)/ , cos (t)/ , 1/ > X ←cos (t), -sin (t), 0> = 3.7 Curvatura La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto. Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada. Curvatura de una Recta: Un círculo de radio l/ k es formado por la recta en caso que tenga la misma curvatura en todos sus puntos. En cada uno de los puntos la curvatura puede ser calculada como

Consideremos algunos de los casos de la siguiente fórmula: En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma

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En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.

En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.

En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.

En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.

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En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.

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Unidad 4

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Analizar de manera formal campos escalares vectoriales. Calcular derivadas parciales y direccionales determinando gradientes, planos tangentes y valores de una función. 4.1 definición de una función de varias variables Definición Una función de varias variables es (es un escalar) es decir pertenece a R (Toma varios devuelve 1). Si entonces forma elementos del dominio y esto lo lleva a un número. Toma muchas variables devuelve un valor. Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir {f(x,y)│(x,y) ε D} Definición Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x,y) en D le corresponde un único número f(x,y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x,y) es el recorrido de f. Gráficas Otro modo de representar el comportamiento de una función de dos variables es mediante su gráfica. Definición Si es una función de dos variables con dominio el conjunto de puntos en tal que

, entonces la gráfica de y esta en .

es

Ejemplo 

Hallar y trazar el dominio de

Restricciones Entonces {

}

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ANTOLOGIA

Otra forma de visualizar el comportamiento de una función de dos variable es considerando su gráfica.

Definición Si f es una función de dos variables con dominio D la gráfica son los puntos (x,y,z) que pertenecen a R3 tal que z = f(x,y) Ejemplo Trace la gráfica f(x,y) = 6-3*x-2*y -> (línea en R3) Es un plano z = 6-3*x-2*y graficamos los interceptos con los ejes si x = y = 0 -> z = 6 -> (0,0,6) si x = z = 0 -> y =3 -> (0,3,0) si y = z = 0 -> x = 2 -> (2,0,0) Hallar y trazar el dominio de

Restricción: Por lo tanto:

{

}

Grafica:

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4.2 grafica de una función de varias variables Gráfica de funciones de dos variables Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional. Definición (gráfica de funciones de dos variables) La gráfica de una función que

es el conjunto de puntos

y

tales

. Es decir,

Observación : La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano cada punto

en

inversa, a cada punto (figura 1).

es

, el dominio de

le corresponde un punto

.En consecuencia, a

en la superficie y, a la

en la superficie le corresponde un punto

en

4.3 curvas y superficies de nivel El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”. Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente. La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por: Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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ANTOLOGIA

configuración. En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante). 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica

4.5 Derivada direccional

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CALCULO VECTORIAL

ANTOLOGIA

La derivada direccional de f en en la dirección de un vector unitario u= es si

el

límite

existe.

Teorema Si f es una función diferenciable de y , entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u= y

Demostración: Si definimos una función g de la variable individual h por g(h)=entonces, por la definición de una derivada tenemos Por otra parte podemos escribir g(h) = f (x,y), donde x= , de modo que la regla de la cadena da

si ahora podemos h=0, g'(0)=comparando las TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

entonces ecuaciones

x

= , veremos

y=

y que

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ANTOLOGIA

si el vector unitario u= forma un ángulo θ con el eje x positivo (como se ve en la siguiente figura) entonces escribimos u= y lfa formula se convierte en Minimización de la derivada direccional

En una función "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que "f" cambia más lento y encontrar la mínima razon d cambio.

4.6 Derivadas parciales de orden superior

Al igual que sucede con las funciones de una variable, es posible hallar derivadas par-ciales de una funci´on de varias variables y de ´ordenes superiores a uno.En concreto, para una función f (x,y) hay cuatro posibilidades de obtener la derivada parcial segunda:

a)Dos

b)

veces

Dos

respecto

veces

respecto

de

de

. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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c)

d)Respecto

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Respecto

de

de

y

ANTOLOGIA

xy

respecto

de

y

respecto

de

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena

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Derivación

de

CALCULO VECTORIAL

la

función

compuesta.

ANTOLOGIA

Regla

de

la

cadena

Si se tienen dos funciones u f y y xgu. Entonces: xg fy es una función compuesta o función de función, ysu derivada con respecto a x está dada por: dxdududydxdy A esta expresión se le conoce como “Regla de la Cadena” La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas funciones. Derivación de funciones Dada y = f(x) , se puede bt g yat f x

expresadas en forma paramétrica representar en forma paramétrica como:

4.8 Derivación parcial implícita

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ANTOLOGIA

4.9 Gradiente

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio. Una generalización del gradiente de funciones en un espacio euclidiano que tienen valores en otro espacio euclidiano es el jacobiano. Una generalización de una función de un espacio de Banach a otro es la derivada de Fréchet. Interpretaciones Considere la posibilidad de una habitación en la que se da la temperatura de un campo escalar, T , por lo que en cada punto (x,y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitación, el gradiente de T en ese momento se mostrará la dirección que la temperatura se eleva más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará la rapidez con la temperatura se eleva en esa dirección. Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x,y) es H (x,y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la dirección de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinación de la pendiente en ese punto está dada por la magnitud del vector gradiente. El gradiente también se puede utilizar para medir cómo cambia un campo escalar en otras direcciones, en lugar de la dirección de mayor cambio, por tomar un producto escalar. Supongamos que la pendiente más pronunciada en una colina es de 40%. Si la carretera va directamente a la colina, a continuación, la pendiente más pronunciada en la carretera también será de 40%. Si, en cambio, el camino va alrededor de la colina en un ángulo (el vector gradiente), entonces tendrá una pendiente menos profunda. Por ejemplo, si el ángulo entre el camino y la dirección hacia arriba, proyectada sobre el plano horizontal, es de 60 °, a continuación, la pendiente más inclinada a lo largo de la carretera será de 20%, que es 40 veces% el coseno de 60 °. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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ANTOLOGIA

Esta observación puede ser matemáticamente declaró lo siguiente. Si la altura de la colina función H es diferenciable, entonces el gradiente de H de puntos con una unidad de vector da la pendiente de la colina en la dirección del vector. Más precisamente, cuando H es diferenciable, el producto escalar del gradiente de H con un vector unidad dada es igual a la derivada direccional de la H en la dirección de ese vector unitario.

4.10 Campos vectoriales En matemática un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto. En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espaciotiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo. Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclídeo es una función a valores vectoriales:

Decimos que es un campo vectorial Ck si como función es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector ndimensional unido a cada punto en X. Operaciones

con

campos

vectoriales

Dados dos campos vectoriales Ck F, G definidos sobre X y una función Ck a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:

Debido

a

la

linealidad

de

la

función

(F+G):

Define el módulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las funciones Ck. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial. TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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Derivación

CALCULO VECTORIAL

y

potenciales

escalares

ANTOLOGIA

y

vectores

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad). Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. 4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física En cálculo vectorial, un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial. Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que

Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad (la divergencia del rotacional es cero) se tiene lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones. Teorema Sea un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos Entonces,

A

es

un

potencial

vectorial

para

v,

esto:

Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial senoidal y un campo vectorial no rotacional. 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por: Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo?. La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM

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CALCULO VECTORIAL

ANTOLOGIA

varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables. Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios. Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local. ¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local? Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices. Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A. Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local). Sea una función con segundas derivadas parciales continuas en el punto estacionario.

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