Antologia de Calculo Vectorial (Pag 69-95)Imprimr

Jorge Luis González Rodríguez

calculo vectorial

Tecnológico de Estudios Superiores de Valle de Bravo

Carrera: Ingeniería eléctrica

Asignatura: Calculo vectorial

Nombre del docente: Ing. Roque Matías López

Antología de la primera unidad

Por: González Rodríguez Jorge Luis

Grupo 301

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Jorge Luis González Rodríguez

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Visión Mantener a la carrera de ingeniería eléctrica del tecnológico de estudios superiores de valle de bravo en la preferencia de la sociedad como formara profesionistas integrales comprometidas con el desarrollo tecnológico y sustentable. Misión Satisfacer las necesidades de la sociedad comprometidas con la formación de ingenieros eléctricos emprendedores, capaces de responder a las expectativas del entorno social y laboral mas exigentes, a través de un compromiso con el desarrollo tecnológico y sustentable.

Objetivo Formar profesionistas competentes en ingeniería eléctrica con capacidad creativa emprendedora de análisis y liderazgo y capacidad de trabajo en equipo, que realiza actividades de diseño, adaptación y transferencias para resolver problemas del área de su competencia y atender las necesidades de su entorno con una conciencia social y in comportamiento con el desarrollo tecnológico sustentable en el entorno nacional e internacional. Competencia especifica a desarrollar en el curso Conocer los principios y técnicas básicas del cálculo en varias variables para interpretar y resolver modelos que presentan fenómenos de la naturaleza en las cuales interviene más de una variable continua.

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Temario Unidad I. algebra de vectores 1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica 1.2 Introducción a los campos escalares 1.3 La geometría de las operaciones vectoriales 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades 1.5 Descomposición vectorial en tres dimensiones 1.6 Ecuaciones de rectas y planos 1.7 Aplicaciones físicas y geométricas

Unidad II. Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas 2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta 2.2 Curvas planas 2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación

grafica

2.4 Derivada de una función dada paramétricamente 2.5 Coordenadas polares 2.6 Graficacion de curvas planas en coordenadas polares

Unidad III. Funciones vectorial de una variable real 3.1 Definición de función vectorial de una variable real 3.2 Graficacion de una curva de una función del parámetro t 3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades 3.4 Integración de funciones vectoriales 3.5 Longitud de arco 3.6 Vector tangente, normal y binomial 3.7 Curvatura 3.8 Aplicaciones 3

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Unidad IV. Funciones reales de varias variables 4.1 Definición de una función de varias variables 4.2 Grafica de una función de varias variables 4.3 Curvas y superficies de nivel 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su geométrica

integración

4.5 Derivada direccional 4.6 Derivadas parciales de orden superior 4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena 4.8 Derivación parcial implícita 4.9 Gradiannte 4.10 Campos vectoriales 4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física 4.12 Valores externos de funciones de varias variables

Unidad V. Integración 5.1 Introducción 5.2 Integral de línea 5.3 Integrales iteraría dobles y triples 5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problemas 5.5 Integración doble en coordenadas polares 5.6 Coordenadas alindricas y esféricas 5.7

Aplicación de la integración cilíndricas y esféricas.

triple

en

coordenadas

cartesianas,

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Datos escalares         

Peso: 73 kg Longitud: 1.67 metros Talla: 32 cm Calzado: 27 cm Nivel de estudios: superiores Edad: 21 años Tipo de sangre: "o" positivo Sexo: masculino Temperatura corporal: 36. 5 °C

Lista de cotejo Producto a evaluar Lista de datos Actividad I. datos escalares No

Características del producto a evaluar La entrega fue realizada en el plazo acordado El tema considera el significado, finalidad de cada tipo de conocimiento. Incluye campos de acción de cada conocimiento La información está encargada de forma lógica y permite una lectura rápida y comprensiva.

1 2 3 4

Valor %

Cumplió

2 2 3 3

Magnitudes vectoriales Son las que necesitan elementos vectoriales para poder bien estructurados y bien definidos con esto nos referimos a un vector. Un vector es un segmento orientado que posee cuatro elementos fundamentales, estos son: 

Punto de aplicación 5

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  

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Dirección Sentido Modulo

La fuerza es la típica magnitud vectorial, los que nos dice que cuando una fuerza se aplica a un objeto, es necesario saber su punto de aplicación, su dirección y sentido con congruentes a un cuerpo. Otras magnitudes son:     

Velocidad Aceleración Cantidad de movimiento Aceleración angular Los factores en la energía eléctrica

Nota: Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud del segmento; su dirección por la recta a que pertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama punto de aplicación. Los vectores en general pueden ser: 





Libres.- Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, siempre que conserve su módulo y sentido y mantenga paralela su dirección. Ej. Momento de un par. Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un vector deslizante solo puede trasladar su origen a lo largo de su recta de aplicación. Ej. la fuerza aplicada a un sólido. Fijos.- Un vector fijo es el de origen fijo. Ej. la intensidad del campo gravitatorio en un punto dado.

Comparativamente pueden ser: 

Vectores equipolentes.- Son los que tienen igual módulo, la misma dirección o direcciones paralelas y el mismo sentido. La equipolencia es una relación de equivalencia, que establece una partición del conjunto de los vectores en clases de equivalencia.

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 

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Vectores iguales.- Son los que tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Vectores equivalentes.- Son los que producen el mismo efecto.

Atendiendo a lo que representan pueden ser:  

Vectores polares.- Son los que representan magnitudes físicas relacionadas con una traslación, como la velocidad lineal por ejemplo. Vectores axiales.- Son los que representa magnitudes físicas ligadas a una rotación, como el vector velocidad angular.

Algebra de vectores 1.1 definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica. Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. Las palabras vectores se refiere a los elementos de cualquier R. en R1= R es el vector de un punto que llamamos escalar. En R2 es el vector es la rama de la forma ( x,y) en R3el vector en la forma (x1.x2,x3).

En R2 La suma de los vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces: A + b= (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1 a2+b2)

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Para la resta Si v y w son dos vectores cualesquiera, entonces la diferencia de w con respecto a v se define como: V-W= Vt(-W)

V-W = vt (-W) Por ejemplo: 7- 5= 7+(-5)= 2

Depende la dirección del vector se le da el sentido a la flecha y se le nombra.

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Ejemplo:

vx= cos 43 (40) vx= 29.54 N vy= sen 43 ( 40 N) vy= 27.27 N √ R= 39.999 N

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Regla del sentido

Nota: elementos del cálculo vectorial Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un camino, y bajo esta interpretación, la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Los campos vectoriales útil se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y curvatura (que representa la rotación de un flujo). En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensión euclidiana se puede representar como un vector de función con valores que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformación al pasar de un sistema de coordenadas a otro.

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Trazar un sistema de coordenadas derecho y localizando los puntos. a) b) c) d) e) f)

(3,4,5) (-3,4,5) (3,-4,5) (3,4,-5) (-3,-4,5) (-3,4-5)

g) h) i) j) k) l)

(3,,-4,-5) (-3,-4,-5) (-3,0,0) (3,0,3) (0,0,-3) (0,3,0)

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Trazar los siguientes vectores a) b) c) d)

(3,6) (-4,-8) (-4,-3) (-5,-4)

e) (3,0) f) (3,4,5) g) (3,3,0)

Nota: Suma de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

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Nota: Procedimiento Gráfico Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

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Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

V+W= (V+W)+(V2+W2) √ √ √

R=2√

1.-Así por ejemplo si V=(1,-2) y W=(7,6) entonces quiero el resultado V+W = (v+w , V2+W 1) V+W = (1+7,-2+6) V+W =(8,4)

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2.- V=(1,-3,2) y W = (4,2,1) entonces V+W V+W =(1+4)(-3+2)(2+1) V+W=(5)(-1)(3) V+W=(5,-1,3)

3.- 2v 2(1) 2(-3)2(2) 2v= (2,-6,2) -w= (4, 2,1) (-4,-2,-1)

4.- Si V-W= (1-4)(-3-2)(2-1) V-W= (-3,-5,1)

Algunas veces un vector se coloca del modo que su punto inicial no este en el origen, si el vector p1,p2 tiene como punto inicial a p1(x, y ,z) y como punto terminal p2(x ,y ,z) entonces podemos decir que p1,p2 se obtienen del punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

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Expresión

P1, p2= OP2-OP1= (X2, Y2, Z2)-(X, Y, Z) =(X2-Y2, Y2-Y, Z-Z)

Ejercicios Las componentes del vector V= P1 P2 con punto inicial P1 = ( 2, -1 , 4) y punto terminal P2 = (7, 5, -8) son: P1 P2= oP - oP = (7, 5, -8) - (2, -1, 4) = (7 - 2, 5 + 1, - 8 -4 ) = (5, 4, -12)

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Norma de un vector: si U y W son vectores en el espacio bidimensional y en el espacio tridimensional y K y L son escalares, entonces se cumplen los siguientes relaciones. a) b) c) d) e) f) g) h)

=U + V = U + V =U + 0 = O + U = U =( u + V ) + W = Vt ( V + W ) =V + ( -U) = 0 =K ( l u) = (Kl) U =K(U+V)=KU+Ku = ( K + l ) u = K u + kl = 1u = U

Nota: Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica.

Teorema 3.2.1 La longitud de un vector "u" a menudo se denomina norma de u y se denomina ||u||=√ ||u||= √ Un vector de norma 1 se denomina vector unitario Si P (X,Y,Z) y P (X,Y,Z) so dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia de entre dos puntos es la norma del vector p1p2 ya que p1p2=(x2+x1,y2-y1,z2-z1) se concluye que todos los términos se elevan al cuadrado y se le saca raíz cuadrada. √(

)

(

)

(

)

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Ejemplo: La norma del vector U= (-3,2,2) ||u||=√ ||u||=√ ||u||= √

La distancia entre dos puntos P (2,-1.-5) y P (4,-3,1)

√(

) (

) (

)

√ √ √

Encuentra la norma de V a) v= (4,3)= √

=√

=√

b) v=(2,3)= √

√

√

c) v=(-5,0)= √

=25

√

d) v=(2,2,2)= √ e) v= ( -7, 2, -1)= √

√ = 3√

√

Encuentra la distancia entre p1p2 a) p1= (3,4) y p2= (5,7)= √( b) p1= (-3, 6) p2= (-1, -4)= √(

)

( )

) =√ (

) = 2√

3.- sea U= (2, -3, 3) V= (1, -3, 4) y W= (3, 6, -4)

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a. || U + V || = || (2+1) (-2,-3) (3+4)= 3, -5, 7 =√

=√

√

b. || U || + || V || = =√

=

√

(

√ ||

|

|

||

√

√

(

)

) √

√

√ √ √

√

√√

Producto punto de vectores Sea un vector u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio bidimensional o tridimensional y suponer que estos vectores se colocan del modo en que sus puntos iniciales coinciden. Por el angulo entre UyV se entiende el angulo teta determinado po UyV que satisface 0es myor que teta y teta es igual a 3.14159.

⌊‖ ‖⌋‖ ‖

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Ejercicio El Angulo entre los vectores U= ( 0, 0, 1) y V = (0, 2, 2) y el ángulo es de 45° √ √

√

√

Calculo del ángulo igual de cero entonces la formula es: U x V = || u || || V || Cos del ángulo Producto cruz de vectores Si U = (v1, v2, v3,) y V (v1, v2, v3) son vectores en el espacio tridimensional entonces el producto cruz es U x V es el vector definido por: U x V = (U2 v3 - U3 v3 - U3 v1 - u1 v3, v1 v2 - u2v1) Teorema Si U, V y W son vectores en el espacio tridimensional entonces tenemos las siguientes ecuaciones. a) U ( U x V) = 0 b) V (U x V) = 0 c) || U x V ||2 = || U ||2 °|| U || - ( U V)2 d) U x (U x V) = ( U W)v - ( U V) W e) (U x V) x W = ( U W) V - (V W) V

P ( X, Y, Z)

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Nota: El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

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UNIDAD II CURVAS PLANAS, ECUACIONES COORDENADAS POLARES

PARAMÉTRICAS

Y

Curva: es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. La recta secante de una curva es la que une dos puntos opuestos de la curva separándolos en una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de puntos de curva con una secante. En la figura se muestra una curva de cuarto orden.

La recta tangente a una curva en un punto en el límite o que tiende la secante cuando los puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma nos dice que la tangente puede ser la primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.

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NOTA: ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA LÍNEA RECTA La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramétrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de los parámetros. Por tanto, una ecuación paramétrica es una ecuación que está basada en una variable en particular. Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica. Ejemplo: Considere la ecuación x = 2 + 3t. En esta ecuación, t denota el parámetro y la ecuación se Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación grafica. Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuación paramétrica para una recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1). Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial. Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que −1 está a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = −1 + 2t Paso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 está a −2 unidades de distancia del1. Por tanto, y = 3 - 2t. Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas para la recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1) son x = −1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuación paramétrica en el campo del cálculo vectorial se denomina ecuación vectorial. El cálculo de la ecuación vectorial se basa en el concepto del cálculo de la ecuación paramétrica Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuación vectorial para una línea entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

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Se procede de la siguiente manera: Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial. Paso 2: Un vector de dirección es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y −2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de dirección viene a ser (2, −2). Paso 3: Por consiguiente, la ecuación vectorial toma la forma de: (−1, 3) + (2, −2) t. La principal diferencia entre la ecuación paramétrica y la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuación vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la forma paramétrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

Circunferencia Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x , y ) un punto de la curva y se tiene como ecuaciones paramétricas de la circunferencia: m

x=a cos (teta) y=a sen (teta) X

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Cicloide Es la curva descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda sin resbalar, a lo largo de una recta fija.

De igual manera sean el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O, que rueda permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia.

Astroide En los astroides nos dice que si los radios de la circunferencia que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. pero si, los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada.

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En el caso particular de b=(1/4)a. se obtiene una curva a la cual llamamos astroide. Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de hipocicloides, sustituyendo b por (1/4) a y después reduciendo nos queda: X= a cos 3 (teta); y= sen 3 (teta) Las cuáles son las ecuaciones paramétricas de la astroide.

Curva plana Nos enuncia que si f y g son funciones continúas de t un intervalo I, las ecuaciones X= f (t) e Y=g (t) De igual forma se denomina ecuaciones paramétricas y t se llama el parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obteniendo cuando t varia en el intervalo I a lo cual llamamos a la grafica a la ecuaciones paramétricas. El par formado por las ecuaciones paramétricas y su grafica recibe el nombre de curva plana y esta denominada por la letra C. 26

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Ecuación vectorial de una recta     

(x , y)=(p1.p2)+ t (v1,v2) (x, y) cualquiera de los puntos infinitos de una recta. (p1, p2) coordenadas de los puntos conocidos T parámetro (v1, v2) coordenadas- componentes del vector director

Ejemplo:    

(x, y) = (2, 3) + t(4, 5) T= 0 (x, y) = (2, 3)+ 0(4, 5) X=2 y=3

Ejemplo:     

(x, y) = (2, 3) + t(4, 5) t=1 (x, y) = (2, 3)+ 1(4, 5) (x, y) = (2, 3)+ (4, 5) (x, y)= ( 6, 8 )

Ejemplo:     

(x, y)= (2, 3) + t(4, 5) T=2 (x, y) = (2, 3)+ 2(4, 5) (x, y) = (2, 3)+ (8, 10) (X, y)= (10, 13)

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Nota: La ecuación que representa una curva plana se basa enteramente en el sistema de coordenadas. Algunas de las ecuaciones de las curvas planas con el sistema de coordenadas incluyen: 

Polar, f(r, θ) = 0



Rectangular, f(x, y) = 0



Paramétrica, x = f(t), y = g(t)



La creación de curvas planas puede efectuarse a través de curvas de contorno o nivel para una función de 2 variables.



Una función de dos variables generará un gráfico triple ordenado en 3D (x, y, z). Aquí z = f (x, y).



Una ecuación algebraica también puede ayudar a generar una curva plana.



Una ecuación algebraica es aquella ecuación en la cual sólo algunas de las operaciones están involucradas, lo que incluye la suma, resta, división, multiplicación, hasta las potencias fraccionarias o integrales y la extracción de la raíz.



Una curva Plana Algebraica forma también una categoría importante en el concepto de curvas planas.



En el caso que la ecuación Cartesiana que esté definiendo la curva sea algebraica, entonces se dice que la curva es una curva algebraica.



Cuando el grado de la curva algebraica es mayor que dos, en ese caso, la curva algebraica se conoce como curva de niveles superiores.



El grado está asociado con todas y cada una de las curvas algebraicas y, puede calcularse mediante la determinación del número total de intersecciones de una recta genérica y en una curva.



Junto con las curvas planas algebraicas, otro tipo de curva plana comúnmente estudiada son las curvas suaves.



Una curva suave puede definirse como una curva situada en el plano Euclidiano y también es una variedad diferenciable 1-D.

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CURVAS EN R2 Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Ecuación paramétrica en la línea recta Expresión matemática

[

Se va a partir de la ecuación vectorial (x, y)= (p1, p2)+ t (v1, v2) Formula (x, y)= (p1, p2) + t (v1, v2) por lo tanto (x, y)= ( p1+ t v1, p2 + t v2) Entonces para que esta igualdad se cumpla [ Aquí se obtienen las expresiones

Ejemplo: [

Damos los valores a >> t = 0 >> [

( ) ( )

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Ecuación continúa de la recta

Por lo tanto

Decimos entonces que:

por deducción v1= 2

v2= 3

El vector director = v= (2, 3) P= (-3, 1) Obtenga la ecuación cartesiana de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x= 2t -3 y= 4t -1

(

)

Y= 2x ´+5

Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica de las ecuaciones paramétricas. X= 2 cos t y Y= 2 cos t X= 2 cos t X2= 4 cos 2 t Y= 2 sen t

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Y2= 4 sen 2 t Donde: 0 >t< π

X2 + y2 =4 cos 2 t sen2 t X2 + y2= 4 (cos 2 t sen2 t) X2 + y2= 4 Considere las ecuaciones paramétricas X= cosh + senh t X2= cosh2 t

X2 + y2 =cosh - senh t

Y= sen t

X2 - y2 =1

Y= senh2 La derivada de una función paramétricamente

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Derivada paramétrica Sea la función paramétrica Y= g (t) Donde el parámetro es "t" Derivada Dy/dx = ( dy / dx) / (dx / dt) Donde: Dy / dy es la derivada de "y" con respecto a "t" Dx/ dt es la derivada de "x" con respecto a "t"

Ejercicio: Y= t2 + 3 X= sen ( t + 2 )

=

Ejercicio: 

X= t2 + 1

Y= t2 + 2t



X= 4- t2

Y= t2 + 4 t



X= - 2 t

Y= 2 t + 4

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Coordenadas polares y graficas polares (x, y)

( r, teta)

Rx= R cos (teta) Ry= Rsen (teta) ( √

(2, 4)

)

√ √ √ √

√ √

√

√ (

√

)

Nota: Coordenadas polares Un sistema de coordenadas bidimensional también es conocido como sistema de coordenadas polares. En tales sistemas de coordenadas, cada uno de los puntos situados sobre un plano particular se determina con respecto a un ángulo de dirección fija y a una distancia fija del punto. El punto fijo se conoce como Polo y un rayo en una dirección particular que se origine del polo se conoce como eje polar. La distancia fija se conoce como radio o coordenada radial y el ángulo de dirección fija se conoce como ángulo polar o coordenada angular. En general, el radio está representado por „r‟, lo cual convierte a la coordenada radial y al ángulo polar mediante t, o a veces mediante, lo cual convierte las coordenadas polares o las coordenadas angulares. Estos ángulos polares se calculan en radianes o grados. Un valor positivo del ángulo polar sugiere que fue calculado en sentido contrario a la dirección del eje correspondiente.

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Se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el primer cuadrante o eje x

Una coordenada polar también puede convertirse en una coordenada Cartesiana correspondiente, por ejemplo x = r cos y = r sin

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Ejercicio Localice cada uno de los siguientes puntos que tienen los conjuntos dados coordenadas polares. a) b) c) d) e) f)

(2, 1/4π) (5, 1/2 π) (1, 2/3 π) (3, 7/6 π) (4, -1/3 π) (5/2, - π)

a) b) c) d) e) f)

(2, 0.7852) (5, 1.5705) (1, 2.094) (3, 3.6645) (4, -1.0488) (5/2, -3.14159)

d c

b a

c

g

Para encontrar el modulo se necesita la siguiente formula √ Al dividir miembro a miembro las ecuaciones de (1) se tiene

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La figura a muestra el punto cuya representación en coordenadas cartesianas es ( √ ) para obtener las coordenadas polares ( ) donde r >0 y 0< 2π, se aplican (2) y (3): √(√ √ √ (

√

)

R= (2. 30°)

NOTA: GRAFICACION DEL PLANO POLAR DE UNA CURVA Las curvas polares, a diferencia de las curvas algebraicas, son definidas principalmente en términos de su ángulo, este es . Un polo está situado en un lugar de manera tal que el valor de es siempre cero para todos los valores de r. Por lo tanto, graficar una función polar es diferente que graficar una función algebraica. El pre-requisito fundamental para graficar una función polar es un sistema de coordenadas polares. Esta gráfica contiene los puntos de la forma (r, ), los cuales en conjunto forman la gráfica de la función dada. Como sabemos que un gráfico polar contiene puntos de la forma (r, ), deberíamos asegurarnos de que esté expresado en términos de grados o en radianes, y también de que todos los puntos estén en una de estas formas. Con el fin de convertir los grados en radianes, multiplique la cantidad dada por / 180. Mientras se grafica una función polar hay ciertas cosas que son necesarias a tener en cuenta. Algunos de ellos son: a. Muchas de estas curvas son de forma simétricas tales como los cardiodes. Por lo tanto, en lugar de trazar los valores de iguales a cero a 360, sólo los valores hasta 180 puede ser encontrados y el gráfico restante puede ser trazado con simetría.

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b. Seleccione los valores de que hagan el valor de r máximo, mínimo o cero. Esto se hace para encontrar los puntos de intercepción. c. Como ejemplo, para una función, r = 4 sin ( ), sustituyendo el valor de con cero, haría el valor de r igual a cero. Por lo tanto, el punto en el gráfico se convierte en (0, 0) el cual es un punto de intercepción. Los pasos para graficar una función polar son los siguientes: a. Determine el valor de la función para los distintos valores de. Por lo general, la función de entrada se calcula para / 6, / 4, / 3, / 2, 2 / 3, 3 / 4, 5 / 6 y. b. Puede utilizar una calculadora gráfica para calcular del valor de la función. c. Note si la función está mostrando la simetría para los valores más altos de. Si no es así, calcule la salida de la función para los valores más altos de también. d. Dibuje una tabla para todos los valores de y para el valor correspondiente de la salida de la función.

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Unidad III. Funciones vectorial de una variable real Objetivo Reconocer una función vectorial en vector.

distintos contextos y manejarla como un

Función vectorial Esta idea se puede extender al respecto al espacio tridimensional, donde las coordenadas (x, y, z) de la posición de la partícula en cualquier tiempo t están dadas por 3 ecuaciones paramétricas. X= f (t)

y=g (t)

z=h (t)

Para cualquier posición de la partícula existe un vector y los puntos terminales de las representantes de posición de estos vectores determinan una curva recorrida por la partícula. Esta idea nos conduce a considerar una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su contra dominio es un conjunto de vectores. A esta función se le llama función vectorial. Sean f, g y h funciones reales de la variable real t. entonces se define la función vectorial R por medio de. R (t) = f (t)t + g (t) j + h (t) k Donde t es cualquier número real del dominio común de f, g y h. en el plano se define una función vectorial R mediante R (t) = f (t) i + g (t)j Donde t pertenece al dominio común de f y g. Ejemplo: Sea R la función definida por ( )

√

+ (t - 3)-1j + ln + k

Si ( ) √ g (t)= ( t - 3)-1 y h (t)= ln t, entonces el dominio de R es el conjunto de valores de t para los cuales f (t), g (t) y h (t) están definidos. Como f (t) esta definida para t >=2, g (t) esta definida para todo numero real diferente de 3, y h (t) esta definida para todos los números positivos, el dominio de R es { t 0): P= √r2 + z2,

ө = ө,

Ф = arcos (z / √r2 + z2).

Las coordenadas esféricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetría.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES. Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funciones de tres variables. INTEGRALES TRIPLES. Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen "x"xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas. 91

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PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES. Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces 1.

2.

3.

4. Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces

5. EJEMPLO. Establezca los límites de integración para evaluar la integral triple de una función F(x, y, z) sobre un tetraedro D con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 0). Solución. Paso 1: La superficie superior que limita a D se encuentra en el plano y=1. La superficie inferior se encuentra en el plano y=x+z. La frontera superior de R es la recta z=1-x. La frontera inferior es la recta z=0. Paso 2: Los límites y de integración. La recta que pasa por un punto típico (x, y) en R paralela al eje y entra a D en y=x+z y sale en y=1. Paso 3: Los límites z de integración. La recta L que pasa por (x, y) paralela al eje z entra a R en z=0 y sale en z=1-x.

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Conclusión En la presente antología se llega a la conclusión de que la definición de los diferentes conceptos de este semestre son muy complejos pero de igual manera tendremos que tener en cuenta que todas estas aplicaciones de los vectores se tienen que retomar en un futuro dentro de la rama de la ingeniería eléctrica. Para todo ello dentro de este curso nos interesamos en los siguientes conceptos; MAGNITUD: Es todo aquello que se puede medir. Medir una magnitud es compararla con otra de su misma naturaleza llamada unidad para averiguar cuántas veces las contiene. TIPOS DE MAGNITUDES: Una primera clasificación es: Magnitudes fundamentales: son aquellas que se definen independientemente de las demás. En el S.I. son la longitud, la masa y el tiempo y las unidades en que se miden son metros, kilos y segundos. Magnitudes derivadas: son aquellas que se definen en función de las fundamentales, x ejemplo, superficie, volumen, densidad, potencia, trabajo, energía... Se llama ecuación de dimensiones a la expresión que relaciona una magnitud derivada con sus correspondientes fundamentales: Superficie: Densidad: Velocidad: Fuerza: Trabajo: Energía cinética: Energía potencial:

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Glosario Magnitudes escalares y vectoriales En la definición de las medidas físicas se usan dos tipos de magnitudes: Magnitudes escalares: que quedan completamente definidas mediante un número, como pueden ser la temperatura, el tiempo y la densidad. Magnitudes vectoriales: para las que se precisa un valor numérico, una dirección y un sentido de aplicación, tal como sucede con la velocidad, la aceleración o la fuerza. Módulo: una cantidad numérica siempre positiva que expresa la intensidad de la magnitud. Para el vector, su módulo se expresa || o, simplemente, a. Dirección: o recta que contiene al segmento que mide la magnitud vectorial. Sentido: orientación de la magnitud dentro del segmento de dirección. Curvatura: se refiere a cualquiera de una serie de conceptos vagamente relacionados en las diferentes áreas de la geometría. Normalmente se refiere a un concepto métrico de objetos matemáticos o geométricos. Gradiente: el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de, indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector. Campo vectorial: un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma

.

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Bibliografía Libros 

Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano



Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano

Web    

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/vectorial.html http://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtml http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recurso s_2005/textos/paraiso/apuntes/metodos_integracion.pdf

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