Antologia Calculo Diferencial

CÁLCULO DIFERENCIAL

M.C. Alicia E. Pérez Yebra

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Índice

Presentación

3

Introducción Unidad I

8

Introducción Unidad II

26

Introducción Unidad III

39

Introducción Unidad IV

65

Introducción Unidad V

78

Formulario

87

Comentarios

91

Bibliografía

92

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

WINPLOT (graficador)

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Presentación. Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones día con día o de un año a otro. La historia, la política, la economía y el clima están sujetos a cambios constantes y con frecuencia desconcertantes. Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las marcas. Otros parecen más complicados: las recesiones económicas, los brotes de enfermedades, las condiciones meteorológicas. Cambios de toda índole influyen en nuestras vidas. Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el mundo cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es necesario:  Representar los cambios en una forma comprensible.  Entender los tipos fundamentales de cambio  Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran.  Aplicar estas técnicas al mundo exterior y  Controlar un universo cambiante para nuestro mayor provecho. El medio más eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemáticas. Con las matemáticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemáticas son el summum en la “transferencia de tecnología”: los patrones percibidos en un ejemplo individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de los negocios. LAS MATEMÁTICAS DEL CAMBIO El enfoque tradicional de las matemáticas del cambio se puede resumir en un solo término cálculo diferencial e integral. El cálculo, el sistema cambiante se representa por una ecuación particular (técnicamente, una ecuación diferencial) que describe la relación entre las razones de cambio de las diferentes variables. Se introduce una maquinaria pesada (tanto teórica como numérica) como sea necesaria para intentar resolver la ecuación. Preparar a los estudiantes para el estudio del cálculo ha sido la meta central de las matemáticas escolares; plantear y resolver las ecuaciones del cálculo es el fluido vital de las matemáticas tradicionales enfocadas a la ingeniería. El cálculo es un componente esencial de las matemáticas del cambio. Métodos más recientes, como las matemáticas discretas y la computación electrónica, antes lo fortalecen que lo sustituyen. Pero las matemáticas en si mismas están sujetas al cambio. Nuevos problemas y nuevos descubrimientos requieren de un ámbito mucho más variado del aparato mental. Cabe mencionar dos tendencias importantes: el uso de métodos Página 3 de 88

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aproximados con una complejidad creciente y la explotación de la geometría y las gráficas por computadora. la primera la ha hecho posible la enorme ampliación de la capacidad de las computadoras. Debido a que la computación se basa en la manipulación digital, requiere la comprensión tanto de lo discreto como de lo continuo y sobre todo de la relación entre ambos ámbitos. La segunda tendencia es un triunfo notable de la imaginación matemática: el uso de la imaginería visual para condensar una gran cantidad de información en una sola imagen comprensible. Las gráficas de computadora han llevado al descubrimiento de que muchos aspectos del cambio son manifestaciones de un número relativamente reducido de formas geométricas básicas. Los matemáticos apenas empiezan a entender estos bloques elementales del cambio y a analizar la manera en que se combinan. La metodología empleada posee un espíritu muy diferente al de la construcción tradicional de modelos por medio de ecuaciones diferenciales se asemeja más a la química que al cálculo diferencial e integral, requiriendo un cuidadoso contrapunto entre el análisis y la síntesis. La representación gráfica de diferentes conceptos matemáticos que surgen del estudio del cambio ha llevado al descubrimiento de diversas formas intrincadas, cada una de las cuales aparece en muchas situaciones dinámicas diferentes y es, por consiguiente, un objeto “universal” en las matemáticas del cambio. i En la figura 1 se muestran varias de estas formas ilustran de manera adecuada las enormes diferencias entre los métodos visuales actuales y las formas estudiadas en la geometría tradicional, tales como triángulos y paralelogramos.ii Hoy la geometría es orgánica y visual antes que limitada y formal. En consecuencia, hoy en día existen muy pocas ramas de las matemáticas que no guarden alguna relación con el cambio. Esto se debe en parte a que las matemáticas son una estructura altamente integrada e interconectada. Además, el cambio es un fenómeno a tal punto complejo y varado que para abordarlo requerimos de todas las ideas que podamos reunir. Para estudiar el cambio el científico del futuro necesitará combinar, en una sola visión integrada del mundo, aspectos de las matemáticas tradicionales, de las matemáticas modernas, de la experimentación y de la computación. Necesitaremos científicos que igual tomen un lápiz que una terminal de computadora, que igual puedan hacer bosquejos toscos pero informativos que gráficas de computadora, que igual piensen en términos de imágenes que en función de números o fórmulas. El punto de vista, el aparato de las herramientas mentales, en su conjunto del científico activo será muy diferente de lo que fue incluso hace una década. Los patrones del cambio en la naturaleza y en las matemáticas no se constriñen a las categorías ordinarias del pensamiento. Para hacer progresos debemos responder con imaginación y sensibilidad a los nuevos tipos de patrones. Nuestros propios patrones de pensamiento deben cambiar. Conforme el siglo XX llega a su fin, sumerge un nuevo estilo de matemáticas, un estilo cuyo rasgo distintivo es la variedad. Las matemáticas se desarrollan de nueva cuenta en estrecha conjunción con sus aplicaciones en las ciencias, físicas, biológicas, conductuales y sociales. Gran parte de las matemáticas son inspiradas por experimentos de computadora y de laboratorio o por las formas de los fenómenos naturales. Recíprocamente, las ideas Página 4 de 88

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matemáticas desarrolladas per se, o en un área de aplicación diferente, se están transfiriendo a otras tareas donde encuentran aplicaciones prácticas.iii Esta variedad constituye la fortaleza del nuevo estilo de las matemáticas, y deberá estimularse en todos los niveles. Además, las computadoras (en particular las gráficas de computadora) permiten que personas no especializadas, desde niños de escuela hasta gerentes, desde profesores de la escuela elemental hasta científicos, sean testigos de la belleza y la complejidad de las matemáticas y las apliquen en la práctica. 3.17 El surgimiento de este nuevo estilo de las matemáticas no significa que sea posible abandonar el énfasis tradicional en la formulación precisa de los conceptos y la demostración lógica rigurosa. Por el contrario, siguen siendo un componente esencial del que hacer matemático. El rigor y la precisión son tan esenciales a las matemáticas como la experimentación lo es para el resto de las ciencias, y en gran medida por la misma razón proporcionan razones firmes para creer en la solidez de las ideas y los métodos. Forman parte de los mecanismos internos de verificación y rectificación del tema, un salvaguarda constante en contra del error. En la formación de matemáticos profesionales continuará requiriéndose necesariamente el pensamiento lógico preciso y la comprensión precisa del significado de “demostración”. El uso de computadoras como “herramientas experimentales” en estos experimentos por sí solo no puede llevar a la comprensión de por qué ocurren los fenómenos observados. Su papel es ofrecer un grado de confianza de que ciertos fenómenos en realidad ocurren. De hecho, una tendencia importante se ha vuelto bastante notable a medida que se ha adquirido la experiencia en el uso de las computadoras. Se trata de la desaparición de la actitud fácil: “Mételo en la computadora y ella te responderá todas las preguntas”. Cuando la respuesta de un problema es, digamos, un solo número, tal como la carga máxima de una estructura de ingeniería, todos los problemas desaparecen en realidad una vez que se conoce dicho número. Pero en la actualidad una investigación típica basada en computadora puede producir varios cientos de diagramas que representan el comportamiento del sistema bajo diferentes condiciones. Por ejemplo, piénsese en el flujo del aire que incide en un transbordador espacial para diferentes velocidades, ángulos de ataque y densidades atmosféricas. Esta lista, a pesar de su tamaño aparentemente grande, probablemente resultará inadecuada para determinar el comportamiento bajo todas las condiciones posibles. Si el sistema incluye tres parámetros regulables, como el que acaba de mencionarse y cada uno puede asumir diez valores, entonces son posibles un total de mil combinaciones. Con cuatro variables como éstas hay diez mil, con seis hay un millón. En la práctica, seis es un número reducido de parámetros en los problemas más sencillos de la ingeniería química por lo general se manejan varias docenas de parámetros pero pueden incluir cientos. No tiene sentido producir un catálogo computarizado de un millón de diagramas, por no mencionar listas del orden de los miles de millones o los billones. La cuestión fundamental “¿Qué está pasando realmente aquí”, vuelve de la ciencia de las computadoras al reino de las matemáticas. Tales cuestiones requieren una participación sensiblemente mayor del cerebro humano que de las computadoras.

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Sin embargo, no debe subestimarse el papel de la computadora. Se está convirtiendo en un auxiliar del pensamiento con una presencia cada vez más generalizada. las computadoras no sólo pueden generar “resultados”, sino que también pueden usarse para experimentar en etapas intermedias de la comprensión, para poner a prueba hipótesis y mecanismos posibles. Tomando las precauciones necesarias, los cálculos por computadora en realidad pueden producir demostraciones rigurosas de resultados matemáticos. El establecimiento de tales demostraciones auxiliadas por computadora requiere una construcción muy cuidadosa y una participación humana considerable: se encuentran lejos de ser rutinarias y, por lo general, requieren software construido especialmente y un prolongado tiempo de la máquina. Ante todo, constituyen una difícil área de especialización de las matemáticas. El “mételo a la computadora” no es ninguna panacea. Por Ian Stewart

La siguiente antología está diseñada para que el alumno que cursa la asignatura de CÁLCULO DIFERENCIAL, aprenda los contenidos temáticos que abordaremos durante el semestre. Cada actividad aborda una competencia que será una herramienta para cursos posteriores, por lo que es de vital importancia que el estudiante las realice construyendo su propio conocimiento. Una parte fundamental del presente trabajo se refiere a la resolución de problemas como un aprendizaje significativo realizado por descubrimiento, exige la transformación y reintegración del conocimiento existente para adaptarse a las demandas de una meta específica, es decir, el solucionador relaciona intencionalmente una proposición potencialmente significativa del planteamiento de un problema a su estructura cognoscitiva, con el propósito de obtener una solución potencialmente significativa.

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Introducción Unidad I Números Reales El sistema de los números reales puede ser descrito completamente por un conjunto de axiomas. Con estos axiomas podemos derivar las propiedades de los números reales, de las cuales resultan las conocidas operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división, también los conceptos algebraicos de solución de ecuaciones, factorización, etc. Cualquier número real puede ser clasificado como racional o irracional. Un número racional es cualquier que se puede expresar como razón de dos enteros.

Enteros (positivos, negativos y cero) Las fracciones positivas y negativas. Los decimales positivos y negativos con un número finito de dígitos. Los decimales periódicos positivos y negativos con un número no finito de dígitos, Un número irracional tiene decimales no periódicos con un número no finito de dígitos. El conjunto de todos los números reales se denota por

.

Se puede representar geométricamente por puntos en una recta horizontal, llamada eje.

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1.1 La recta numérica. Una manera de representar geométricamente los números reales, consiste en tomar una recta generalmente en forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha. Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real y viceversa, a cada número real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma, una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto "es" un número real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de los números reales, se seguirá llamando: RECTA REAL, ó, también, RECTA NUMÉRICA. En conclusión una escala numérica es una representación gráfica de los números reales por medio de los puntos de una recta. A cada número le corresponde un solo punto de la recta y recíprocamente. Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamará segmento unitario; como punto de partida el 0, que en adelante se llamará origen; como números positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y negativos, los que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos números reales. Así, para localizar los números enteros, se lleva sucesivamente, y a ambos lados de 0 y 1, el segmento unitario como aparecen en la siguiente figura.

Los números (puntos) N y –N están a ambos lados de 0 y a N unidades de él.

N N

-N

-2

-1

0

1

2

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Para ciertos números irracionales, su localización en la recta numérica se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras

Otros números irracionales como p 3.1415927... y e forma decimal aproximada.

2.7182818... serán localizados en su

Entonces, los números reales se representan en la recta real (los racionales y los irracionales) y llenan todos los puntos que esta recta tiene. Evidencia 1.1 (3%) Representar en la recta numérica los siguientes números reales:

√

|

|

√

√

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1.2 Los números reales. ¿Qué sucede si…?

¿Qué sucede si…?

pero

pero

Selecciona dos números naturales

¿Qué sucede si…?

¿Qué sucede si…?

entonces

pero

pero Selecciona dos números enteros

Surgen

Números Racionales Q

Números Irracionales I

Razón de dos enteros

No pueden expresarse como razón de dos enteros

Denominador distinto de cero Sin patrón Patrones repetitivos o terminan

¿Qué sucede si…?

Continúan indefinidamente

I

Números Reales

M Además

A G

R QI

I N

NÚMEROS COMPLEJOS

A R

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Evidencia 1.2 (3%) 1. Menciona las características que tiene el conjunto de números Racionales y ejemplifica

2. Menciona las características que tiene el conjunto de números Irracionales y ejemplifica

3. Señala con una cruz los números racionales y encierra en un círculo los números irracionales.

3

 3 5 0.17 

49 5 3  1 .6 6 

 3  1.1515  121 e ln 1

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1.3 Propiedades de los números reales. 1.3.1 Tricotomía. 1.3.2 Transitividad. 1.3.3 Densidad. 1.3.4 Axioma del supremo. Leyes formales constituyen una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Éstas leyes no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas. Igualdad: I. Axioma de identidad: II. Axioma de reciprocidad: III. Axioma de transitividad:

aa si a  b entonces b  a si a  b y b  c , tenemos que a  c

Suma o adición: I. Axioma de uniformidad: Si se suman entre sí dos números reales el resultado que se obtiene es un real único II. Axioma de conmutatividad: a  b  b  a III. Axioma de asociatividad: a  b  c  a  b  c  IV. Axioma de identidad o módulo de la suma: Hay un número y sólo un número, el cero, de modo que a  0  0  a  a , para cualquier valor de a. Entonces el cero recibe el nombre de elemento idéntico o módulo de la suma. Multiplicación: I. Axioma de uniformidad: Si se multiplican entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. II. Axioma de conmutatividad: ab  ba III. Axioma de asociatividad: abc  abc  IV. Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que ab  c   ab  ac V. Axioma de identidad o módulo del producto: Hay un número y sólo un número, el uno, de modo que a *1  1* a  a , para cualquier valor de a. VI. Axioma de existencia del inverso: para todo número real a  0 corresponde un número real, y solo uno, x, de modo que ax  1 . Este número x se llama inverso o 1 recíproco de a y se representa por x  a Axiomas de orden: el sistema de los números reales es un campo ordenado. I. Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación, y solo una entre ambos, ab ó ab ó a  b II. Monotonía de la suma: si ab tenemos que a  cb  c III. Monotonía de la multiplicación: si ab y c 0 tenemos que acbc

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Evidencia 1.3 (3%) 1. Investiga, explica y ejemplifica el axioma de densidad 2. Investiga, explica y ejemplifica el axioma del supremo

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Intervalo: ) es el conjunto de todos los números x situados entre a y b a) Intervalo Abierto: ( ( ) | ]es el conjunto de todos los números x situados entre a y b b) Intervalo Cerrado: [ pero que también incluye a éstos. [ ] | c) Intervalos semicerrados o semiabiertos: (

]

|

[

)

|

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. Desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Signos: , , ,  Miembros: se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad. Términos de una desigualdad son las cantidades que están separadas de otras por el signo + ó – o la cantidad que está sola en un miembro. Propiedades de las desigualdades: 1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Consecuencia: un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo. 2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Página 14 de 88

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Consecuencia: se pueden suprimir denominadores sin que varíe el signo de la desigualdad. 3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia. Consecuencia: si se cambia el signo de todos los términos de una desigualdad, el signo de desigualdad varía. 4. Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. ab entonces b a 5. Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo 1 1 ab se tiene que  a b 6. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia 53 si elevamos al cuadrado 5 2  2 2 o sea 25 4 7. Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia  3  5 si elevamos al cubo  33   53 o sea  27  125 8. Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia  3  5 si elevamos al cuadrado  32 5 2 o sea 9 25 9. Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar cambia 3  5 si elevamos al cuadrado 32 5 2 o sea 9 25 Cambia 8  2 si elevamos al cuadrado 8 2   2 2 o sea 64 4 No Cambia 10. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia ab y n es positivo tendremos n a  n b 11. Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. ab y c d tendremos que a  cb  d y acbd 12. Si dos o más desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no necesariamente es una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad 108 y 5 2 restando miembro a miembro 10  58  2 ya que 56 10 8  queda 2  2 108 y 5 4 Si dividimos miembro a miembro 5 4 Página 15 de 88

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Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Para resolverlas se han de aplicar las propiedades de la ordenación de los números reales y se han de seguir los siguientes pasos:  Se quitan denominadores si los hubiera.  2. Se aísla la incógnita en el miembro en quede positiva con el sistema de lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que está restando pasa al otro lado sumando.  Lo que está multiplicando (que será positivo) pasara al otro miembro dividiendo y lo que está dividiendo (que será positivo) pasa multiplicando.  La solución, si existe, se dará en forma de operación de intervalos. Ejemplo: Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad:

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Evidencia 1.4 (7%) Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad:

x  5  2x  6

x>1

x  6  21  8 x

x>4 x>3

3 x  14  7 x  2

x>3 x>-3

5 x   10 3 3 x 5x 3x  4   2 4 2

x>-3 x>7

2x 

x>7 x5 x>1

x  12  7

2

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2x 1 2x  5  3x  1 3x  2

x 7/6

x3 4 x   3 x2 3

x>2

5 20 2  2  3x  1 9 x  1 3x  1

x2

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Doble desigualdad de primer grado con una incógnita. :

5  2 x  7  13 2x  1  3  x  2x  5 3 x  7  5  2 x  13  6 x 3x  5  1  x  2 x  3

Evidencia 1.5 Resuelva las desigualdades siguientes y expresa las soluciones en forma de intervalo, si es posible. (7%)

4

1  3x 1 4

[-5,-1]

2 x  3  1  x  3x  1

(1,4)

5 x  7  3 x  1  6 x  11

x =4

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[-3,-1)

(2,6)

[3,6]

(-1,4]

(9/2 , 5]

[-10/3 , - 13/6]

(15/2 , 21/2]

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Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

El método para resolverlas es la siguiente:  Se quitan denominadores si los hubiera.   Se ordena en un miembro de la igualdad.   Sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad, y se resuelve la ecuación de segundo grado.   Los valores obtenidos se representan en la recta.  5. Probamos en cada intervalo con un número si verifica o no la desigualdad. Si el punto verifica la desigualdad, todo el intervalo es solución.

Evidencia 1.6

Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa las soluciones en forma de intervalo, si es posible.( 7%)

x  2x  5

 0

2 x  5x  3  0

(2,5) (-∞,-3] U [5/2 , ∞) [3,4]

x 2  7 x  12  0 9 x  x 2  14 xx  2   3 x2  4 x 2  13  6 x x2  7x  6  0 x2  x  3  0 x 2  12 x  35  0

(2,7) (-∞,-1] U [3 , ∞) (-∞,-2] U [2 , ∞)

*** (-∞,1) U (6 , ∞)

*** (5,7)

x2  x  3  0

***

x 2  5x  4  0

(-∞,1) U (4 , ∞)

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1.6 Valor absoluto y sus propiedades. Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por x , se define por | | | | | | | | Propiedades del valor absoluto Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto. Propiedad 1 El valor absoluto de un número siempre es un número real no negativo, es decir: x 0 Propiedad 2 Si

Propiedad 3 Si Propiedad 4

Propiedad 5 Si

entonces

Propiedad 6

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1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto. Resuelva la desigualdad y exprese la solución en forma de intervalo, si es posible. |

|

(

)

Evidencia1. 7 Resuelva las desigualdades y exprese la solución en forma de intervalos, si es posible (7%) 3x  7  4

(-11/3, -1) ⋃[

2  5x  3 2x  6  3

3  4x 

[3/2, 9/2] 1 2

(5/8, 7/8)

3 x  13  6  0

***

7  3x  5  5

***

|

[

|

|

|

|

|

)

(

]

]⋃[

)

***

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Estudio de Casos: Caso: Un fabricante de tornillos especiales puede vender todos los birlo que produce a . Gasta $40 en mano prima y mano de obra al producir cada birlo y tiene costos adicionales (fijos) de $ 3 000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1 000 a la semana.

Evidencia 1.8 (3%) Caso: Motorola puede vender las unidades más económicas que produce en $300 cada una. Tiene costos fijos de $120 000, y además cada celular le cuesta producirlo $220 ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes Motorola para obtener utilidades? Caso: Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es de p dólares están dadas por . El costo de producir unidades del mismo artículo es = (650 + ) dólares.¿ Cuantas unidades de este articulo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2500 dólares? (

)( )

(

)

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Introducción Unidad II

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Funciones.

El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo. Una función puede expresarse de diferentes modos: mediante una fórmula, gráficamente, y con palabras. En otras palabras, una función es una regla que permite asignar a cada uno de los elementos de “x” de un conjunto A un elemento “y” de otro conjunto B. A diario tenemos ejemplos de estas asignaciones: el médico dosifica un antibiótico en función del peso del bebe, nos cobran el pasaje de un transporte en función de la distancia recorrida, la distancia recorrida es función de la velocidad alcanzada, etc.

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2.1 Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una función. La noción de correspondencia aparece frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo: A cada libro de una biblioteca corresponde un número de páginas A cada ser humano le corresponde una fecha de nacimiento Si se registra la temperatura del aire a lo largo del día, entonces a cada instante de tiempo corresponde una temperatura. Estos ejemplos de correspondencia involucran dos conjuntos, dominio y recorrido. Al conjunto de números que tienen imagen mediante una función le llamamos dominio de definición de una función. El recorrido de una función es el conjunto de todas las imagines de la función. Entonces, una función consiste en dos conjuntos, dominio y recorrido (rango o imagen). A cada miembro del recorrido debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x. Definición gráfica de una función: Si f es una función, entonces la gráfica de f es el ) del plano ) es un par ordenado conjunto de todos los puntos ( para los cuales ( de f. En una función existe un solo valor de la variable dependiente para cada valor de la variable independiente del dominio de la función, en términos geométricos estos significa que una recta vertical intersecta la grafica de una función a lo más en un punto.

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Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas combustible, que tenga forma horizontal circular de 3m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio r no está aún determinado. Expresar el volumen V del tanque como una función de r. Normas para modelar con funciones: Exprese el modelo en palabras. Identifica la cantidad que quieres modelar y exprésala en palabras como una función de otras cantidades en el problema Elija la variable. Asigna un símbolo, como x, a una variable y expresa las otras variables en términos de este símbolo. Establezca el modelo. Expresa la función en lenguaje algebraico. Use el modelo. Emplea la función para contestar las preguntas planteadas en el problema. Evidencia 2.1 (5%) 1. Dos barcos zarpan al mismo tiempo del hermoso puerto de Coatzacoalcos. Uno viaja hacia el oeste a 17 mi/h y el otro hacia el sur a 12 mi/h. Sea t el tiempo en horas después de la salida. Expresar la distancia d entre las embarcaciones como una función de t. 2. Una compañía productora de cereal fabrica cajas para empacar su producto. Por razones estéticas, la caja debe de tener las siguientes proporciones: su amplitud es tres veces su profundidad y su altura es cinco veces su profundidad. a) b) c) d)

Halla una función que modele el volumen de la caja en términos de su profundidadEncuentra el volumen de la caja si su profundidad es de 1.5 pulgadas ¿Para qué profundidad el volumen es 90 pulg³? ¿Para qué profundidad el volumen es mayor que 60 pulg³?

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva Las funciones se pueden clasificar como inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Debemos recordar las definiciones de domino, imagen, codominio, variable dependiente y variable independiente, lo haremos con el siguiente ejemplo: Sea el conjunto A ={1, 2, 3} Le aplicamos la función: ( ) Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5} Es decir: A f(x) = x +1 B

1 2 3

2 3 4 5

Al conjunto A se llama dominio de la función. Al conjunto B se llama codominio de la función. Página 27 de 88

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A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama imagen o rango (en este ejemplo el codominio y la imagen NO tienen los mismos elementos). y = f (x): variable dependiente. x: variable independiente. NOTA: La función del ejemplo anterior también lo podemos indicar en definiendo los conjuntos A y B; y posteriormente definir la función; es decir: A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4, 5} f = {(1,2), (2,3), (3,4)} Se dice que una función es inyectiva cuando cada elemento del rango se asocia con uno y solo uno del dominio, en este caso no hay dos parejas ordenadas que tengan la misma segunda componente. Ejemplo: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A B: f={(1,2), (2,1), (3,3)} Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea entonces es INYECTIVA.

Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A_B: f={(1,2), (2,1), (3,2)} (solo se cambio el número indicado en rojo) Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA.

Para la siguiente función: ( ) A cada elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen, por lo tanto ES INYECTIVA. NOTA: El domino y la imagen son todos los reales: D=ℝ Página 28 de 88

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I=ℝ

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Cuando el rango y el codominio son iguales la función es SUPRAYECTIVA. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1,2,3} y B = {2,4} y la función f = {(1,2), (2,2), (3,4)}

Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio. El rango de la función también es I = {2,4} Como el codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA. Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función: f = {(1,2), (2,2), (3,2)} Gráficamente queda de la siguiente forma:

El codominio B = {2, 4} El rango o imagen es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES SUPRAYECTIVA En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen deben ser todos los reales. Para que una función sea BIYECTIVA se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. Ejemplo: La función ( ) es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es BIYECTIVA.

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Funciones

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Inyectiva

No inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva

Evidencia 2.2 (5%) Indicar con una X si la función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva, FUNCIÓN

INYECTIVA

SUPRAYECTIVA

BIYECTIVA

√ http://books.google.com.mx/books?id=vCMIOfrbYrAC&pg=PA83&dq=Funciones+inyectivas,+suprayectivas+y+biyectivas&ei =AiCHSvDONqbKyQTEhO2fDg#v=onepage&q=Funciones%20inyectivas%2C%20suprayectivas%20y%20biyectivas&f=fals e

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2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. Se llama función real de una variable real a cualquier aplicación f : D R, D R, que hace corresponder a cada x D uno y sólo un valor f(x) R. La función se suele representar por ( ) Donde x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente. Si f(x0) = y0, se suele decir que y0 es la imagen de x0 por la función f, o que x0 es un origen de y0. La representación en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x0; y0) se llama gráfica de la función f. Graficar y establecer el dominio de las siguientes funciones a) b) √ c) ) √ (

d) e)

( )

Evidencia 2.3 (5%) Nota: Todas las gráficas se harán en Winplot u otro graficador. 1) Trazar la gráfica de la función f dada por ( ) √ ¿Cuáles son el dominio de f? 2) Trazar la gráfica de la función f dada por

( )

¿Cuáles son

el dominio de f? 3) Trazar la gráfica de la función y hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones a) ( ) √

b)

( )

c)

( )

d)

( )

√

√

√

Traza la gráfica de la función f definida parte por parte

( )

x

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Traza la gráfica de la función f definida parte por parte

( )

x

2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. FUNCIÓN POLINOMIAL: Son funciones polinómicas aquellas cuya expresión analítica es un polinomio: ( )

( )

Función constante: f(x) = b. ; Función identidad: f(x) = x. Función lineal: f(x) = mx + b Función cuadrática: f(x) =ax2 + bx + c Función cúbica: : , etc. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_d e_funciones_tipos_operaciones/rectas.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_d e_funciones_tipos_operaciones/parabolas.htm FUNCIÓN RACIONAL: Están definidas por el cociente de dos polinomios. ( )

( ) ( )

( )

FUNCIÓN IRRACIONAL (función raíz): Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical: ( )

√ ( )

Donde g(x) es una función polinómica o una función racional. Si n es par, el radical está definido para ( ) http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/raices.htm

2.5 Funciones trascendentes: exponenciales.

funciones

trigonométricas

y

funciones

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FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA: Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera. Una razón trigonométrica en función del ángulo. ( )

( )

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/trigonometricas.htm FUNCIÓN EXPONENCIAL: Son las que la variable independiente está en el exponente. ( ) ( )

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2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto. Evidencia 2.4 (5%) Visitar la siguiente página y realizar la actividad señaladas con los incisos a y b. Reportar resultados en hoja de evidencia http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementale s_2/valorabs.htm

2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. Dadas dos funciones y = f(x) e y = g(x), se definen las siguientes operaciones algebraicas: 1. Suma o diferencia: (f ± g) (x) = f(x) ± g(x), con dominio D(f ±g) = D(f) ∩ D(g). 2. Producto por un número real: Si , (α f) (x) = α f(x), con dominio D(α f) = D(f). 3. Producto: (f g) (x) = f(x)g(x), con dominio D(f g) = D(f) ∩ D(g). ( ) } 4. Cociente: (f /g) (x) = f(x) /g(x), con dominio D(f /g) = D(f) ∩ D(g) Si f(x) = x2 -x+ 1 y g(x) = x + 2, encuentra las expresiones algebraicas de f + g, f g y f/g, especificando el dominio de cada una de ellas. Evidencia 2.5 equipos de 3 integrantes (20%) Visitar la siguiente página, realizar la actividad según instrucciones, reportando resultados y conclusiones obtenidas: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/sumaresta.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/productodiv.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Familia_de_funciones_ tipos_operaciones/composicion.htm

2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. FUNCIÓN INVERSA: La función inversa “deshace” o invierte lo que ha hecho la función La función inversa de f es Si ( ) ( ) FUNCIÓN LOGARÍTMICA: Son las inversas de las funciones exponenciales. ( )

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( )

( )

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente: La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x. La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x. La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.

2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. Denominaremos sucesiones infinitas a aquellas que posean un conjunto infinito de elementos distintos.

2.10 Función implícita. La función estará expresada de esta manera porque no hay forma posible de despejar la y.

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Introducción Unidad III Límites y Continuidad.

Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese picaporte, no importa cuánto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite". El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números: tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4 que está entre 4 y 5, ahora un número que este entre 4 y 4 , por ejemplo 4.1, nuevamente busquemos un número entre 4 y 4.1, tal vez 4.01, y así sucesivamente ppodemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar.

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3.1 Límite de una sucesión.

3.2 Límite de una función de variable real. Definición de límite Si

An

es el área de un polígono regular inscrito con n lados, entonces se puede observar

que cuando n aumenta An , se aproxima cada vez más al área del círculo. Se dice que área A del círculo es el límite de las áreas An y se escribe:

Área  lím An n 

Definición del límite de una función: Se escribe:

lím f x  L

,se lee “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L”

x a

Si es posible hacer que los valores de ( ) se aproximen de manera arbitraria a L (tan cerca de L como se quiera) al tomar suficientemente próxima a , pero no igual a .

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3.3 Cálculo de límites. 3.4 Propiedades de los límites. Se usan las siguientes propiedades de límites, llamadas leyes de límites, para calcular los límites: Suponga que

es una constante y que los siguientes límites existen:

( ) y

( ) , entonces:

El límite de una suma es la suma de los límites [ ( )

( )]

( )

( )

El límite de una diferencia es la diferencia de los límites [ ( )

( )]

( )

( )

El límite de una constante por una función es la constante multiplicada por el límite de la función. ( )

( )

El límite de un producto es el producto de los límites [ ( ) ( )]

( )

( )

El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea 0) ( )

( ) ( ) [ ( )] √ ( )

( )

( ) [

( )] √

( )

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3.5 Límites laterales.

lím x 1

x 1 x2 1 y



f(x) = (x-1)/(x^2-1)



x 









f x  0.9 0.99 0.999 0.9999

f x  1.1 1.01 1.001 1.0001

En base a los valores encontrados en la tabla, se dice que:

lím x 1

x 1  x2 1

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Evidencia3.1 (10%) Estima el valor del límite y grafica: 1)

x 2  x4

lím x 4

2)

lím

x2  x  x6

lím

ex 1  x

x 2

3)

x 0

2

4) 5)

II. Determinación algebraica de límites Formas indeterminadas:

 

0 0

0*

División por cero excluida

 a 0

0

00

1

0 0

I. Límite por sustitución directa: x 2  5x = lím 4 x  2 x  1 II. Límites por medio de álgebra y leyes de límites

lím

x 2

x 5  32  x2

m5  n 5  m  n m 4  m3 n  m 2 n 2  mn3  n 4

lím x 1



x3 1  x2 1

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a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2



a  b  a  b  a  ab  b 3

3

2

2





√

lím x 1

x 1  x 1

lím

3x 2  8 x  16  2x 2  9x  4

lím

2 x 3  5x 2  2 x  3  4 x 3  13x 2  4 x  3

x 4

x 3

Evidencia3.2 (10%) 3 lím 2 x  10 x  8 = x 3

lím x  3  x 1

lím

x2  4  x2

lím

x 3  27  x3

x 2

x 3

(

)

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lím

343  x 3  x7

lím

3x  x  x

x 7

x 0

x 4 lím 2 x  4 x  x 12 lím

x  h)2  x 2

h 0

h





lím x 2  4 x

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x3  27 lím 2 x  3 x 9 4 x 2

lím

x 2

3 x 2 5



lím x 3  2 x 2  3x  4

x2

x  1

(3x 1) 2 lím 3 x 1 ( x 1)

3x 3 x lím x  x x  0 3 3

x 1 lím 2 x  2 x 1

x 2 4 lím 2 x  2 x 5x  6

x 2  3x  2 lím 2 x  1 x  4 x 3

lím

x2



x 2 x 2 4

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lím

x 2

x 2 x 2 4

( x  h)3  x3 lím h h 0

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lím

x2

lím

x 1

x 2 x 2 4

x 1 x 2 3  2

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3.6 Límites infinitos y límites al infinito. Evidencia3.3 Equipos de 3 integrantes (5%) Investiga y reporta por medio de un cuadro sinóptico, mapa mental o conceptual: Limite infinito Limite al infinito Y cual es la diferencia entre estos.

1. Límites de polinomios El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del polinomio:

Pues en el primer caso el coeficiente de de es negativo.

es positivo, y en el segundo caso el coeficiente

2. Indeterminación Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminación de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla: Si tenemos: ±

𝑥

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)

𝑠𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃 (𝑥 ) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) Donde el signo depende de los coeficientes 𝑠𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃 (𝑥 )

𝑎 𝑏

𝑠𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃 (𝑥 )

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥)

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥)

Siendo a y b los coeficientes de los términos de mayor grado de cada polinomio

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3. Indeterminación Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos resolver

Evidencia3.4 (10%) Hallar los límites por inspección de exponentes o, dividiendo el numerador y denominador por la potencia mayor de x en la fracción, teniendo en cuenta que

1 =0 x  x lím

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√

[(

lím

x 

)

√

]

3x  2 9x 7

6 x 2  2 x 1 lím 2 x   6 x 3x  4 x 2  x 2 lím x  4 x3 1 2x3 lím 2 x   x 1 3.7 Asíntotas. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Hay tres tipos de asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas Una asíntota vertical (paralelas al eje OY) de una función ( ) es una recta vertical tal que se cumple; ( ) ± Página 48 de 88

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O bien, ( )

±

La recta “x = a” es la asíntota vertical. Calcular la asíntota vertical de la siguiente función: ( )

la posible asíntota estará en el punto

( )

( )

√

√

Calcula

𝑥

𝑥 𝑥

𝑥

𝑥 𝑥

la posible asíntota estará en el punto

Calcula

𝑥

√𝑥

𝑥

√𝑥

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Una función tiene asíntota horizontal (paralelas al eje OX) en alguno de los dos límites; ( )

tal cuando para

O bien, ( ) La recta “y = b” es la asíntota horizontal. Calcular la asíntota horizontal de la siguiente función:

( ) =

la asíntota horizontal está en

Una función tiene asíntota oblicua (inclinada) si existen los límites; ( ) [ ( )

]

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua. Calcular las asíntotas oblicuas de la siguiente función: ( )

( Sustituyendo en

) (

)

(

)

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Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras. En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

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3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. Tipos de discontinuidades. La idea intuitiva de función continua en un punto es bien sencilla. Una función continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Para determinar que una función sea continua no necesitamos analizar cada punto que la compone, nos basta con encontrar "aquellos" que "interrumpen" la gráfica. Para hallar "esos" puntos debemos tener en cuenta tres condiciones que deben cumplir las funciones analizadas: a) Para el valor de "x" (elemento del conjunto de partida) elegido siempre debe existir una imagen.Debe cumplirse que: si x = a  f(a) = b (b R) b) Analizando los límites laterales, ambos deben tener el mismo resultado (mismo límite) c) El valor del límite debe ser la imagen de la función en ese punto. Resumiendo, para que una función sea continua en un punto debe cumplir: ( )

( )

( )

( )

¿Cuáles son los posibles puntos de discontinuidad de una función? Aquellos en los que no está definida la función (anulan el denominador, etc.) y aquellos en los que cambia la definición de la función. En todos los demás puntos las funciones son siempre continuas y no hace falta analizarlos. Tipos de discontinuidad:

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

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Discontinuidad de salto infinito

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Discontinuidad infinita

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√

Discutir la continuidad de si ( ) La función no está definida cuando el denominador sucede esto?

O cuando el radicando

¿Para qué valor de

es negativo?

Conclusión:

y







x 





















Evidencia 3.5 (15%) Demuestra que la función 1.

( )

2.

( )

es continua en el número

√

dado y grafica:

;

√

;

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Demuestra que es continua en el intervalo indicado y grafica: ( )

; (

)

( )

;

(

)

Discutir la continuidad de ( )

√

√

Discutir la continuidad de ( )

si:

si:

√ √

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Introducción Unidad IV Derivadas.

Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones día con día o de un año a otro. La historia, la política, la economía y el clima están sujetos a cambios constantes y con frecuencia desconcertantes. Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las marcas. Otros parecen más complicados: las recesiones económicas, los brotes de enfermedades, las condiciones metereológicas. Cambios de toda índole influyen en nuestras vidas. Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el mundo cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es necesario:     

Representar los cambios en una forma comprensible. Entender los tipos fundamentales de cambio Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran. Aplicar estas técnicas al mundo exterior y Controlar un universo cambiante para nuestro mayor provecho.

El medio más eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemáticas. Con las matemáticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemáticas son el summum en la “transferencia de tecnología”: los patrones percibidos en un ejemplo individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de los negocios. Por Ian Stewart

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4.1.Definición de derivada Sea una variable con un primer valor y un segundo valor . Entonces el cambio en de valor de , es , se denomina incremento de y se denota por . Se utiliza la letra griega (delta) para denotar el cambio o incremento de cualquier variable. Sea ( ) una variable que depende de . Cuando valor ( ). De manera similar, cuando , incremento de es: ( )

tiene el valor de tiene el valor ( )

Resolviendo la ecuación , tenemos que en la definición de , obtenemos: ( Dado que

)

, tiene el ( ).Así el

. Usando este valor de ( )

puede ser cualquier valor de , podemos suprimir el subíndice y escribir: (

)

( )

( )

0

La tasa de cambio promedio de una función por la razón: (

sobre un intervalo de )

a

se define

( )

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La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. (

)

( )

4.2 Interpretación física o geométrica de la derivada.

( )

0 M

N

Supongamos una secante que pase por P y un punto próximo Q de la curva. Hagamos que el punto Q se mueva sobre la curva aproximándose indefinidamente a P. La secante girará alrededor de P, y su posición límite es por definición, la tangente a la curva en P. Entonces ( ) dada: Escogemos un punto ( de la curva y cercano a

) de la curva y un segundo punto

Primer paso

(

)

Segundo paso

(

)

(

) también

( ) ( Tercer paso

(

) )

( )

( )

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Luego

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, Suponiendo que

es una función continua, tenemos:

( ) Teorema:

4.3 Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante, derivada de la función x n cuando n es entero positivo y cuando n es un número real, derivada de la suma de funciones, derivada de un producto de funciones, y derivada de un cociente de funciones Evidencia 4.1 Comprobar cada una de las siguientes derivadas

⁄

⁄

⁄ ⁄

⁄ ⁄

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√ √

√

√ √

√

√

√

√

√

√

√

√

√

( )

(

( )

( )

)

(

( )

√

√

(

(

)

⁄

) ⁄

( ) (

)

) (

√ √

) ⁄

(

)

(

) ⁄

(

(

( )

)

)

√

√

(

)

(

)

√ √

√ √

) ⁄

(

√

√

(

)√

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√

(

√

)√

) ⁄ (

(

) ⁄

4.4 Derivada de funciones logarítmicas y derivada de funciones exponenciales Evidencia 4.2 Derivar cada una de las siguientes funciones ( ) (

)

(

)

[

(

) ]

(

(

)

(

)

)

√ (

)

√

(

( ) ( )

)

( ) (

√

)

( )

√

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√ ( )

( )

(

)

√

√

√

(

)

(

(

)

)

(

)

( (

⁄

⁄

)

(

(

( )

√ √

( )

)

⁄

⁄

)

)

√

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( √

√

(

) )

√

( )

( ) (

)

4.5 Derivada de funciones trigonométricas Evidencia 4.3 Derivar cada una de las siguientes funciones

⁄ √ √

√

√

( )

) ⁄

(

√

( )

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√ (

) (

)

⁄ √ ( )

(

)

( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

⁄ ( (

)

(

)) )

Hallar la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:

⁄

( [(

) )

]

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4.9 Derivada de las funciones inversa trigonométricas Evidencia 4.4 Derivar las siguientes funciones: √

√

√

√

√

√

√

√

4.10 Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena) y Derivada de las funciones implícitas

Evidencia 4.5 Hallar para cada una de las funciones siguientes √ √

√ ) (

√ (

√

√

) (

)

( √(

)

) )(

)

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⁄

√

√

√

√

√ ⁄

⁄

⁄

⁄

√ √

√

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Introducción Unidad V Aplicaciones de la derivada. Los tipos básicos de la variación identifican diferentes maneras en los cuales un cambio continuo puede tener lugar de acuerdo a la dirección del cambio (constante, creciente o decreciente) de la variable que cambia y de su tasa de cambio. Se refieren a cada uno de estos a través de las operaciones de diferenciación e integración. A través de experiencias cotidianas con cambios continuos construimos el conocimiento intuitivo acerca de ellos lo que pueden ayudar a los estudiantes aprender las ideas matemáticas claves acerca de esos tipos de variación. La idea de los tipos básicos de la variación surgió de nuestro estudio sobre como los estudiantes de High School atacan los problemas de diferenciación e integración, situados en contextos físicos y experimentales (Rubin y Nemirovsky, 1991; Nemirovsky y Rubin, 1991). Consideremos, por ejemplo, el problema siguiente.Lluvia Any colocó un colector de lluvia en su patio y usó una regla para medir la cantidad de agua que se acumuló durante dos semanas especialmente lluviosas. Esta gráfica muestra la cantidad de agua que ella colectó durante las dos semanas.

b

a

c

¿Qué pasó durante las dos semanas? ¿Cuándo llovió más? ¿Cuándo menos? Cuenta la historia de la cantidad de agua que había en los diferentes días durante las dos semanas Imagina que Amy colocó un colector cada día en lugar de colectarla durante las dos semanas completas. Con la información que tienes acerca de la lluvia durante las dos semanas ¿puedes mostrar la cantidad de lluvia que Amy colectó cada día? Dibuja la cantidad en cada uno de los colectores de lluvia.

Al analizar un problema como éste, a menudo los estudiantes espontáneamente dividen la curva en regiones, tales como las regiones a b y c de la figura 1, y articulan para cada región una descripción diferente, como “aquí (en a) llueve cada vez menos”, “aquí (en b) en realidad no llueve” y así sucesivamente.

lun

mar

mierc

jue

vie

sab

dom

lun

mar

mierc

jue

vie

sab

dom

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La manera en que un estudiante parte en pedazos a una curva continua expresa una taxonomía implícita, esto es, un esquema para distinguir casos básicos, cada caso representa un modo específico de variación que puede ser descrito como un todo. Al tratar de entender el papel de estos esquemas de clasificación en el acercamiento de los estudiantes a problemas específicos de diferenciación e integración, y como son obtenidos a partir de las diferentes representaciones (gráficas, palabras, ecuaciones, etc.) empezamos a desarrollar la noción de tipos básicos de variación como un campo de investigación. Investigaciones relacionadas han sido desarrolladas con u particular enfoque sobre la interpretación de los estudiantes y la producción de gráficas cartesianas (Janvier, 1978: Swan, 1982; Krabbendam, 1982). Un tipo básico de variación no debe ser confundido con su representación. Una figura cartesiana como la que se muestra en la figura 2, muestra un incremento con una tasa de decrecimiento que también puede ser obtenida por expresiones verbales (ejemplo, la planta creció cada vez más lentamente, listas de números (ejemplo, 1, 6, 10, 13,15, etc.), ecuaciones (ejemplo, y = sqrt(x), para x mayor que cero) y así sucesivamente. El tipo básico de variación mostrado por todas estas representaciones, abarca el conjunto de todas las variaciones continuas sobre un intervalo, tales que crecen a una tasa decreciente. Consecuentemente, lo que subyace es su comprensión de la idea general de incrementos continuos decrecientes.

Figura 2 La clasificación tácita de los estudiantes discrimina las diferentes maneras en las cuales un cambio continuo puede ocurrir. La idea más fundamental usada en el reconocimiento de los diferentes casos es la dirección del cambio creciente, constante y decreciente. Una segunda idea usada por los estudiantes, en algunas situaciones y representaciones, es la dirección del cambio de la tasa de cambio; usando esta segunda idea en un incremento del cambio, por ejemplo, puede ser discriminado en términos de uno de estos tres casos:

Figura 3 Los estudiantes pueden usar algunas de estas distinciones dependiendo de la situación que es descrita y de la representación usada. Muchas de estas distinciones aparecen tempranamente en el desarrollo del niño. No sólo la dirección del cambio, expresadas por el uso de palabras como “más”, “menos” y “la misma” (Walkerdine, 1988), sino también la dirección de cambio de la tasa de cambio es usada por los niños. Por ejemplo, los niños pequeños reconocen la diferencia entre “correr cada vez más rápido”, “correr rápido” y “correr cada vez más lentamente” lo cual corresponde a los tres casos ilustrados como gráficas de posición vs. tiempo en la figura 1. Esto no significa, obviamente, que el mismo niño necesariamente estará capacitado para reconocer cada caso como está representado en la gráfica de posición vs. tiempo. Hipotetizamos que el uso de la discriminación y los significados de los tipos básicos de variación radica en nuestras actividades que involucran al cambio continuo como una experiencia general de nuestra vida cotidiana. Es de gran ayuda distinguir dentro de este antecedente experimental tres clases de contextos que participan en nuestra construcción de los tipos básicos de la variación: 1) Movimiento. Desplazamiento de objetos en el espacio. Rotación y traslación. Ejemplos: carreras caída de objetos, lanzamiento de objetos, etc.

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2) Crecimiento. Cambio de volumen. Contracción y expansión. Ejemplos: Crecimiento biológico, vaciado de contenedores, inflado de balones, etc. 3) Formas espaciales. Variación no-temporal. Irregularidad. Contorno de objetos. Ejemplos: escalamiento de colinas, modelado con arcilla, manipulación de cuerdas y alambres, etc. Las experiencias cotidianas con actividades pueden apoyar la construcción de esquemas generales, en el sentido de Johnson (1987), que son usadas al darle sentido a las vacaciones menos tangibles, tales como la variación en la tasa de inflación, humor o records deportivos. Al tratar de examinar como estos contextos permiten el conocimiento de los estudiantes acerca de los tipos básicos de variación, estamos trabajando con varios ambientes de aprendizaje (Rubin y Nemirovsky, 1991). El primero provee herramientas para explorar el movimiento, habilitando a los estudiantes para medir y graficar el movimiento de los carros de juguete. El segundo permite a los estudiantes trabajar con flujos de aire, apoyando la experimentación y medición con flujo de aire tanto de entrada como salida de una bolsa. Un tercer ambiente, actualmente bajo desarrollo, incluirá medios para diseñar y estudiar contornos espaciales. Otro ambiente que estamos usando está basado en herramientas de modelado computacional en el que los tipos básicos de variación, representados por gráficas cartesianas y operado por medio de la corrida de sumas de listas de números, son construidos por medio de ladrillos para representar el modelo y las figuras gráficas. La sección siguiente describe un análisis estructural de los tipos básicos de variación, esto es, una definición sistemática de los diferentes casos y sus relaciones. Las relaciones internas entre los tipos básicos de la variación están dados por la diferenciación y la integración. Pueden ser reconocidos en el comportamiento de las parejas función/derivada tales como posición/velocidad, volumen/tasa del flujo y altura/pendiente. Este análisis estructural es útil porque provee un antecedente formal ante lo que pueda describir cada taxonomía idiosincrásica del estudiante. También provee de un marco común para estudiar como el sistema de representaciones y el contexto del problema pueden afectar las taxonomías de los estudiantes. En otras palabras, facilita la descripción de cuáles casos, y transformaciones entre casos, son discriminados por los estudiantes en diferentes situaciones y representaciones. II Análisis Estructural. Las entidades que usaremos para este análisis son las funciones analíticas, f(x), definidas sobre cierto intervalo de su dominio x. Consideraremos tres atributos: * Dirección de cambio (crecimiento, decrecimiento, constante) * Dirección de cambio de la derivada (crecimiento, decrecimiento, constante) * Signo (negativo, positivo, cero) Clasificaremos el conjunto de funciones analíticas f(x), definido sobre cierto intervalo de su dominio x, tal que los tres atributos mencionados arriba son invariantes, esto es, consideraremos sólo aquellas f(x), tales que el signo de f(x), su primera y segunda derivada no cambien sobre el intervalo escogido de su dominio x. Al examinar todos los posibles casos vemos que hay 15 casos de funciones, correspondientes a los 15 tipos básicos de la variación, que serán simbolizados por las gráficas icónicas.

1

9

2

10

3

11

4

5

6

7

12

13

14

15

8

Cada unos de estos casos tiene una estructura interna que se explícita por la diferenciación y la integración. Por ejemplo, el tipo 9 es una variación decreciente pero está asociado con una variación de incremento negativo dada por su derivada (la cual es una mezcla de tres posibilidades representadas por el tipo 5, la cual está dada por su integral indefinida. La tabla 1 indica estas relaciones mostrando como cada tipo básico de variación es transformado en otro a través de la derivada y la integral indefinida. Escogiendo cualquier tipo básico de variación del eje

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vertical de la tabla 1, podemos trazar el tipo correspondiente sobre el eje horizontal, obtenido a través de la derivada (D) o de la integral indefinida (1). Por ejemplo: (D)

a menudo la transformación es ambigua en el sentido de que nos puede conducir a varios tipos básicos de la variación o de una combinación de ellos. Por ejemplo el símbolo muestra que el tipo transformado puede ser cualquier combinación de los tres tipos básicos de la variación, correspondiente a las tres columnas indicadas. la transformación por la integral indefinida siempre aparece dos veces, porque el signo del tipo básico transformado no está definido. La tabla 1 muestra porque es importante distinguir entre variación positiva o negativa, así como entre variación constante cero y diferente de cero. Esto es porque mantienen diferentes posiciones en la red de relaciones. Por ejemplo, la integral indefinida del tipo 6 es el tipo 6, mientras que la integral de su versión negativa, el tipo 12, es el tipo 9. Éstas son distinciones relevantes en muchas situaciones de cambio físico. Por ejemplo, a una variación en la tasa de flujo del tipo 6 le corresponde un incremento en el flujo neto, mientras que a una variación en la tasa de flujo del 12 le corresponde un decremento en el flujo neto de salida. Un argumento similar puede elaborarse al considerar la distinción del tipo 1 con respecto a los tipos 2 y 3. Por ejemplo, si representa el comportamiento velocidad vs. tiempo de un corredor, la diferencia entre correr a cierta velocidad contra permanecer inmóvil marca una distinción sobresaliente. Las ambigüedades mostradas en la tabla 1, tales como las tres posibilidades para la derivada de una curva, podrían ser resueltas si una ecuación en particular está definida para la curva. Por ejemplo, si asumimos que la variación del tipo 5 está dada por una ecuación cuadrática, entonces su derivada está bien definida como del tipo 7. Sin embargo, creo que a nivel de este análisis estructural, es importante no suponer una ecuación en particular. Hay un campo de pensamiento y aprendizaje en el que la distinción cualitativa determinada por los tipos básicos de variación no requiere mayor especificación. Por ejemplo, la integral indefinida de la variación del tipo 12 le corresponde una variación del tipo 9, mientras que la variación del tipo 12, en un instante determinado, puede ser una parte de una polinomial, una exponencial, una función trigonométrica o de alguna otra. Cuando sea necesario, las ecuaciones pueden ser pensadas en términos de su significado simbólico que nos habilite a discriminar de otras formas qué tipo básico de la variación tiene lugar. III Los Tipos Básicos de la Variación y las Gráficas Cartesianas Muchos estudiantes están capacitados para reconocer inmediatamente algunos tipos básicos de la variación que correspondan a figuras en una gráfica cartesiana. Steve Monk ha entrevistado estudiantes de College al resolver el “Problema de la escalera” (Monk, 1990) usando un modelo físico. El problema pide el movimiento del extremo superior de la escalera recargada sobre una pared cuando el extremo inferior se mueve a velocidad constante sobre el piso. Mientras experimentan con el modelo físico a menudo los estudiantes expresan certeza acerca de la forma de la gráfica, aún antes de determinar el eje o las unidades. Por ejemplo, uno de ellos había una forma como la de la figura 4 sería apropiada, y se esforzaban por encontrar cuáles deberían ser las variables sobre los ejes de tal figura gráfica para mostrarla. Esta es una evidencia de que ha reconocido en el movimiento del extremo superior de la una variación de crecimiento creciente y su correspondencia con una figura gráfica en particular. Ésta es una inversión del supuesto más usual de acerca de la construcción de una gráfica cartesiana, esto es, que primero se definen los ejes y las unidades y entonces se determina la gráfica; lo que muestra que el reconocimiento del tipo básico de la variación y su correspondiente figura pueden ser el primer paso en la construcción de la gráfica cartesiana, y el cual lleva a la selección apropiada de los ejes y las escalas. Hemos observado frecuentemente el comportamiento que Monk reporta. Pero también hemos visto casos de estudiantes que están capacitados para producir una descripción verbal adecuada de algunos tipos básicos de la variación, sin estar capacitados para asociarlos con una gráfica cartesiana. Por ejemplo, hemos analizado (Nemyrovsky y Rubin, 1992) el caso de un estudiante que al trabajar con situaciones de flujo de aire, después de producir un flujo de entrada decreciente de aire a una tasa constante, se le pidió acerca de la variación del volumen vs. tiempo (figura 5)

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Figura 5

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Figura 4 Tasa

Volumen

de Flujo

Tiempo

Tiempo

Dijo “(el volumen) crecerá cada vez más y más lentamente... Estoy muy seguro que eso es lo que hará”. Sin embargo, esbozó su predicción dibujando una línea recta creciente. Se le preguntó si la gráfica del volumen vs. tiempo sería una línea recta y dijo “puede que no, puede que sea una línea recta, pero, no sólo que será. Creo que será ondulada, tu sabes...” Él sospechaba que un “aumento cada vez más y más lento” no corresponde a una línea recta, pero no supo que podría ser. Creemos que el enriquecimiento de las intuiciones de los estudiantes acerca de los tipos básicos de la variación y de su comprensión de cómo están conectadas con el comportamiento de entidades matemáticas, tales como números, funciones y ecuaciones, son objetivos centrales para la educación matemática. Las investigaciones sobre la comprensión y el aprendizaje de los estudiantes acerca de los tipos básicos de la variación tienen el potencial para describir la enseñanza de las matemáticas del cambio, a través de los niveles educacionales.

Ricardo Nemirovsky TERC, Cambridge, Masachusetts, USA

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5.1 Recta tangente, normal e intersección de curvas (

) (

)

Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las curvas siguientes en el punto dado. Graficar en Winplot. ( (

) )

Obtener las ecuaciones de la tangente y de la normal, y las longitudes de la subtangente y subnormal de cada una de las siguientes curvas en los puntos indicados. (

) (

)

5.2 Máximos y mínimos(criterio de la primera derivada) Calcular los máximos y mínimos de cada una de las funciones siguientes (Graficar la función en Winplot):

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5.3 Máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada)

Calcular los máximos y mínimos de cada una de las funciones siguientes:

⁄

⁄ ⁄

⁄

√ 5.4 Funciones crecientes y decrecientes Una función ( ) es creciente si aumenta algebraicamente cuando aumenta Una función ( ) es decreciente si disminuye algebraicamente cuando aumenta Una función es creciente cuando su derivada es positiva y decreciente cuando su derivada es negativa

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5.5 Concavidades y puntos de inflexión La gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es positiva y cóncava hacia abajo si es negativa. Un punto de inflexión en una curva es el que separa arcos que tienen su concavidad en sentidos opuestos En un punto de inflexión f´´(x)= 0 Hallar los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad de la curva Cóncava hacia abajo a la izquierda y cóncava hacia arriba a la derecha de

5.6 Estudio general de curvas 5.7 Derivada como razón de cambio y aplicaciones 5.8 Problemas de aplicación Se quiere construir una caja rectangular e base cuadrada, abierta por arriba. Calcular el volumen de la mayor caja que se puede obtener de 1 200 de material.

Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba, Debe tener 125 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de 2 pesos por , y el fondo es de 4 pesos por ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo?

Hallar el diámetro de un bote cilíndrico de hojalata de un litro de capacidad, para que en su construcción entre la menos cantidad de hojalata, a) Si el bote es abierto por arriba; b) Si el bote está tapado, )√

)√

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Se quiere construir una artesana de una larga pieza rectangular de hojalata, doblando los dos bordes hacia arriba de manera que la selección transversal sea rectangular. Si el ancho de la pieza es de 36 cm. ¿Cuál debe ser la profundidad de la artesa para que conduzca la mayor cantidad de agua?

5.9 Regla de L'Hopital

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Evidencia:

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FORMULARIO CÁLCULO DIFERENCIAL dv dc 0 n d v dx  dxn 1 dx nv n dv dx 1 d dx ln v   dx  1  dv  dx v v  dx 

 

d du dv dw (u  v  w)    dx dx dx dx

d ln x   1 dx x

d  dv  (cv )  c  dx  dx 

d log v   log e  dv  dx v  dx 

d  dv   du  (uv)  u   v  dx  dx   dx 

d n dv (v )  nv n1 dx dx

d n ( x )  nx n 1 dx dv  du  v   u d u dx  dx    2 dx  v  v  du    d  u   dx    dx  c  c

 

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d senv   cos v dv dx dx d cos v   senv dv dx dx

d tgv   sec 2 v dv dx dx

d log x   log e dx x

d ctgv    csc 2 v dv dx dx d sec v   sec v * tgv dv dx dx

 

d v dv a  a v ln a dx dx

d csc v    csc v * ctgv dv dx dx

 

d x a  a x ln a ) dx

 

d v dv e  ev dx dx

 

d x e  ex dx

d v du dv [ u  vuv 1  ln u * u v dx dx dx dv d arcsenv  dv  dx d arcctgv  dx 1 v2   dx 2 dx 1 v

] d arcversv  dx

dv dx 2v  v 2

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dv d arccos v    dx dx 1 v2

dv d arctgv   dx 2 dx 1 v

dy dy dv  * , siendo y función de v dx dx dx

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dv d arc sec v  dx  dx v v2 1

dv d arc csc v    dx dx v v2 1

dy 1  dx dx dy

Siendo y función de x

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Identidades Pitagóricas Trigonométricas

Identidades Recíprocas

Funciones trigonométricas ±√

±√

±√

Funciones trigonométricas ( ) ( ) (

)

(

)

(

)

) (

Propiedades de Logaritmos √

Grados 0º 30º 45º 60º 90º Radianes 0 √

0 1

√

√

√

1 0

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0

√

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1

√

No definido

Fórmula General: ±√

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COMENTARIOS La presente antología está destinada al aprendizaje significativo de los contenidos del programa de matemáticas I, contiene actividades presentadas como evidencia para que el alumno reafirme sus conocimientos. Podrá ser complementada, mejorada o modificada de acuerdo a los cambios generados en los contenidos didácticos de la asignatura. Deseo que este trabajo fortalezca y cumpla con los objetivos para los cuales fue hecha.

Alicia Enriqueta Pérez Yebra Docente de Ingeniería Mecatrónica.

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Bibliografía General:

Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. Leithold L. Cálculo con geometría Analítica. Edit. OXFORD. University Press. Ayres Frank. Cálculo diferencial e integral. Mc Graw Hill. Granville William A. Cálculo Diferencial e Integral. Edit. Noriega – LIMUSA Anfossi A. Cálculo diferencial e integral. Progreso

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