Antiderivada Inte Indefinida
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CÁLCU CÁL CULO LO II ANTIDERIVADA
IMPRESIONES HD El administrador de servicios de la empresa «impresiones HD» conoce que el ingreso marginal mensual es de R’(x) de R’(x) = = – – 0,4x 0,4x + 30. Sin embargo él está interesado en conocer el ingreso total mensual. ¿Podrías ayudarlo?
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Funciones Derivadas
Temario Antiderivada Integral
Indefinida
Logros de la sesión: Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e Ingeniería empleando el cálculo de integrales indefinidas.
ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Definición Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I si, F’(x) = f(x) para todo x en I.
Ejemplos: FUNCIÓN f
ANTIDERIVADA F
f ( x) 0
F ( x) K
( K )' 0
f ( x) 1
F ( x) x
( x)' 1
f ( x) 2 x
F ( x) x
2 ( x )' 2 x
2
COMPROBACIÓN F’(x)=f(x)
FUNCIÓN f
ANTIDERIVADA F x
f ( x) x n
F ( x)
f ( x ) e x
F ( x) e x
f ( x)
1
n 1
n 1
; n 1
F ( x) ln x
x
COMPROBACIÓN F’(x)=f(x) '
x x n n 1 n 1
(e x )' e x (ln x)'
1 x
( cos x )' sin x
f ( x) sin x
F ( x) cos x
f ( x) cos x
F ( x) sin x
(sin x)' cos x
f ( x) sec x
F ( x) tan x
(tan x)' sec2 x
f ( x) csc x
F ( x) cot x
2
2
( cot x)' csc x
Antiderivada
F ( x) x
Función
Derivada
3
3 F ( x) x 4
2 f ( x) 3x
f ( x) 6 x '
F ( x) x 3 8 Una sola función tiene muchas antiderivadas, mientras que una función sólo puede tener una derivada
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición Al conjunto de todas las antiderivadas de la función f se le llama INTEGRAL
INDEFINIDA de la función f y se representa por
f ( x) dx F ( x) C ; C cte
Propiedades Sean f y g funciones continuas y k una constante real. Entonces se cumple
1.
k f ( x) dx k f ( x) dx
Ejemplo
5 sin x dx 5 sin x dx
2. [ f ( x) g ( x)] dx f ( x) dx g ( x) dx Ejemplo
[sin x x 2 4] dx sin x dx x 2 dx 4dx
INTEGRALES BÁSICAS
x dx n
x
n 1
n 1
c; n 1, c R
Ejemplos
1) x 2 dx
x
2 1
2 1
c
x
3
3
c
x 21 x 1 c 3 c 3 c 2) 2 dx 3 x dx 3 x x 2 1 1 3
2
2
3)
3
x x dx x dx 2 2
3
1
2/3
3
1
c
5
3 3 x c 5
INTEGRALES BÁSICAS
e
ax b
dx
e
ax b
a
c; a 0 , c R
Ejemplos
1) e x dx e x c 2) e x dx
3) e
3 x 1
e
x
1
c e x c
dx
e3 x 1
3 x
x
1
4) e 2 dx
e
2
1
c x
1
c 2e 2 c 1 2
INTEGRALES BÁSICAS k
k
ax b dx a ln ax b c ; a, k 0, c R Ejemplos 1) 2) 3)
4)
1
x
dx ln x c
3
x dx 3 ln x c 2
3 x 5 dx 4
2 5 x dx
2 3
ln 3 x 5 c
4
4
dx ln 5 x 2 c 5 x 2 5
INTEGRALES BÁSICAS
x
k 2
a2
dx
k x arctan c; a, k 0, c R a a
Ejemplos 1)
x
1 2
1
dx arctan( x) c
3 3 x 3 arctan 2) 2 dx c dx 2 2 5 x 25 5 x 5 3)
x
2 2
5
dx
2
x 5 2
dx 2
2 5
x c 5
arctan
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
sin(ax b)dx
1 a
cos(ax b) c; a 0
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) c; a 0 Ejemplos 1 1) sin(3 x) dx cos(3 x) c 3
x x 1 2 sin( )c 2) cos( ) dx sin( ) c 1 2 2 2 2 4 3) 4 sin(3 x 2)dx cos(3 x 2) c 3
x
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
sec 2 ( ax b ) dx
1 a
tan(ax b) c;
a
0
1
csc (ax b)dx a cot(ax b) c; a 0 2
Ejemplos
2
1) sec (3 x)dx
1 tan(3 x ) c 3
x x 1 2) csc ( ) dx cot( ) c 2 cot( ) c 1 2 2 2 2 4 2 3) 4 sec (3 x 2)dx tan(3 x 2) c 3
2
x
EJERCICIOS 1) Calcular I
( x 3 3 x
2
4
3 x x
2
)dx
Solución
2 4 x 2 )dx 3 x
I ( x 3 x 3
1/ 2
3 1/ 2 I x dx 3 x dx
2 1 2 dx 4 x dx 3 x
3
x
4
4
2
x 3 3
2 ln x 4 3
x 1
1
c
2
( x 3 3
x
2 3 x
4 x
2
)dx
x
4
4
2
x
3
2
4
3
x
ln x c
EJERCICIOS
2) Calcular
I (sin x sec (3 x 1) e 2
4
2x
x 2 2
)dx
Solución
I sin xdx sec (3 x 1)dx e dx 2
1
1
3
2
I cos x tan(3 x 1)
e
2x
2x
x
4 2
2
dx
x arctan c 2 2 4
EJERCICIOS
3) Calcular
I
3 x 5 dx 3 x 1
Solución
I
I
3 x 1 6 6 dx 1 dx 3 x 1 3 x 1
6 1dx dx 3 x 1
3 x 5 3 x 1
dx
x 2 ln 3 x 1 c
EJERCICIOS
4) Calcular Solución
I
2 x 5 dx x 2
EJERCICIOS 5) Calcular I Solución
z 4 10 z 2 25 z 5 z 3
dz
EJERCICIOS 6) Calcular I Solución
1 2 / 3 x ( x 1) dx 3
Vaciado de un líquido Un tanque con área seccional constante de 50 m 2 y un agujero de un área seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque. El tanque se llena con agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye a razón: dh dt
1 t 20 , 25 50
Determinar la altura del agua en cualquier instante t, Si su altura inicial es de 5 metros.
h
Solución Integrando a ambos lados:
h(t )
t 20 dt 25 50 2 1 t C 20t 25 100
1
Usando la condición inicial h(0)=5, tenemos C=5. Entonces, la altura se describe por:
h(t )
1
t 2
20t 5 25 100
IMPRESIONES HD El administrador de servicios de la empresa «impresiones HD» conoce que el ingreso marginal mensual es de R’(x) = – 0,4x + 30. Sin embargo él está interesado en conocer el ingreso total mensual. ¿Podrías ayudarlo?
Solución R(x) es la antiderivada de R’(x), entonces lo podemos calcular usando la integral indefinida. Es decir:
R ( x ) ( 0,4 x 30) dx 0,2 x
R ( x) R ' ( x )dx
2
30 x c
Se sabe que cuando se produce cero unidades el ingreso también es cero. Entonces la constante de integración es: c=0
R ( x) 0,2 x 2 30 x
UTILIDAD MARGINAL 1 / 2
Un fabricante estima que el ingreso marginal será R ' (q ) 200 q dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 0,4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades?
CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN Se ha determinado que la población de una cierta colonia de bacterias, horas después de iniciar la observación, tiene un razón de cambio dP dt
200e0.1t 150e0.03t
Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas después?
DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era de -4 C, y horas más tarde se incrementaba a una tasa de °
T
'(t ) 7e0.35t o C/h
a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de horas. b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas? c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10 C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne? °
COSTO MARGINAL Si el costo marginal mensual de un producto es C ' ( x)
x 2 100x 2800
Encuentre la función del costo total, si el fijo es de $ 5 000.
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