ANTIDERIVADA. ANTIDERIVADAS BÁSICAS.doc

CURSO: CÁLCULO II Tema :

Antiderivacion Antiderivacion e integral indefinida

ANTIDERIVA DA Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un administrador que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en deducir el costo total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA de f .

Defnici ón: Una función F recibe el nombre de A!"#E$"%A#A de f  en un intervalo ", si&  F '(  x)  x)

Ejemplo:  x) Se  f ( x) a

2  x

 f ( x )

. Una antiderivada es  F  ( x )

 x  I 

 x porque  F '( 4  x)  x)

2  x

 f '( x '( x) .

Teorema: Si  F es una antiderivada de  f en un intervalo  I , entonces la antiderivada m's general de  f en  I es&  F ( x) C ;

#onde ( es una constante arbitraria.

Ejemplos: 1. )a antiderivada m's

 f ( x ) sin( x sin( x ) es  F ( x) C    cos( x cos( x) C .

general de

2. )a antiderivada m's

 f ( x)  x)

 x

2 es  F ( x ) C 

general de

2  x  x 3

2 x C .

Defnición: Al con*unto de todas las antiderivadas de  f se le llama "!E+$A) "#EF""#A de se representa por&

∫  f ( x)dx

F ( x ) C 

 f y

Ejemplos:

∫ cos(

1.

sin( x ) C 

 x ) dx

2.

ln( x) C  1 dx  x

∫ 

Facultad de Ingeniera 2"1#$I

!emestre

Ejemplos:

∫ cos(

1.

sin( x ) C 

 x ) dx

2.

ln( x) C  1 dx  x

∫ 

Facultad de Ingeniera 2"1#$I

!emestre

F%R&'(A! )*!I+A! DE INTE,RA+I%N Sea  f ,  g funciones derivables, adem's k , C constantes, entonces n tenemos& .

∫ kf (u)du k ∫  f (u)du

-.

∫ 

.

∫ 0du

/.

∫ du

0.

∫ kdu

1.

u du

∫ 

2.

∫ duu

ln u

C 

3.

∫ eu du eu

C 

 f (u )

C  u C  

n

4.

5.

∫  f (u)du ∫  g (u)du

 g (u ) du

u

a du

∫ 

ku C   u

n 1

C 

n 1

a

u

C , a

0, a 1

ln(a)

∫ 

cos(u ) C 

sin(u )du

.

∫ 

sin(u) C 

cos(u ) du

∫ 

- cos(ku )du .  . /.

sin(ku )du

∫ 

∫ 

sin( ku ) k 

cos( ku ) k 

∫ c tg

C 

ln cos(u ) C 

tan(u )du

0.

C 

(u ) du

ln sin(u )

1.

C 

∫ 

ln sec(u ) tan(u )

C 

ln tan

 u 2

  4  

ln tan

  u   C   2  

C 

sec(u ) du ln csc(u) ctg (u ) C 

2.

∫ 

csc(u) du

Facultad de Ingeniera 2"1#$I

!emestre

3.

∫ sec2

(u ) du

tan(u ) C 

4.

∫ csc2 (u)du

-5.

∫ sec(u)

ctg (u ) C 

sec(u ) C 

tan(u ) du

-.

∫ 

csc(u ) C 

csc(u )ctg (u) du

 u     

du

1

∫ 

d  arctan  - 2 2 ua . u a a -.

du 1

∫ u

 

C 

u a ln 2a u a

C 

2

a

-/.

2

∫ a

du 2

l n

u 2

2a

du

-0.

C 

1

u

a

u a

a r  c s i n

  u

∫  -1.

-2.

∫  ∫ 

  a u

2

a

2

2

du

d  u u

C 

2

u

2

a

2

    u  

nu

l l n

a

2

u 2 a C 

2

a   - u2 u arcsin 3 u   2 a a 2 C    u

∫ 

2

  2 2

 a d  u 2 2 2 u a - u

4

∫ u

a

2

ln u

u

2

2 2

5. u

2

∫ 

a du

a

2

u a

C 

2 u

a

2

2 ln u

u

2

2

.

∫

2

u u

2

u   arcsin 

 

a a

a

 

C , a

∫

a

a

2

u

2

2

0

 

1 ln(a)

du

-.

2

 

1

du

2

u a u

Facultad de Ingeniera !emestre 2"1#$I

u

2

C 

a

2

C 

T-+NI+A! DE INTE,RA+I%N INTE,RA+IN DIRE+TA: Se trata aqu6  de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de derivadas y la aplicación de la tabla b'sica considerando algunos recursos algebraicos y las propiedades se7aladas. Algunas veces, antes de realizar la integral correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede integrar me*or. 8osteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras m's sencillas, transform'ndose en una simple suma de integrales m's elementales.

Ejemplos: 6

1.

∫ 6 x

∫ 

5

 x 6 6

5

6  x dx

C

6

x

C 

dx

2.

#.

3

∫ 

3 x

∫ 

 x

5 x

2

3 x 4 dx

3

 x

4

3

4

∫  x  x

2

2

4 3

∫ 

x 1

2

/.

7 x  x

 2 x3 0. ∫  

∫ 

∫ 

3  xdx

3 x C  1 dx

∫ 

 x 1 dx

2 3

 xdx

3

 x

3

4 x C 

∫  xdx

2 3  x

3

 x

 x 3 2

3 dx

2

3 dx

2

 x 5 3

2 5  x  x C 

 x

2

2

2

5

2

4    dx

 

!olución: #escomponiendo la fracción en suma de fracciones& 2 x 3

2

7  x  x

4

2 x 3  x

2

2

7 x2  x

4

2

 x

2

7 4 x

2 x

8or tanto&

 2 x3  x ∫ 

7  x

2

2

4  

   

dx

∫  2

2 x

 x

7 4 x

2

7 x 4

2

 x

dx

1

C 

2

2  x

Facultad de Ingeniera 2"1#$I

2

1 7 x

4  x

C 

!emestre

 2

 x

3

3

7  x

5

4 x  

. #eterminar ∫ 



5

3  x

dx .      

2

!olución:  !ransformando las ra6ces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones y simplificando, tenemos& 3

7 2 5  x  x 3 4 x 5

3  x

2  x

3

2

5

3

2

4 x 2

3 x

2

3

2 7  x  x

7 x

3

2

5

3 3  x  x 5

4  x

5

2

2

3  x 5

5

1 1 1 9 10

2 x

5

4 x

7  x

3

15

3

3

3

8or lo que la integral nos queda&

5  2

  1

3 3

19

3

1

4 x

2 7  x  x 15

 x 7  x 4 x dx  

 

5

1 0

∫ 



∫ 

3 5  x2





3

3

  



 dx 3  

11 19

2 x

∫ 

10

dx

7  x 1 5

∫ dx

4  x

3

5

∫  d   x

3 3

3

20  x

105

21

8

10

 x

5

34

15

4 x

5

 x C  102

63  3 x5 2 6  x 6 2  x  

1

3

mi

  .

∫  d 5

1  x

 

2 6  x 5 3 x  x 

∫   x ∫ 

 x

2

 x

6

∫ 

5

∫  ∫ 

2

∫ 

2

3

2

 x

3

 x

3

   x 3

d

  

dx dx

d   x 3 3

∫ 

13

3  x d   x

2

4

∫  ∫ 

 x

1 6

 x

3 d 

 x 3 d   x 9

16

Facultad de Ingeniera !emestre 2"1#$I

1

! ión

!olución:

 

9

n

 dx .

# e t e r m i n a r

2

7

t 1

 

3

1 6

#e

∫ 

 

6

7

4

3

19

 x

C  1 C 5

 x

4. #eterminar

2

∫ 

 x 2

25

dx .

16

!olución:  x

 x

2

2

16 9 d   x

∫ 

 x

2

16

9

dx

d   x

∫ 

∫ 

2 5

∫ 

d   x 2  x 16

∫ 

x

2

 x

16 d   x

2

 x

1 6

2

 x

2

16

1 6

∫

9 d   x  x

16 16 ln 2 1  x  x

1



 

2

16 9 ln  x

x

2

16

C 

6

 x 2

 x 2

 

E5ER+I+I! 6R6'E!T! En los siguientes e*ercicios, halle las integrales dadas&  x

5

 

1 .

e

3

   x 2 sin x d   

 x



∫  d   x

∫ 

3 2

2. 33  x5  x d 

∫ 

 x

 

3 002t 

 

013t 

e

# .

 y4

12.

e

∫ 

 y

4 dt 

2

2

1

/ .

∫  xtan  2

∫ 

3 cos x dx

 

2 sin 2 x dx

y 3

d   y

∫   x    

 

 

1! 2

 x2

2

3  x  

0.d  x

2

 

1/. tt 

∫ 

∫ 

2 dt 

3

2

 

 1

  x

2

  

3  x

.

2



 x

5  x 2 dx

 

 x

∫ 

5  dx

2 x

∫   4

.

 d 

1

5

2

 



∫ 

∫ 

 

 

t

  dx

3.

  1 5

e  x

2

!

 

1.    

2  x

∫  3 x     41 .

dy

costo marginal por producir q  x

  2

∫ 

unidades de cierto bien es

C ' ( q ) 3q

2

Facultad de Ingeniera !emestre 2"1#$I

e

y

$esuelve los siguientes problemas

17 IN,RE! &AR,INA(. El ingreso marginal derivado de la producción de q  R 1 dólar un '  es id (q 2 por ad ) q unida es 4 2 d. Si de q el ci er to ar t6c ul o es ingreso derivado de la producción de -5 unidades es de 95555, :cu'l ser' el ingreso esperado por la producción de /5 unidades;

27 +!T &AR,INA(. Un fabricante estima que el

2 4 q

48 dólares por

unidad. Si el

costo de producción de 5 unidades es de 90555, :cu'l es el costo de producción de 5 unidades; #7 'TI(IDAD &AR,INA(. Un fabricante estima que el ingreso marginal ser'  R ' (q ) 200q

1! 2

dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q

unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 04 q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es 9-555 cuando en nivel de producción es de -0 unidades. :(u'l es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción sea de 1 unidades; /7 +RE+I&IENT DE 'N AR)(. Un ecologista encuentra que cierto tipo de 'rbol crece de tal forma que su altura h(t ) despu #etermine una expresión para C (t ) . b> :(u'l es la concentración despu