(AntiDemidovich_ Matemática Superior_ Problemas Resueltos) A.K. Boiarchuk _ traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria _ revisión científica de Jairo Cor

i toda l o r i g a toda l í l B w t o d a toda t o d a l o í a M r t o d a t o c u j i a toda toda 9 toda toda T í a t a i m a n t e toda t o ^ M a toda toda i toda t o d f l l » toda b d a d a toda i g M R A i l s iida tola toda todJ a toda toda toda toda ü J ^ i d a toda toda lod J n t o d a toda todJ

k'íjA

MATEMATICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS 4. K. Boiarthuk

7

Variable compleja Residuos y temas especiales

ATEMATI/IKA URSS

Residuos. Aplicaciones de los residuos § 1. Definición de residuo. Teorema fundamental 1.1. Residuo en un punto finito aislado Definición. Se denomina residuo de una función analítica f en un

punto singular aislado z = a e C al coeficiente c_2 de la primera potencia negativa del desarrollo de Laurent de la función f en un entorno del punto z = a. El residuo se denota mediante c-t = res f(z).

a

Teniendo en cuenta la fórmula (2), p. 2.1, cap. 2, t. 6, para los coeficienlos do. la serie de Laurent, obtenemos

1 '2niJ

f f

{

z

)

d

z

>

(1)

donde es una circunferencia de radio p con centro en el punto 2 = a, 7 P C Oa {Oa es un entorno del punto a). Si z ~ a es un punto singular evitable, entonces res / = 0. En saso de que z = a sea un polo de primer orden, a

tenemos res f ¿ 0. En los demás casos res / puede ser o no a

o

igual a cero. Por ejemplo, senz

res e*2 = 0. o

r = 1, res = U, res 2 z - 2 o 2 Obtengamos la fórmula para calcular el residuo en un polo.

., . Sea z — a un polo de orden p de una función /. El desarrollo de Laurent de la función / en un entorno del punto z = a tiene la forma C-i Cf(z) = ~r + •••+JK} (.z-aY z

n=0

de donde se obtiene

f(z)(z - af = = c_Vp + c-p+i{z - a) +... + dT dzp

(f(z)(z-

- ar1 +£

n=0

c«'{a)

(5)

eos kir ^^ * eos z res ctg 2: = res = 1. fcT fcjr sen z coskir En caso de que la función / esté definida mediante la fórmula (4) y las funciones tengan en el punto z = a ceros de órdenes superiores a 1, para calcular el residuo es cómodo cambiar las funciones >x >.: w ^

: < ^ T":

: > : ! : .

x + xt>x \ i s > -. + J ^ ! t , ' ! ^X > X * X 4 X W < " « ) ( 4 X . X ^ v * . í » • ' j x 4 x * < \ < f X > < X >X > s • . « 4 Í . . S X 4 . 4 O 4

: <

:.. .! .. • V « V - ^ - y< . / . W ' i < X< -

iUiM mh i v H ) " t í M no contiene el término de tipo c_ l Z ~ l , resulta que

1 2z = a + cos(p z2 + 2az + l'

2

1 ressen - = 0,

1 1 = ressen2 - = 0.

2

d

i J

z2 +2az + l'

r

r = (7/7or),

z

7 = { z e O

\z\ =

l}.

Las raíces de la ecuación z2 + 2az +1 = 0 son z\t2 - a ± Va2 - 1. Vemos que sólo el punto Z\ —-a + Va2 está abarcado por la circunferencia 7 , pues 1—a =

-

a +

< 1.

De acuerdo con la fórmula (1), p. 1.3,

Solución.

Como zne2**

2& _ _

=

k=0

entonces

n — k - 1, fe e Z 0 , es decir, para n ^ - 1 , tenemos resz n e 2/z =

(71+1

t 27xi res —2 % zi z + 2az + 1 4x

2* + 2a 2?r

(n + 1)!'

vúmmm ^lléiM

«4 Solución. Recurramos a la solución del ejemplo anterior. Representemos la integral I en la forma

¿IT

a dtp (a 4- b eos 0, entonces la circunferencia 7 abarca sólo el punto t = 0 (polo simple). En este caso .

r

t~e2a

1 = — 7 t í res — — o t(t + e2a)

= —ni lim

t~e2a

— = 7r2

Si a < 0, entonces, además del polo t = 0, la curva 7 también abarca el polo t = - e 2 * de la función subintegral. Por tanto, ¿ - e 2a t-e2a res — — = lim _e*>t(t + e2a) i-SS. ~ t

2e2a _e2a

res o t(t + e 2a ) -7ri(—•1+2) = 7TZ

res — ~e2a t(t + e2a)

= —TTl.

Estos dos casos se pueden reunir en uno solo utilizando la notación sgn : I = n i sgn a. Si a = 0, la integral dada se entiende en el sentido del valor principal: 7==vp/tg^=Hm(

j

tgxdx+ J n/2+e

lim llncosaí I31ÉÍBIS;:

\X=Tf¡2 + ln eosx } =

tgzdx\

=

-mmimm lim (— ln sen e -f ln (— sen e) — ln ( - 1 ) ) — sene

lim (ln -ln(-l) £-+4-0 V sene ln ( - 1 ) — ln (—1) — 0.

=

§ 2. Funciones enteras y meromorfas 2.1. Funciones enteras Definición. Una función / analítica en todo el plano C se denomina

función entera. De la definición se deduce que una función entera no tiene puntos singulares finitos. El punto z = oo es un punto singular aislado de la función entera. Si z = oo es un punto singular evitable, entonces, según el teorema de Liouville, la función entera es constante. Sea z — oo un polo de la función entera /. En este caso su desarrollo en serie de Laurent en un entorno del punto del infinito tiene la forma f(z)

= CnZn + . . . + CXZ + Co +

C—nZ " = 71=1

v v

= Pn(z) + J2

c^nz~n.

n=1

La función / - Pn satisface las condiciones del teorema de Liouville >

lim (f(z)-Pn(z))

= 0,

z—>00 de donde resulta f(z) - Pn(z) = 0, o bien f(z) = Pn(z),

Resumiendo, si una función entera / tiene un polo en el punto del infinito, entonces la misma es un polinomio, es decir, una función racional entera. Una función entera para la cual el punto del infinito es un punto singular esencial se denomina función entera trascendente. Ejemplos de tales funciones son zt-* ez, z cosz, z»-+ sen z.

2.2. Funciones meromorfas. Teorema de Mittag-Lefñer Definición. Una función / analítica en todo C, salvo, tal vez, en sus

polos, se denomina función meromorfa. De la definición se deduce que los únicos puntos singulares de la función meromorfa / en el plano C son sus polos. Las funciones enteras forman una subclase de la clase de funciones meromorfas. Dado que todo polo es un punto singular aislado, la función meromorfa / puede tener en C a lo sumo un conjunto numerable de polos. En efecto, todo círculo Kr = { z € G |z| < J2 = const, puede abarcar a lo sumo un número finito de polos, pues de lo contrario éstos tendrían un punto límite finito que sería un punto singular no aislado y no un polo. De este modo, todos los polos de una función meromorfa se pueden enumerar, por ejemplo, en el orden del crecimiento de sus valores absolutos. Consideremos dos casos. Supongamos que la función / tiene: 1) un conjunto finito de polos; 2) un conjunto infinito (pero numerable) de polos.

En el caso 1) el punto del infinito es un punto singular aislado. Denotemos con {bf, j = l , m } el conjunto de polos de la función /. Sea ft el orden del polo bj y

JJ)

c-2

w

9j(z)

z-bi

(z - 6,)2

+... +

(* -

bjfi

la parte principal del desarrollo de Laurent de la función / en un entorno del polo bj. Consideremos la función

z

tp(z) = f(z) -

i=i

Esta función es entera, pues se puede asumir que ha sido definida en los puntos singulares evitables bj. Dado que M

*

z) Yj9Á 2—>00

3=1

las funciones f y se comportan de la misma manera cuando z tiende a infinito. Supongamos que / (y, por tanto, 1, obtenemos 1 1 r e -5r ctg z | ^

1 + e~*

(10)

— 7T ^ £ Tm*

La condición (7) es válida para ctg z si p = 0. En efecto,

/

f [ctgzl Ictg^l , , ,

ff ll + e +

4(2m 4(2m + + l)7r l)7r (m + j W

7m

8(1-+c^*)

si

r—W

m

oo.

De este modo, Pjt(z) son funciones constantes (polinomios de grado cero): „

Pk(z) = Al = res kn

ctgC

^

De aquí hallamos

P0{z) = Q, Pk(z) =

fc7T

Aplicando la fórmula (9) obtenemos el desarrollo de ctg z en fracciones simples m 1 1 1 ctgz — —{- lim ( Y ^ ( + —\Y z oV^ \z — kw kir// fc=-m

o bien 1

00 v^' / Jc=~

1

1\

(11)

00

{donde el símbolo ^ ^ indica que k recorre todos los valores de 2 salvo fe = 0). Teniendo en cuenta la convergencia absoluta y uniforme de la serie (11), la última fórmula puede escribirse de otra manera:

1 . ^

2z

(12)

n—1 Nota. En calidad de j m 7m =

hubiéramos podido tomar las circunferencias

€ C \z\ = m + ^ | sin alterar la estimación (10),

Problemas resueltos.

m

y

v

,

: '

Solución. Es evidente que la serie de las partes principales V

71 £ : converge uniformemente en todo ' (z - n7r)¿ compacto (en el sentido de la definición del p. 22), pues

^rálIfÍII • • ' ' f . f f. f ^ C & í i í . V.-.

n) ) donde los números pn 6 Z 0 son tales que la serie (n

^

(1)

(2)

converge absoluta y uniformemente en todo círculo Kr — {z € O \z\ < ü } (se puede tomar, por ejemplo,

pn=n~

1).

Demostremos que el producto infinito (1) converge uniformemente en todo compacto K c C . Introduzcamos la función

9n(z) =

~'

exp

{ an

"f . • » 4*

2 \an

Pn

Entonces ln gn{z) = = ln ( l -

Z

1 ( Z

an

2\an

+ —+ " — Pa+1

Pn + 1 \ an

+ ...+ P*+ 2

pn+2

$1

Pn \ün

\ an

í>»+ 3

Pn + 3 V an Para — ^ q < 1 obtenemos la estimación

a„

\Pn+l (3)

1-ff Para todo compacto üf C C existe un número n 0 tal que Vn ^ n 0 í f C = {z €. C: |z} < Por consiguiente, s> > ¡ s > í í í S S V N S ^ S % W

(SJ^^^SS^ wi iX .

s Y •• s» < \ >

•> s>

N .i» X

r1

no converge para ningún p

no negativo, la función / se denomina función entera de género infinito. Sea M(r)

= max \f{z)\. Si f(z)

const, confor-

\z\=r

me al teorema de Liouville tenemos lim M(r) = oo. El r—>oo

siguiente teorema, cuya demostración no entra en el marco de este libro, nos da una idea del comportamiento de una función entera de género finito cuando ésta tiende a infinito. fli»; p :r

Demostración. La primera parte de la afirmación y la desigualdad ^ q ^ p + 1 se deducen directamente de la definición de orden de una función entera y de la desigualdad (2) para a = 1/ • ^ Una demostración completa de éste teorema, así como del teorema de Poincaré, se puede encontrar en el libro Biteadze A V, Fundamentos du teoría de las funciones analíticas de variable compleja, M., Naúka, 1972 (en ruso).

3.6. Función meromorfa como el cociente de dos funciones enteras Sea F una función meromorfa y sea z •

* * < > 5»>S J ¡ < > «: n . M j ¡ a¿< v e a w t < S J . " «

» * t^ i>^ ^f í >* ®4 ^**/ x\* 1•»í *^ v

>, s

/

v

^

^ • í - ' ' . » » ^ a » » v « ¡

. • »• •

»;»»>.v> y¡f>x ] resz a

fc^-1

k

Pasemos en esta igualdad al límite cuando R —• +00 y r —• 0. A partir de las condiciones (14) se deduce que lim

J

í z ~ f(z) dz = 0; a 1

r«

í z ~ f(z) dz — 0, r^Oj

lim

a l

indebido a lo cual tenemos +00

+00

J Xa-1 /(®) dx = -e^1**1'

J

o

0

n

x^fix)

dx

/T1

-feo

De este modo, la integral j xa o

1 f{x)

dx existe y

4.2. Aplicación de los residuos al cálculo de sumas de series Sea / una función meromorfa con un conjunto finito de polos {a¿; fc = h n j entre los cuales no hay números enteros. Sea (7™) u n a sucesión de curvas cerradas de Jordán que abarcan ..

'

• t

^

'

.

.I

fS

jjj.•_.

j

el origen de coordenadas sin pasar por ninguno de los puntos enteros z = n ni por los polos de la función f , y tales que rm —> oo cuando ra —• oo, donde r m es la distancia desde el origen de coordenadas hasta la curva 7 m . En este caso, si lim / f(z) ctg TTZdZ^O,

r m = ( 7 m , 7^),

n-»oo J

lim

n^oo J

(1)

(2)

sen 7T2 7rz

y las series correspondientes convergen, entonces se cumplen, respectivamente, las igualdades siguientes: V

W

4

9

f{n) =

res f(z) ctg ttz,

(3)

T i — — O O

««

m

X > l ) n / ( n ) = -1T X )

(4)

ak sen 7TZ

n=1

Demostremos la fórmula (3). Para simplificar asumimos que la curva 7 m es simétrica respecto al eje imaginario. Tomemos m tan grande que todos los polos (k = 1, ra) sean abarcados por la curva 7 m . Denotemos mediante 2Pm el número de puntos de coordenadas enteras abarcados por dicha curva. Entonces, según el teorema de los residuos tenemos ¿ i

7TZ dZ I

m

—yzres

fc=l

c

t

s

ctg1(2

/ I •

+

«i

—

= V r

res

ctg 7TZ + V flí.

r

/(j).

ctg

** -

\ H i t

< S>) I ' ' *

.

'

1

Pasando en esta igualdad al límite cuando ra —• oo y tomando en consideración (1), llegamos a la fórmula (3). La fórmula (4) se obtiene análogamente, utilizando (2)

7rf{z) y teniendo en cuenta que res — (—l) J /(j). Nótese que i sen 7xz las condiciones (1) y (2) se cumplen si f{z) — 0(z ) para

-{

oo y 7m = i 2 G C: \z\ = m + ya que en este caso a V2 G 7 m tenemos •

^

1

+

e

_

,

r

IrtS'^TTTT' 1 j sen7rz| ^ — • Sh-

a Problemas resueltos.

< Solución. De acuerdo con la fórmula (1), p. 4.1, consideremos la función 1 2i _

(

z + l/z\

,/fl-l6.

j

~~ bz2 + b + Haz ~

b(z - zi)(z - z2y donde =

+ V a 2 + 62) ,

^•mmmmm :. -:;;

kí ú^'É. Éts ki^^SI =

l-

( - a - \/a2 + 62 ) •

Si a > O, el punto está en el interior de la circunferencia 7 = {2 e C: \z\ — 1}, mientras que el punto z2 se encuentra en su exterior. De la fórmula (1), p. 4.1, obtenemos

¿M

dt _ ib eos t

2i zi b(z — z\)(z — z2) 4ni

2tt

^1-^2)

Va2 + b2'

Si a < 0, el punto z\ se encuentra fuera de la circunferencia 7 y el punto z2 está en su interior; por tanto,

f

dt J a —ibibeos i t

4ni b(z2 - z\) 2tt

Solución. Como la función x y-* - A< < a Í > < < A . - : •/

«4 Solución. Como / G I e 7 t 6 i , donde

>x*x<

/ .

•• ' . •

OX*

í „»..., < . . . s » . v i » , » » ,

entonces

v a í v í v í ^ ^ »

>

^

»'»• '

v • ' • ' v / » • ^' /

' » :•

*f,x<

>.«>>«»>;

-SÍV: 4 x

''V / A v

^

> >v > /

»» ' S1Í

t ^

• ••

^

Al

¿X

I + ilí = J

< Solución. La función z

ecosx eos (sen x)einx dx =

ocho polos simples

=

1 /í «eosx+mz/tsena? • ,• , —i sen 2 I ^

i J e™

+ e*'*) dx.

zk = e %

f(z) =

J

V

1+ z

r tiene en el plano C

(fc = 0,7),

'

de los cuales los cuatro primeros pertenecen al semiplano superior. Utilizando la fórmula (3), p. 4.1, obtenemos _6

(tomando en consideración que la función < > $ » ^ s x »>. > y > y : : $ x » '>/**•''< • y >.•>•:>.>.< >.•. • • • '• y< ~'y*»»' • » • ' '

.» v

v »X » ,

s< x

. • •• w s. } : '. ': ¿* : .

X W

i :¿ : ^ Í j í í ' í y±ys

- * . y< <

i > ¥ x

= Im 2m

( - 2 + i4) exp {i{-2 + ¿4)} Si

* -4 = Im ™(—2 + 4¿)e (eos 2 - i sen2) = .» . . " « I ^ M M M M I h U U P M M ^ J . U U J j M J l J m U U U ^

Solución. Utilicemos la fórmula (10), p. 4.1, teniendo en rzeeizcuenta que la — • tienePnenp el la función 2 z — — • típnp ! c semiplano ominlann r z¿ -2z +10 superior un polo simple = 1 + 3i. Tenemos: I = Re 27tí res f(z) =

= — e~4(2 sen 2 + 4 eos 2) = 4 7T = — e _4 (sen 2 + 2 eos 2). •

Z=Zi Z=Z\

— Re 2iri lim

zeiz

z—*l+3i Z - 1 + 3Í

= Re2 ^

=

+ 3 0 exp {¿p + S ) } 6¿

= - Re (1 + o

3¿)e~3(cos

=

Solución. Dado que las funciones eos ax

1 + i sen 1)

= - e Icos 1 - 3 sen 1).

•

y

tp(x) x

sen ax

x2 + tí1'

Dé = (-00,00), son, respectivamente, par e impar, podemos escribir +00 i ax *****

2

í

M

J

+ 62

da;.

.taz x t x



x- 1

.

Por cuanto la función z

f(z) = ——

tiene un polo simple Z\ — 2i en el semiplano superior y un polo simple z2 = 1 en el eje real, utilizaremos la fórmula (13), p.4.1, Tenemos:

I = Im \ 2iri res f(z) + ni res f(z)j — — Im

( \

eiz

eiz

— + ni lim - r = *-*»(*+2i)(z-l) z2 + 4j

2-kí lim

2 ( e~ é \ — Im ( 2ni—; + ir i— 1 = V 4¿(2¿ - 1) 5 )

/T

e -*2

= ImVI5r^ +

= Im

\

- e

-2

7r , ~ ~ (eos 1 -

7Tí

\

T(cosl + t s e n l ) )

7TÍ ( - 1 - 2¿) + ~ eos 1

=

5T -senl

M Solución. Podemos escribir la integral como +00

1 =

;tÜX

li J x{x2 + b2)

dxf

-00

pues +oo

-

y

-00

+00

sen ax

x(x2 + b2)

dx

y

\

-00

eos ax

x(x2 + b2)

dx — 0.

.taz

f(z) =

La función z

2

^ ^

tiene dos polos simples en

los puntos z\ = bi (en el semiplano superior) y z2 = O (en el eje real). Utilizando la fórmula (13), p. 4.1, obtenemos

I = iri res f(z) + -i res f(z) = 2

Z¡

e.taz

— n |{m *-»w z(z + bz) e~ab ~*-2b2 =

26^

+

7T . e.taz + — lim ,

2 *->o

jr__ 2b2 ~ *

z2

9

+ ¥

(-R,

2ti)

(R,2n) C\J

(-R, O)

(R, 0) Fig.5

«« Solución. Integremos la función z

f(z)

-

a

Jo

largo de la frontera orientada positivamente ^ d t l r e c t á n tos f 1 » f2tt),, c ° L v é=r t '(r f " s re n rlos-,pr 4T -) ( f í g . 5 ) : X/ 2/ 3

( - a ,

s

/

/(*)

J I*

m

y j

-y

d

z

+J

}

{

z

)

d

z

+

J

m

dz

=

^aJ^H-ífít/

1 + eR+iy dy +

ñ ( 1

2*),

=

j f{z)dz + J

=

J

í l x s t

n, a ~ r y se cumplen 2

m d i c a d a s e n ei p u n t ° 5 ) ' p-4-j-

2 ni

\ * yz(z2 + 4) + res -2i ^ ( ^ + 4 )

1 _ ¿f

****

/

2a

i _ g¿2jr(a+l) l r f

2 wi

1-

(

d

(1 +

¿a

^2)2 + ™

za

(1 +

^2)2

d

za

^— ( lim — -ñ2 + lim — 7 dz (z + i) dz (z - i)2

et2íra

Im /2ia(a — 1) 2 ( - ¿ ) > - 1) + 1 - ei2ira V -Si 8i

- ülí__~e 1 - ei2ira -

T

(e

7T

6

^

~ e 6)

4i

-a) /¿ 2(1 - el2™) V ?r(l - a)

4

¥

^ /

1 xa • eos

•SSlÉiÉÉl

1

mmárMwmmsmmm

„