(AntiDemidovich_ Matemática Superior_ Problemas Resueltos) A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach _ traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko V 8

MATEMATICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS A.

K.

G. P.

Boiarthuk Colovath

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales de primer orden

ATEMATI/IKA JRSS

Introducción Conceptos fundamentales. Construcción de ecuaciones diferenciales 1. Definiciones fundamentales i

Se denomina ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden a toda ecuación de la forma

donde F es una función conocida y definida en cierta región D del espacio coordenado de variables x, y, y\ . , . , siendo x 6 {xq,x{) la variable independiente e yf y*f. la función incógnita y sus derivadas; n se denomina orden de la

ecuación. Por solución de la ecuación (1) entenderemos cualquier función y = /(x), x € (xq, x\)y tal que: a) f{x) posee derivadas de hasta n-ésimo orden en el intervalo (#0, y se cumple que V x € (*o, ®i)

(a, /(*),

• - •, f l n ) (x)) € Di

b) f{x) satisface la ecuación (1), es decir, la transforma en una identidad:

F(x, f(x), f\x),.... fln)(x)) =0 Va; £ (x0, xx). Integrar la ecuación (1) significa hallar todas sus soluciones. Se dice que la ecuación (1) está escrita en forma canónica (explícita) si está resuelta respecto a su derivada superior :

2. Problema de Cauchy Supongamos que +00

-

lirn (arctg ( 2C - - ) + 2kn| = i-»+oo \ \ X} ) - arctg 2C + 2for. n

*

Como | arctg 2C\ < - , obtenemos que k = 1, arctg 2C = —, C = -1, resultando finalmente

0-!

y = arctg ( 1

+ 27T.

Solución. Separamos las variables x e y: 3 y2 ——-dy = 2a; dz, j/ 2. r - s Después integramos los dos miembros de la ecuación y obtenemos J xdx + C,

ln \y3 - 8| = x2 4- C.

Suponiendo que C = ln Ci (Ci > 0), tenemos

|y3-8| =Cic< Es evidente que la solución y — 2 se puede incluir en la familia de curvas integrales si tomamos C\ = 0 . De esta manera, todas las soluciones de la ecuación original se determinan por la fórmula

! / - 8 | = ciel2

(Q^O).

De la fórmula obtenida se deduce que la curva y = 2 es la única que satisface la condición complementaria planteada en el problema, •

0. Supongamos ahora que en la ecuación (1) x Entonces

y(z)

l

^

J

|

Sfo

du y/U2 + l •n

ji i i

i

b,

oo.

donde

-00

f dt b = / -3-—= < 0. J vPTT Zo Por consiguiente, - o o < y(—oo) < yo. De este modo, la fórmula (1) describe la familia de curvas integrales que poseen dos asíntotas horizontales y(-oo) e y(+oo). •

fa> «i BTÍ ; B> s ¡

Solución. El dominio D de la función del segundo miembro de la ecuación es +00

D =

[J Mk/ k—-oo

donde Mk ~ {(x, y) e l 2 | 2kn < x < (2k + 1)jt, O ^ y < + 0 0 } U U{(«,S/)€ t 2 | (2A: + l)7r < x < 2(k + l)ir, - 1 < y sC 0 } . Sea O ^ y < +00, O < x < ir, O < x0 < w. Entonces, separando las variables en la ecuación e integrándola, obtenemos

t-£-=í du

(1)

J vsení J •y/ln (1 + w) *0 Cuando u 0 se tiene que ln (1 + u) ~ u. Por consiguiente, la integral en el segundo miembro de la igualdad (1) converge por el criterio de comparación. Puesto que la función subintegral es positiva, tenemos y du

/

v/ln (1 + ti)

>0,

1K!1

luego X

f

dt ^ ^ ^ ^ ^ n w n

/

iiiiii..

^ ^ ^

^

^

\/sení

por tanto, x > ar0. Así pues, para x > XQ tenemos que y > 0 y viceversa, es decir, toda función que está determinada por la ecuación (1) y que sale del punto (XQ, 0) se encuentra en el primer cuadrante. De la desigualdad y* > 0 se deduce que V — y(x) crece al aumentar x. Sin embargo, de la divergencia de la integral en el segundo miembro de la ecuación (1) cuando y —• +oo, y de la convergencia de la integral en el primer miembro de dicha ecuación cuando x —> tt — 0, se deduce que y tiende a un límite finito cuando x —> ir - 0. Llegamos a una situación análoga si analizamos la igualdad

0 < y < +oo,

02 = xy y Si = 2S\, entonces teniendo en cuenta (1) se obtiene

S2 = ¡xy =

J

K

y(t) dt.

Diferenciando esta igualdad respecto a x, encontramos \{xy +y) = y,

o bien

dy

dx

2x' y de donde y = C\fxr o bien x = Cy . Evidentemente, si intercambiamos el papel de las variables x e y, el problema • tiene la solución y = Cx2. Nota 1« Cuando resolvimos este problema supusimos que las variables x e y son: positivas. Sin embargo, ellas pueden ser negativas, es decir, se puede considerar que la constante C en ambas soluciones toma cualquier valor reaL i

i iTI ' "

" I I

t

r t 1"'

w—••••p •• i

Nota 2* Si en lugar de la figura 4 se utiliza la figura 5, entonces llegamos al mismo resultado, es decir, en todos los casos obtenemos las familias de parábolas con vértices en el origen de coordenadas. Proponemos al lector corregir las figuras 4 y 5 en correspondencia con las soluciones obtenidas.

yk K

!Í

TVTYZViy ¡OjOXKií ¡x6xC)(C*C jiXOXCX^S^

üviU'JOOXO ¿} 0, obtenemos la ecuación diferencial 3 0 ^ = (12-0,01

y/2gh).

Iiitegrando, hallamos



(

6000 t+ C = —

^

+ 7

= l n ( l 2 - 0 , 0



1 V

^ ) }

(2)

Sea h(0) = 0. Entonces de (2) se deduce que C = -3600 ln 12. Sustituyendo h — 80 en (2), hallamos el tiempo al cabo del cual el tanque se llena: ti - 1200

31n--l

260 s.

M Solución. Sea U{x) el alargamiento de una cuerda de longitud x y U (x + Ax) el alargamiento de una cuerda de longitud x + Ax. Entonces el alargamiento del elemento de longitud Ax es igual a la diferencia U{x+Ax) -U(x) (fig. 14). Sobre el elemento de cuerda de longitud Ax actúa la fuerza de tensión f , igual al peso de la cuerda de longitud l — x — 0Ax, P P A es decir, / ~ y (l - x - &Ax), donde — es el peso específico de la cuerda y 8 (0 < 6 < 1) es una magnitud introducida

^

n":¡.•I

^Sj W

: L * : ¡ * ! 4 * 4' . & Ь U A& atЬ , . +* j ¿ J J - 4 J . . . . ¡.A ¡.* J . , , ¡ J ,¡A L^ C^ L AT • ! J - A J . , + . ^

^ I i

Solución. Sea oj(í) la velocidad angular del disco. De acuerdo con la ley de conservación del momento angular, tenemos

I I dH -!J-Í4 U 4 L 4 - " cL5 > 9 V+- "tr+í -! - " A " ' a - • A í f -ft^+SÍ l3n A "-4"-4! 4' í í¡ H J + ¥ » - í r 4 - 4 - - > - ' - L ¿ " J : " i . • ,• ; "J! 1- ^.l'+i-j.;.1 j.d>

íEs! J

_•

^ A L W

í '

. I _

vi ^i •L

h - í n i í > ; . • . • . - . : • . . , . • . ..

§4, Ecuaciones lineales y ecuaciones reducibles a lineales 4.1. Ecuaciones lineales de primer orden Toda ecuación de la forma :I Ii11n i 1Sj* i11j i jjm1 1i i i i111 ¡ i 1 Uirs 1I i 1 n í 1I1 1111m I T l i •i.j'V i i1 1 \ I Í SI I -¡ir É i 11 1 IIi i1 ¡g I 1 s mi 1 I I1Ém 1 A 1i i vi & 1 1I II1 1 I I 1 i'ZA ¡||| i ¡ ¡ §§| 1 se denomina ecuación diferencial lineal de primer orden. El método de resolución de esta ecuación más conocido es el método de variación de la constante, cuya idea consiste en lo siguiente. En primer lugar, se busca la solución general de la ecuación homogénea

|

| g | g Í 9 BEüéC&éüGíií BSBSCHS í S l ®

£

i ¡ f | |ggg|¿ ísH^ +ÍTW2WWW70

|

m

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| | || ![

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¡ 4•H

*

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A +

ƒG £G

*

1 I I I

ÉfeESlSíI

na rid' i í K f l - Í M Í ' i M Vi y M'i m ••i* £ j l f f i j.I.J n ¡ § n W n W t¿&s W!-S-PKfiTÍWt S r w c w í l

359

l

i

g

l

p

1 | g ¡§ljj|¡8

i

tó

a y.k j | | | l i l i m i SSáfBtiWBi ídKín iS¡*!ÍÜ¡8 i Swiíiltii i

l

ü

asociada a la ecuación (1). Después, la constante arbitraria C que figura en la solución general de la ecuación (2) se considera una función diferenciable de la variable x, es decir, C = C(x), La función C(x) se determina a partir de la ecuación diferencial de variables separables que se obtiene como resultado de la sustitución de la solución general de la ecuación (2) en la ecuación (1).

4.2. Cambio de papeles entre la función y el argumento Señalemos que algunas ecuaciones se reducen a lineales si en ellas intercambiamos los papeles de la función y el argumento.

4.3. Ecuaciones reducibles a ecuaciones lineales

^fiySfüil áén se

í T O »

•mm Haciendo f(y) = z(x) en (3), obtenemos f'(y)y' -

z{x),

lo cual conduce a la ecuación lineal z + P(x)z = Q(x). En la ecuación (4) es conveniente hacer el cambio de variable e~ny = z(x), de donde —nu i —ne

í

y —z,

z' - - +P(x)z = Q(x) 0). n La ecuación (5) se conoce como ecuación de Bernoulli. Ésta se reduce a una ecuación lineal con ayuda del cambio de variable z(x) = yl~m {se supone que m ya que en estos dos casos la ecuación es de por sí lineal).

4.4. Ecuación de Minding—Darboux La ecuación de Minding—Darboux

(las funciones M y J V son homogéneas de grado ra, mientras que R es una función homogénea de grado n) se reduce mediante el cambio de variable y = ux(u) primero a una ecuación de Bernoulli, la cual, a su vez, se reduce por el método conocido a una ecuación lineal. Resolver las ecuaciones:

Solucion. En primer lugar, hallemos la solucu la ecuación homogénea asociada

y + y tg x = o. Separando las variables e integrando, hallamos

a)

y — C eos x.

La fórmula (1) es la solución general de la ecuación homogé* nea, donde C es una constante arbitraria. Para obtener todas las soluciones de la ecuación lineal no homogénea, consideramos C como una función de x, es decir, C — C(x) y exigimos que la función y = C(x) eos x satisfaga la ecuación original dada:

C* eos x — C sen x + C eos x tg x = sec xt o bien C'

1

. De aquí hallamos que C(x) — tg x + eos ¿x donde Co es una constante arbitraria nueva. Sustituyendo la expresión de C(x) en (1), finalmente obtenemos

y = sen X + CQ eos x. • • i^wm

•

wmmemam Nota. En lo sucesivo designaremos la nueva constante arbitraria con la misma letra C. De esta manera, en el ejemplo anterior y — sena; -I- C cosa; es la solución general de Ja ecuación lineal no homogénea, donde C es una constante.

4 Solución. Resolvamos primero la ecuación homogénea asociada (2x + l)y' = 2y. Su solución general es y — C(2x + 1). Empleando el método de variación de la constante, obtenemos (C'(2x +1) + 2C)(2x + 1) = ix + 2C{2x + 1), o bien (2x 4-1 PYj = 4x, de donde hallamos x dx

1

/ Así pues, la solución de la ecuación planteada es y = (2x + l)(ln |2x +1| + C) + 1.

•

4 Solución. Asumiendo que dx ^ 0 (para eludir la solución trivial x — 0), escribimos la ecuación en la forma I

X

xy - xy = e . La ecuación homogénea asociada xy' - xy = 0 tiene la solución general y = Cex. Aplicando el método de variación de la constante, obtenemos x(C + C')ex - xCex = e 1 ,

1

de donde C*

x

, luego C = ln \x\ + Cq. De este modo,

todas las soluciones de la ecuación lineal no homogénea están dadas por las fórmulas

y

X

on\x + C);

x

0.

•



•—i • • • •• i. !• — u ••! ••

icvcvifil

Í

• :

JtíXíIíXíí f W • ' J ^ f C f^ztrX'ritritr^KlrKO-K.cfxcrxa 5Í?

•4 Solución. La ecuación examinada no es lineal respecto a la variable y, pero sí lo es respecto a x. Por eso, es apropiado considerar x como una función de y. Asumiendo que dy ^ 0 (y = 0 es una solución trivial), tenemos

x+y

dx y dy dx

La ecuación homogénea asociada x = y— tiene la solución y

general x = Cy. Aplicando el método de variación de la constante, obtenemos sucesivamente

Cy + y2 = y(C'y + C),

C' =

C = y + C0.

Por consiguiente, todas las soluciones de la ecuación están dadas por las fórmulas

x = Cy + y ,

y = 0.

•

(1)

Nota. Volviendo a escribir la primera fórmula de (1) en la forma

y

X- y C

y tomando C = oo, obtenemos la solución y — 0. De esta manera, si admitimos que la constante C puede tomar valores singulares, podemos no escribir explícitamente la solución y = 0. Tomando a? = 1, y — 1, en (1) hallamos que C = 0, con !o que obtenemos la solución particular x = y1.

V.UJLYJLVJLUXWJLW *JLf 4 ULW AUAUÍ LV LVJ W ^ J•At U r t r t. Ctr c r c r • JOO-Í6-íixuoso lnllHOrxOKOíixtxOlrtlí cvif 1 K 1 Utilizando el método de variación de la constante, hallamos

z(x) =

C(x)eT~lx

donde

C(x)

x e ;

(





+ e ) dx + C q .

De este modo, la solución general de la ecuación inicial es 1 ¿ -2x 1 ln y = e 2 • mnm

• w I M-

Solución. Esta ecuación es de la forma (3) examinada en el p. 4.3. Por consiguiente, el cambio de variable z(x) = s/y2 + 1 conduce a la ecuación /

2:' + z = X + 1.

Aplicando el método de variación de la constante, hallamos

C{x)e

—X

donde

C(x) = ex(x2 -2x + 3) +C0. Así, v V +1 es la solución requerida.

a: •

2a? + 3 + Ce -X

< Solución. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por ex, obtenemos una ecuación de la forma (4), p.4.3: dy

-1 = exey. dx Vemos ahora que es apropiado hacer el cambio de variable z(x) = e~y, a partir del cual obtenemos sucesivamente z'(x) ~e~vy{x),   i xy -evz - 1 = e e , -z'-z

= ex.

La ecuación obtenida es lineal respecto a z. Su solución es 1 z = Ce

1

- -ex.

De este modo, la solución general de la

ecuación inicial es Ce~x -

-ex 2

4 Solución. Transformado esta ecuación en + 1= -eJ • e \ dx obtenemos una ecuación de la forma (4), p. 4.3, lo que sugiere el cambio de variable z(x) — e~3y. De este modo, obtenemos z'(x) = -3e~3y, z'

+ 1 =

z

ex# z

z-z—e, cuya solución es z(x) = Cex + xex.

La solución general de la ecuación diferencial examinada es Íln«7

y 1*1 I

x)-¡

+

•

II

Solución. La ecuación dada es de la forma (3), p.4.3, puesto que

d dx

V (ln y):

y

dy dx

Por tanto, haciendo el cambio de variable z{x) obtenemos la ecuación lineal /

Z

+ ac + 1

1.

Su solución general es

z = —(as + 1)v + C 2 as + 1 La solución general de la ecuación inicial es (j o i - \J (ln yf = -(x +1) + 3 2 a; + 1 |

•

irtW

Solución. Considerando que x ^ — 1, dividimos los dos miembros de la ecuación por x + 1, lo que conduce a la ecuación de Bernoulli y

— —y X +

r

1 rs

Dividamos ambos miembros de esta ecuación por y y hagamos luego el cambio de variable y~l = z(x). Obtenemos y- 2 y/f z{x)

t x+1

L

Vi - • ••' -i • .-s*,, -..i' mí^H if, t