(AntiDemidóvich) Matemática Superior. Problemas Resueltos. Variable Compleja_ Funciones de Variable Compleja.

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MATIMA TICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS A. K. Boiarthulc

Variable compleja Funciones de variable compleja Traducido del ruso bajo Ia dirccci6n del doctor en Ciencias Ffsico-matem es el simbolo de implicnci6n). El teorema redproco, si este es va lido, se escribe en Ia forma B => A. Si el teorema y su redproco son validos, las p ropiedades A y B son equivalentes. En este caso se escribe A +--+ B ( +--+ es el simbolo de equivnlencin) y se dice: "Para A es necesario y suficiente B ", o bien "A si, y solo si, B". Si un objeto posee una propiedad A o una propiedad B , entonces se escribe A v B , o tambien " A o B " {V es el simbolo de disyunci611). La no tacion A v B significa que cs valida al menos una de las propiedades A o B . Si ambas propiedades A y B son validas simultaneamente, este hecho se escribe en Ia forma A 1\ B , o "A y B" (1\ es el simbolo de co11junci6n). La notacion -,A significa "no A", "no es valid a A " (..., es el simbolo de negnci611). En Iugar de Ia expresion "existe un t'mico" se utiliza el slmbolo ! , y Ia expresion "es igual por defin icion" se dcnota ' bo Io de! med .tante eI sun =. Toda proposicion puede escribirse utilizando solo simbolos logicos. En este caso 'Ia negacion de una propiedad P escrita con ayuda de cierto nu mero de cuantificadores V y 3 se obtiene cambiando cada cuantificad or V por 3 , 3 por V y Ia propiedad P por su negacion. Por ejemplo, sea f (x) una fu nci6n numerica de variable real. Entonces Ia propiedad de f(x) de ser continua en todo punto de Ia recta numerica se escribe en Ia fo rma siguiente: (V a E IR) (V c >- 0) (3 0

> 0) (V x

E IR, if(x) - f(a)i < c;

lx - al < 6):

mientra~que Ia propiedad de f (x ) de no ser siempre continua, es decir, de ser discontinua al menos en un punto, se escribe como sig ue:

(3 a E IR) (3

c > 0) (V 0 > 0) (3

x E IR,

lx - al < 6):

lf(x) - f(a)l > c. Para demostrar algunos teoremas utilizaremos el metodo de reducci6u nl absurdo, hacienda uso, ademas, de Ia ley del tercio e.:rcluso (ley de contrndicci6n). Segun esta ley Ia proposici6n A v -,A (A o no A ) se considera valida independ ientemente del contenido de Ia proposici6n A . Sefialemos que -,(-,A) +--+ A, es decir, Ia doble negaci6n es equivalente al enunciado inicial.

1.2. Notaciones utilizadas en la teoda de conjuntos El concepto de conjunto se considera primario, por eso nos limi taremos a Ia exposici6n de los terminos y notaciones que seran necesarios mas adelante. · Los conjuntos se denotan med iante letras mayusculas, por ejemplo, M . La expresion a E M se lee asf: " a es un elemento del conjunto M " o " a pertenece al conjunto M ". La notacion M 3 x se lee asi: "el conjunto M contiene el elemento x ". Si el elemento x no pertenece al conjunto M, entonces se escribe x ¢ M , o bien M 75 x. La expresi6n M = {a, b, c, ... } se lee as!: " M es el conjunto comp ueslo de los elementos a, b, c, etc." N6tese que un conjunto puede contener un solo elemento, por ejemplo, M = {a}. Si ciertos elementos del conjunto M gozan de una propiedad P , entonces Ia notaci6n M 1 ={a EM: a tiene Ia propiedad P } se lee: "M 1 es el conjunto de tod os los elementos a del conjunto M que tienen Ia propiedad P ". Por ejemplo, Ia notacion M 1 = {x E IR: x ~ 0} representa el conjunto de todos los numeros reales no negativos. Los simbolos E y 3 se Fig. 1

denominansimbolos de perlenencia. AI definir un conjunto mediante cierta propiedad, frecuentemente no se sabe de antemano si existen o no elementos que posean d icha propiedad. Por tanto, es conveniente introducir el conjunto que no contiene ningt.n elemento. Dicho conjunto se denomina vacio y se denota mediante el simbolo 0. Sean Mt y M2 dos conjuntos. Si cada uno de los elementos del conjunto M 1 pertenece al conjunto M2, entonces el conjunto M 1 se denomina subconjunto del conjunto M 2 (fig. 1). En este caso se escribe Mt C M2, o bien M 2 :J M 1 y se lee: "el conjunto M2 incluye al conjunto M 1". Los simbolos C y :J se denominan simbolos de inclusion. Los conjuntos compuestos de los mismos elementos se consideran iguales. Es evidente que M 1 = M2 +--+ (Mt C Mz) 1\ (M2 C Mt).

Estructuras fundamentales d_el.an~lisis matematico itulo 1 Si en e l conj unto M 1 hay elementos que no pertenecen .al conj un to M 2 , en tonces M 1 no esta contenido en M 2 y se escribe M 1 rf_ M2, o bien M 2 1> M,. Senalemos que todo conjunto M contiene e l conjunto vado como su subconjunto. En efecto, en caso contrario, el conjunto vado contendria al menos un elemento que no pertenece al conjunto M . Pero el conjun to vado no tiene ningun ele mento. En adelante usaremos las notaciones siguientes: 0 cs el conjunto vado; exp M es el conjun to de todos los subconjuntos de M ; N es el conjunto de los numeros naturales; Z 0 es el conjunto d e los nu meros enteros no nega tives; Z es el conjunto de los n umeros enteros; Q es el conjunto de los numeros racionales; R es el conjunto de los numeros reales; C es e l conjunto de los numeros complejos.

1.3. Nfuneros naturales. Metodo de inducci6n matematica Uno de los conjuntos mas importantes en las matematicas es el conjunto N d e los numeros na turales. En este conjunto esta definida Ia operacion de adicion y se verifican las siguientes propiedades: 1) si n E N, entonces (n + 1) E N; 2) si un conjunto M contiene el 1 y, ademas, d e n E M siempre se d educe que (n + 1) E M , entonccs M ::> N.

Entonces, tod as las p roposiciones A 1, A2, ... son valid as. Como vemos, el metoda de induccion matema tica se reduce a Ia hi potesis de induccion. En efe~to, supongam os que M {n E N: An es vcllida}. Entonces, por el lema 1 tenemos que 1 E M , y partiendo del lema 2 se deduce que n E M => (n + 1) E M. De acuerdo con Ia hipotesis d e ind uccion ('II n E N): n E M , es decir, todas las proposiciones A 1, A 21 . •. son validas. - ---._ Demostremos, por ejemplo, que V n E N se verifica Ia igualdad

=

~ k2

w

_

-

n(n + 1)(2n + 1)

6

( ) 1

.

k=l

Comprobando d irectamente, vemos que se verifica el lema 1. Supon iendo que Ia ig ualdad (1) se cumple para n E N, tenemos n+ l

L

2 k=

n(n + 1)(2n + 1)

6

k=l

(n

( )2 +n+ l =

+ 1)(2n2 + 7n + 6) 6

=

(n + 1)(n

+ 2)(2n + 3) 6

es decir, e l lema 2 ta mbien es valido. Asi pues, Ia formula (1) qued a demostrad a.

1.4. Operaciones elementales con conjuntos

La p ropied ad 2) se denomina lripofesis de inducci6n. Bias Pascal (1623-1662) fue el primero que propuso un metoda d e demostracion basado en Ia induccion, conocido como metoda de inducci611 matematica (completa), el cual consiste en lo siguiente. Supongamos que p ara las proposiciones A 1, A2 , A3 , .•• se verifican los dos lemas de Pascal:

Definicion 1. Se denomina iutersecci6n d e ls conjuntos M, y M2 al conjunto

Lema 1. La proposici6n A 1 es valida. Lema 2. Para todo n E N, de la validez de An se deduce [a validez de la proposici611 An+l·

Sean M 1 E exp M , M2 E exp M. La intersecdon d e los conjuntos M 1 y M 2 esta compuesta solo d e los elemen tos que pertenecen simultaneamente a ambos conjuntos M,, M2 (fig. 2).

Fig.2

La diferencia de los conjuntos M 1 • y M 2 esta compuesta solo de los elementos del conjunto M 1 que no pertenecen al conjunto M2 (fig. 5). Si M 1 :J M2·, entonces Ia diferencia M 1 \ M 2 se denomina tambien complemento de M2 e11 M 1, y se denota mediante el simbolo eM, M2 (o bien CM2 , si esto no provoca confusion). Sean M 1 E exp M, M2 E exp M. Entonces son validas las igualdades

Fig.3

_Si ta le~ _elementos no existen, los conjuntos M 1 y M 2 se denomrnan diSJllnfos y se escribe M 1 n M 2 = 0 (fig. 3).

= CM1 n CM2, C(M1 n M2) = CM1 U CM2. C(M 1 U M2)

(1)

Las dos igualdades (1) expresan las /eyes de Morgn11. Demostremos Ia primera. Sea x E C(M1 U M2). Tenemos:

Definicion 2. Se denomina uni611 de los conjuntos M 1 y M 2 al conjunto M1 U M2

Fig.S

= {a: a E M 1 V a E M 2}.

X

E C(Ml u M2) :::}

La union de los conjuntos M 1 y M 2 se compone de los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos M1 y M2 (fig. 4).

:::? :::?

Ml u M2 :::} X f/. Ml 1\ X f/. M2 :::} x E CM1 1\ x E CM2 :::? x E CM1 n CM2 :::? C(M1 U M2) C CM1 n CM2.

X

f/.

Si y E CM1 n CM2, obtenemos

y E CM1 n CM2 :::? y E CM1 1\ y E CM2 :::? => y f/. M1 1\ y f/. M2 :::? y f/. M1 U M2 :::? y E C(M1 U M2) :::? :::? CM1 n CM2 C C(M1 U M2).

:::?

Fig.4

Definicion 3. Se denomina diferellcin de los con1·untos M 1 y M 2 al conjunto

De Ia formula (2) vemos que, al intercambiar el simbolo de complemento c con los simbolos u y n, estos ultimos se intercambian entre si.

l

1.5. Par ordenado y producto cartesiano de conjuntos Con ayuda del concepto de par ordenado se introduce una operaci6n mas sobre conjuntos: el producto cartesiano. En las matematicas es de gran importancia el concepto de par ordennY do (x, y) compuesto de elementos de un mismo conjunto o de conjuntos M(x,y) distintos X e Y . La proy ---- --- ------ ---

X

X

Fig. 7

La primera proyecci6n de Ia relaci6n binaria r esta compuesta de las primeras coordenadas de los pares ordenados pertenecientes al conjunto r (fig. 7). El conjunto f 1 (x) = {y E Y: (x, y) E f} se denomina seccion primem de r mediante x (fig. 7) y esta compuesta de las segundas coordenadas de todos los elementos de r cuya primera

y

i11versa

r-1 segUI\ Ia reg~a r - 1 = {(y, x):

(x, y) E f}

(fig. 9). A menudo, Ia operacion de inversion de Ia relacion binaria r sc denornina operaci611 de transposici611 de Ia relacion binaria r.

y

1.7. Relaciones binarias funcionales. Funciones. Conceptos elementales X Fig.8

coordenada es ig ual a x. La secci6n primera de r mediante x es e[ conjunto vacfo 'if X rf_ f1. Se denomina segunda proyeccion de Ia relaci6n binaria r el conjunto

f2

= pr2f = {y E Y : 3 x E X:

(x, y) E r}.

La segunda proyecci6n de Ia relaci6n binaria r es el conjunto de todas las segundas coordenadas de los pares ordenados pertenecientes al conjunto r (fig. 8). El conjunto f2(y) = {x E X: (x,y) E r} se denomina seccio/1 segzmda de r mediante y (fig. 8). El conjunto f2(y) esta compuesto de las primeras coordenadas de todos los elementos de r cuya segunda coordenada es igual a y . La secci6n segunda de r mediante y es el conjunto vaVy rf_ r 2 • cio X A cada re)acion binaFig.9 ria r se le puede hacer corresponder su relaci611 binaria

Una relacion binaria r se denomina relaci611 bi11aria funciollal si no contiene pares ordenados cuyas primeras coordenadas sean iguales. Enunciemos ahora Ia definicion principal de aplicacion entre dos conjuntos X e Y .

Definicion 1. La terna ordenada de conjuntos (X , Y , r) se denomina r es una relacion binaria funcio nal entre los elementos de los conjuntos X e Y. El conjunto r se llama gni.fico de Ia aplicaci6n.

aplicaci611 del COIIjUIIfO X (dominio) ell el conjrmfo y (codominio) si

Las aplicaciones se denotan usualmente mediante una tetra latina minuscula, por ejemplo, f . Ademas, en Iugar de f (X,Y,f) se escribe f: X -+ Y . SiX e Y se conocen, entonces, segUI\ Ia definicion, conocer Ia aplicaci6n f es equivalente a conocer su grafico r . La prirnera proyeccion del grafico de Ia aplicacion f se denomina dominio de Ia aplicaci6n f y se denota mediante n 1 o D(f). La segunda proyecci6n del grafico de Ia aplicaci?n f se denomina imagen de Ia aplicaci6n f y se denota medrante E 1 o E(f). Si x E D 1 y el par (x, y) pertenec~ al grafico de Ia aplicaci6n f , entonces el elemento y se denorruna valor de Ia aplicacion f en el elemento x y se de nota mediante f(x).. . , Si se conocen Ia region D 1 y los valores de Ia aplicac10n f (x ) V x E D 1 , el grafico f(f) de Ia aplicacion f se construye segun Ia regia

=

f(f) = {(x, j (x)):

X

E D1 }.

1.8. Funci6n inversa. Composici6n de aplicaciones Una aplicaci6n f =(X , Y , f) se deno mina invertible si Ia relaci6n

Si D 1 = X, entonces Ia aplicaci6n f : X --+ Y se denomina aplicnci6n del conjunlo X en el conjunlo Y y se denota mediante

x !... v.

los binaria r- 1 cs una relaci6n fu ncional entre los elementos de 1 conjuntos Y y X . En este caso Ia aplicaci6n (Y,x ,r - ) sc 1 denomina nplicnci61! inversa de f y se denota mediante f - • Una aplicaci6n suprayectiva invertible f del conjunto X sob:e el conjunto Y se denomina aplicnci6n biyectivn (correspondenczn biwrivocn) y se denota mediante

Si D1 = X , E1 = Y , entonces Ia aplicaci6n J: X --+ Y se denomina nplicnci6n suprnyectivn (sobreyecci611) del conjrmlo X sobre el conjrmlo Y y se denota mediante X __!____. Y . sobrc

I

X +---+ Y.

La funci6n !I = (X, Y , fJ) se denomina restricci6n de Ia funci6n f = (X , Y , f ) si r, C r. En este caso Ia funci6n j se denomina• prolongaci6n de In frm ci6t1 I t del conjrmlo Dlt = pr I rl en eI conJunto D 1 = pr1 f. Si A es un conjunto tal que A c pr 1r, entonces existe una restricci6n / 1 de Ia funci6n f que tiene Ia propiedad A = D1, · La funci6n ft se denomina resfricd 6tr de In fzm ci6n f en el conjzmto A y se denota mediante !lA . La existencia de la restricci6n de Ia funci6n f en el conjunto A se deduce de que f(j,)

En este caso, 't:/ y E Y 3 ! x E X : f (x)

r '(y) = x . . El concepto de composici6n de aplicaciones Ilene una importancia especial en las matematicas. Sean f : X --+ Y , !p: T --+ X dos aplicaciones. La com posicion de las aplicaciones !(J y f se denota mediante f o cp. Su dominic esta compuesto de los valores t E D cp para los c~ales !(J(t) E D . Los valores de Ia composicion se obtienen a parttr de 1 Ia formula (f o !(J)(t) = j (!(J(t)), t E D l ocp·

= {(x, y): x E A A (x, y) E r}.

1.9. Aplicaciones parametrica e implicita

Definicion 2. Sea f : X --+ Y una aplicaci6n. Para todo subconjunto A C D1 , el subconjunto del conjunto E1 definido porIa propiedad "existe un elemento x E A tal que y = f (x )" se denomina imagen del conjzmto A mediante In aplicaci611 f y se denota f(A) .

Si estan dadas dos aplicaciones T~X,

¢

T --+ Y ,

queda definida Ia aplicaci6n X 1 ="' o "'_, Y . Se dice que f esta definidn parametricamente mediante las aplicaciones !(J y 1/J. La variable t se denomina panimetro. Analicemos Ia aplicaci6n X x Y & G y Ia ecuaci6n F(x, y) = c, donde c cs tm elemento arbitrario de cierto conjunto G. Si exis ten dos conjtmtos P C X , Q C Y tales que Ia ecuaci6n F(x, y) c tiene una Unica soluci6n y E Q para todo x E P fijo, entonces en el conjunto P esta definida Ia funci6n f para Ia cual E1 = Q. En este caso, se dice que f es una fun ci6n implicitn definida mediante Ia ecuaci6n F(x, y) = c.

Para cualquier conjunto A' C E1 el subconjunto del conjunto D1 definido mediante Ia propiedad f( x ) E A', se denomina preimagen de A' mediante Ia aplicaci6n f y se denota con

ri(A'>· Para representar una aplicaci6n frecuentemente se escribe f(x ). Sea X cierto conjunto. Toda aplicaci6n N ~ X se denomina sucesi611 de elementos del conjunto X y se deno ta mediante (x n) · Si X = IR, entonces se dice que (xn ) es una sucesi6n numericn real.

x

= y, considerandose que

=

~---+

23u . .l6

1.10. Isomorfismo Sean E y F dos conjuntos dotados, respectivamente, de las - operacio nes binarias internas T y .1. Se denom ina isomorfismo dc:l conj unto E sobre F Ia biyecci6n

E J_. F que cumple Ia propiedad \f (a E E , b E E) f (aT b)= f (a)..L f (b). Los conjuntos E y F se denominan en este caso isomorfos respecto a las relaciones T y .1. Por ejemplo, supongamos que E = N, Ia relaci6n T es Ia adici6n, F = {2"} y Ia relaci6n .1 es Ia multi plicaci6n. La

Si en el g rupo E Ia operaci6n "o" tiene sentido aditivo (multiplicativo) "+" ("·"), entonces el grupo se llamagntpo aditiuo (multiplicatiuo) y el elemento neutro, elemenfo mtlo (elemenlo rmidad), denotandose mediante 0 (1). Por ejemplo, el conjunto Z provisto de Ia operaci6n de adici6n es un grupo conmutativo. El conjunto Q \ {0} d otado de Ia operaci6n de multiplicaci6n es tambien un grupo conmutativo.

2.2. Anillo

aplicaci6n E J_. F: \f n E N, f(n) = 2" es un isomorfismo ya que \f(n EN, mEN) se tiene que (n + m) 1-> 2nlm = 2n ·2m, es decir, J (n + m) = f (n) f (m).

Se denomina anillo un conjunto R dotado de d os operaciones bi narias llamadas adici611 y multiplicaci6n, con Ia particularidad de que, respecto a Ia operaci6n de adici6n, el conj unto R es un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo R ), y se cumple Ia

§ 2. Estructuras matematicas

Si Ia operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa, entonces el anillo se denomina conmutatiuo. Si R 3 1, el anillo se denomina

Una estructura matemtitica es un conjunto de objetos o varios conjuntos de objetos de naturaleza distinta que poseen un sistema de relaciones y operaciones binarias sometidos a determinados axiomas.

2.1. Grupo Se denomina gntpo a un conjunto no vado E dotado de una operaci6n "o" que a cada par de elementos a E E , b E E le hace corresponder un tercer elemento perfectamente determinado a o b E E , cumpliendose, ademas, las condiciones siguientes: 1) Ia operaci6n o es asociativa: \f(a E E , b E E , c E E ) a o (b o c) = (a o b) o c; 2) en E existe el elemento neutro, es decir, un elemento n tal que \fa E E a on = a; 3) \fa E E 3 a' E E : a o a'= n (a' es el inuerso de_a). En caso de que tambien se veri fique Ia condici6n 4) \f (a E E , b E E) a o b = b oa,

el grupo E se denomina abeliano (conmutatiuo).

propiedad distributiua: \f(aE R, bER, cE R) a(b+c)= ab +ac,

(b+ c)a = ba +ca.

unitario. Por ejemplo, el conjunto Q de los numeros racionales provisto de las operaciones de adici6n y multiplicaci6n es un anillo uni ta rio.

2.3. Cuerpo Un anillo se llama cuerpo si al excluir el elemento neutro de Ia adici6n, el resto forma un grupo respecto a Ia operaci6n de multiplicaci6n.

2.4. Campo Un cuerpo en el cualla operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa se denomina campo. Por ejemplo, las temas ordenadas (Q +, ·) y (IR, +, ·) son los campos de los numeros racionales y de los reales, respectivamente. Definicion. Sea ~ un cuerpo (campo). La aplicaci6n 1·1: ~--+ JR+, d onde JR+ = {x E IR: x ~ 0}, se denomina valor absoluto (modulo) en el cuerpo

(campo) ]!{ si V (a E OC, sigu ientes:

1} 2) 3}

f3

llxll = 0 =} x = 0; IIAxll = IAI ·llxll; 3) llx + Yll ~ llxll + IIYII (propiedad triangular). El valor de Ia aplicaci6n II · II en e l vector x E E 1} 2)

E OC) se cumplen las condiciones (axiomas)

lal = 0 =} a = 0; Ia · /31= lal· l/31; Ia + /31 ~ Ia I + 1/31 (propiednd triangular).

El conjunto ordenado (E, +, ·, II · II) se denomina espacio vectorial narmada. Con el fin de abreviar Ia notaci6n se suele

escribir E en Iugar d e (E, +, · , II · II). De los axiomas 2) y 3) se deduce que 11011 = 0 y llxll ~ 0, V x E E. La primera propiedad se obtiene del axiom a 2} para A = 0 y Ia segunda, d el axioma 3) para y = -x. Se dice que e l vector x E E es e l limite de Ia sucesi611 de vectores (x 71 ) de l espacio normado E o que Ia sucesi6n (x 71 ) converge a x, y se escribe lim X 71 x, si Ia sucesi6n .numerica

Un cuerpo (campo) en el cual esta definido el valor absolute se llama cuerpo nonnado.

2.5. Espacio vectorial sobre un campo K Espacio normado Se d enomina espacio vectorial (lineal) sabre el campo ]!{ Ia terna ordenada (E, +, ·} compuesta d e un conjunto E (sus elementos se denomi"nan vectores), Ia operaci6n de ad ici6n (d efinida en E ) y Ia multiplicaci6n de los vectores por los elementos del campo OC. Oichas operaciones d eben satisfacer las siguientes propiedades, d enominadas axiomas de[. espacio vectorial: V (x E E , y E E I z E E I ). E ]!{, J.L E ]!{)

+ y = y +x;

1) x 2) (x

3) 4) 5) 6) 7)

=

3 0 E E: x + 0 x; 3 (-x )E E : x + (-x) = O; A(x + y) =Ax+ Ay, (A+ J.L) x =

(AJ.L)X = A(J.LX); 1 · X= X .

u.-oo

o(1} se d enotan las sucesiones numericas infinitesimns (convergentes a cero), es d ecir, tales que lim a 71 0. El simbolo de Landau 0(1} se u tiliza

Para abrevia r Ia n otaci6n, el esp acio vectorial (E, +, ·} se denota usualm ente mediante E. Pa ra un espacio vectorial arbitrario E se verifican las propiedades sig uientes:

1) A· 0 = 0; 2) 0 ·X= 0; 3) (-1} x = - x. Sea E un espacio vectorial sobre un campo nor~ado OC, La aplicaci6n II · II: E --+ IR+ se denomina nonna (longitud) del espacio E si V (x E E, y E E , A E ]!{) se verifican las condiciones (axiomas)

=

n-oo

para designar a las sucesiones 11umericas acotadas. Teorema (de continuidad de Ia norma). Si una sucesi6n (x 71 ) de vectores de

espacio non11ado E converge a/ vector x, entonces ~

>.x + J.LX;

=

(llx,. - xll) = o(1}. Mediante el simbolo de Landau

1111

+ y) + z = x + (y + z);

se lla ma

norma del vector x .

llx,.ll -+ llxll-

Demostraci6n. El teorema se deduce d e las desig ualdades - llxn- xll ~ llxnll-llxll ~ llxn - xll Vn EN, que se obtienen d e Ia propiedad triangular. .,.. Si un campo ]!{ es normado, el modulo es una funci6n continua. En un espacio vectorial normado !Rm, los axiomas d e la norma se verifican p ara cad a una d e las aplicaciones 11 ·11: !Rm -+ lR siguientes: m

llxll =

w L

x~

(nonna euclidea),

(1}

(nonna octaedrica),

(2)

(nonna cubica).

(3)

i= l

i= l

llxll =

max l ~i~m

lxd

Una sucesi6n (xn) de vectores de un espacio normado E es fundam ental si se cumple que

0/c > 0)(3

nc EN) ('v' (n ~ nc, pE N)) :

3.1. Axiomas de la metrica. Limite de una sucesi6n de puntos en un espacio metrico

llxn+p- Xnll 0 es arbitrario, obtcnemos d(A U B) :::; p(A, B)+ d(A)

rEA

Si A n B ¥= 0, entonces p(A, B) = 0; sin embargo, p(A, B) = 0 =/} A n B '# 0 . Sean, por ejemplo, A = N y

B = {

< p (A, B)+ c.

sup

p(x, y).

(3)

zEA,yEA

De Ia definicion se deduce que el diametro de un conjunto no vado puede ser un numero real no negativo o +oo. Si A c B, e~ton~es d(A).:::; d(B). ~ igualdad d(A) = 0 se veri fica si, y solo sr, el conJunto A Ilene un solo punta. Si el diametro del conjunto A es finito, el conjunto se denomina ncotado.

Definicion 1. Se denomina conjrmto abierto de un espacio metrico (X, p) todo subconjunto G C X tal que {'V x E G)(3 o> 0): 06(x) C G. De Ia d efinicion se deduce que el conjunto vacfo es un conjunto abierto y que todo el conjunto X es tambien abierto. Teorema 1. Toda bola abierta es un conjunto abierto. ~ Demostracion. Sea (X, p) un espacio metrico y 06(xo) C X

Teorema. La union de dos conjuntos acotados A y B es u11 conjrmto

acotado. ~ Demostracion. Si

a E A, b E B y x, y son dos puntas cualesquiera del conjunto A U B , entonces bien x E A 1\ y E A,

una bola abierta. Si x E 06(xo) C X, entonces p(x0 , x) < 6 y 61 = o - p(xo, x) > 0. Ademas, p(x, y) < 61 si y E 061 (x). Estimemos Ia distancia p(xo, y). En virtud de Ia propiedad triangular, tenemos p(x0 , y) :::; p(xo, x) + p(x, y) < p(xo, x) + o, = 6. .

De este modo, se verifica Ia if1clusion 051(x) C 0 6(x 0 ), es decir, el conjunto 0 6(xo) contiene el punto x junto con un entorno suyo . .,..

Teorema 2. Todn union de una familia (jinitn o no) (G1,) ,EA de C011j111rtos 1

nbiertos es un conjwrlo nbierto.

~ Demostracion. Si x E G>. para cierto 6 > 0 tal que 06(X)

c G). c

>. E A, entonces existe un

u c,,.

En caso de que A = {x}, se habla d e un entorno del punto x (y no del conjunto {x} ). Definicion 2. Un punto x E X se llama punta interior de cierto conjunto A c X si A es un entorno de d icho punto. El conjunto de tod os los puntas interiorcs de un conjunto A constituye su interior y se denota mediante el sfmbolo int A. En Ia recta numerica, el interior de cualquier intervalo (cerrado, abierto o semiabierto) con punto inicial a y punto final b (a < b) es el intervalo abierto (a, b), ya que los p untas a y b no pucden ser puntos interiores de los intervalos [a, b], [a, b), (a, b).

...

i•EA

Todo intervalo (a, +oo) de Ia recta numerica es abierto, pues es Ia union de los intervalos abiertos de Ia fo rma (a, x) tales que x >a.

Teorema 1. El interior int A de todo conjwrto A C X es elmnyor conjunto

nbierto que estci contenido Teorema 3. Todn intersecci6n de una familia fin ita de conjun/os nbiertos es wt abierto. ~ Demostracion. Es suficiente analiza r el caso de dos conjuntos abiertos G1 y G2, y despues utiliza r el metoda de induccion. Si x E G 1 n G2, entonces existen tales 61 > 0, 62 > 0 que 061 (x) C G1, 052 (x) C G2. De este modo, 0 6(x) C G1 n G2, donde 6 = min {61,62}. .,..

La. interseccion de un numero infinito de conjuntos abiertos ao es, en general, un conjunto abierto. Por ejemplo, Ia interseccion d e los intervalos

( 1·1)

-;;, ;; , n E N, en Ia recta nun1erica es un

~

e11

A.

Demostracion. Si x E int A, entonces existe un conjunto abierto Gz c A que contiene el punto x. Segt1n Ia definicion 1, el c~njun­ to A es un entorno de todo punto y E Gz ; por tanto, y E mt A .

U {x} C U Gz C intA.

Asf pues, Gz C intA e intA =

zEintA

zEintA

De acuerdo con el teorema 2, p. 3.3, el conjunto int A es abierto. Si B c A es un conjunto abierto, entonces de Ia definicion 2 se deduce que B C int A. .,.. En v irtud del teorema 1 se puede afirma r que los conjuntos abiertos se caracterizan por cun1plir Ia condici6n A= int A.

conjunto cerrado, pues consta de un solo punto {0}. Corolario. Si A C B, entonces int A C int B.

3.4. Interior de un conjunto Sea (X, p) un espacio metrico.

Teore ma 2. Err wz espncio metrico, pam cunlquier par de conjuntos A y B

se verificn In igunldad Definicion 1. Se llama entomo nbierto de un conjunto A c X a todo conjunto abierto que contiene el conjunto A . Todo conjunto que contiene un entorno abicrto de A se d enomina entomo d el conjunto A.

. int (A

n B)= int An int B.

La. inclusion int (A n B) C int A n int B se obtiene del corolario anterior. Segt1n el teorcma 3, p. 3.3, Ia

~ Demostracion.

tructuras nlndamentales det. amilisis mate~atico

interseccion int A n int B es un conj unto abierto y esta contenida en Ia interseccion A n B. Ademas, e n virtud de l teorema 1 se . veri fica Ia inclusion int A n int B C int (A n B). El tcorcma queda demostrado. .,.. El interior de un conjunto no vacio puede ser el conjunto vado; por ejemplo, para e l conjunto d e un solo punto {x} en Ia recta numerica tenemos int {x} 0.

=

Definicion 3. Todo punto interior del conjunto X \ A se denomina punta exterior del conjunto A, y el interior del conjunto X \ A constituye el C011junto de puntas exteriores (exterior) del conjunto A.

Teorema 1. La bola cerrada

00

C X(xo) y la esfera S(xo, 6) C X son

cmzjuntos cerrados. • Demostracion. Six (/:. 0 0(xo), entonces p(x, 0 0 (xo)) ~ p(xo, x)6 > 0; por tanto, Ia bola abierta de radio 6, = p(xo, x) - 6 y centro en el punto x esta contenida en el complemento de Ia bola 06(x 0 ). Por consiguiente, este complemento es un conjunto abierto. El complemento de Ia esfe ra S(xo, 6) es Ia uni6n de Ia bola abierta 0 6(x0 ) y del complemento de Ia bola Oo(xo). Segun el teorema 2, p. 3.3, esta union es un conjunto abierto. .,..

Teorema 2. Toda i11tersecci6n de una familia (finita o no) de conjzmtos Teorema 3. Para que x E X sea

punta exterior del conju11to A es 11ecesario y sujicie11te que se verifique Ia condici611 p(x, A) > 0. 1111

cerrados es 1111 colljunto cerrado. Toda union de una familia finita de colljlmtos cerrados es un conjunto cerrado. •

~

D emostracion. Necesidad. Si x E X es un punto exterior de A, entonces existe una bola 0 0(x) C X\ A (6 > 0). Para todo punto yEA tenemos p(x, y) > 6; por consiguiente,

Demostraci6n. Si V a E A los conjuntos Fa son cerrados, entonces los conjuntos CFa son abiertos. Por Ia segunda formula de (2), p. 1.4, tenemos

C

p(x, A) = inf p(x, y) ~ 6 > 0.

n

= U CF,..

Fa

yEA

=

Suficiencia. Sea x E X. Hagamos p(x, A) 61• De Ia condici6n 61 > 0 se deduce Ia inclusi6n 0 0, (x) C X\ A, lo cual implica que x es un punta interior d el conjunto X\ A. .,..

3.5. Conjuntos cerrados. Puntos adherentes. Adherencia de un conjunto Sea (X, p) un espacio metrico.

En virtud del teorema 2, p. 3.3, el conjunto Por consiguiente, e l conjunto C por definicion, el conjunto

n

n

U CFa

es abierto.

aEA

Fa tarnbien lo es. Entonces,

aEA

Fa es cerrado.



aE A

Demostremos ahora Ia segunda parte del teorema. Sean Fi (i = 1, n) conjuntos cerrados. De acuerdo con Ia primera formula de (2), p.1.4, tenemos n

Definicion 1. Un conjunto F C X se denomina cerrado si su complemento CF es un conjunto abierto. El conjunto vacfo y el conjunto X son conjuntos cerrados. Los intervalos [a, +oo), (-oo, a] y el conjunto Z son conjuntos cerrados en Ia recta numerica. Los intervalos [a, b) y (a, b) no son conjuntos abiertos ni cerrados.

{1)

aEA

c:tEA

n

c UFi = nCFi i=l

(2)

i=l

Dado que los complementos CFi son conjuntos abiertos, entonces

n n

CFi es un conjunto abierto (v. teorema 3, p. 3.3); por -consi-

i= t

II

guiente, el conj unto C

~

UF; tambien es abierto. De esta manera,

Tl

UF; cs un conjunto cerrado por definicion.

=

=

i= l

tene mos que

Demostracio n. Supongamos lo contrario, es decir, que para cierto 60 > 0 se tiene que Oc.(xo) n A {y 1, y2, ... , y,. }. Dado que x 0 f/:. A, tenemos rk p(xo, Yk) > 0 (k 1, n). Elijamos r > 0 de tal fo rma que r < min{r,, r2, ... , rn } y Or(xo) C Oc.(xo). Evidentemente, Or (x 0 ) n A = 0, lo cual entra en contradiccion con el hecho de que el punto xo es adherente a! conjun to A. ..,..

..,..

i= l

=

En particular, todo conjunto q ue contiene un solo punto es cerrado. D e finicion 2. Un punto x 0 E X cs arlizerente a wz canjzmta A C X si todo entorno 0 6 (x 0 ) tiene una interseccion no vacfa con A. Se deno~ina adherencia (clausum, cierre) del conjunto A, y se d enota mediante A, el conjunto de todos los pw1tos adherentes del conjunto A.

De finicion 3. Un p un to x 0 E X se denomjna punta limite (de acumulaci6n) de un conjun to A C X si d icho punto es adherente al conjunto A\ {x0 } . Del teorema 4 se deduce que todo 6-entorno de un punto limite del conjunto A C X contiene un conjunto infinito de puntos de A . Sea x 0 E X un pun to limite del conjunto A C X. Consideremos una s ucesion arbitraria (06. (x 0)) de entornos del punto Xo, donde 671 = a(l). En virtud d el teorema 4, V n E N el conjtmto X 11 0 0• (x 0 ) n A es infinito. Elijamos un pun to arbitrario x , del conj unto X 1 y un punto x 2 # x, d el conjunto X 2 (esto es posible debido a que los conjuntos X 1 y X 2 son infinitos). Sean x 1, x 2, ... , X 11 , Xj E Xj (j [n), dis tintos puntos elegidos. En el conjunto x,.+l elijamos un punto Xn+l # Xj, (j 1, n). Por induecion obtendremos una sucesion (xn) de puntos diferentes Xn E A. De las condiciones tenemos que p(x,., x 0 ) < 671 , 671 a(l), de donde se deduce que xo lim x ,. . Asi pues, hemos establecido que,

Si x E X no es un pun to adherente del conjunto A C X, entonces x es un punta interior del comple mento CA. Por tanto, la adherencia del conjunto A es el complemento d el conjunto de sus puntos interiores: A = C int CA. Por ejemplo, la adh:!encia de Ia bola abierta 0 6 (x 0) esta contenida en Ia bola cerrada 0 0(xo), pero puede no coincidir con esta ul tima. Dado que int CA es el mayor conjunto abierto que esta contenido en CA, entonces A es el menor conj unto cerrado que contiene el conjunto A. En particular, si el conjunto A es cerrado, entonces A = A.

=

=

=

=

11 --t OO

si x 0 es un pun to limite de cierto conjunto A C X, entonces de sus puntos siempre se puede formar una s ucesion que converge a x 0 . Es valida tambien Ia proposicion redproca: si se sab e que a partir de un conjunto A C X se puede elegir una s ucesion de puntas diferentes que converge a cierto punto x 0 E X, entonces x 0 es un punto limite d el conjunto A, puesto que todo 6~entorno 0 6 (x 0 ) contiene un conjunto infinite de puntos de A . Ahora podemos dar otra defin icion de punto limite de un conjunto A C X , equivalente a Ia definicion 3.

Teorema 3. Pam que un punta Xo E X sea adherente a un canjzmta A C X , es necesaria y suficienle que p(xo, A) = 0. ~ Demostracion.

Necesidad. Sea xo E X un punto adherente del conjunto A C X. En este caso, Xo f/:. int CA y de acuerdo con el teorema 3, p. 3.4, p(xo, A) 0. Suficiencia. Si p(xo, A)= 0, entonces tod o entorno 0 0 (xo) tiene una interseccion no vacia con el conjunto A. ..,..

=

Teorema 4. Si 1111 punta x 0 E X es adizerente de cierta canjunta A C X, x 0 f/:. A, entances V fJ > 0 el conjunta 0 6 (x 0 ) n A es infinita.

=

Definicion 4. Un punto Xo E X se denomina punta limite de un conjunto A c X si del conjunto A se puede elegir una sucesion (x 11 ) de puntos dis tintos que converge al p unto xo respecto a Ia metrica del'espacio (X, p).

3 3:1 0: 0 6 (x0 ) n A\ {x 0 } = 0, es decir, xo es adherente al conjunto A p ero no es punto limite del mismo.

Definicion 1. Un conjunto K C X se denomina compacta m el espncio metrico (X, p) si toda sucesi6n (x,.) de eleme ntos de K contiene una subsucesi6n convergente. Si para toda sucesi6n convergente de puntos de K su lfmite pertenece a K , entonces se dice que K es compacta (secuencinlmente compacta). Si los limites d e dichas sucesiones p ertenecen al conjunto X sin pertenecer, ta l vez, al conjunto K, entonces K se denomina compacta en el (respecto a!) espncio (X, p).

Definicion 7. Sea E un subconjunto no vacio de X. La restricci6n Pie2 se denomina metrica inducida e11 E porIa metrica X 2 ~lit El espacio metrico (E, p) d e terminado por Ia me trica inducida se denomina su/Jespncio del

espacio metrico (X p). I

Es evidente que un conjunto J( es compacto si, y s61o si, K es cerrado y compacto en el espacio (X, p). Teorema 5. Sen (E, p) rm su/Jespndo del espncio metrico completo (X , p). Entonces (E, p) es '"' espncio metrico completo si, y solo si, E es 1111

D

=

.) de subconjuntos de M tal que

E

c

u

(B>.hEA·

)..

Teorema 1 (de Cantor). Pam toda sucesi611 riecreciente Sea K un conjunto de puntos de un espacio metrico. Las propiedades de K d e ser compacta y totalmente acotado se re lacionan mediante el siguiente teorema.

K, :::> K2 J ... :::> K,. :::> • •. de conjuntos compnctos cerrnrios no vacios rie cierlo espncio uu!trico (X, p)

n 00

Ia intersecci6n K =

Ki es no vacia.

j =l

~ Demostracion. Elijamos arbitrariamente un punta _xi en cada conjunto Kj . Obtenemos Ia sucesion (xj), donde {Xj,J EN}~ K, . Puesto que K 1 es compacta, a partir de (xj) ~odemos elegtr una

Teorema 2 {de Hausdorff). Sen (X, p) 1111 espncio mt!trico. Todo conjunto compacta f( C X es totnlmente ncotado en X. ~

subsucesi6n convergente (xj.)- Sea xo = hm xi•· Para todo k-oo

no E N, todos los terminos de Ia subsucesi6n (xj.), ik > no, perteneceran a l conjunto Kn 0 , y como K,. 0 es cerrado, e ntonces x 0 E K,.0 • Por tanto, 00 Xo E nKj.

=

j=l

Definicion 2. Sean (X, p) un espacio metrico y t: > 0. Un conjunto x 1 c X se denomina sistema de vecindades (t:-red) del conjunto Xz C X si 'Vx E X 2 existe un elemento x, EX, tal que p(x,_x,) < t: . En particular, el conjunto Xz puede coincidir con el conjunto X. Definicion 3. Un conjunto E C X se denomina Iota/mente acotado en el espacio metrico (X, p) si 'V € > 0 existe una €-red finita de este conjunto en X .

La ultima condici6n es equivalente a Ia siguiente: 'V t: > 0 existe un conjunto finito F C X tal q ue 'V x E E se tiene que p(x, F)< €. · Sefialemos que el hecho de que cierto conjunto de puntas de un espacio metrico este acotado no implica que e l conjunto sea totalmente acotado.

Demostracion. Supongamos lo contrario, o sea, que K es compacta, pero existe cierto t:0 > 0 para el que no existe una t:0 -red finita . Fijemos un punto x 1 E K arbitrario. De acuerdo con la suposici6n, el conjunto {x 1} no forma una t:0 -red del conjunto K, es decir, p(x 1, K) ~ t:0 . Elijamos un punto arbitrario x 2 E K que verifique Ia condici6n p(x 1, x 2 ) ~ t:0 • Dado que el conjunto {xv x 2 } no es una t:o-red del conjunto K, existe un pun to x 3 E K tal que p(x;, x 3 ) ~ t:o (i 1, 2). Sean x 1 , x 2 , .. . , x,. puntas elegidos que satisfacen Ia condici6n p(x;, Xj) ~ t:0 (i-:/= j; i,j ~ n) . Elijamos un punta Xn+ I E /( tal que p(x;, Xn+ l) ~ t:o (i = 1, n). Utilizando el metoda de inducci6n respecto a n E N, construimos una sucesi6n (x,.) de puntas de K, cuyos terminos verifican Ia condici6n p(x;, Xj) ~ t:o (i-:/= j). Es evidente que Ia sucesi6n (xn) no contiene ninguna subsucesi6n convergente, lo cual contradice Ia hip6tesis de compacidad del conjunto K . Asi pues, el teorema queda demostrado. ..,.

Teorema 3 (de Frechet). Si un espacio metrico (X, p) es completo, entonces todo conjunto E C X totalmente acotado en este espacio es compacta. ~

Demostracion. Si E C X es totalmente acotado, entonces 'V t: > 0 existe una €-red finita del conjunto E en el conjunto X. Sea (xn) una sucesi6n arbitraria de elementos de E. Dado que existe un recubrimiento finito del conjunto E mediante bolas abiertas de radios menores que t:, al menos una de estas bolas contiene una subsucesi6n (x,..) de (x,.). De este modo, 'V € > 0, a partir d e cualquier

sucesi6n de e le me ntos del conjunto E se puede formar una s ubsucesi6n tal que Ia dis ta ncia entre sus terminos sea menor que c. Sea c,.

= -n1

. . ( x,.(I)) V n E N. El"IJamos una sub s uces10n

de Ia s ucesi6n (x,.) tal qi.1e las distancias entre sus terminos sean menores que 1. Tomemos en esta s ubsucesi6n una nueva s ubs ucesi6n (xl~l) con las dis tancias entre sus terminos menores Sean ( x~>), j 1, k , las subs ucesiones elegidas. Elija2 mos en (x~>) una s ubs ucesi6n (xl~+ ll) tal que las dista ncias 1 entre sus h~ rminos sean men ores que - - . H emos obtemdo que

~.

S11ficie11cia. Si e l conjunto K C X es cerrado en (X, p), entonces, en vi rt ud del teore ma 5, p. 3.5, el espacio (K, p) es complete y, por tanto, K es compacta. ..,.. La sig uiente afirmaci6n permite dar una nueva definiCion de conjunto secue ncialmente compac ta, cquivalente a Ia definicion 1.

=

0

k+1

una s ucesi6n de s ubs ucesioncs ( x~l:)) I: EN" Formemos una nueva sucesi6n ( xl:'>) compues ta de los terminos diagonales de todas las s ubsucesiones anteriores. Los te rminos de esta nueva sucesi6n pe rtenecen, a partir de cierto numero k E N, a Ia k-esima (n) (m) ) 1 s ubs ucesi6n; por tanto, V (n > k, m > k) p ( x ,. , Xm < k. Consiguientemente, Ia sucesi6 n ( xl~>) es fundamental. En virtud . . {X , p), tenemos 11m . x,.(n) de Ia completltud del espac10 x, n-oo

=

x E X. Por definicion, e l conjunto E es compacta en el espacio (X, p). ..,.. A partir de los teoremas 2 y 3 obtenemos Ia afirmaci6n_ siguiente. Teorema 4. Para que

11/L conjunto E C X sea-compacta en 1111 espacio (X, p) es necesario (y suficiente si (X, p) es 1111 espacio completo) que E sea totalmente acotado en X.

Teorema 6. Sea F C X 1111 conju11/o cerrado de un espacio metrico (X, p).

Pam que F sea secuencialmente compacta, es necesario y suficiente que a partir de c11alq11ier rec11brimiento de F mediante conjrmtos abiertos se p11eda extraer 1111 rec11brimiento fin ito. ~ Demostraci6n.

Necesidad. Scan F C X un compacta, (G,..)aeA una familia de conjuntos abiertos que recubren F , (c,.) una suce. . . f' . . . d . .. (I) ( I) (I) s1on m m1tes1ma e numeros posthvos, y x 1 , x 2 , . .. , xk una c 1-red fi nita de l conjun to F . Entonces tenemos k

F=UF;, 1

=

F;, Teorema 5. Un subconjunto compacta K C X de un espacio melrico (X, p) es un compacta si, y solo si, K es cerrado en (X, p). ,. Demostraci6n. Necesidad. Sea K C X un conjunto co mpacta. Seglln el teorema 5, p. 3.5, e l espacio (K, p) es complete y, por consigujente, el conjunto K es cerrado.

i =l

donde F; 0,, (x~ >) n F . Los conjuntos F; son secuencialmente compactos y, ademas, d(F;) ~ 2c 1, donde d(Fi) es el diametro del conjunto F;. Supongamos que d el recubrimiento (Ga)aeA no se pued e extraer un recubrimiento finito. Es to sigrufica que a l menos uno de los conjuntos d e F; (lo d eno taremos m ediante F;,) posec esa propiedad. Razonando a na!ogamenle, podemos encontrar en F;, un conjunto secuencialmente compacta F ;1; 2 de diametro d(F;,;2 ) ~ 2c2 que nose puede recubrir mediante nmguna familia finita de abiertos obtenida a partir de Ia familia (Ga)aeA. Continuando este procedirruento, obtendremos una s ucesi6n encajada de conjuntos cerrados ::::>

F; 1; 2

::::> ... ::::>

F; 1; 2 ... i.

::::> . .. ,

=

cuyos diame tros tienden a cero, pues d(F;,;2... ;.) ::::; 2£,., c11 o(1). Seglt.n el teorema 1, exis te un punto x 0 E F que pertenece a todos estos conjtmtos. Dado que Ia familia (Ga)aeA recubre el conjunto F, entonces exis te un s ubconjunto Gao de esta familia ta l que Xo E Gao· Puesto que Gao es un conjunto abierto, existe un c -entomo O, (xo) C Ga0 • Elijamos un n E N que satisfaga Ia condici6n d(F;,; 2... ;.) 0) (Vx E D 1, 0 < Px(x0,x) < o): py(a, f( x)) < c.

('1 c > 0) (3

o> 0)('1 x E D1, px(xo, x) < 6): py{J(xo), f (x))

< c.

Ull

(2)

(1)

Teorema 1. Las definiciones de limite de una nplicnci6n en un punta en el

sentido de Heiney en el de Cauchy son equivalentes.

---+ Y se denomina continua en pun to x0 E D1 en el senti do de Cauchy, si

Es evidente que las d efiniciones de H eine y de Cauchy de continuidad de una aplicaci6n en un p un ta son equivalentes. El concepto de continuidad de una aplicaci6n en un punta tiene carckter local, lo cual se demuestra en las afirmaciones siguientes.

Teorema 2 (de continuidad de Ia restricci6n de una aplicaci6n). Sea f: X _. Y una nplicaci6n coiltinun en 1111 punta x 0 E D1, A C D1, xo E A . Entonces Ia restricci6n JIA es lllltt nplicaci6n continua en el . punta Xo. ..,.. Demostracion. Supongamos que x,. _. x 0 y Vn E N x,. E A. Entonces !IA(x,.) f( xu) _. f (xo ) !IA(xo). ~

=

=

Recordemos que un conjunto V C X se llama entorno del punta Xo E X (v. p. 3.4) si existe un conjunto abierto G C X tal que xo E G C V. Si x0 E A C X , Ia interseccion A n V se denomina entorno del punta x 0 en A. Teorema 3. Supongnmos que existe Ull entorno W de UJI punta x 0 en D 1 tnl que Ia nplicaci61l f es continua ell el punta x 0 . En ese caso In nplicnci6n f: X _. Y es continua en el punta x 0 .

lw

..,.. Demostracion. Asuma mos que X 71 _ . Xo y que V n E N x,, E D 1. Entonces existe un numero n 0 E N tal que Vn ~ n 0 x,. E W. Dado que f( Xn 0 +n) = fiw( Xu0 +u) --+ flw " x fl. r f(y) E A'\ B' => y E =>

r

1

1 (A ) \

r

1

(B') C

r

r

1

fl.

B' =>

(A' \ B') =>

1

(A' \ B'),

de donde se deduce Ia igualdad a demostrar.

~

1) 2)

-+

Y. Las propiedades siguientes son equiualentes:

f es una nplicnci6n continua; In preimngen f - 1(G) de cadn conjrmto nbierto en E 1 es

J(A)

1

(F \oF) =

r

1

(F) \

r

1

(8F) = int

r

1

(F).

6.5. Aplicaciones unifonnemente continuas

abierta en D 1; 3) Ia preimagen j - 1(F) de cndn conjrmfo F cerrndo en E 1 es cerrada en D 1; 4) para cada conjunfo A C D 1 es utilida Ia inclusion

r

Seiialemos que Ia imagen de un conjunto abicrto (cerrado) mediante una aplicaci6n continua no cs, en general, un conjunto abi~rto (cerrado). Por ejemplo, Ia aplicaci6n x ~-+ x~, x E IR, es continua en IR, sin embargo Ia imagen [0, 1) d e l conjunto abierto (-1, 1) noes abierta.

La afirmacion siguiente tiene caracter global.

Teorema 7. Sea f : X

(int F) =

Por consigu iente, 3) => 2). Queda por establcccr que 2) => 1). Suponga mos que se verifica Ia condici6n 2). Si V' es un entorno del pun to f(x) en E1, entonces existe un entomo abierto W' C V' de esc mismo ptmto. La preimagen f - 1 (W') cs un conjunto abierto en D1 que contiene el punto x y esta contenido en j - 1(V'). Segun cl tcorema 4, Ia aplicaci6n f es contin ua en e l pun to x E D 1 . Dndo qu e x es un punto arbitrario, Ia aplicaci6n f es continua y, por tanto, 2) => 1). ~

(B'), tenemos

(A') 1\ y

1

C

f(A).

Sean_(X,px), (Y,py) dos espacios metricos y sea f : X -+ Y .

t>

Definicion. Se dice que Ia aplicaci6n canjrmto D 1 si {Vr:

> 0)(3 6 > O)(V(xi

f

es zmifomremente continua en el

E D1, x2 E D1), Px(xl,x2)

py(f(xi), j(x2))

~ Demostracion. Demostremos que se verifica Ia cadena de impli-

caciones 1) => 4) => 3) => 2) => 1). Sea f una aplicacion continua y A C D 1 un conjunto arbitrario. Su adherencia A esta compuesta, por d efinicion, de todos los puntos adherentes del conjunto A . Si x E D 1 es un punto adherente del conjunto A, entonces, por el teorema 5, tenemos que f(x) es un punto adherente del conjunto f(A) . Por tanto, f(A) C f(A) , luego 1) => 4). Supongamos ahora que se verifica Ia condicion 4). Sea 1 F C Et un conjunto cerrado de E 1 y A (F), entonces

< r:.

< 6):

(1}

Es evidente que una aplicaci6n uniformemente continua cs continua. La afirmaci6n redproca, en general, no es v;Hida. Por ejemplo, Ia funci6n continua x ~-+ x 2 , x E l!ll, no es uniformemente continua, pues para un h > 0 dado Ia dife rencia 2 (x + h?- x h(2x + h) puede tomar valores tan grandes como se quiera.

=

=r

4 J. • . 36

Teorema 1. Senn (X,px), (Y,pr), (Z,pz) tres espncios metricos. Consirleremos dos nplicnciones f: X -+ Y, g: Y -+ Z. Si Ins aplicnciones f y ~ ~~~~

Entonces obtendremos py(f(x,k), f (y,k)):::;; py(f(x,k ); f(xo)) + py(f(xo), f(y,k)) 0) (3 11 > O)(V (YI E D9, Y2 E D 9), py(yJ, Y2) < TJ): ( ) 2 pz(g(yJ), g(y2)) 0 existe un 6 > 0 ta l que V(x 1 E D 1, X2 E DJ)(Px(XJ,X2) < 6) => (3) => py(j(xi), j(x2)) < 11· A partir de (2) y (3) obtenemos que V e > 0 3 6 > 0: V(x! E D 9 of 1 x2 E D 9.1)(px(XJ,x2) < 6) => => pz(h(xi ), h(x2)) < e, es decir, Ia aplicacion h =go f es uni formemente contin ua. .,..

Teorema 2 (de Ca ntor). Toda nplicaci6tz continua

f: X

-+

6.6. Homeomorfismos. Distancias equivalentes Sean (X,px), (Y,py) dos espacios metricos.

Definicion 1. Una aplicaci6n biyectiva

Jismo si f y j - 1 son continuas.

Teorema 1. Sean (X, Px ), (Y, py ), (Z, pz) tres espacios metricos y X ~Y,

Y rlefinida en

g

Y .---. Z rlos Jzomeomorfismos. Entonces Ia composici6n h homeomorfismo de X sabre Z.

Demostraci6n. Sea f una aplicacion continua definida en un compacto D 1 . Supongamos q~e f no es unif?rmemente continua. Entonces existe un eo > 0 y dos suces10nes (x,) e (y,)

-

de puntos del conjunto D 1 ta les que p x (x,, Yn)

1

< :;;: ,

=go f

es wz

~ Demostraci6n. Segun el teorema 1, p. 6.2, Ia aplicaci6n biyectiva

X ~ Z es continua. Sea x 0 E X. conforme al teorema 4, p. 6.4, Ia preimagen h- 1(V") de cada entomo V" del punto h(xo) = (g o f) (xo) en el conjunto Z es un entorno del punto x 0

pero

py(f(xn), j(yn)) ~ e0 . Como D 1 cs un compacto, existe una subsucesi6n (xnk) convergente a un pun to Xo E D 1. Dado que Px(xnk' Ynk)

X~ Y se denomina lzomeomor-

Tales aplicaciones se denominan mutuamente continuas. En este caso Ia aplicaci6n inversa j - 1 es un homeomorfismo de Y sobre X.

utz compacta es uniformemenfe continua. ~

.,..

en X. Por consiguiente, Ia biyecci6n Z ~ X tambien es continua en h(xo) . Dado que x 0 es un punto arbitrario, h- 1 es una aplicaci6n continua. ..,..

1

0: px(xo,x) < 6 => Pr(f(x0), f(x)) < 2 · Tomemos un numero k E N para el cual Px(xo, xnJ < 6 y Px(xo, y,k) < 6.

~ IR,

donde j (x)

= x 3.

Definicion 2. Se dice que dos espacios metricos (X,px), (Y,py) son

lzomeomorfos si existe un homeomorfismo X ~ Y. 4•

Teorema 2. Dos espncios melricos lromeomorfos n

1111

lercero

SO/I

l!omeo-

11/0rfos e11lre si. ~ Demos tracion. Si los espacios (X, Px ),

(Y, py) son homeomorfos a un espacio (Z, p z ), existen ciertas aplicaciones homeo morfas

X ~ Z, Y ~ Z. La aplicaci6n Z ~ Y es homeomorfa. Segun el teorema 1, Ia composici6n g- 1 o f es un homeomorfismo d e X sabre Y. .,. Sean (X, pi), (X , p2 ) dos espacios metricos. Si Ia a plicacion identica x ~--+ x es un homeomorfismo, entonccs p 1 y P2 se denominan distn11cias equivale11fes (lopol6gicnmenle equivalenles) e11 X. En cste caso, como vemos a partir del teorema 7, p. 6.4, las familias de conjuntos abiertos definidas en ( X, PI) y (X, P2) coinciden. Llamaremos topologia de un espacio me/rico (X , Px) a Ia familia de conjuntos abiertos de este espacio. Las distancias equiva lentcs inducen una misma topologia. Senalemos que los conceptos d e entorno, conjunto cerrado, punto adheren te, adherencia, interio r y exterior de un conjunto, conjunto d enso, frontera y funci6n continua son conceptos topol6gicos. Las propiedades topol6gicas d e un espacio metrico se mantienen invariantes respecto a los homcomorfismos. N6tese que los conceptos d e bola, esfera, d iametro, conjunto acotado y funci6n uniformemente continua no son topol6gicos.

Ntimeros complejos y funciones de variable compleja § 1. Numeros complejos y plano complejo En el curso d e algebra elemental Ia apanc1on del concepto d e numero complejo generalmente sc relaciona con Ia ecuaci6n x 2 + 1 = 0. Primero se establece q ue no existen numeros reales que satisfagan d icha ecuaci6n. Entonces se in trod uce un nuevo numero "imaginario" i = J=I, gracias al cual Ia ecuaci6n dada ya posee las raices ±i. El paso siguiente es considerar los "nllmeros complejos" x + iy como las sumas d e numeros reales x e "imaginaries" iy. Las reglas de las operaciones con esos numeros nuevos se definen de forma tal que perrnitan manejarlos como si fueran numeros reales, sustituyendo en los resultados finales i 2 por -1. AI introducir los nuevas numeros resulta que todas las ecuaciones de segundo grado d el tipo x 2 + px + q = 0 y, en general, todas las ecuaciones del tipo x" + p1xn -J + ... + Pn-JX + Pn = 0 con coeficientes arbitra rios, tienen soluci6n. Esta manera de definir los numeros complejos no nos satisface, pues nos obliga a tratarlos como objetos no existentes en Ia realidad, es decir, como "imaginaries" en el sentido estricto de Ia palabra.

Nume~;.os

Por esta raz6n, nosotros seguiremos otro camino, definicndo los nfuneros complejos desde un punto de vista geometrico.

1.1. Definicion de numero complejo·

Tomemos al vector 1 como Ia unidad de Ia operaci6n de multiplicaci6n buscada. Teniendo ·en cuenta Ia igualdad (2), vemos que es suficiente definir correctarnente el producto i · i = i 2 . Dildo que 1 · i = i, es decir, el punto (0, 1) se obtiene del 7f

Consideremos todo punto z = (x, y) d el plano IR2 , donde x E JR, y E ~, como un vector. conforme a este enfoque, definamos cl modulo de z, asi como Ia operaci6u de adici6n de dos puntos z 1 (x 1, y 1 ) y z2 (x2, Y2), segun las reglas conocidas para los vectores (fig. 10)

=

com

=

pun to (1, 0) mediante un giro de - del plano ~ en el sen2 tido contrario at de las agujas del reloj, podemos suponer que

Utilizando las igualdades (2) y (3), para z = (x, y) obteneIll OS

Asimismo, V a E ~ s upongamos que az = (ax, ay). Como es sabido, todo vector z en el plar\o se puede descomponer respecto a los vectores (1, 0) = 1 y (0, 1) = i (fig. 11): (2) Z = X ·1 +y · i.

·Y

y

y·l l

x·l

X

Fig.lO

X

Fig. ll

Entonces nos preguntamos lo siguiente: conservando las igualdades (1) y (2) que defin en las operaciones con vectores, ;.es posible definir Ia operaci6n de multiplicaci6n de los puntos del plano !lf, trimsformandolos en numeros que en lo sucesivo d enominaremos complejos? El requisite de conservar las igualdades (1) y (2) es muy importante. Sin estas podrfamos tomar una aplicaci6n invertible de R sobre IR2 y considerarla como un isomorfismo de campos ordenados, transformando inutilmente ~ en una representaci6n del campo ordenado de numeros reales.

z ·i

= (x · 1 + y · i)i = -y · 1 + x · i = (-y, x).

(4)

De este modo, el punto y (-y, x) se obtiene del (-y,x) pun to (x, y) mediante un g iro del plano ~2 en un angulo recto en el sentido contrario al de las agujas del reloj (fig. 12). Es evidente que un giro en otro anguX X lo se podni determinar Fig.12 med iante Ia rnultiplicaci6n no por i, sino por el numero complejo apropiado. Asi, vemos que los nurneros comp lejos son de gran importancia para las matematicas, pues con su ayuda se pueden estudiar las transformaciones mas importantes del plano: los desplazarnientos, los giros y las homotecias. Escribarnos ahora Ia regia de multiplicaci6n de los puntos del plano IR2 :

(xJ, Y1)(x2 , Y2) = (xl · 1 + Y1 · i)(x2 · 1 + Y2 · i)

=

= (X JX2- YIY2)1 + (XJY2 + X2YJ)i. Entonces

D efinici6n. El plano numerico ~ para cuyos puntos esta n definidos los m6du los y las operaciones de adici6n y multiplic-

Solucion. Las coordenadas de los puntos considerados son

z 1 = (1,0), Solucion. Para z ::j:. 0 La ecuaci6n dad a es equivalente a Ia ecuac10n t

= -

2 k7r . k'lr k'lr sen - +tsen- cos-

encuentran en una misma recta paralela al eje imaginario.

~

~

=

a 2

Si a E IR, entonces Re zk = -

ento[lces e' 20 = (- 1)e' 3 = e' -.-+3 = e _,3 , 38 = -1r. SegU.n La tercera formula de Viele tenemos r = - a, a E lit A partir de Ia desigualdad (1) para q = - 24, r = - a se obtiene que a2 ~ 211 , es decir, lal ~ 32/2. 11>-

2k7r)

2 2 ( 1 - cos : 7r )

0. De La segunda formula de Viele

.(

=

a ( 1 - cos --;;: + i sen --;;:

tiene tres rakes rca les. De las formulas de Cardano se deduce que los coeficientes q y r deben satisfacer Ia condicion

de donde hallamos que q

·2k..-

n

obtenemos p = 0, qei28 = 24eiJ , r ei39 = a, donde p = - (x 1 + X2 + X3), q = XtX2 + XtX3 + X2X3, T = -X tXzX3. Dado q ue Xj SOil numeros reales, entonces Ia ecuacion

x + px + qx + r

1- tk

1 - ( cos -2k7r - i sen -2k7r) n n =-a 2k7r 2 - 2cos-

z2 = x 2 e ,

2

1

,

i9

3

1

= - a - - = -a

Zz

= (- 1,0),

Z3

= (0,1) y

Utilicemos las formulas (3), p. 1.3: X

€ = 1 + lzl 2 '

Z4

=

(~, - ~)·

Denotando las imagenes d e los p w1tOS obtenemos Z1

= (~,0, ~) ,

Z2

Zj

mediante

zj

(i

= (- ~I 0, ~)

7r

7r

, - , respectivamente. 4

7r

I

7r

< 2'

•

mediante la proyec~i6n estereografica.

(.A que correspon 0 y 1/Jo TJ = cp, entonces sobre

se dice que las parametrizaciones cp y 1/J son equivalentes.

Definicion 3. E1 conjunto 'Yor de todas las parametrizaciones equivalentes de una curva suave simple 'Y se denomina orientaci6n de Ia curua. El par ordenado r = ('Y 'Yor) se llama Cfl YUQ suave orientada r. I

Gurvas. continuas

Es evidente que Ia orientacion d e una curva suave sim ple se determina unfvocamente al indica r su punto inicial. Pa ra d e terminar Ia orientacion d e una curva suave s imple 1 de parametrizacion cp se debe elegir uno de los dos sentidos posibles . cp'~) del versor r(M) = lcp'(t)l d e Ia tangente, donde M = cp(t) E I· Todas las parametrizaciones cp ft. lor son eq uivalentes entre sf. Su conjunto se denomina orienlncion contrnrin ~~­ Denominaremos Ia curva orientada r- = (I, 1~) conlrnriamente orientada resp ecto a r = (1, lor)Entre todas las parame trizaciones cp de una cu rva suave orientada r = (I, l or) existe una parametrizacion cp E lor tal que lcp'(t)l = 1, V t E [a, b). Para esta parametrizacion tencmos D "'

El exterior d e una circunferencia y los a nillos circula res no son s imple mente conexos respecto al plano C, ya que para estas regiones se puede indicar una circunferencia p erteneciente a dicha region pero c uyo interior no pertenece totalmente a Ia region. Con elfi n de examinar poste riormente las transformaciones conformes generalizaremos Ia definicion de region sirnplemente conexa. Definicion 5. Una region G C C se d enomina simplemenfe conexa respecto al plano complejo ampliado si para cualquie r curva cerrada de Jordan 1 perteneciente a G , el interior d e 1 (o el exterior de 1) tambie n pertenece a G.

b

= [0,

l), donde l

= J lcp'(t)l dt es Ia longitud de Ia curva I·

Las regiones que no son simplemente conexas se denominan mtiltiplemente conexas. Por eje mplo, el exte rior de una circunferencia, al cual pertenece el punto d el infinito d el plano complejo ampliado C, es simplemente conexo respecto al plano C, pero no lo es resp ecto al plano C. Un anillo circular no es simplemente conexo ni respecto at plano C, ni respecto a! plano C. Toda curva continua 1 es un conjunto cerrado y acotado. En efecto, dado que su parame trizacion cp es una funci6n continua d efinida en un compacto [a, b), entonces, segun el teorema 1, p. 2.8, el conjunto E"' = 1 es secuencialmcnte compacto, es decir, es cerrado y acotado.

a

Esta parame trizacion se d enomina natural (nonnal). La parametrization na tural cp se puede obtener como una composicion '1/J o 1], donde '1/J E lou Dy, = [a, b), 1]: [0, l) -;[a, b) y V t E [a, b) 1]-

1

(t) =

j

t

1'1/J' (r)l dr.

a

Teorema 1 (de Jordan). Toda curun cerradn simple 1 divide el plano C en dos regiones distintns G 1 y G2, siendo 1 su fronf ern comtin. La region interior limitadn par 1, conocidn como interior de 1, es ncotadn, mienfrns que In otrn region, denominnda exterior de 1, conliene el punto del inftnito y no es ncotadn. Por ejemplo, los conjuntos G, = {z E C p(:zo, z ) < r} y G2 = {z E C: p(z0, z ) > r} son, respectivamente, el interior y el exterior de Ia circunferen cia 1 = { z E C p(zo,z) = r}.

Definicion 6. Un conjunto ordenado r = (r,, r2, ... r,,) de curvas suaves orientadas rk = (l(k ), ~~~l) (k = 1, n) se denomina curva suave a trozos, si V k 1, n - 1 el punto final de Ia curva orientada suave rk coincide con I

=

n

el punto inicial de Ia curva rk+l· El conjunto 1

El ir}terior de una circunferencia es un ejemplo de reg ion simplemente conexa.

se denomina

k= l

fraza de Ia curva suave a trozos Definicion 4. Sea G C C una region arbitraria. Si para toda curva cerrada d e Jordan 1 perteneciente a G, cl interior d e 1 tambien perte nece a G, entonces la reg ion G se d e nomina simplemente conexn respecto nl plano C.

= U l(kl

r, o conjunfo de sus puntas.

La siguiente afirmacion es muy irnportante. Teorema (de continuidad de las aplicaciones biyectivas). Sea G ~ D una funci6n continua en sentido general, deftnida en Ia region G C C. Entonces

el conjunlo D lnmbien es unn region yIn f uncion 1- 1 es conlimw en sentido gen~rnl en D . Si, ndenuis, In frmcion 1 estn definidn en In frontcrn {)G y es continua en sentido general en In ndlzerencin G, enlonces f trn nsfonnn {)G en {)D-, es decir, In frontern de In imagen de In region G coi11cidc con In imagen de In f rontera de In mismn regio11.

Diremos que una regton G es compacta, y escribiremos G € C, si existe un circulo K n = {z E C: lzl < R < +oo} que contiene Ia region G. Un conjunto E pe1tenece de modo compnclo a Ia region G, y se escribe E € G, si su ad herencia E pertenece a G, es decir, E € G ¢:> E c G. Fijemos una topologla r del plano complejo ampliado C. Sea M C C un subconjunto conexo y sea 0 , un entorno de un punto z E M en el espacio topologico (C, r).

Generalicemos el concepto de curva continua. Sea [a, b] ~ C una funcion continua en sentido genera l, con Ia particularidad de que el segmento [a, b] puede ser infinito en uno o en ambos lados. La funcion tp se denomina parnmetrizacion de Ia curon continua e11 sentido general 'Y en el plano complejo ampliado. Si V t E [a, b] tp(t ) :p oo, entonces Ia curva generalizada no pasa por el punto del infinite. Los conceptos de curva cerrada, curva de Jordan, punto multiple y punto inicial y final de una curva, se generalizan facilmente al caso de una curva continua en sentido general. Si un conjunto es cerrado y conexo, entonces se d ice que es un continuo. Un continuo que no tiene puntos interiores se denomina conjunto lineal o curon de Ca11tor; por ejemplo, un segmento o una circunferencia. Este es otro enfoguc de Ia definicion de curva en el plano. Analogamente, existe otra manera de definir una region simplemente conexa. Sea M un conjunto no conexo y A un subconjunto conexo - suyo. Se dice que A es un subconjwzlo maximal si no existe otro s ubconjunto conexo B C M tal que A C B . Los subconjuntos maximales de M se denominan sus componentes conexas. En Ia teorfa de conjuntos se demuestra que todo conjunto es Ia union de un numero finito o infinito de sus componentes conexas. Una region G C C se denomina simplemente conexa si su frontera 8G es un conjunto conexo. Dado que {)G es un conjunto cerrado y sin puntos interiores, entonces Ia frontera de una region simplemente conexa es un continuo. Si Ia frontera de una region no es un conjunto conexo, se dice que Ia region 110 es simplemenle conexa. Si el numero n de componentes conexas de 8G es finito, se dice q ue Ia region G es n -conexa. En caso de que el numero de estas componentes sea infinito, Ia region G se denomina infinitamenle conexa.

Definicion 7. Se denomina enlomo del punto z en el conjunto M al conjunto 0~ = 0 , n M . El conjunto de todos los entornos 0~ V z E M se denominara topologia definida par entomos r' de l conjunto M . Mas adelante resultara t'ttil Ia afi rmacion sig uiente. Teorema. Sean M C C 1111 conjtmfo conexo y A C M un subconjunto no vado. Si A es abierlo y cerrado n Ia vez en In lopologin r', enfonces M = A. .,.. Demostraci6n. Apliquemos el metodo de red ucci6n al absurdo. Sea A' = M \ A :P 0. Consideremos Ia ad herencia A en Ia topologla r. Es evidente que A esta compuesta de los puntos de su adherencia Ar• en Ia topologla r' y cierto conjunto que no pertenece a M. Por eso An A' Ar• n A'. I Dado que A es cerrado en Ia topologla r , entonces Ar• = A . De esta manera, An A' = A n A' = 0. Si A es un conjunto abierto en Ia topologla r', entonces su complemento A' es cerrado en esa rnisma topologfa (los puntos Lfrnites del conjunto A' no pueden pertenecer a A debido a q ue A es abierto, luego estos puntos pertenecen a A'). Por eso, a la intersecci6n A' n A se pueden aplicar los mismos razonarnientos aplicados a\ caso A n A', de lo que se deduce que A' n A = 0. De este modo obtenemos que M = AU~ A n ~ =~ N n A =~ A :P~ ~ :p~

=

83... 36

lo que contrad ice e l caracter conexo del conjunto AI[. Asf pues, Ia suposici6n de que M f: A es falsa. ..

IIJ

-

•

Zn __..

2) si ¢,, -i

··~-;j'''

0 •cuando

n~00, .~~ton2es ( 1 +

11

= 1+

t C~

k -oo

pu ntos lfmites, luego d iverge. N6tese que en el caso en que lim

-t 'l;

n-oo

~· )

7r 11 -

1. Dado que

z~~ =

donde

CfJn

=

=0

Ia sucesi6n

n = 2k,

~

{

si n = 2k - 1.

8'

:: , e ntonces

Entonces lim Zn = 0,

n-oo

cuand o n --+ oo. Por consiguiente, ( 1 +

= Zn -

~)

7r

lim CfJ2k

k-oo

= 4'

es decir, Ia sucesi6n (cp11 ) diverge.

= ellln(l+~ ) _ 1 =ei•.I+O( t) _1--+0

~· )

- n '

si

4'

ei'f'•

1(1+~)n -11=1tc~:~l~tc~l~r = (1+ 1~1 )~~-1= W 11

Z 11

(arg z,.) tambien puede divergir. Por ejemplo, sea

k=l

2) Toma ndo

=

"l

Sol uci6n. 1) Estimemos Ia diferencia ( 1 +

~· )

11

Zn )

l,cuandoi~~~~;.{ntoni!~{l+ ~ )"

---'"'-----.......i-__..~';..:.;·~·=-·,~-

( 1+

=

=

1) Si

(1+

Soluci6n. Consideremos Ia sucesi6n (z11 ), donde z 11 = - 1 + 1 ( - -t- . Esta suces10n · · conve rge y I'tm Z 11 = - 1. Dad o que z 2k = ~· n2 11 -00 i i 1 -1+-2 y z2k-! -1, entonces a rgz2k 1r- arctg - 2 2 4k (2k -1) 4k 1 y arg z2~;_ 1 -1r + arctg 1r y . Como lim arg z2k (2k - 1)2 k-oo · lim a rg z2,._ 1 = - 1r, e ntonces Ia sucesi6n (a rg z,.) tiene dos

=

Problem as res ue ltos .

48.

~

~

7r

lim CfJ2k-1 =

k-oo

g'

..

11

--+ 1.

1, a pa rtir d e 1) obtenemos que

50.

11

--+ 1 cuando n --+ oo. Como

(1 +~ ) " =(1 +~+ : =(1 +~) • (1+n:'1)", 11

11

11

)

11

entonces ( 1 + :·)

--+ e.

~ Soluci6n. Estimemos

1!1>

I~

_ J- IP!(z! - z)+P2(z2-z)+ .. . + p,.(zn-z)l Z -

49. ~

s•

IZn- z J. Te nemos:

PI + P2

pdz1 - zl

+ P2lz2 -

+ ... +p,. zl + ... + p,.Jzn -

PI + P2 + . . . + p,.

zl I

~

Curvas co

7r2

es decir,

p(Z11 , z)

~

k= l

_::_.:.__1-1

---

1r -

n

Dado que

I::: Pk

-+

u- l

"Trn- 1

si n es impar, 2! (n- 1}! 7r3 n+ 2 "Trn- 1 Im z11 = 1 r - - + ... + (-1) _2_ si n es par, Imz,. = 3! (n- 1)! Rez11 =

+oo, aplicando el teorema de Stolz para las

1 -

+ ... + (- 1) 2

1r 3 -

n - 17r

11

+ ... + (- 1} - 2- - si n es impar, entonces 3! n! lim Re Z 11 = cos 1r = - 1, li m lm Z 11 = sen 1r = 0.

Por consiguiente, lim z,. = - 1.

k= l

~

n-oo

sucesiones de numeros reales, obtenemos II

lim

_k_ =_ I - - --

"

n-oo

L:::Pk

52.

lim Pu+IP(Zu +l' z) = O. n-oo

Pn +l

k=l

Por consiguiente, p(Z11 , z) = o(1}, es decir, lim Zn = z. n-oo

~

..,. Soluci6n. Haciendo nemos

Hallar el limite de Ia sucesi6n (Zn) , donde

tp,. = arg z,. =

..,. Soluci6n. Demostremos que Ia sucesi6n (z,. ) es fundamental. Sean c > 0, n E N, p EN. Tenemos: n+p {

I

I:::

k=n+ l

/I ~ I::: :, n+p

7r:!

k

1) se verifica Ia desigualdad

lzd ::;; M(l + lql + ... + lqlk) .

{2)

Il M -q - 1- 1q1

+ lqiM(l + lql + ... + lqlk) = = M(1 + lql + ... + lqlk+l) .

k=O

Asi pues, la desigualdad {1) queda establecida. A p a rtir de las expresiones

de su resto

= Wn + qwn-1 + q2Wn-2 + q3Zn-3 = · · · obtenemos V (n E N, p ::;; n- 1) la suma p

Z 11

= 2::::: Wn-kQk + t +lZ

(4)

11 -p-1·

k=O

Teniendo en cuenta que Ia sucesi6n .(w11 ) converge y d enotando w = lim W 11 , ob tenem os W

Zn - - 1- q

p "'\'

00

k

,.P+ I

= L..J Wu-kQ + 'i

"'\'

k

Zn- p-1 - W L..J q

k=O p

= I::(wn-1:- w) l k=O

=

k=O 00

1

+ qP+ Zn-p-1 -

W

2::::: l. k=p+l

(5)

2::::: qk

2::: qk

1·P

converge, entonces Ia suma

0 a medida que crece p. Por

-+

k=p+l 00

consiguiente, w Ve

>03

L

l = o(1).

Cualquiera que sea p E N fijo,

k=p+l nc E N: V n ~ nc es valida Ia estimaci6n

I

k

I ::;; f; lwu-k- wllql p

k

00

k=O

p

< e ~ lql <

1 < e "'\' L..J lql " = el=TT

q

k

=e1,

p

es decir, L (wn-1:- w)qk

w

modo, z,. - - 1- q

= Wn + qwn-1+ q Zn-2 =

. q p+l z, _ , _ = o{1). oo, es d eCir, 1 1

00

k=O

2

-+

1:=0

p

(3)

p

00

f;(wn -k- w)q

De este modo, hemos d emostrado por inducci6n que V n E N es va lida Ia estimaci6n n k 1 - lqln+l M lzn l ::;; M 2::::: lql = M 1 _ lql ::;; 1 -lql "

Zn = Wn + QZn-1

0 cuan d o

Como lwl E IR y Ia serie

Entonces,

lz~:+d ::;; lwd + lqllz~:l::;; M

-+

= o(1), dado que n-oo lim w = w . De este 11

w = o(1), n-oo lim Z = - - . ..,. 1- q 11

..,. Soluci6n. 1) Dado que 2

jz,. j = ZnZ, =

rr(1 + :. ) k= l

entonces lzn+l -

u

=

k

n

ak

k= J

l·ffl

z,.l - lz I t - "

II

-

+d =

ak

II

ak+ J

k= J

ak

f.Jd - {f-" a1+l { an+I - Val

a,t+J

= an+I, al

--

#.

IT

Soluci6n. Sea z,. = (1 +

-

a, .

2) De las condiciones de partida se d educe que

cp, = arg

1, entonces u-oo

n -oo

•

1#.

....

-

lzn l -+ +oo y Z 11 -+ oo, es decir, Ia sucesi 1. En este caso lim a" = oo y lim -1 = 0.

Sea lal

n-oo

n-oo an

Dado que

Escribiendo el tthmino general de Ia sucesi6n {(,) en Ia forma

1

(,. = 1 - 1 + a" = 1 -

1 all .

acotada y lim

1 1+ 1 ,

lzl

~

zll+2-

z)

1 y z "/: 1, Ia sucesi6n ( {1- z) 2

z"+2 - z

n-co (1 - z)2 (1

+ n)

es

.

= 0. Por consiguiente, Ia sucesi6n ·

((,.) converge y

a"

1

lim(,.=--. 1- Z

ha Uamos que lim (, = 1.

n-co

n-oo

..,..

Supongamos ahora que Ia I = 1 y V n E N a" -:j: - 1. Entonces a = e;"', tp = arg a, a" = e;"V' y cos ntp -:j: - 1. Para los va lores ind icados de a tenemos

e;"V'

ei""'(1

+ e - i""')

e;""' + 1

(,. = 1 + ei 11 V' = (1 + ei""') (1 + e- inv>) = 2(1 +.cos ntp) = 2 ntp

2 ( cos 2+isen

ntp 2

cos

n~p

4cos 2 -

La s ucesi6n (tg

ntp) 2

1

= -

2

2

7)

.

ntp

+ 1 tg - . 2

converge s61o para tp = 0, es decir, 1

a = 1. En este caso lim ( 11 = - . Por consiguiente, Ia sucesi6n n-oo

( (11 )

converge si

2

lal < 1, lal > 1 y a= 1.

..,..

-... Soluci6n. A partir de Ia igualdad II it~ 1 ( k) an=n L..-J- n n k= l

it

k)

11 _ it Inn ~ 1( ' -e L..-J - -

k= l

n

jt

n

1

se deduce que todos los puntos lfmites de Ia sucesi6n (eit "") pertenecen a Ia circunferencia unidad con centro en el origen de coordenadas, y 1

lim n-co

1 (k) it - =

.f; n n 1 I +it r2 = -+-t "

0

z"+2 - z

1

) + - -. Entonces (, = ( ) ( 1 -z 2 1 +n 1 -z

xl+it

I' 0

1

=~

1 +it

1 , todos los puntos !Unites d e Ia -12 1 1 sucesi6n (a,) pertenecen a Ia circunferencia 'Y· Aqui hemos utilizado el hecho de que las funciones de variable compleja se pueden integrar con ay uda de las reglas conocidas de integracion de funciones d e variable real: si f (x) = ft(x) + ih(x), j 1 E R [a, b] , h E R[a, b], entonces f .E R[a, b], y viceversa, es d ecir, f E R[a, b] {:} / 1 E R[a, b] l\ h E R[a, b]. Si F es una Por cuanto

..,. Soluci6n. Para todo n E N, consideremos Ia sucesi6n (7]11 ), donde z- z"+2 7]11 = z(,, y formemos Ia diferencia 7]11 - ( , = ( - 1. 1- z)(1 + n)

~

x' dx= - 1 + it

primitiva cualquiera de Ia funci6t:

f , en tonces Ia funci6n t.p ~--+ p2 - 2 cos 2t.p es continua, seglli1 Ia conocida propiedad de estabilidad de las d esigualdades estrictas para funcioncs continuas, existe un entorno 0 0 (p0 , t.po) C B en el que sigue siendo valida Ia desigualdad estricta considerada. Por tanto, B es un conjunto abierto. Representemos B como B = B 1 U B 2 , donde B 1 es el conju nto d e todos los puntas de B que pertenecen al semiplano izquierdo y B2 es el conjunto de los puntas d e B que pertenecen al semiplano derecho del plano JR2 . Como el pun to (0, 0) no pertenece al conjunto B , entonces ningun par de puntas z 1 E B 1 y z2 E B2, se p uede unir mediante una linea quebrada contenida completam ente en el conjunto B, luego B no es una region. .,..

b

I a

x -b

f(x) dx = F( x) x =a ·

l

xl+it

La funci6n x~--+ - - es una primitiva de Ia funci6n x ~--+ x' 1 l+it

.,.

~ Soluci6n. En el p lano IR2 cada uno de.los puntas del conjunto A tiene coordenadas racionales. Del curso de analisis matematico se sabe que el conjunto Q es denso en JR. Por tanto, cada entorno 0 0 (z) del punto z E C contiene un conjunto infinito de pu ntas de A. Esto implica que A' = C, donde A' es el conjunto de puntas limites d e A . Por consig uiente, A = C, luego A no es cerrado. Dado que el conjunto de todos iOs numeros irracionales tambien es d enso en IR, ningun punto de A es interior. Por eso, A n-

4.1. Definicion de funci6n diferenciable. Reglas de diferenciaci6n Definicion. Sea f: C-+ C y sea zo E n, . Se dice que Ia funcion f es diferenciable en el pun to zo si existe una funcion !p: C -+ C (Dv> = D1)

(3)

. , = Dthm !p(z) = I{J(Zo) = f (zo). 3t-Zo

D, . Dado que

zo

ll>-

z

=- , z E C\ {-i, i}. 1+z2 1- zzo

l +z 2 -1+z5 =(z-zo)(l+z5) (1 + z 2 )'

1 - zzo I{J(z) = (1 + z5) (1 + z 2)'

§ 4. Funciones diferenciables de variable compleja. Diferenciabilidad en C y en JR2 • Funciones analiticas

entonces

Z- Zo

Consideremos, por ejemplo, f(z)

ln 2n

1

e"n

zo,

Demostraci6n. Segun Ia formula (1) tenemos D(:Jz-Zo

") Z 111 , Z 11

p

del conjunto D1. Si In funci6n f es diferenciable en el pun to existe lim j(z ) - f(zo) = /'(zo).

~

1)

= ( 0, vln2n ~

Teorema 1. Sea f: C -+ C. Supongnmos que zo E D1 es un punto lfmite

D(:Jz-zo

~~ 2 e-ZlI = e- (z +Y) e G. SenaJemos que el concepto de fu.ncion analitica se puede extender tambh~n a regiones de C; para ello hay que definir el concepto de fu.ncion anaHtica en el pu.nto del infinito.

2 ax ay 2 ax ay (B) En h~ rminos de esos operadores, las condiciones de Cauchy- Riemann se pueden escribir como una sola igualdad

of

a-z = o.

(9)

2

Si u y v son R -diferenciables en el punto (:r0, y0 ), entonces

af(Zo)

!::. f( Zo, t::.z) = - -

8z

a f(zo) t::.z + -_- t::.z + o(lt::.zl). az

(10)

Definicion 6. Una fu.ncion f definida en e l plano complejo ampliado C se denomina nnaliticn en el infinito si Ia fu.ncion cp: z ..... f (l/ z) es analftica en el punto z 0.

=

tO ll•. J6

es distinto de cero en el punto ZQ, ya que V z E G lf'(z)l # 0. Por ta nto, C