Antenas Microstrip Listo

Antenas Microstrip

Son antenas impresas, pertenecientes al grupo de las antenas planas. Son una extensión de la línea de transmisión microstrip. Sus dimensiones se eligen de forma que el “parche”

disipe la potencia en forma de radiación. Se conciben por primera vez en los 50 aunque sólo a partir de los 70 se trabaja activamente en ellas. En la actualidad podemos encontrarlas en estaciones de telefonía, teléfonos móviles, sistemas de radar e incluso comunicaciones satélite, sin olvidar su utilidad y aplicación en biomedicina. Las antenas microstrip son baratas de construir gracias a su simple estructura. Estas antenas también son utilizadas en UHF ya que el tamaño de las antenas es directamente  proporcional al ancho de banda de la frecuencia de resonancia. Una sola antena microstrip  puede tener una ganancia de 6-9dBi. Un array de estas antenas consigue mayores ganancias que una sola antena microstrip. La antena microstrip más utilizada es la de parche rectangular .Esta antena es aproximadamente la mitad de la sección de la longitud de onda de la línea de transmisión de una microstrip rectangular. Una ventaja de estas antenas es la diversidad de polarización, pueden ser fácilmente diseñadas para estar polarizadas en vertical, horizontal, circular derecha o circular izquierda. Esta antena es de banda estrecha y está fabricada cubriendo los elementos de la antena en un metal con sustrato dieléctrico formando una superficie plana. Las formas más comunes de los parches son cuadrados, rectangulares, circulares y elípticas pero es posible cualquier forma:

Estructura de las antenas Microstrip.

Todas las antenas microstrip están formadas básicamente por tres partes: plano de masa, substrato dieléctrico sin pérdidas y parte radiante o parche, de dimensiones comparables a la longitud de onda, como puede verse en la figura.

L= longitud W= anchura h=espesor

Configuración en geometría rectangular El substrato.

Se encuentra entre el parche y el plano de masa y se trata de una lámina

de material dieléctrico cuya constante dieléctrica suele variar entre 2 y 12. La elección del tipo de dieléctrico depende de varios factores pero por lo general hay que restablecer un compromiso dependiendo de las especificaciones de la antena. Aumentado el espesor de la lámina y disminuyendo la constante dieléctrica se obtienen resultados con una mejor eficiencia y mayor ancho banda. Sin embargo, al disminuir la constante dieléctrica la antena

tendrá un tamaño más grande para una frecuencia de trabajo fijada que si

utilizáramos una constante dieléctrica mayor. Si por el contrario el espesor es pequeño y la constante

dieléctrica elevada se obtendrán mayores acoplos (entre antenas si estas

componen un array), pero se sacrifica ancho de banda y la antena presenta mayores  pérdidas óhmicas. El substrato es generalmente no magnético. El parche.

Es una metalización cuyo espesor debe ser despreciable en relación a la

longitud de onda, soliendo ser establecido entre 0.003 λ 0 y 0.05 λ 0. Existen diferentes geometrías de parche y la frecuencia de radiación fundamental de la antena (modos TM10 o TM01) dependerá de sus dimensiones. Normalmente el parche es de cobre. Plano de masa.

Es simplemente una capa de metal metal que se encuentra en la parte inferior

de la capa de sustrato y que consigue crear una condición de plano conductor perfecto. La

alimentación de este tipo de antenas se puede realizar de diversas maneras, pero las más utilizadas son mediante línea de transmisión impresa, con cable coaxial, por ranura y por acoplo. Todos los parámetros en un parche rectangular de diseño de la antena ( L , W , h ,  permitividad) controlan las propiedades de la antena: 

En primer lugar, la longitud del parche L controla la frecuencia de resonancia.



En segundo lugar, la anchura W controla la impedancia de entrada y el patrón de radiación. Entre más amplio sea el parche más baja será la impedancia de entrada.



La permitividad €r   del sustrato controla la franja de campos. Baja permitividad genera mayor márgenes y la radiación por lo tanto es mejor. La disminución de la permitividad también aumenta el ancho de banda de la antena. La eficiencia también se incrementa con un valor más bajo para la permitividad. La impedancia de la antena aumenta con mayor permitividad.



La altura del substrato h también controla el ancho de banda, el aumento de la altura aumenta el ancho de banda. El hecho de que el aumento de la altura de una antena de parche aumenta su ancho de banda puede ser entendido por recordar la regla general de que "una antena que ocupe más espacio en un volumen esférico tendrá un ancho de banda más amplio”. Este es el mismo

 principio que se aplica al señalar que el aumento del grosor de una antena de dipolo aumenta su ancho de banda. El aumento de la altura también aumenta la eficiencia de la antena. El aumento de la altura induce a las ondas superficiales que viajan en el substrato.

Métodos de alimentación.

Existen diferentes métodos de alimentación para una antena microstrip de forma que radie eficientemente en las frecuencias deseadas mediante un proceso de acoplamiento de impedancias. La selección de la técnica de alimentación más adecuada viene determinada  por varios factores, pero el más importante a tener en cuenta es la eficiencia en la transferencia de potencia entre la estructura radiante y la estructura de alimentación, existiendo una correspondencia de impedancias entre las dos. Todos los métodos de alimentación existentes se pueden agrupar en 3 categorías bien diferenciadas: alimentación directa, alimentación por proximidad y alimentación por apertura.  Alimentación directa.

Estos métodos requieren de un contacto directo entre la estructura de alimentación y la antena radiante. Los dos principales métodos de alimentación en esta categoría son dos: alimentación por microstrip y alimentación por conector coaxial. La desventaja de estos métodos es que no se puede optimizar por separado el esquema de alimentación y la antena  puesto que se trabaja en un mismo substrato así que debe hacerse un compromiso entre las características esperadas de radiación y las características esperadas de la alimentación. 

Alimentación por microstrip.

Este método consiste en alimentar al radiador al conectarle directamente una línea de microstrip (diseñada para tener la impedancia característica deseada). Este método es el más sencillo de realizar, sin embargo, el que peor eficiencia presenta en relación al ancho de banda y acoplamiento. Existen varias formas de alimentar una antena por medio de microstrip: 

Existe el tipo de excitación que consiste en alimentar el elemento radiante mediante una cinta metálica o microstrip en contacto con el borde del mismo. La variación en la posición de la línea de microstrip en relación con el parche generará un mayor o menos acoplamiento de impedancia.

Conexión directa de la línea microstrip a la antena 

Alimentación con microstrip por medio de inserciones, la profundidad de la inserción es la que dicta el acoplamiento de la impedancia.

Conexiones de línea de microstrip con inserciones 

Cuando existe espacio entre la unión de la estructura radiante y el microstrip.



Alimentación por medio de una cinta metálica en contacto con el borde de la zona no radiante.



Alimentación por conector coaxial.

Este método consiste en hacer que el pin del cable coaxial alimente directamente al radiador, mientras que la parte negativa de éste se conecta a la tierra de la antena de microstrip. La impedancia depende de la posición de la sonda coaxial en relación con el radiador de tal forma que colocándola correctamente generará un mejor acoplamiento. Es uno de los métodos más comunes de alimentación de antenas de microstrip, sin embargo,  presenta un grado de complejidad puesto que el pin conductor del cable coaxial debe  perforar el substrato y estar soldado a la antena para su correcto funcionamiento.

 Alimentación por proximidad.

En este tipo de alimentación no existe un contacto directo entre la alimentación y el elemento radiante de la antena, su acoplamiento es electromagnético. En este método se tiene al radiador sobre un substrato dieléctrico y en la parte inferior de ésta estructura se tiene una línea de alimentación sobre otro substrato dieléctrico con un plano de tierra. Este método tiene la ventaja que el radiador así como la estructura de alimentación puede optimizarse por separado cuando se utilizan dos capas de substratos dieléctricos: un substrato dieléctrico para obtener las mejores características del radiador (substrato más ancho con permitividades eléctricas bajas) y de la alimentación (substratos delgados y con  permitividades eléctricas altas).

 Alimentación por apertura.

El método por apertura presenta similitud con el de proximidad debido a que también utiliza dos substratos dieléctricos, uno para el radiador y otro para la alimentación de éste. La estructura de este método es la siguiente: se tiene un radiador sobre un substrato dieléctrico y sobre un plano de tierra compartido, seguido de otro substrato dieléctrico (de la alimentación) y finalmente una línea de alimentación en la  parte inferior de toda la estructura. El plano de tierra tiene una apertura cuyas dimensiones y posición influyen en la impedancia y por ende en el acoplamiento de la antena. Una ventaja con respecto a la alimentación por proximidad es que en la alimentación por apertura, al estar la línea de alimentación en la parte inferior y separada de la antena por el plano de tierra, la radiación de esta es mínima en dirección de radiación de la antena con lo que se evita que haya interferencias y polarizaciones cruzadas.

Tipos de antenas Microstrip.

Existen varios tipos de configuraciones de antenas microstrip, como son: antenas de  parche microstrip, antenas microstrip traveling-wave y antenas microstrip de ranura.  Antenas Microstrip de ranura.

Las antenas microstrip de ranura, están formadas por un substrato, en donde existe una línea de alimentación microstrip en una de sus caras y un plano de masa con una ranura en la otra.

Antena rectangular microstrip de ranura Las antenas microstrip de ranura tienen la ventaja de ser capaces de obtener unos diagramas de radiación direccionales o bidireccionales (radian a ambos lados de la ranura). El diagrama de radiación direccional se consigue utilizando una placa de metal reflectora en uno de los lados de la ranura. Este tipo de antenas pueden producir polarización circular mediante la combinación de conductores de tira y ranuras situadas a lo largo de los lados de la alimentación microstrip. En la figura se representan las formas básicas de ranura de las antenas con diferente estructura de alimentación.

Formas básicas de ranura de antenas de circuito impreso. a) ranura rectangular con alimentación microstrip.  b) ranura rectangular de alimentación coplanar. c) ranura circular en anillo con alimentación microstrip. d) ranura circular en anillo con alimentación coplanar. e) ranura rectangular en anillo. f) ranura afilada. 

Antenas microstrip de ranura rectangular.

El tipo de antena rectangular posee en el plano de masa un corte en forma de ranura  perpendicular a la tira conductora de la línea microstrip, tal como se observa en la figura 1.

Figura 1. Antena parche con alimentación por apertura Para una excitación eficiente de la ranura, la cinta del conductor es cortocircuitada a través del substrato dieléctrico hasta el borde de la ranura como se puede observar en la Figura 2.

Figura 2. Microstrip terminado en cortocircuito También es posible tener una excitación eficiente de la ranura por medio de circuito abierto con la cinta del conductor terminando más allá del borde de la ranura como se muestra en la siguiente imagen, Figura 3.

Figura 3. Microstrip terminando en circuito abierto La longitud Lm de la cinta conductora de alimentación del circuito abierto es aproximadamente un cuarto de la longitud de onda. Una colocación centrada de la cinta microstrip respecto a la ranura de la antena tiene una resistencia de radiación muy alta y una adaptación con la red del sistema donde se desea trabajar requiera seguramente de la correspondencia entre la impedancia característica de la antena y la cinta conductora de la alimentación. Por otro lado, la configuración del microstrip de alimentación desplazado (Figura 4) respecto al centro de la ranura de la antena proporciona la adaptación de la impedancia característica de línea, reduciendo la necesidad de la adaptación de red e incrementando normalmente el ancho de banda.

Figura 4. Antena microstrip de ranura de alimentación desplazada

Las antenas microstrip de ranura rectangular se pueden diferenciar en dos categorías: antenas de ranura estrecha y de ranura ancha. Las ranuras estrechas son aquellas con su dimensión de anchura mucho más pequeña que su longitud a lo largo, por el contrario las antenas de ranura ancha poseen una anchura comparable a su longitud. o

Antena microstrip de ranura rectangular estrecha.

La configuración de la antena de ranura estrecha se puede ver representada en la Figura 2, con excitación centrada a la ranura o representada en la Figura 4 con la alimentación del microstrip desplazada del centro de la ranura. La impedancia de entrada consta de una combinación en serie de resistencias a la radiación y de un componente reactivo. La radiación de la ranura se presupone que radia a la frecuencia de trabajo y de diseño de la antena, por lo que la parte reactiva de la impedancia de entrada es cero. La longitud resonante de una alimentación centrada en la ranura es mayor que la longitud resonante de una alimentación desplazada del centro de la ranura. Para constantes del dieléctrico bajas, la longitud resonante en una antena con alimentación desplazada respecto a la ranura varía entre 0.4λ 0 y 0.5λ 0 y depende del material del dieléctrico, de la anchura de la ranura y de la localización del punto de alimentación. o

Antenas microstrip de ranura rectangular ancha.

Una ranura se define como “ancha” cuando su anchura es comparable con la longitud de

la misma. Hablando de ventajas, una ranura con estas características posee un ancho de  banda mayor, próxima al 10%, aunque cualitativamente hablando, el comportamiento es similar a una antena con ranura estrecha. Procedimiento de diseño.

Existen diferentes aspectos a tener en cuenta para diseñar una antena de este tipo.  Normalmente el objetivo del diseño es lograr una actuación específica de las características definidas en la antena para la frecuencia de trabajo requerida. La elección de materiales, las dimensiones y posicionamiento del microstrip,

dimensiones del sustrato dieléctrico,

dimensiones de la ranura son aspectos que influyen directamente en la frecuencia de trabajo de la antena que se desea conseguir. 

Para conseguir una determinada impedancia de línea para antenas de tira de alimentación delgada, hay que tener en cuenta la altura del sustrato dieléctrico, el valor de permitividad del material del mismo, y la anchura del microstrip.







La dimensión de la anchura de la ranura afecta directamente al ancho de banda. La longitud de la ranura determina la frecuencia de radiación. Para una longitud de ranura fija aumentar la dimensión longitudinal del microstrip conlleva una disminución de la frecuencia de resonancia, por el contrario reducir la longitud de la tira de alimentación dará como resultado que la frecuencia de trabajo resonante suba.

 Antenas de parche.

Las antenas microstrip de parche se componen de un parche conductor de cualquier geometría plana situado en una de las caras del sustrato dieléctrico y por la otra cara del dieléctrico existe un plano de masa. En la práctica existen diferentes tipos de configuraciones de antenas parche, pero indudablemente la configuración de la antena de  parche más simple es la rectangular. Procedimiento de diseño antenas parche rectangular.

El primer paso en el diseño es elegir un sustrato dieléctrico apropiado con un grosor adecuado. Una vez elegido habría que calcular el ancho del parche W a partir del grosor del dieléctrico h y de la frecuencia de trabajo fr , empleando la siguiente fórmula:

Dónde:



c es la velocidad de la luz.



fr es la frecuencia de trabajo.

 εr es la permitividad

del material del sustrato dieléctrico.

Lógicamente se pueden escoger otras dimensiones para la anchura del parche, pero si se escogen anchuras menores que la marcada por la fórmula anterior, la eficiencia de radiación sería menor mientras que si se elige una dimensión superior a la recomendada, la eficiencia sería mayor, pero podrían aparecer distorsiones de campo para modos altos. El siguiente paso sería escoger la longitud del parche L, una vez conocidos la constante de permitividad del dieléctrico εr, la anchura de la antena W y la línea de extensión Δl , calculada mediante las siguientes expresiones:

ΔL/h= 0,412.

 +0.3.  +0.264  −0.258.   +0.8 







Otro parámetro importante a la hora de diseñar la antena es la impedancia de entrada, la cual debería de ser lo más precisa posible para poseer una unión perfecta entre el elemento de radiación o parche y la alimentación de la antena.

Análisis de tipo de parche cuadrado.

Polarización: lineal, circular, dual. Genera altos niveles de contrapolar. Polarización dual o circular. Análisis de tipo de parche circular.

Polarización: lineal, circular, dual. Genera altos niveles de contrapolar. Polarización dual o circular. Aproximacion: Diseño de parche circular.

Comparación antenas de parche y antenas de ranura.

Las antenas microstrip de parche son fáciles de diseñar y fabricar, al igual que las antenas de ranura, y pueden tener diferentes formas geométricas como parche: rectangular, circular, triangular, entre otros. También, cambiando la posición de la tira de alimentación se puede lograr una polarización lineal o circular. Quizás, la gran ventaja de las antenas de  parche sea la posibilidad de trabajar con doble frecuencia. Por otro lado, las antenas de ranura pueden producir radiación unidireccional o  bidireccional. A su vez, las antenas de ranura son menos sensibles a la tolerancias de fabricación comparadas con las antenas de tipo parche.

Principio de funcionamiento.

Hay muchos métodos que analizan el funcionamiento de las antenas microstrip. Entre los más comunes destaca el modelo de línea de transmisión, el modelo cavidad y modelo de onda completa (que incluyen sobre todo ecuaciones integrales/método de momento). El modelo de línea de transmisión es la más simple de todos y da la buena penetración física  pero es menos exacta.

El modelo de la cavidad es más exacto y da la buena penetración física pero es complejo en naturaleza. Los modelos de onda completa son extremadamente exactos, versátiles y  pueden tratar elementos por separados, los órdenes finitos e infinitos, los elementos apilados y los elementos formados arbitrariamente. Éstos dan menos penetración con respecto a los dos modelos anteriores y más complejos en naturaleza.

Para explicar el funcionamiento se puede tomar como referencia una antena microstrip de parche rectangular.

 Modelo de línea de transmisión.

En este modelo la antena parche se analiza de la misma forma que una línea de transmisión microstrip. Tal y como se ve en la Figura 1, una línea de transmisión consiste en un conductor separado por un dieléctrico sobre un plano de masa.

Figura 1. Línea de transmisión y sus líneas de campo eléctrico. La distribución de los campos eléctricos en la línea de transmisión son típicamente como los que muestra la Figura 1. 

Efecto de Borde.

El hecho de que en el parche rectangular las dimensiones de longitud L y ancho W sean finitas provoca que aparezcan los campos de borde conocidos también como “fringing fields”. La magnitud de estos campos depende de las dimensiones del parche, de la altura h

y de la constante dieléctrica εr del substrato. En la Figura 3 se pueden observar los efectos de campo producidos a lo largo de los bordes de la longitud del parche, efecto que también se produce en los bordes del ancho. Tanto para una línea microstrip como para una antena parche el conductor está entre dos substratos con dos constantes dieléctricas diferentes, la del propio substrato y la del aire. Tal como muestra la Figura 1, muchas de las líneas de campo eléctrico residen en el substrato pero también hay parte que se extienden por el aire. Dado que normalmente W/h >> 1 y εr >1 hace que mayoritariamente las líneas de campo se concentren en el substrato.

El hecho de que viajen ondas por el aire y por el substrato lleva a introducir el concepto de constante dieléctrica efectiva εrff. En esta constante se asume que el

centro del

conductor de la línea o del parche es envuelto por un único substrato tal y como se ve en la

Figura 2. El valor de εrff para una línea q ue esté entre aire y un substrato, estará comprendido en el rango 1 < εrff < εr. La constante dieléctrica efectiva también varía en

función de la frecuencia, pero en el caso de frecuencias bajas ésta se mantiene constante.

Figura 2. Línea de transmisión y sus líneas de campo eléctrico Se puede extraer una aproximación inicial del valor de la constante dieléctrica efectiva, la cual tiene la siguiente forma:

Siendo válida únicamente para cuando W/h > 1. Esta expresión necesita una corrección de dispersión para frecuencias superiores a los 8 GHz. 

Longitud efectiva, frecuencia de resonancia y ancho óptimo.

Debido a los efectos de borde, el parche de la antena es eléctricamente más grande que sus verdaderas dimensiones físicas. En la Figura 3 se ve como este efecto hace que las dimensiones L se incrementen un ∆L por cada lado.

Figura 3. Efecto de la distribución del campo eléctrico. Este incremento ∆L es una función que depende de la constante dieléctrica efectiva (εreff)  y de la relación del ancho con el grosor del dieléctrico (W/h). Una aproximación

muy utilizada habitualmente es:

ΔL= 0.412. h.

 +0.3.  +0.264  −0.258.   +0.8 







Como la longitud L se ha extendido ∆L, la longitud efectiva Leff, vendrá dada por:

Leff es un parámetro muy importante en el diseño de una antena parche, ya que para que la antena radie en el modo fundamental TM010, la longitud efectiva tendrá que ser igual a λg/2, con:

g=

 



 

Donde c es la velocidad de la luz, f es la frecuencia y εreff es la constante dieléctrica efectiva. De lo anterior se deduce que la frecuencia de resonancia de la antena para que funcione en el modo fundamental viene dada por: fr(010)=



2. .  



Por otro lado, la anchura del parche W, no es un parámetro muy relevante a la hora de modificar la impedancia de entrada de la antena. Pese a ello se puede encontrar una buena aproximación para obtener la mejor eficiencia de radiación:



Modelo circuital.

El modelo circuital de un parche rectangular equivale a una línea de transmisión de longitud L, la cual está cargada en sus extremos con una conductancia y una subsceptancia, tal y como se observa en la Figura 4. Estas impedancias representan las  pérdidas de radiación, la capacidad de la discontinuidad y el circuito abierto. El  parámetro Zo es la impedancia característica de la línea de transmisión de anchura W y longitud L.

Figura 4. Antena rectangular y su circuito equivalente  Modelo de cavidad.

El modelo de cavidad trata la antena microstrip como una cavidad resonante. De esta forma se tienen en cuenta todos los modos de propagación y no sólo el que se propaga en la dirección longitudinal L como se considera en el modelo de línea de transmisión. 

Descripción.

Una antena parche se puede aproximar por una cavidad formada por cuatro paredes magnéticas y dos paredes eléctricas tal como muestra la Figura 5.

Figura 5. Aproximación de la antena microstrip en el modelo de cavidad Para analizar los campos producidos en el interior de la cavidad hay que resolver la ecuación de onda homogénea, la cual está sujeta a las condiciones de contorno de los campos tangenciales:



Distribución de campo en la cavidad (modos)

De la aplicación de las condiciones de contorno expuestas anteriormente en la ecuación de onda resulta que en la cavidad sólo pueden existir campos transversales magnéticos (TM) a determinadas frecuencias de resonancia (modos) que cumplen:

fr (mnp) =



2  

 

  ℎ ⬚   









Donde h, L, W son respectivamente la altura del substrato, la longitud y el ancho del  parche y n, m, p valen 0, 1, 2… dependiendo del modo.

Considerando un parche rectangular cuyos parámetros cumplan que L > W > h, se  puede deducir de la expresión anterior, que el modo con la frecuencia más baja (modo fundamental) será el modo TM010.

fr(010)=



2  

 

En la Figura 6 se pueden ver las distribuciones de los campos eléctricos del modo TM010 en las paredes de la cavidad.

Figura 6. Campo eléctrico en el modo TM010

El resultado para el modo TM010 se puede ver en la Figura 7 en la que se observa cómo las corrientes se distribuyen en el parche uniformemente en la dirección paralela a la longitud L, teniendo una intensidad máxima en el borde de ésta.

Figura 7. Distribución de corriente en un parche rectangular en el modo TM010

Otro de los modos interesantes de observar es el modo en el que las corrientes se distribuirán a lo largo del ancho del parche W. Este modo es el TM 001, y su frecuencia de resonancia viene dada por la expresión:

fr(001)=



2  

 

La distribución de los campos eléctricos la podemos ver en la Figura 8.

Esta

distribución es como la del modo fundamental, pero en lugar de tener el mínimo en la longitud del parche lo tiene en el ancho.

Figura 8. Campos eléctricos en el modo TM001 En la Figura 9 se ve como quedarían las corrientes que circularían por el parche en el modo TM001. Estas van en la dirección paralela al ancho del parche W, teniendo intensidad máxima en los bordes de este.

Figura 8. Distribución de corriente en un parche rectangular en el modo TM001 El modo de excitación fundamental TM010  es el que se intenta conseguir en todos los diseños de antenas ya que da máxima radiación en el plano normal a la estructura en su  parte superior.

http://148.206.53.231/UAMI14443.pdf  http://es.mashpedia.com/Antena http://e-archivo.uc3m.es/bitstream/10016/11119/1/PFC_Ruben_de_Salas_Corregidor.pdf  http://lasantenitasdecris.blogspot.com/2008/05/antena.html http://academica-e.unavarra.es/bitstream/handle/2454/4806/577726.pdf?sequence=1 http://www.upv.es/antenas/Documentos_PDF/Notas_clase/Antenas_microstrip.pdf  http://www.urbe.edu/info-consultas/webprofesor/12697883/articulos/Radio%20Frecuencia/Antena.pdf  http://sistemas-com.blogspot.com/2009/09/antena-patch-microstrip.html http://www.antenna-theory.com/antennas/patches/antenna.php

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/hernandez_a_r/capitulo3.pdf  http://www.ceset.unicamp.br/~leobravo/Especializ/3-5.pdf  http://www.upv.es/antenas/Documentos_PDF/Transparencias_reducidas/Tema_9.pdf  http://www.slideshare.net/lonely113/diseo-de-antena-microstrip http://www.antenna-theory.com/spanish/antennas/patches/patch4.php