期中考answer

1.

A surface whose temperature is maintained at  400℃  is separated from an air flow by a layer  of  insulation  25mm  thick  for  which  the  thermal  conductivity  is  0.1W/m ∙ K.  If  the  air  temperature is    35℃  and the convection coefficient between the air and the outer surface of  the insulation is  500W/m ∙ K, what is the temperature of this outer surface?  Thermal circuit:  = =

= =

0.025 = 0.25  0.1(1)

(

=

2.

)( )

= 0.002 

=

 

 

 

 

400℃ − 35℃ 400℃ − =   0.25 + 0.002 0.25 = 37.89℃    Steam  in  a  heating  system  flows  through  tubes  whose  outer  diameter  is  D = 2 whose walls are maintained at a temperature of 120℃. Circular aluminum fins 

  and 

  are  (k = 180W/m ∙ K)  of  outer  diameter  D = 6   and  constant  thickness  t = 2 attached  to  the  tube.  The  space  between  the  fins  is  3mm,  and  thus  there  are  200  fins  per  meter  length  of  the  tube.  Heat  is  transferred  to  the  surrounding  air  at  T = 25℃,  with  a  combined heat transfer coefficient of  h = 60W/m ∙ K.  (a) Determine the heat transfer rate from the tube per meter of its length without fins.  ( − )   q = hA( − ) = hπ q = = hπ

(

−

) = 358.1 /

  (b) Find the fin efficiency    = + 2 = 31 = + 2 = 21 = = 42 (

) = 0.27 ≈3

From figure 3.19 = 90%    

. 

(c) Find the fin heat transfer rate 

  for a single fin. 

=

 

ℎ2 (

=

−

)+2

(

−

) = 0.9 ∗ 30.8 = 27.7

  (d) Determine  the  heat  transfer  rate  from  the  tube  per  meter  of  its  length  as  a  result  of  adding fins.  =1−

(1 −

=

+

) 2 (

=

−

)+2

+2

(1 −

) = 1.118

= 0.9034 = =

(

ℎ

=

3.

ℎ ) = 5757

−

= 5757 /

  Consider steady heat conduction in a long cylinder of radius 

  with uniform heat generation  g .  The  cylinder  is  made  of  material  with  thermal  conductivity  k  and  subject  to  constant  surface temperature  T .  (a) Find the governing equation.  1‐D steady problem with heat generation  ∂T 1∂ kr +g ∂r r ∂r

= 0 

  (b) Find the relevant boundary conditions in the cylinder.  B.C.s:    T( ) = T    

= 0 

  

  (c) Solve for the temperature profile in the cylinder.   

 



1∂ ∂T kr +g r ∂r ∂r

= 0 

g r ∂ ∂T r =−   ∂r ∂r k ∂T g r C =− +   2k ∂r r

T=−

g r + C ln r + C   4k = 0  we get  C = 0 

With BC 

With BC  T( ) = T   we get  C = T + r

(1 −

g T=

 

) +T  

4k

  (d) Evaluate the heat flux at the outer surface of the cylinder.  ∂T q′′ = −k   ∂r = −k −

q′′

g 2k

=

g 2

 

  (e) Find the governing equation and the relevant boundary conditions for a sphere of equal  radius    made of the same material under the same thermal condition.   

kr

 

+g

= 0 

B.C.s:  T( ) = T       (f)  

  

= 0 

Solve for the temperature profile in the sphere.  kr

 

+g

= 0 

∂ ∂T kr = −g r   ∂r ∂r kr

∂T −g r = +C   ∂r 3

∂T −g r C = +   ∂r 3k r T=

−g r C − +C   6k r

With BC 

= 0  we get  C = 0 

With BC  T( ) = T   we get  C = T +

 

g

(1 −

T=

r

) +T  

6k

  (g) Evaluate the heat flux at the outer surface of the sphere.   

 

q′′

= −k

 

 

q′′

= −k −

  4.

Steel  balls  12mm  in  diameter  are  annealed  by  heating  to  1100K  and  then  slowly  cooling  to 

  =

 

350K in an air environment for which  T = 315   and  h = 20W/m ∙ K.  (a) Assuming  the  properties  of  the  steel  to  be  k = 40W/m ∙ K,  ρ = 7800kg/ ,  and  c = 600J/kg ∙ K, is it reasonable to regard the temperature of steel balls as uniform in the  process?  Bi = Bi =

ℎ

,



ℎ



3

=

ℎ = 0.001 < 0.1 6

So, it is a lumped system the temperature of the ball is uniform   (b) Starting  from  the  energy  balance  equation,  find  an  expression  for  temperature  of  steel  balls in terms of time t and other relevant parameters, such as initial temperature  T ,air  temperature  T , convection transfer coefficient h,…  = − + = −ℎ ( − 4 3 =

= −ℎ4 −3

( −

i.c. : t = 0,        

=

)

) ( −

)

(c) Estimate the time required for the cooling process.  =

−

− ln( − ln ( =

5.

− − 3

−3

=

)| )=

−3

=

−3 − −

ln

−3

= 29110 sec

  Stainless  steel  (AISI  304)  ball  bearings,  which  have  uniformly  been  heated  to  850℃,  are  hardened  by  quenching  them  in  an  oil  bath  that  is  maintained  at  40℃.  The  ball  diameter  is  20mm, and the convection coefficient associated with the oil bath is  1000W/m ∙ K.  (a) If  quenching  is  to  occur  until  the  surface  temperature  of  the  balls  reaches  100℃,  how  long must the balls be kept in the oil? What is the center temperature at the conclusion of  the cooling period?  hL h( /3) = = 0.15  k k Near to 1,so it is not suitable to assume it is a lumped system.  Bi =

With  Bi

=

We can get 

= 2.22  and 

= 1   

≈ 0.78 

θ T−T = = 0.074  θ T −T θ θ θ θ ∗= = = 0.094  θ θ θ From figure D.7 with  θ ∗ = 0.094  ;  Bi t ∗ = Fo ≈ 2.0  Fo = 41.24s  α θ = T − T = θ ∗ (T − T ) = 76.14K  T = 116℃    t=

= 2.22 

(b) If  10,000  balls  are  to  be  quenched  per  hour,  what  is  the  rate  at  which  energy  must  be  removed by the oil bath cooling system in order to maintain its temperature at  40℃?  Notes:    Stainless steel AISI 304, (T ≈ 500℃): k=22.2W/m ∙ K, = 579 / ∙ ,  ρ = 7900kg/  

,α = 4.85 × 10

/ . 

Bi Fo = (1/Bi ) Fo = 0.41  hr = 0.45  k From figure D.9 for a single ball  Q ≈ 0.92  Q Q = ρ V(T − T )  Bi =

Q = Q (0.92) = ρ V(T − T )(0.92) = 1.43 × 10 J  q=

(10 × Q) = 3.97 × 10 ≈ 40kW  3600