anreal-buku-v2-2

BAGIAN BAGIAN KEDUA KEDUA

Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

51

52

Hendra Gunawan Gunawan

53

Pengantar Analisis Real

6. FUNGSI FUNGSI

6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried von Leibniz sejak akhir abad ke17, namun definisi fungsi yang kita kenal sekarang berakar pada rumusan Leonhard Euler pada 1749, yang disempurnakan kemudian oleh Joseph Fourier pada 1822 dan Lejeune Dirichlet pada 1837. Sebuah fungsi  dari himpunan himpunan A ke himpunan himpunan B adalah suatu aturan aturan yang mengaitkan setiap x A dengan sebuah elemen tunggal y B , ditulis

∈

∈

f  : A

→B x → y.

Elemen y yang yang terkait terkait dengan dengan x disebut peta  dari x (di bawah bawah f ) f ) dan kita tulis y = f ( f (x). Bila f ( f (x) mempuny mempunyai ai rumus rumus yang yang eksplisit, eksplisit, fungsi f  sering dinyatakan sebagai persamaan y = f ( f (x).

⊆

Dalam buku ini, kita membatasi pembahasan kita pada fungsi dari A R ke R, yakni B yakni fungsi fungsi bernilai bernilai real dengan dengan peubah peubah real. Dalam Dalam hal ini, kita kita dapat dapat menggambar grafik  fungsi f  : A B pada bidang-xy bidang-xy (lihat Gambar 6.1). Definisi di atas menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada satu buah titik (tidak mungkin lebih).

⊆

→

⊆

Jika f  adalah adalah sebuah sebuah fungsi dari A ke B dan H  A, mak makaa kita katakan katakan bahwa f  terdefinisi  pada H . Himpunan Himpunan terbesar terbesar pada mana f  terdefinisi adalah A. Himpunan A dalam hal ini disebut sebagai daerah asal  f . f . Sebagai Sebagai contoh, contoh, sebuah barisan merupakan fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli N. Jika f  terdefinisi pada H , maka kita definisikan peta dari peta  dari H  di bawah f  sebagai f ( f (H ) := f ( f (x) : x

{

∈ H }.

54

Hendra Gunawan Gunawan

Gambar Gambar 6.1

Grafik sebuah fungsi

Untuk Untuk ilustrasi, ilustrasi, lihat Gambar Gambar 6.2 di bawah bawah ini. Dalam hal H  = A, himpunan f ( f (A) disebut sebagai daerah nilai  f . f . Catat bahwa f ( f (A) tidak harus sama dengan B .

Gambar Gambar 6.2

Peta dari H  di bawah f 

Contoh 1. 1. Persa Persamaa maan n y = x2 mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke R. Untu Untuk k 2 R terdapat tepat sebuah y R yang memenuhi aturan y = x . Am tiap x Amat atii bahwa, bahwa, dalam Gambar Gambar 6.3 pada halaman b erikut, erikut, setiap setiap garis vertikal vertikal memo memotong tong grafik y = x2 tepat pada pada sebuah titik. Daerah Daerah asal fungsi ini adalah R dan daerah nilainya adalah [0, [0, ). Peta dari ( 0.5, 1], misalnya, adalah [0, [0, 1].

∈

∈

∞

−

Contoh 2. 2. Persamaa Persamaan n y2 = x tidak mendefinisikan fungsi dari [0, [0 ,

∞) ke R.

Untuk Untuk

55

Pengantar Analisis Real

Gambar Gambar 6.3

Grafik persamaan y = x2

±√

tiap x > 0 terdapat dua buah y R, yakni y = x, yang memenuhi aturan y2 = x. Dalam Gambar 6.4, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong sumbu- x pada x0 > 0 akan memotong grafik y 2 = x pada dua buah titik.

∈

Gambar Gambar 6.4

Grafik persamaan y 2 = x

Contoh 3. 3. Persamaa Persamaan n y2 = x, y 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [0, [0 , ) ke [0, [0, ). Untuk Untuk tiap tiap x > 0 terdapat tepat sebuah y [0, [0, ), yakni y = x, yang 2 memenuhi aturan y = x. Dalam Gambar 5.5, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong sumbu-x sumbu-x pada x0 0 akan memotong grafik y 2 = x, y 0, tepat pada sebuah titik.

≥

∞

≥

√∞

∈ ∞

≥

56

Hendra Gunawan Gunawan

Gambar Gambar 6.5

Grafik persamaan y 2 = x, y

≥0

Soal Latihan 1. Gam Gambar bar grafik himpunan himpunan semua titik (x, ( x, y ) sedemikian sehingga y=



≥

5 jika x 1 2 jika x < 1

Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafik sebuah fungsi dari R ke R. Tentuk entukan an daerah nilainya. nilainya. Tentuk entukan an pula peta dari [1, [1, 2] di bawah fungsi tersebut. 2. Apakah Apakah persamaan persamaan x2 + y 2 = 1 mendefinisikan sebuah fungsi dari [ 1, 1] ke [ 1, 1]? Jelaskan.

−

−

3. Apakah Apakah persamaan persamaan x2 + y2 = 1, 1, y ke [0, [0, 1]? Jelaskan.

≥ 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [ −1, 1]

4. Diketah Diketahui ui f  terdefinisi pada H  dan A, B f ( f (A) f ( f (B ) dan f ( f (A B ) = f ( f (A) f ( f (B ).

∪

∩

∩

⊆ H .

6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional Jika a0 , a1 , . . . , an

∈ R, maka persamaan y = a0 + a1 x + · · · + an xn

Selidik Selidikii apakah apakah f ( f (A

∪ B) =

57

Pengantar Analisis Real

mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke R. Sembar Sembarang ang nilai nilai x yang disubstitusikan ke ruas kanan akan memberi kita sebuah nilai y yang berkaitan berkaitan dengannya. dengannya. Untuk Untuk n N, fungsi ini dikenal sebagai polinom  berderajat n asalkan an = 0. Untuk n = 0, fungsi konstan y = a0 merupakan polinom berderajat 0.

∈



Misalkan P  dan Q adalah fungsi polinom, dan S  adalah himpunan semua bilangan x R dengan Q(x) = 0. Maka, persamaan

∈



P ( P (x) Q(x)

y= mendefinisikan sebuah fungsi dari S  ke

R.

Fungsi ini dikenal sebagai fungsi rasional .

Contoh 4. 4. Fungsi yang diberikan oleh persamaan y = x3

− 3x2 + 2x 2x

merupa merupak kan polinom polinom berderaja berderajatt 3 (atau (atau ‘polino ‘polinom m kubik’) kubik’).. Grafik Grafik fungsi fungsi ini dapat dapat dilihat dilihat dalam Gambar Gambar 6.6. Perhatik Perhatikan an bahwa bahwa grafik memo memotong tong sumbu-x sumbu-x pada tiga buah titik (yang merupakan akar persamaan kubik x3 3x2 + 2x 2x = 0).

−

Gambar Gambar 6.6

Grafik fungsi y = x3

− 3x2 + 2x 2x

Contoh 5. 5. Fungsi yang diberikan oleh persamaan y=

x2 + 4 x2 4

−

merupakan polinom rasional. Daerah asalnya adalah x : x = dilihat dalam Gambar 6.7.

{

 ±2}. Grafiknya dapat

58

Hendra Gunawan Gunawan

Gambar Gambar 6.7

Grafik fungsi y =

x2 +4 x2 4

−

Soal Latihan 1. Tentuk entukan an daerah nilai fungsi fungsi polinom y = 4x 4x

− 4x2 dan sketsalah grafiknya.

−x 2. Tentukan entukan daerah asal fungsi rasional y = 11+x 1+x dan sketsalah grafiknya. 6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers Jika H  R, f, g : H  R, dan λ sebagai fungsi yang memenuhi aturan

⊆

→

∈ R, maka kita definisikan f  + g dan λf  ∈ H ;

(f  + g)(x )(x) := : = f ( f (x) + g(x),

x

(λf )( λf )(x x) := λf (x),

∈ H.

x

Selain itu kita definisikan definisikan pula f g dan f /g sebagai (f g)(x )(x) := : = f ( f (x)g (x), (f /g)( /g)(x x) := f ( f (x)/g( /g(x),

x

x

∈ H ;

∈ H, g(x) = 0.

Sebagai contoh, jika f  dan g adalah polinom, maka f /g merupakan fungsi rasional. Misalkan A, B komposisi  f  g : A

◦

⊆ R, g : A → B, dan f  : B → R. Mak Maka a kita definisik definisikan an fungsi → R sebagai (f  ◦ g )(x )(x) := f ( f (g (x)), )), x ∈ A.

59

Pengantar Analisis Real

Perhatikan bahwa untuk tiap x

∈A x → g (x) → f ( f (g (x)). )).

Di sini fungsi g beroperasi terlebih dahulu terhadap x, baru kemudian fungsi f  beroperasi terhadap g (x). Contoh 6. 6. Misalkan f  : R

dan g : R

→ R didefinisikan sebagai x2 − 1 f ( f (x) = 2 , x ∈ R, x +1

→ R didefinisikan sebagai g(x) = x2 .

◦

Maka f  g : R

→ R adalah fungsi dengan dengan aturan aturan {g(x)}2 − 1 = x4 − 1 . (f  ◦ g )(x )(x) = f ( f (g (x)) = {g(x)}2 + 1 x4 + 1

Misalkan A dan B adalah himpunan dan f  adalah fungsi dari A ke B . Ini berarti bahwa bahwa setiap anggota a A mempunyai sebuah peta tunggal b = f ( f (a) B . Kita sebut f −1 fungsi invers dari f  apabila f −1 merupakan fungsi dari B ke A dengan sifat x = f −1 (y) jika dan hanya jika y = f ( f (x).

∈

∈

Tidak semua fungsi mempunyai mempunyai fungsi invers. invers. Dari definisi di atas jelas bahwa f  : A B mempunyai fungsi invers f −1 : B A jika dan hanya jika setiap b B merupakan peta dari sebuah anggota tunggal a A. Fungsi dengan dengan sifat ini disebut disebut sebagai suatu korespondensi  1 1 antara A dan B .

→

→

∈

∈

− Secara geometris, f  : A → B merupakan korespondensi 1 − 1 antara A dan

B jika dan hanya jika setiap garis vertikal yang memotong A juga memo memotong tong grafik f  tepat pada sebuah titik dan setiap garis horisontal yang memotong B juga akan memotong grafik f  tepat pada sebuah titik. titik. Kondisi Kondisi perta p ertama ma memastika memastikan n bahwa 1 − f  merupak merupakan an fungsi, fungsi, sementa sementara ra kondisi kondisi kedua kedua mema memastik stikan an bahwa bahwa f  merupakan fungsi. Lihat Gambar 6.8 di bawah ini.

√

Contoh 7. 7. Fungsi ungsi f ( f (x) = x merupakan korespondensi 1 [0, [0, ). Fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu

∞

f −1 (x) = x2 ,

x

≥ 0.

− 1 antara [0, [0, ∞) dan

60

Hendra Gunawan Gunawan

Gambar Gambar 6.8

Korespondensi 1

−1

Soal Latihan 1. Misalkan Misalkan f  : [0, [0, 1]

→ [0, [0, 1] didefinisikan sebagai 1−x f ( f (x) = , 0 ≤ x ≤ 1, 1+x

→ [0, [0, 1] didefinisikan sebagai g (x) = 4x − 4x2 , 0 ≤ x ≤ 1. Tentukan entukan aturan untuk f  ◦ g dan g ◦ f . f . Apakah mereka sama?

dan g : [0, [0, 1]

2. Untuk Untuk fungsi f  dan g pada Soal 1, tunjukkan bahwa f −1 ada sedangkan g −1 tidak ada. Tentukan entukan aturan untuk f −1 . 3. Diketah Diketahui ui g : A B merupakan suatu korespondensi 1 1 antara A dan B . Buktikan bahwa (g (g −1 g )(x )(x) = x untuk tiap x A dan (g (g g −1 )(y )(y ) = y untuk tiap y B .

→

∈

◦

∈

− ◦

6.4 Fungsi Terbatas Misalkan f  terdefinisi pada H . Kita katakan bahwa f  terbatas di atas pada H  oleh suatu batas atas M  apabila untuk tiap x H  berlaku

∈

f ( f (x)

≤ M.

61

Pengantar Analisis Real

Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan

{

f ( f (H ) = f ( f (x) : x

∈ H }

terbatas di atas oleh M . Jika f  terbatas di atas pada H , maka menurut Sifat Kelengkapan f ( f (H ) mempunyai supremum. supremum. Misalkan B = sup f ( f (x) = sup f ( f (H ). x H 

∈

Secara umum, belum tentu terdapat c H  sehingga f ( Jika terdapat terdapat c H  f (c) = B . Jika sehingga f ( f (c) = B , maka B disebut sebagai nilai maksimum  f  pada H  dan nilai maksimum ini tercapai  di c. Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.9 di bawah ini.

∈

Gambar Gambar 6.9

∈

Fungsi terbatas dan nilai maksimumnya

Definisi Definisi fungsi terbatas di bawah  dan nilai minimum  dapat dirumuskan secara serupa serupa.. Jika Jika f  terbat terbatas as di atas atas dan juga di bawa bawah h pada pada himpun himpunan an H , mak makaa f  dikatakan terbatas pada H . Menuru Menurutt Proposis Proposisii 2 pada pada Bab 1, f  terbatas pada H   jika dan hanya jika terdapat K > 0 sedemikian sehingga untuk tiap x H  berlaku

∈

|f ( f (x)| ≤ K. Contoh 8. 8. Misalkan f  : (0, (0,

∞) → R didefinisikan sebagai f ( f (x) =

1 , x

x > 0.

62

Hendra Gunawan Gunawan

∞) dan x>0 inf  f ( f (x) = 0, namun f  tidak mempunyai x>0 nilai minimum. Perhatikan pula bahwa f  tidak terbatas di atas pada (0, (0 , ∞). Contoh 9. 9. Misalkan f  : [0, [0, 1] → [0, [0, 1] didefinisikan oleh f ( f (x) = 1 − x. Fungsi ini terbatas di bawah pada (0, (0 ,

Fungsi ini terbatas pada [0, [0 , 1], mencapai nilai maksimumnya (yaitu 1) di 0, dan juga mencapai nilai minimumnya (yaitu 0) di 1. Soal Latihan 1. Selidiki Selidiki apakah apakah f  : [0, [0, 1]

→ [0, [0, 1] yang didefinisikan sebagai 1−x f ( f (x) = , 0 ≤ x ≤ 1, 1+x

terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. 2. Selidiki Selidiki apakah apakah g : [0, [0, 1]

→ [0, [0, 1] yang didefinisikan sebagai g (x) = 4x − 4x2 , 0 ≤ x ≤ 1.

terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. 1 3. Tunjukkan bahwa f ( f (x) = 1+x 1+x2 terbatas pada maksimum dan minimumnya?

R.

4. Misalkan Misalkan f  dan g terbatas di atas pada H  dan a

• xsup {a + f ( f (x)} = a + sup f ( f (x). ∈H  x∈H  • xsup {f ( f (x) + g (x)} ≤ sup f ( f (x) + sup g (x). ∈H  x∈H  x∈H 

Apak Apakah ah f  mencapai nilai

∈ R. Buktikan bahwa

Beri contoh bahwa kesamaan tidak harus berlaku.

63

Pengantar Analisis Real

7. LIMIT DAN KEKONTIN KEKONTINUAN UAN

7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, (a, b) kecuali mungkin di sebuah titik c (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f ( f (x) untuk x di sekitar c. Khususn Khususnya, ya, kita kita bertanya: bertanya: apakah apakah f (x) menuju suatu bilangan tertentu bila x menuju c? Berikut ini adalah definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik.

∈

Misalkan f  terdefinisi pada interval (a, ( a, c) dan L menuju  L bila x menuju  c dari kiri , dan kita tulis

∈ R.

Kita katak katakan an bahwa bahwa f 

→ L bila x → c−

f ( f (x) atau

lim f ( f (x) = L,

x

→c

−

apabila untuk setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga  jika c

− δ < x < c,

|

maka f ( f (x)

− L| < .

Misalkan f  terdefinisi pada interval (c, ( c, b) dan M  menuju  M  bila x menuju  c dari kanan , dan kita tulis

∈ R.

Kita katak katakan an bahwa f 

→ M  bila x → c+

f ( f (x) atau

lim f ( f (x) = M,

x

→c

+

apabila untuk setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga  jika c < x < c + δ, maka f (x)

|

− M | < .

64

Hendra Gunawan Gunawan

Gambar Gambar 7.1

Limit Kiri f  di c

Bilangan L dan M  disebut sebagai limit kiri  dan limit kanan  dari f  di c. Nilai f ( f (x) L (atau f ( f (x) M  ) menyatakan jarak antara f ( f (x) dan L (atau jarak antara f ( f (x) dan M ), ), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri nilai L atau M  dengan f ( f (x) (atau sebaliknya menghampiri nilai f ( f (x) dengan L atau

|

− |

|

− |

M ). ). Kesalahan Kesalahan ini dapat dibuat sekecil sekecil yang yang kita kehendaki kehendaki dengan cara mengamb mengambil il x sedekat-dekatnya ke c dari kiri atau kanan. Contoh 1. 1. Misalkan f  : R

→ R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai 1 − x, x ≤ 1; f ( f (x) =



2x, x > 1.

Maka, lim f ( f (x) = 0 dan dan lim lim+ f ( f (x) = 2.

x

→1

→1

x

−

Perhatikan bahwa nilai f (1) f (1) terdefinisi, yakni f (1) f (1) = 0.

∈

Misalkan f  terdefinisi pada interval (a, (a, b) kecuali mungkin di titik c (a, b), dan L R. Kita katakan bahwa f  menuju  ke L bila x menuju  c, dan kita tuliskan

∈

→ L bila x → c

f ( f (x) atau

lim f ( f (x) = L,

x

→c

65

Pengantar Analisis Real

apabila untuk setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

| − c| < δ,

 jika 0 < x

|

maka f ( f (x)

− L| < .

Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit  f  di c, dan f  dikatakan mempunyai  limit L di c.

Gambar Gambar 7.2

Limit f  di c

| −|

−

−



Perhatikan bahwa kondisi 0 < x c < δ setara dengan δ < x c < δ, x = c. Jadi, 0 < x c < δ jika dan hanya jika x memenuhi salah satu dari dua pertaksamaan berikut: c δ < x < c atau c < x < c + δ.

| −|

−

Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut. Proposisi 2. 2. lim f ( f (x) = L jika dan hanya jika  lim f ( f (x) = L dan  lim+ f ( f (x) = L. x

→c

x

→c

x

→c

−

Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena limit kiri dan limit kanannya tidak sama. 2

Contoh 3. 3. Misalkan f ( f (x) = xx−−11 . Fungsi ini terdefinisi terdefinisi pada ( , 1) dan juga pada (1, (1, ). Bila kita tinjau nilai f ( f (x) untuk x < 1, maka kita dapatkan bahwa

−∞

∞

f (x)

→ 2 bila x → 1−.

Bila kita amati nilai f ( f (x) untuk x > 1, maka kita dapatkan bahwa f ( f (x)

→ 2 bila x → 1+.

66

Hendra Gunawan Gunawan

Jadi, limit kiri dari f  di c sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu lim f ( f (x) = x→c 2. (Perhatikan bahwa pada contoh ini, f  tidak terdefinisi di 1.) Proposisi 4. 4. (i) lim k = k x

→c

(ii) lim x = c. x

→c

| − c| < δ, maka

Bukti . (i) Diberik Diberikan an  > 0, pilih δ > 0 sembar sembarang ang.. Jika Jika 0 < x k k = 0 < .  . Ini membuktikan bahwa lim k = k.

| − |

x

→c

| − c| < δ, maka |x − c| < δ = .

(ii) Diberikan  > 0, pilih δ = . Jik Jika 0 < x membuktikan bahwa lim x = c.

Ini

x

→c

Soal Latihan 1. Misalkan Misalkan n

∈ N. Buktikan, dengan menggunakan menggunakan definisi, definisi, bahwa bahwa lim x→0 2. Misalkan Misalkan f  : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

+

f (x) =

 

x1/n = 0.

2x, x < 1; 1, x = 1 3 x, x > 1.

−

Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim f ( f (x) = 2 da dan lim lim f (x) = 2.

→1

x

−

→1

+

x

Simpulkan bahwa bahwa lim f ( f (x) = 2.

→1

x

3. Buktikan, Buktikan, dengan menggunaka menggunakan n definisi, definisi, bahwa lim  px + q = pc + q . x

→c

→c |

|

4. Buktikan Buktikan lim f ( f (x) = 0 jika dan hanya jika lim f (x) = 0. x

→c

x

5. Buktikan Buktikan jika jika lim f (x) = L > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga sehingga f ( f (x) > 0 untuk x→c c δ < x < c + δ, x = c.

−



7.2 Kekontinuan di Suatu Titik Dalam definisi lim f ( f (x), nilai f  di c sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanya x→c tertarik dengan nilai f ( f (x) untuk x menuju c, bukan dengan nilai f  di c. Jadi mungkin

67

Pengantar Analisis Real

saja f  mempunyai limit L di c sekalipun f  tidak terdefinisi di titik c. Dalam Dalam hal hal f  terdefinisi di c, dapat terjadi f ( f (c) = L.



Misalkan f  terdefinisi terdefinisi pada (a, b) dan c di titik c jika dan hanya jika

∈ (a, b). Kita katakan bahwa f  kontinu 

lim f ( f (x) = f (c).

x

→c

Berdasarkan Berdasarkan Proposisi 2, f  kontinu di c jika dan hanya jika untuk setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika x c < δ , maka

| −| |f ( f (x) − f ( f (c)| < .

Secara intuitif, f  kontinu di c berarti berarti grafik fungsi f  tidak ‘terputus’ di c. Seperti halnya limit sepihak, kita juga mempunyai definisi kekontinuan sepihak. Jika f  terdefinisi pada (a, ( a, c] dan dan lim f ( f (x) = f ( f (c), maka kita katakan bahwa f  kontinu  x

→c

−

kiri di kiri  di c. Jika f  terdefinisi pada [c, [c, b) dan dan lim f ( f (x) = f ( f (c), maka kita katakan bahwa x→c+ f  kontinu kanan  di c.

Gambar Gambar 7.3

Fungsi Kontinu di Suatu Titik

Contoh 5. 5. (i) Untuk setiap n

∈ N, fungsi f ( f (x) = x1/n kontinu kanan di 0.

(ii) Fungsi f ( f (x) = px + q kontinu di setiap titik.

Teorema 6. 6. Misalkan  f  terdefinisi pada  (a, b) kecuali mungkin di  c (a, b). Maka, Maka, lim f ( f (x) = L jika dan hanya jika, untuk setiap barisan  xn di  (a, b) dengan  xn = x→c c (n N) dan  lim xn = c, berlaku  lim f ( f (xn ) = L.

∈

 

n

→∞

n

→∞

∈



68

Hendra Gunawan Gunawan

Catatan.

Jika f  kontinu di c, maka L = f ( f (c) dan Teorema 6 menyatakan bahwa





lim f ( f (xn ) = f  lim xn ;

n

→∞

n

→∞

yakni, limit dapat ‘bertukar’ dengan f . f . Hasil Hasil serupa serupa berlaku berlaku untuk untuk limit kiri dan limit kanan. Dengan menggunakan Teorema 6, kekontinuan f ( f (x) = px + q di sebarang titik c R dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan xn adalah sebarang barisan yang konvergen ke c. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3,

∈

 

f ( f (xn ) = pxn + q

→ pc + q = f ( f (c),

untuk n

→ ∞.

Menurut akibat dari Teorema 6, f  kontinu di c. Soal Latihan 1. Buktikan Buktikan Teorema Teorema 6. 2. Buktikan Buktikan bahwa f ( f (x) =

√x kontinu di setiap c > 0.

3. Buktikan Buktikan bahwa f ( f (x) = x kontinu di setiap titik.

||

∈

4. Misalkan Misalkan f  terdefinisi pada (a, (a, b) dan kontinu di suatu titik c (a, b). Buktikan  jika f ( f (c) > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga sehingga f (x) > 0 untuk x (c δ, c + δ). 5. Konstruksi Konstruksi sebuah sebuah fungsi f  : R

∈ −

→ R yang kontinu kontinu hanya di sebuah titik.

7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan Proposisi 7. 7. Misalkan  f  dan  g terdefinisi pada interval  (a, b) kecuali mungkin di  c (a, b). Misalkan  lim f ( f (x) = L dan  lim g (x) = M , dan  λ, µ R. Maka 

∈

x

→c

x

(i) lim [λf ( λf (x) + µg( µg(x)] = λL + µM ; µM ;

→c x→c

→c

∈

x

(ii) lim f ( f (x)g (x) = LM ; f (x) →c g(x) =

(iii) lim x

L M  ,



asalkan  M  = 0.

Akibat 8. 8. Jika  f  dan  g kontinu di  c, maka  λf + λf + µg, fg, fg , dan  f  kontinu di c di  c (asalkan  g kontinu g(c) = 0). 0 ).



69

Pengantar Analisis Real

Akibat 9. 9. Fungsi polinom polinom kontinu kontinu di setiap setiap titik. Fungsi rasional rasional kontinu di setiap setiap titik dalam daerah asalnya. Bukti . Menurut Menurut Proposisi Proposisi 4, f ( f (x) = k dan g (x) = x kontinu di sebarang titik c Menurut Proposisi 7(ii), h(x) = xi kontinu di sebarang titik c R, untuk tiap i Akibatnya, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom

∈

 p(  p(x) = an xn + an−1 xn−1 +

∈ R. ∈ N.

· · · + a1x + a0

∈

R. Untuk kontinu di setiap titik c Untuk mem membuktik buktikan an kekont kekontinua inuan n fungsi fungsi rasional rasional di setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 7(iii).

Teorema 10. 10. Jika g kontinu di c dan f  kontinu di g(c), maka f  g kontinu pada c.

◦

Bukti . Am Ambil bil  > 0 sebarang. sebarang. Karena Karena f  kontinu di b := g (c), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f ( f (y ) f ( f (b) < 

|

−

|

untuk y b < δ . Selanjutn Selanjutnya, ya, karena karena g kontinu di c, kita dapat memilih γ > 0 sedemikian sehingga g (x) g (c) < δ

| − |

|

| − c| < γ .

untuk x sehingga

− | Akibatny Akibatnya, a, jika |x − c| < γ , maka |g (x) − b| = |g (x) − g (c)| < δ ,

|f  ◦ g(x) − f  ◦ g(c)| = |f (g(x)) − f ( f (b)| < . Ini berarti bahwa f  ◦ g kontinu di c. Soal Latihan 1. Buktikan Buktikan Proposisi 7. 2. Berikan Berikan contoh fungsi f  dan g dengan dengan lim f (x) tidak tidak ada, lim g(x) ada, dan x→0 x→0 lim f (x)g(x) ada. Apakah Apakah ini bertentanga bertentangan n dengan dengan Proposisi Proposisi 7(ii) atau 7(iii)? x

→0

3. Benar Benar atau atau salah: salah: Jika Jika lim g (x) = L dan dan lim f (y ) = M , maka lim f ( f (g(x)) = x

→c

M ? M ?

y

x

→c

→L

4. Buktikan Buktikan jika jika lim g (x) = L dan f  kontinu di L, maka lim f ( f (g(x)) = f ( f (L). x

→c

x

→c

∞ apabila, untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga f ( f (x) > M  untuk c < x < c+ c + δ . Buktika Buktikan n bahwa bahwa lim √1x = + ∞. x→0

5. Kita Kita ka katak takan an bahwa bahwa lim f ( f (x) = + x

+

→c

+

70

Hendra Gunawan Gunawan

8. FUNGSI KONTINU PADA PADA INTER I NTERV VAL

8.1 Kekontinuan pada Interval Secara geometris, f  kontinu kontinu di suatu titik b erarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu, f  kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval interval tersebut. Secara intuitif, f  kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f  pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas. Secara formal, sebuah fungsi f  dikatakan kontinu  pada suatu interval buka I   jika dan hanya jika f  kontinu di setiap titik pada I . Fungsi f  dikatakan kontinu pada kontinu  pada interval interval tutup I  = [a, b] jika dan hanya jika f  kontinu di setiap titik c (a, b), kontinu kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

∈

Gambar Gambar 8.1

Grafik fungsi kontinu pada interval buka

Contoh 1. 1. Misalkan f  : R

→ R didefinisikan sebagai x, x ≤ 1; f ( f (x) = 3



2,

x> 1

Pengantar Analisis Real

71

Perhatikan bahwa f  kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f  kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f  kontinu pada interval [0, [0, 1]. Karena f  tidak kontinu kanan di c = 1, maka f  tidak kontinu pada interval [1, [1 , 2].

Gambar Gambar 8.2

Grafik fungsi kontinu pada interval tutup

Proposisi 2. 2. Misalkan  f  terdefinisi pada suatu interval  I . Maka, Maka, f  kontinu pada  I   jika dan hanya jika, untuk setiap x I  dan setiap  > 0 terdapat  δ > 0 sedemikian  sehingga 

∈

|f (x) − f ( f (y)| <  untuk  y

∈ I  dengan  |x − y| < δ .

Contoh 3. 3. (i) Fungsi f ( f (x) = px + q kontinu pada sebarang interval I . (ii) Fungsi g (x) = x kontinu pada sebarang interval I .

|| √ (iii) Fungsi h(x) = x kontinu pada sebarang interval I  ⊆ [0, [0, ∞). Soal Latihan 1. Misalkan Misalkan f  : [0, [0, 5]

→ R didefinisikan sebagai 2x, 0 ≤ x < 1; f ( f (x) = 1, 1 ≤ x ≤ 5.



Selidiki apakah f  kontinu di setiap titik pada interval [0, [0 , 5]. Selidiki kekontinuan f  pada interval [0, [0, 1] dan pada interval [1, [1, 5]. Sketsalah grafiknya.

72

Hendra Gunawan Gunawan

2. Buktikan bahwa fungsi f  pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. 3. Misalkan Misalkan K > 0 dan f  : I 

untuk setiap x, y

→ R adalah fungsi yang memenuhi |f ( f (x) − f ( f (y)| ≤ K  |x − y |

∈ I . Buktikan bahwa f  kontinu pada I .

8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab 7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini. Proposisi 4. 4. Misalkan  f  dan  g kontinu pada suatu interval  I  dan  λ, µ R. Maka  Maka  f  λf + λf + µg dan f dan  f g kontinu pada  I . Juga, jika  g (x) = 0 untuk tiap x I , maka  g kontinu  pada  I .



∈

∈

Contoh 5. 5. (i) Setiap fungsi polinom kontinu kontinu pada sebarang interva interval. l. (ii) Setiap fungsi rasional kontinu kontinu pada sebarang sebarang interval interval dalam daerah asalnya. asalnya. Se1 bagai contoh, f (x) = x kontinu pada (0, (0, ).

∞ √ (iii) Fungsi f ( [0, ∞), karena f 1 (x) = x f (x) = x+ x kontinu pada sebarang interval I  ⊆ [0, √ dan f 2 (x) = x kontinu pada sebarang interval I  ⊆ [0, [0, ∞). Proposisi 6. 6. Misalkan  g : I  → J  kontinu pada interval  I  dan  f  : J  → R kontinu  pada interval  J . Maka  f  ◦ g kontinu pada  I . Contoh 7. 7. (i) Fungsi h(x) = |1+ x| kontinu kontinu pada sebarang interval, karena f ( f (x) = |x| dan g(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval.

−√ √xx kontinu pada sebarang interval I  (ii) Fungsi h(x) = 11+

⊆ [0, [0, ∞).

Soal Latihan 1. Jelaskan mengapa mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval. interval.

• f ( f (x) = 1+1|x| .

73

Pengantar Analisis Real

• g(x) = √1 + x2. 2. Misalkan Misalkan f  kontinu pada suatu interval I  dan untuk setiap bilangan rasional r I  berlaku f ( f (r ) = r2 . Buktikan bahwa f ( f (x) = x2 untuk setiap x I .

∈

∈

3. Misalkan Misalkan f  : [0, [0, 1] samaan

→ [0, [0, 1] adalah fungsi kontraktif , yakni yakni memenuh memenuhii ketakketak|f (x) − f ( f (y)| ≤ C  |x − y |,

x, y

∈ [0, [0, 1], 1],  

untuk suatu konstanta C  dengan 0 < C < 1. Konstruksi Konstruksi barisan barisan xn dengan x1 I  dan xn+1 = f (xn ), n N. Buktika Buktikan n bahwa bahwa xn konvergen ke suatu L [0, [0, 1], dan L = f ( f (L).

∈ ∈

∈

 

8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [ a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang Sekarang kita akan akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [ a, b]. Teorema 8. 8. Misalkan  f  kontinu pada interval  [a, b]. Maka  f ([ f ([a, a, b]) juga merupakan  suatu interval kompak. Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut. Teorema 9. 9. Misalkan  f  kontinu pada suatu interval  I . Maka daerah nilainya, yaitu  f ( f (I ), juga merupakan merupakan suatu interval. Teorema 10 (Teorema Nilai Antara). Antara) . Misalkan  f  kontinu pada suatu interval  I  yang memuat  a dan  b. Jika  Jika  u terletak di antara  f ( f (a) dan  f ( f (b), maka terdapat  c di  antara  a dan  b sedemikian sehingga  f (c) = u. Catatan.

Teorema eorema 10 setara dengan dengan Teorema Teorema 9. Oleh karena karena itu kita cukup memmembuktikan salah satu di antara mereka.

Bukti Teorema eorema 10 . Tanpa mengurangi mengurangi keumuman, keumuman, asumsikan asumsikan a < b dan f ( f (a) < u < f ( f (b). Tinjau Tinjau himpu himpunan nan H  := x [a, b] : f ( f (x) < u . Jelas Jelas bah bahwa wa H  = karena a H . Kare Karena na H  juga terbatas, maka H  mempunyai supremum, sebutlah

∈

{ ∈

}

∅

74

Hendra Gunawan Gunawan

c = sup H . Di sin sinii a < c < b. b . Selanjutn Selanjutnya ya tinggal mem membuktik buktikan an bahwa bahwa f ( f (c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f ( f (c) < u ataupun f ( f (c) > u. u. Andaikan f ( f (c) < u. Kare Karena na f  kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian δ sehingga f  c + 2 < u (?). (?). Jadi Jadi c + δ2 H . Ini bertentanga bertentangan n dengan fakta bahwa bahwa c = sup H . Sekarang Sekarang andaik andaikan an f ( f (c) > u. Sekali Sekali lagi, karena karena f  kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f (x) > u untuk c δ < x c (?). (?). Jadi Jadi tidak ada satu pun anggota H  pada interval (c ( c δ, c]. Ini juga bertentangan dengan fakta bahwa c = sup H .

 

∈

−

−

≤

Teorema 11. 11. Misalkan  f  kontinu pada interval  [a, b]. Maka  f  terbatas pada  [a, b]. Bukti . Misalkan f  tak terbatas pada [a, [ a, b]. Maka terdapat suatu barisan xn di [a, b] sedemikian sehingga + untuk n (1) f ( f (xn ) .

 

|

|→ ∞

→∞

Karena xn terbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatu sub-barisan xn yang konvergen ke suatu titik c [a, b]. Tetapi etapi f  kontinu di c, sehingga f ( f (xn ) f (c) untuk k . Ini bertentanga bertentangan n dengan (1). Jadi mestilah mestilah

 

  →

∈

k

→∞

k

f  terbatas pada [a, [a, b].

Teorema 12. 12. Misalkan  f  kontinu pada interval  [a, b]. Maka  f  mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada  [a, b]. Bukti . Dari Dari Teore Teorema ma 11 kita tahu tahu bahwa bahwa f  terbat terbatas as pada pada [a, b]. Misalk Misalkan an v := sup f ([a, ([a, b]). Konstr Konstruks uksii barisan barisan xn di [a, b] dengan f ( f (xn ) v untuk n . Karena xn terbatas, terdapat sub-barisan xn yang konvergen ke suatu titik c [a, b]. Nam Namun un kekontin kekontinuan uan di c mengakibatkan f ( f (xn ) f ( f (c) untuk k . Jadi Jadi mestilah v = f ( f (c), dan ini berarti berarti bahwa bahwa v merupak merupakan an nilai maksimum. maksimum. Serupa Serupa dengan itu, f  juga mencapai nilai minimumnya.

 

 

→

  k

k

→

→∞ ∈ →∞

Contoh 13. 13. Persa Persamaa maan n 10x 10x7 13 13x x5 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ( 1, 0). Untuk menunjukkannya, misalkan f ( f (x) = 10x 10x7 13 13x x5 1. Mak Maka, a, f ( f ( 1) = 2 dan f (0) f (0) = 1. Ka Kare rena na f  kontin kontinu u pada [ 1, 0] dan 0 terletak di antara f ( f ( 1) dan f (0), f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ( 1, 0) sedemikian sehingga f ( f (c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.

−

−

−

−

−

−

∈−

−

∈ − −

Contoh 14. 14. Misalkan f  : [a, b] [a, b] kontinu pada [a, [a, b]. Maka, terdapat c [a, b] sedemikian sehingga f ( f (c) = c. [Bilang [Bilangan an c demikian disebut sebagai titik tetap f .] f .]

→

∈

75

Pengantar Analisis Real

Perhatikan bahwa peta dari [a, [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, [ a, b], sehingga f ( f (a) a dan f ( f (b) b. Sekara Sekarang ng tinjau tinjau g (x) = f ( f (x) x, x [a, b]. Kare Karena na f  kontinu pada [a, [a, b], maka g juga kontinu pada [a, [a, b]. Na Nam mun g(a) = f ( f (a) a 0 dan g(b) = f ( f (b) b 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c [a, b] sedemikian sehingga g(c) = 0. Akibatnya f ( f (c) = c.

≥

≤

−

∈

− ≤

− ≥ ∈

Soal Latihan 1. Lengkapi Lengkapi Bukti Teorema Teorema Nilai Antara, Antara, khususn khususnya ya bagian yang yang diberi tanda tanya (?). 2. Buktikan Buktikan bahwa bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai mempunyai sedikitnya sedikitnya satu akar real. 3. Misalkan Misalkan f  kontinu pada suatu interval kompak I . Misalkan untuk setiap x terdapat y I  sedemikian sehingga

∈

∈ I 

1 |f ( f (y)| ≤ |f ( f (x)|. 2 Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I  sedemikian sehingga f ( f (c) = 0.

8.4 Kekontinuan Seragam Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f  kontinu pada sebuah interval I   jika dan hanya jika untuk setiap x I  dan setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sedemikian sehingga f (x) f ( f (y) < 

∈

|

−

|

untuk y I  dengan x y < δ . Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umum nilai δ bergantung pada  dan x.

∈

|−|

Contoh 16. 16. Kita telah mengetahui mengetahui bahwa bahwa f ( f (x) = x1 kontinu pada (0, (0 , 1]. Diberikan Diberikan 2 x (0, (0, 1] dan  > 0 sebarang, sebarang, kita dapat memilih δ = min x2 , x2 sedemikian sehingga untuk y (0, (0, 1] dengan x y < δ berlaku

∈

∈

| − |

 −   −  1 x

 

1 x y 1 1 = = y xy x y

2

· · |x − y| < x1 · x2 · x2

= .

76

Hendra Gunawan Gunawan

Perhatikan bahwa jika x menuju 0, maka δ akan menuju 0. Dalam kasus tertentu, nilai δ hanya bergantung pada , tidak pada x. Hal ini terjadi pada, misalnya, f ( f (x) = px + q, x R, dengan p = 0. Diberikan Diberikan  > 0, kita  dapat memilih δ = | p  p| sedemikian sehingga

∈



|f ( f (x) − f ( f (y)| = | p  p| · |x − y | <  ∈ R dengan |x − y| < δ. Kekon Kekontin tinuan uan f ( f (x) = px + q dalam hal ini

untuk x, y merupakan kekontinuan ‘seragam’ pada

R.

Fungsi f  : I  R dikatakan kontinu seragam  pada I  apabila untuk setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

→

|f (x) − f ( f (y)| <  ∈

| − |

untuk x, y I  dengan x y < δ . Perhatik Perhatikan an bahwa dalam definisi di atas x dan y muncul setelah δ, yang mengindikasikan bahwa δ tidak bergantung pada x (dan y ). R tidak kontinu seragam pada I  jika dan hanya jika Teorema 17. 17. Fungsi f  : I  terdapat 0 > 0 dan dua barisan xn dan yn di I  sedemikian sehingga xn yn < n1 dan f ( f (xn ) f (yn ) 0 untuk setiap n N.

→

|

−

|≥

 

  ∈

| − |

Teorema berikut menyatakan bahwa kekontinuan pada interval kompak merupakan kekontinuan kekontinuan seragam. Teorema 18. 18. Jika f  kontinu pada [a, [a, b], maka f  kontinu seragam pada [a, [a, b]. Bukti . Andaikan Andaikan f  tidak kontinu seragam pada [a, [ a, b]. Mak Maka, a, menurut Teorem Teoremaa 17, terdapat 0 > 0 dan dua barisan xn dan yn di [a, [ a, b] sedemikian sehingga xn yn < 1 f (xn ) f (yn ) 0 untuk setiap n N. Karena xn terbatas di [a, [ a, b], maka n dan f ( menurut Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat sub-barisan xn yang konvergen, sebutlah ke c [a, b]. Karena Karena xn yn < n1 untuk setiap n N, maka sub-barisan yn akan konvergen ke c juga. Selanjutn Selanjutnya, ya, karena karena f  kontinu di c, maka f ( f (xn ) dan f ( f (yn ) konvergen ke f ( f (c). Akibatnya, f (xn ) f ( f (yn ) 0 untuk k . Ini mustahil karena f ( f (xn ) f ( f (yn ) 0 untuk setiap n N.

|

−

|≥

 

  ∈

 

| − |

  ∈ k

  

∈

| − |

k

  →∞ k

k



|

−

|≥

|

k

− ∈

k

|→

77

Pengantar Analisis Real

Soal Latihan 1. Contoh Contoh 16 memperlihatk memperlihatkan an bahwa bahwa fungsi f ( f (x) = x1 tampaknya tidak kontinu seragam pada (0, (0, 1]. Buktikan bahwa ia memang tidak kontinu seragam pada (0, (0, 1]. 2. Selidiki Selidiki apakah apakah f ( f (x) = x2 kontinu seragam pada [0, [0,

∞).

→ R memenuhi ketaksamaan |f ( f (x) − f ( f (y )| ≤ K |x − y|, x, y ∈ I,

3. Buktikan Buktikan jika fungsi f  : I 

untuk suatu K > 0, maka f  kontinu seragam pada I . 4. Buktikan Buktikan bahwa f ( f (x) =

√x kontinu seragam pada [0, [0, ∞).

78

Hendra Gunawan Gunawan

9. TURUNA TURUNAN N

9.1 Turunan di Suatu Titik Misalkan f  terdefinisi pada suatu interval terbuka I  yang memuat titik c. Maka, f  dikatakan mempunyai turunan  di titik c apabila apabila limit lim

x

→c

f ( f (x) x

− f ( f (c) −c

ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan  dari f  di titik c, yang biasanya dilambangkan dengan f  (c) atau Df ( Df (c). Jadi, untuk fungsi f  yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai f ( f (x) x→c x

f  (c) = lim

− f ( f (c) −c .

Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh f (c + h) h→0 h

f  (c) = lim

− f ( f (c) .

Catat bahwa f  mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan L = f  (c) sedemikian sehingga f ( f (c + h) dengan

(h) h

− f ( f (c) − Lh = (h)

→ 0 untuk h → 0.

Secara intuitif, sebuah fungsi f  mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y = f ( f (x) mempunyai garis singgung  di titik (c, (c, f ( f (c)) dan gradien garis  singgung tersebut adalah f  (c). Untuk Untuk ilustrasi, lihat Gambar Gambar 9.1. Persamaa Persamaan n garis singgung pada grafik fungsi y = f ( f (x) di titik (c, (c, f ( f (c)) dalam hal ini adalah y = f ( f (c) + f  (c)(x )(x

− c) .

Pengantar Analisis Real

79

Sebagai catatan, masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik tertent tertentu u pertama pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. 1620-an. Nam Namun, un, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac Newton pada 1665 (namun dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684.

Gambar Gambar 9.1

Grafik fungsi f  yang mempunyai turunan di titik c

Contoh 1. 1. Misalkan Misalkan f (x) = x2 dan c = 1. Untuk Untuk memeriksa apakah apakah f  mempunyai turunan di 1, kita hitung f ( f (x) x→1 x lim

− f (1) f (1) x2 − 1 = lim = lim (x + 1) = 2. 2. x→1 x − 1 x→1 −1

Jadi f  mempunyai turunan di 1, dengan f  (1) = 2. Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f ( f (x) = x2 mempunyai mempunyai turunan di setiap titik c R, dengan f  (c) = 2c. Fungsi f  : c 2c disebut sebagai turunan  dari f . f .

∈

→

||

Contoh 2. 2. Misalkan f ( f (x) = x dan c = 0. Perhatikan bahwa lim

→0

h

f ( f (h)

− f (0) |h| f (0) = lim h

h

→0 h

tidak ada (?). Karena itu, f  tidak mempunyai turunan di 0. Proposisi 3. 3. Misalkan  f  terdefinisi pada suatu interval terbuka  I  yang memuat titik  c. Jika  f  mempunyai turunan di  c, maka  f  kontinu di  c.

80

Hendra Gunawan Gunawan

Bukti . Perhatikan bahwa f ( f (x) untuk x

f ( f (x) − f ( f (c) − f ( f (c) = · (x − c) → f  (c) · 0 = 0 x−c

→ c. Jadi f ( f (x) → f ( f (c) untuk x → c.

Dalam prakteknya, kita sering pula menggunakan kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika f  tidak kontinu di c, maka f  tidak akan mempunyai turunan R yang didefinisikan sebagai di c. Sebagai contoh, fungsi f  : [0, [0, 2]

→

f (x) =



2x, 0 1, 1

≤ x < 1; ≤ x ≤ 2,

tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f  tidak kontinu di titik tersebut. Catatan. Catatan. Proposisi 3 menyatakan bahwa kekontinuan f  di c merupakan syarat perlu bagi f  untuk mempunyai turunan di c. Nam Namun, un, Contoh 2 memperlihatk memperlihatkan an bahwa kekontinuan f  di c bukan merupakan syarat cukup untuk mempunyai turunan di c. Soal Latihan 1. Tentukan entukan persamaan garis singgung si nggung pada kurva y = x2 di titik (1, (1, 1). 2. Tunjukkan bahwa bahwa f (x) = x2 mempunyai turunan di setiap titik c f  (c) = 2c.

∈ R, dengan

| | ∈ R. Selidiki apakah f  mempunyai turunan di 0.

3. Diketah Diketahui ui f ( f (x) = x x , x

4. Berikan Berikan sebuah contoh fungsi f  yang kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di sana, selain f (x) = x .

|| 5. Konstruksi Konstruksi sebuah sebuah fungsi f  : R → R yang mempunyai turunan hanya di sebuah titik.

6. Buktikan Buktikan jika f  mempunyai turunan di c, maka f  (c) = lim

→0

h

f ( f (c + h)

− f ( f (c − h) .

2h

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan di suatu titik namun limit di atas ada.

81

Pengantar Analisis Real

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan Teorema 4. 4. Misalkan f  Misalkan  f  dan  g terdefinisi pada suatu interval terbuka  I  yang memuat  titik  c. Misalkan  λ dan  µ bilangan real real sembarang. Jika  f  dan  g mempunyai turunan  di  c, maka  λf  + µg, fg, dan  f /g mempunyai turunan di  c, dan  (i) (λf  (λf  + µg) µg) (c) = λf  (c) + µf  (c); (ii) (f (f g) (c) = f  (c)g (c) + f ( f (c)g  (c); (iii)

 f  g



(c) =





f  (c)g(c) f ( f (c)g (c) g2 (c)

−



asalkan  g (c) = 0.

Bukti . (i) Perhatikan bahwa 1 h



−

λf ( λf (c + h) + µg( µg(c + h) λf ( λf (c) f (c+h)−f (c) g (c+h)−g(c) = λ +µ h h   λf  (c) + µg (c)

→ untuk h

 



− µg( µg(c)



→ 0.

(ii) Di sini kita mempunyai 1 h

 

−



f ( f (c + h)g (c + h) f ( f (c)g (c) − f (c+h)−f (c) = g (c + h) + f ( f (c) g(c+hh) g(c) h g (c)f  (c) + f (c)g  (c),

→ untuk h





→ 0.

(iii) Latihan.

Contoh 5. 5. Misalkan n

∈ N dan f ( f (x) = xn . Maka turunan dari f  adalah f  (x) = nxn−1 .

Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f ( f (x) = x, jelas bahwa Sekarang ng misalk misalkan pernyata pernyataan an di atas atas benar benar untuk untuk n = k , yakni jika f  (x) = 1. Sekara f ( f (x) = xk , maka f  (x) = kxk−1 . Mak Maka, a, untuk untuk n = k + 1 atau f ( f (x) = xk+1 , kita peroleh f  (x) = D(xk .x) .x) = D(xk ).x + xk .D( .D(x) = kx k−1 .x + xk = (k ( k + 1)x 1)xk . Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n

∈ N.

82

Hendra Gunawan Gunawan

Teorema 6 (Aturan Rantai). Rantai) . Misalkan  g mempunyai turunan di  c dan  f  mempunyai turunan di  y = g (c). Maka, f  g mempunyai turunan di  c dan 

◦

(f  g ) (c) = f  (g (c))g ))g  (c).

◦

Bukti . Berdasarkan definisi turunan,

◦

− (f  ◦ g)(c )(c) f ( f (g(x)) − f ( f (g (c)) = lim . x→c −c x−c Bila g(x) − g (c)  = 0 pada suatu interval terbuka (c ( c − δ, c + δ), maka f ( f (g (x)) − f ( f (g(c)) g (x) − g(c) · x − c = f  (g(c)) · g(c). (f  ◦ g ) (c) = lim x→c g(x) − g (c) (f  g)(x )(x) x→c x

(f  g ) (c) = lim

◦

Namun, bila g konstan konstan (misalnya) (misalnya),, mak makaa argument argumentasi asi di atas gugur. Untuk Untuk mengmengatasinya, atasinya, definisikan h(y) := :=



f (y ) f (g (c)) , y g(c)

− −

f  (g (c)), )),



y = g(c), y = g(c).

Perhatikan Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teorema 10 pada Bab 7, h g kontinu di c. Akibatnya

◦

f ( f (g (x)) x→c x

(f  g ) (c) = lim lim

◦

− f ( f (g(c)) g(x) − g (c) = lim h(g (x)) · = f  (g (c)) · g  (c), → x c −c x−c

sebagaimana yang kita harapkan. Soal Latihan 1. Buktikan Buktikan Teorema Teorema 4 bagian bagian (iii). 2. Misalkan Misalkan n N dan f ( f (x) = xn . Buktikan dengan menggunakan definisi bahwa f  (x) = nxn−1 .

∈

3. Misalkan Misalkan n

∈ N. Buktikan

• jika f (  0), maka f (x) = −nx−n−1. f (x) = x−n (x = • jika f ( f (x) = x1/n (x > 0), maka f  (x) = n1 x1/n−1 .

Pengantar Analisis Real

83

4. Buktikan bahwa bahwa untuk bilangan bilangan rasional r sembarang berlaku D(xr ) = rxr−1 asalkan x > 0. 5. Misalkan Misalkan f  : R invers f −1 : R

→ R mempunyai turunan di x. Buktik Buktikan an jika jika f  mempunyai − 1 → R dan f  mempunyai turunan di y = f ( f (x), maka Df −1 (y ) =

1 . Df ( Df (x)

9.3 Turunan Tingkat Tinggi Jika f  mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I , maka kita katakan katakan f  mempunyai turunan pada I . Dalam hal ini turunan dari f , f , yaitu f  , merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I . Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua  dari f  sebagai turunan dari f  , yang nilainya di c adalah f  (x) x→c x

f  (c) = lim

− f  (c) , −c

asalkan asalkan limit ini ada. Turunan kedua dari f  berkaitan dengan kecekungan  grafik fungsi f . f . Jik Jika f  bernilai positif pada suatu interval, maka grafik fungsi f  cekung ke atas pada interval tersebut. tersebut. Sementa Sementara ra itu, jika f  bernilai negatif pada suatu interval, maka grafik fungsi f  cekung ke bawah  pada interval tersebut. Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunan ketiga dan seterusnya seterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f (n) (x) menyatakan turunan ke-n ke-n, n N, dari f .

∈

Contoh 7. 7. Jika f ( f (x) =

1 x,

maka f  (x) =

− x12 ;

f  (x) =

2 ; x3

84

Hendra Gunawan Gunawan

f  (x) =

− x64 ;

dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n) (x) untuk n

∈ N?)

Bila f  mempunyai turunan ke-n ke- n pada suatu interval yang memuat titik c, maka f  dapat dihampiri dihampiri oleh suatu polinom berderajat n 1 dan kesalaha kesalahanny nnyaa dapat ditaksir dengan turunan ke-n ke- n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya.

−

Soal Latihan 1. Tentukan entukan pada interval mana grafik fungsi f (x) = x3 cekung ke atas dan pada interval mana ia cekung ke bawah. 2. Tentukan entukan rumus umum turunan ke-n ke- n dari f ( f (x) =

1 x.

√

3. Diketah Diketahui ui f ( f (x) = x. Tentuk entukan an f  (x), f  (x), dan f  (x). Tentuk entukan an rumus rumus umum f (n) (x) untuk n N.

∈

4. Misalkan Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p(m) (x) = 0 untuk m > n. 5. Berikan Berikan sebuah sebuah contoh contoh fungsi yang mempuny mempunyai ai turunan turunan pertama pertama tetapi tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0.

85

Pengantar Analisis Real

10. TEOREMA NILAI RAT RATA-RAT A-RATA

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f  terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, ( a, b) dan c katakan bahwa f  mencapai nilai maksimum lokal  di c apabila f ( f (x)

∈ (a, b).

Kita Kita

≤ f (c)

untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I  yang memuat c. Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal . Nilai  dan titik minimum lokal  didefinisikan secara analog.

Gambar Gambar 10.1

f  mencapai nilai maksimum lokal di c

Secara intuitif, f  mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘puncak’ di atas titik c. Serupa dengan itu, f  mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di atas titik c.

86

Hendra Gunawan Gunawan

Jika f ( f (c) merupakan nilai maksimum f  pada seluruh interval (a, (a, b), maka tentunya f  mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f . f . Contoh 1. 1. Misalkan f  : R

→ R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai x + 2, 2, x < −1, f ( f (x) = |x|, x ≥ −1. Maka, f  mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f ( f (−1) = 1 bukan merupakan



nilai maksimum f  pada R. Demi Demikia kian n pula pula f  mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f (0) f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f  pada R.

Teorema eorema 2. Misalkan  f  mempunyai mempunyai turunan turunan pada  (a, b) dan  c (a, b). Jika  f  mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di  c, maka  f  (c) = 0.

∈

Bukti . Menurut Menurut definisi turunan, turunan, f ( f (x) x

− f ( f (c)  − c → f  (c)

untuk x c. Misalkan Misalkan f  (c) > 0. Menurut Menurut Soal Soal Latihan 7.1 No. No. 4, terdapat terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga f (x) f ( f (c) >0 (2) x c untuk x (c δ, c + δ), x = c. Sekarang Sekarang misalkan misalkan x (c, c + δ) sembarang. sembarang. Mak Maka, a, x c > 0 dan (1) memberikan f ( f (x) f ( f (c) > 0 atau f ( f (x) > f ( f (c). Jadi f  tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan misalkan x (c δ, c) sembarang. Maka, x c < 0 dan (1) memberikan f ( f (x) f ( f (c) < 0 atau f ( f (x) < f ( f (c). Jadi f  juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

→

∈ −

−

−



− −

∈

−

∈ −

−

Hal serupa terjadi ketika f  (c) < 0. Jadi, Jadi, jika jika f  (c) = 0, maka f  tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.



Kebali Kebalik kan dari Teore Teorema ma 2 tidak tidak berlaku: berlaku: jika jika f  (c) = 0, belum tentu f  mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Catatan.

Soal Latihan

−

1. Berikan sebuah contoh contoh fungsi f  yang terdefinisi pada ( 2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f (1) f (1) bukan bukan merupak merupakan an nilai maksimum maksimum f  pada ( 2, 2).

−

87

Pengantar Analisis Real

2. Berikan Berikan sebuah sebuah contoh contoh fungsi f  yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f  tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.

10.2 Titik Stasioner Titik c dengan f  (c) = 0 disebut titik stasioner  f . Sebagaiman Sebagaimana a telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika f ( f (x) = x3 , maka f  (x) = 3x2 , sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f . f . (Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi  f , f , yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsi f .) f .)

Gambar Gambar 10.2

Grafik fungsi f ( f (x) = x3

Situasi Situasi yang yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai Sebagai contoh, fungsi f ( f (x) = x2 sin x1 untuk x = 0 dan f (0) f (0) = 0 mempunyai turunan f  (0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.



Teorema eorema 3 (Teorem (Teorema a Rolle). Rolle). Misalkan  f  kontinu kontinu pada  pada  [a, b] dan mempunyai  mempunyai   turunan pada  (a, b). Jika  f ( f (a) = f ( f (b), maka  f  (c) = 0 untuk suatu  c (a, b).

∈

Bukti . Karena f  kontinu pada interval kompak [a, [ a, b], maka menurut sifat kekontinuan

88

Hendra Gunawan Gunawan

f  mencapai nilai maksimum M  di suatu titik c1 minimum m di suatu titik c2 [a, b].

∈

∈ [a, b] dan juga mencapai nilai

Misalkan c1 dan c2 adalah titik-titik ujung [a, [a, b]. Karena Karena f ( f (a) = f ( f (b), maka  [a, b]. Akibatnya f  (c) = 0 untuk setiap setiap m = M  dan dengan demikian f  konstan pada [a, c

∈ (a, b).

Misalkan c1 bukan titik ujung [a, [ a, b]. Ma Mak ka c1 (a, b) dan f  mencapai nilai  maksimum lokal di c1 . Menurut Menurut Teorem Teorema a 2, f  (c1 ) = 0. Hal serupa serupa terja terjadi di bila c2 bukan titik ujung [a, [a, b].

∈

Soal Latihan

|| ∈

1. Diketah Diketahui ui f ( f (x) = x x , x R. Tunjukkan bahwa bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f  mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0. 2. Beri contoh contoh sebuah fungsi f  yang terdefinisi pada [a, [a, b], mempunyai turunan pada (a, (a, b), dan f ( f (a) = f ( f (b), namun tidak ada c (a, b) dengan f  (c) = 0.

∈

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Rata-rata) . Misalkan f  Misalkan  f  kontinu pada  [a, b] dan mempunyai turunan pada  (a, b). Maka  f  (c) = untuk suatu  c

∈ (a, b).

f ( f (b) b

− f ( f (a) −a

f (b)−f ( f (a) Nilai f ( disebut nilai rata-rata  f  pada [a, [a, b]. Nilai Nilai ini sama sama dengan dengan b−a gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik ( a, f (a)) dan (b, (b, f ( f (b)). )). KeKesimpulan Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f (x) terdapat suatu titik (c, ( c, f ( f (c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f  pada [a, b].

Catatan.

Bukti Teorema 4. 4. Misalkan F  didefinisikan pada [a, [a, b] sebagai F ( F (x) = f ( f (x)

− hx

89

Pengantar Analisis Real

dengan h konstanta. Maka F  kontinu pada [a, [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, ( a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F ( F (a) = F ( F (b), yakni h=

f ( f (b) b

− f ( f (a) −a .

Karena F  memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F  (c) = 0 untuk suatu c Namun F  (c) = f  (c)

∈ (a, b).

− h = 0,0 ,

sehingga teorema pun terbukti. Jika f  mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurva y = f ( f (x) di titik (c, ( c, f ( f (c)) adalah y = f ( f (c) + (x (x

− c)f  (c).

Untuk x dekat c, nilai f ( f (c) + (x c)f  (c) merupakan hampiran yang ’baik’ untuk f ( f (x). Nam Namun un seberapa besar kesalahan kesalahan dalam penghampiran penghampiran ini?

−

− 1) di c. Maka polinom (x − c)2  (x − c)n−1 (n−1) P ( P (x) = f ( f (c) + (x ( x − c)f  (c) + f  (c) + · · · + f  (c) 2! (n − 1)! mempunyai turunan ke-k ke- k, k = 0, 1, . . . , n − 1, yang sama dengan turunan ke-k ke- k dari Lebih jauh, misalkan f  mempunyai turunan ke-(n ke-( n

f . f . Karena Karena itu masuk masuk akal akal untuk menghampiri menghampiri f ( f (x) dengan P ( P (x) untuk x di sekitar c. Nam Namun, un, sekali sekali lagi, seberapa seberapa besar kesalahan kesalahan dalam penghampiran penghampiran ini. Teorema eorema Taylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut.

Teorema 5 (Teorema Taylor). Taylor). Misalkan f  Misalkan  f  mempunyai turunan ke-n ke-n pada interval  terbuka  I  yang memuat titik  c. Maka, untuk setiap x I , berlaku 

∈

f ( f (x) = f ( f (c) + (x (x dengan  E n =

1 n! (x

− c)f  (c) + (x −2! c)

2

f  (c) +

n 1

−

· · · + (x(n−−c)1)!

f (n−1) (c) + E n

− c)nf (n) (ξ) untuk suatu  ξ di antara  x dan  c.

Proof . Untuk t di antara x dan c, definisikan n 1

F ( F (t) = f ( f (x)

−

(x − t) − f ( f (t) − (x − t)f  (t) − · · · − (n − 1)!

f (n−1) (t).

90

Hendra Gunawan Gunawan

Perhatikan bahwa F  (t) = Sekarang Sekarang definisikan

n 1

−

− (x(n−−t)1)!

G(t) = F ( F (t)

f (n) (t).

  − − x x

−

t c

n

F ( F (c).

Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x dan c sedemikian sehingga 0 = G (ξ ) = F  (ξ ) +

n(x ξ )n−1 F ( F (c) = ( x c) n

− −

Dari sini kita peroleh F ( F (c) =

(x

n 1

−

− (x(n−−ξ)1)!

f (n) (ξ ) +

n(x ξ )n−1 F ( F (c). (x c)n

− −

− c)n f (n)(ξ) n!

dan teorema pun terbukti. Soal Latihan

√

1. Diketah Diketahui ui f (x) = x. Tentukan nilai rata-rata f  pada [0, [0, 4]. Tentukan c sedemikian sehingga f  (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.

∈ (0, (0, 4)

2. Misalkan Misalkan f  kontinu pada [a, [a, b] dan mempunyai turunan pada ( a, b). Buktika Buktikan n  jika f  (x) = 0 untuk setiap x (a, b), maka f  konstan pada [a, [a, b].

∈

 2 3. Misalkan Misalkan f  : R R mempunyai turunan di setiap titik dan f  (x) = x untuk setiap x R. Buktikan bahwa f ( f (x) = 13 x3 + C , dengan C  suatu konstanta.

∈

4. Diketah Diketahui ui f  : R

→

→ R memenuhi memenuhi ketaksamaan |f ( f (x) − f ( f (y)| ≤ C |x − y | p ,

x, y

∈ R,

untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f  konstan. 5. Buktikan Buktikan jika f  mempunyai turunan kedua di c, maka f  (c) = lim

→0

h

f ( f (c + h)

− 2f ( f (c) + f ( f (c − h) . h2

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada.

91

Pengantar Analisis Real

6. Misalkan Misalkan c bahwa

∈ R dan n ∈ N.

Buktikan Buktikan dengan dengan menggunak menggunakan an Teorema eorema Taylor aylor

(1 + c)n = 1 + nc + (Petunjuk . Tinjau f ( f (x) = xn .)

n(n 1) 2 c + 2!

−

· · · + cn .

92

Hendra Gunawan Gunawan

11. 11. FUNGS FUNGSI I MONO MONOTO TON N DAN FUNG FUNGSI SI KONVE ONVEKS KS

11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f  terdefinisi pada suatu himpunan H . Kita katak katakan an bahwa bahwa f  naik  pada H  apabila untuk setiap x, y H  dengan x < y berlaku

∈

f ( f (x)

≤ f ( f (y ).

Jika ketaksamaan ketaksamaan < berlaku, maka kita katakan bahwa f  naik sejati  pada H . Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun  dan turun sejati  pada H . Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton . Fungsi ungsi yang naik naik dan turun turun sekaligus pada H  mestilah konstan pada H . Contoh 1. 1. (i) Fung Fungsi si f  : fungsi naik sejati pada R.

R

→ R yang didefinisikan sebagai f ( f (x) = x3 merupakan

(ii) Fungsi g : (0, (0, ) turun sejati pada (0, (0, ).

∞ → R yang didefinisikan sebagai g(x) = ∞

1 x

merupakan fungsi

Proposisi 2. 2. Jika  f  naik pada  [a, b], maka  f  mencapai nilai minimum di  a dan nilai  maksimum di  b. Bukti . Misalkan a < x < b. b. Maka menurut definisi kita mempunyai f ( f (a)

≤ f (x) ≤ f ( f (b).

Jadi f  mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b. Sekarang Sekarang kita akan membahas membahas limit fungsi monoton. monoton. Untuk Untuk itu, kita perkeperkenalkan notasi f ( f (c ) = lim lim f ( f (x)

−

x

→c

−

Pengantar Analisis Real

Gambar Gambar 11.1(i) 11.1(i)

Grafik fungsi f ( f (x) = x3

Gambar Gambar 11.1(ii) 11.1(ii)

Grafik fungsi g (x) =

1 x

dan f ( f (c+) = lim lim f (x), x

asalkan kedua limit ini ada. Contoh 3. 3. Misalkan f  : R

+

→c

→ R didefinisikan sebagai x, x ≤ 1; f ( f (x) = 3



2,

x> 1

93

94

Hendra Gunawan Gunawan

Maka, f (1 f (1 ) = 1 = f (1), f (1), sedangkan f (1+) f (1+) = 32 .

−

Teorema 4. 4. (i) Jika  f  naik dan terbatas di atas pada  (a, b), maka  f ( f (b ) = sup f ( f (x).

−

x (a,b) a,b)

∈

(ii) Jika  f  naik dan terbatas di bawah pada  (a, b), maka  f (a+) = inf  f ( f (x). x (a,b) a,b)

∈

Bukti . (i) Misalkan M  = sup f ( f (x). Diberikan  > 0 sembarang, kita harus mencari x (a,b) a,b)

∈

suatu δ > 0 sedemikian sehingga jika b M   < f ( f (x) < M  + .

−

− δ < x < b,b , maka |f ( f (x) − M | <  atau

Ketaksamaan f (x) < M  +  selalu terpenuhi karena M  merupakan batas atas untuk f  pada (a, (a, b). Selanjutnya, Selanjutnya, karena M   bukan merupakan batas atas untuk f  pada (a, (a, b), maka terdapat suatu y (a, b) sedemikian sehingga M   < f ( f (y). Namun f  naik pada (a, (a, b), sehingga untuk setiap x yang memenuhi y < x < b berlaku

∈

M  Jadi, pilihlah pilihlah δ = b

−

−

−  < f ( f (y ) ≤ f ( f (x).

− y.

(ii) Serupa dengan (i). Akibat 5. 5. Misalkan  f  naik pada  (a, b). Jika  c dan  f ( f (x)

∈ (a, b), maka  f ( f (c−) dan  f (c+) ada,

≤ f ( f (c−) ≤ f ( f (c) ≤ f ( f (c+) ≤ f ( f (y)

untuk  a < x < c < y < b. b. Soal Latihan 1. Buktikan Buktikan Teorema Teorema 4 bagian bagian (ii). Mulai dengan memisalk memisalkan an m = inf   f (x). x (a,b) a,b)

∈

2. Buktikan Buktikan jika f  turun dan terbatas di bawah pada (a, ( a, b), maka f ( f (b ) = inf   f ( f (x).

−

x (a,b) a,b)

∈

95

Pengantar Analisis Real

Gambar Gambar 11.2

−

Kasus f ( f (c ) < f ( f (c) < f ( f (c+)

3. Buktikan Buktikan jika f  dan g naik (sejati) pada H , maka f  + g naik (sejati) pada H . 4. Diketah Diketahui ui f ( f (x) > 0 untuk setiap x H , dan g := (sejati) pada H , maka g turun (sejati) pada H .

∈

1 f  .

Buktik Buktikan an jika jika f  naik

5. Diketah Diketahui ui f  naik sejati pada A. Buktika Buktikan n bahwa bahwa f  merupakan korespondensi − 1 1-1 antara A dan B := f (A), sehingga f  ada. Buktikan bahwa f −1 naik sejati pada B .

11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana kita dapat menyelidiki menyelidiki kemonotonan tonan suatu fungsi melalui melalui turunann turunannya, ya, bila fungsi tersebut mempunyai mempunyai turunan. Persisnya, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 6. 6. Misalkan  f  kontinu pada  [a, b] dan mempunyai turunan pada  (a, b). (i) Jika  f  (x) 0 untuk tiap x (a, b), maka  f  naik pada  [a, b]. Jika  f  (x) > 0 untuk  tiap x (a, b), maka  f  naik sejati pada  [a, b].

∈

≥

∈

(ii) Jika  f  (x) 0 untuk tiap x (a, b), maka  f  turun pada  [a, b]. Jika  Jika  f  (x) < 0 untuk tiap x (a, b), maka  f  turun sejati pada  [a, b].

∈

≤

∈

96

Hendra Gunawan Gunawan

Bukti . (i) Misal Misalk kan x dan y bilangan sembarang di [a, [ a, b] dengan x < y . Ma Mak ka f  memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rata-rata pada [x, [ x, y] dan karenanya f  (c) =

f ( f (y ) y

− f ( f (x) −x

∈ (x, y). Jika Jika f  (t) ≥ 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f  (c) ≥ 0 dan ≤ f ( f (y). Jadi f  naik pada [a, [a, b]. Jika f  (t) > 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f  (c) > 0 dan karenanya f (x) < f ( f (y).

untuk suatu c karenanya f ( f (x)

Jadi f  naik sejati pada [a, [a, b]. (ii) Serupa dengan (i). Contoh 7. 7. Misalkan Misalkan f  : adalah

R

→ R didefinisikan sebagai f ( f (x) = x(1 − x). Turunannya urunannya f  (x) = 1

1  Jadi f  (x) 0 untuk x 2 dan f  (x) pada ( , 12 ] dan turun pada [ 12 , ).

−∞

≥

≤

∞

− 2x.

≤ 0 untuk x ≥ 12 .

Dengan Dengan demikian demikian f  naik

Soal Latihan 1. Misalkan Misalkan n sebagai

∈ N.

Buktik Buktikan an bahwa bahwa fungsi fungsi f  : [0, [0, f ( f (x) = (x + 1)1/n

merupakan fungsi turun pada [0, [0 ,

∞) → R yang didefinisikan

− x1/n

∞).

2. Misalkan Misalkan f  mempunyai turunan dan naik pada suatu interval terbuka I . Buktikan bahwa f  (x) 0 untuk tiap x I . Jik Jika f  naik sejati pada I , apakah  dapat disimpulkan bahwa f  (x) > 0 untuk tiap x I ? Jelaskan.

≥

∈

∈

11.3 Invers Fungsi Monoton Menurut Menurut Soal 11.1 11.1 No. 5, fungsi f  yang naik sejati pada A mendefinisikan mendefinisikan suatu korespondensi 1-1 antara A dan B := f ( f (A). Dalam hal ini f  akan mempunyai invers − − 1 1 f  . Lebih jauh, f  naik sejati pada B .

97

Pengantar Analisis Real

Dalam kasus di mana f  kontinu dan daerah asal f  merupakan merupakan interval, interval, sebutlah I , maka daerah nilainya juga merupakan suatu interval, sebutlah J  = f ( f (I ) (Teorema 10 pada Bab 8). Lebih jauh, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 8. 8. Misalkan  f  : I  J  dengan  I  interval dan  J  = f ( f (I ). Jika  f  naik sejati  1 − dan kontinu pada  I , maka  f  : J  I  kontinu pada  J .

→

→

Bukti . Andaika Andaikan n f −1 tidak kontinu di suatu titik d J . Asumsik Asumsikan an bahwa d bukan titik ujung J . Mak Maka, a, mengingat mengingat f −1 naik sejati pada J , f −1 (d ) dan f −1 (d+) ada, dan f −1 (d ) < f −1 (d+). Sekarang misalkan λ I  sedemikian sehingga

∈

−

∈

−

f −1 (d ) < λ < f −1 (d+) dan λ = f −1 (d).

−



Karena itu f ( f (λ) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f  terdefinisi pada I . Teorema 9. 9. Misalkan  I  dan  J  interval, I ◦ dan  J ◦ interval terbuka yang mempunyai  titik ujung sama dengan titik ujung  I  dan  J . Misa Misalk lkan  an  f  : I  J  kontinu kontinu dan  ◦  J  = f ( f (I ). Jika  f  mempunyai turunan pada  I  dan f  dan  f  (x) > 0 untuk tiap x I ◦ , maka  f −1 : J  I  ada dan kontinu pada  J . Lebih Lebih jauh, jauh, f −1 mempunyai turunan pada  J ◦ dan  1 (f −1 ) (y ) =  f  (x)

→

→

untuk tiap y Catatan.

∈

∈ J ◦ dan  x = f −1(y).

Bukti Teorema 9 dapat dilihat di [2].

Soal Latihan R didefinisikan sebagai f (x) = 1 + x + x3 . Tunjukkan bahwa 1. Misalkan Misalkan f  : R f  mempunyai invers dan hitunglah nilai (f  ( f −1 ) ( 1).

→

−

R yang naik sejati dan kontinu pada A, 2. Berikan Berikan sebuah contoh contoh fungsi fungsi f  : A − 1 tetapi f  tidak kontinu pada B = f ( f (A). (Petunjuk . Him Himpun punan an A tentunya bukan suatu interval.)

→

98

Hendra Gunawan Gunawan

11.4 Fungsi Konveks

⊆

Misalkan I  R suatu interval. interval. Fungsi f  : I  apabila untuk setiap t [0, [0, 1] dan x1 , x2 I  berlaku

∈

→ R dikatakan konveks pada I 

∈ f ((1 f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f ( f (x1 ) + tf ( tf (x2 ). Catat bahwa untuk x1 < x − 2, titik (1 − t)x1 + tx2 bergerak dari x1 ke x2 ketika t bergerak dari 0 ke 1. Jadi jika f  konveks konveks pada I  dan x1 , x2 ∈ I , maka ruas garis yang

menghubungkan titik (x ( x1 , f ( f (x1 )) dan (x (x2 , f ( f (x2 )) berada di atas grafik fungsi f  (lihat Gambar 11.3).

Gambar Gambar 11.3

Grafik fungsi konveks

Sebuah fungsi konveks tidak harus mempunyai turunan di setiap titik. Sebagai contoh, f ( f (x) = x merupakan fungsi konveks pada R tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Namun, dapat ditunjukkan jika f  konveks pada interval terbuka I , maka f  mempunyai ‘turunan kiri’ dan ‘turunan kanan’ di setiap titik dalam I . Seba Sebaga gaii akibatnya, setiap fungsi konveks pada interval terbuka merupakan fungsi kontinu.

||

Teorema eorema berikut memperlihat memperlihatka kan n kaitan kaitan antara antara fungsi konvek konvekss dan turunan turunan keduanya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan kedua. Istilah konveks dalam hal ini setara dengan istilah ‘cekung ke atas’ yang telah kita bahas pada Bab 9. Teorema 10. 10. Misalkan  I  interval terbuka dan  f  : I  R mempunyai turunan kedua  pada  I . Maka, f  konveks pada  I  jika dan hanya jika  f  (x) 0 untuk tiap x I .

→

≥

∈

99

Pengantar Analisis Real

∈ I , kita mempunyai f ( f (c + h) − 2f (c) + f ( f (c − h) f  (c) = lim .

Bukti . Misalkan f  konveks pada I . Untuk tiap c

h

h2

→0

Kita pilih h cukup kecil sedemikian sehingga c 1 [(c + h) + (c ( c h)], sehingga 2 [(c

−



1 1 f ( f (c) = f  (c + h) + (c 2 2 Akibatnya, f ( f (c + h) 2f (c) + f ( f (c  simpulkan bahwa f  (c) 0.

−

≥

− h)

≤

− h) ≥ 0.

− h dan c + h ada di I . 1 1 f ( f (c + h) + f ( f (c 2 2

Maka, Mak a, c =

− h).

Karena Karena h2 > 0 untuk tiap h = 0, kita



Sebaliknya, misalkan f  (x) 0 untuk tiap x I . Untuk membuktikan membuktikan bahwa bahwa f  konveks konveks pada I , ambil x1 , x2 I  dan 0 < t < 1, dan misalkan x0 = (1 t)x1 + tx2 . Berdasarkan Teorema Taylor, terdapat ξ1 di antara x0 dan x1 sedemikian sehingga

∈

≥

f ( f (x1 ) = f ( f (x0 ) + (x ( x1

∈

−

− x0)f  (x0) + (x1 −2 x0)

2

f  (ξ1 )

dan juga terdapat terdapat ξ2 di antara x0 dan x2 sedemikian sehingga f ( f (x2 ) = f ( f (x0 ) + (x ( x2

−

−

− x0)f (x0) + (x2 −2 x0) − ≥

2

−

f  (ξ2 ).

Perhatikan bahwa (1 t)(x )(x1 x0 ) + t(x2 x0 ) = (1 t)x1 + tx2 2 (x1 −x0 )2  E  := (1 t) f  (ξ1 ) + t (x2 −2x0 ) f  (ξ2 ) 0. Akibatnya, 2

−

(1

− x0

= 0 dan

− t)f ( f (x1 ) + tf (x2 ) = f ( f (x0 ) + E  ≥ f ( f (x0 ) = f ((1 ((1 − t)x1 + tx2 ),

sebagaimana yang kita harapkan. Soal Latihan 1. Buktikan Buktikan f  konveks pada interval I  jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 I  dengan x1 < x 2 < x 3 berlaku f ( f (x2 ) x2

− f (x1) ≤ f ( f (x3 ) − f ( f (x2 ) . − x1 x3 − x2

Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.

∈

100

Hendra Gunaw Gunawan

2. Buktikan Buktikan f  konveks pada interval I  jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 I  dengan x1 < x 2 < x 3 berlaku f ( f (x2 ) x2

∈

− f (x1) ≤ f ( f (x3 ) − f ( f (x1 ) . − x1 x3 − x1

Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya. 3. Buktikan Buktikan jika f  konveks pada interval terbuka I , maka lim

h

→0

−

ada untuk setiap c

f ( f (c + h) h

− f (c)

dan

l im

→0

h

+

f ( f (c + h) h

− f ( f (c)

∈ I , dan sebagai akibatnya f  kontinu pada I .

4. Misalkan Misalkan f  mempunyai turunan pada interval terbuka I . Buktika Buktikan n f  konveks   jika dan hanya jika f  naik pada I .

→

R naik sejati, konveks, dan mempunyai 5. Misalkan Misalkan I  interval terbuka, f  : I  turunan pada I . Misalk Misalkan an c I  sedemikian sehingga f ( f (c) = 0. Kons Konstr truk uksi si barisan xn dengan x1 > c dan

∈

 

xn+1 = xn

f (xn ) − f f (  (xn ) ,

n = 1, 2, 3, . . . .

Buktikan bahwa xn c untuk n . (Metode (Metode penghampiran penghampiran ‘akar’ ‘akar’ f  ini 2 dikenal dikenal sebagai Metode Newton-Raph Newton-Raphson. son. Untuk Untuk f ( f (x) = x a, metode ini menghasilkan barisan xn yang dibahas pada Bab 3, Contoh 13.)

→

 

→∞

−