Anillo (Matemática)

 

Anillo (matemática) moderna,, un un anillo  anillo es  es un sistema un  sistema algebraico En álgebra En  álgebra moderna formado por un conjunto un conjunto no  no vacío y dos operaciones dos  operaciones internas,, llamadas usualmente «suma» y «producto», que ternas cumplen ciertas propiedades.

 y provisto de dos de las operaciones binarias: la adición la  adición y  multiplicación conocidas  conocidas desde la matemática matemática escolar. la la multiplicación Históricamente, el conjunto Z conjunto Z de  de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del con[cita requerida] . La razón por la cual los enteEn términos más específicos, un anillo es una terna ( A, cepto de anillo propiee+, •), donde A  es un conjunto no vacío y + y • son ope- ros forman un anillo es que poseen las siguientes propi raciones binarias internas en   A, en donde (A, +) es un dades: abeliano  y • es una operación asociativa y distrigrupo abeliano y 1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: butiva bilátera respecto de +. Suele denominarse «suma» dados dos números enteros a y b, se cumple que a + y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. b es un número entero. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un 2. La suma es asociativa es  asociativa:: dados tres números enteros elemento  a, perteneciente perteneciente al conjunto conjunto A  dado, se denota a, b  y c , se cumple que ( a + b) +  c  =  = a + ( b + c )).. como –a. 3. Existe un elemento un  elemento neutro para neutro  para la suma: para todo El producto en un anillo no necesariamente tiene una número entero a, a + 0 = 0 +  a = a. inversa  definida,[1] a diferencia de otras esoperación inversa definida, tructuras algebraicas como el cuerpo el  cuerpo.. Si el producto es 4. Existe un elemento un elemento simétrico para simétrico para la suma: para toconmutativo conmutativo,, tal anillo se denomina «anillo « anillo conmutatido número entero   a, siempre existe algún número vo». vo ». Además, si existe un elemento neutro para el proentero  b, tal que a + b  = 0. ducto, se dice que el anillo es  unitario ya  unitario  ya que, en este 5. La suma suma es conmutativa es conmutativa:: dados dos números números entero enteross caso, se emplea el número el  número 1 para 1  para designar al elemento a y b, se cumple que a + b = b + a. neutro del producto. 6. Los númer números os ent enter eros os están están cerra cerrados dos ba bajo jo la multip multiplilicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b  es un número entero.

1 Hist Histooria ria

7. La multiplicación multiplicación es asociativa: asociativa: dados tres números La teoría de anillos surgió de la exploración de asuntos enteros a, b  y  c , se cumple que (a × b) ×  c  =  =  a  × ( b vinculados con la divisibilidad entre números enteros, del × c )).. estudio simultáneo de divisibilidad de polinomios y hasta del caso de los cuerpos, concretamente, de los números 8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: racionales, números reales, números complejos y de los números algebraicos, de los cuaterniones, fracciones rapara todo número entero a, a  × 1 =  a.  respecto de la su9. La multiplicación es distributiva es  distributiva respecto ciona cionale less y otr otros. os. En la etapa etapa ini inici cial, al, fueron ueron las materi materias as de ma: a × (b + c ) = ( a × b) + ( a × c )).. la teoría de números y de la geometría algebraica algebraica las que propiciaron los conceptos de anillo, cuerpo e ideal. En su estru estructu cturac ració iónn axi axioma omatic ticaa , tal tales es idea ideass fueron ueron frut rutoo de dell esfuerzo de Dedekind y otros matemáticos matemáticos a fines del siglo 3 Defin Definic iciión XIX. Sus aplicaciones al análisis matemático muestran los enfoques modernos de algebrización algebrización de tal disciplina disciplina Sea A un  un conjunto  conjunto no  no vacío, y sean  ⋆ y ◦ dos  dos operaciones  operaciones matemática, matemátic a, que ocurren recién en el segundo cuarto del binarias binarias en  en A. Se dice que el conjunto   ( A,⋆, ◦)   es un siglo XX.[2]  si se cumplen las siguientes propiedades: anillo si anillo

2 Noció Noción n de anill anilloo Estas cuatro condiciones definen un grupo un  grupo.. Una quinta

Considérese el conjunto de números de  números enteros: enteros:

condición define un grupo un grupo abelian abelianoo: ... –8, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 8, ... 1

 

2

 

5 ELEMENTOS ELEMENTOS DESTAC DESTACADOS ADOS EN UN ANILLO 

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciocondiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

5 Elemen Elementos tos destac destacado adoss en un anillo elemento nto neu Elemento to cero cero, denot denotad adoo por 0 ,esel eleme   Elemen tro  para la suma. Para este elemento se verifica lo tro para siguiente:

Y agregando una novena condición, se define un  anillo 0  x  = 0   x    A conmutativo : conmutativo:   Elemento unitario unitario:: si un elemento, que denotamos 1, cumple  1    a   =   a    1 =   a  para todo elemento

Si un anillo cuenta con un elemento elemento neutro para la segunda operación se llama anillo llama  anillo unitario. unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación operación (usualmente el 0).

a del anillo, se llama elemento unitario. El elemento cero y el elemento unitario (caso de existir) sólo trivial:: coinciden en el caso de que el anillo el  anillo sea trivial

multiplicativo:: en un anillo unitario, se    Inverso multiplicativo pueden definir elementos inversos multiplicativos de la siguiente siguiente manera:

3.1 De Defini finició ciónn sin sintét tética ica

  el elemento   b  es  inverso multiplicativo por la

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:[3] abelianoo para la adición; el elemento  es grupo abelian    R1. R es grupo neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;  para la multiplicación; multiplicación; un semigrupo para    R2. R  es un semigrupo multiplicación es distributiva (por los dos la   R3. La multiplicación dos) respecto de la adición. adición.

izquierda  (o sencillamente  inverso por la izquierda) de  a  si b   a  = 1 .   Así mismo, el elemento  c  es  inverso multiplicativo por la derecha  inverso sencilla  por la derecha ) de  a  si (o a  sencillamente  c  = 1mente  .

No todos los elementos tienen inverso, e incluso es posib posible le qu quee un elem elemen ento to ten tenga ga in inve verso rso por la izquierda pero no por la derecha, o viceversa. Sin embargo, cuando un elemento  a  tiene elemento inverso por la izquierda y por la derecha, entonces entonces ambos son iguales, y se denota simplemente como elemento inverso (  a−1 ).    Eleme Elemento nto inver inversib sible le,,   elemento elemento inverti invertible ble   o

4 Eje jemp mplo loss

unidad unidad:: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.

los  enteros gaussianos H gaussianos  H  = {m+ni:   El conjunto de los enteros m,n ∈ ℤ}, con la adición y múltiplicación usuales es un anillo unitario. Es un subanillo de los números los  números complejos ℂ. complejos  ℂ.

  Divisor de cero ̸  = 0 es divisor del : un elemento cero:erda, cero por la izquierda, izqui si existe  a algún  b̸  = 0 , tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c̸  = 0  distin-

 reales de orden 2 con  de las matrices las matrices reales   El conjunto M  de

tode0talquec·a=0.Sediráque a es di divis visor or del del cero cero si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.

la adición y multiplicación de matrices es un anillo no conmutativo. conjunto Q((   El conjunto Q

 ) de los números reales: m+n 3 donde m, n ∈ℚ(son racionales racionales,, co conn la ad adic ició iónn y mulmul[4] tiplicación, tiplicac ión, es un anillo unitario conmutativo.  √ 

3

 √ 

regular: un elemento elemento  a̸  = 0 de un anillo   Elemento regular: es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular. cualquier ier elemen elemento to e del idempotente : es cualqu    Elemento idempotente:

adición y multiplicación modular multiplicación modular,, es un anillo finito  divisores de 00.. con divisores con

anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que  e  e =  e (o alternativamente e2 =  e  ). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.

  El conjunto F [x] dedelos polinomios los  conla coeficien F[x] tesconjunto en ℤ (conjunto los polinomios con enteros), con adición y

Elemento nilpotente (o  (o nihilpotente  nihilpotente): ): eess cualquier cualquier    Elemento nilpotente

conjunto  Z[6] [6] de los enteros módulo 6; con la   El conjunto Z

multiplicación, multipli cación, es un anillo unitario.

elemento  x  del anillo para el que existe un número un  número

 

7.2 7.2 Idea Ideale less

natural n de forma que  xn = 0  (donde xn se define por recurrencia: recurrencia:  x 0 = 1  ,   xn =   x   x n−1 ). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento eleme nto nilpotente es divisor de cero.

6 Algu Algun nos tipo tiposs impo import rtan ante tess de anillos

 

3

multiplicación multipli cación en el anillo, esto es, si  a, b    S  , , entonces  y  a    b    S  . . Si  1    R  (es decir, si el anillo es a + b    S  y unitario), entonces se exigirá además que 1    S  . . Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de R  , y sí lo será si  R  no es unitario. Un subanillo  S  es  es propio cuand cuandoo no coincide coincide con todo el anillo, es decir, si  R̸  =  S  . . Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular,

un subgrupo de conmutativo: aquel en el que el producto es (S, +) es un subgrupo  de (R, +) .   Anillo conmutativo:

conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b (no Ejemplos: debee confundi deb confundirse rse con anillo abeliano). abeliano). Como Como ejemjemplo: el conjunto P   de los números enteros pares con 1. ℤ es un subanillo de ℚ; de la suma y producto de enteros es un anillo conmula mi mism smaa ma mane nera ra,, ℚ es un tativo no unitario. En cambio; el conjunto M  de las subanillo de ℝ; y ℝ es un matrices reales cuadradas de orden 2, con la suma subanilloo de ℂ. subanill y producto de matrices es un anillo unitario no con2. El conjunto de los números mutativo .[5] comple comp lejos jos algebrai algebraicos cos es un subanilloo de ℂ. subanill unitario:: aquel que posee un elemento uni  Anillo unitario tari ta rioo y ad adem emás ás,, éste éste es dist distin into to de dell ne neutr utroo de la suma suma.. 7.1.1 Proposi Proposició ción n división: es el anillo en el cual todo ele  Anillo de división: mento, a excepción del 0, tiene inverso. Un subconjunto K de un anillo A es subanillo de A si y solamente si simplificación: aquel en el que   Anillo con leyes de simplificación: se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo 1. K es subgrupo aditivo de A. no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de 2. De x, y elementos de K se cosimplificación, y el recíproco también es cierto. lige que xy elemento de K. [7] integridad:: si un anillo no posee divi   Dominio de integridad sores del cero, es un dominio de integridad (a me- 7. 7.22 Idea Ideale less nudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es De mucho mayor interés en  teoría de anillos   son los aceptada por todos los autores). ideales, ideales, puesto que no sólo son cerrados respecto de la multiplicación respecto de los elementos del ideal, sino  Cuerpo:: se trata de un anillo de división conmuta- también cuando un elemento del ideal se multiplica por   Cuerpo tivo. cualquier elemento del anillo:   Anillo abeliano: abeliano: es un anillo en el que todo elemen-

to idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

euclídeo es un domi  Anillo euclídeo[6] o dominio euclídeo es nio de integridad R integridad  R junto  junto con una norma euclídea N. El anillo de los enteros los  enteros,, el de los enteros los  enteros gaussianos y sianos  y los anilllos de polinomios de  polinomios son  son ejemplos de dominios euclídeos.

7 Subsis Subsistem temas as notab notables les 7.1 Su Suban banill illos os

  Un subconjunto  I      R  es ideal  es  ideal por la izquierda de un anillo (A,+,·) si (I, +) es subgrupo de  (R, +) y dados cualesquiera  r      R  y  x      I  se   se tiene que  .   . r   x    I 

 es ideal por la derecha de derecha  de   Un subconjunto  I     R  es ideal un anillo (A,+,·) si  ( I, +) es subgrupo de  (R, +) y dados cualesquiera cualesquiera   r      R   y   x      I  se   se tiene que  . x  r    I  . Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal un  ideal bilátero, bilátero, o simplemente ideal plemente  ideal.. La propiedad conmutativa asegura que en los anillos conmutativos conmutativos todo ideal por la izquierda lo es también por la derecha, y todo ideal por la derecha es

porolapor izquierda, esto es, los ideales (por la son izquierda la derecha) de todos un  anillo un anillo conmutativo Un subanillo S  de  de un an anil illo lo R =(A =(A,+, ,+,·) ·) es un subconjunto ideal conmutativo son S      R  que cumple que es cerrado para la suma y la ideales biláteros.

 

4

 

Unid Un idea eall no tie tiene ne porqu por quéé se serr ne nece cesar sariam iamen ente te un su suban banill illo. o. Un ideal  I  se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, I ̸  =  R  .

7.3 Un Unid idad ades es El conjunto de  elementos invertibles de invertibles  de un anillo unitario  ( R, +, , 1R )  , llamados unidades llamados  unidades de  de R, forma un grupo respecto de la multiplicación del anillo, que recibe grupo respecto el nombre de grupo de grupo de unidades de unidades de R, denotado  U (R) . Si  I  es  es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario  R ,  U (R) es el grupo de unidades dad es de R, enton entonce cess I U (R) = ∅ , esto esto es, es, ningún ningún idea ideall propio tiene elementos invertibles. invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos subanill os de anillos unitarios. Por ejemplo, las unidades del anillo de los enteros son 1 y 1 (isomorfo al grupo de dos elementos), y el grupo de unidades de las matrices cuadradas de orden  n es el grupo el grupo lineal general de general de orden n, que contiene a las matrices con determinante distinto determinante distinto de 0.

10 BI BIBLI BLIOG OGRAFÍA RAFÍA [2] Leopoldo Nachbin. Nachbin. «Álgebra elemental». elemental». Ediciones Ediciones de la OEA, Wáshington (1986) [3] P. dubreil dubreil y M.L. ddubreil ubreil Jacoti. Lecciones de Álgebra moderna. [4] Birkhoff Birkhoff,, Garret; Garret; MacLane, MacLane, Saunders Saunders (1974).   Álgebra Moderna. Vicens-Vives. p. 3. «El conjunto de todos los enteros, el conjunto de todos los números racionales y el conjunto de todos los números reales son ejemplos de dominio de integridad. Otro eje ejemplo, mplo, menos corriente, es el de todos los números de la forma a +b√ 3 .» [5] Casos sencillos, sencillos, directamente comprobabl comprobables es [6] El nombre nombre según A.I. Kostrikin. Kostrikin. [7] Leopoldo Nachbin.«Álgebr Nachbin.«Álgebraa elemental» Edicion Ediciones es de la OEA, Wáshington (1986)

10 Bibli Bibliog ograf rafía ía   R.B.J.T. Allenby (1991),  Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 0-340-54440-6    Atiyah M. F. to ,   Macdonald, G. G.,,  Introduction commutativeF.,algebra . Addison-We AddisoI.n-Wesley sley Publishing Publishing

7. 7.44 Ce Cent ntro ro El centro de un anillo  (R, +, ) (denotado por  Z (R) ) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir  Z (R) :=   r      R   :   r    s   =   s   r, s     R . El centr centroo de un ani anillo llo vi vien enee a se serr como como “la parte parte co conmu nmutat tativ ivaa del anillo”. Nótese que siempre siempre se tiene que 0    Z (R) . Los anillos conmutativos conmutativos son aquellos aquellos que coinciden coinciden con su centro, i.e., R  =  Z (R) . Po Porr ejempl jemplo, o, el centr centroo de dell ani anilllloo de lasmatrices las matrices cuadradas de orden  n  está constituido únicamente por las matrices escalares, aquellas que son iguales a la matriz la  matriz identidad multiplicada multipli cada por un escalar..

8 Véase Véase ta tamb mbié ién n (matemática)..   Grupo (matemática) abeliano.   Grupo abeliano. conmutativo.    Anillo conmutativo. (matemática)..   Cuerpo (matemática) anillos.   Homomorfismo de anillos.

9 Ref Referen erenci cias as y notas notas [1] Mischa Mischa Cotlar Cotlar & Cora Ratto.«Intro Ratto.«Introducc ducción ión al álge álgebra. bra. Nocioness de álgebra lineal» Eudeba Buenos Aires Nocione

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11 Enlac Enlaces es exte extern rnos os

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W.  «Ring».  «Ring». En Weisstein, Eric W.   Weisstein, Eric W. MathWorld  (en  (en inglés). Wolfram inglés). Wolfram Research. Research.

 

6

 

12 ORIGEN ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS  LICENCIAS 

12 Origen Origen del del texto texto y las las imágene imágenes, s, colaborad colaboradores ores y licenc licencias ias 12 12.1 .1 Text xtoo •

  Youssefsan, https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)?oldid=99023546  Colaboradores:  Youssefsan,   Anillo (matemática)  Fuente:   https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)?oldid=99023546 Sabbut, Moriel, Jmabel (US), Vivero, Zwobot, DefLog, Sms, Robotito, Vargenau, Decko, Rembiapo pohyiete (bot), RobotQuistnix, Chobot, BOT-Superzerocool, Torbellino, Vitamine, BOTijo, Landertxu, Echani, Wewe, Beto29, JRGL, Götz, Maldoror, CEM-bot, 333, JMCC1, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Ameriko~eswiki, JAnDbot, TXiKiBoT, Gullo, Pólux, BL, Jtico, AlnoktaBOT, VolkovBot, Castelo, Shooke, AlleborgoBot, Muro Bot, SieBot, Mushii, Loveless, Rigenea, PIERRE26, BuenaGente, Camiloalcubo2, Dnu72, Botito777, Petruss, Alexbot, BodhisattvaBot, Raulshc, Camilo, Cbravolillo, Garnete, MastiBot, DanielgooG, FiriBot, Diegusjai Diegusjaimes, mes, Luckas-bot, Sophivorus, Xqbot, Jkbw, FrescoBot, Boatbadly, Jorge c2010, EmausBot, HRoestBot, Emiduronte, ChuispastonBot, AStarBot, MerlIwBot, JavierBrude, Jharni Elmer Neyra Valve Valverde, rde, Julio grillo, HiW-Bot, Rubenlagus, Acratta, Addbot, FedeBosio, JuanManwell, Jarould, BenjaBot, Antimuonium, X2y3, Rehernan, Eliasgv3, MomijiRoBot, Semibot y Anónimos: 61

12.22 Im 12. Imág ágen enes es •

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