ANGULOS VERTICALES

TEMA:

ÁNGULOS VERTICALES

INTRODUCCIÓN

Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración. A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema: Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical. Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

Ángulos de Depresión Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

 F: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN: AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador.

U:  ÁNGULO DE OBS ERVACIÓN ERVACIÓN

Los ángulos verticales pueden ser: Ángulos de Elevación Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN

1.

Lea e interprete adecuadamente el enunciado del problema 2. Elabore un gráfico indicando en él los datos reconocidos del enunciado 3. Centralice su trabajo en triángulos rectángulos 4. Resuelva dichos triángulos rectángulos

E: Ángulo de observación

separación de las bolic eras es 120m ¿ ué altura a nivel del mar tiene el observador?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

2   

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1. Un no observa o alto e n oste con n ngulo e elevac n e 60º, luego camina acia la erec a una istancia igual a la istancia ue lo separaba el poste inicialmente y en ese momento observa el mismo punto con un ngulo e elevación E ¡ 

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1 ¨  ¸ ©tg E ! ; tg F ! 0,2 ¹ ª  º

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7. La

antena de una radio emisora se encuentra sobre un edificio, si su base es vista desde un punto sobre el plano orizontal con un ángulo de elevación de 7º. i la altura de la antena es la tercera parte la del edificio. ¿ uánto medirá el ángulo de observación correspondiente a la antena desde el mismo punto de observación?

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4  

Rpta.

5  

6  

7  

elicópteros ue vuelan en tra yectorias perpendiculares a una altura de 150m, disparan simultáneamente un misil cada uno para dar a un mismo objetivo. n ese momento del disparo, uno de los elicópteros observa el objetivo con un ángulo de depresión de 7º y se encuentra a 50m del otro. ¿ uál será el ángulo de depresión con el ue observa el otro elicóptero al objetivo?

2. Dos

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edificios de diferentes alturas se encuentran uno al frente del otro. Desde la parte superior e inferior del edificio de menor altura se observan con ángulos de elevaciones E  y F un punto del extremo superior del otro edificio respectivamente ¿ n ué relación se encuentran sus alturas menor/ma yor)?

8. Dos

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Rpta.

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3. Desde

un pun to en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación ´Eµ. i el observador se acerca 0m el ángulo de elevación sería ´Fµ. Determinar la altura de la torre, si además se sabe ue: tgE - tgF = 0, 5.

Rpta.

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9.

Una persona sube una cuesta y cuando llega al punto máximo, ve ue la altura de ésta es la mitad, del camino re corrido, allar el ángulo ue ace la orizontal con la cuesta A  

A  

B  

B  

B  

Rpta.

Rpta.

lo alto de un edificio se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión ´Eµ y otro punto ubicado a la mitad entre el primer punto  y el edificio, con un ángulo de depresión ´90ºEµ. Determinar: tg2E .

4. Desde

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10. Desde la base de un edificio Juan ve un alcón con un ángulo de elevación de 7º a una distancia de 12 pies y desde la parte superior del mismo edificio se ve la misma ave con un ángulo de depresión de 5 º. alcular la altura del edificio. C  

D  

E  

D  

Rpta. 5.

Rpta.

Un observador se encuentra a 0m. de la base de un edificio, se acerca acia el edificio en línea recta asta un punto ue se encuentra a 10m. del mismo. i en su posición inicial observó a un punto del edificio con un ángulo de elevación de 7º y en la segunda observación lo izo al mismo punto con µEµ. #  

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11.C al c ular la altura de un árbol si el ángulo de eleva c ión de su extremo superior aumenta desde 0º asta 60º c uando el observador avan z a 80 m. a cia el árbol F  

G  

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Rpta.

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E ¿ uánto vale ctg ? (  

2

H  

un acantilado se observan dos bolic eras en línea recta con ángulos de depresiones E y F E < F respectivamente, si ese instante la

6. Desde 0 

Rpta.

12. De un edificio de 24m. de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 0º  y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60º. ncontrar la altura de la torre.

)  

I  

1 

Rpta.

13. Un marciano se encuentra colocado sobre el edificio de 9u de altura. Una persona impresionada observa con un ángulo de elevación de 5 º a la parte superior del marciano; luego se aleja 2u, luego observa con un ángulo de elevación de 7º a lo alto del edificio. Calcular la altura del marciano.

20. Desde

un punto de tierra se divisa lo alto de una torre de 24m de altura con un ángulo de elevación de 7º. ¿ ué distancia abría ue acercase para ue el ángulo de elevación tenga como tangente 2? h   

p  

g  

i  

p  

P  

P  

Rpta.

Rpta. 21. Un

sujeto a una cuerda tensa de 5 3 m. ue está atada a una estaca en el suelo. i una persona observa la parte superior del poste con un ángulo de elvación de 5 º y observa la cuerda en su totalidad con un ángulo de 0º. Halle la distancia en la ue se en cuentra la perso0na de la esta ca.

lo alto de un faro de 45m. de alto los ángulos de depresión de 2 delfines ue se allan en el mar y en una misma dirección del observador miden 45º y 7º. Hallar la distancia entre los delfines

14.

poste vertical de 4 3 m. se encuentra q  

Desde

Q  

r  

R  

s  

S  

s  

q  

Rpta. 15. Una persona observa un objeto ue está en caída con un ángulo de elevación de 60º luego de un momento lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de 0º, si en la primera observación se encontraba a 60m de altura. n la segunda observación estará a la altura de:

Rpta.

T  

22. Una

U  

persona observa la parte superior de un edificio de 12m. de alto con un ángulo de elevación de 7º y la parte superior de una antena ue ese encuentra sobre el edifio a 4m del filo del edificio) con un ángulo de elvación ma yor en 2º al anterior. ntonces la longitud de la antena será: Considerar tg39º=0,81) t  

V  

v 

u  

Rpta.

w  

16. Un niño escala una montaña ue tiene un ángulo de elevación de 7º, cuando llega a la cumbre a escalado 150m. allar la altura de la montaña.

v 

W  

X  

Rpta.

Y  

23.

Rpta.

Un niño u dos árboles se encuentran en una misma línea. l niño, ue está entre los árboles, observa las partes superiores de dic os árboles con ángulos de elevación E y 2E. i se sabe ue sus respectivas visuales miden 30 y 35 m. Calcule la altura del ma yor árbol, teniendo en cuenta ue, si la distancia a la ue se encuentra el niño de un árbol es igual a la altura del otro árbol y este último el ue se opone a 2E. ugerencia sen2E = 2senE.cosE) y  

x  

17.

la cúspide de un monumento de 0m. de altura los ángulos de depresión de dos piedras, ue están sobre el terreno en la misma dirección respecto del monumento, son de 45º  y 7º ¿ ué distancia los separa? Rpta. Desde

  

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a  

b   

  

`  

  

  

18.

lo alto de un edificio de 24m. de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 0º y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60º. ncontrar la altura de la torre. Desde

  

Rpta.

c  

d  

Rpta.

24. Desde   

el pie de un poste, el ángulo de elevación es de 18º30·, desde la parte superior del poste, ue tiene 10m de altura, el ángulo de elevación es de 18º30·, alle la separación entre el poste y el campanario.   

19. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación N; cuando la distancia ue los separa se a reducido a la tercer parte la medida del ángulo se a duplicado. Hallar N. e  

f  

f  

Rpta.

Rpta.