Ângulos formados nas paralelas e Teorema de Tales

 Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal  Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, determinam oito (8) ângulos, com vértices nas intersecções da transversal com as paralelas, são assim denominadas. Ângulos correspondentes (congruentes) São ângul ângulos os que es estã tão o na me mesm sma a posi posiçã ção, o, mas mas sobr sobre e paralelas distintas 1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8 Alternos internos (congruentes)

São os ângulos que estão em lados diferentes da reta transversal entre as retas paralelas. 3 e 5

4 e 6

Alternos externos (congruentes)

São ângulos que estão em lados diferentes da reta transversal entre as retas paralelas. 1 e 7

2 e 8

Colaterais internos (suplementares) São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal fora das retas paralelas. 3 e 6 4 e 5 Colaterais externos (suplementares) São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal fora das retas paralelas. 1 e 8 2 e 7

Lembretes !!!

I. Os pares de ângulos colaterais (internos e externos) são suplementares: 1ˆ + 8ˆ = 2ˆ + 7ˆ = 3ˆ + 6ˆ = 4ˆ + 5ˆ = 180º ; II. Propriedades: ▪ P1: Se duas duas retas retas coplan coplanar ares es distin distintas tas e uma transv transvers ersal al deter determi minam nam ângulo ânguloss alter alternos nos (ou correspondentes) correspondentes) congruentes, então essas retas são paralelas; ▪ P2: Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada (Postulado de Euclides). III. Sobre perpendicularidade, temos que duas retas são perpendiculares ( concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes;

⊥

) se, e somente se, são

IV. IV. Em relação aos ângulos retos, para que dois ângulos sejam suplementares e congruentes, a única possibilidade possibilidade é que sejam de 90º, ou seja, ângulos retos. V. As propriedades abaixo são muito importantes no campo da Física no que diz respeito aos vetores. ▪ Ângulos de lados paralelos são congruentes ou suplementares.

▪ Ângulos de lados perpendiculares perpendiculares são congruentes ou suplementares. suplementares.

▪ Teorema Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma segunda reta, temos: ▪ ângulos alternos internos congruentes. ▪ ângulos alternos externos congruentes. ▪ ângulos colaterais internos suplementares. ▪ ângulos colaterais externos suplementares. ▪ ângulos correspondentes correspondentes iguais. Exercícios propostos 01. Considere as retas paralelas m e n (em símbolos: m //n). Calcule o valor de x e a medida de cada ângulo assinalado. assinalado.

02. Considerando r//s, determine as medidas dos ângulos representados representados pelas incógnitas x e y.

a)

b)

c)

d)

03. Sendo r//s, determine as medidas de x, y e z, em graus, dos ângulos assinalados.

04. Calcule o valor de x, sabendo que as retas r e s são paralelas.

05. Calcule as medidas x e y, em graus, dos ângulos:

a) r//s

b) r//s e s//t

06. Sabendo que r//s, calcule o valor de x, em graus:

a)

b)

07. Determine, em graus, as medidas x, y, w e z dos ângulos:

a) r//s

b) r//s//t

c) r//s e s//t

Teorema de Tales (r//s//t//z) Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais quaisquer, a razão entre as medi me dida dass de dois dois se segm gmen ento toss de uma uma dela delass é igua iguall à razã razão o entr entre e os resp respec ecti tivo voss se segm gmen ento toss correspondentes da outra, isto é, são segmentos de medidas proporcionais.

08. A figura abaixo mostra um segmento AD dividido em três partes iguais, onde AB = 2 cm, BC = 3

cm, CD = 5 cm. O segmento AG mede 13 cm e as retas BE, CF e DG são paralelas. Determine o comprimento dos segmentos AE, EF e FG.

09. Três lotes de terreno têm fundos para a rua “tenho que estudar” e para a rua “preciso estudar”,

como gráfico a seguir. As divisas laterais são perpendiculares à rua “tenho que estudar”. Qual a medida de cada lote do terreno, sendo que a frente mede 96 metros.

10. (UFF) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Sendo assim, o perímetro do circuito é: 11. (UNESP) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a

figura.

Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente, 12. Um feixe de três paralelas determina, numa transversal, os pontos  A,

e C e, numa outra  A’ , B’ e C’ . Se AB = 4 cm, BC = 7 cm,  A’B’  = 12 cm, determine transversal, os pontos correspondentes correspondentes A’  o segmento a medida do segmento B’C’ . B

13. Um triângulo  ABC tem os lados  AC e BC  medindo 32 cm e 36 cm, respectivamente. Por um

ponto M, do lado ponto N em

 AC 

 BC  .

14. Sabendo que

, a 10 cm do vértice C, traçamos uma paralela ao lado

Qual é a medida de

//

DE

 AB

, que determina um

CN  ?

BC,   determine

x em cada caso:

15. Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos consecutivos, que

medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em outra outra transv transvers ersal, al, sabend sabendo o que o segmen segmento to deste, deste, compr compreen eendid dido o entre entre a primei primeira ra e a quarta quarta paralela, medem 60 cm. 16. (FGV – SP) Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com r//u.

Sendo assim, o valor de (2x + 3y) é igual a:

17. (Fuvest – SP) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:

18. (Mack – SP) Na figura, se MN//AC, então a medida do ângulo alfa é igual a: