Angulo Entre Dos Rectas

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unidad unidad unidad unidad unidad unidad unidad unidad unidad Principal 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4.5 ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS

Sean l  y l  dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son θ1 y θ2 1

2

respectivamente. Al cortarse las rectas l 1 y l 2 forman cuatro ángulos iguales de dos e n dos (fig. 4.14.), esto es: β1 = β2 = θ1 ? θ2 y α1 = α2 = 1800 - β1.

..

Se define el ANGULO entrel 1 y l 2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l 2 hacia l 1 . En este caso, el ángulo entre l 1 y l 2 viene dado por: β1 = θ1 - θ2 (1)

Fig. 4.14 El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad (1) se tiene: tan β1 = tan (θ1 - θ2)

,

También, cot β1 = cot (θ1 - θ2)

(2)

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,

(3)

Puesto que m 1=tan θ1 y m 2=tan θ2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:

tan β1

y cot β1

,

(2)?

,

(3)?

Las ecuaciones (2)? y (3)? expresan la tangente y la cotangente del ángulo β1, entre las rectas l 1 y l 2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.

TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo) Sean l 1 y l 2 dos rectas no verticales con pendientes m 1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l 1 es paralela a l 2 (l 1 || l 2) ii) l 1 es perpendicular a l 2 (l 1

m1 = m2 l 2)

m1 . m2 = -1

Demostración En la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones

fig. 4.15.

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i. Suponga que

l 1 || l 2 y vea que m1 = m2. En efecto, como l 1 ||l 2, entonces los ángulos

θ1 y θ2 son iguales por correspondientes y en

consecuencia tan θ1 = tanθ2, es decir, m1 = m2 . Ahora, si m 1= m2 , se sigue de (2)? que tan β1 = 0, y de aquí, β1 = θ1 - θ2 = 0, de donde

θ1 = θ2 y por lo tanto l 1 y l 2 son paralelas.

ii. Si l 1 y l 2 son perpendiculares, entonces

y cot β1 = cot

este último valor en (3)? obtenemos: 0

Sustituyendo

, de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aquí 

se deduce que m1. m2 = -1.

y como m2=tanθ2 y m1=tanθ1 , se

Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces

tiene que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l 1 con mayor inclinación θ1. Teniendo en cuenta que tanto θ1 como θ2 son ángulos positivos y menores que 180 0, concluimos que: θ1 = 900 + θ2, de donde θ1 ? θ2 = 900 y por lo tanto las rectas l 1 y l 2 son perpendiculares.

Observaciones i. Si las rectas

l 1 y l 2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C =

0

y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que

y

, entonces las condiciones

de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente forma:

l 1 || l 2 l 1

l 2

Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición necesaria y suficiente para que dos rectas l 1 y l 2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones

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Ax + By + C = 0 y A 1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes

4.6. FORMA NORMAL DE LA LÍNEA RECTA

..

Consideremos la recta l que aparece en la figura 4.16. El eje trazado por el origen de coordenadas y perpendicular a l es llamado: Eje normal de l . El ángulo de inclinación de este eje (0 o 180o) es llamado: ángulo normal a l . El segmento dirigido del origen a la recta, medido a lo largo del eje normal, es llamado el intercepto normal de la recta y se denota por P. El signo de P coincide con el signo del intercepto de la recta con el eje y. Este criterio de signo para P no es aplicable a rectas paralelas al eje y. En este caso, P coincide con el intercepto de la recta con el eje  x y corresponde al caso para el cual α = 0. En la fig. 4.16. aparecen el ángulo normal α , el eje normal ON y el intercepto normal p para una recta l . El propósito ahora es entonces deducir la ecuación de la recta l , en términos de p y α . Para ello se considerarán tres casos.

.. ....

fig. 4.16.

Caso 1.

≠ 0o ,

≠ 90º

Sea Q el punto de intersección de la recta l con el eje normal. Entonces las coordenadas de Q son: x = p cosα e y = p sen α .

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Como tan α es la pendiente del eje normal, entonces pendiente de la recta l .

es la

En consecuencia, aplicando la forma PUNTO ? PENDIENTE (sección 4.4.3.) para la recta l , se puede escribir la ecuación en la forma:

(1)

ó y sen α - p sen2 α = - x cos α + p cos2 α  x cos α + y sen α = p (sen2 α + cos2 α ). Es decir,  x cos α + y sen α = p

(2)

La ecuación (2) es llamada la forma normal de la línea recta. Nótese que el coeficiente de y en la última ecuación es siempre positivo, puesto que 0o

Caso 2.

180º.

= 90º En este caso l es paralela al eje x y por lo tanto la ecuación de l  puede escribirse y ? P = 0 (3)

Caso 3.

= 0o En este caso l es paralela al eje y y P coincide con el intercepto de la recta l con el eje  x . Así que la ecuación de l puede escribirse en la forma: x ? P = 0 (4).

Puede notarse que las ecuaciones (3) y (4) pueden obtenerse de (2) haciendo α = 90º y α = 0o respectivamente. Por lo tanto, la forma normal de la linea recta es en cualquier caso, la expresada por la ecuación (2).

..

4.7. COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN

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DE DOS RECTAS

En la observación ii. al teorema sobre paralelismo y perpendicularidad entre rectas, se hizo notar que si dos rectas l 1 y l 2 cuyas ecuaciones vienen dadas por Ax + By + C = 0, A 1x + B1y + C1 = 0 con A, A1, B, B1

0,

..

entonces la proporción la relación

Cuando

determinaba el paralelismo entre las mismas. Mas aún, establece la coincidencia entre las rectas.

entonces las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A 1x + B 1y + C 1 =

0 se cortan o interceptan en un punto único P(x, y) del plano.

Las coordenadas x e y del punto de intersección son la solución del sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas: Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos vistos en los cursos de álgebra.

..

4.8. ECUACIONES DE LAS BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN

Considere dos rectas l y r no paralelas a ninguno de los ejes coordenados y sea P el punto de intersección entre ellas. Sean Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 las ecuaciones de l y r respectivamente.

....

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fig. 4.17. Sean b y b? las rectas que determinan las bisectrices de los ángulos que se forman en P. En geometría plana se demuestra que b y b? son perpendiculares y que además todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (fig. 4.17) Sea entonces P(x, y) un punto cualquiera de las bisectrices b o b?. De acuerdo a lo anterior, d(P, l ) = d(P, r ). Esto es,

(1) Equivalentemente,

(2) ó

(3)

(Recuérdese que

x = y o x = -y)

Las igualdades (2) y (3) proporcionan entonces las ecuaciones de las bisectrices b y b? de los ángulos que forman las rectas l  y r . Se puede demostrar fácilmente y lo dejamos como ejercicio para el lector, que dichas rectas son perpendiculares usando el concepto de pendiente.

....

4.9. LA PARALELA MEDIA Y LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

Considere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones:

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l : y = mx + b 1 ó l : mx ? y + b 1 = 0 r : y = mx + b 2 ó r: mx ? y + b2 = 0

Supóngase además que 0 < b 1 < b2. Sean B1 y B2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje y (fig. 4.18.).

..

fig. 4.18.

Por el punto medio B del segmento , trazamos la paralela a l . Dicha recta se conoce en geometría como la paralela media de l  y r . Es evidente que su intercepto con el eje y es

y como es paralela a l y r su pendiente es m.

Luego,

(3) es la ecuación de la paralela media de l y r .

Se puede determinar ahora la distancia entre l y r . Al llamar

y

De acuerdo a la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que:

Igualmente,

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. Pero

que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que:

es la distancia entre las rectas paralelas

4.10. FAMILIA DE RECTAS

l  y r 

.. ....

Considere la linea recta de ecuación y = mx + b (1) Una vez fijados los valores de m y b en (1), queda determinada una recta de pendiente m e intercepto b con el eje y.

..

Al fijar solamente m, la ecuación (1) contiene únicamente un parámetro b y representa una familia de rectas paralelas de pendiente m. (fig. 4.19 (a)).

fig. 4.19. Ahora, si fijamos b (intercepto con el eje y), la ecuación y = mx + b representa una familia de rectas que pasan por el punto B(0, b) (fig. 4.19.(b)). Asi, por ejemplo, la ecuación de la familia de rectas de pendiente 2 es: y = 2x + b, b El parámetro b es el intercepto de cada una de las rectas de la familia con el eje y.

∈

R .

Igualmente la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto B(0, 2) es y = mx + 2, m∈R .

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Ahora, el parámetro m es la pendiente de cada una de las rectas de l a familia.

Observación: En algunos problemas se puede utilizar la ecuación de una familia de rectas para obtener la ecuación de una recta de la familia que satisface una cierta propiedad adicional. Asi por ejemplo, si se desea encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 3) y es paralela a las rectas de la familia 3x + y ? k = 0 se procede asi: 1. Se obtiene la ecuación de la familia de rectas de la que hace parte la linea que se pide. Como la familia es paralela a la recta y = -3x + k, la pendiente de las rectas de la familia es ?3. Luego, y = -3x + b, b ∈R es la ecuación de las rectas de la familia. 2. La recta buscada de la familia es la recta que pasa por el punto P(1, -3). Luego, su intercepto b con el eje y es: -3 = -3(1) + b, de donde b = 0. Asi que la recta pedida es y = -3x.

Familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas no paralelas. Sean l y r dos rectas dadas no paralelas y de ecuaciones A 1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0 respectivamente. Entonces, para todo k

R , la expresión:

∈

A1x + B1y + C1 + k(A2x + B2y + C2) = 0 (1) representa una recta (diferente de r) que pasa por el punto de intersección P(x o, y o) de las rectas l y r . Nótese que cuando k = 0, obtenemos la ecuación de la recta l .

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fig. 4.20. Para demostrar la afirmación que indica la igualdad (1), se toma un número real k fijo y se escribe (1) en la forma: (A1 + kA2)x + (B 1 + kB2)y + (C1 + kC2) = 0 (2) que es la forma general de la ecuación de una recta. Nótese que ambos coeficientes (A 1 + kA 2) y (B 1 + kB 2) no pueden ser cero, porque de ser asi, se tendría:

, lo cual es contradictorio puesto que las rectas l  y r  no son paralelas. Tómese ahora, ko fijo, ko

R y considere la recta de ecuación:

∈

(A1 + koA2)x + (B1 + koB2)y + (C 1 + koC2) = 0 (3) Ahora, (A1 + koA2)xo + (B1 + koB2)yo + (C1 + koC2) = (A1xo + B1yo +C1) + ko(A2xo + B2yo +C2) (4) Pero como P(x o, y o) es el punto de intersección de l  y r , satisface entonces sus ecuaciones. Esto es, A1xo + B1yo +C1 = 0 y A 2xo + B2yo +C2 = 0. En consecuencia (4) se transforma en : (A1 + k oA2)xo + (B1 + k oB2)yo + (C 1 + k oC2) = 0 lo que indica que el punto P(x o, y o) está sobre la recta cuya ecuación es (3). Se ha demostrado asi que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de: A1x + B1y+C1 = 0 y A 2x + B2y+ C2 = 0 es: A1x + B1y+C1 + k(A2x + B2y+ C2) = 0, k

∈

R .

Para hallar la ecuación de una recta n que pase por el punto de intersección de otras dos rectas dadas l  y r , se escribe la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de l  y r  y se utiliza la información adicional sobre n para hallar el valor del

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parámetro k.

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