Analyse Numerique

Universit´e Louis Pasteur U.F.R. de Math´ematique et Informatique

L2 Math´ ematiques

Analyse Num´erique

S. Salmon

2005-2006

2

Table des mati` eres 0.1 0.2

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7 7 7 9 9 10 10 10 11

1 R´ esolution des ´ equations non lin´ eaires 1.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Localisation des z´eros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 M´ethode des approximations successives ou m´ethode du point 1.3.1 Une m´ethode classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 M´ethode du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Ordre d’une m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 M´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Convergence de la m´ethode de Newton . . . . . . . . . 1.4.2 Z´eros de multiplicit´e m . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Test d’arrˆet des it´erations . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Cas particulier : recherche des racines d’un polynˆ ome . . . . . 1.5.1 Suite de Sturm : localisation des racines . . . . . . . . 1.5.2 Approximation de la plus grande racine . . . . . . . . 1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 13 13 14 15 16 19 20 21 23 23 24 24 24 26

2 Normes matricielles et conditionnement 2.1 Rappel sur le produit scalaire . . . . . . 2.2 Rappel sur les normes vectorielles . . . . 2.3 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . 2.4 Conditionnement . . . . . . . . . . . . .

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27 27 27 29 30

3 R´ esolution de syst` emes lin´ eaires 3.1 Position du probl`eme . . . . . . 3.2 Cas des matrices triangulaires . 3.3 M´ethode de Gauss . . . . . . . 3.4 Strat´egie de pivot . . . . . . . .

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33 33 33 34 39

0.3 0.4 0.5 0.6

Qu’est-ce que l’analyse num´erique ? . . . . . . . Pourquoi un ordinateur fait-il des calculs faux ? 0.2.1 Ecriture en base b . . . . . . . . . . . . 0.2.2 Repr´esentation des nombres en machine 0.2.3 Erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qu’est-ce qu’un bon algorithme ? . . . . . . . . A quoi sert l’analyse num´erique ? . . . . . . . . Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES

4 3.5 3.6 3.7

Coˆ ut de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Existence de la factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas particulier des matrices sym´etriques d´efinies positives . . . . . . . . . . .

4 Interpolation polynomiale 4.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Polynˆ omes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 D´ecompte d’op´erations . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Diff´erences divis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Cas particulier : points ´equitablement r´epartis 4.4 Estimation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Interpolation d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 La m´ethode des splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Interpolation cubique de Hermite . . . . . . . . 4.7.2 Interpolation spline cubique . . . . . . . . . . .

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39 40 40

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43 43 43 46 46 48 50 52 53 54 54 54

5 Int´ egration num´ erique 5.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formules de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Formules de quadrature de type interpolation 5.2.2 Construction des formules de Newton-Cotes . 5.2.3 Formules composites . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Formules de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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55 55 55 55 57 63 64 67

6 D´ erivation num´ erique 6.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Approximation de la d´eriv´ee premi`ere . . . . 6.2.1 Formules `a deux points . . . . . . . . 6.2.2 Formules `a trois points . . . . . . . . . 6.3 Approximation de la d´eriv´ee seconde . . . . . 6.4 Approximation des d´eriv´ees d’ordre sup´erieur 6.5 M´ethode des diff´erences finies . . . . . . . . . 6.5.1 Exemples de m´ecanique . . . . . . . . 6.5.2 Principe de la m´ethode . . . . . . . .

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69 69 69 69 71 71 72 72 72 74

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77 77 78 80 83

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A R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles A.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 R´esolution num´erique : m´ethode d’Euler . . . . . . . A.3 M´ethodes `a un pas g´en´erique . . . . . . . . . . . . . A.4 M´ethodes `a pas multiples . . . . . . . . . . . . . . .

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B Ann´ ee 2002-2003

85

C Ann´ ee 2003-2004

115

D Ann´ ee 2004-2005

147

` TABLE DES MATIERES E Ann´ ee 2005-2006

5 179

6

` TABLE DES MATIERES

Introduction 0.1

Qu’est-ce que l’analyse num´ erique ?

Les calculatrices et les ordinateurs nous permettent de faire beaucoup d’op´erations et ce tr`es rapidement. Mais pour que les machines soient capables de faire ces calculs, il faut les programmer ! ...et donc ´ecrire les programmes. C’est l’objet essentiel de l’analyse num´erique qui s’est d´evelopp´ee avec l’apparition des ordinateurs (et qui est alors une sp´ecialit´e r´ecente des math´ematiques). Mais faire beaucoup d’op´erations ne veut pas dire faire n’importe quoi : les m´ethodes ont un “coˆ ut”, li´e d’une part au temps de calcul, ie au nombre d’op´erations ´el´ementaires (additions, soustractions, multiplications et divisions) a` faire, et d’autre part a` l’espace m´emoire n´ecessaire pour stocker les donn´ees et les r´esultats. Par ailleurs, l’ordinateur ne fait pas de calculs exacts (` a cause du mode de repr´esentation √ des r´eels 2 "= 1.4142136). Ceci constitue un inconv´enient car cela provoque des erreurs d’arrondis et de troncature. L’objectif de l’analyse num´erique est de d´evelopper des algorithmes, de les comparer entre eux (c’est-`a-dire d’estimer leurs performances a priori) et de les ´etudier afin de s´electionner les bons algorithmes.

0.2

Pourquoi un ordinateur fait-il des calculs faux ?

Tout simplement parce qu’il ne connaˆıt qu’un nombre fini de nombres ! Par exemple ceux qui poss`edent un nombre fini donn´e de chiffres non nuls apr`es la virgule, or ce n’est pas le cas √ 1 de ou de 2 qui ont un nombre infini de chiffres non nuls apr`es la virgule. 3

0.2.1

Ecriture en base b

La repr´esentation des nombres que nous utilisons quotidiennement est la repr´esentation en base 10 mais les ordinateurs travaillent en base 2 (repr´esentation binaire) ou en base 8 ou encore en base 16. D´ efinition 1 Ecriture en base b Soit b un entier strictement sup´erieur a ` 1. Pour tout entier n sup´erieur ou ´egal a ` 1, il existe 7

` TABLE DES MATIERES

8

un unique entier p et des entiers di (0 ≤ i ≤ p) compris entre 0 et b − 1 avec dp "= 0 tels que : n=

p !

not´e

di bi = dp dp−1 . . . d0

b

i=0

Exemple : • En base 10 :

234 = 2 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 4 ∗ 100

• En base 2 :

234 = 2 ∗ 117

= 2 ∗ (2 ∗ 58 + 1)

= 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ 29 + 1)

= 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ (2 ∗ 14 + 1) + 1)

= 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ 7 + 1) + 1)

= 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ (2 ∗ 3 + 1) + 1) + 1)

= 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ (2 ∗ 2 ∗ (2 ∗ (2 ∗ 1 + 1) + 1) + 1) + 1)

= 27 + 26 + 25 + 23 + 2.

2

Donc 234 = 11101010 . • En base 8 : 234 = 8 ∗ 29 + 2

= 8 ∗ (8 ∗ 3 + 5) + 2

= 3 ∗ 82 + 5 ∗ 8 + 2 8

Donc 234 = 352 . • En base 16 (on utilise les symboles de 0 a` 9 plus les lettres A, B, C, D, E, F ) : 234 = 16 ∗ 14 + 10 16

Donc 234 = EA . On g´en´eralise cette ´ecriture aux nombres r´eels. Mais attention le nombre de chiffres apr`es la virgule ´etant infini la somme va de −∞ `a p : D´ efinition 2 Ecriture en base b Soit b un entier strictement sup´erieur a ` 1. Pour tout r´eel x non nul, il existe un unique entier p et des entiers di (i ≤ p) compris entre 0 et b − 1 avec dp "= 0 tels que : x=

p !

i=−∞

not´ e

di bi = dp dp−1 . . . d0 , d−1 . . . d−q . . .

b

0.2. POURQUOI UN ORDINATEUR FAIT-IL DES CALCULS FAUX ? Exemple : • En base 10 :

0.625 = 0 ∗ 100 + 6 ∗

9

1 1 1 +2∗ 2 +5∗ 3 10 10 10

• En base 2 : 0.625 = 0.500 + 0.125 1 1 1 = 1∗ +0∗ 2 +1∗ 3 2 2 2 2

Donc 0.625 = 0.101 .

0.2.2

Repr´ esentation des nombres en machine

Dans un ordinateur, les nombres sont repr´esent´es en virgule flottante : D´ efinition 3 Repr´esentation en virgule flottante Soit x un r´eel non nul, en virgule flottante x s’´ecrit : x = ±0.a1 . . . aN .bE , avec b ∈ N∗ la base, a = 0.a1 . . . aN que l’on appelle la mantisse, 0 ≤ ai < b, a1 "= 0, E ∈ Z l’exposant compris entre deux entiers m et M (−m ≤ E ≤ M ) et N ∈ N le nombre de chiffres significatifs. N.B : Si E < −m ou E > M , le r´eel consid´er´e ne peut pas ˆetre repr´esent´e en virgule flottante dans ce syst`eme, l’ordinateur ne connaˆıt alors pas ce nombre, on parle d’“underflow”(si E < −m) ou d’“overflow”(si E > M ). D´ efinition 4 Arrondi Soit x un r´eel dont la repr´esentation en virgule flottante est x = ±0.a1 . . . aN aN +1 .bE , si la machine consid´er´ee n’a que N chiffres significatifs, il faut d´efinir Ar(x) l’arrondi de x : si aN +1 ≥ b/2, alors Ar(x) = ±0.a1 . . . aN .bE + 0. "0 .#$ . . 0% 1.bE , si aN +1 < b/2, alors Ar(x) = ±0.a1 . . . aN .bE .

N −1

N.B : Le cas aN +1 = b/2 est arbitraire ! L’erreur relative faite est alors : |x − Ar(x)| ≤ |x|

0.2.3

Erreurs

b −N b "2 #$ %

pr´ ecision machine

La premi`ere source d’erreurs dans les calculs faits par un ordinateur provient donc d’abord des erreurs d’arrondi sur les donn´ees. Puis des op´erations effectu´ees sur les r´eels en virgule flottante. Nous ne nous ´etendrons pas sur ce sujet (voir TAN licence) mais il faut ˆetre conscient

` TABLE DES MATIERES

10

que certaines op´erations, telles la soustraction de deux r´eels voisins par exemple, peut ˆetre une source d’erreurs non n´egligeables ! Exemple Soit x = 0, 124322.104 et y = 0, 123171.104 . Le calcul de x − y sur une machine a` 4 chiffres significatifs donne Ar(x) − Ar(y) = 0, 1243.104 − 0, 1231.104 = 0, 11.102 , il ne reste alors plus que deux chiffres significatifs ! (c’est ce que l’on appelle l’extinction de chiffres).

0.3

Qu’est-ce qu’un bon algorithme ?

Afin de choisir le meilleur algorithme possible, il faut pouvoir les comparer. Un bon algorithme est alors un algorithme : 1. le moins coˆ uteux possible en place m´emoire, 2. le moins coˆ uteux possible en temps de calcul : c’est-` a-dire qui minimise le nombre d’op´erations n´ecessaires. C’est ce qu’on appelle un probl`eme de complexit´e. Un exemple : Calcul d’un d´eterminant d’une matrice N × N . La m´ethode math´ematique de Cramer n´ecessite N × N ! op´erations ´el´ementaires (N ! additions et (N −1)∗N ! multiplications). Prenons N = 50, sachant que 50∗50! ≈ 15.1055 , et qu’un ordinateur peut faire environ 20 GFlops (ie 20 milliards d’op´erations `a la seconde), il faudrait quand mˆeme environ 1050 ans pour faire ce calcul. 3. le plus stable possible, ie le moins sensible aux erreurs d’arrondi que nous venons d’´evoquer, 4. le plus pr´ecis possible : la solution que j’obtiens est une solution approch´ee, je veux savoir si je suis pr`es ou loin de la solution exacte. C’est ce qu’on appelle l’estimation d’erreur.

0.4

A quoi sert l’analyse num´ erique ?

L’analyse num´erique est donc l’´etude d’algorithmes qui permettront de simuler des probl`emes physiques sur un ordinateur. Un probl`eme mod`ele est le probl`eme suivant. On se donne une corde de tension T > 0 attach´ee `a ses deux extr´emit´es et sur laquelle on tire avec une force f vers le haut. On cherche a` calculer le d´eplacement vertical u de la corde. Les physiciens nous donnent l’´equation que v´erifie u :   −T u$$ (x) = f (x) ∀x ∈ ]0, 1[ u(0) = 0.  u(1) = 0.

A nous de la r´esoudre !

0.5

Plan du cours

1. R´esolution des ´equations non lin´eaires 2. Normes matricielles et conditionnement 3. R´esolution de syst`emes d’´equations lin´eaires 4. Interpolation polynomiale et splines

0.6. BIBLIOGRAPHIE

11

5. Int´egration et d´erivation num´eriques 6. Diff´erences finies

0.6

Bibliographie

1. Cours de licence de Techniques d’Analyse Num´erique de Bopeng Rao (Universit´e Louis Pasteur, Strasbourg). 2. Cours de licence de Techniques d’Analyse Num´erique de Reinhard Schaefke (Universit´e Louis Pasteur, Strasbourg). 3. Cours d’analyse num´erique matricielle de Michel Sala¨ un (Conservatoire National des Arts et M´etiers, Paris). 4. Initiation a` l’Analyse Num´erique. Auteur : Th´eodor, Editeur : Masson (´epuis´e mais disponible a` la librairie du CNAM ou en biblioth`eque). 5. Analyse num´erique pour ing´enieurs (Deuxi`eme ´edition). Auteur : Andr´e Fortin, Editeur : Presses internationales Polytechnique. 6. Introduction a` l’analyse num´erique, Applications sous Matlab. Auteur : J´erˆome Bastien, Jean-No¨el Martin, Editeur : Dunod.

12

` TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

R´ esolution des ´ equations non lin´ eaires 1.1

Position du probl` eme

Soit une fonction f : R −→ R continue. On cherche les z´eros (encore dits les racines) de f ie les points x ∈ R tels que f (x) = 0. Ce probl`eme est important en particulier en optimisation o` u l’on cherche a` minimiser (ou maximiser) une fonction, car on cherche alors les points o` u la d´eriv´ee s’annule. S’il existe un intervalle [a, b] tel que f (a).f (b) < 0, alors par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existe au moins un z´ero de f dans l’intervalle [a, b]. Si de plus, f est strictement monotone alors f est une bijection et ce z´ero est unique dans [a, b].

1.2

Localisation des z´ eros

Quelle que soit la m´ethode utilis´ee, il est pr´ef´erable avant de chercher les z´eros d’une fonction, d’avoir une id´ee de leur localisation. Une m´ethode simple et efficace pour cela est la dichotomie. On suppose qu’il existe un intervalle [a, b] tel que f (a).f (b) < 0. * ) a+b et on d´etermine le nouvel intervalle contenant la racine soit On calcule alors f 2, , + ) * ) * + a+b a+b a+b a+b , soit , b , en regardant le signe des produits f f (a) et f f (b). a, 2 2 2 2 On recommence alors le processus sur l’intervalle deux fois plus petit et ainsi de suite. Au b−a . bout de n it´erations de cette proc´edure la longueur de l’intervalle obtenue est 2n A partir de maintenant, on suppose que f ne poss` ede qu’un seul z´ ero (not´ e l) dans [a, b]. 13

´ ´ ´ CHAPITRE 1. RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES

14

1.3

M´ ethode des approximations successives ou m´ ethode du point fixe

Mis a` part quelques cas simples comme les ´equations du second degr´e, il est impossible d’exprimer directement les solutions de f (x) = 0. Principe de la m´ethode des approximations successives On remplace l’´equation f (x) = 0 par une ´equation ´ equivalente x = g(x) et on construit la suite r´ecurrente d´efinie par : fix´e dans [a, b] x0 xn+1 = g(xn ), avec l’espoir que la suite (xn ) converge vers la solution l du probl`eme. Cette m´ethode est dite it´ erative (par opposition aux m´ethodes dites directes). Interpr´etation g´eom´etrique : Chercher l tel que f (l) = 0 revient a` chercher l’intersection du graphe de f avec l’axe des abscisses. Chercher l tel que g(l) = l revient a` chercher l’intersection du graphe de g avec la droite y = x c’est-`a-dire a` trouver le point fixe de g, d’o` u le nom de la m´ethode.

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Exemples : On peut remplacer l’´equation f (x) = 0 par l’´equation x = x − f (x) = g(x) ou par f (x) = g(x), α "= 0. x=x− α Questions : 1. La suite (xn ) converge-t-elle ?

´ ´ 1.3. METHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES OU METHODE DU POINT FIXE15 2. Si oui, converge-t-elle vers l solution du probl`eme ? 3. Question d’analyse num´erique : s’il y a convergence vers l, a` quelle vitesse converge-ton ? Peut-on estimer l’erreur commise sur l’approximation de l ? La r´eponse `a la question 2 est imm´ediate : La r´eponse `a la question 2 est oui. S’il y a convergence de la suite (xn ) d´efinie par : fix´e dans [a, b] x0 xn+1 = g(xn ), et que xn ∈ [a, b], ∀n ∈ N alors xn tend vers l tel que g(l) = l quand n tend vers l’infini. preuve Soit x = lim xn . Alors : n−→∞

xn+1 = g(xn ) ↓ ↓ x = g(x) car g est continue. Donc la limite de (xn ) v´erifie x = g(x) et si x ∈ [a, b] alors x = l.

!

Donc pour que (xn ) converge vers l, il suffit que (xn ) converge et que xn ∈ [a, b], ∀n ∈ N.

1.3.1

Une m´ ethode classique

M´ethode de la corde (ou m´ethode de Lagrange1 ) On remplace la courbe par une droite passant par deux points donn´es et on approche le point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses par le point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses. On recommence avec le nouveau point calcul´e et un des deux points de d´epart de l’algorithme. Equation de la droite (AB) : f (b) − f (a) y − f (a) = x−a b−a b−a f (b) − f (a) x1 − a = a − f (a) f (x1 ) − f (a) xn − a = a − f (a) f (xn ) − f (a) " #$ %

x1 = a − f (a) x2 soit xn+1

g(xn )

1

xn − b ou xn+1 = b − f (b) f (xn ) − f (b) #$ % " ge(xn )

Joseph-Louis Lagrange, fran¸cais ( ?) n´e en Italie, 1736-1813

´ ´ ´ CHAPITRE 1. RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES

16

:

1

-

5 9

5

6

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1.3.2

M´ ethode du point fixe

Soit la suite r´ecurrente suivante : x0 fix´e dans [a, b] xn+1 = g(xn ),

(1.1)

On suppose que g est une fonction continue, que l ∈ [a, b] et que l = g(l) ⇔ f (l) = 0. Th´ eor` eme 1 Condition suffisante de convergence de la m´ethode du point fixe. Si (1) g(x) est strictement contractante i.e ∃ 0 ≤ L < 1, ∀(x, y) ∈ [a, b]

|g(x) − g(y)| ≤ L |x − y|.

et si (2) x ∈ [a, b] =⇒ g(x) ∈ [a, b] Alors quel que soit x0 ∈ [a, b], la suite (xn )n∈N d´efinie par (1.1) converge vers l unique solution de l’´equation l = g(l) dans [a, b]. preuve • Si x0 ∈ [a, b], alors par l’hypoth`ese (2), x1 = g(x0 ) ∈ [a, b], x2 = g(x1 ) ∈ [a, b], . . . Donc xn ∈ [a, b], ∀n ∈ N et si la suite converge, elle converge vers l = limn−→∞ xn ∈ [a, b], solution de l = g(l). • Si la suite (xn )n∈N converge, alors l est unique. En effet, soient l1 et l2 , limites de (xn ), d’apr`es l’hypoth`ese (1) : |l1 − l2 | = |g(l1 ) − g(l2 )| ≤ L |l1 − l2 | avec L < 1, donc |l1 − l2 |(1 − L) ≤ 0,

´ ´ 1.3. METHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES OU METHODE DU POINT FIXE17 soit l1 = l2 . • Montrons que la suite converge : |xn+1 − xn | = |g(xn ) − g(xn−1 )| ≤ ≤ ≤ ≤

L |xn − xn−1 | L2 |xn−1 − xn−2 | ... Ln |x1 − x0 |

Donc en particulier : |xn+p − xn | = |xn+p − xn+p−1 + xn+p−1 − xn+p−2 + · · · + xn+1 − xn | ≤ |xn+p − xn+p−1 | + |xn+p−1 − xn+p−2 | + · · · + |xn+1 − xn | ≤ (Ln+p−1 + Ln+p−2 + · · · + Ln ) |x1 − x0 | 1 − Lp ≤ Ln |x1 − x0 | or 0 < 1 − Lp ≤ 1 1 − L Ln |x1 − x0 | |xn+p − xn | ≤ 1−L

Comme 0 ≤ L < 1, limn−→∞ Ln = 0 et limn−→∞ |xn+p − xn | = 0, ∀p ∈ N. La suite (xn )n∈N v´erifie le crit`ere de Cauchy2 donc converge. ! Remarque 1 • Strictement contractante implique continue. • Dans la pratique, il faut d’abord d´eterminer l’intervalle sur lequel la fonction g est contractante (si elle l’est !) puis ´eventuellement le r´eduire pour que g([a, b]) ⊂ [a, b]. • Faisons tendre p vers l’infini dans l’in´egalit´e de la preuve pr´ec´edente : |xn+p − xn | ≤ on obtient que |l − xn | ≤

Ln |x1 − x0 |, 1−L

Ln |x1 − x0 |, 1−L

Ln est une estimation de l’erreur entre la solution l et le n-i`eme it´er´e de la 1−L suite xn . Donc plus L est proche de 0, plus l est proche de xn . et que

Proposition 1 Soit g d´erivable sur [a, b]. Si g$ v´erifie maxx∈[a,b] |g$ (x)| = L < 1, alors g est une application strictement contractante dans [a, b]. preuve On utilise la formule des accroissements finis : g(x) − g(y) = g$ (ξ)(x − y) avec ξ ∈]x, y[, |g(x) − g(y)| = |g$ (ξ)||x − y| ≤ max |g$ (t)||x − y| = L |x − y|, t∈[a,b]

o` u 0 ≤ L < 1.

!

Remarque 2 • Cette proposition est bien utile car il est beaucoup plus facile de regarder $ le max de g que de v´erifier que g est contractante. 2

Augustin Louis Cauchy, fran¸cais, 1789-1857

´ ´ ´ CHAPITRE 1. RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES

18

• Attention : soit la fonction g(x) = x + 1/x pour x ≥ 1. On a g$ (x) = 1 − 1/x2 donc |g$ (x)| < 1 mais supx≥1 |g$ (x)| = 1 et |g(x) − g(y)| < |x − y|. Pourtant g n’a pas de point fixe, en effet x = g(x) ⇐⇒ 1/x = 0 ! Proposition 2 (Admise) Condition suffisante de non int´erˆet de la m´ethode du point fixe Si g$ est continue au voisinage de l tel que g(l) = l et si |g$ (l)| > 1, alors quel que soit x0 ∈ [a, b], diff´erent de l, soit la suite (xn )n∈N d´efinie par (1.1) ne converge pas vers l, soit elle est stationnaire en l ` a partir d’un certain rang. N.B : On dit alors de l qu’il est un point fixe r´epulsif. M´ethodologie : Apr`es avoir localis´e les z´eros de la fonction de f dans un intervalle de longueur donn´ee, on ´etudie la fonction g. Si g n’est pas d´erivable, on cherche a` savoir directement si g est contractante ou non dans l’intervalle. Si g est d´erivable, on ´etudie sa d´eriv´ee g$ et on estime g$ (l) : • Si |g$ (l)| < 1, la m´ethode converge. Il faut alors trouver un intervalle [a, b] dans lequel maxx∈[a,b] |g$ (x)| < 1 et g([a, b]) ⊂ [a, b] (il en existe forc´ement un aussi petit soit-il, cf proposition suivante). Proposition 3 (Admise) Si |g$ (l)| < 1, alors il existe un intervalle [a, b] contenant l pour lequel la suite d´efinie par x0 ∈ [a, b] et xn+1 = g(xn ) converge vers l.

5

?

5 ;

5

<

Fig. 1.1 – 0 ≤ g$ (l) < 1 • Si |g$ (l)| > 1, on ´elimine la m´ethode, cf Proposition 2 et Fig. 1.3. Exemples

´ ´ 1.3. METHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES OU METHODE DU POINT FIXE19

5

;

5

<

5?

Fig. 1.2 – −1 < g$ (l) ≤ 0 • g(x) = x − f (x). La condition |g$ (l)| < 1 devient |1 − f $ (l)| < 1. • g(x) = x − f (x)/α. La condition |g$ (l)| < 1 devient |1 − f $ (l)/α| < 1. Donc il faut choisir α proche de f $ (l). N.B : Le choix α = f $ (x) donne la m´ethode de Newton que nous ´etudierons particuli`erement. af (x) − xf (a) • g(x) = (Lagrange). f (x) − f (a) g$ (l) = or f (a) = f (l) + (a − l)f $ (l) +

1.3.3

Ordre d’une m´ ethode

f (a) + (l − a)f $ (l) , f (a)

(a − l)2 $$ f (c) pour c ∈]a, l[. La condition devient donc 2 . . . (a − l)2 f $$ (c) . . < 1. . . . 2f (a)

D´ efinition 5 La m´ethode d´efinie par xn+1 = g(xn ) est d’ordre p si limite dans R+ quand n tend vers l’infini.

|xn+1 − l| |en+1 | = a une |xn − l|p |en |p

` l’´ etape n. Remarque 3 Le terme en = |xn − l| est l’erreur a Dans le cas o` u g est p fois d´erivable, on a : en+1 = xn+1 −l = g(xn )−g(l) = (xn −l)g$ (l)+

(xn − l)2 $$ (xn − l)p (p) g (l)+· · ·+ g (l)+(xn −l)p εn (xn −l) 2 p!

´ ´ ´ CHAPITRE 1. RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES

20

5 5 ? ;

5

<

Fig. 1.3 – g$ (l) > 1 e2n $$ epn g (l) + · · · + g(p) (l) + epn εn (en ). 2 p! La m´ethode est dite d’ordre p si et seulement si g$ (l) = g$$ (l) = · · · = g(p−1) (l) = 0 et g(p) (l) "= 0.

avec limn−→∞ εn = 0, soit, en+1 = en g$ (l) +

eaire. En particulier, si g$ (l) "= 0, la m´ethode est d’ordre 1 et on a une convergence dite lin´ Ce qui est le cas g´en´eral des m´ethodes d’aproximations successives. |en+1 | ≈ |g$ (l)| s’appelle le coefficient de r´ eduction asymptotique de l’erreur. |en | Plus ce rapport est petit, plus vite l’erreur d´ecroˆıt. Le rapport

1.4

M´ ethode de Newton

• M´ethode de Newton3 On remplace la courbe par la tangente a` la courbe en un point donn´e et on approche le point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses par le point d’intersection de la tangente avec l’axe des abscisses. On recommence avec le nouveau point calcul´e. Equation de la tangente a` la courbe en A : y − f (a) = f $ (a) x−a

3

Sir Isaac Newton, anglais, 1643-1727

´ 1.4. METHODE DE NEWTON

21

185 ? 5 ;

=>&3,.'-.'-@'A&,% 9

Fig. 1.4 – M´ethode de Newton f (a) f $ (a) f (x1 ) = x1 − $ f (x1 ) f (xn ) = xn − $ f (xn ) " #$ %

x1 = a − x2 soit xn+1

g(xn )

Attention : f $ (xn ) "= 0, ∀n ∈ N. Soit donc la m´ethode de Newton :  x0 

1.4.1

 xn+1

fix´e dans [a, b] f (xn ) = g(xn ) = xn − $ . f (xn )

(1.2)

Convergence de la m´ ethode de Newton

Th´ eor` eme 2 Convergence globale de la m´ ethode de Newton 2 Si f ∈ C ([a, b]) et est telle que 1. f (a)f (b) < 0

2. ∀x ∈ [a, b],

3. ∀x ∈ [a, b],

f $ (x) "= 0 (stricte monotonie)

f $$ (x) "= 0 (convexit´e dans le mˆeme sens sur l’intervalle [a, b]),

alors ∀x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 )f $$ (x0 ) > 0, la suite (xn )n∈N d´efinie par (1.2) converge vers l’unique solution l de f (x) = 0 dans [a, b]. preuve

22

´ ´ ´ CHAPITRE 1. RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES • Les hypoth`eses (1) et (2) assurent l’existence et l’unicit´e de l dans [a, b]. •

f (xn ) f $ (xn ) f (l) − f (xn ) xn − l + f $ (xn ) (l − xn )f $ (xn ) + (l − xn )2 f $$ (ξn )/2 xn − l + avec ξn ∈]xn , l[ f $ (xn ) ) * f $ (xn ) + (l − xn )f $$ (ξn )/2 (xn − l) 1 − f $ (xn ) $$ f (ξn ) (xn − l)2 $ 2f (xn )

xn+1 − l = xn − l − = = = =

Si f $$ (x) et f $ (x) ont mˆeme signe sur [a, b], alors quel que soit n ≥ 0, xn+1 − l > 0. Donc la suite (xn )n∈N∗ est minor´ee par l. Si f $$ (x) et f $ (x) sont de signe contraire sur [a, b], alors quel que soit n ≥ 0, xn+1 −l < 0. Donc la suite (xn )n∈N∗ est major´ee par l. ∗ f $$ (x) > 0 ∀x0 ∈ [a, b] donc f (x0 ) > 0 par hypoth`ese. ∗∗ f $ (x) > 0 l < x1 = x0 −

f (x0 ) < x0 f $ (x0 )

donc ∀n ∈ N, l < xn . Comme f (xn ) est du mˆeme signe que f (x0 ) > 0 (car f ne s’annule qu’en l et xn > l), alors xn+1 = xn −

f (xn ) < xn , f $ (xn )

donc la suite est d´ecroissante et minor´ee par l donc convergente. ∗∗ f $ (x) < 0 l > x1 = x0 −

f (x0 ) > x0 f $ (x0 )

donc ∀n ∈ N, l > xn . Comme f (xn ) est du mˆeme signe que f (x0 ) > 0, alors xn+1 = xn −

f (xn ) > xn , f $ (xn )

donc la suite est croissante et major´ee par l donc convergente. ∗ f $$ (x) < 0 ∀x0 ∈ [a, b] donc f (x0 ) < 0 par hypoth`ese. Mˆemes arguments que dans le 1er cas. N.B : Pour une racine multiple, les hypoth`eses de ce th´eor`eme ne peuvent ˆetre v´erifi´ees !

!

´ 1.4. METHODE DE NEWTON

23

Th´ eor` eme 3 Si l est un z´ero simple, la m´ethode de Newton est d’ordre 2 au moins. preuve

f (x)f $$ (x) (si f $$ existe) donc comme f (l) = 0, on a g$ (l) = 0 et la m´ethode (f $ (x))2 est d’ordre 2 au moins. On a que g$ (x) =

g$$ (x) =

[f $ (x)f $$ (x) + f (x)f $$$ (x)](f $ (x))2 − 2f $ (x)f $$ (x)2 f (x) (f $ (x))4

f $$ (l) (d´efini car f $ (l) "= 0 si l est un z´ero simple). Donc si f $$ (l) "= 0, la m´ethode f $ (l) de Newton est d’ordre 2 et si f $$ (l) = 0, la m´ethode de Newton est d’ordre sup´erieur `a 2. ! d’o` u g$$ (l) =

Remarque 4 Si la m´ethode est d’ordre 2, la convergence est dite quadratique. On a : en+1 = e2n

g$$ (l) + e2n ε(en ) 2

g$$ (l) soit log10 |en+1 | = 2 log10 |en | − c o` u c = − log10 | |, ce qui signifie que la pente de l’erreur 2 en fonction du nombre d’it´erations est de 2 et qu’` a chaque it´eration, on multiplie par 2 le nombre de chiffres exacts apr`es la virgule !

1.4.2

Z´ eros de multiplicit´ em

Proposition 4 Si l est un z´ero de f de multiplicit´e m, la m´ethode it´erative  x0 fix´e dans [a, b]  f (xn ) .  xn+1 = g(xn ) = xn − m $ f (xn )

est d’ordre sup´erieur ou ´egal a ` 2.

preuve On r´esout |f (x)|1/m = 0 qui admet l comme z´ero simple. g(x) = x −

f 1/m (x) f (x) f 1/m (x) = x − =x−m $ . 1/m $ 1/m−1 $ f (x) (f (x)) (1/m)f (x)f (x) !

1.4.3

Test d’arrˆ et des it´ erations

Quelle que soit la m´ethode it´erative utilis´ee, un des points importants de la programmation de ces m´ethodes est le choix du test d’arrˆet des it´erations. Deux solutions : 1. |xn+1 − xn | ≤ ε avec ε la pr´ecision d´esir´ee. Mais attention, il peut arriver que |xn+1 − xn | soit petit sans qu’il y ait solution au probl`eme de point fixe. 2. |f (xn )| ≤ η avec η valeur fix´ee. Mais comme f (xn ) = f (xn ) − f (l) ≈ (xn − l)f $ (l), cette valeur d´epend de |f $ (l)| !

´ ´ ´ CHAPITRE 1. RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES

24

1.5

Cas particulier : recherche des racines d’un polynˆ ome

Dans le cas des polynˆ omes, on est amen´e `a se poser deux questions diff´erentes en fonction du probl`eme : 1. localiser et trouver toutes les racines d’un polynˆ ome, 2. trouver la plus grande en module.

1.5.1

Suite de Sturm : localisation des racines

On construit une suite de Sturm4 ` a l’aide de l’algorithme d’Euclide5 pour trouver le PGCD de deux polynˆ omes. Soit `a trouver les racines du polynˆ ome Pn (x). $ On pose f0 (x) = Pn (x) et f1 (x) = Pn (x), alors f2 (x) = −R(x) o` u f0 (x) = Qf1 (x) + R(x), degR < degf1 < degf0 ...

u fn−1(x) = Qfn (x) + R(x), degR < degfn . fn+1 (x) = −R(x) o` L’algorithme se termine quand fm (x) est constant, ce qui est sˆ ur d’arriver car a` chaque ´etape, on diminue d’au moins une unit´e le degr´e du polynˆ ome. Deux cas se pr´esentent alors : 1er cas fm = 0, ce qui veut dire PGCD(f0 , f1 ) =PGCD(Pn , Pn$ ) = fm−1 . Donc Pn a au moins Pn des racines doubles, on recommence alors avec qui n’a que des racines simples. fm−1 2`eme cas fm "= 0, ce qui veut dire PGCD(f0 , f1 ) = 1, Pn n’a que des racines simples. Th´ eor` eme 4 Soit (f0 , f1 , . . . , fm ) suite de Sturm dans [a, b]. Alors le nombre de racines r´eelles distinctes dans l’intervalle [a, b] de f0 (x) = Pn (x) en supposant que ni a, ni b ne sont racines, est ´egal a ` la diff´erence entre le nombre de changements de signe de la suite (f0 (a), f1 (a), . . . , fm (a)), not´e V (a), et le nombre de changements de signe de la suite (f0 (b), f1 (b), . . . , fm (b)), not´e V (b), soit |V (b) − V (a)|. Ainsi, on peut localiser et isoler toutes les racines d’un polynˆome, et utiliser une des m´ethodes vues pour l’approcher.

1.5.2

Approximation de la plus grande racine

Th´ eor` eme 5 Soit P un polynˆ ome a ` coefficients r´eels de degr´e sup´erieur ou ´egal a ` 2 admettant n racines r´eelles : ξ1 > ξ2 > · · · > ξn Alors pour toute valeur initiale x0 > ξ1 , la suite de Newton (xn )n∈N est strictement d´ecroissante et converge vers ξ1 . 4 5

Jacques Charles Fran¸cois Sturm, suisse, 1803-1855 Euclide d’Alexandrie, 325-265 avant JC ( ?)

ˆ 1.5. CAS PARTICULIER : RECHERCHE DES RACINES D’UN POLYNOME

25

preuve • Supposons que P soit strictement positif pour x > ξ1 . D’apr`es le th´eor`eme de Rolle6 , P $ admet (n − 1) racines telles que : ξi+1 < ηi < ξi , 1 ≤ i ≤ n − 1

donc P $ > 0 pour x > ξ1 . D’apr`es le th´eor`eme de Rolle, P $$ admet (n − 2) racines telles que : ξi+2 < ηi+1 < µi < ηi < ξ1 , 1 ≤ i ≤ n − 2

donc P $$ > 0 pour x > ξ1 .

x1 = x0 −

P (x0 ) P (x0 ) − P (ξ1 ) = x0 − , $ P (x0 ) P $ (x0 )

or P (ξ1 ) − P (x0 ) = (ξ1 − x0 )P $ (x0 ) + (ξ1 − x0 )2 P $$ (η), η ∈]ξ1 , x0 [. Ce qui donne : x1 = ξ1 + (ξ1 − x0 )2

P $$ (η) , P $ (x0 )

or, par hypoth`ese x0 > ξ1 et η > ξ1 , donc P $$ (η) > 0 et P $ (x0 ) > 0 d’o` u x1 > ξ1 . Et comme d’autre part, x0 > x1 , on peut montrer par r´ecurrence que (xn )n∈N d´ecroˆıt et qu’elle est minor´ee par ξ1 donc convergente. Sa limite ne peut ˆetre que l’unique solution de P (x) = 0 dans [ξ1 , x0 ] (d’apr`es le th´eor`eme (2)) c’est-`a-dire ξ1 .

P P$ P $$

ξ1 0

+3 +3 +3

• Si l’on suppose que P est strictement n´egatif pour x > ξ1 , les arguments restent les mˆemes. P P$ P $$ N.B Soit

 

x0

ξ1 0

−4 −4 −4

fix´e

 xn+1 = g(xn ) = xn −

!

P (xn ) . P $ (xn )

Une fois trouv´ee ξ1 , la plus grande racine, on pose P1 (x) = P1$ (x) =

6

P (x) , alors x − ξ1

P $ (x) P (x) − , et pour trouver ξ2 , on utilise la m´ethode suivante : x − ξ1 (x − ξ1 )2  x0 fix´e  P (xn ) .  xn+1 = g(xn ) = xn − $ P (xn ) − P (xn )/(xn − ξ1 )

Michel Rolle, fran¸cais, 1652-1719

26

´ ´ ´ CHAPITRE 1. RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES

P (x) , alors (x − ξ1 ) . . . (x − ξj ) j ! 1 P $ (x) P (x) $ − , et pour trouver ξj+1 , on utilise P1 (x) = (x − ξ1 ) . . . (x − ξj ) (x − ξ1 ) . . . (x − ξj ) x − ξi i=1 la m´ethode suivante :  x0 fix´e  P (xn ) . /  xn+1 = g(xn ) = xn − $ P (xn ) − P (xn ) ji=1 1/(x − ξi ) Une fois ξ1 , . . . , ξj trouv´ees, on pose P1 (x) =

1.6

Conclusion

L’avantage de la m´ethode du point fixe est que si elle converge, elle convergera quelle que soit la valeur initiale choisie dans l’intervalle de convergence. Son inconv´enient principal est sa lenteur de convergence, on peut n´eanmoins l’acc´el´erer (cf TD et TP). La m´ethode de Newton est plus rapide car la vitesse de convergence est d’ordre au moins 2 ; la difficult´e r´eside dans le choix de la valeur initiale ! Les diff´erentes m´ethodes propos´ees ont leurs avantages et leurs inconv´enients, on choisira celle qui convient le mieux au probl`eme pos´e ! On voit qu’il est donc n´ecessaire d’´etudier correctement les algorithmes avant de se lancer dans la programmation ! C’est la d´emarche obligatoire en analyse num´erique.

Chapitre 2

Normes matricielles et conditionnement 2.1

Rappel sur le produit scalaire

Soit E un espace vectoriel sur R. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilin´eaire sym´etrique, d´efinie positive c’est-`a-dire φ : E × E → R telle que 1. ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, φ(λx + µy, z) = λφ(x, z) + µφ(y, z) ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, φ(z, λx + µy) = λφ(z, x) + µφ(z, y)

2. ∀x, y ∈ E, φ(x, y) = φ(y, x)

3. ∀x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0 et φ(x, x) = 0 ⇔ x = 0.

2.2

Rappel sur les normes vectorielles

Une norme vectorielle est une application de 5 • 5 : RN → R+ telle que

1. 5x5 = 0 ⇔ x = 0

2. ∀λ ∈ R, ∀x ∈ RN , 5λx5 = |λ|5x5

3. ∀x, y ∈ RN , 5x + y5 ≤ 5x5 + 5y5 (in´egalit´e triangulaire).

Exemples Pour 1 ≤ p < ∞, on d´efinit la norme p par : R

N

N ! 6 x 7−→ 5x5p = ( |xi |p )1/p . i=1

On retrouve la norme euclidienne pour p = 2. Proposition 5 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz1 ∀x, y ∈ RN , |φ(x, y)| ≤ 1

0

φ(x, x)

Hermann Amandus Schwarz, allemand, 1843-1921

27

0

φ(y, y) = 5x55y5

28

CHAPITRE 2. NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT

preuve Pour tout α ∈ R, on a : 0 ≤ φ(x + αy, x + αy) = φ(x, x) + 2αφ(x, y) + α2 φ(y, y). Or un trinˆ ome est de signe constant si et seulement s’il n’a aucune racine r´eelle c’est-`a-dire si et seulement si son discriminant r´eduit est n´egatif, soit : ∆$ = φ(x, y)2 − φ(x, x)φ(y, y) ≤ 0. Et c’est la relation demand´ee. L’´egalit´e n’est possible que si x et y sont li´es.

!

Corollaire Cette in´egalit´e 0 permet de d´emontrer que pour tout produit scalaire φ, on peut d´efinir une norme : 5x5 = φ(x, x). preuve 1. 5x5 = 0 ⇔ φ(x, x) = 0 ⇔ x = 0. 0 0 2. ∀λ ∈ R, ∀x ∈ RN , 5λx5 = φ(λx, λx) = λ2 φ(x, x) = |λ|5x5 N 2 3. ∀x, y) ≤ φ(x, x) + 0 y ∈ R0, 5x + y5 = φ(x + 0y, x + y) = 0 φ(x, x) 2+ 2φ(x, y) + φ(y, 2 2 φ(x, x) φ(y, y) + φ(y, y) ≤ ( φ(x, x) + φ(y, y)) = (5x5 + 5y5) ! Corollaire Soit A une matrice carr´ee d’ordre N , sym´etrique (A 0 = TA) et d´efinie N positive (∀x ∈ R \ {0} , (Ax/x) > 0) alors 5x5A = (Ax/x) est une norme. preuve • Comme A est d´efinie positive, 5 • 5A existe et est `a valeurs positives. • D’apr`es le corollaire pr´ec´edent, il suffit de d´emontrer que l’application -

φ : RN × RN (x, y)

→ R 7−→ (Ax/y)

d´efinit un produit scalaire. C’est une forme bilin´eaire, puisque c’est le produit scalaire de deux vecteurs de RN . (Ax/y) = TyAx (x/Ay) = T(Ay)x = Ty TAx, donc si A est sym´etrique (x/Ay) = TyAx = (Ax/y). φ(x, x) = (Ax/x) ≥ 0 car A est semi-d´efinie positive et φ(x, x) = (Ax/x) = 0 ⇔ x = 0 car A est d´efinie positive. N.B (x/y) = yx = T

N !

xi yi

i=1

(Ax/y) = TyAx (x/Ay) = T(Ay)x = Ty TAx, donc si A est sym´etrique (x/Ay) = TyAx = (Ax/y).

!

29

2.3. NORMES MATRICIELLES Th´ eor` eme 6 (Admis) Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont ´equivalentes ie ∃ α, β ∈ R/ ∀x ∈ RN , α5x5i ≤ 5x5j ≤ β5x5i .

2.3

Normes matricielles

D´ efinition 6 Une norme matricielle est une application, qui a ` une matrice associe un nombre r´eel positif ou nul, telle que 1. 5A5 = 0 ⇔ A = 0

2. ∀λ ∈ R, ∀A ∈ RN ×N , 5λA5 = |λ|5A5

3. ∀A, B ∈ RN ×N , 5A + B5 ≤ 5A5 + 5B5 (in´egalit´e triangulaire). 4. ∀A, B ∈ RN ×N , 5A.B5 ≤ 5A55B5.

D´ efinition 7 Une norme matricielle 5 • 5M et une norme vectorielle 5 • 5V sont dites compatibles si et seulement si : ∀A ∈ RN ×N , ∀x ∈ RN , 5Ax5V ≤ 5A5M 5x5V . Proposition 6 A partir de toute norme vectorielle 5 • 5V , on peut d´efinir une norme matricielle 5 • 5M compatible, dite la norme matricielle subordonn´ ee ` a la norme vectorielle par 5Ax5V . 5A5M = sup x∈RN \{0} 5x5V preuve • donc

|λ|5Ax5V 5Ax5V 5A(λx)5V = = ∀x "= 0, 5λx5V |λ|5x5V 5x5V 5Ax5V 5Ax5V = sup . )x)V =1 5x5V x∈RN \{0} 5x5V sup

Or la sph`ere unit´e est un ensemble ferm´e born´e et la norme est une fonction continue. Donc le supremum existe et est atteint sur la sph`ere, donc cette norme 5 • 5M est bien d´efinie. • ∀A, B ∈ RN ×N , 5A.B5 =

5ABx5V x∈RN \{0} 5x5V sup

= ≤

5A(Bx)5V 5Bx5V 5x5V x∈RN \{0} 5Bx5V sup

5Ay5V y∈RN \{0} 5y5V sup

≤ 5A55B5

5Bx5V x∈RN \{0} 5x5V sup

• La compatibilit´e est ´evidente. Remarque 5 Pour toute norme matricielle subordonn´ee 5 • 5M : 5I5M = 1.

!

30

CHAPITRE 2. NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT

Exemples • Norme de Frobenius2

1 2! m 4 2 n ! 5A5 = 3 a2ij = tr(TAA) i=1 j=1

√

N.B : 5I5 = n (donc 5 • 5 n’est pas subordonn´ee `a une norme vectorielle). • Normes matricielles subordonn´ees aux normes vectorielles : 5A51 = sup

n !

|aij |

5A5∞ = sup

m !

|aij |

1≤j≤m i=1

1≤i≤n j=1

5A52 = sup x+=0

5Ax52 = 5x52

4

ρ(TAA)

u λi est valeur propre de A. o` u ρ est le rayon spectral de A ie ρ(A) = maxi |λi | o`

2.4

Conditionnement

On consid`ere le syst`eme Ax = b o` u A est inversible. Dans la pratique, b peut ˆetre entach´e d’erreur (erreur de mesures, erreurs d’arrondi . . . ) et le syst`eme `a r´esoudre devient : Ay = b + δb avec y = x + δx Le but est de mesurer l’erreur relative commise sur x, i.e probl`eme :

5δb5 . 5b5

5δx5 en fonction des donn´ees du 5x5

A(x + δx) = b + δb Ax + Aδx = b + δb or Ax = b Aδx = δb δx = A−1 δb 5δx5 = 5A−1 δb5 ≤ 5A−1 55δb5 5δb5 5δx5 ≤ 5A−1 5 5x5 5x5 Comme Ax = b, 5b5 ≤ 5A5 5x5, on obtient : 5δx5 5x5

5δb5 ≤ 5A−1 55A5 " #$ % 5b5 =Cond(A)

Le conditionnement de A, not´e Cond(A), donne une estimation de l’amplification de l’erreur commise sur x par rapport a` l’erreur sur les donn´ees b. 2

Ferdinand Georg Frobenius, allemand, 1849-1917

31

2.4. CONDITIONNEMENT

Si Cond(A) est petit, on dit que la matrice est bien conditionn´ ee et l’erreur commise sur x est du mˆeme ordre de grandeur que celle commise sur les donn´ees b. Inversement, si Cond(A) est grand, on dit que la matrice est mal conditionn´ ee et l’erreur commise sur x est plus grande que l’erreur commise sur les donn´ees b. Propri´et´es : 1. Cond(A) = Cond(A−1 ) 2. Cond(αA) = Cond(A), ∀α ∈ R∗

3. La matrice identit´e est la matrice la mieux conditionn´ee : 5A−1 A5 = 5I5 = 1.

4. 1 = 5I5 = 5A−1 A5 ≤ 5A−1 5 5A5 = Cond(A).

32

CHAPITRE 2. NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT

Chapitre 3

R´ esolution de syst` emes lin´ eaires 3.1

Position du probl` eme

On cherche a` r´esoudre un syst`eme lin´eaire d’´equations, ie on cherche le vecteur x ∈ RN tel que Ax = b o` u A ∈ RN ×N est une matrice carr´ee, suppos´ee inversible (detA "= 0) et b ∈ RN un vecteur donn´e. Ce probl`eme est un des plus importants de l’analyse num´erique, nous allons voir une m´ethode pour le r´esoudre mais il en existe beaucoup d’autres.

3.2

Cas des matrices triangulaires

Soit le syst`eme suivant `a r´esoudre :  a11 x1 = b1     a21 x1 + a22 x2 = b2 . .. . .. ..  .    an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn

Ce syst`eme ´equivaut a` trouver x vecteur de RN tel que Ax = b avec :      x1 b1 a11   x2   b2   a21 a22      Ax =  .   ..  =  ..  . . .  .   .   . . xn bn an1 an2 . . . ann

Comme la matrice est triangulaire inf´ erieure, detA = Πni=1 aii , cette matrice est inversible si et seulement si aii "= 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n. Le vecteur x s’obtient facilement par une descente :                   

x1 = x2 = .. . xi .. .

=

b1 /a11 (b2 − a21 x1 )/a22 (bi −

xn = (bn −

/i−1

j=1 aij xj )/aii

/n−1 j=1

33

aij xj )/ann

´ ` ´ CHAPITRE 3. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES

34

Comptons le nombre d’op´erations n´ecessaires `a une descente : pour le calcul de xi : (i − 1)⊗, (i − 2) + 1⊕, 1/, donc au total n ! i=1

2(i − 1) + n = 2

n−1 ! i=0

i + n = n(n − 1) + n ≈ n2 op´erations.

Soit maintenant le syst`eme suivant `a r´esoudre :  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. ..  . . .    ann xn = bn

Ce syst`eme ´equivaut a` trouver x vecteur de RN tel que Ax = b avec : 

a11 a12 . . .  a22 . . .  Ax =  ..  .



a1n a2n .. .

   

ann

x1 x2 .. . xn





    =  

b1 b2 .. . bn

    

Comme la matrice est triangulaire sup´ erieure, detA = Πni=1 aii , cette matrice est inversible si et seulement si aii "= 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n. Le vecteur x s’obtient facilement par une remont´ ee :                   

x1 = x2 = .. . xi .. .

/ (b1 − nj=2 aij xj )/a11 / (b2 − nj=3 aij xj )/a22

= (bi −

xn =

/n

j=i+1 aij xj )/aii

bn /ann

Comptons le nombre d’op´erations n´ecessaires `a une remont´ee : pour le calcul de xi : n − (i + 1) + 1 = (n − i)⊗, (n − i)⊕, 1/, donc au total n ! i=1

3.3

2(n − i) + n = 2

n ! i=1

n−

n ! i=1

i + n = 2n2 − n(n + 1) + n ≈ n2 op´erations.

M´ ethode de Gauss

(Gauss1 ) Comme les syst`emes triangulaires sont faciles et ´economiques a` r´esoudre, l’objectif est de transformer tout syst`eme lin´eaire en syst`eme triangulaire ´equivalent. 1

Johann Carl Friedrich Gauss, allemand, 1777-1855

´ 3.3. METHODE DE GAUSS

35

Soit a` r´esoudre le syst`eme Ax = b, on suppose  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn =     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = ..  .    an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn =

o` u pour 2 ≤ i ≤ n :

que a11 "= 0 : b1 b2 .. .

L1 ← L2 ← .. .

bn

Ln ← Ln −

L1 L2 − aa21 L1 11 an1 a11 L1

  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    (2) (2) (2)  a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. ..  . .    (2) (2) (2)  an2 x2 + · · · + ann xn = bn (2)

ai1 a1j , a11 ai1 (1) = bi − b1 , a11

aij = aij − (2)

bi Interpr´etation matricielle Soit la matrice L(1) telle que : 

L(1)

     =    

1 a21 − a11 a31 − a11 .. . an1 − a11

0 ... 1



.. .

0 .. . 0 ...

alors le calcul de L(1) b et L(1) A donne :        L(1) b =      

0

..

. 0 0 1

b1 a21 − b1 + b2 a11 .. . ai1 − b1 + bi a11 .. . an1 b1 + bn − a11

a11 a12  0 a22 − a21 a12  a11   0 a − a31 a (1) 32 12 L A= a11   . ..  .. .  an1 a12 0 an2 − a11

... ... ...

...

          



       = b(2)     

a1n a21 a2n − a1n a11 a31 a3n − a1n a11 .. . an1 ann − a1n a11



     = A(2)    

´ ` ´ CHAPITRE 3. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES

36 Donc on a :

Ax = b ⇐⇒ L(1) Ax = L(1) b ⇐⇒ A(2) x = b(2) . A l’´etape (r) On a ´elimin´e x1 des ´equations 2 `a n, x2 des ´equations 3 `a n et xr−1 des ´equations r `a n. On (r) suppose que arr , que l’on appelle le pivot, est non nul.

 (1) (1)  a11 x1 + a12 x2 + ...    ..   .     (r−1) (r−1)  ar−1r−1 xr−1 + ar−1r xr + . . .   (r) arr xr + . . .   (r)   ar+1r xr + . . .    ..    .    (r) anr xr + . . .

(1)

+

a1n xn

=

+ + +

(r−1) ar−1n xn (r) arn xn (r) ar+1n xn

+

ann xn

(r)

(1)

b1 .. .

= (r−1) = br−1 (r) = br .. = . .. . = (r) = bn

L1

← L1 .. .

Lr−1 ← Lr−1 Lr ← Lr

Ln

← Ln −

On obtient alors la matrice A(r+1) et le vecteur b(r+1) tels que : pour r + 1 ≤ i ≤ n et r+1≤j ≤n : (r)

(r+1)

= aij −

(r)

air

(r+1) bi

(r) bi

air

aij

=

(r) a , (r) rj arr

(r)

−

b(r) , (r) r

arr

Interpr´etation matricielle Soit la matrice L(r) telle que : 

L(r)

         =        

1 0 ...

...

...

0 1 .. . 0 .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .

...

...

0 0

..

.

... 1

...

(r)

−

ar+1r (r)

arr

.. .

... ... ...

(r)

nr − a(r) arr

...

0 .. . .. . .. . .. . .. .



                .. . 0   0 1

(r)

Lr+1 ← Lr+1 − .. .

ar+1r (r)

arr

(r)

anr (r) Lr arr

Lr

´ 3.3. METHODE DE GAUSS

37

alors le calcul de L(r) b(r) et L(r) A(r) donne :  (1) b1  (2)  b2  ..   .  (r−1)  br L(r) b(r) =   a(r) (r) (r) r+1r  − + br+1 (r) br  a rr  ..   .  (r) (r) anr (r) − (r) br + bn arr

L

(r)

(r)

A

Donc on a :

 (1) (1)  a11 a12 . . . . . .    (2)   0 a22 . . . . . .    (3)  0 0 a33 . . .     .. .. ..   . . . 0    . . .. .. ... 0 =   .. . .  .. ..  . ...    . . ..   .. ..  ... .    . . ..   ..  .. ... .    0 0 0 0



        = b(r+1)        (1)

... ... ...

... ... ...

... ... ...

...

...

...

a1n (2) a2n (3) a3n .. .

(r) arr

(r) arr+1 (r+1) ar+1r+1

...

arn

...

ar+1n

...

ar+2n .. .

0 .. . .. . 0

.. . .. .

(r+1) anr+1

... ...

(r)

(r+1) (r+1)

(r)+1

ann



          = A(r+1)         

Ax = b ⇐⇒ L(r) A(r) x = L(r) b(r) ⇐⇒ A(r+1) x = b(r+1) . Au bout de (n − 1) ´etapes, le syst`eme est triangulaire sup´erieur. De plus, la matrice est inversible (donc le syst`eme (i) soluble) si et seulement si det(A(n) ) = Πni=1 aii "= 0 ie si aucun des pivots n’est nul ! La m´ethode de Gauss est donc possible si aucun des pivots rencontr´es n’est nul. On a alors que Ax = b ⇐⇒ A(n) x = b(n) ⇐⇒ L(n−1) A(n−1) x = L(n−1) b(n)

⇐⇒ L(n−1) L(n−2) . . . L(1) Ax = L(n−1) L(n−2) . . . L(1) b.

< (pour Notons U (pour upper) la matrice A(n) puisqu’elle est triangulaire sup´erieure et L (n−1) (n−2) (1) L . . . L puisqu’elle est triangulaire inf´erieure comme produit lower) la matrice L de matrices elles-mˆemes triangulaires inf´erieures, on a alors : < U x = Lb

Comme, quel que soit r, detL(r) = 1, les matrices L(r) sont toutes inversibles donc leur produit < −1 = L(1)−1 L(2)−1 . . . L(n−1)−1 qui est aussi triangulaire inf´erieure. aussi. Notons L = L Ax = b ⇐⇒ LU x = b.

´ ` ´ CHAPITRE 3. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES

38

On a donc factoris´e la matrice A en un produit d’une matrice triangulaire inf´erieure et d’une matrice triangulaire sup´erieure. D’o` u l’autre nom de la m´ethode de Gauss : la factorisation LU . Pour r´esoudre le syst`eme, il suffit maintenant de faire une descente pour r´esoudre Ly = b puis une remont´ee pour r´esoudre U x = y. Proposition 7 L’inverse d’une matrice L(r) est donn´ee  1 0 ... ... ...   0 1 ... ...  . ..  . .  . 0 ...  . .  . . 1 ...  . .  . . (r) ar+1r  . . ...  . . (r) arr   . . ..  .. .. . ...   .. .. ..  . . . ...  (r) anr ... 0 0 0 (r) arr

Proposition 8 Le produit  1   0   ..  .   ..  .   ..  .   .  ..    .  ..   0

−1

d’une matrice L(r) 0 ...

...

1

...

0 .. . .. . .. .

..

. 1 (r)

ar+1r (r)

arr

.. .

.. . 0

(r)

anr (r) arr

an2

a11

a22

(1)

(2)

anr (r) arr

−1

par une matrice L(r+1)  ... 0  ..  ... .   ..  . ...  ..   . ...  ..  1 ... .   (r+1) ..  ar+2r+1 ... .   (r+1) ar+1r+1   .. . 0  ... ...  (r+1)  anr+1 ... 0 1 (r+1) ar+1r+1

Corollaire 1 La matrice L est donn´ee par :  1 0 ... ... ...  a(1)  21 1 0 ... ...  a(1)  11 (2) .. a32  a(1) . ... ...  a31 (1) (2)  11 a22  .. ..  . . 1 0  (r)  .. . a r+1r ..  . 1 (r)  a rr  . (r+1) .. .. ar+2r+1  . . .  . (r+1)  ar+1r+1  . ..  .. . ...   (1) (r+1) (2) (r) a an1

par :  0 ..  .  ..   .  ..   .  ..   .   ..  .    0   1

nr+1 (r+1)

ar+1r+1

... ... ... ... 0 ..

.

...

..

.

(n−1)

...

ann−1 (n−1)

an−1n−1

 0 ..  .   ..  .    ..  .   ..  .   ..   .    0    1

est donn´e par :

´ 3.4. STRATEGIE DE PIVOT

3.4

39

Strat´ egie de pivot

La m´ethode suppose qu’` a chaque ´etape, le pivot est non nul. Que se passe-t-il lorsqu’on rencontre un pivot nul ? (r) Supposons que arr = 0, comme A est inversible, on peut toujours trouver dans la sous(r) colonne r un terme air (i > r) non nul. Dans ce cas on permute les lignes i et r de la matrice (attention de ne pas oublier de faire la mˆeme manipulation sur le second membre pour garder l’´equivalence des syst`emes). Erreurs d’arrondi Soit a` r´esoudre le syst`eme :

)

ε 1 1 1

*)

x1 x2

*

=

)

1 2

*

1 1 − 2ε et x2 = , ce qui donne pour ε = 0, x1 = x2 = 1. 1−ε 1−ε Or en r´esolvant ce syst`eme par la m´ethode de Gauss avec ε = 10−9 o` u 10−9 est la pr´ecision de la machine, on obtient : ) −9 *) * ) * 10 1 x1 1 = , 0 1 − 109 x2 2 − 109 La solution est donn´ee par x1 =

u la solution x2 = 1 et x1 = 0 qui or, 1 − 109 ≈ −109 et 2 − 109 ≈ −109 sur la machine d’o` n’est pas la solution ! Si par contre, on permute les lignes 1 et 2, on obtient : *) * ) * ) x1 2 1 1 = , x2 1 − 2 ∗ 10−9 0 1 − 10−9 u la solution x2 = 1 et x1 = 1 qui est or, 1 − 10−9 ≈ 1 et 1 − 2 ∗ 10−9 ≈ 1 sur la machine d’o` la solution du syst`eme ! Conclusion il ne faut pas utiliser des pivots trop petits car les erreurs d’arrondi peuvent donner des solutions fausses. On cherche alors dans la sous-colonne r, le plus grand pivot ajr = maxr≤i≤n |air | et on permute les lignes j et r. C’est ce qu’on appelle une strat´ egie de pivot partiel. La m´ethode de Gauss n’est jamais programm´ee sans au moins une strat´egie de pivot partiel. Remarque 6 • Les pivots petits ne disparaissent pas, ils sont juste rejet´es a ` la fin de l’algorithme o` u leur influence est moins grande. • Si on cherche le plus grand pivot dans la sous-matrice r ≤ i ≤ n et r ≤ j ≤ n et qu’on permute alors a ` la fois les lignes et les colonnes, c’est une strat´ egie de pivot total.

3.5

Coˆ ut de la m´ ethode

Coˆ ut de l’´etape r : (r+1) (r) (r) = aij − mir arj , r + 1 ≤ j ≤ n. pour i = r + 1 a` n et j = r + 1 a` n, aij

´ ` ´ CHAPITRE 3. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES

40

(r+1)

soit (n − r)/ et (n − r)2 fois (1⊗, 1⊕) pour le calcul de aij (r+1) bi

(r) bi

et

(r) mir br .

pour i = r + 1 a` n, = − (r+1) , soit au total soit (n − r) fois (1⊗, 1⊕) pour le calcul de bi n−1 ! r=1

2

n−1 ! r=1

[(n−r)2 +(n−r)] = 2

(n − r) =

n−1 ! r=1

r=

n(n − 1) divisions, 2

n(n − 1) n(n2 − 1) n(n − 1)(2n − 1) +2 =2 additions et multiplications, 6 2 3

2n3 op´erations. Il faut rajouter le coˆ ut d’une descente et d’une 3 remont´ee ie 2n2 qui devient vite n´egligeable d`es que n est grand.

soit au total de l’ordre de

3.6

Existence de la factorisation LU

Th´ eor` eme 7 Soit A une matrice carr´ee d’ordre n ayant toutes ses sous-matrices principales = Ak = (aij )1≤i,j≤k r´eguli`eres ( ie inversibles). Alors la matrice A admet une unique factorisation LU o` u L est triangulaire inf´erieure avec des 1 sur la diagonale et U triangulaire sup´erieure. preuve u Unicit´e Soit A = L1 U1 = L2 U2 d’o`

U1 U −1 = L−1 L2 = D. " #$2 % " 1#$ % triangulaire sup´erieure triangulaire inf´erieure Comme D a des 1 sur la diagonale, D = I, donc U1 = U2 et L1 = L2 . (r)

Existence il suffit de montrer que arr "= 0 pour 1 ≤ r ≤ n − 1. On le d´emontre par r´ecurrence. =1 qui est r´eguli`ere par Le premier pivot est forc´ement non nul car c’est la sous-matrice A hypoth`ese. −1 −1 −1 (r) Si arr "= 0 pour 1 ≤ r ≤ k − 1, on a alors A = L(1) L(2) . . . L(k−1) A(k) soit par blocs : > (k) , or d’une part par hypoth` =k A =k est diff´erent de 0 et d’autre part detA =k = =k = L ese detA A k (1) (2) (k−1) (k) (r) (k) a11 a22 . . . ak−1k−1 akk . Par hypoth`ese de r´ecurrence arr "= 0 pour 1 ≤ r ≤ k − 1, donc akk est aussi diff´erent de 0· ! Remarque 7 C’est la valeur sur la diagonale de L qui donne l’unicit´e. Cette valeur doit donc toujours ˆetre fix´ee.

3.7

Cas particulier des matrices sym´ etriques d´ efinies positives

Rappel Soit A une matrice sym´etrique (A = TA) r´eelle d´efinie positive (∀x ∈ RN \ {0} , (Ax/x) > 0) alors A est inversible et toutes ses valeurs propres sont r´eelles et strictement positives. preuve Soit x ∈ Ker(A), Ax = 0 donc (Ax/x) = 0 ⇐⇒ x = 0 soit A inversible. Soit x ∈ Cn vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre λ ∈ C, alors Ax = λx et Ax = Ax = λx.

´ ´ 3.7. CAS PARTICULIER DES MATRICES SYMETRIQUES DEFINIES POSITIVES

41

On fait le produit scalaire de la premi`ere ´egalit´e par x et de la deuxi`eme par x, on obtient : (Ax/x) = (λx/x) = λ5x52 et (Ax/x) = (λx/x) = λ5x52 . Comme (Ax/x) = (Ax/x) car A est sym´etrique, on a : λ5x52 = λ5x52 , soit λ est r´eel. Enfin, 0 < (Ax/x) = (λx/x) = λ5x52 . ! Th´ eor` eme 8 Toute matrice sym´etrique d´efinie positive admet une unique factorisation LU . preuve =k est d´efinie positive car =k , sous-matrice principale d’ordre k de A. Alors A Soit A

=k T(x1 x2 . . . xk ) = (x1 x2 . . . xk 0 . . . 0)AT(x1 x2 . . . xk 0 . . . 0) ≥ 0. (x1 x2 . . . xk )A

=k est inversible et d’apr`es le th´eor`eme (7), A poss`ede une factorisation LU unique. ! Donc A Factorisation de Cholesky2 T T Comme A est sym´etrique, on a LU = T(LU  ) = U L soit 1/u11 0  0 1/u22  T −1 T −1 = = .. .. "U#$ L% "LU #$ %  . . triangulaire inf´erieure

triangulaire sup´erieure

0



  . ..  . 1/unn

0 ...   √ u11 √   0 u22   Posons D =  .  (ce qui est possible car A est d´efinie positive et que .. ..   .. . . √ 0 ... unn les uii > 0). Alors TLU −1 = D−2 , d’o` u DTL = DD−2 U = D−1 U , et donc A = LD.D−1 U = LD.DTL = T < < < L L avec L = LD.

Corollaire 2 Toute matrice sym´etrique d´efinie positive admet une unique factorisation LTL, appel´ee factorisation de Cholesky. Factorisation de Crout3 < TL < = LD.DD−1T(LD) = LD.DD−1TDTL = LD.DD−1 DTL = LD2TL. Comme A = L

Corollaire 3 Toute matrice sym´etrique d´efinie positive admet une unique factorisation LDTL, appel´ee factorisation de Crout. Remarque 8 Pour des raisons num´eriques, on pr´ef`ere utiliser la factorisation de Crout a ` celle de Cholesky car il n’y a pas d’extraction de racines carr´ees. 2 3

Andr´e Louis Cholesky,fran¸cais, 1875-1918 Prescott Durand ( ?) Crout, am´ericain ( ?)

42

´ ` ´ CHAPITRE 3. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES

Chapitre 4

Interpolation polynomiale 4.1

Position du probl` eme

Soient (xi , yi ), i = 0, . . . , n, n + 1 couples de valeurs r´eelles. Le but de tout probl`eme d’interpolation est de d´eterminer une fonction g simple, telle que : g(xi ) = yi , i = 0, . . . , n. Les points (xi , yi ) sont appel´es les points d’interpolation. L’interpolation polynomiale consiste `a chercher la fonction g sous la forme d’un polynˆ ome. Exemple d’utilisation En physique, on mesure exp´erimentalement la temp´erature d’un objet qui refroidit au cours du temps. On obtient une suite de valeurs a` diff´erents temps ti . On cherche alors a` tracer la courbe de refroidissement la plus proche possible des points mesur´es, et ainsi `a estimer des valeurs de la fonction en des points non mesur´es (cf Fig 4.1). Exemple le plus simple : interpolation lin´eaire On remplace la courbe de f par la droite passant par (xi , f (xi )) et (xi+1 , f (xi+1 )) : p(x) = f (xi ) +

f (xi+1 ) − f (xi ) (x − xi ) xi+1 − xi

Voici le calcul par interpolation lin´eaire des notes de pr´esence aux TPs Maple : 0 si pas d’absence, 20 si pr´esence `a toutes les s´eances sauf 1 c’est-`a-dire a` 11 s´eances. On peut alors facilement obtenir la note de pr´esence d’un ´etudiant venu a` 5 s´eances, c’est environ 9 (cf Fig 4.2).

4.2

Polynˆ omes de Lagrange

Soient (xi , yi ), i = 0, . . . , n, n + 1 points d’interpolation. Existe-t-il un polynˆ ome P tel que P (xi ) = yi , i = 0, . . . , n ? ome Pn de degr´e au Th´ eor` eme 9 Si les xi sont tous distincts alors il existe un unique polynˆ plus n tel que Pn (xi ) = yi , i = 0, . . . , n. 43

44

CHAPITRE 4. INTERPOLATION POLYNOMIALE 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

2

4

6

8

10

Fig. 4.1 – Les points mesur´es (croix), la fonction (en pointill´es) et le polynˆ ome d’interpolation (en trait plein).

preuve omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n tels que : Unicit´e : Soient Pn et Qn deux polynˆ Pn (xi ) = Qn (xi ) = yi , i = 0, . . . , n. ome est de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, et poss`ede au moins Notons Rn = Pn − Qn , ce polynˆ n + 1 racines (les xi , i = 0, . . . , n), ce qui signifie que Rn ne peut ˆetre que le polynˆ ome nul. Existence (d´emonstration constructive) On commence par chercher des polynˆ omes Lk de degr´e n tels que 1 si i = k Lk (xi ) = δik = , i = 0, . . . , n. 0 sinon Alors Lk s’annule en x0 , x1 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn donc Li s’´ecrit : Lk (x) = λ(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xk−1 )(x − xk+1 ) . . . (x − xn ) (N.B : Lk est bien de degr´e n). Reste `a trouver λ. Pour cela, on utilise le fait que Lk (xk ) doit ˆetre ´egal `a 1 : Lk (xk ) = 1 = λ(xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn ), soit λ=

1 . (xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn )

ˆ 4.2. POLYNOMES DE LAGRANGE

45

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

x

Fig. 4.2 – Calcul de la note de pr´esence aux TP Maple par interpolation lin´eaire.

Donc Πni=0 (x − xi ) (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xk−1 )(x − xk+1 ) . . . (x − xn ) i+=k = n . Lk (x) = (xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn ) Π i=0 (xk − xi ) i+=k

On pose alors Pn (x) =

n !

yi Li (x). Comme

i=0

Pn (xk ) =

n !

yi Li (xk ) =

i=0

n !

yi δik = yk , k = 0, . . . , n

i=0

!

ome cherch´e. par unicit´e, le polynˆome Pn est le polynˆ

Remarque 9 • Proposition 9 Les Lk , k = 0, . . . , n forment une base de l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e au plus n. preuve Ils forment une famille maximale libre car si n ! i=0

αi Li (x) = 0

∀x ∈ R

46

CHAPITRE 4. INTERPOLATION POLYNOMIALE alors,

n !

αi Li (xk ) =

i=0

• Proposition 10

n !

n !

αi δik = αk = 0, k = 0, . . . , n.

i=0

!

Li = 1.

i=0

preuve / ome d’interpolation de degr´e au Par d´efinition, le polynˆ ome P = ni=0 Li est le polynˆ plus n tel que P (xi ) = 1, i = 0, . . . , n. Donc P − 1 est un polynˆ ome de degr´e au plus n qui s’annule en tous les xi , i = 0, . . . , n, donc qui poss`ede n + 1 racines, ce qui signifie que P − 1 ne peut ˆetre que le polynˆ ome nul. !

4.2.1

D´ ecompte d’op´ erations

Le calcul d’un des polynˆ omes de Lagrange1 de degr´e n n´ecessite : 2(n − 1) multiplications, 2n additions,

1 division Donc pour calculer Pn , les op´erations n´ecessaires sont : (n + 1) polynˆ omes de Lagrange (n + 1) multiplications, n additions. ie (2n − 1)(n + 1) multiplications , 2n(n + 1) + n additions et (n + 1) divisions, soit de l’ordre de 4n2 op´erations. Ce qui est relativement cher. On peut diminuer de moiti´e ce coˆ ut en r´e-´ecrivant plus astucieusement les polynˆomes de Lagrange mais il reste une difficult´e majeure avec cette m´ethode. Si on veut rajouter un point d’interpolation et chercher le polynˆ ome de degr´e n + 1 qui passe par les n + 2 points d’interpolation que l’on s’est donn´es, il faut recalculer les polynˆ omes de Lagrange qui ont alors chang´e ! D’o` u l’id´ee de contruire les polynˆomes d’interpolation par r´ecurrence afin de minimiser le nombre de calculs si on rajoute ou retire un point.

4.3

Diff´ erences divis´ ees

On se donne une fonction f que l’on cherche a` interpoler et n + 1 points d’interpolation (xi , f (xi )), i = 0, . . . , n. On note yi = f (xi ), i = 0, . . . , n. ome de degr´e n tel que Pn (xi ) = yi , i = 0, . . . , n et soit Pn−1 (x) le Soit Pn (x) le polynˆ polynˆ ome de degr´e n − 1 tel que Pn−1 (xi ) = yi , i = 0, . . . , n − 1. ome de degr´e au Alors Pn (x) = Pn−1 (x) + C(x). Donc C(x) = Pn (x) − Pn−1 (x) est un polynˆ 1

Joseph-Louis Lagrange, fran¸cais ( ?) n´e en Italie, 1736-1813

´ ´ 4.3. DIFFERENCES DIVISEES

47

plus n qui s’annule en xi , i = 0, . . . , n − 1. u Donc C(x) = an (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ) d’o` Pn (x) = Pn−1 (x) + an (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ). Reste `a calculer an le coefficient dominant de C(x). Comme Pn−1 est de degr´e au plus n−1, an est le coefficient dominant de Pn (x) = Comme chaque Lk est de degr´e au plus n, cherchons le terme dominant de Lk : Lk (x) = = Donc an =

n ! n ! k=0

=

yk Lk (x).

k=0

(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xk−1 )(x − xk+1 ) . . . (x − xn ) (xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn ) 1 xn + . . . (xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn )

k=0

=

n !

n ! k=0

yk (xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn ) f (xk ) (xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn ) f (xk ) si yk = f (xk ). Π i=0 (xk − xi ) n

i+=k

erence divis´ ee d’ordre n de f. Ce coefficient an est not´e f [x0 , x1 , . . . , xn ] et est appel´e la diff´ ome d’interpolation de f On d´efinit alors la forme de Newton2 progressive du polynˆ par : P0 (x) = f [x0 ] = y0 Pn (x) = Pn−1 (x) + (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )f [x0 , x1 , . . . , xn ] et la forme de Newton r´ egressive du polynˆ ome d’interpolation de f par : P0 (x) = f [xn ] = yn Pn (x) = Pn−1 (x) + (x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − x1 )f [x0 , x1 , . . . , xn ] Proposition 11 ∀k ≥ 1,

f [x0 , x1 , . . . , xk ] =

f [x1 , x2 , . . . , xk ] − f [x0 , x1 , . . . , xk−1 ] xk − x0

preuve On note P 0. Donner les valeurs de λ permettant de faire converger la m´ethode du point fixe vers α sur I. Deuxi` eme partie Soit la formule de quadrature suivante : ? 1 g(t) dt = a1 g(−2) + a2 g(−1) + a3 g(0) + R(g). −1

1. D´eterminer les coefficients ai pour i variant de 1 a` 3, de sorte que R(g) = 0, quel que soit g appartenant a` l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, o` u n est le plus grand possible. Que vaut n ? 2. En supposant que R(g) = Kgn+1 (ξ), d´eterminer K. ? xn+3 3. D´eduire des questions pr´ec´edentes, la formule et l’erreur de quadrature pour f (x) dx,

en posant xn = a + nh. 4. Pour r´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante - $ y (x) = f (x, y(x)) x ∈ [a, b] y(a) = y0

xn+1

o` u f poss`ede les propri´et´es n´ecessaires pour assurer l’existence et l’unicit´e de la solution y, on consid`ere le sch´ema suivant : yn+3 − yn+1 =

h (7fn+2 − 2fn+1 + fn ), 3

o` u h est le pas, xn = a + nh, yn est la valeur approch´ee de y(xn ) et fn = f (xn , yn ).

´ 2003-2004 ANNEXE C. ANNEE

146

(i) Comment a-t-on obtenu ce sch´ema ? (ii) A combien de pas est ce sch´ema ? Est-il implicite ou explicite ? Quelles valeurs de d´emarrage faut-il ? Comment les obtenir ? (iii) On d´emontre qu’un sch´ema multi-pas αk yn+k + αk−1 yn+k−1 + · · · + α0 yn = h[βk fn+k + · · · + β0 fn ] est stable si le polynˆ ome α(λ) = α0 + α1 λ + · · · + αk λk v´erifie les deux conditions suivantes : (a) Toutes les racines sont de module inf´erieur ou ´egal `a 1. (b) Les ´eventuelles racines de module ´egal `a 1 sont simples. Etudier la stabilit´e de ce sch´ema. (iv) On dit qu’un sch´ema multi-pas αk yn+k + αk−1 yn+k−1 + · · · + α0 yn = h[βk fn+k + · · · + β0 fn ] est d’ordre p s’il existe une constante C telle que : . . . .1 . (αk y(xn+k ) + · · · + α0 y(xn )) − ( βk f (xn+k , y(xn+k )) + · · · + β0 f (xn , y(xn )) ). ≤ C hp . .h Etudier l’ordre de ce sch´ema.

Annexe D

Ann´ ee 2004-2005

147

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

148

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille 1

Exercice 1 a) Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. b) Soit I un intervalle de R et f : I → R continue telle que ∀x ∈ I, f (x)2 = 1. Montrer que f = 1 ou f = −1. c) Soit f : R+ → R continue admettant une limite finie en +∞. Montrer que f est born´ee. Atteint-elle ses bornes ? Exercice 2 a) Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires pour une fonction strictement monotone. b) Montrer que l’´equation 3 − 2x = ex poss`ede une unique solution α dans R. V´erifier que 0 ≤ α ≤ 1. Est-ce que 12 ≤ α ≤ 1 ? Exercice 3 a) Enoncer le th´eor`eme de Rolle. Interpr´etation g´eom´etrique ? b) Soit f une fonction n fois d´erivable sur ]a, b[ s’annulant en n+1 points de ]a, b[. Montrer que si f (n) est continue, il existe un point x0 de ]a, b[ tel que f (n) (x0 ) = 0. c) Montrer que le polynˆ ome Pn d´efini par Pn (t) = [(1 − t2 )n ](n) est un polynˆ ome de degr´e n dont les racines sont r´eelles, simples et appartiennent a` [−1, 1]. Exercice 4 a) Utiliser le th´eor`eme de Rolle pour d´emontrer le th´eor`eme des accroissements finis (in(a) (x − a)). Interpr´etation g´eom´etrique ? dication : on introduira ϕ(x) = f (x) − f (b)−f b−a b) Montrer que pour tout x > 0, 1 1 < ln(x + 1) − ln(x) < . x+1 x c) Une fonction f est dite strictement contractante sur I s’il existe une constante 0 < k < 1 telle que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| pour tous x, y ∈ I. Montrer que f (x) = e−(1+x) est strictement contractante sur R+ .

149 Exercice 5 a) Une suite (un )n∈N est dite de Cauchy lorsque, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que, si m, n " N alors |un − um | < ε. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. b) On prend maintenant (un ) une suite de Cauchy. On veut montrer que (un ) converge. Montrer que (un ) est born´ee. Soit la suite (vn ) donn´ee par son terme g´en´eral vn = sup{up , p ≥ n}. Montrer que la suite (vn ) converge (indication : quel est son sens de variation ?). Montrer que un − vn → 0. Conclure. d) Soit f une fonction strictement contractante sur R. Montrer que la suite d´efinie par x0 ∈ R, xn+1 = f (xn ) est une suite de Cauchy. Exercice 6 a) Discutez selon les valeurs de α (α > 0), le nombre de points d’intersection des deux courbes d’´equations : √ et h(x) = ln(x). g(x) = α x √ On pourra pour cela ´etudier la fonction √ f (x) = α x − ln(x). x 1 − ln(x) s’annule deux fois sur R+ . b) On prend α = . Montrez que f (x) = 2 2 Localisez chaque racine entre deux entiers successifs. Montrez que chacune des it´erations suivantes : )√ * xn , (1) xn+1 = exp 2 (2)

xn+1 = 4(ln(xn ))2

permet de n’approcher qu’une seule des deux racines (on justifiera la convergence ou la divergence).

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

150

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille 2

Exercice 1 a) Montrez que l’´equation x − cos(x) = 0 a une unique solution s sur R. b) Montrez que la suite d´efinie par : xn+1 = cos(xn ) converge vers s, quel que soit x0 dans R. Probl` eme 1 Pour x > 0, on d´efinit la fonction f par f (x) = x − e−(1+x) . 1. Tracer le gaphe de f et montrer qu’il existe une solution unique l `a l’´equation f (x) = 0. Localiser l entre deux entiers cons´ecutifs. 2. Pour trouver une approximation de l, on propose la m´ethode it´erative suivante (A) : x0 xn+1 = g(xn ) o` u g(x) = e−(1+x) . Cette m´ethode converge-t-elle vers l ?

3. De la mˆeme mani`ere, on propose la m´ethode (B) : x0 xn+1 = h(xn ) o` u h(x) = x2 e1+x . Cette m´ethode converge-t-elle ? Vers quelle limite ?

4. Enfin, on propose la m´ethode (C) : x0 xn+1 = k(xn ) o` u k(x) = −1 − ln x. Cette m´ethode converge-t-elle vers l ?

5. Choisir x0 et donner l’ordre de la m´ethode (A). 6. M´ethode d’acc´el´eration d’Aitken : Soit (xn ) une suite d´efinie par : -

x0 xn+1

∈ [a; b] = g(xn )

et convergente vers l solution de f (x) = 0. On suppose que l’ordre de cette m´ethode est 1 soit : u en = xn − l, A = g$ (l), 0 < A < 1 et lim +n = 0 en+1 = (A + +n )en , o` n→∞

(xn+1 − xn . Comparer l’ordre de la m´ethode xn+2 − 2xn+1 + xn x$n avec celui de la m´ethode (A) sur cet exemple.

On d´efinit la nouvelle suite x$n = xn −

)2

151 7. D´efinir la m´ethode de Newton. Pr´eciser la valeur de x0 . 8. M´ethode de la fausse position ou m´ethode de la s´ecante : l’inconv´enient de la m´ethode de Newton est l’utilisation de f $ (x) qui peut ˆetre difficile `a ´evaluer. On remplace alors f $ (xn ) par l’approximation suivante : f (xn ) − f (xn−1 ) . xn − xn−1 Ecrire la m´ethode correspondante. Justifier l’approximation de la d´eriv´ee. Sachant l’ordre des m´ethodes de Lagrange et de Newton, que pouvez-vous dire de l’ordre de cette nouvelle m´ethode ? Testez-la sur cet exemple.

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

152

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille 3

Exercice 1 Extrait de l’examen Juin 2004 √ On consid`ere pour x ∈ R∗+ , la fonction f d´efinie par f (x) = ex x − 1. Soit α l’unique solution de f (x) = 0. (a) V´erifier que α ∈ I = [0, 1/2]. (b) On consid`ere quatre suites d´efinies, pour x0 ∈ I, par : (S1 ) xn+1 = e−2xn . (S2 ) xn+1 = e−xn /2 . √ (S3 ) xn+1 = −ln( xn ) 2

(S4 ) xn+1 = e−xn . Seules deux de ces suites sont susceptibles de converger vers α. Lesquelles ? Avec le th´eor`eme du point fixe, montrer qu’une seule de ces deux suites converge vers α, quel que soit x0 ∈ J = [a, 1/2], a ´etant `a pr´eciser. (c) Pour ´evaluer α, on pr´ef`ere utiliser la m´ethode de Newton appliqu´ee `a l’´equation x = e−2x (Justifier). Ecrire la m´ethode de Newton et d´eterminer les valeurs initiales x0 qui assurent la convergence de cette suite. Choisir un x0 et calculer les trois premiers it´er´es x1 , x2 et x3 ainsi qu’une ´evaluation de l’erreur |α − x3 | ` a l’aide de la formule des accroissements finis. Exercice 2 Extrait de l’examen Septembre 2004 u β ∈ R∗+ . Soit la fonction f (x) = x − e−βx o`

1. Montrer que f ne poss`ede qu’une seule racine α. Localiser cette racine dans un intervalle I = [i, i + 1] o` u i ∈ N est entier.

2. Donner la m´ethode de Newton pour trouver α. On justifiera le choix de x0 et la convergence de la m´ethode. 3. Soit la suite d´efinie par :  

x0

 xn+1

Cette suite converge-t-elle vers α ?

∈ I βxn + 2e−βxn = β+2

153 4. On d´efinit la suite :  

x0

 xn+1

∈ I λxn + e−βxn = λ+1

avec λ > 0. Donner les valeurs de λ permettant de faire converger la m´ethode du point fixe vers α sur I.

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

154

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille 4

Probl` eme 1 On veut r´esoudre : f (x) = x + 1 −

x x e 3

(D.1)

1. Calculer f $ (x) et f $$ (x). En d´eduire le tableau de variations de f . Quel est le nombre de solutions de (D.1) ? Localiser chaque solution entre deux entiers cons´ecutifs. 2. On consid`ere les m´ethodes it´eratives suivantes : xn xn e −1 xn+1 = 3 xn+1 = 3e−xn (xn + 1)

(D.2) (D.3)

a) V´erifier que, si ces m´ethodes convergent, elles convergent bien vers une solution de (D.1). b) Montrer que chaque m´ethode ne converge que vers une seule solution de (D.1). Pr´eciser alors l’intervalle sur lequel le th´eor`eme du point fixe s’applique, et, dans ce cas, d´eterminer combien d’it´erations seront, a priori, n´ecessaires pour obtenir une erreur absolue inf´erieure `a 5.10−7 . Calculer dans chaque cas deux it´er´es `a partir d’un x0 admissible. 3. Ecrire la m´ethode de Newton pour r´esoudre (D.1). Pour chaque solution, justifier le choix de x0 et calculer deux it´er´es. A partir des valeurs approch´ees obtenues, donner, si possible, une estimation des solutions. 4. Ecrire la m´ethode de Newton pour trouver une approximation de la valeur µ o` u f admet un maximum. Calculer une estimation de ce maximum. Exercice 1 Suite de Sturm Quel est le nombre de racines r´eelles de P (x) = x5 − 5x3 + 4x dans [−3; 3] ? Trouver la plus grande en module. Exercice 2 Relation coefficients-racines ome de degr´e n et ξ une de ses racines. Soit P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an un polynˆ A @ n ! |aj | 1. Montrer que |ξ| ≤ max 1, |a0 | 1

A o` u A = max |aj | 2. Montrer que |ξ| ≤ 1 + 1≤j≤n |a0 |

155

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille TP 1

Exercice 1 R´ esolution d’´ equations On cherche a` r´esoudre f (x) = x − e−(1+x) = 0. 1. Programmer la m´ethode it´erative suivante (A) : x0 xn+1 = g(xn ) o` u g(x) = e−(1+x) . Quelle est la limite obtenue ? Comparer `a la solution donn´ee par Maple. 2. Programmer la m´ethode d’acc´el´eration d’Aitken sur la suite pr´ec´edente : x$n = xn −

(xn+1 − xn )2 . xn+2 − 2xn+1 + xn

3. Programmer la m´ethode de Newton pour f .

4. Programmer la m´ethode de la fausse position ou m´ethode de la s´ecante en rempla¸cant f $ (xn ) par l’approximation suivante : f (xn ) − f (xn−1 ) . xn − xn−1 Exercice 2 M´ ethode de Newton : exemples Ecrire la m´ethode de Newton correspondant aux fonctions suivantes. Regarder l’´evolution des it´er´es, qu’en pensez-vous ? a) f (x) = ex/10 − 10−5 b) f (x) = ln(x + 2)ex

4

c) f (x) = x3 − 2x + 1 Exercice 3 Suite de Sturm Trouver toutes les racines du polynˆ ome x8 + 3x7 − 2x5 + 12x4 − 7x2 + 1.

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

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Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille 5

Normes matricielles et conditionnement Exercice 1 1. Soit 5 · 5 une norme matricielle, et b un vecteur non nul de RN . Que vaut xbT ? 2. Montrer que x 7−→5 xbT 5 est une norme vectorielle compatible avec la norme matricielle. Exercice 2 Soit A une matrice carr´ee quelconque. Soit 5 · 5 une norme matricielle subordonn´ee `a une norme vectorielle. 1. Montrer que ρ(A) ≤ 5A5. |λmax (A)| o` u λmax (A) et λmin (A) 2. Supposons A inversible. Montrer que Cond(A) ≥ |λmin (A)| d´esignent respectivement la plus grande et la plus petite valeur propre de A, en module. Exercice 3 1. V´erifier que AT A est sym´etrique r´eelle et que AT A est d´efinie positive si et seulement si A est inversible. 4 5 Ax 52 = ρ(AT A) 2. Montrer que 5 A 52 = sup 5 x 52 3. Que se passe-t-il si A est sym´etrique ? Qu’en d´eduisez-vous sur Cond(A) dans ce cas ? 4. Que se passe-t-il si A est orthogonale (AT A = AAT = I) ? Qu’en d´eduisez-vous sur Cond(A) dans ce cas ? 5. Soit U une matrice orthogonale (U T U = U U T = I). Calculer 5 U 52 . V´erifier que 5 AU 52 =5 U A 52 =5 A 52 pour toute matrice A. Exercice 4 Conditionnement Soient A=

)

10 7 14 10

*

b=

)

1. R´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax = b. 2. R´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax = b + δb avec ) * 0.5 δb = −0.5

17 24

3. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (A + δA)x = b avec ) * 0 0.5 δA = −0.5 0

4. Que pensez-vous des r´esultats obtenus ?

*

157

Analyse num´ erique

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Feuille 6

M´ethode de Gauss : factorisation LU

Exercice 1 V´erifier que pour :    1 0 0 1 0 0 1 0  L1 =  −l21 1 0  et L2 =  0 −l31 0 1 0 −l32 1 

alors



puis que

1

 l21 L−1 1 = l31

   0 0 1 0 0  0 1 0  1 0  et L−1 2 = 0 1 0 l32 1 

1

0 1

−1  l21 L = L−1 1 × L2 = l31 l32

Appliquer la m´ethode de Gauss sans  1 A= 3 1

 0 0  1

permutation au syst`eme Ax = b,    1 3 12 1 1  b= 8  3 1 10

Exercice 2 Extrait de l’examen de Septembre 2004 (i) On appelle matrice de Hilbert d’ordre n, la matrice n×n, not´ee Hn de terme g´en´erique : 1 . hij = i+j−1 1. Quelle est la factorisation LU de la matrice de Hilbert d’ordre 3, not´ee H3 ? 2. Comment r´esoudriez-vous H32 x = b, o` u x et b sont des vecteurs de R3 , sans calculer H32 ? (ii) On veut r´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax = b o` u:     1 1 1 1    A= 2 2 5 et b = 2  4 6 8 5

1. V´erifier que l’algorithme de Gauss sans pivot ne peut pas ˆetre ex´ecut´e jusqu’au bout.

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

158

2. Trouver une matrice de permutation P telle que la matrice P A soit factorisable (ie telle que l’algorithme de Gauss puisse ˆetre ex´ecut´e jusqu’au bout). 3. Trouver la factorisation LU de la matrice P A. 4. R´esoudre le syst`eme de d´epart Ax = b en rempla¸cant P A par LU . Exercice 3 Extrait de l’examen de Juin 2004 On note A la matrice

 2 1/2 0 0  1/2 2 1/2 0   A=  0 1/2 2 1/2  0 0 1/2 2 

(a) Calculer le produit scalaire (Ax/x) o` u x est un vecteur quelconque de R4 . Qu’en d´eduisez-vous sur A ? (b) Quelle est la factorisation LU de la matrice A du syst`eme obtenu ? Pouvait-on pr´evoir que la factorisation existait ? Exercice 4 Appliquer la m´ethode de Gauss   x + mx +  x +

au syst`eme suivant, y + (2m − 1)z = 1 y + z = 1 my + z = 3(m + 1)

Discuter suivant les valeurs de m. Exercice 5 Ecrire la m´ethode de Gauss sur une matrice tridiagonale et compter le nombre d’op´erations.

159

Analyse num´ erique

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Feuille 7

D´ecomposition LU II Exercice 1 On consid`ere le syst`eme (S) : 

    1 x1 1 1 1  1 1 2   x2  =  2  . 1 1 2 2 x3

1. V´erifier que la solution de (S) est (1, −1, 1)T . 2. On perturbe l’´element (2, 2) de la matrice. On a alors le syst`eme (Sε )      1 1 1 x1 1  1 1 + ε 2   x2  =  2  . x3 1 2 2 1

(a) R´esoudre num´eriquement (Sε ) par la m´ethode de Gauss sans pivot en prenant ε = 10−n o` u n est le nombre maximum de chiffres affich´es par votre calculatrice. (b) R´esoudre num´eriquement (Sε ) par la m´ethode de Gauss avec pivot pour le mˆeme ε. (c) Comment justifier les diff´erents r´esultats ?

Exercice 2 Soit A une matrice carr´ee r´eelle d’ordre n d´efinie par ai,j = min(i, j). 1. Expliciter la matrice A. 2. Appliquer la m´ethode de Gauss a` la matrice A et expliciter la d´ecomposition A = LU avec L triangulaire inf´erieure `a diagonale unit´e et U triangulaire sup´erieure. On rappelle que cette d´ecomposition est possible d`es que l’on peut mettre en oeuvre la m´ethode de Gauss sans faire de permutations. 3. Calculer A−1 en r´esolvant AX (i) = e(i) , o` u e(i) = (0, . . . , 1, . . . , 0)T , (1 est sur la i`eme ligne), en utilisant la d´ecomposition A = LU . Quelle remarque peut-on faire concernant l’inverse d’une matrice tridiagonale ? Exercice 3 D´ ecomposition QR Soit A une matrice d’ordre 3 d´efinie par 

 1 2 3 A= 4 5 6  7 8 9

T

, si v "= 0 et On d´efinit pour v ∈ Rm , m ∈ N∗ , la matrice de Householder Hm (v) := I − 2 vv vT v 0 m 2 2 H(v) = I, si v = 0. On note |a| := a1 + · · · + am , pour a = (a1 , . . . , am ) ∈ R .

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

160

1. Montrer que les matrices de Householder sont a` la fois orthogonales et sym´etriques. 2. Soit a = (a1 , . . . , am )T et b = (|a|, 0, . . . , 0)T . Montrer que l’on a Hm (b − a)a = b. 3. En d´eduire qu’il existe c1 ∈ R3 et t1  t1 ∗ H (1) A =  0 ∗ 0 ∗

> 0 tels que  ∗ ∗  , avec H (1) = H3 (c1 ). ∗

4. En d´eduire qu’il existe c2 ∈ R2 , c3 ∈ R, et t2 , t3 > 0 tels que   ) * t1 ∗ ∗ 1 0 , H (3) H (2) H (1) A =  0 t2 ∗  , H (2) = 0 H2 (c2 ) 0 0 t3

H (3)



 1 0 0 . 0 = 0 1 0 0 H1 (c3 )

5. Montrer que A = QR avec Q une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire sup´erieure `a termes diagonaux strictement positifs. Quelle propri´et´e sur la matrice A a-t-on utilis´e pour avoir cette d´ecomposition ?

161

Analyse num´ erique

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Feuille TP 2

R´esolution de syst`emes lin´eaires Exercice 1 D´ ecomposition LU 1. Ecrire une proc´edure LU (sans strat´egie de pivot) qui a` une matrice  donn´ee A retournela 2 3 0 1  3 5 −2 7  . liste de matrices L et U de la factorisation de A. Tester avec A =   0 −2 1 2  −1 7 2 0 Indices : ∗ Inutile de conserver les valeurs de A, elles seront remplac´ees par celles de U : vous devez donc copier A dans U au d´ebut de votre programme. ∗ Consulter l’aide en ligne de addrow. 2. Utiliser votre proc´edure pour trouver le d´eterminant de A.

3. Ecrire une proc´edure descente et une proc´edure remont´ee pour r´esoudre respectivement Ly = b et U x = y. u ei estH le i-`eme vecteur de la base 4. Appliquer ces proc´edures pour r´esoudreGLU xi = ei o` N canonique de R . Que vaut la matrice x1 x2 . . . xn ?

5. Modifier votre proc´  edure afin qu’elleretourne un message d’erreur en cas de pivots nuls. 1 −1 1 1  −1 1 2 2  . Tester avec A =   1 1 3 1  1 1 1 4

Exercice 2 

   La matrice hilbertienne H ∈ Mn (R), H =   

1 1/2 1/3 1/4 .. .

1/2 1/3 1/4 1/5 .. .

1/3 1/4 1/5 1/6 .. .

 1/4 . . . 1/5 . . .   1/6 . . .   est d´efinie positive 1/7 . . .   .. .

pour tout n ∈ N. Calculer le conditionnement de H pour diff´erentes valeurs de n et faire une repr´esentation graphique. Exercice 3 On dit que A = (ai,j )ni,j=1 est une matrice bande d’indice p, si elle v´erifie ai,j = 0,

|i − j| ≥ p.

V´erifier sur des exemples que si A est une matrice bande d’indice p, et si A admet une d´ecomposition LU , alors L et U sont aussi des matrices bandes d’indice p.

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

162

Analyse num´ erique

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Feuille 8

Exercice 1 Polynˆ omes de Lagrange (Joseph-Louis Lagrange, franco-italien, 1736-1813) Soient les points d’interpolation suivants : (−1, −1), (0, 1), (1, 0) et (2, 0). Trouvez le polynˆ ome d’interpolation de degr´e 3 passant par ces points : a) par une m´ethode d’identification, b) par une m´ethode de mise en facteurs, c) `a l’aide des polynˆ omes de Lagrange. Exercice 2 Matrice de Vandermonde (Alexandre Vandermonde, fran¸cais, 1735-1796) ´ a) Ecrire le syst`eme lin´eaire qui d´efinit le polynˆ ome d’interpolation de degr´e 3 passant par les points de coordonn´ees (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ). b) Calculer le d´eterminant de la matrice V de ce syst`eme lin´eaire (on pourra effectuer des manipultations de lignes et de colonnes). La matrice V est appel´ee matrice de Vandermonde. c) Calculer dans le cas g´en´eral (i.e. en dimension quelconque) le d´eterminant d’une matrice de Vandermonde. Exercice 3 Algorithme de Neville-Aitken (Eric Harold Neville, anglais, 1889-1961 et Alexander Aitken, n´eo-z´elandais, 1895-1967) Pour deux suites de nombres x0 , x1 , x2 , . . . , xr et y0 , y1 , y2 , . . . , yr , on d´efinit la suite de polynˆ omes : Pk,0 = yk

Pk,j+1 (x) =

pour k = 0, 1, . . . , r et

(xk − x)Pj,j (x) − (xj − x)Pk,j (x) pour k = j + 1, . . . , r et j = 0, . . . , k − 1. xk − xj

a) Construire P3,3 avec (x0 , y0 ) = (−1, −1), (x1 , y1 ) = (0, 1), (x2 , y2 ) = (1, 0) et (x3 , y3 ) = (2, 0). ome d’interpolation de Lagrange b) Montrez par r´ecurrence que Pk,j avec k ≥ j est le polynˆ pour les points x0 , x1 , . . . , xj−1 , xk . c) Qu’en concluez-vous pour Pk,k ? Exercice 4 Diff´ erences divis´ ees a) Retrouvez par la m´ethode des diff´erences divis´ees le polynˆome d’interpolation de Lagrange de degr´e 3 aux points (−1, −1), (0, 1), (1, 0) et (2, 0) (polynˆ ome d´ej` a obtenu). b) R´e´ecrire l’arbre des diff´erences divis´ees lorsque les points x0 , x1 , x2 , x3 sont r´eguli`erement r´epartis (formule de Newton : Sir Isaac Newton, anglais, 1643-1727).

163

Analyse num´ erique

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Feuille 9

Exercice 1 Extrait examen septembre 2004 On consid`ere la table suivante donnant les valeurs ν (m2 .s−1 ) de la viscosit´e cin´ematique de l’eau en fonction de la temp´erature T (◦ C) : T ν

15 1.14

16 1.11

17 1.08

18 1.06

19 1.03

20 1.01

21 0.983

22 0.960

23 0.938

24 0.917

25 0.896

26 0.876

27 0.857

1. Quelle est la viscosit´e `a 26.5 degr´es ? 2. Pour quelle temp´erature a-t-on ν = 0.9 m2 .s−1 ? Exercice 2 √ Soit la fonction d´efinie par f (x) =3 x. 1. Construire la table des diff´erences divis´ees `a partir des donn´ees (xi , f (xi )), i = 0 a` 4, avec x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 8 , x3 = 27 , x4 = 64. 2. Ecrire le polynˆ ome d’interpolation de f , not´e P4 , construit sur les donn´ees du 1, en utilisant la formule de Newton et les diff´erences divis´ees, c’est-`a-dire : P0 (x) = f (x0 ) Pk (x) = Pk−1 (x) + (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xk−1 )f [x0 , x1 , . . . , xk ] Calculer Pi (20) pour i = 1 a` 4 et comparer `a f (20). 3. Ecrire l’erreur d’interpolation E4 (x) = f (x) − P4 (x). Peut-on majorer E4 (20) sur l’intervalle consid´er´e ? Expliquer les r´esultats du (2). 4. Pour am´eliorer les r´esultats, on interpole f sur les donn´ees (xi , f (xi )) i = 1 a` 4. Ecrire le polynˆ ome d’interpolation ainsi obtenu a` l’aide de (1). On le note Q3 . Calculer Qi (20) pour i = 1, 2, 3 et donner une majoration de E3 (20) = f (20) − Q3 (20). √ 5. On veut maintenant r´esoudre 3 x = β avec β = 2.71441761659, par interpolation inverse. Pour cela : a. Construire la table des diff´erences progressives-r´egressives (∇yi = yi − yi−1 ) pour les donn´ees permut´ees, c’est-`a-dire pour (f (xi ), xi ) i = 0 a` 4. b. Ecrire le polynˆ ome d’interpolation R4 , construit a` l’aide de la formule de Newton r´egressive : Rk (x) = Rk−1 (x) + (x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − xn−(k−1) ) R0 (x) = f (xn )

∇k f (xn ) k!hk

Calculer les Ri (β) pour i = 1 a` 4. Que constate-t-on ? Evaluer une majoration de ε2 (β) = f −1 (β) − R2 (β). Comparer a` R3 (β) − R2 (β).

28 0.839

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

164

Analyse num´ erique

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Feuille 10

TD de pr´eparation au troisi`eme TP Maple.

´ Probl` eme 1 Etude des polynˆ omes de Tchebycheff (Pafnuty Lvovich Chebyshev, russe, 18211894) On appelle fonction polynomiale de Tchebycheff de degr´e n, l’application Tn : [−1, +1] → R x 7−→ cos(narccos(x)).

1) Montrez en posant cos(θ) = x que pour tout entier n positif, Tn est un polynˆ ome de degr´e n en x. 2) Montrez que pour tout n ≥ 2, on a Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x). 3) Calculez les 5 premiers polynˆomes de Tchebycheff. 4) D´eterminez en fonction de n le coefficient du terme en xn de Tn . 5) On pose

2k + 1 π) pour k = 0, . . . , n − 1. 2n Montrez que Tn poss`ede n z´eros simples. Ces z´eros sont appel´es les points de Tchebycheff d’ordre n. Xk = cos(

6) Si f est une fonction de classe C n+1 [−1, 1] , on rappelle que l’on a l’estimation d’erreur . (n+1) . .f (x). max |(x − x0 ) . . . (x − xn )| |f (x) − P (x)| ≤ max x∈[−1,+1] (n + 1)! x∈[−1,+1] o` u P est le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange en les points x0 , . . . , xn . On admettra le r´esultat suivant max

x∈[−1,+1]

|(x − x0 ) . . . (x − xn )| ≥

max

x∈[−1,+1]

|(x − X0 ) . . . (x − Xn )| .

Expliquez pourquoi les points de Tchebycheff sont de bons points d’interpolation. 7) Quels points d’interpolation faut-il choisir si l’intervalle d’interpolation est le segment [a, b] ?

165

Analyse num´ erique

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Feuille 11

Probl` eme 1 Splines cubiques Soient a = x1 < x2 < · · · < xn = b n points distincts et une fonction f : [a, b] → R. Sur chaque segment [xi ; xi+1 ], on cherche un polynˆ ome de degr´e 3 s (spline cubique) tel que : s(xi ) = f (xi ),

i = 1...n

v´erifiant les conditions suppl´ementaires : $ + e de la d´eriv´ee premi`ere, s$ (x− i ) = s (xi ) : continuit´ $$ + s$$ (x− e de la d´eriv´ee seconde, i ) = s (xi ) : continuit´

ainsi que s$$ (x1 ) = s$$ (xn ) = 0. (i) Notons hi = xi+1 − xi ,

i = 1, 2, · · · n − 1;

Di = s$$ (xi ),

i = 1, 2, · · · n.

Quel est le degr´e de s$$ sur chacun des intervalles [xi ; xi+1 ] ? Montrer alors que s$$ (x) =

Di+1 Di (x − xi ) − (x − xi+1 ), hi hi

pour tout xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 1, 2, · · · n − 1. (ii) En d´eduire qu’il existe des constantes Ai , Bi ,

i = 1, 2, · · · n − 1 telles que :

Di+1 Di (x − xi )2 − (x − xi+1 )2 + Ai , 2hi 2hi Di+1 Di (x − xi )3 − (x − xi+1 )3 + Ai (x − xi ) + Bi s(x) = 6hi 6hi s$ (x) =

pour tout xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 1, 2, · · · n − 1. (iii) Comme s(xi ) = f (xi ), i = 2, · · · n−1 et s(xi+1 ) = f (xi+1 ), i = 1, 2, · · · n−1, montrer que pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1 on a : Ai =

f (xi+1 ) − f (xi ) hi + (Di − Di+1 ), hi 6

Bi = f (xi ) −

h2i Di . 6

$ − (iv) Utilisant les conditions de continuit´e s$ (x+ i ) = s (xi ), montrer qu’on a :

µi Di−1 + 2Di + λi Di+1 = Fi ,

2≤i≤n−1

o` u on a pos´e hi−1 hi ; λi = ; hi + hi−1 hi + hi−1 C f (x ) − f (x ) f (x ) − f (x ) D 6 i+1 i i i−1 − . Fi = hi−1 + hi hi hi−1 µi =

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

166 Ainsi le vecteur  2  µ3        

colonne de composantes Di est solution du syst`eme lin´eaire :     D2 F2 λ2   D3   F3  2 λ3       D4   F4  µ4 2 λ4      ·  =  ·  · · ·      ·   ·  · · ·     µn−2 2 λn−2   Dn−2   Fn−2  µn−1 2 Dn−1 Fn−1

(v) Montrer que la matrice est a` diagonale dominante. En d´eduire que la fonction spline s est d´etermin´ee de fa¸con unique par la r´esolution du syst`eme lin´eaire de la question pr´ec´edente. (vi) Application : on consid`ere la distribution cumul´ee N des nouveaux-n´es de m`eres bulgares en fonction de leur aˆge. ˆge a N

15 0

20 7.442

25 26.703

30 41.635

35 49.785

40 50.209

45 50.226

Trouver la fonction spline cubique f qui interpole ces donn´ees et qui v´erifie les conditions f $ (15) = f $ (50) = 0. Exercice 1 Extrait Examen juin 2004 Soit une fonction f que l’on cherche a` interpoler sur l’intervalle [0, 6]. (a) Calculer le polynˆ ome d’interpolation P sur les donn´ees suivantes x 0 2 4 6 f (x) 0.5 −1.7903 3.3900 −1.2795 (b) Sachant que la fonction f est ´egale `a : f (x) = 3 sin(2x) +

1 cos(3x), 2

Calculer l’erreur d’interpolation que vous avez faite en x = 3 et en x = 5. Les r´esultats sont-ils satisfaisants ? Justifier-les (´eventuellement en tra¸cant f ). (c) On cherche `a am´eliorer les r´esultats en interpolant avec une spline cubique, not´ee s. On pose xi = i, i = 0 . . . 5 et Di = s$$ (xi ), i = 0 . . . 5 avec D0 et D5 fix´es. Pour trouver s, on doit r´esoudre le syst`eme suivant : µi Di−1 + 2Di + λi Di+1 = Fi ,

1 ≤ i ≤ 4,

o` u µi = λi = 1/2, i = 1 . . . 4. Ecrire le syst`eme. On notera A la matrice du syst`eme obtenu. On remarquera que A est sym´etrique, d´efinie positive et admet donc une unique factorisation LU (cf TD 6). (f) Pensez-vous que les r´esultats de l’interpolation avec s ainsi calcul´e seront meilleurs ?

167 DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Analyse num´ erique

Feuille TP 3

On pose Tn (x) = cos(n arccos(x)) et X = arccos(x) pour x ∈ [−1; 1]. Exercice 1 Les polynˆ omes de Chebyshev 1. D´emontrez la formule de r´ecurrence des polynˆomes de Chebyshev `a l’aide de MAPLE. (Indice : d´evelopper cos((n + 2)x) puis cos((n + 1)x).) 2. Afficher les 10 premiers polynˆ omes de Chebyshev `a l’aide d’une boucle for. Que vaut le coefficient de plus haut degr´e ? 3. Tracer leurs graphes. D C sont les z´eros d’un des polynˆ omes pr´ec´edents (Lequel ?). 4. V´erifier que les cos (2k−1)π 12

Exercice 2 L’interpolation polynomiale

1. Consultez l’aide en ligne de MAPLE pour l’interpolation. 2. Construire (` a l’aide de MAPLE !) le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de la fonction f d´efinie par f (x) = exp(−x2 ) avec : ∗ 6 points : -5, -3, -1, 1, 3, 5. ∗ 11 points : -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. ∗ 21 points : -5, -4.5, -4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5. 3. Tracer f et son polynˆ ome d’interpolation sur un mˆeme graphe. Que constatez-vous ? Exercice 3 Interpolation polynomiale et polynˆ omes de Chebyshev 1. Quel sont les polynˆ omes de Chebyshev qui poss`edent 6, 11 et 21 z´eros ? 2. Construire (` a l’aide de MAPLE !) le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de la fonction 2 f d´efinie par f (x) = exp(−x ) avec 6, 11 puis 21 points d’interpolation qui seront les 6, 11 puis 21, z´eros d’un polynˆ ome de Chebyshev. 3. Tracer f et ce nouveau poylnˆ ome d’interpolation sur un mˆeme graphe. Que constatezvous ? 1 . 4. Reprendre les trois derni`eres questions avec la fonction f (x) = 1 + x2

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

168

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille 12

Exercice 1 Extrait de l’examen de septembre 2004. Soit la formule de quadrature suivante : ?

1

−1

g(t) dt = a1 g(−2) + a2 g(−1) + a3 g(0) + R(g).

1. D´eterminer les coefficients ai pour i variant de 1 a` 3, de sorte que R(g) = 0, quel que soit g appartenant a` l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, o` u n est le plus grand possible. Que vaut n ? 2. En supposant que R(g) = Kgn+1 (ξ), d´eterminer K. 3. D´eduire des questions pr´ec´edentes, la formule et l’erreur de quadrature pour

?

xn+3

f (x) dx,

xn+1

en posant xn = a + nh. Exercice 2 Extrait de l’examen de juin 2004. Soit la formule d’int´egration num´erique suivante : ?

1 −1

g(x) dx = ω1 g(a) + ω0 g(0) + ω1 g(−a) + R(g).

(a) D´eterminer ω1 , ω0 et a de sorte que R(g) = 0 quelle que soit g appartenant a` l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e le plus grand possible. Quel est le degr´e de pr´ecision de cette formule ? (b) Montrer que π/2 est racine de f (x) = 3 sin(2x) + 12 cos(3x) et trouver a` l’aide de la m´ethode de Newton la racine α de f qui appartient a` l’intervalle [−1, 0]. (On ne demande aucune justification de la convergence de la m´ethode de Newton, ni du choix de x0 ). (c) Calculer `a l’aide de la formule, sur laquelle vous aurez effectu´e le changement de ? π/2 f (t) dt. Calculer l’erreur faite avec cette formule. variables ad´equat : α

Exercice 3 Calcul de l’erreur de la formule de Simpson b−a a+b ,h = . 2 2 (i) Montrer qu’il n’existe qu’un unique polynˆ ome de degr´e 3 tel que

Soit f ∈ C 5 ([a, b]). On note c =

f (a) = p(a),

f (b) = p(b),

f (c) = p(c),

f $ (c) = p$ (c).

169 (ii) Soit A l’application de R4 dans P3 , qui a` 4 valeurs donn´ees associe p d´efini a` la question (i). A : R4 −→ P3 (f (a), f (b), f (c), f $ (c)) 7−→ p tel que

f (a) = p(a),

f (b) = p(b),

f (c) = p(c),

f $ (c) = p$ (c).

Pourquoi l’unicit´e de p d´emontr´ee `a la question (i) vous donne l’existence de p ? (iii) Montrer en vous inspirant de la d´emonstration de l’erreur d’interpolation du polynˆ ome de Lagrange qu’il existe η ∈ [a, b] tel que f (x) − p(x) =

f (4) (η) (x − a)(x − c)2 (x − b). 4!

(t − a)(t − b)(t − c)2 [f (x) − p(x)]). (x − a)(x − b)(x − c)2 ? b (iv) Quel est le degr´e de pr´ecision de la formule de Simpson ? En d´eduire p(x) dx. Que (On ´etudiera la fonction : W (t) = f (t) − p(t) −

vaut alors cette int´egrale en fonction de f (a), f (b) et f (c) ? (v) En d´eduire que la formule de Simpson satisfait ?

a

b

f (x) dx −

a

Ca + bD D −h5 b − aC f (a) + 4f + f (b) = f (4) (ξ) 6 2 90

avec un ξ entre a et b. Formule de la moyenne g´en´eralis´ee : Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] avec g de signe constant sur ]a, b[ alors il existe ξ dans [a, b] tel que ? N.B :

?

a

b

b

f (x)g(x) dx = f (ξ)

a

)

a+b (x − a)(x − b) x − 2

?

b

g(x) dx.

a

*2

dx = −

(b − a)5 . 120

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

170

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille 13

Exercice 1 Montrer que la formule du point milieu est une formule de Gauss. En d´eduire la majoration de l’erreur : .? b *. ) . a + b .. (b − a)3 $$ . f (ξ), ξ ∈]a, b[. f (x) dx − (b − a)f .≤ . 2 24 a Exercice 2 Extrait de l’examen de juin 2004. Soient (xi , yi , zi ), i = 0 . . . n des triplets de R tels que les xi sont distincts. (i) Montrer que le polynˆ ome P de degr´e 2n + 1 tel que : P (xi ) = yi et P $ (xi ) = zi , i = 0 . . . n. est unique. (On ne demande que la d´emonstration de l’unicit´e et non de l’existence). (ii) Soit f ∈ C 2n+2 ([a, b]).On pose yi = f (xi ) et zi = f $ (xi ), i = 0 . . . n. Si a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b et P d´efini comme au (i), montrer qu’alors : f (x) − P (x) =

(x − x0 )2 (x − x1 )2 . . . (x − xn )2 (2n+2) f (ξ) (2n + 2)!

o` u a ≤ min(x, x0 ) < ξ < max(x, xn ) ≤ b. (iii) Quel est le nom de ce polynˆome P ? (iv) Soit f ∈ C 2n+2 ([a, b]). D´emontrer l’erreur des formules de type Gauss ie : f (2n+2) (α) R(f ) = (2n + 2)! o` u vn (t) =

Πni=0 (t

?

a

b

vn2 (t) dt, α ∈ [a, b]

− ti ) avec ti , i = 0 . . . n, n + 1 points de Gauss.

Exercice 3 Diff´ erences divis´ ees g´ en´ eralis´ ees et d´ erivation num´ erique Le but de cet exercice est d’utiliser l’interpolation polynomiale pour obtenir des formules de d´erivation num´erique. Pour ce faire, nous avons besoin d’´etendre la d´efinition des diff´erences divis´ees lorsque les points d’interpolation ne sont pas distincts. Soit n ∈ N. Soient f : [a, b] → R une fonction suffisamment d´erivable et x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn des points non n´ecessairement distincts dans [a, b]. On cherche un polynˆ ome pn ∈ Pn qui interpole la fonction f aux points x0 , . . . , xn , c’est-`a-dire tel que : (j) (z), p(j) n (z) = f

pour j = 0, . . . , m − 1,

pour chaque point z qui intervient m fois dans la suite x0 , . . . , xn .

171 Nous admettrons que ce polynˆ ome est unique et donn´e par la formule classique : pn (x) =

n !

f [x0 , . . . , xk ]vk−1 (x),

k=0

o` u vk (x) = (x − x0 ) . . . (x − xk ), et les diff´erences divis´ees g´en´eralis´ees sont d´efinies par r´ecurrence par : f [xj ] = f (xj )

pour j = 0, . . . , n,  f [x1 , . . . , xk ] − f [x0 , . . . , xk−1 ]   xk − x0 f [x0 , . . . , xk ] = (k) (x )  f 0  k!

si xk > x0 , si xk = x0 .

On peut v´erifier que f [x0 , . . . , xk ] est ind´ependant de l’ordre des xi . (a) Exemple : trouver le polynˆ ome p ∈ P4 interpolant f (x) = ln x tel que : p(1) = f (1) = 0, p(2) = f (2) = 0.693147, p$ (1) = f $ (1) = 1, p$ (2) = f $ (2) = 0.5, p$$ (1) = f $$ (1) = −1. (b) Montrer que pour tout x ∈ [a, b], on a f (x) − pn (x) = f [x0 , . . . , xn , x] vn (x)

(D.4)

On pose gn (x) = f [x0 , . . . , xn , x]. Admettons le th´eor`eme suivant (d´emonstration dans Elementary numerical analysis, S. D. Conte, C. de Boor, page 65). Th´ eor` eme : Supposons que f ∈ C k ([a, b]) et x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xk sont k+1 points non n´ecessairement distincts dans [a, b]. Alors • il existe x0 ≤ ξ ≤ xk tel que f [x0 , . . . , xk ] =

f (k) (ξ) , k!

(D.5)

• la fonction gk−1 : [a, b] → R, x 7→ gk−1 (x) = f [x0 , . . . , xk−1 , x], est continue.

(c) Montrer que

d gn (x) = f [x0 , . . . , xn , x, x]. (D.6) dx (d) D´eduire de (D.4), (D.5) et (D.6) que, pour tout α ∈ [a, b], on a f $ (α) = p$n (α) + E(f ), o` u f (n+1) (η) $ f (n+2) (ξ) vn (α) + v (α) (D.7) E(f ) = (n + 2)! (n + 1)! n avec ξ, η ∈ [a, b].

L’erreur E(f ) dans la d´erivation num´erique se simplifie lorsque qu’on choisit α parmi les xi (alors vn (α) = 0), ou lorsque les points xi sont r´epartis de mani`ere sym´etrique autour de α (alors n est impair et on peut v´erifier que vn$ (α) = 0).

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

172

(e) Ecrire la formule de d´erivation num´erique et l’erreur correspondante pour n = 1. Retrouver les formules vues en cours : (i) en prenant x0 = α et x1 = α + h, (ii) en prenant x0 = α − h et x1 = α + h. (f) En prenant n = 2, x0 = α, x1 = α + h et x2 = α + 2h, montrer que f $ (α) ≈

−3f (α) + 4f (α + h) − f (α + 2h) 2h

avec une erreur E(f ) = pour un ξ ∈ [α, α + 2h].

h2 $$$ f (ξ) 3

173

Analyse num´ erique

DEUG MIAS 2 Ann´ee 2004-2005

Feuille TP 4

Exercice 1 Les formules de Newton-Cotes Ecrire une fonction ”newton-cotes” donnant l’int´egrale sur [a, b] du polynˆ ome d’interpolation P d’une fonction inconnue f en se basant sur une subdivision r´eguli`ere de [a, b] en n points (P est unique avec la condition deg(P ) < n). Exercice 2 M´ ethodes compos´ ees 1. En subdivisant l’intervalle [a, b] en sous intervalles ´ecrire une proc´edure qui donne la formule de Newton-Cˆotes compos´ee. En d´eduire les formules d’int´egration compos´ee classiques : m´ethode des trap`ezes, m´ethode de Simpson. ? 2π 2. Calculer des approximations de exp(cos(t)) dt avec les m´ethodes pr´ec´edentes. Comparer a` la valeur exacte.

0

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

174 Universit´e Louis Pasteur U.F.R. de Math´ematique et Informatique

3 juin 2005

DEUG MIAS 2 Analyse Num´ erique Examen de juin Responsable : S. Salmon L’utilisation de calculatrices de poche est autoris´ee `a condition que leur fonctionnement soit autonome. En cas de difficult´e on peut admettre un ´enonc´e pour r´esoudre une question suivante. Exercice 1 ome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 interpolant f 1. On d´efinit P (x) = a + bx + cx2 le polynˆ aux points α, β et γ (c’est-`a-dire satisfaisant P (α) = f (α), P (β) = f (β) et P (γ) = f (γ)). Ecrire le syst`eme lin´eaire que r´esolvent a, b et c. On appelle M la matrice de ce syst`eme. Faites la factorisation LU de cette matrice. En d´eduire son d´eterminant. Quel r´esultat sur l’interpolation retrouve-t-on ? 2. On cherche P sous la forme A+B(x−α)+C(x−α)(x−β). Ecrire le syst`eme lin´eaire que r´esolvent A, B et C. Quel est le nom de la forme du polynˆ ome P ? Quel est l’avantage de ce syst`eme par rapport au pr´ec´edent ? Exercice 2 Soit f ∈ C 2 ([a, b]), on cherche a` r´esoudre l’´equation f (x) = 0 dans [a, b] ie trouver l ∈ [a, b] solution de f (l) = 0. On suppose connue une suite de points x0 , x1 , . . . , xn dans [a, b]. On appelle l1 la solution dans [a, b] de l’´equation approch´ee P (x) = 0, o` u P est le polynˆ ome d’interpolation de f sur les points xn−1 et xn . 1. Calculer le polynˆome d’interpolation P de f sur les points xn−1 et xn . Trouver alors xn+1 solution de P (x) = 0. 2. Que vaut P (l) − P (l1 ) en fonction de l − l1 ? Que vaut f (x) − P (x) ?

3. On pose en = l − xn . D´eduire de la question pr´ec´edente f (l) − P (l) en fonction de en−1 et en . 4. Comme en+1 = l − xn+1 = l − l1 , d´eduire des deux questions pr´ec´edentes l’expression de en+1 = l − l1 en fonction de en−1 et en .

5. En d´eduire qu’il existe ξ ∈ [a, b] et η ∈ [a, b] tels que : l − l1 = −en−1 en

f $$ (ξ) 2f $ (η)

6. Quelle est l’interpr´etation g´eom´etrique de xn+1 ? Quelle est cette m´ethode ? 7. Qu’avons-nous besoin pour initialiser cette m´ethode ?

175 Exercice 3 Soit f une fonction infiniment d´erivable. On cherche a` approcher d’int´egration num´erique suivante

?

1

f (x)dx par la formule

−1

I1 := a−1 f (−1) + a0 f (0) + a1 f (1).

1. Trouver a−1 , a0 et a1 afin que cette formule soit exacte pour tout polynˆ ome de degr´e aussi grand que possible. Comment s’appelle cette formule et quel est son degr´e de pr´ecision ? 2. On souhaite rendre cette formule plus pr´ecise. Pour la suite, on d´efinit P l’unique polynˆ ome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 interpolant f aux points −1, 0 et 1 (c’est-`a-dire satisfaisant P (−1) = f (−1), P (0) = f (0) et P (1) = f (1)). Trouver P pour f ≡ 1, f ≡ x, f ≡ x2 , f ≡ x3 , f ≡ x4 . Pouvez-vous justifier les r´esultats obtenus ? 3. On cherche maintenant une formule du type I2 := I1 + A0 (f (−1/2) − P (−1/2)) + A1 (f (1/2) − P (1/2)).

ome de degr´e aussi Trouver A0 et A1 de telle sorte que I2 soit exacte pour tout polynˆ grand que possible. Trouver P , le polynˆ ome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 interpolant f aux points −1, 0 et 1 pour f ≡ x5 et f ≡ x6 , en d´eduire le degr´e de pr´ecision de cette nouvelle formule ? 4. On souhaite avoir une formule encore plus pr´ecise. Pour cela, on cherche une formule du type I3 := I1 + A0 (f (−α) − P (−α)) + A1 (f (α) − P (α)),

avec A0 , A1 , α de telle sorte que la formule soit exacte pour tout polynˆ ome de degr´e aussi grand que possible. Quel est le degr´e de pr´ecision de cette derni`ere formule ? ? 1 ? 1 5. Tester les 3 formules pour ´evaluer exp(x/2)dx et exp(2x)dx. Que constate-t-on ? −1

−1

6. Donner les formules d’int´egration correspondant a` I1 , I2 et I3 sur un intervalle quelconque [a, b], en utilisant un changement de variables. Probl`eme Premi` ere partie : question de cours D´emontrer le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 27 Condition suffisante de convergence de la m´ethode du point fixe. Si (1) g(x) est strictement contractante i.e ∃ 0 ≤ L < 1, ∀(x, y) ∈ [a, b]

|g(x) − g(y)| ≤ L |x − y|.

et si (2) x ∈ [a, b] =⇒ g(x) ∈ [a, b] Alors quel que soit x0 ∈ [a, b], la suite (xn )n∈N d´efinie par : fix´e dans [a, b] x0 xn+1 = g(xn ),

converge vers l unique solution de l’´equation l = g(l) dans [a, b].

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

176 Deuxi` eme partie On ´etudie la fonction r´eelle f (x) = x4 + 6x2 − 60x + 36.

1. Etudier f $ la d´eriv´ee de f et montrer que f $ admet une unique solution γ telle que f $ (γ) = 0. Trouver Iγ l’intervalle de la forme [n, n + 1], n ∈ N qui contient γ. 2. Trouver γ par la m´ethode de Newton. Ecrire la m´ethode et justifier soigneusement la convergence.

3. Combien d’it´erations de la m´ethode de Newton sont n´ecessaires pour avoir une erreur inf´erieure `a 10−8 ? Calculer alors γ `a 10−8 pr`es. 4. Montrer que f (γ) = 3(−γ 4 − 2γ 2 + 12). En d´eduire le signe de f (γ) et montrer alors que f poss`ede deux z´eros α et β sur R. Trouver Iα et Iβ les intervalles de la forme [n, n + 1], n ∈ N qui contiennent α et β.

5. On d´efinit la m´ethode suivante pour trouver α ou β : I x0 ∈ Iα ou Iβ 1 4 xn+1 = g(xn ) = (x + 6x2n + 36) 60 n

Justifier le choix de la m´ethode. Converge-t-elle vers α ? Converge-t-elle vers β ?

177 Universit´e Louis Pasteur U.F.R. de Math´ematique et Informatique

6 septembre 2005

DEUG MIAS 2 Analyse Num´ erique Examen de Septembre Responsable : S. Salmon L’utilisation de calculatrices de poche est autoris´ee `a condition que leur fonctionnement soit autonome. En cas de difficult´e on peut admettre un ´enonc´e pour r´esoudre une question suivante. Exercice 1 1. Montrer qu’une matrice d´efinie positive est inversible. 2. Soit Ah la matrice suivante :  −1 0 0 ... 0 2 + c1 h2  ..  −1 0 . −1 2 + c2 h2   .. . 2 . . 1  0 −1 2 + c3 h −1 .  Ah = 2  . . . h  .. .. .. 0 −1 0   .. .. .. ..  . . . . −1 0 ... ... 0 −1 2 + cN h2

           

Quelles sont les deux propri´et´es ´evidentes de Ah ? Montrer que si ci ≥ 0, ∀i = 1 . . . N alors Ah est d´efinie positive (donc inversible).

Exercice 2 Soit la formule d’int´egration num´erique suivante : ? 1 f (x) dx = a f (−1) + b f (0) + c f (1) + d f $ (0) + R(f ), −1

o` u f $ d´esigne la fonction d´eriv´ee de f . 1. Quel est le syst`eme que doivent r´esoudre a, b, c, d pour que cette formule soit exacte (R(f ) = 0) sur l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e le plus ´elev´e possible ? Noter A la matrice de ce syst`eme. 2. Quelle est la d´ecomposition LU de A ? 3. R´esoudre le syst`eme. Quelle est cette formule, quel est son degr´e de pr´ecision et la forme de l’erreur ?

´ 2004-2005 ANNEXE D. ANNEE

178 Exercice 3

1 . x+1 1. Quel est le polynˆ ome d’interpolation de f construit sur les abscisses suivantes x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 ?

Soit la fonction f d´efinie par f (x) =

2. Calculer P (3/2). A quelle erreur peut-on s’attendre ? Comparer a` l’erreur exacte. Exercice 4 Soit la fonction d´efinie par f (x) = x − 1 − e−x .

1. Etudier cette fonction f et tracer son graphe. En d´eduire que l’´equation f (x) = 0 a une unique solution not´ee s. Trouver I intervalle de la forme [n, n+1], n ∈ N qui contient s.

2. On d´efinit la m´ethode it´erative : x0 ∈ I xn+1 = g(xn ) = 1 + e−x Cette m´ethode converge-t-elle vers s ?

3. D´eterminer le nombre d’it´erations assurant que l’erreur en = xn −s v´erifie |en | ≤ 5.10−4 . 4. Etudier la convergence de la m´ethode d´efinie par : x0 ∈ I xn+1 = h(xn ) = −ln(x − 1)

5. Ecrire la m´ethode de Newton relative a` la fonction f . Quelles sont les valeurs de x0 qui assurent la convergence de la m´ethode ? 6. Effectuer num´eriquement deux it´erations de la m´ethode de Newton pour x0 = 1. Puis par la m´ethode d´efinie en 2, effectuer les it´erations jusqu’` a l’obtention d’un r´esultat voisin `a 5.10−4 pr`es de celui de Newton. Conclure.

Annexe E

Ann´ ee 2005-2006

179

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

180

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille 1

R´evisions Exercice 1 Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires a) Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. b) Soit I un intervalle de R et f : I → R continue telle que ∀x ∈ I, f (x)2 = 1. Montrer que f = 1 ou f = −1. c) Soit f : R+ → R continue admettant une limite finie en +∞. Montrer que f est born´ee. Atteint-elle ses bornes ? Exercice 2 Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires a) Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires pour une fonction strictement monotone. b) Montrer que l’´equation 3 − 2x = ex poss`ede une unique solution α dans R. V´erifier que 0 ≤ α ≤ 1. Est-ce que 12 ≤ α ≤ 1 ? Exercice 3 Th´ eor` eme de Rolle a) Enoncer le th´eor`eme de Rolle. Interpr´etation g´eom´etrique ? b) Soit f une fonction n fois d´erivable sur ]a, b[ s’annulant en n+1 points de ]a, b[. Montrer que si f (n) est continue, il existe un point x0 de ]a, b[ tel que f (n) (x0 ) = 0. c) Montrer que le polynˆ ome Pn d´efini par Pn (t) = [(1 − t2 )n ](n) est un polynˆ ome de degr´e n dont les racines sont r´eelles, simples et appartiennent a` [−1, 1]. Exercice 4 T.A.F. a) Utiliser le th´eor`eme de Rolle pour d´emontrer le th´eor`eme des accroissements finis (inf (b) − f (a) (x − a)). dication : on introduira ϕ(x) = f (x) − b−a b) Montrer que pour tout x > 0, 1 1 < ln(x + 1) − ln(x) < . x+1 x c) Une fonction f est dite strictement contractante sur I s’il existe une constante 0 < k < 1 telle que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| pour tous x, y ∈ I. Montrer que f (x) = e−(1+x) est strictement contractante sur R+ .

181 Exercice 5 Suite de Cauchy a) Une suite (un )n∈N est dite de Cauchy lorsque, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que, si m, n " N alors |un − um | < ε. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. b) On prend maintenant (un ) une suite de Cauchy. On veut montrer que (un ) converge. Montrer que (un ) est born´ee. Soit la suite (vn ) donn´ee par son terme g´en´eral vn = sup{up , p ≥ n}. Montrer que la suite (vn ) converge (indication : quel est son sens de variation ?). Montrer que un − vn → 0. Conclure. c) Soit f une fonction strictement contractante sur R. Montrer que la suite d´efinie par x0 ∈ R, xn+1 = f (xn ) est une suite de Cauchy. Arithm´etique des ordinateurs Exercice 6 Repr´ esentation des nombres sur un ordinateur. Soit le syst`eme de num´erotation flottante d´efini par : +

f l(X) =− .a1 a2 a3 . . . aN × be avec 0 ≤ ai ≤ b − 1 et a1 "= 0. Rappel : b ∈ N, b ≥ 2 est la base de num´eration, a = a1 a2 a3 . . . aN la mantisse, −m < e < M l’exposant o` u m, M ∈ N sont impos´es par la taille m´emoire de la machine, N est le nombre maximal de chiffres significatifs (aussi impos´e par le choix de la taille des emplacements m´emoires allou´es au type r´eel). a) On choisit : b = 2, N = 2, −2 ≤ e ≤ 3. Combien y-a-t-il de nombres positifs distincts repr´esentables dans ce syst`eme ? Quels sont-ils ? b) On choisit : b = 10, N = 3, −9 ≤ e ≤ 9. Combien y-a-t-il de nombres positifs distincts repr´esentables dans ce syst`eme ? Exercice 7 L’addition flottante n’est pas associative ! ! L’addition flottante n’est pas associative : en virgule flottante a` n chiffres significatifs, (a+b)+c peut ˆetre different de a + (b + c). C’est le cas avec le choix suivant o` u les calculs sont faits avec 8 chiffres significatifs : a = 0.23371258 ∗ 10−4 ; b = 0.33678429 ∗ 102 ; c = −0.33677811 ∗ 102 . Effectuer le calcul.

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

182

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille 2

R´esolution d’´equations non lin´eaires Exercice 1 Extrait de l’examen de septembre 2003. On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par f (x) = x4 − 4x3 − 1. 1. Localiser chaque racine de l’´equation f (x) = 0 dans un intervalle form´e de deux entiers cons´ecutifs. 2. Soient les trois m´ethodes d’approximations successives d´efinies par les relations suivantes : xn+1 = x4n − 4x3n + xn − 1 xn+1 =

1

1

(xn − 4) 3

xn+1 =

1 +4 x3n

On montrera quelles suites parmi celles propos´ees sont int´eressantes pour obtenir chacune des racines de l’´equation. 3. Ecrire la m´ethode de Newton relative a` la fonction f . Justifier le choix de x0 . Exercice 2 Extrait de l’examen de juin 2003. Soient les deux fonctions suivantes : f (x) = x et g(x) = ln(1 + 2x). On cherche a` calculer num´eriquement l’aire comprise entre ces deux courbes. On note h(x) = f (x) − g(x).

1. Etudier la fonction h. Montrer qu’il existe deux valeurs pour lesquelles h s’annule : une valeur ´evidente (laquelle ?) et une valeur que l’on note α. Localiser α dans un intervalle I = [i, i + 1] o` u i est un entier.

2. Pour approcher α, on d´efinit la suite suivante : x0 ∈ I xn+1 = g(xn ) Montrer que cette suite converge bien vers α. Calculer deux it´er´es. 3. Ecrire la m´ethode de Newton qui permet de trouver une approximation de α. Justifier le choix du x0 qui assure la convergence et calculer quatre it´er´es. Donner une valeur approch´ee de α.

183 Exercice 3 Extrait de l’examen de septembre 2005. Soit la fonction d´efinie par f (x) = x − 1 − e−x .

1. Etudier cette fonction f et tracer son graphe. En d´eduire que l’´equation f (x) = 0 a une unique solution not´ee s. Trouver I intervalle de la forme [n, n+1], n ∈ N qui contient s.

2. On d´efinit la m´ethode it´erative : x0 ∈ I xn+1 = g(xn ) = 1 + e−x Cette m´ethode converge-t-elle vers s ?

3. D´eterminer le nombre d’it´erations assurant que l’erreur en = xn −s v´erifie |en | ≤ 5.10−4 . 4. Etudier la convergence de la m´ethode d´efinie par : x0 ∈ I xn+1 = h(xn ) = −ln(x − 1)

5. Ecrire la m´ethode de Newton relative a` la fonction f . Quelles sont les valeurs de x0 qui assurent la convergence de la m´ethode ? 6. Effectuer num´eriquement deux it´erations de la m´ethode de Newton pour x0 = 1. Puis par la m´ethode d´efinie en 2, effectuer les it´erations jusqu’` a l’obtention d’un r´esultat voisin `a 5.10−4 pr`es de celui de Newton. Conclure. Probl`eme Extrait de l’examen de juin 2005. Premi` ere partie : question de cours D´emontrer le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 28 Condition suffisante de convergence de la m´ethode du point fixe. Si (1) g(x) est strictement contractante i.e ∃ 0 ≤ L < 1, ∀(x, y) ∈ [a, b]

|g(x) − g(y)| ≤ L |x − y|.

et si (2) x ∈ [a, b] =⇒ g(x) ∈ [a, b] Alors quel que soit x0 ∈ [a, b], la suite (xn )n∈N d´efinie par : fix´e dans [a, b] x0 xn+1 = g(xn ), converge vers l unique solution de l’´equation l = g(l) dans [a, b]. Deuxi` eme partie On ´etudie la fonction r´eelle f (x) = x4 + 6x2 − 60x + 36.

184

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

1. Etudier f $ la d´eriv´ee de f et montrer que f $ admet une unique solution γ telle que f $ (γ) = 0. Trouver Iγ l’intervalle de la forme [n, n + 1], n ∈ N qui contient γ.

2. Trouver γ par la m´ethode de Newton. Ecrire la m´ethode et justifier soigneusement la convergence.

3. Combien d’it´erations de la m´ethode de Newton sont n´ecessaires pour avoir une erreur inf´erieure `a 10−8 ? Calculer alors γ `a 10−8 pr`es. 4. Montrer que f (γ) = 3(−γ 4 − 2γ 2 + 12). En d´eduire le signe de f (γ) et montrer alors que f poss`ede deux z´eros α et β sur R. Trouver Iα et Iβ les intervalles de la forme [n, n + 1], n ∈ N qui contiennent α et β.

5. On d´efinit la m´ethode suivante pour trouver α ou β : I x0 ∈ Iα ou Iβ 1 4 xn+1 = g(xn ) = (x + 6x2n + 36) 60 n

Justifier le choix de la m´ethode. Converge-t-elle vers α ? Converge-t-elle vers β ?

185

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille 3

R´esolution d’´equations non lin´eaires Exercice 1 M´ ethode d’acc´ el´ eration d’Aitken Soit (xn ) une suite d´efinie par :

-

x0 xn+1

∈ [a; b] = g(xn )

et convergente vers l solution de f (x) = 0. On suppose que l’ordre de cette m´ethode est 1 soit : en+1 = (A + +n )en , o` u en = xn − l, A = g$ (l), 0 < A < 1 et lim +n = 0 n→∞

1. Montrer que en+2 − 2en+1 + en s’´ecrit ((A − 1)2 + θn )en avec limn→∞ θn = 0 2. Soit x$n = xn −

(xn+1 − xn )2 . Montrer que xn+2 − 2xn+1 + xn

θn − 2+n (A − 1) − +2n x$n − l = . xn − l ((A − 1)2 + θn ) x$n − l ? n→∞ xn − l

Que vaut lim

Normes matricielles et conditionnement Exercice 2 1. Soit 5 · 5 une norme matricielle, et b un vecteur non nul de RN . Que vaut xbT ?

2. Montrer que x 7−→5 xbT 5 est une norme vectorielle compatible avec la norme matricielle. Exercice 3 Soit A une matrice carr´ee quelconque. Soit 5 · 5 une norme matricielle subordonn´ee `a une norme vectorielle. 1. Montrer que ρ(A) ≤ 5A5.

|λmax (A)| o` u λmax (A) et λmin (A) |λmin (A)| d´esignent respectivement la plus grande et la plus petite valeur propre de A, en module.

2. Supposons A inversible. Montrer que Cond(A) ≥

Exercice 4

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

186

1. V´erifier que AT A est sym´etrique r´eelle et que AT A est d´efinie positive si et seulement si A est inversible. 4 5 Ax 52 = ρ(AT A) 2. Montrer que 5 A 52 = sup 5 x 52 3. Que se passe-t-il si A est sym´etrique ? Qu’en d´eduisez-vous sur Cond(A) dans ce cas ? 4. Que se passe-t-il si A est orthogonale (AT A = AAT = I) ? Qu’en d´eduisez-vous sur Cond(A) dans ce cas ? 5. Soit U une matrice orthogonale (U T U = U U T = I). Calculer 5 U 52 . V´erifier que 5 AU 52 =5 U A 52 =5 A 52 pour toute matrice A. Exercice 5 Conditionnement Soient A=

)

10 7 14 10

*

b=

)

17 24

1. R´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax = b. 2. R´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax = b + δb avec ) * 0.5 δb = −0.5 3. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (A + δA)x = b avec ) * 0 0.5 δA = −0.5 0 4. Que pensez-vous des r´esultats obtenus ?

*

187

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille TP 1

Exercice 1 R´ esolution d’´ equations On cherche a` r´esoudre f (x) = x − e−(1+x) = 0. 1. Programmer la m´ethode it´erative suivante (A) : x0 xn+1 = g(xn ) o` u g(x) = e−(1+x) .

Quelle est la limite obtenue ? Comparer `a la solution donn´ee par Maple. 2. Programmer la m´ethode d’acc´el´eration d’Aitken sur la suite pr´ec´edente : x$n = xn −

(xn+1 − xn )2 . xn+2 − 2xn+1 + xn

3. Programmer la m´ethode de Newton pour f . Exercice 2 R´ esolution d’´ equations

On cherche a` approcher l, l’unique z´ero de f (x) = 3, 6x(x − 1)(x − 2) entre 0, 1 et 1, 9. Pour cela, on cherche de mani`ere ´equivalente l’unique point fixe de g(x) = x + f (x). 1. Tracer la courbe repr´esentative de g et la droite y = x. Quel est ce point fixe ? 2. Calculer g$ (l). Conclure. 3. Programmer n´eanmoins la m´ethode du point fixe en l’initialisant a` 1. Puis en l’initialisant de la fa¸con suivante : > x[0]:=fsolve(g(x)=1,x=0..0.2); Que constatez-vous ? 4. Initialisez d´esormais le point fixe de la fa¸con suivante : > paf:=fsolve(g(x)=1,x=0..0.2); > x[0]:=fsolve(g(x)=paf,x=1.2..1.5); Que constatez-vous ? Conclure. Exercice 3 M´ ethode de Newton : exemples Ecrire la m´ethode de Newton correspondant aux fonctions suivantes. Regarder l’´evolution des it´er´es, qu’en pensez-vous ? a) f (x) = ex/10 − 10−5 4 b) f (x) = ln(x + 2)ex c) f (x) = x3 − 2x + 1 Exercice 4 Suite de Sturm Trouver toutes les racines du polynˆ ome x8 + 3x7 − 2x5 + 12x4 − 7x2 + 1.

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

188

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille 4

D´ecomposition LU Exercice 1 V´erifier que pour : 

alors

puis que

   1 0 0 1 0 0 1 0  L1 =  −l21 1 0  et L2 =  0 0 −l32 1 −l31 0 1 

1

 l21 L−1 1 = l31

   0 0 1 0 0  0 1 0  1 0  et L−1 2 = 0 l32 1 0 1 

1

0 1

−1  l21 L = L−1 1 × L2 = l31 l32

 0 0  1

Appliquer la m´ethode de Gauss sans permutation au syst`eme Ax = b,     4 8 12 4 A =  3 8 13  b= 5  2 9 18 11

Exercice 2

Utiliser la m´ethode de Gauss pour r´esoudre le syst`eme suivant :  z = 4  2x + 3y + −x + my + 2z = 5  7x + 3y + (m − 5)z = 7

Discuter suivant les valeurs de m. Exercice 3

Soient A une matrice n × n et u et v deux vecteurs colonnes de longueur n. V´erifier que : (A − uv t )−1 = A−1 + αA−1 uv t A−1 avec α = Quelle est la condition d’existence de cette inverse ? On consid`ere la matrice   1 1 1 A= 1 2 2  1 2 3

1 . 1 − v t A−1 u

189 1. Quelle est la d´ecomposition LU de A ? u les ei sont les 2. R´esoudre, en utilisant la question pr´ec´edente, les syst`emes AXi = ei o` vecteurs de la base canonique usuelle de R3 . En d´eduire A−1 . Exercice 4 Extrait de l’examen de septembre 2003. On consid`ere le syst`eme (S) =

-

3x + 5y = 2 (3 + ε)x + (5 + ε)y = 2

• Calculer la solution exacte de ce syst`eme. Que remarquez-vous ? u p est tel que 1 + 10−p = 1 sur votre calculatrice. • Prenez ε = 10−p o` R´esolvez (S) a` l’aide de Gauss sans recherche de pivot. • Faites de mˆeme `a l’aide de Gauss avec strat´egie de pivot partiel. Comparez les r´esultats. Exercice 5 Ecrire la factorisation de Choleski pour une matrice sym´etrique d´efinie positive et compter le nombre d’op´erations.

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

190

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille TP 2

R´esolution de syst`emes lin´eaires Exercice 1 D´ ecomposition LU 1. Ecrire une proc´edure LU (sans strat´egie de pivot) qui a` une matrice  donn´ee A retournela 2 3 0 1  3 5 −2 7  . liste de matrices L et U de la factorisation de A. Tester avec A =   0 −2 1 2  −1 7 2 0 Indices : ∗ Inutile de conserver les valeurs de A, elles seront remplac´ees par celles de U : vous devez donc copier A dans U au d´ebut de votre programme. ∗ Consulter l’aide en ligne de addrow. 2. Utiliser votre proc´edure pour trouver le d´eterminant de A.

3. Ecrire une proc´edure descente et une proc´edure remont´ee pour r´esoudre respectivement Ly = b et U x = y. u ei estH le i-`eme vecteur de la base 4. Appliquer ces proc´edures pour r´esoudreGLU xi = ei o` N canonique de R . Que vaut la matrice x1 x2 . . . xn ?

5. Modifier votre proc´  edure afin qu’elleretourne un message d’erreur en cas de pivots nuls. 1 −1 1 1  −1 1 2 2  . Tester avec A =   1 1 3 1  1 1 1 4

Exercice 2 

   La matrice hilbertienne H ∈ Mn (R), H =   

1 1/2 1/3 1/4 .. .

1/2 1/3 1/4 1/5 .. .

1/3 1/4 1/5 1/6 .. .

 1/4 . . . 1/5 . . .   1/6 . . .   est d´efinie positive 1/7 . . .   .. .

pour tout n ∈ N. Calculer le conditionnement de H pour diff´erentes valeurs de n et faire une repr´esentation graphique. Exercice 3 On dit que A = (ai,j )ni,j=1 est une matrice bande d’indice p, si elle v´erifie ai,j = 0,

|i − j| ≥ p.

V´erifier sur des exemples que si A est une matrice bande d’indice p, et si A admet une d´ecomposition LU , alors L et U sont aussi des matrices bandes d’indice p.

191

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille 5

Interpolation polynomiale Exercice 1 Polynˆ omes de Lagrange (Joseph-Louis Lagrange, franco-italien, 1736-1813) Soient les points d’interpolation suivants : (−1, 0), (0, −1), (1, 0) et (2, −1). Trouvez le polynˆ ome d’interpolation de degr´e 3 passant par ces points : a) par une m´ethode d’identification, b) par une m´ethode de mise en facteurs, c) `a l’aide des polynˆ omes de Lagrange. Exercice 2 Matrice de Vandermonde (Alexandre Vandermonde, fran¸cais, 1735-1796) ´ a) Ecrire le syst`eme lin´eaire qui d´efinit le polynˆ ome d’interpolation de degr´e 3 passant par les points de coordonn´ees (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ). b) Calculer le d´eterminant de la matrice V de ce syst`eme lin´eaire (on pourra effectuer des manipultations de lignes et de colonnes). La matrice V est appel´ee matrice de Vandermonde. c) Calculer dans le cas g´en´eral (i.e. en dimension quelconque) le d´eterminant d’une matrice de Vandermonde. Exercice 3 Diff´ erences divis´ ees a) Retrouvez par la m´ethode des diff´erences divis´ees le polynˆome d’interpolation de Lagrange de degr´e 3 aux points (−1, 0), (0, −1), (1, 0) et (2, −1) (polynˆ ome d´ej` a obtenu). b) R´e´ecrire l’arbre des diff´erences divis´ees lorsque les points x0 , x1 , x2 , x3 sont r´eguli`erement r´epartis (formule de Newton : Sir Isaac Newton, anglais, 1643-1727). Exercice 4 Algorithme de Neville-Aitken (Eric Harold Neville, anglais, 1889-1961 et Alexander Aitken, n´eo-z´elandais, 1895-1967) omes : Pour deux suites de nombres x1 , x2 , . . . , xr et y1 , y2 , . . . , yr , on d´efinit la suite de polynˆ Pk,0 = yk

Pk,j+1 (x) =

pour k = 0, 1, . . . , r et

(xk − x)Pj,j (x) − (xj − x)Pk,j (x) pour k = j + 1, . . . , r et j = 0, . . . , k − 1. xk − xj

a) Construire P3,3 avec (x0 , y0 ) = (−1, 0), (x1 , y1 ) = (1, 0), (x2 , y2 ) = (2, 3) et (x3 , y3 ) = (3, 2). ome d’interpolation de Lagrange b) Montrez par r´ecurrence que Pk,j avec k ≥ j est le polynˆ pour les points x0 , x1 , . . . , xj−1 , xk . c) Qu’en concluez-vous pour Pk,k ?

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

192 Exercice 5 On consid`ere la fonction f donn´ee par la table suivante : x f (x)

0 0

2 28.28427

4 40

6 48.98979

(1) Construire la table des diff´erences progressives (∆) `a partir des donn´ees. (2) Ecrire le polynˆ ome P d’interpolation de f sur les donn´ees {0; 2; 4} en utilisant la formulation de Newton avec diff´erences progressives. Calculer P (3). (3) Faire de mˆeme avec les donn´ees {2; 4; 6}. On notera Q le polynˆ ome. Calculer Q(3). √ (4) Sachant que f (x) = 20 x, calculer les erreurs r´eelles. Etudier une majoration des erreurs th´eoriques dans les deux cas. Conclure. (5) Par interpolation inverse, calculer f −1 (34, 641). Exercice 6 1. On d´efinit P (x) = a + bx + cx2 le polynˆ ome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 interpolant f aux points α, β et γ (c’est-`a-dire satisfaisant P (α) = f (α), P (β) = f (β) et P (γ) = f (γ)). Ecrire le syst`eme lin´eaire que r´esolvent a, b et c. On appelle M la matrice de ce syst`eme. Faites la factorisation LU de cette matrice. En d´eduire son d´eterminant. Quel r´esultat sur l’interpolation retrouve-t-on ? 2. On cherche P sous la forme A+B(x−α)+C(x−α)(x−β). Ecrire le syst`eme lin´eaire que r´esolvent A, B et C. Quel est le nom de la forme du polynˆ ome P ? Quel est l’avantage de ce syst`eme par rapport au pr´ec´edent ? Exercice 7 Soit f ∈ C 2 ([a, b]), on cherche a` r´esoudre l’´equation f (x) = 0 dans [a, b] ie trouver l ∈ [a, b] solution de f (l) = 0. On suppose connue une suite de points x0 , x1 , . . . , xn dans [a, b]. On appelle l1 la solution dans [a, b] de l’´equation approch´ee P (x) = 0, o` u P est le polynˆ ome d’interpolation de f sur les points xn−1 et xn . 1. Calculer le polynˆome d’interpolation P de f sur les points xn−1 et xn . Trouver alors xn+1 solution de P (x) = 0. 2. Que vaut P (l) − P (l1 ) en fonction de l − l1 ? Que vaut f (x) − P (x) ? 3. On pose en = l − xn . D´eduire de la question pr´ec´edente f (l) − P (l) en fonction de en−1 et en . 4. Comme en+1 = l − xn+1 = l − l1 , d´eduire des deux questions pr´ec´edentes l’expression de en+1 = l − l1 en fonction de en−1 et en . 5. En d´eduire qu’il existe ξ ∈ [a, b] et η ∈ [a, b] tels que : l − l1 = −en−1 en

f $$ (ξ) 2f $ (η)

6. Quelle est l’interpr´etation g´eom´etrique de xn+1 ? Quelle est cette m´ethode ? 7. Qu’avons-nous besoin pour initialiser cette m´ethode ?

193

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille 6

TD de pr´eparation au TP Maple 3.

´ Probl` eme 1 Etude des polynˆ omes de Tchebycheff (Pafnuty Lvovich Chebyshev, russe, 18211894) On appelle fonction polynomiale de Tchebycheff de degr´e n, l’application Tn : [−1, +1] → R x 7−→ cos(narccos(x)).

ome de 1) Montrez en posant cos(θ) = x que pour tout entier n positif, Tn est un polynˆ degr´e n en x. 2) Montrez que pour tout n ≥ 2, on a Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x). 3) Calculez les 5 premiers polynˆomes de Tchebycheff. 4) D´eterminez en fonction de n le coefficient du terme en xn de Tn . 5) On pose

2k − 1 π) pour k = 1, . . . , n. 2n Montrez que Tn poss`ede n z´eros simples. Ces z´eros sont appel´es les points de Tchebycheff d’ordre n. Xk = cos(

6) Si f est une fonction de classe C n+1 [−1, 1] , on rappelle que l’on a l’estimation d’erreur . (n+1) . .f (x). max |(x − x0 ) . . . (x − xn )| |f (x) − P (x)| ≤ max x∈[−1,+1] (n + 1)! x∈[−1,+1] o` u P est le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange en les points x0 , . . . , xn . On admettra le r´esultat suivant max

x∈[−1,+1]

|(x − x0 ) . . . (x − xn )| ≥

max

x∈[−1,+1]

|(x − X0 ) . . . (x − Xn )| .

Expliquez pourquoi les points de Tchebycheff sont de bons points d’interpolation. 7) Quels points d’interpolation faut-il choisir si l’intervalle d’interpolation est le segment [a, b] ?

194

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Analyse num´ erique

Feuille TP 3

On pose Tn (x) = cos(n arccos(x)) et X = arccos(x) pour x ∈ [−1; 1]. Exercice 1 Les polynˆ omes de Chebyshev 1. D´emontrez la formule de r´ecurrence des polynˆomes de Chebyshev `a l’aide de MAPLE. (Indice : d´evelopper cos((n + 2)x) puis cos((n + 1)x).) 2. Afficher les 10 premiers polynˆ omes de Chebyshev `a l’aide d’une boucle for. Que vaut le coefficient de plus haut degr´e ? 3. Tracer leurs graphes. D C sont les z´eros d’un des polynˆ omes pr´ec´edents (Lequel ?). 4. V´erifier que les cos (2k−1)π 12

Exercice 2 L’interpolation polynomiale

1. Consultez l’aide en ligne de MAPLE pour l’interpolation. 2. Construire (` a l’aide de MAPLE !) le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de la fonction f d´efinie par f (x) = exp(−x2 ) avec : ∗ 6 points : -5, -3, -1, 1, 3, 5. ∗ 11 points : -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. ∗ 21 points : -5, -4.5, -4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5. 3. Tracer f et son polynˆ ome d’interpolation sur un mˆeme graphe. Que constatez-vous ? Exercice 3 Interpolation polynomiale et polynˆ omes de Chebyshev 1. Quel sont les polynˆ omes de Chebyshev qui poss`edent 6, 11 et 21 z´eros ? 2. Construire (` a l’aide de MAPLE !) le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de la fonction 2 f d´efinie par f (x) = exp(−x ) avec 6, 11 puis 21 points d’interpolation qui seront les 6, 11 puis 21, z´eros d’un polynˆ ome de Chebyshev. 3. Tracer f et ce nouveau poylnˆ ome d’interpolation sur un mˆeme graphe. Que constatezvous ? 1 . 4. Reprendre les trois derni`eres questions avec la fonction f (x) = 1 + x2

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille 7

Exercice 1 Le but de ce probl`eme est l’´evaluation num´erique de l’int´egrale suivante : I =

?

0

1

dx 0 . (1 + x) x(1 − x)

1. Dire pourquoi on ne peut appliquer a` I ni la m´ethode des trap`ezes, ni celle de Simpson. 2. On cherche alors une formule du type : ) * ? 1 f (x) 1 0 dx = A0 f (0) + A1 f + A2 f (1) + R1 (f ). (E.1) 2 x(1 − x) 0 D´eterminer les coefficients Ai de sorte que R1 (f ) soit nul pour f appartenant a` l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, n aussi grand que possible. Pour faciliter les calculs, on utilisera de r´ecurrence suivante, qu’on ne cherchera ? 1 la relation xk 0 dx, alors : pas ` a d´emontrer : si Jk = x(1 − x) 0 I

J0 = π 2k − 1 Jk−1 Jk = 2k

Que vaut n ? On suppose qu’il existe ξ ∈ [0, 1] tel que ∀f ∈ C n+2 ([0; 1]) : R1 (f ) = C f n+1 (ξ). D´eterminer C. Application num´erique ` a I : quelle approximation I1 de I obtient-on ? Donner une majoration de |R1 (f )|. Exercice 2 Extrait examen septembre 2005 Soit la formule d’int´egration num´erique suivante : ? 1 f (x) dx = a f (−1) + b f (0) + c f (1) + d f $ (0) + R(f ), −1

o` u f $ d´esigne la fonction d´eriv´ee de f . 1. Quel est le syst`eme que doivent r´esoudre a, b, c, d pour que cette formule soit exacte (R(f ) = 0) sur l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e le plus ´elev´e possible ? Noter A la matrice de ce syst`eme. 2. Quelle est la d´ecomposition LU de A ? 3. R´esoudre le syst`eme. Quelle est cette formule, quel est son degr´e de pr´ecision et la forme de l’erreur ?

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

196 Exercice 3

1. On cherche a` ´etablir la formule de quadrature suivante : ? 1 f (x) dx = H [f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 )] + R(f ) −1

de sorte qu’elle soit exacte si f appartient a` l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´e n, n aussi grand que possible. (a.) Ecrire les ´equations d´etermin´ees par R(xk ) = 0, k = 0, 1, 2, 3. (b.) Soit P (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) = x3 + c1 x2 + c2 x + c3 . V´erifier que :   c1 = −(x1 + x2 + x3 ) c2 = x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 (E.2)  c3 = −x1 x2 x3 En utilisant les ´equations du (a.), montrer que : P (x) = x3 −

x 2

En d´eduire x1 , x2 , x3 et la formule de quadrature. Quel est son degr´e de pr´ecision (not´e d) ? (c.) D´eterminer R(f ) en prenant f (x) = xd+1 et en supposant que R(f ) = Kf (d+1) (ξ), ξ ∈ [−1, 1]. ? b 2. En d´eduire la formule de quadrature pour l’approximation de g(x) dx, ainsi que a

l’erreur.

3. Application num´erique : Calculer une approximation de I =

?

1

sin(x) dx.

0

4. Comparer le r´esultat de la question pr´ec´edente `a celui obtenu par la formule de Simpson appliqu´ee `a I. Pouvait-on le pr´evoir grˆ ace aux termes d’erreur ? Exercice 4 Extrait examen juin 2005 Soit f une fonction infiniment d´erivable. On cherche a` approcher d’int´egration num´erique suivante

?

1

f (x)dx par la formule

−1

I1 := a−1 f (−1) + a0 f (0) + a1 f (1). ome de degr´e 1. Trouver a−1 , a0 et a1 afin que cette formule soit exacte pour tout polynˆ aussi grand que possible. Comment s’appelle cette formule et quel est son degr´e de pr´ecision ? 2. On souhaite rendre cette formule plus pr´ecise. Pour la suite, on d´efinit P l’unique polynˆ ome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 interpolant f aux points −1, 0 et 1 (c’est-`a-dire satisfaisant P (−1) = f (−1), P (0) = f (0) et P (1) = f (1)). Trouver P pour f ≡ 1, f ≡ x, f ≡ x2 , f ≡ x3 , f ≡ x4 . Pouvez-vous justifier les r´esultats obtenus ?

197 3. On cherche maintenant une formule du type I2 := I1 + A0 (f (−1/2) − P (−1/2)) + A1 (f (1/2) − P (1/2)). ome de degr´e aussi Trouver A0 et A1 de telle sorte que I2 soit exacte pour tout polynˆ grand que possible. Trouver P , le polynˆ ome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 interpolant f aux points −1, 0 et 1 pour f ≡ x5 et f ≡ x6 , en d´eduire le degr´e de pr´ecision de cette nouvelle formule ?

4. On souhaite avoir une formule encore plus pr´ecise. Pour cela, on cherche une formule du type I3 := I1 + A0 (f (−α) − P (−α)) + A1 (f (α) − P (α)),

ome de degr´e avec A0 , A1 , α de telle sorte que la formule soit exacte pour tout polynˆ aussi grand que possible. Quel est le degr´e de pr´ecision de cette derni`ere formule ? ? 1 ? 1 exp(x/2)dx et exp(2x)dx. Que constate-t-on ? 5. Tester les 3 formules pour ´evaluer −1

−1

6. Donner les formules d’int´egration correspondant a` I1 , I2 et I3 sur un intervalle quelconque [a, b], en utilisant un changement de variables. Exercice 5 1. Montrer qu’une matrice d´efinie positive est inversible. 2. Soit Ah la matrice suivante :  −1 0 0 ... 0 2 + c1 h2  ..  . −1 2 + c2 h2 −1 0   .. . 1  0 −1 2 + c3 h2 −1 . . . Ah = 2  .. . . h  .. ..  . 0 −1 0   .. .. .. ..  . . . . −1 0 ... ... 0 −1 2 + cN h2

           

Quelles sont les deux propri´et´es ´evidentes de Ah ? Montrer que si ci ≥ 0, ∀i = 1 . . . N alors Ah est d´efinie positive (donc inversible).

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

198

Analyse num´ erique

L2 Math´ematiques Ann´ee 2005-2006

Feuille TP 4

Exercice 1 Les formules de Newton-Cˆ otes Ecrire une fonction ”newton-cotes” donnant l’int´egrale sur [a, b] du polynˆ ome d’interpolation P d’une fonction inconnue f en se basant sur une subdivision r´eguli`ere de [a, b] en n points (P est unique avec la condition deg(P ) < n). Exercice 2 M´ ethodes compos´ ees 1. En subdivisant l’intervalle [a, b] en sous intervalles ´ecrire une proc´edure qui donne la formule de Newton-Cˆotes compos´ee. En d´eduire les formules d’int´egration compos´ee classiques : m´ethode des trap`ezes, m´ethode de Simpson. ? 2π 2. Calculer des approximations de exp(cos(t)) dt avec les m´ethodes pr´ec´edentes. Comparer a` la valeur exacte.

0

199 Universit´e Louis Pasteur U.F.R. de Math´ematique et Informatique

12 juin 2006

L2 Math´ ematiques Analyse Num´ erique Examen de juin Responsable : S. Salmon L’utilisation de calculatrices de poche est autoris´ee `a condition que leur fonctionnement soit autonome. En cas de difficult´e on peut admettre un ´enonc´e pour r´esoudre une question suivante. Exercice 1 G H Soient f ∈ C n+1 [a, b] et a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b, (n + 1) points 2 a` 2 distincts dans l’intervalle [a, b]. On note P (x) le polynˆ ome de degr´e ≤ n interpolant f en x0 , . . . , xn . 1. Question de cours : d´emontrer le r´esultat suivant : Th´ eor` eme 29 Pour tout x ∈ [a, b], il existe un ξx ∈ [min(x, x0 ), max(x, xn )] tel que f (x) − P (x) =

(x − x0 ) . . . (x − xn ) (n+1) f (ξx ) (n + 1)!

G H On suppose maintenant que f ∈ C n+2 [a, b] et on pose en (x) = f (x) − P (x). 2. Notons wn (x) =

n B

!

(x − xi ). Calculer wn$ (xi ).

i=0

3. En notant e$n (x) la d´eriv´ee de en par rapport a` x et en utilisant les questions pr´ec´edentes, montrer que pour tout i = 0, . . . , n il existe ξi ∈ [a, b] tel que e$n (xi ) =

f (n+1) (ξi ) (n + 1)!

B

0≤k≤n k += i

(xi − xk )

ome d’interpolation de f $ (x) en x0 , . . . , xn ? 4. Est-ce que le polynˆome P $ (x) est le polynˆ 5. Montrer que e$n (x) = 0 pour tout x ∈ [a, b] si et seulement si f est un polynˆ ome de degr´e ≤ n. Qu’en d´eduisez-vous dans ce cas sur le polynˆ ome d’interpolation de f $ ?

Exercice 2 On consid`ere la fonction f (x) = ln((x + 1)e−2x + 1 − x). Le but de cet exercice est de d´eterminer le domaine de d´efinition de f .

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

200

1. On pose u(x) = (x + 1)e−2x + 1 − x. Calculez u$ et u$$ . Montrer que u$ s’annule pour une valeur de γ qu’on localisera entre deux entiers successifs. 2. Montrer que u s’annule en deux valeurs α et β (on notera α la valeur positive). 3. Montrer que u(−α) = 0. Qu’en d´eduisez-vous pour β ? Localiser α et β entre deux entiers successifs. 4. En d´eduire le domaine de d´efinition de f en fonction de α et le graphe de f . ´ 5. Ecrire la m´ethode de Newton pour l’approximation effective de α. Choisir une valeur x0 ` l’aide du th´eor`eme qui assure la convergence de la suite vers α et calculer x1 et x2 . A des accroissements finis, calculer une majoration de l’erreur |x2 − α|.

Probl` eme 1. Question pr´eliminaire Soit f une fonction r´eelle r´eguli`ere d´efinie sur un intervalle de R. Soit h ∈ R∗ , on suppose que p, p + h et p + 2h sont dans l’intervalle de d´efinition de f . Calculer le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de f sur les points p, p + h, p + 2h. Int´egrer ce polynˆ ome sur l’intervalle [p, p + 2h] (faites des changements de variables dans vos int´egrales afin de r´eduire les calculs). Quelle est cette m´ethode d’int´egration num´erique ? Rappeler (sans d´emonstration) quel est son ordre de pr´ecision et quel est son terme d’erreur. G H Soit f ∈ C (4) [a, b] . Pour tout entier n ∈ N∗ , on consid`ere les points ´equir´epartis a0 , . . . , an b−a tels que ak = a + k . n ome d’interpolation de Lagrange de f en ak , Pour tout k = 0, . . . , n − 1, on note Pk le polynˆ ak + ak+1 et ak+1 . Enfin, on d´efinit la m´ethode d’int´egration num´erique suivante 2 K J ? b n−1 ! ? ak+1 f (x) dx ≈ In (f ) = Pk (x) dx a

k=0

ak

2. En les r´esultats de la question pr´eliminaire, calculer Pk en fonction de f (ak ), ) adaptant * ak + ak+1 , et f (ak+1 ). En d´eduire la formule de Newton-Cotes suivante : f 2 ? ak+1 D Ca + a D b − aC k k+1 f (ak ) + 4f + f (ak+1 ) f (x) dx ≈ 6n 2 ak Quel est son terme d’erreur (on le note Rk (f )) ?

201 3. D´eduire de la question pr´ec´edente que A @ n−1 Ca + a D (b − a) ! k k+1 + f (ak+1 ) f (ak ) + 4f In (f ) = 6n 2 k=0

Quelle est cette m´ethode ? ? b f (x) dx = In (f ) + R(f ). Montrer qu’il existe α0 , . . . , αn−1 tels que αk ∈ 4. Posons a

[ak , ak+1 ] et tels que

R(f ) = − 5. En d´eduire que

n−1 (b − a)5 ! (4) f (αk ) 2880 n5 k=0

. .? . (b − a)5 . b . . f (x) dx − In (f ). ≤ . . . a 2880 n4

A-t-on chang´e l’ordre de pr´ecision de la m´ethode ?

. . sup .f (4) (α).

2 . 6. Application num´ erique : on pose [a, b] = [0, 1] et f (x) = 2 x +4 ? 1 C D f (x) dx en fonction de Arctan 12 . (a) Calculer I = 0

(∗)

α ∈ [a,b]

(b) R´e´ecrire l’in´egalit´e (∗) en calculant le membre de droite en fonction de n. −2 (c) A partir de quelle valeurC de D n a-t-on une erreur inf´erieure `a 10 ? En d´eduire une approximation de Arctan 12 `a 10−2 pr`es.

´ 2005-2006 ANNEXE E. ANNEE

202 Universit´e Louis Pasteur U.F.R. de Math´ematique et Informatique

13 septembre 2006

L2 Math´ ematiques Analyse Num´ erique Examen de septembre Responsable : S. Salmon L’utilisation de calculatrices de poche est autoris´ee `a condition que leur fonctionnement soit autonome. En cas de difficult´e on peut admettre un ´enonc´e pour r´esoudre une question suivante. Exercice 3 35 4 15 2 3 x − x + . 8 4 8 Etudier l$$ , l$ , l sur [0, +∞[ (Justifier le domaine d’´etude). Montrer que l poss`ede deux z´eros sur [0, +∞[ que l’on notera α et β. + , + , 1 1 ,1 . Montrer que α ∈ Iα = 0, √ et que β ∈ Iβ = 2 7 6 3 Montrer que α2 + β 2 = et que α2 β 2 = 7 35 On d´efinit la suite r´ecurrente suivante : I x0 ∈ Iα ou Iβ 35 4 15 2 3 xn+1 = xn − xn + xn + 8 4 8

Soit la fonction l(x) = 1. 2. 3. 4.

Cette suite permet-elle de trouver α ou β ? 5. On d´efinit la formule de quadrature suivante : ? 1 f (x) dx = ωα f (−α) + ωβ f (−β) + ωα f (α) + ωβ f (β) −1

1 − 3β 2 3α2 − 1 et ω = . β 3(α2 − β 2 ) 3(α2 − β 2 ) Montrer que ωα + ωβ = 1. 1 Montrer que α2 ωα + β 2 ωβ = . 3 ) * ) * 6 2 3 6 2 3 4 4 α − ωα + β − ωβ . Montrer que α ωα + β ωβ = 7 35 7 35 (Indication : n’oubliez pas que α et β sont des z´eros de l). 1 En d´eduire que α4 ωα + β 4 ωβ = . 5 Montrer que α6 ωα + β 6 ωβ = (α4 ωα + β 4 ωβ )(α2 + β 2 ) − α2 β 2 (α2 ωα + β 2 ωβ ). Que vaut alors α6 ωα + β 6 ωβ ?

avec ωα = (a) (b) (c)

(d)

(e) D´eduire des questions pr´ec´edentes le degr´e de pr´ecision minimal de la formule de quadrature. Quel type de formule est-ce ? Justifier.

203 Probl` eme Premi` ere partie u (./.) d´esigne le produit scalaire dans Rn . On Soit u ∈ Rn tel que 5 u 522 = (u/u) = 1 o` d´efinit alors la matrice de Householder H = I − 2uuT , o` u uT d´esigne le vecteur transpos´e de u et I la matrice identit´e ad´equate. 1. Quelles sont les dimensions de H ? 2. Montrer que H est `a la fois sym´etrique et orthogonale (HH T = I). En d´eduire que ∀ a ∈ Rn \ {0}, (Ha/Ha) = (a/a).

3. Soit a ∈ Rn \{0}. On veut montrer qu’il existe une matrice de Householder H = I −2uuT et un nombre α ∈ R tels que Ha = αe1 o` u e1 est le premier vecteur de la base canonique n de R . (a) Montrer que si α existe alors α2 = 5 a 522 . (b) Montrer que 2u(u/a) = a − αe1 . En posant µ = 2(u/a), montrer que

µ2 = 2α2 − 2α(a/e1 ). (c) V´erifier que u est un vecteur de norme 1 en calculant 5 µu 522 .

(d) Que se passe-t-il si µ est nul ?

Deuxi` eme partie Soit A une matrice d’ordre 3 d´efinie par   1 2 3 A= 4 5 6  7 8 9

On d´efinit une matrice de Householder Hn (u) = I − 2uuT .

4. D´eduire de la premi`ere partie qu’il existe c1 ∈ R3 et t1 > 0 tels que   t1 ∗ ∗ H (1) A =  0 ∗ ∗  , avec H (1) = H3 (c1 ). 0 ∗ ∗

5. En d´eduire qu’il existe c2 ∈ R2 , c3 ∈ R, et t2 , t3 > 0 tels que     ) * t1 ∗ ∗ 1 0 0 1 0 . , H (3) =  0 1 0 H (3) H (2) H (1) A =  0 t2 ∗  , H (2) = 0 H2 (c2 ) 0 0 t3 0 0 H1 (c3 )

6. Montrer que A = QR avec Q une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire sup´erieure `a termes diagonaux strictement positifs. Quelle propri´et´e sur la matrice A a-t-on utilis´e pour avoir cette d´ecomposition ? 7. En vous inspirant de la d´emonstration de l’unicit´e de la d´ecomposition LU , montrer que toutes les d´ecompositions QR d’une mˆeme matrice se d´eduisent l’une de l’autre par + < = QD et R < = RD, o` Q u D est une matrice diagonale dont les ´el´ements valent − 1.