Analyse Et Fonctionnement Des Systemes D'energie Electrique

 

D´epartement epartement d’Electricit´ee,, Electronique et Informatique (Institut Montefiore)

Notes du cours ELEC 0029

ANALYSE ET FONCTIONNEMENT DES SYSTEMES D’ENERGIE D’ENERGIE ELECTRIQUE ELECTRIQUE

Thierry VAN CUTSEM CUT SEM

directeur de recherches FNRS professeur adjoint ULg

 janvierr 2012  janvie

 

Table des mati` matieres e` res

1

2

3

Puis Puissa sanc nces es en regime e´ gime sinuso ¨ıdal ıdal

 

5

1.1

Conven Conventions tions de signe   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Puissance traversant traversant dans une coupe   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Regime e´ gim e sinuso¨ sinu so¨ıdal: ıdal : phaseurs phase urs   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Puissanc Puissances es instantan´ instantan´ee, ee, active, active, r´ reactive, e´ active, fluctuante et apparente   . . . . . . . . .

8

1.5

Puissanc Puissancee complex complexee   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6

Expressio Expressions ns relative relativess aux dipˆoles  oles   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7

Facteur de puissance et compensation des charges charges   . . . . . . . . . . . . . . . . 13

´ s  equilibr´ ´s Systemes e` mes triphas´ triphasees  e´ quilibrees

 

15

2. 2.1 1

Pr Prin inci cipe pe   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

Tensions ensions de ligne (ou compos´ compos´ees) ees)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Conne Connexio xions ns en etoile e´ toile et en triangle   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4

Analys Analysee par phase phase   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5

Puiss Puissan ance cess en r´egime egime triphas´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6

Productio Production n d’un champ champ tournant tournant   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Quelqu Quelques es prop propri ri´eet´ ´ tes e´ s du transport de l’´ l’ energie ´ e´ nergie  ´electrique electrique

 

30

3.1

Transit de puissance et chute chute de tension dans une liaison   . . . . . . . . . . . . 30

3.2 3.2

Cara Caract´ ct´eristique eristique QV a` un jeu de barres d’un r´eseau eseau   . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3

Puissanc Puissancee de court-circ court-circuit uit   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1

 

4

5

6

7

La ligne ligne de transp transpor ortt

 

37

4.1

Param` ram`etres etres lin´eiques eiques d’une ligne   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 4.2

Cara Caract´ ct´eristiques eristiques des cˆables ables   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3

La ligne en tant que composan composantt distribu´ distribu´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4

Quelqu Quelques es propri´ propri´eet´ t´es es li´ees ees a` l’imp´edance edance caract caracteristique e´ ristique   . . . . . . . . . . . . . 51

4.5

Sch´ema ema equivalent e´ quivalent d’une ligne   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6

Limite thermique thermique d’une d’une ligne  ligne   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Le systeme e` me “per unit”

 

56

5.1

Passage Passage en per unit d’un circuit circuit eelectrique ´ lectrique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2

Passage Passage en per per unit unit de de deux deux circuits circuits magn´etiquement etiquement coupl couples e´ s   . . . . . . . . . . 58

5.3

Passage Passage en per unit d’un syst`eme eme triphas´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4

Changeme Changement nt de base   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Le transfo transformat rmateur eur de puissanc puissancee

 

62

6.1

Transfo Transformate rmateur ur monophas´ monophas´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2

Transfo Transformate rmateur ur triphas´ triphas´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3

Valeurs aleurs nominales nominales,, syst`eme eme per unit et ordres de grandeur  grandeur  . . . . . . . . . . . . 77

6.4

Autotr Autotrans ansfor format mateur eur   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.5

Ajustement du nombre de spires d’un transformateur   . . . . . . . . . . . . . . 81

6.6 6.7

Tr Tran ansfo sforma rmateu teurr a` trois enroulements   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tr Tran ansfo sforma rmateu teurr d´ephaseur ephaseur   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Le ca calc lcul ul de repartition e´ partition de charge (ou load flow)

 

87

7.1

Les equations e´ quations de load flow   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2

Sp´ecification des donn´ees ees du load flow  flow   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3

Un ex exemp emple le simple simple   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4

Prise en compte de contraintes de fonctionnement  fonctionnement   . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2

 

8

9

7.5

Resolution e´ solution num´erique erique des equations e´ quations de load flow   . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.6

Decouplage ´ electrique e´ lectrique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.7

L’approximation du courant continu (ou DC DC load load flow) flow)   . . . . . . . . . . . . . 1 10 02

7.8

Analys Analysee de sensib sensibilit´ ilit´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10 04

La machin machinee synch synchro rone ne

 

109

8. 8.1 1

Pr Prin inci cipe pe   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2

Les deux types types de de machin machines es synchrone synchroness   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3

Mod´elisation elisation au moyen de circuits magn´etiquement etiquement coupl couples e´ s   . . . . . . . . . . 1 11 13

8.4

Tr Tran ansfo sforma rmation tion et equations e´ quations de Park   Park   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.5

Energie, Energie, puissance puissance et coup couple le   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.6

La machine machine synchron synchronee en r´egime egime etabli e´ tabli   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.7

Valeurs aleurs nominales nominales,, syst`eme eme per unit et ordres de grandeur  grandeur  . . . . . . . . . . . . 130

8.8

Courb Courbes es de ca capac pacit´ it´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 13 32

Comporte Comportemen mentt des charges charges

 

135

9.1

Comportement du moteur asynchrone en tant que charge   . . . . . . . . . . . . 1 13 35

9.2

Mod`eles eles simples des variations des charges charges avec avec la tension et la l a fr´ frequence e´ quence   . . . 141

10 Regulation e´ gulation de la fr´ frequence e´ quence

 

149

10 10.1 .1 R´egulateur egulateur de vitesse   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 50 10 10.2 .2 R´egulation egulation primaire  primaire   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 53 10 10.3 .3 R´egulation egulation secondaire  secondaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 55

11 Regulation e´ gulation de la tension

 

164

11.1 11. 1 Contrˆ Contrˆole ole de la tension par condensateur ou inductance shunt   . . . . . . . . . . 1 16 65 11 11.2 .2 R´egulation egulation de tension des machines synchrones   . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 16 66 11.3 Compensateurs Compensateurs synchrones  synchrones   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 17 74

3

 

11.4 Compensateurs Compensateurs statiques statiques de puissance reactive  e´ active  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11 11.5 .5 R´egulation egulation de tension par les r´egleurs egleurs en charge   . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 18 83

´s 12 Analyse Analyse des des d´ defauts  e´ fauts  equilibr´ e´ quilibrees

 

187

12 12.1 .1 Ph´enom` enom`enes enes li´es es aux d´efauts efauts   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 12.2 Comportement de de la machine synchrone synchrone pendant pendant un court-circuit  court-circuit   . . . . . . . . 190 12.3 Calcul des des courants courants de court-circuit triphas´ triphas´e   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 20 00

´ sequilibr´ 13 Analyse Analyse des des syst syst`emes e` mes et regimes e´ gimes triphas´ triphases e´ s d ees´ e´ quilibres e´ s

4

 

206

 

Chapitre 1 Puissances en r´ regime e´ gime sinuso ¨ıdal ıdal Dans ce chapitre nous rappelons quelques d´efinitions efinitions et relations fondamentales, essentielles pour l’analyse des syst`emes emes electriques e´ lectriques de puissance. L’accent L’accent est mis sur les notions de puissance en r´egime egim e sinuso¨ si nuso¨ıdal. ıdal .

1.1 1. 1

Conve Conventi ntion onss de si signe gne

Consid´erons erons le dipˆole ole repr´esent´ esent´e a` la figure 1.1, figure 1.1, avec  avec ses deux bornes d’extr´emit´ emit´e. e.

i(t)

i(t)

1

1

v (t)

v (t)

1’ convention “moteur”

1’ convention “g´een´ n´eerateur” rateur”

Figure 1.1: dipˆole: ole: conventions d’orientation du courant courant par rapport a` la tension

 v (t) aux bornes du dipˆole La tension v( ole est la diff´erence erence entre le potentiel de la borne rep´eer´ r´ee ee par l’extr´emit´ emit´e de la fl`eche eche et le potentiel de la borne rep´er´ er´ee ee par son origine. Deux conventions conventions sont possibles en ce qui concerne l’orientation du courant  i(  i(t) par rapport a` la tension v  (cf figure 1.1 figure 1.1): ): 1

•  la convention   moteur  correspond  correspond aux  sens conventionnels  de la Th´eorie eorie des Circuits . 1

pri`eere re de se reporter aux notes du cours ELEC053

5

 

Le courant est compt´e comme positif s’il  entre  dans le dipˆole ole par la borne correspondant a` l’extr´emit´ emit´e de la fl`eche eche rep´erant erant la tension. tension. Dan Danss ce cas, le produi produitt   p(t) = v (t)  i(  i (t) repr´esente esente la puissance instantan´ee ee absorb  absorb´  ee ´   par le dipˆole. ole. Une valeur positive (resp. n´egative) egative) indique donc que le dipˆo ole le consomme (resp. fournit) de la puissance a` l’instant t;

•  la convention g´   g en en´  ´  erateur  ´   correspond aux  sens non conventionnels de la Th´eorie  correspond eorie des Circuits. Le courant est consid´er´ er´e comme positif s’il  sort  du  du dipˆole ole par la borne correspon p (t) =  v  v((t)  i(  i (t) repr´esente dant a` l’extr´emit´ emit´e de la fl`eche eche rep´erant erant la tension. Le produit  p( esente la puissance instantan´ee ee  g en en´  ole. Une valeur valeur positiv positivee (resp. (resp. n´eegative) gative) in´  er  ´  ee ´  ´   par le dipˆole. dique donc que le dipˆole ole produit (resp. consomme) de la puissance a` l’instant t.

1.2

Puissan Puissance ce traver traversan santt dans dans une coupe coupe

L’expression de la puissance instantan´ instantanee e´ e consomm´ee ee (ou produite) par par un dip dipˆole oˆ le se g´en´ en´eeralise ralise ais´ement ement a` une coupe. Consid´erons erons un circuit compos´e de deux circuits A et B reli´es es par n + 1 conducteurs, traversant une coupe Σ comme e et sent´ en a` la figure  1.2. . Soit erence de potentiel entre le  i-eme e` me  vi la diff´erence  (i  (,i  = 1, . . .repr´ , n) n)esent´  ( + figure 1.2 1) -`eme, conducteur le (n eme, pris arbitrairement comme r´ef´ ef´erence. erence. A la figure 1.2, figure 1.2, les  les courants dans les  n  premiers conducteurs sont orient orientes e´ s selon la convention moteurr ((resp moteu resp.. g´en´ en´erateur) erateur) vis-` vis-a-vis a` -vis du circuit circuit B (resp. (resp. A) et le courant dans dans le   (n  + 1)-eme e` me conducteur est orient´e en sens inver inverse. se. En vertu de de la premi`ere ere loi de Kirchhoff, ce courant vaut: n

in+1   =



i j

 j=1  j =1

Avec cette convention de signe, l’expression: n

 p(  p(t) =

v j i j

 

(1.1)

 j=1  j =1



repr´esente esente la puissance instantan´ee ee traversant la coupe Σ de A vers B, c’est-`a-dire a-dire la puissance absorb´ee par B, ou encore la puissance produite par A.

Consid´erer erer une autre r´eef´ f´erence erence pour les diff´erences erences de potentiel et montrer que l’expression correspondante de la puissance est identique a` (1.1 (1.1))

6

 

Σ

i1 i j

A

v j

B

in+1

Figure 1.2: puissance traversant traversant une coupe

1.3

Regime e´ gime sinuso¨ıdal: ıdal: phaseurs phaseu rs

En r´egime egime sinuso¨ si nuso¨ıdal, ıdal, toute to ute tension tensi on se pr esente e´ sente sous la forme:

v (t) =

√ 2 V   V    cos(ωt cos(ωt + φ  φ))

 

(1.2)

ˆ  ˆ  ) de la tension,  V   sa  valeur efficace2 et ω  la pulsaou` 2V  est l’amplitude (ou  valeur de cr ete tion, reli´ee ee a` la fr´equence equence  f  et  et la p´eriode eriode T  par:   par:

√ 

ω  = 2πf  πf    =

  2π T 

 

(1.3)

De mˆeme, eme, tout courant se pr´esente esente sous la forme:

√  ()= 2

it

cos(ωt + ψ)  I    I   cos(ωt  ψ )

 

(1.4)

D´efinissons efinissons les grandeurs complexes suivantes:

¯   =   V e jφ V  ¯   =   I e jψ I 

(1.5) (1.6)

ou` les lettres surlign´ees ees d´esignent esignent des nombres complexes, complexes, afin de les l es diff´ differencier e´ rencier des nombres   ¯   ¯  v (t) tandis que I  est   est le  phaseur  relatif  relatif au courant   relatif a` la tension  v( reels. e´ els. V  est le  phaseur  relatif i(t). On a evidemment: e´ videmment:

v (t) = i(t) = 2

 √ 2 re  r e V e  √ 2 re  r e I e

 j(  j (ωt+ ωt+ψ)

 √   = 2  re  r e V¯ e  √   = 2 re  r e I¯ e

 

 j(  j (ωt+ ωt+φ)

 

 jω  jωtt

 jω  jωtt

   

(1.7) (1.8)

la pratique a consacr´e l’usage des valeurs efficaces pour caract´eriser eriser les gran grandeurs deurs sinuso¨ıdales: ıdales: lorsque lorsqu e l’on donne la valeur d’une tension alternative, il s’agit, sauf mention contraire, de la valeur efficace. Rappelons que V   est la valeur de la tension continue qui, appliqu appliqu´eee ´ e a` une r´esistance, esistance, y dissipe la mˆeme eme puissance que la tension sinuso¨ sinu so¨ııdale da le (1.2) 1.2) en  en moyenne

7

 

 jω t Dans le plan complexe, aux nombres  V¯ e jωt et  I¯ e jωt , on peut associer des vecteurs tournants.  j 0 et aboutit au nombre complexe en question. Chaque Chaque vecteur part de l’origine  0 + j0 grandeur sinuso¨ıdale ıdale est, est , au facteur 2  pr  pr`es, e` s, la projection projection sur l’axe r´eel eel du vecteur tournant correspondant.

√ 

Usuellement, pour repr´esenter esenter ces vecteurs tournants, on consid`ere ere leur position en  t   = 0. A ¯   et cet instant, le vecteur tournant repr´esentant esentant la tension n’est rien d’autre que le phaseur  V  celui repr´esentant esentant le courant est le phaseur  I  ¯. Une repr´esentation esentation graphique des phaseurs est donn´ee ee a` la figure  figure   1.3 (dont 1.3  (dont une partie sera utilis´ee ee dans un d´eveloppement eveloppement ult´erieu erieur). r). On d´esigne esigne ce type de sch´eema ma sous le terme de diagrammee de phaseur . diagramm

¯ V  φ

−ψ

¯PP   I 

ω φ ¯ I  ψ

¯Q I 

Figure 1.3: diagramme de phaseur

1.4 1. 4

Puis Puissan sances ces insta instanta ntan nee, e´ e, active, r´ reactive, e´ active, fluctuante et apparente

¯. ¯  et parcouru par un courant  I  Consid´erons erons un dipˆole ole soumis a` une tension  V  ¯ sur ¯   et d Projetons le vecteur  I    sur l’axe d´efini efini par le vecteur  V  dee mˆeme eme orientation que ce dernier   ¯ (cf figure 1.3 figure 1.3). ). Soit I PP   le vecteur projet´e ainsi obtenu. On peut ecrire: e´ crire: ¯PP    =  I PP    e j φ I 

(1.9)

¯P  ¯ et ou`  I PP    est un nombre r´eel,   et n´eegatif gatif dans le cas eel, positif si le vecteur  I  eme eme sens que  V  P  est de mˆ contraire. I PP   est appel´e courant actif . On a: I PP    =  I  cos(φ   cos(φ

8

− ψ)

 

(1.10)

 

¯   et  en retard  sur ¯ sur  sur ce   sur un axe perpendiculaire au vecteur  V  Projetons a` pr´esent esent le vecteur  I    ¯ e´ crire: dernier (cf figure 1.3 figure 1.3). ). Soit I Q le vecteur projet´e ainsi obtenu. On peut ecrire: π ¯Q  = I   =  I Q   e j j ( (φφ− ) I 

(1.11)

2

¯Q  est en retard sur  V  ¯  et n´egatif ou`  I Q  est un nombre r´eel, eel, positif si  I  egatif dans le cas contraire.   I Q est appel´e  courant r eactif  ´  ´  . On a: I Q   =  I  sin(φ  sin(φ ψ )   (1.12)

−

 i(t) en fonction des courants actif et r´ Exprimons i( reactif. e´ actif. On a successivement: successivement: i(t) = =

√ 2  ¯  = √ 2  ¯ +   ¯  re  r e I e  re  r e I  e I  e √ 2I   cos( √   cos(ωt ωt + φ)  φ) + 2I   sin(  sin(ωt ωt + φ)  φ)  jωt  jω t

P P  

P  P 

 jωt  jω t

Q

 jωt  jω t

Q



 =

√ 2



 j(  j (ωt+ ωt+φ)

 re  r e I P  P e

 j (ωt+ ωt+φ− + I Q e j(

 

π 2

)



(1.13)

En utilisant l’expression (1.2 (1.2)) de la tension et l’expression (1.13 ( 1.13)) du courant, la puissance instantan´ee ee vaut:

 p(  p(t) =  v(  v (t) i(t) = 2V I PP     cos2 (ωt + φ)  φ) + 2V 2 V I Q   cos(ωt cos(ωt + φ  φ)) sin( sin(ωt ωt + φ  φ)) =   V I P  cos 2(ωt 2(ωt + φ  φ)] )] + V +  V I Q   sin sin 2( 2(ωt ωt + φ  φ))   P    [1 + cos

(1.14)

On en d´eduit eduit les propri´eet´ t´eess importantes suivantes:

•  la puissance instantan´ee ee est la somme de deux composantes, l’une relative au courant actif, l’autre au courant r´eactif  eactif 

•   la composante relative relative au courant courant actif se pr´esente esente elle-mˆeme eme sous forme d’une somme

 2ω ω , changeant donc de signe d’un terme constant et d’un terme oscillatoire de pulsation 2 quatre fois par p´eriode. eriode. Toutefois, la somme de ces deux termes ne change jamais de signe et correspond donc donc a` une puissance allant toujours da dans ns le mˆ meme eˆ me sens

•   la composante relative au courant r´eactif eactif ne comporte qu’un terme oscillatoire de pulsa 2ω tion 2ω

•   ssuur un unee p´eriode eriode,, les co compo mposan santes tes oscilla oscillatoir toires es ont une moyenn moyennee nul nulle. le. La valeu valeurr moyen moyenne ne de la puissanc puissancee p(  est donc donc la const constant antee pr´esente esente dans la composan composante te relative relative au courant courant  p(t)no actif. Cette valeur, not tee e´ e P , est appel´ee ee puissance active. On a donc:

P   P   =  V I P  P 

 

(1.15)

et en utilisant (1.10 (1.10): ):

P   P   =  V I   I   cos(φ cos(φ

− ψ)

 

(1.16)

•   l’amplitude de la composante relative relative au courant courant r´ reactif, e´ actif, not´ee ee Q , est appel´ee ee puissance r eactive . On a donc: ´´  

Q  = V  =  V I Q

 

(1.17)

et en utilisant (1.12 (1.12): ):

Q  = V  =  V I   I   sin(φ sin(φ 9

− ψ)

 

(1.18)

 

•  on sait que dans un circuit RLC, le d´ephasage ephasage du courant par rapport a` la tension,

 I Q , est dˆu aux eel´ ´ l´ements ements L et C. La puissance c’est-`a-dire a-dire l’existence du courant r´eactif  eactif  I  V I Q   si sin n 2( 2(ωt ωt +  + φ  φ)) se rapporte donc a` l’´energie energie magn´etique etique W m   =   12 Li2 emmagasin´ee ee  1 2 dans les bobines et a` l’´energie energie electrostatique e´ lectrostatique W e   = 2 C v emmagasin´ee ee dans les condensateu dens ateurs. rs. Cette energie e´ nergie est toujours positive (´eel´ l´ements ements passifs passifs !) mais elle passe passe par un maximum puis s’annulle deux fois par p´eriode. eriode. La puissance, d´eriv´ eriv´ee ee temporelle de l’ l’´energie, e´ nergie, change de signe au m eme eˆ me rythme

•   la somme des des termes oscillatoires, oscillatoires, not´ee ee p (t), est appel´ee ee puissance fluctuante. On a:  p (t) =  V I  cos(φ   cos(φ −ψ )cos2( )cos2(ωt ωt+ + φ)+ )+V V I  sin(φ  sin(φ − ψ )sin2( )sin2(ωt ωt+ + φ) =  V I  cos(2ωt   cos(2ωt+ +φ +ψ) f 

f 

(1.19) resul e´ sulta tatt qu quee l’on l’on ob obtie tient nt plus plus dire direct ctem emen entt en multi multipl plia iant nt (1.2) 1.2) p a r ((1.4 1.4). ). Etant Etant de moy moyenn ennee nulle, la puissance fluctuante ne correspond a` aucun travail utile. La puissance active est la seule composante utile.

•  le produit:

S   =  V I 

est appel´e  puissance apparente. On voit que puissances apparente app arente et active co¨ıncident ıncident quand il n’y a pas de d´ephasage ephasage entre entre la tension et le courant, c’est-` c’est-a-dire a` -dire pas de courant reactif. e´ actif.

 p(t), pf (t), P , Q et S  ont Les grandeurs p(  ont toutes la dimension d’une puissance et devraient devraient donc s’exprime s’ex primerr en watts. watts. Cependa Cependant, nt, etant e´ tant donn´e la nature tr`es es diff´erente erente de ces grandeurs, on utilise des unit´es es s´epar´ epar´ees: ees:

•   p(t), p (t) et P   s’expriment en en watts, dont le symbole est W . Dans le cadre des r´eseaux eseaux f 

d’´energie energie electrique, e´ lectrique, il est plus confortable d’exprimer les grandeurs en kilowatts (kW) et en m´egawatts egawatts (MW)

•   Q s’exprime en vars (abr´eviation eviation pour volt amp`ere ere r´eactif), eactif), dont le symbole est VAr, Var Var ou var (nous retiendrons retiendrons ce dernier). En pratique, on utilise plutˆ pluto ot ˆ t le kvar et le Mvar

 s’exprime en volt.amp`eres eres (VA). (VA). En pratique, on utilise plut plutˆot oˆ t le kVA et le MVA. •   S  s’exprime 1. En partant partant de l’expressio l’expression n de l’ energie e´ nergie magn´etique etique emmagasin´ee ee dans une bobine, retrouver celle, eetablie ´ tablie plus haut, de la puissance instantan´ee ee absorb´ee. ee. 2. D´emontrer emontrer que la puissance puissance r eactive e´ active   Q  consomm´ee ee par une bobine est reli´eeee a` l’´energie energie moyenne < W m  >  qu’elle emmagasine sur une p´eriode eriode par la relation:

Q  = 2ω < W m  > 3. En partant de l’expression de l’´eenergie nergie electrostatique e´ lectrostatique emmagasin´eeee dans un condensateur, retrouver celle, eetablie ´ tablie plus haut, de la puissance instantan´ee ee absorb´eee. e.

10

 

4. D´emontrer emontrer que la puissance r´eactive eactive  Q  produite par un condensateur est reli´ee ee a` l’´eenergie nergie moyenne < W e  >  qu’il emmagasine sur une p´eriode eriode par la relation:

Q  = 2ω < W e  >

1.5 1. 5

Puis Puissan sance ce compl complexe exe

La puissance complexe est d´efinie efinie par:

¯  =  V  ¯   I  ¯⋆ S 

(1.20)

¯  par ¯ par ou`   ⋆ d´esigne esigne le conjugu´e d’un nombre complexe. En remplac rem plac¸ant ¸an t  V    par (1.5 (1.5)) et  I   par (1.6 (1.6)) on trouve: ¯  =  V e jφ I e− jψ =  V I e j j((φ−ψ) =  V I  cos(φ S    cos(φ

− ψ) + j +  jV V I  sin(φ  sin(φ − ψ ) =  P   P    + jQ  j Q

La partie r´eelle eelle de la puissance complexe est donc la puissance active tandis que sa partie imaginaire est la puissance r´eactive. eactive. Le module de la puissance complexe vaut vaut quant a` lui:

S   = c’est-`a-dire a-dire la puissance apparente.

 

P 2 + Q2 =  V I 

 

(1.21)

L’int´erˆ erˆet et de la puissance complexe r´eside eside dans le fait que   P   et   Q  se calculent souvent plus ¯. ais´ement ement en passant par  S  Lorsque l’on travaille avec la puissance complexe, complexe, on est souvent amen amen´e´ a` utiliser le

th th´eor` e´ oreme e` me de conservation de la puissance complexe3 : dans un circuit circuit aliment´ aliment´e par des sources sou rces sinuso¨ıdales ıdales fonctionnant fon ctionnant toutes t outes a` la mˆeme eme fr´equence, equence, la somme des puissances complexes complexes entrant dans toute partie du circuit est egale e´ gale a` la somme des puissances puissan ces complexes rec¸ues par les branches de cette cet te partie parti e du circuit. circui t. Appliqu´e a` la figure 1.4, figure 1.4, par  par exemple, ce th´eor` eor`eme eme fournit:

¯1 +  S  ¯2 +  S  ¯3  = S 



¯bi S  bi

i

ou` le membre membre de droite repr´esente esente la l a somme des d es puissances puiss ances complexes rec¸ ues par toutes les l es branches du circuit . En d´ecomposant ecomposant en parties r´eelles eelles et imaginaires, on obtient les bilans de puissance active active et r eactive: e´ active:

C

P 1 + P   +  P 2 + P   +  P 3   =

 

P bi bi

i

Q1 + Q  +  Q2 + Q  +  Q3   =

i

11

Qbi

 

¯2 I  ¯2 V 

¯2   =  V  ¯2I  ¯⋆ S  2

¯1  =  V  ¯1I  ¯⋆ S  1 ¯1 I 

¯3  =  V  ¯3 I  ¯⋆ S  3 ¯3 I 

V  ¯1

V  ¯3

C

Figure 1.4: illustration du th´eor` eor`eme eme de la conservation de la puissance complexe Le bilan de puissance est une notion naturelle en ce qui concerne la puissance instantan´ee: ee: il traduit le principe de conservation de l’´energie, energie, dont la puissance est la d´eriv´ eriv´ee ee temporelle. Il est presque aussi naturel de constater qu’il s’applique `a la puissance active, qui repr´esente esente la valeur moyenne de la puissance instantan´eee. e. Mais Mais le fait fait le plus plus remarqu remarquab able le est qu’il s’applique egalement e´ galement a` la puissance r´eeactive, active, pour laquelle on va donc pouvoir parler de productions, de consommations et de pertes, au mˆeme eme titre que pour la puissance active.

1.6

Express Expressions ions relati relatives ves aux dip ˆ dip ˆoles oles

La table 1.1 table 1.1 donne  donne les relations entre tension, courant et puissance puissancess pour un dipˆ dipole oˆ le tandis tandis que la table 1.2 table  1.2 donne  donne les expressions des puissances actives actives et r eactives e´ actives consomm´ consommes e´ s par par les dipˆ dipoles oˆ les eel´ ´ l´ementaires. ementaires. Dans les deux cas, on a consid´er´ er´e la convention moteur. On notera qu’une inductance   consomme  de la puissance r´eactive, eactive, tandis qu’une capacit´e en  produit . Table 1.1: tension, courant et puissances dans un dipˆole ole (convention moteur)

V  V   ¯   =  Z  ¯  I  ¯  = (R + j  + jX  X )  I  ¯   I  ¯  =  Y  Y   ¯   V  V   ¯   = (G + jB  j B )  V  ¯   ¯ ¯ Y  : Z  :   : admittance   : imp´edance edance R : r´esistance   G : conductanc esistance conductancee X   :: reactance e´ actance   B : susceptance ¯  =  Z¯ I 2 S  P   P   =  RI 2 Q = X  =  X I 2

 

¯  =  Y  ¯ ⋆ V 2 S  P   =  GV  2 Q  = BV  2

−

3

la d´eemonstration monstration s’appuie sur le th´eor` eor`eeme me de T Tellegen. ellegen. On la trouve dans de nombreux trait´ traitees ´ s de Th´eeorie orie des circuits

12

 

Table 1.2: puissances absorb´ees ees par les dipˆoles oles eel´ ´ l´ementaires ementaires (convention moteur) r´esistance esistance R   inductance L   capacit´e C 

φ

−ψ

 

P

RI 2 =

 

0

 

π/ π/22

2

  V  R

 

0

0

  V  2 ωLI  = ωL 2

Q

1.7

 

0

 

−π/ π/22

 −

  I 2 ωC    = ωC 

 2

−ωC V 

Facteur acteur de puis puissan sance ce et compen compensati sation on des charge chargess

Consid´erons erons une charge aliment´ee ee par une source de tension (cf figure 1.5 figure  1.5.a). .a). Rappelons que la puissance active P  correspond  correspond a` la puissance utile consomm´ee ee par la charge.

I 

charge

R V 

C 

+−

a

L

b

Figure 1.5: compensation d’une charge charge pour am´elioration elioration de son facteur de puissance De (1.16 (1.16)) on tire l’expression du courant courant parcourant le circuit:

I   =

  P  V  V    cos(φ cos(φ

− ψ)

Cette relation montre que, pour une mˆeme eme puissance utile  P  et sous une tension  V  constante, le courant augmente d’autant plus que  cos(  cos(φ φ ψ ) est faible.

−

−

 cos(φ φ ψ ) sous le vocable de  facteur de puissance. Le facteur de puissance est On d´esigne esigne cos( d’autant plus faible que le courant est fortement d´ephas´ ephas´e par rapport a` la tension. Dans le cas d’une charge r´esistive, esistive, le facteur de puissance est egal e´ gal a` l’unit´e. e. On a d’ailleurs a` partir de (1.21 (1.21): ):

√ P 

2

+ Q2 I   = V  qui montre que pour une mˆeme eme puissance utile P  et sous une tension  V  constante, le courant augmente avec avec la puissance r´eactive, eactive, consomm´ consommee e´ e ou produite par la charge. 13

 

L’augmentation du courant  I  requiert  requiert d’utiliser des sections de conducteurs plus importantes, d’o`u un investissement plus important i mportant.. Elle entraˆ entr aˆıne ıne egalement e´ galement des pertes  RI 2 par effet Joule plus elev´ e´ lev´ees ees dans les r´esistances esistances des conducteurs travers´es es par le courant, d’o`u un coˆu utt de fonctionnement plus elev´ e´ lev´e. e. Nous verrons verrons ult´ ult eerieurement ´ rieurement que la consommation de puissance r´eactive eact ive entraˆ en traˆıne ıne egalement e´ galement une chute des tensions, susceptible de gˆener ener le bon fonctionnement de la charge. La plupart des charges etant e´ tant inductives (`a cause de la pr´esence esence de circuits magn´etiques), etiques), donc consommatrices de puissance r´eactive, eactive, il y a int´erˆ erˆet et a` compenser ces derni`eres, eres, c’est-`a-dire a-dire a` produi pro duire re de la puissa puissance nce r´eeacti active ve de sorte sorte que l’ense l’ensembl mblee pr´eesente sente un facteur de puissance puissance aussi proche que possible de l’unit´ee.. Le moyen le plus simple consiste a` brancher des condensateurs en parall`ele ele sur la charge. Consid´erons erons a` titre d’exemple le cas d’une charge RL, comme repr´esent´ esent´e a` la figure 1.5 figure 1.5.b. .b. Le facteur de puissance vaut:

cos(φ cos( φ

−

  P  ψ) =  = P 2 + Q2

√ 

  RI 2  = R2 I 4 + ω 2L2 I 4

√ 

√ R 

R 2 + ω 2 L2

Pour avoir une compensation id´eale, eale, il faut que la puissance r´eactive eactive  Q c  produite par le condensateur egale e´ gale la puissance r´eactive eactive Q ℓ consomm´ee ee par la charge, soit:

Qc   =

⇔

  −Q

ℓ

  ωL V  2   ωC V  = R2 + ω 2L2   L   C    = R2 + ω 2L2 2

⇔

Notons que si la charge varie au au cours du temps, il est n eecessaire ´ cessaire d’adapter le volume de compensation de mani`ere ere a` conserver un facteur de puissance aussi aussi proche que possible de l’unit l’unit´e. e´ . Ceci peut etre eˆ tre r´ealis´ ealis´e en disposant plusieurs condensateurs en parall`ele ele et en enclenchant le nombre ad´equat. equat. Pour des charges variant variant tr` trees ` s rapidement, il peut devenir difficile de d´eclencher/enclencher eclencher/enclencher les condensateurs au moyen de disjoncteurs, condamn´es es a` une usure pr´ematur´ ematur´ee. ee. On peut peut alors alors faire appel a` l’´electronique electronique de puissance. puissance. Notons enfin qu’une surcompensation conduit a` une augmentation du courant au mˆeeme me titre qu’une absence de compensation.

14

 

Chapitre 2 Syst`emes Syst e` mes triphas´ triphases  e´ s  equilibr´ e´ quilibres e´ s Si l’on excepte la pr´esence esence de liaisons haute tension a` courant continu, la quasi-totalit´e du transport et de la distribution d’´energie energie electrique e´ lectrique est r´ealis´ ealis´ee ee au moyen de syst`emes emes triphas´es. es. Comme on le rappelle rappelle dans ce chapitre, chapitre, les av avanta antages ges principaux principaux de ce syst`eme e me so sont nt l’´economie economie de conduc conducteu teurs rs et la possib possibilit´ ilit´e d e g en´ e´ n´erer e rer de dess cham champs ps magn´ magn´etiq e tique uess tour tourna nant ntss da dans ns le less g´een´ n´eerateurs rateurs et dans les moteurs. Dans ce chapitre, nous rappelons le principe de fonctionnement d’un tel syst`eeme, me, en r´egime egime eequilibr´ ´ quilibr´e, ainsi que les grandeurs et les relations qui le carac caractterisent. e´ risent.

2.1 2. 1

Princi incip pe

Un circui circuitt triphas´ triphas´e equilibr´ e´ quilibr´e est est cons constit titu´ u´e de trois trois circui circuits ts identi identique ques, s, ap appel´ pel´es es phases. Le Le r´egime egime triphas´e equilibr´ e´ quilibr´e est tel que les tensions et les courants aux points des trois phases qui se correspondent corresponde nt sont de mˆ meme eˆ me amplitude mais d´eecal´ cal´es es dans le temps d’un tiers de p´eriode eriode d’une phase a` l’autre. La figure figure 2.1  donne syst` ed’une menetriphas´ e qui pourrait eesenter un g´ns en´ en´eerateur rateur ali alimen mentan tant 2.1 t une ch char arge geun par parexemple l’inter l’interm´ m´ediair ede diaire e eme d’u ligne ligne de tra transp nsport ort querepr´ nous nou ssenter sup suppos posero erons id´ eale, eale, pour simplifier. simplifier. On a pour les tensions indiqu´ees ees sur cette figure:

va (t) = vb (t) = vc (t) =

√ 2V   cos(ωt cos(ωt + φ)  φ) √ 2V   cos(ω √    cos(ωt + φ −   2π  )   T  cos(ω (t −  ) + φ +  φ)) = 2V  cos(ωt 3 3 √  √ 2V   cos(ω   4π   2T  + φ  φ)) = 2V  cos(ωt   cos(ωt + φ −   ) cos(ω (t −   ) + 3

3

et pour les courants:

ia (t) =

√ 2I  cos(ωt  cos(ωt + ψ)  ψ )

  15

(2.1)

 

ib (t) = ic (t) =

√ 2I  cos(ω √   cos(ωt + ψ −   2π  )   T   cos(ω (t −  ) + ψ +  ψ)) = 2I  cos(ωt 3 3 √ 2  cos(ω √    2T    4π + ψ   cos(ωt + ψ −   ) I  cos(ω (t −   ) +  ψ)) = 2I  cos(ωt 3 3

 

(2.2)

 

(2.3)

relations dans lesquelles on a tenu compte de (1.3 ( 1.3). ).

Σ ia

phase a

va

+ − 1

1’

2       −        +

2’ 3

 −  +

3’

vb

vc

phase b

ib phase c

ic

Figure 2.1: circuit triphas´e constitu´e de trois circuits monophas´es es Les diagrammes de phaseur relatifs aux tensions et aux courants se pr´esentent esentent sous forme d’´etoiles etoiles aux branches de mˆeme eme amplitude et d´ephas´ ephas´ees ees l’une par rapport a` l’autre de   2π/ π/33 radians (120 degr´es), es), comme repr´esent´ esent´e a` la figure 2.2. figure 2.2. On  On a donc pour les tensions:

¯a   =   V e jφ V  ¯b   =   V e j j((φ− V  ¯c   =   V e j j((φ− V  et pour les courants:

¯a   =   I e jψ I  ¯b   =   I e j j((ψ− I  ¯c   =   I e j j((ψ− I 

2π 3

 )

4π 3

 )

2π 3

 )

4π 3

 )

¯ae− j =  V  ¯ae− j =  V 

¯a e− j =  I  ¯a e− j =  I 

2π 3 4π 3

¯b e− j =  V 

2π 3

2π 3 4π 3

¯b e− j =  I 

2π 3

Il est clair que:

¯a +  V  ¯b  +  V  ¯c   = 0 V  ¯a +  I  ¯b  +  I  ¯c   = 0 I 

 

(2.4)

 

(2.5)

Nous avons suppos´e que l’onde de tension de la phase  b  est en retard sur celle de la phase  a et celle de la phase  c  en retard sur celle de la phase  b. Dans le diagramme de la figure 2.2 figure  2.2,, un 16

 

¯c V 

¯a V 

¯c I 

φ ψ ¯a I  ¯b I 

ω O

¯b V 

Figure 2.2: diagramme de phaseur des tensions et courants en en r´ reegime ´ gime triphas´e equilibr´ e´ quilibr´e observateur plac´e en O voit passer les vecteurs tournants dans l’ordre   a,   b,   c. On di ditt que les   ¯  ¯  ¯ tensions V a , V b , V c forment une  s´   s equence directe. ´  En fait, la configura configuration tion de la figure figure 2.1 pr´esente esente peu d’int´erˆ erˆet. et. On peut peut obtenir obtenir un montage montage plus int´eeressant ressant en regroupant les conducteurs de retour 11’, 22’ et 33’ en un conducteur unique. Ce dernier est parcouru par le courant total  I  doncc supprimer ccette ette ¯a  +  I  ¯b  +  I  ¯c   = 0. On peut don connexion sans modifier le fonctionnement du syst`eme, eme, ce qui donne le circuit de la figure figure 2.3  2.3,, typique des r´eseaux eseaux de transport a` haute tension.

Σ

phase  a

+ −

N’

N       −        +

 −  +

phase b phase c

Figure 2.3: un authentique circuit triphas´e ! L’avanta ’avantage ge du syst`eme eme triphas´ triphas´e de la figur uree 2.3 par rapport rapport a` un sys yst` t`eme eme monoph monophas´ as´e est est evident: e´ vident: la puissance transmise par le syst`eme eme triphas´e a` travers la coupe  Σ  vaut 3 fois celle transmise par une de ses phases, phases, pour pour seulement 1,5 1,5 fois le nombre de conducteurs. De fac¸on ¸on eequivalente, ´ quivalente, le sy syst` st`eme eme triphas´ triphas´e de la figure 2.3 trans  2.3 transpor porte te autant autant de puissa puissance nce que ce celui lui de la figure figure 2.1  2.1 mais  mais avec moiti´e moins de conducteurs.

17

 

Les points tels que N et N’ sont appel´es es  neutres. En r´egime egime parfaitement equilibr´ e´ quilibr´e, tous les neutres sont au mˆeme eme potentiel.

¯a ,  V  ¯b ou  V  ¯c sont appel´ees Les tensions  V  ees tensions de phase ou tensions phase-neutre.

2.2

Tensions ensions de ligne ligne (ou compos compos´ees) e´ es)

D´efinissons efinissons a` pr´esent esent les diff´erences: erences:

¯ab  ¯ U  ab   = V a ¯bc  ¯ U  bc   = V b ¯ca  ¯ U  ca   = V c

−  V ¯ −  V ¯ −  V ¯

b

 

(2.6)

c

 

(2.7)

a

 

(2.8)

composees Ces tensions sont appel appelees e´ es tensions compos´  ´   ou tensions entre phases ou tensions de ligne.

Le diagramme de phaseur correspondant, repr´esent´ esent´e a` la figure 2.4, figure 2.4, fournit:  fournit:

¯ab U  ab   =

√ 3  V ¯  e a

 j π6

=

√ 3 V

e j j((φ+

π

U  ¯bc

 = ¯ca U  ca   =

 j 6 b 3  V  ¯   e j π ¯c   e 6 3  V 

√ 

π 6

)

= =

√ 33 V V

 j  j((φ+ 6

e j( π e j (φ+ 6

(2.9) 2π

π

3

− −

 )

4π 3

 )

(2.10) (2.11)

¯ca U  ca ¯a V 

¯c V  ¯bc U  bc

φ ¯ab U  ab ¯b V 

Figure 2.4: tensions de phase et tensions de ligne On voit que l’amplitude de la tension de ligne vaut ¯ab   ¯bc et  U  ¯ca U  equence equence directe. ab , U bc ca forment aussi une s´

√ 3 fois celle de la tension de phase et que

Il est a` noter qu’en pratique, quand on sp´ecifie ecifie la tension d’un equipement e´ quipement triphas´e, e, il s’agit, sauf mention contraire, de la  valeur efficace de la tension de ligne . C’es C’estt le cas lorsque lorsque l’on parle, par exemple, d’un r´ reseau e´ seau a` 380, 380, 150, 70, etc. etc. . . kV. kV.

18

 

2.3 2. 3

Conn Connex exio ions ns en  en etoile e´ toile et en triangle

Il existe deux modes de connexion d’un equipement ´equipement triphas´e: e: en etoile e´ toile ou en triangle, comme repr´esent´ esent´e a` la figure 2.5 figure 2.5.. a

I  ¯a

a

¯ac I  ac

¯YY   Z  ¯Y  Z  Y 

 

¯aabb I 

¯∆ Z 

¯∆ Z 

¯YY   Z 

c

b

¯c I 

¯a I 

¯b I 

¯  ∆ Z 

c

 

b

¯b I 

¯c I 

Figure 2.5: connexion d’une d’une charge triphas´ee ee en eetoile ´ toile et en triangle

¯ab  ¯ Recherchons la relation entre les courants  I  Recherchons ab  et I a  dans le montage en triangle. On a successivement: ¯ab ¯ab  U  ¯ca ¯ab   ¯ac U  U  U  ab ab ca ab  + U ac ¯a  =  I  ¯ab  ¯ = = I  + I    = ab ac ac ¯ ¯ Z ∆ Z ∆

−

dont on tire evidemment e´ videmment :

−  U ¯ e− a abb

¯∆ Z 

 j 43π

¯ab U  π ab = ¯ (1 e− j ) = Z ∆

−

  1  j π   ¯ ¯ab I  e I a ab   = 3

√ 

 

6

4

3

√ 3 e−

 j π6  ¯ I ab ab

(2.12)

Le cours de Circuits electriques e´ lectriques (et plus pr´ecis´ ecis´ement ement la m´ethode ethode par transfiguration) a montr´e   ¯   ¯ ¯c aux deux montages, les courants que, si l’on applique les mˆemes emes tensions de phase V a , V b et  V  ¯a,  I  ¯b et  I  ¯c sont identiques a` condition que : de phase  I 

¯∆  = 3  Z  ¯YY   Z 

 

(2.13)

Etablir cette relation en exprimant que les deux montages consomment la mˆeme eme puissance complexe.

Une charge aliment´eeee sous tens tension ion monophas´ monophas´ee ee doit donc etre ˆ plac´ee ee dans dans une branche branche d’´eetoile toile ou de triangle, selon la valeur de la tension en question. Les distributeurs d’´electricit´ electricit´e veillent a` connecter les diff´eerentes rentes charges monophas´ees ees de mani` niere e` re a` equilibrer e´ quilibrer les trois phases. phases. C’est C’est pourquoi pourquoi il est raisonnable raisonnable de consid´erer erer que les chargess vues du r´ charge reseau e´ seau de transport sont equilibr´ e´ quilibr´ees. 19

 

Au niveau d’une habitation aliment alimentee e´ e en triphas´e (380 V entre phases), les equipements e´ quipements monophas´es es fonctionnant sous 220 V sont plac´es es entre entre phase phase et neutre neutre.. On veille veille a` repartir e´ partir les eequipemen ´ quipements ts (p.ex (p.ex.. les pi` pi`eces eces d’habitation) sur les phases de la mani`ere ere la plus equilibr´ e´ quilibr´ee possible. poss ible. Evidemmen Evidemment, t, au niveau niveau d’une d’une habitation habitation,, il existe un d´es´ es´eequil quilibr ibre. e. Les Les cˆaables bles d’alimenta d’alim entation tion sont dot´eess d’un conducteur de neutre et ce dernier est parcouru par un certain courant. Les neutres des diff´erents erents consommateurs sont regroup´es. es. Au fur et a` mesure de ce groupement, le courant total de neutre devient n´egligeable egligeable devant les courants de phases. Notons que le cˆable able d’alimentation peut peut etre eˆ tre dot´e d’un cinqui`eme eme conducteur, conducteur, destin´ destin e´ a` mettre les equipements e´ quipements a` la terre. Certaines charges, aliment´ees ees sous une tension sinuso¨ıdale, ıdale, produisent des harmoniques de courant. Ces derniers ont des effets ind´esirables esirables telles que pertes suppl´ementaires, ementaires, vibrations dans les machines, perturbations des equipements e´ quipements electroniq e´ lectroniques, ues, etc. . . . Il co conv nvient ient donc de prendre des mesures pour limiter leur propagation dans le r´eseau. eseau. Etan Etantt donn´ donn´e que dans un spectre de Fourier, l’´energie energie contenue dans une harmonique diminue quand le rang de cette harmonique (c’est-`a-dire a-dire la fr´equence) equence) augmente, ce sont principalement les harmoniques de rang le plus bas qu’il faut supprimer (ou du moins att´enuer). enuer). La connexion des charges charges en triangle permet la suppression de certaines harmoniques. A titre d’exemple,, le lecteur est invit´ d’exemple i nvit´e a` r´esoudre esoudre l’exercice qui suit.  i((t): Consid´erant erant une charge mont´eeee en triangle, avec dans chacune des branches un courant  i

•   p´eeriodique, riodique, de p´eriode eriode 1  1/f  /f  •   impair:  i(  i (−t) = −i(t)  i((t) •   pr´eesentant, sentant, a` l’int´erieur erieur de chaque demi-p´eriode, eriode, une sym´etrie etrie caract´eris´ eris´ee ee par:  i  i(( T  2  − t) =  i montrer que les courants de ligne ne comportent pas d’harmonique pair et aucun harmonique de pulsa 5ω ω. tion inf´erieure erieure a`  5

2.4 2. 4

Anal Analys ysee par par phas phasee

La sym´etrie etrie qui existe entre les diff´erentes erentes phases permet de simplifier l’analyse d’un syst`eme eme triphas´e equilibr´ e´ quilibr´e. Il suffit suffit en effet effet de d´eterminer eterminer tensions et courants dans une phase, pour obtenir automatiquement les tensions et courants dans les autres phases, par simple d´ephasage ephasage de 2π/3 π/ 3 radians.

±

Pour pouvoir d´eterminer eterminer l’´etat etat eelectrique ´ lectrique d’une phase en se passant des deux autres, deux op´erations erations sont toutefois n´ecessaires: ecessaires:

20

 

•  remplacer les charges connect´ees ees en triangle par leur sch´ema ema equivalent e´ quivalent en etoile, e´ toile, en utilisant simplement la relation (2.13 (2.13); );

•   s’affranchir s’affranchir des couplages inductifs inductifs et capacitifs entre entre phases. Cette op´ operation e´ ration simple est d´etaill´ etaill´ee ee dans les deux sous-sections qui suivent.

2.4.1

Traitemen raitementt des couplage couplagess inducti inductifs fs entre phases

Consid´erons erons le circu circuit it triphas´ triphas´e de la figur uree 2.6,  2.6, dans dans leque lequell ch chaqu aquee phase phase poss` poss`ede une une r´eesistance, sistance, une self-inductance et un couplage inductif avec les autres phases.

¯a I 

L

R

¯a V 

¯a V 

′

M 

R

¯b I 

L ¯b V 

¯b V 

′

M 

¯c I 

M 

V  ¯c

V  ¯c

′

R

L

Figure 2.6: couplage inductif entre phases Les tensions d’extr d’extr´eemit´ ´ mit´e sont li´ees ees aux courants par:

          ¯a V  ¯b V  ¯c V 

¯a V  ¯b V  ¯c V 

′

 =

 +

′

′

¯s Z  ¯m Z  ¯m Z 

  Z  ¯m   Z  ¯s   Z  ¯m

  Z  ¯m   Z  ¯m   Z  ¯s

     ¯a I  ¯b I  ¯c I 

relation dans laquelle on a suppos´e (id´ealement) ealement) un parfait equilibre e´ quilibre entre les phases (mˆeme eme terme diagonal dans chaque phase et mˆeme eme terme non-diagonal quelle que soit la paire de phases consid´er´ er´ee). ee). La premi`ere ere composante de cette relation matricielle donne:

¯s I  ¯a +  Z  ¯m I  ¯b +  Z  ¯m I  ¯c ¯a   =  V  ¯a  +  Z  V  ′

et en tenant compte du fait que le r´ regime e´ gime est equilibr´ e´ quilibr´e :

 

¯a   =   V  ¯a  + Z  ¯s +  Z  ¯m (e− j V  ′

¯a  + Z  ¯s =   V  ′

−



 Z  ¯m  ¯ I a

21

2π 3

4π



+ e− j )  ¯ I a 3

 

Tout se passe donc comme si la phase  a  ´etait etait seule mais pr´esentait esentait une imp´edance: edance:

¯eq  ¯ Z  eq   = Z s

−  Z ¯

 

m

(2.14)

impedance cyclique. Insistons qui est appel´eeee   imp´  ´  Insistons sur sur le fait fait que ce ce r´esultat esultat n’est valable qu’en regime e´ gime equilibr´ e´ quilibr´e !

Dans le cas repr´esent´ esent´e a` la figure 2.6, figure 2.6, on  on trouve ais´ement ement que:

¯eq Z   R  + j  jω ω (L eq   =  R +

− M )

 

(2.15)

Le sch´ sch´ema ema equiva e´ quivalent lent “par phase” phase” est donc donc celui celui de la figure figure 2.7.a.  2.7.a. Dans ce sch´ema, ema, la premi` premi`ere ere ¯a . Comme on l’a dit plus haut, celui-ci loi de Kirchhoff impose un courant de retour  I  celui-ci n’existe pas dans le circuit triphas´e. e.

R

¯a I 

L

− M 

¯a I  ¯a V 

¯a V 

 

¯a V 

′

¯a I 

¯a I 

′

C  +  + 3C m ¯a I 

¯a I 

′

a

b

Figure 2.7: sch´emas emas equivalents e´ quivalents par phase des circuits des figures 2.6 figures  2.6 et  et 2.8  2.8

2.4.2

Traitemen raitementt des couplage couplagess capaciti capacitifs fs entre phases

Consid´erons erons a` pr´esent esent le circuit de la figure 2.8 figure 2.8,, dans lequel chaque phase poss`ede ede un couplage capacitif avec la terre et avec les autres phases. Notons que chaque phase pr´esente esente la mˆeme eme capacit´e   C  par   par rapport a` la terre (suppos´eeee au potentiel nul) et que chaque paire de phases phases pr´ presente e´ sente la mˆeme eme capacit capacit´e´ mutuelle C m . La relation entre courants et tensions est:

 

¯a I  ¯b I  ¯c I 

−  I ¯ −  I ¯ −  I ¯

   

a

′

 =

b

′

c

′

¯s Y  ¯m Y  ¯m Y 

  Y  ¯m   Y  ¯s   Y  ¯m

  Y  ¯m   Y  ¯m   Y  ¯s

     ¯a V  ¯b V  ¯c V 

Notons ici encore l’hypoth`ese ese de parfaite sym symetrie e´ trie triphas´ee. ee. La premi`ere ere composante de cette relation matricielle donne:

¯a I 

−  I ¯   =  Y ¯ V ¯  +  Y ¯ V ¯  +  Y ¯ V ¯ m b

s a

a

′

m c

et en tenant compte du fait que le r´ regime e´ gime est equilibr´ e´ quilibr´e:

¯a I 

−

 I  ¯a   = ′

=

 

¯s +  Y  ¯m (e− j Y 

¯s Y 

−  Y ¯

m

22



 ¯ V a

2π 3

4π 3



V a + e− j )  ¯

 

¯a I 

¯a I 

′

¯a V  C 

¯b I 

C m

C 

¯c I 

¯b I 

C m

¯b V  C m

′

¯ I c

V  ¯c

′

C 

Figure 2.8: couplage capacitif capacitif entre phases On voit que tout se passe comme si la phase a  ´eetait tait seule mais avec une admittance entre phase et neutre : ¯eq   ¯  Y  ¯m Y    (2.16) eq   = Y s

−

¯s  = j ¯m   =  jω Dans le cas repr´esent´ esent´e a` la figure 2.8, figure 2.8, on  on a  Y   =  j ωC  +  + 2 jω  jωC  C m et  Y   jωC  C m et donc :

−

¯eq Y   + 3C m ) eq   =  j ω (C  +

 

(2.17)

Le sch´ema ema equivalent e´ quivalent par phase est donc celui de la figure 2.7 figure 2.7.b. .b.

2.4.3

Schema e´ ma unifilaire

A transformateur générateur

C B

charg

F

D

E

 jeu de barres

Figure 2.9: sch´ema ema unifilaire d’un syst`eme eme de puissance L’analyse par phase se concr´etise etise en particulier dans l’utilisation du  sch  sch´  ema unifilaire. Il s’agit ´  23

 

d’un diagramme monophas´ee,, sans conducteur de retour, repr´eesentant sentant les equipements e´ quipements qui composent un syst`eme eme de puissance. Un exemple est donn´e a` la figure 2.9 figure 2.9.. Les equipemen e´ quipements ts tels que lignes, lignes, cˆables, ables, transformateurs, g´een´ n´eerateu rateurs, rs, char charges ges,, etc. . . so sont nt reli´ reli´es es entre eux, dans les postes a` haute tension, par par l’interm´ l’intermediaire e´ diaire de barres conductrices. Une barre barre est consid´er´ er´ee ee comme un equipement e´ quipement equipotentiel. e´ quipotentiel. L’ensemble des trois barres relatives aux trois phases est appel´e un jeu de barres. Les jeux de barres du syst`eme eme de la figure 2.9 figure 2.9 sont  sont A, B, . . . , F.

2.5 2. 5

Puis Puissa sanc nces es en regime e´ gime triphas´ triphase´

La puissance instantan´ee ee traversant la coupe Σ  des figures 2.1 figures 2.1 et  et 2.3  2.3 vaut:  vaut:

 p(  p(t) =   vaia  + v  +  vb ib  + v  +  vc ic



= 2V I  cos( cos(ωt ωt + φ)  φ) cos( cos(ωt ωt + ψ)  ψ ) + cos(ωt cos(ωt + φ + cos(ωt cos(ωt + φ

−

  4π   )cos(ωt )cos(ωt + ψ 3

−



  4π  ) 3

= 3V I  cos(φ   cos(φ ψ ) +V I  cos(2 cos(2ωt ωt + φ +  φ + ψ  ψ)) + cos(2ωt cos(2ωt + φ +  φ + ψ  ψ



= 3V I  cos(φ   cos(φ

−

  2π −   23π  )cos(ωt )cos(ωt + ψ −   ) + 3

−

  4π  ) + cos(2ωt cos(2ωt + φ  φ +  + ψ  ψ 3

−



 2  2π π  ) 3

− ψ) = 3P 

On voit que la puissance instantan´ee ee est une constante, egale e´ gale a` trois fois la puissance active P  transf´   transf´er´ er´ee ee par une des phases. Il n’y a donc pas de puissance fluctuante en r´egime egime triphas´e eequilibr´ ´ quilibr´e. Puisque la puissance reactive e´ active a eet´ ´ t´e d´efinie efinie comme l’amplitude d’un des termes de la puissance fluctuante (cf (1.14,1.17 (1.14,1.17)), )), on pourrait penser que la notion de puissance r´eactive eactive n’est pas appel´ee ee a` jo joue uerr un rˆole o le en r´eegime gime triphas´ triphas´e equilibr´ e´ quilibr´e. Il n’en est rien. En fait, dans chaque phase, il y a une puissance fluctuante; une de ses composantes correspond a` l’´energie energie emmagasin´ee ee dans les bobines et les condensateurs de cette phase et son amplitude est la puissance r´eactive eactive er´ee. ee. Simplement, les puissances puissances fluctuantes des diff´erentes erentes phases Q relative a` la phase consid´er´

sont d´ecal´ ecal´ees ees temporellement d’un tiers de p´eriode, eriode, de sorte que leur somme est nulle a` tout instant. complexe triphas´  triphasee La puissance complexe ´   vaut, par extension de la formule monophas´ee: ee:

¯3φ  =  V  ¯aI  ¯⋆  +  V  ¯b I  ¯⋆  +  V  ¯c I  ¯⋆  =  V  ¯a I  ¯⋆e j ¯⋆ +  V  ¯a e− j π I  S  a b c a a 2

3

2π 3

¯⋆e j ¯a e− j π I  +  V  a 4

3

4π 3

¯a I  ¯⋆ = 3V  a

¯ est triphasee  est la  puissance active triphas´  ´  : La partie r´eelle eelle de  S  P 3φ   = 3V I  cos(φ   cos(φ

− ψ) = 3P 

 

(2.18)

 

(2.19)

triphasee triphas´  tandis que la partie imaginaire est la  puissance r eactive ´  ´  ´  :

Q3φ  = 3V I  sin(φ  sin(φ 24

− ψ) = 3Q

 

La notion de puissance r´eactive eactive triphas´eeee est artificielle dans la mesure o`u il n’y a pas de puissance fluctuante triphas´ee. ee. En fait, seule la puissance r´eactive eactive par phase Q a une interpr´etation. etation. Q3φ   = 3Q  est une grandeur aussi artificielle qu’un “courant triphas´e” e”   3I . Cepe Cependan ndant, t, cette notion est universellement universellement utilis´ utilisee, e´ e, pour des raisons de sym´etrie etrie avec la puissance active. En vertu de (2.9 (2.9), ), on a:

P 3φ   = Q3φ   =

√    cos(φ − ψ )  cos(φ √ 33UU I I  sin(φ   sin(φ − ψ )

   

(2.20) (2.21)

ou`  U  est la valeur efficace efficace de la tension de ligne. ligne. Ces formules sont sou souvent vent utilis´ees ees parce qu’elle font intervenir U , elle-mˆeme eme utilis´ee ee pour d´esigner esigner la tension. Notons toutefois que ces formules sont hybrides dans dans la mesure o` ou`  φ ψ est le d´ephasage ephasage entre le courant et la tension de phase (et non la tension t ension de ligne).

−

2.6

Produ Productio ction n d’un d’un champ champ tournan tournantt

Montrons finalement comment un ensemble de courants triphas´es es peut etre eˆ tre utilis´e pour produire un champ tournant dans une machine. Les machines electriques e´ lectriques tournantes, tels les g´en´ en´eerateurs rateurs des centrales electriques, e´ lectriques, sont constitu´ees ees d’un  stator , qui est la partie fixe, et d’un  rotor , qui est la partie tournante, s´epar´ epar´ee ee de la premi`ere ere par un  entrefer . Stator et rotor sont tous deux fabriqu´eess dans un mat´eriau eriau a` haute perm´eabilit´ eabilit´e magn´etique. etique. Le stator d’un machine tournante triphas´ee ee est dot´e d’un ensemble de trois enroulements, corcorrespondant chacun a` une phase. Un de ces enroulements enroulements,, que nous supposeron supposeronss relatif `a la phase a, est repr´esent´ esent´e en coupe a` la figure 2.10. figure 2.10.aa et en perspective a` la figure 2.10. figure 2.10.b b1 . Si l’on injecte un courant continu dans l’enroulement l’enroulement en question, les lignes du champ magn magn´ee´ tique qui en r´esulte esulte se disposent comme repr´esent´ esent´e en pointill pointill´e´ a` la figure 2.10. figure 2.10.a. a. Notons que la perm´eabilit´ eabilit´e magn´ magn´etique etique du mat´ mat´eriau eriau etant e´ tant beaucoup plus elev´ e´ lev´ee ee que celle de l’air de l’entrefe l’entrefer, r, les lignes de champ sont orient´ees ees dans ce dernier selon la normale a` la surface (cylindrique) ext´erieure erieure du rotor et la surface int´erieure erieure du stator. stator. En d’autres termes, le champ est radial en tout point de l’entrefer. l’entrefer. Rep´eerons rons un point quelconque P de l’entrefer au moyen de l’angle   ϕ  (cf figure 2.10. figure  2.10.a) a) et d´esignons esignons par   H (ϕ)  l’amplitude du champ magn´eetique tique en ce point.   H (ϕ)  est une fonction p´eriodique, eriodique, de p´eriode eriode 2π  2π dont le d´eveloppement eveloppement en s´ serie e´ rie de Fourier s’´ecrit: ecrit:

H (ϕ) =  c 1 cos ϕ + c3 co  coss 3ϕ + c5 c  cos os 5ϕ + . . . En pratique, les constructeurs s’efforcent de rendre les harmoniques spatiaux en 3  3ϕ ϕ, 5  5ϕ ϕ, etc etc.. . . aussi faibles que possible, en jouant sur le nombre et la l a disposition des conducteurs. On peut 1

insistons sur le fait que ces figures donnent seulement un sch eema ´ ma de principe

25

 

ϕ

P

rotor

stator

entrefer

a

b

Figure 2.10: enroulement statorique d’une des trois phases

donc ne retenir que le premier terme du d´eveloppement eveloppement ci-dessus. Le champ eetant ´ tant par ailleurs proportionnel au courant i a (en n´egligeant egligeant toute saturation a` ce stade), on peut peut ecrire: e´ crire:

H (ϕ) =  ki  k ia cos ϕ

 

(2.22)

L’enroulement de la phase   b  (resp.   c) est d´ecal´ ecal´e spatialement de   2π/ π/33  (resp.   4π/ π/33) radians 2 par rapport a` celui de la phase  a . La figure 2.11. figure  2.11.aa montre la disposition des trois phases, en repr´esentant esentant chaque enroulement enroulement par une seule spire, pour des raisons de li lisibilit sibilit´e. e´ . Le champ total cr´e´ ee´ par les trois phases vaut donc, au point correspondant correspondant a` l’angle ϕ:

H 3φ  = k  =  kiia cos ϕ + ki b cos(  cos(ϕ ϕ

 2 π   4π −  2π  ) + + ki  ki  cos(  cos(ϕ ϕ −  ) 3 3 c

et si l’on alimente l’ensemble par les courants triphas´es es eequilibr´ ´ quilibr´es (2.1 (2.1,, 2.2  2.2,, 2.3  2.3): ):

H 3φ   =

√ 2kI  cos(   2π   2π cos(ωt ωt + ψ)cos  ψ )cos ϕ + cos(ωt cos(ωt + ψ −   )cos(ϕ )cos(ϕ −   )+ + cos( cos(ωt ωt + ψ

=

√ 2kI  



3

3

  4π cos(ϕ ϕ −  ) −  43π ) cos( 3

 4  4π π − ϕ) + cos(ωt cos(ωt + ψ  ψ +  + ϕ  ϕ −   ) 2 3    2π + cos( cos(ωt ωt + ψ − ϕ) + cos(ωt cos(ωt + ψ +  ψ  + ϕ  ϕ −  ) + cos(ωt cos(ωt + ψ − ϕ) 3 cos(ωt cos( ωt + ψ +  ψ  + ϕ  ϕ)) + cos(ωt cos(ωt + ψ

2

la position relative des phases d´epend epend du sens de rotation de la machine. Dans le cas pr esent, e´ sent, on suppose que le rotor tourne dans le sens trigonom´etrique. etrique. Cette assertion s’appuie sur des consid´eerations rations du chapitre chapitre 8  8

26

 

axe phase a b’

 

c

a’

c

b

b’

a

a

a’

 p =  p  = 1 axe phase b

c’

a

 p  p =  = 2

c’

axe phase c

b

b

c’

a’

b’ c

b

a

Figure 2.11: disposition des enroulements statoriques statoriques triphas´es es

√ 

  3 2kI  =   cos(ωt cos(ωt + ψ 2

− ϕ)

 

(2.23)

Cette relation est celle d’une onde qui circule dans l’entrefer a` la vitesse angulaire  ω , comme repr´esent´ esent´e a` la figure 2.12 figure 2.12,, dans laquelle l’entrefer a eet´ ´ t´e “d´eroul´ eroul´e”. e”. N

ω 2π

0

ϕ

S Figure 2.12: onde de champ circulant dans l’entrefer (d´eroul´ eroul´e) e)

Les trois courants triphas´es es produisent donc le mˆeme eme champ magn´etique etique qu’un aimant (ou un enroulement parcouru parcouru par du courant courant continu) tournant a` la vitesse vitesse angulaire angulaire ω . Les pˆoles oles Nord et Sud de cet aimant sont rep´er´ er´es es a` la figure 2.12. figure 2.12. C’est  C’est pourquoi on parle de  champ tournant . Etant donn´e que le champ tourne a` la mˆeme eme vitesse que les vecteurs tournants associ´es es aux 27

 

grandeurs sinuso¨ıdales, ıdales, on peut repr r epr´esenter e´ senter ces diff´erents erents vecteurs sur un mˆeme eme diagramme de phaseur, comme a` la figure 2.13 figure 2.13.. Dans cette figure, l’axe horizontal est a` la fois l’axe sur lequel on projette les vecteurs tournants pour obtenir les evolutions e´ volutions temporelles des grandeurs sinuso¨ıdales ıdales et l’axe l ’axe de ref´ e´ f´erence erence par rapport auquel on rep`eere re la position angulaire ϕ , c’est-`aadire l’axe de la phase a, par coh´erence erence avec avec ce qui pr´ prec` e´ c`ede. ede. Le diagramme de phaseur montra montrant nt ¯a fait un la position des vecteurs tournants a` l’instant t =  t  = 0, le vecteur repr´esentant esentant le courant  I   t   = 0, le champ magn´eetique angle ψ  avec l’axe de r´eference. eference. La relation (2.23 (2.23)) montre qu’en  t tique est maximal en ϕ = esentant le champ cham p tournant tour nant co¨ıncide ıncide donc avec  I   ϕ  = ψ  ψ . Le vecteur repr´esentant ¯a.

¯c I 

H 3φ ψ

¯a I  N S

¯b I  Figure 2.13: diagramme de phaseur et position du champ tournant

Dans certaines machines (g´en´ en´erateurs erateurs de centrales hydrauliques par exemple), on d´eesire sire que le champ tourne a` une vitesse plus faible, tout en alimentant le stator avec des courants de a,b,c))  sur la cirpulsation   ω . On obtie obtient nt ce ce r´esultat esultat en r´ep´ ep´eetant tant plusieurs fois la s´equence equence   (a,b,c conf´erence erence du stator. stator. Si la l a s´equence equence se rep`ete ete p fois, on dit que la machine poss`ede ede p  paires de  pˆ   poles ˆ  . Par exemple, la figure 2.11 figure 2.11.b .b se rapporte a` une machine a` 2 paires de pˆoles. oles. On parcourt a,b,c))  sur   π  rad (au lieu de   2π  dans le cas   p   = 1) et chaque phase la s´equence equence compl`ete ete   (a,b,c  π//2 rad (au lieu de  π  dans le cas  p =  p  = 1). s’´etend etend sur un angle d’au plus  π Dans ces conditions, l’expression (2.22 ( 2.22)) devient   H (ϕ) =   ki a cos  cos pϕ  pϕ. En recommen recommencc¸ant le d´eveloppement eveloppement ci-dessus, on trouve a` pr´esent: esent:

√ 

  3 2kI  H   =   cos(ωt cos(ωt + ψ  pϕ  pϕ)) 3φ 2 A un instant instant donn´e, e, le champ  H 3φ  est maximal en  p  points et minimal en  p  autres points. La  ω /p. Le tableau ci-dessous donne quelques vitesse angulaire du champ magn´etique etique est donc  ω/p

−

exemples,, pour un r´ exemples r eseau e´ seau a` 50 ou a` 60 Hz.

28

 

nombre p   vitesse angulaire de paires   ω/p  en tours/minute de pˆoles oles   f   = 50 Hz   f   = 60 Hz 1 3000 3600 2 1500 1800 4 750 900 6 500 600 20 150 180 40 75 90

29

 

Chapitre 3 Quelques propri´ propriet´ e´ tes e´ s du transport de l’´energie  l’ e´ nergie  electrique e´ lectrique Dans ce chapitre nous montrons quelques propri´eet´ t´eess fondamentales du fonctionnement des reseaux e´ seaux d’´energie energie electrique e´ lectrique en r´egime egime eetabli ´ tabli et nous introduisons quelques notions importantes.

3.1 3.1.1

Transit ransit de puis puissanc sancee et chut chutee de tens tension ion dans dans une une liaiso liaison n Modele e` le et relat relations ions principales

Consid´erons erons le syst`eme eme simple de la figure 3.1 figure  3.1.. Il comporte comporte deux jeux de barres barres (ou noeud noeudss eelectriques, ´ lectriques, ou simplement noeuds) reli´es es par une ligne ou un cˆable, able, dont nous supposons que le sch´ema ema par phase consiste en une r´esistance esistance R en s´erie erie avec avec une r´ reeactance ´ actance  X . Comme nous le verrons au Chapitre 6 Chapitre  6,, le transformateur de puissance peut, sous certaines conditions, ˆetre etre eegalement ´ galement repr´esent´ esent´e par un tel dipˆole. ole.

¯1 V 

¯   I 

1

 +  jQ P 12 Q12 12  + j

R

 

2

X 

¯2 V 

 +  jQ P 21 Q21 21 + j

Figure 3.1: syst`eme eme simple a` deux jeux de barres

Par un choix appropri´e de l’origine des temps, on peut supposer que le phaseur de la tension ¯1   =  V 1 e j j00 =  V 1   et   V  ¯2   =  V 2 e jθ =  V 2 θ2 . au noeud 1 a une phase nulle. Posons:   V  2

30

 

¯ le eactive eactive   par    le courant courant parcourant la ligne. Soient   P 12 Soit  I  12  et  Q 12  les puissances active et r´  phase entrant dans la ligne par le noeud 1 (cf figure 3.1 figure 3.1). ). On a eevidemment: ´ videmment: ¯2  =  V  ¯1 V 

¯  +  jX  − (R + j X )I 

 

(3.1)

Il y correspond le diagramme de phaseur de la figure 3.2 figure  3.2..

RI P  P   =  RP 12 12 /V 1 X I Q  =  = X  X Q12/V 1

 

I PP  

I Q

 

¯1 V  ¯  jX I 

¯2 V 

¯ I 

 

X I P P    =  X P 12 12 /V 1

¯ RI  RI Q  = RQ  =  RQ 12 /V 1

Figure 3.2: diagramme de phaseur relatif au syst`eme eme de la figure figure 3.1  3.1

¯2 en ¯1 et des Etablisson Etablis sonss l’expr l’express ession ion de la tensio tension n  V   en fonc fonctio tion n de la te tens nsio ion n  V  des transi transits ts de puissa puissanc ncee P 12 12 et  Q12 . On a: 12  + j P 12  +  jQ Q12   =  V  ¯1 I  ¯⋆

d’o`u l’on tire:

−

(3.2)

−

 jQ 12   P 12  jQ 12 12 12 ¯  =   P 12 I  = ¯1⋆ V  V 1

En introduisant cette derni`ere ere relation dans (3.1 (3.1), ), on obtient:

¯2  =  V  ¯1 V 

− (R + j  +  jX  X )



P 12 12

− jQ V 1

12



¯1  =  V 

−  RP 

 +  XQ Q12 12 12  + X V 1

− j X P  V − RQ 1 12 2

12

(3.3)

1

On peut retrouver ce r´esultat esultat au d´epart epart de la figure 3.2, figure 3.2, en  en consid´erant erant que:

¯  est le courant actif  I  •  la projection de  I ¯ sur  sur  V   I    =  P  /V  ¯  est le courant r´eactif  I    =  Q •  la projection de  I ¯ sur  sur la perpendiculaire a`  V  eactif   I  1

P P  

12 12

1

1

3.1.2 3.1. 2

Q

12 /V 1 .

Eff Effet et d du u transpo transport rt de de puissan puissance ce a acti ctive ve et rr´eactive e´ active

Commee nous Comm nous le verr verron ons, s, dans dans les les r´eseau eseaux x de transp transport ort a` Tr`es e s Haut Hautee Tensi ension on (THT (THT), ), la r´esistance esistance R  est n´egligeable egligeable devant la r´eactance eactance   X   1 . Si l’on suppos supposee donc R   = 0, la relation (3.3 (3.3)) se simplifie en:

¯2  =  V  ¯1 V 

−  XV Q − j XV P  12

1

12 12

(3.4)

1

Le diagramme de phaseur correspondant correspondant est donn´ donne´ a` la figure 3.3 figure 3.3.. 1

cette simplification ne s’applique pas aux r´eeseaux seaux de distri distributi bution on a` Moyenne Moyenne Tension ension (MT) ou` R est du mˆeme eme ordre de grandeur que  X   !!

31

 

I PP   θ2

I Q

−X Q

12 /V 1

¯1 V 

− θ − jX P 

12 12 /V 1

1

B

¯ I 

¯  jX I  O A

¯2 V 

 R  = 0 Figure 3.3: diagramme de phaseur de la fig. 3.2 fig. 3.2 quand  quand R =

¯2 sous Cette figur Cette figuree mont montre re de plus plus la va varia riati tion on de la tens tensio ion n  V   sous l’e l’eff ffet et de varia variatio tions ns suppl´ suppl´ementaires ementaires de la puissance active (passage du point O au point A) et de la puissance r´eactive eactive (passage de O en B), la tension  V 1  ´etant etant suppos´ee ee constante. On peut en conclure que: ¯ . Si l’on •   le transfert de puissance puissance active active cr´ee ee une chute de tension en quadrature avec  V  ¯  −  V  ¯ ||  est faible devant   V  , on peut suppose, comme c’est le cas en pratique, que  ||V  1

2

1

1

d ephasage ´  des conclure; que  le transport de puissance active induit principalement un d ´  tensions

¯ . On peut •  le transfert de puissance r´eactive eactive cr´ee ee une chute de tension en phase avec  V  1

en conclure que  le transport de puissance r eactive induit principalement une chute des ´  ´  (modules des) tensions.

3.1.3 3.1. 3

Trans ransport port de puissan puissance ce reactive  e´ active  a` longue distance

Dans les r´eseaux eseaux de transport a` THT, il est d’usage de dire que  la puissance r eactive ne se ´  ´  transporte pas ais´  aisement sur de longues distances. Ce fait ´  fait peut peut etre eˆ tre illustr´e comme suit sur notre exemple a` deux noeuds. Le bilan de puissance complexe complexe de la liaison fournit:

P 12 12   = Q12   =

 +  RI 2 21 21  + RI   +  XI  I 2 21  + X

  −P    −Q

(3.5) (3.6)

Comme X >> R, on voit que les pertes r´eeactives actives sont nettement plus elev´ e´ lev´ees ees que les pertes actives. Ainsi, si les puissances active et r´eactive eactive entrent en quantit´ quantites e´ s egales ´egales dans la liaison, il sort a` l’autre extr´emit´ emit´e nettement moins de puissance puissance r´ reeactive ´ active que de puissance active. Par ailleurs, nous venons de voir que le transfert de puissance r´eactive eactive va de pair avec une variation des (modules des) tensions. Transf´erer erer beaucoup de puissance r´eeactive active requiert des chutess de tension chute tension importantes importantes.. En pratique, pratique, ceci ceci n’est n’est pas acceptab acceptable le car les tensions tensions aux 32

 

diff´erents erents noeuds d’un r´eseau eseau doivent doivent rester dans une plage de quelques pourcents pourcents autour des valeurs nominales, sous peine de fonctionnement incorrect des mat´eriels. eriels. Une telle limitation n’existe par pour la puissance active active car le d´ dephasage e´ phasage des tensions n’a pas de cons´equence equence directe directe pour les equipements. e´ quipements.

3.1.4 3.1. 4

Exp Expres ression sionss des tran transits sits een n fo fonct nction ion d des es ten tension sionss

Etablissons a` pr´esent esent l’expression des puissances   P 12 12  et   Q12  en fonction des modules et des phases des tensions aux extr´emit´ emit´es. e s. Pour Pour plu pluss de g´en´ en´eeralit´ ralit´e, e, nous consid´ererons ererons le cas o`u θ1 = 0.

 

On obtient a` partir des relations (3.1,3.2 (3.1,3.2): ):

P 12  +  jQ Q12 12  + j

− jθ V 2e− jθ   V 2 V 1 V 2e j(  j (θ −θ ¯ ⋆  V  ¯ ⋆ V  1 1 2  jθ V 1 e ⋆   ¯ ¯   ¯   =   =  V 1 e   = V 1 I  = V 1 R  jX  R  jX  R  jX   2   [V 1 V 1V 2 cos(  cos(θθ1 θ2 )  jV 1 V 2 sin(  sin(θθ1 θ2)] (R + j  + jX  X ) = R2 + X 2

 − −

 −

1

1

− −

− −

 −

2

−

1

2

)

−

En d´eveloppant eveloppant le num´erateur erateur et en egalant e´ galant parties r´eeelle elle et imaginaire des deux membres, on obtient les relations recherch´ees: ees:

R P 12 12   =   R2 + X 2 X  Q12   =   V 1 2 2 R + X 2 V 1 2

 −  −

 

  R V 1V 2 2  cos(θθ1  cos( R + X 2   X  V 1V 2 2  cos(θθ1  cos( R + X 2

  X  θ2 )  sin(θθ1  sin( R2 + X 2   R θ2 ) + 2  sin(θθ1  sin( R + X 2

− − −

 

−θ ) −θ ) 2

2

  (3.7)   (3.8)

Par simple permutation des indices 1 et 2, on obtient l’expression des puissances entrant  dans  dans la ligne du cˆot´ ot´e du noeud 2:

R P 21 21   =   R2 + X 2 X  Q21   =   V 2 2 2 R + X 2 V 2 2

 −  −

 

  R V 2V 1 2  cos(θθ2  cos( R + X 2   X  V 2V 1 2  cos(θθ2  cos( R + X 2

  X   sin(θθ2  sin( θ1 ) R2 + X 2   R θ1 ) + 2  sin(θθ2  sin( R + X 2

− − −

 

−θ ) −θ ) 1

1

Le lecteur est invit´e a` v´erifier erifier que ces expressions expressions ob´ obeissent e´ issent bien aux bilans de puissance (3.5 (3.5,, 3.6). 3.6 ).

 R  = 0, les relations ci-dessus deviennent simplement: Sous l’hypoth`ese ese R =

−

  V 1 V 2 sin(  sin(θθ1 θ2 ) X   2   V  V 1 V 2 cos(  cos(θθ1 Q12   = 1 X    V 2 V 1 sin(  sin(θθ2 θ1 ) P 21 21   = X   2   V  V 2 V 1 cos(  cos(θθ2 Q21   = 2 X  P 12 12   =

 −

 

−θ ) 2

−

 −

33

(3.9)  

 

−θ ) 1

(3.10) (3.11)

 

(3.12)

 

Ces relations sont utilis´eees es dans de nombreux raisonnements. Rappelons que P 12 eeee s’obtient en 12  et  Q 12  sont des puissances par phase. La puissance triphas´ multipliant ces relations par un facteur 3.

3.2

Caracteristique e´ ristique QV  QV  a` un jeu de barres d’un r eseau e´ seau

Dans cette section, nous nous int´eressons eressons a` la relation relation entre la puissance puissance r eeactive ´ active  Q  inject´ee ee en un jeu de barres et la tension  V   a` celui-ci, toute autre chose restant constante. Choisissons de compter  Q  positif quand la puissance entre dans le r´eseau. eseau. Le d´eveloppement eveloppement qui suit est limit´e a` une seule source de puissance r´eeactive active et ne rend pas compte des interactions entre deux sources voisines. Dans une certaine plage de variation, on peut repr´esenter esenter un r´eseau eseau vu d’un de ses jeux de barres par un sch´ema ema equivalent e´ quivalent de Th´ Thevenin e´ venin (cf figure 3.4 figure 3.4.a). .a). Rappelons le

Theor` Th´ e´ oreme e` me de Th´ Thevenin e´ venin. Vu d’un d’un ac acc` c`es, es, un circuit lin´eaire eaire peut etre eˆ tre remplac´e par un sch´ema e ma equivalent e´ quivalent compos´e d’une source de tension en s´eerie rie avec une imp´edance. edance. La f.e.m. de la source equivalente e´ quivalente est la tension apparaissant a` vide a` l’acc`es es consid´er´ er´e. e. L’imp´edance edance equivalente e´ quivalente est l’imp´edance edance vue de l’acc`eess apr`es es avoir passifi´e le circuit, c’est-`aa-dire -dire avoir annu annulle´ les f.e.m. (resp. les courants) des sources de tension (resp. (resp. de courant) ind´ependantes. ependantes. Nous supposons que l’imp´edance edance de Th´evenin evenin est essentiellement inductive, hypoth`ese ese d´eej` j`a discut´ee. ee. Quant a` la f.e.m. de Th´evenin, evenin, dans le cas qui nous occupe, c’est la tension relev´ee ee au jeu de barres lorsqu’aucune puissance n’y est produite ni consomm´eee. e. Consid´erons erons a` pr´esent esent l’injection l’injection d’une puissanc puissancee r´eactive eactive   Q  en ce jeu jeu de barres barres.. Comme Comme aucune puissance active n’est inject´ee, ee, la relation relation (3.9 (3.9)) montre qu’il n’y a pas de d´ephasage ephasage entre la tension du jeu de barres et la f.e.m. de Th´evenin, evenin, tandis que (3.10 (3.10)) fournit l’expression de la puissance r´eactive eactive Q entrant  par phase dans l’´equivalent: equivalent:

Q =

  V  2

− V E 

tth h

(3.13)

X th th

Sous les hypoth`eses eses adopt´ees ees plus haut, l’´equation equation (3.13 (3.13)) nous indique que la relation entre  Q et V   est quadratique. Cependant, Cependant, pour des variations de tension suffisamment faibles autour de E th eˆ tre lin´earis´ earis´ee. ee. Le coefficient angulaire de la droite correspondante (cf  th , cette relation peut etre figure 3.4 figure  3.4.b) .b) est donn´e par:

1



∂Q ∂V  V   =E  =E th th

  X th th = 2V  E th th

 −  −

34



= V   =E  =E th th

  X tthh E tthh

 

a.

V 

b.

X th th

pente X tthh /E tthh

Q ¯th E  th

+ −

E tthh

¯ V 

Q Figure 3.4: sch´ema ema equivalent e´ quivalent de Th´ Thevenin e´ venin et caract caracteristique e´ ristique QV d’un r´eseau eseau

On voit donc que, suite a` des variations de la puissance r´eactive eactive en un jeu de barres, les variationss de tension ation tension y sont d’autant d’autant plus faibles que la r eeactance ´ actance de Th´evenin evenin vue de ce jeu de barres est faible. La repr´esentation esentation d’un ensemble aussi complexe qu’un syst`eme eme d’´energie energie electrique e´ lectrique par un simple sch´ema ema equivalent e´ quivalent de Th´ Thevenin e´ venin est est evidemment e´ videmment une abstraction assez assez forte. Des remarques s’imposent a` ce sujet:

•  les r´esultats esultats ci-dessus ne sont pas valables pour de grandes variations de  V  et/ou de  Q .

En effet, dans ce cas, la caract´eristique eristique n’est plus lin´eeaire, aire, non seulement a` cause de la relation (3.13 (3.13)) mais surtout a` cause du passage en limite de production r´eactive eactive des g´en´ en´erateurs erateurs (voir chapitre 11 chapitre 11), ), ce qui modifie les param`etres etres de Th´evenin; evenin;

•   apr`eses une perturbation, la r´eactance eactance de Th´evenin evenin varie dans le temps car le syst`eme eme est

le si`ege ege de dynamiques provenant provenant de ses composants et de ses r egulations. e´ gulations. La r´eactance eactance de Th´evenin evenin vue dans les tout premiers instants doit etre eˆ tre calcul´ee ee en tenant compte du comportement des composants (surtout les g´en´ en´eerateurs: rateurs: voir chapitre chapitre 12  12); ); elle diff`ere ere de la r´eactance eactance de Th´evenin evenin qui caract´eerise rise le passage d’un point de fonctionnement en regime e´ gime etabli e´ tabli a` un autre;

eseau perd un de ses composants (ligne, transformateur, transformateur, g en´ e´ n´eerateur), rateur), les para•  lorsqu’un r´eseau

metres e` tres de Th´evenin evenin se modifient. Dans de nombreux cas, E tthh diminue et  X tthh  augmente suite a` un tel incident.

3.3

Puissan Puissance ce de court-c court-cir ircui cuitt

La notion de  puissance de court-circuit  est  est tr`es es utilis´ee ee dans l’analyse des r´eseaux eseaux d’´ d’energie e´ nergie eelectrique. ´ lectrique. Elle est d´efinie efinie par :

S cc cc  = 3V N  N I cc cc   = 35

√ 3

U N  N I cc cc

 

(3.14)

 

valeur nominale nominale de la tension de phase, phase,   U N  ou`   V N cc N  celle de la tension de ligne et   I cc N    est la valeur le courant circulant dans (chaque phase d’)un court-circuit triphas´e sans imp´edance edance au jeu de barres consid´er´ er´ee.. Notons que   S cc esente esente pas une puissance puissance au sens physique physique du terme terme.. En effet effet,, les cc  ne repr´ grandeurs intervenant intervenant dans cette formule ne se rapportent pas a` la mˆeme eme configuration, puisque V N  court-circuit et  I cc  le court-circuit. N   est la tension  avant  court-circuit cc le courant  pendant  le La puissance de court-circuit court-circuit est utilisee e´ e dans le dimensionnement des disjoncte disjoncteurs. urs. En effet :

•   un disjoncteur disjoncteur doit doit etre eˆ tre capable d’´eteindre eteindre l’arc eelectrique ´ lectrique qui apparait entre ses contacts

au fur et a` mesure que ceux-ci ceux-ci s’´ s’eloignent e´ loignent l’un de l’autre. Plus le courant de court-circuit I cc e´ lev´e, e, plus le disjoncteur doit etre eˆ tre puissant pour eteindre e´ teindre cet arc; cc  est elev´

•   une fois le courant courant interrompu, le disjoncteur doit etre ˆetre capable de tenir la tension qui se

retablit e´ tablit a` ces bornes sans qu’il y ait rupture di´electrique electrique du gaz situ´e entre ses contacts. e´ lev´e. e. Cette tension est d’autant plus elev´ e´ lev´ee ee que V N N   est elev´

Il est donc raisonnable de dimensionner un disjoncteur sur la base du produit de  I cc cc et de  V N  N . Il existe une relation simple entre la puissance de court-circu court-circuit it en un jeu j eu de barres et le sch´ema ema eequival ´ quivalent ent de Th´eeveni venin n du r´eseau eseau vu de ce jeu de barres. barres. En effet, effet, si l’on suppose suppose que la tension au jeu de barres avant avant court-circuit est egale e´ gale a` la tensi tension on nominale nominale V N  e´ galement la valeur N , c’est egalement de la f.e.m. de Th´eevenin venin et l’amplitude du courant de court-circuit est donn donn´e´ par :

I cc cc   =

  V N N   Z th th

 

| |

(3.15)

Il en r´eesulte sulte que la puissance de court-circuit est donn´ee ee par : 2   V N 2   U N  S cc  = cc   = 3 Z th Z tthh th

| | | |

 

(3.16)

La puissance de court-circuit donne egalement e´ galement une indication sur la tenue de la tension en un jeu de de barres. barres. En effet, effet, plus   S cc e´ lev´ee, ee, plus Z tthh  est faible et, comme on l’a vu a` cc  est elev´ la section section pr´ prec´ e´ c´eedente, dente, plus les variations de la tension avec la puissance r´eactive eactive sont faibles. C’est pourquoi il importe que des charges charges fluctuant rapidement soient connect´ees ees a` des jeux de barress o` barre ou` la puissance de court-circuit est suffisamment elev´ e´ lev´ee. ee.

 | |

Lorsquee l’imp´ Lorsqu l’imp´eedan dance ce de Th´even e venin in tend tend ve vers rs z´ero, ero, la puissa puissance nce de cou court-c rt-circ ircuit uit tend tend vers vers l’infini l’infini.. A la limite, on parle de  jeu de barres infini.

36

 

Chapitre 4 La ligne de transport Dans ce chapitre, nous nous int´eressons eressons au comportement comportement d’une ligne de transport de l’ l’´energie e´ nergie eelectrique ´ lectrique en r´egime egime sinuso¨ıdal ıdal etabli. e´ tabli. Apr`es es avoir rappel´e comment peuvent etre eˆ tre calcul´es es les param`etres etres lin´eiques, eiques, nous eetudions ´ tudions le comportement de la ligne en tant que composant 1 distribu´e . Nous en d´eduisons eduisons le sch´ema ema equivalent e´ quivalent a` eel´ ´ l´ements ements localis localis´es e´ s utilis´e dans les calculs de r´eseaux eseaux usuels. Nous terminons par des consid´erations erations relative relativess a` la limite thermique. Les consid´erations erations de ce chapitre s’appliquent egalement e´ galement aux cˆables ables a` haute tension.

4.1

Parametres e` tres lin´ lineiques e´ iques d’une ligne

Les param`etres etres lin´eiques eiques sont les param`etres etres (inductance, capacit´ee,, r´esistance, esistance, conductance) conductance) relatifs a` un tronc t ronc¸on ¸on de longueur long ueur infinit infini tesimale e´ simale dx, divis´es es par cette longueur dx. Il s’agit donc de param`etres etres par unit´e de longueur.

4.1.1 4.1 .1

Ind Induc uctan tance cess serie e´ rie

La ligne est entour´ee ee d’air, dont la perm´eeabilit´ abilit´e magn´etique etique est:

 ≃ µ  = 4π10−

µ  = µ  =  µ 0µr

0

7

H/m

(4.1)

Le m´etal etal dont est constitu´e chaque conducteur est caract caracteris´ e´ ris´e par une perm´eabilit´ eabilit´e relative µ r tr tr`es e` s proche de 1 en pratique. 1

par opposition a` “localis´ee”” : voir cours de Circuits electriques e´ lectriques

37

 

Ligne triphas´ triphasee e´ e simple Nous consid´erons erons une ligne compos´ee ee de trois conducteurs, chacun relatif `a une p phase hase.. Les dimensions sont d´eefinies finies a` la figure 4.1. figure 4.1. c a

chaque conducteur de rayon r

dac dbc

dab

b

Figure 4.1: ligne triphas´ee ee simple : g´eom´ eom´etrie etrie et distances

Le l’Energie lecteur lecteur estelectrique, ilectrique, nvit´ it´e a` se pour reporter aux aux cours cours d’Electromagn´ d’Elec esuivante tisme et de Transpo Transport rt et Distributi Distribution de e´ inv l’´etablissement etablissement de latromagn´ relationetisme entre flux et courants : on

    ψa ψb ψc

  µ0  = 2π

 

  

µr   + ln   1r 4

  ln

 1 dab

µr   + ln   1r 4



ln   ln

 1 dac  1 dbc

µr   + ln   1r 4

L

        ia ib ic

 

(4.2)

esigne le flux flux magn´ magn´etique etique embrass´ embrass´e par une une longueur longueur unitaire unitaire du conducte conducteur ur de la phase phase ou` ψa d´esigne a, ia le courant circulant dans cette phase, et de mˆeme eme pour les deux autres phases. La matrice etrique; les termes laiss´es es en blanc sont L  est la matrice d’inductance. Cette matrice est sym´etrique;   µo µr identiques a` ceux situ´es es sym´etriquement etriquement par rapport a` la diagonale. Le terme 8π   correspond au champ magn´etique etique existant a` l’int´erieur erieur du conducteur. On notera que l’expression ci-dessus est etablie e´ tablie sous l’hypoth`eese se :

ia + i  +  ib + i  +  ic   = 0

 

(4.3)

ce qui suppose qu’il n’y pas de retour de courant par un conducteur autre que les trois phases consid´er´ er´ees. ees.

´e Ligne triphas´ triphasee e´ e transpos´ transposeee Dans bon nombre de cas, les positions des conducteurs sur les pylˆones ones sont telles que les distances  dab ,   dac  et   dbc  ne sont pas toutes trois eegale ´ gales. s. Il en r´esulte esulte un certain d´es´ es´eequilibre quilibre 38

 

entre phases. Celui-ci peut etre eˆ tre compens´e en transposant les phases comme repr´esent´ esent´e a` la figure 4.2 gure  4.2.. La matrice matrice d’inducta d’inductance nce s’obtient s’obtient alors alors comme comme la moyenne moyenne arithm´ arithm´etique etique des matrices matrices relatives a` chacune des trois configurations. On trouve :

L  =

L’expression

√ d

  3

  µ0 2π

ab dac dbc est

  

µr   + ln   1r 4

 

ln 3  d 1dac d ab bc µr  1   + ln r   4

√ 

  1 3 dab dac dbc   1 3 dab dac dbc

ln √ 

ln √ 

µr  + ln   1 4 r

 2 appel´ee ee distance moyenne g´  geom eom´  . ´  etrique ´ 

a

c

b

b

a

c

c

b

a

  

(4.4)

Figure 4.2: transposition des conducteurs d’une ligne triphas´ee ee A pr´esent esent que les trois inductanc inductances es mutuelles mutuelles sont egales, e´ gales, on peut peut calculer calculer l’inducta l’inductance nce lin´eique eique par phase (en H/m), c’est-`a-dire a-dire la partie imaginaire de l’imp´edance edance cyclique ((2.14 2.14)) relative a` un tronc tr onc¸on ¸on de longueur lon gueur infinit i nfinit´esimale e´ simale dx, divis´ee ee par la pulsation  ω  et par  dx. On obtient :

  µ0 ℓ  = 2π



µr  1   + ln r 4



  µ0   1  = 2π dab dac dbc

 − ln √  3



µr   + ln 4

√ d 3

ab dac dbc

r



 

(4.5)

´ e  a` faisceaux de conducteurs Ligne triphas´ triphaseee  A proximit´e d’un conducteur conducteur de faible section port´ porte´ a` un potentiel elev´ e´ lev´e (par rapport a` la terre), les lignes equipotentielles e´ quipotentielles sont tr`es es rapproch´ees ees et le champ electrique e´ lectrique est tr`es es intense. intense. Cec Cecii produit une ionisation de l’air ambiant, connue sous le nom d’effet couronne. Ce dernier est responsable de pertes, pertes, d’interf´ d’interferences e´ rences radio et d’une gˆene ene acoustique (bruit audible audible a` proximit´e des lignes, surtout par temps humide). C’est la raison pour laquelle, pour des tensions nominales sup´erieures erieures ou egales e´ gales a` 220 kV, chaque conducteur de phase est remplac´e par un faisceau de plusieurs conducteurs maintenus a` distance constante les uns des autres par des  entretoises dispos´ees ees a` intervalle regulier. e´ gulier. Le faisceau se comporte comme un conducteur dont le rayon serait nettement plus grand que celui des conducteurs qui le composent, comme le confirme un calcul ci-apr` ci-apr es. e` s. Le champ electrique e´ lectrique est donc moins intense. En Belgique, les lignes a` 380 kV (et certaines a` 220 kV) comportent deux conducteurs par phase; dans certains pays, surtout pour des tensions nominales sup´eerieures rieures a` 380 kV, on en utilise jusqu’`a quatre. 2

en anglais : Geometrical Mean Distance (GMD)

39

 

Consid´erons erons la ligne a` faisceau de deux conducteurs dont la g´eom´ eom´etrie etrie et les dimensions sont d´efinies efinies a` la figure 4.3 figure 4.3.. En pratique, la distance d entre conducteurs d’une mˆeme eme phase est tr`es es faible par rapport aux distances entre phases, de sorte que l’on peut consid´ considerer e´ rer que chacun des conducteurs de la phase a est a` la distance  d ab  de chacun des conducteurs de la phase b, et de meme eˆ me pour les autres phases.

5

c 1

2

a

dac d

6

chaque conducteur de rayon r

d dbc

dab

3

4

b

d Figure 4.3: ligne triphas´eeee a` faisceaux de deux conducteurs conducteurs : g eom´ e´ om´etrie etrie et distances Sous cette hypoth`ese, ese, la relation entre flux et courants des six conducteurs de la figure  4.3 se  4.3 se pr´esente esente sous la forme :

    

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 ψ6

    

  µ0 = 2π

    

µr   + ln   1r 4

 

ln   d1

µr   + ln   1r 4

 

ln   ln

 1 dab  1 dab

µr   + ln   1r 4

 

ln  d1ab ln  d1ab ln   1d

 

µr   + ln   1r 4

 

ln  d1ac ln  d1ac ln  d1bc ln  d1bc µr   ln   1r 4

 

ln  d1ac ln  d1ac ln  d1bc ln  d1bc ln   1d

µr  1 4   + ln r

        

i1 i2 i3 i4 i5

    

i6(4.6)

On suppose egalement e´ galement que le courant de phase se r´epartit epartit de mani`ere ere egale e´ gale dans les deux conducteurs (identiques) (identiques) qui le l e transportent :

i1   =  i 2   =

  ia   ib   ic   i3   =  i 4  =   i5   =  i 6  = 2 2 2

Par ailleurs, les conducteurs 1 et 2 etant e´ tant en parall`ele, ele, le flux a` consid´erer erer pour la phase   a est 3 ψa   =  ψ 1   =  ψ 2 , et de mˆeme eme pour les autres phases 3

on peut s’en convaincre ais´ement ement en passant passan t par les tension tensionss aux bornes du tron troncc¸on ¸o n de ligne, puis en revena revenant nt aux flux

40

 

que, pour diminuer l’inductance cyclique, cyclique, on a int erˆ e´ rˆet et a` rapprocher les phases le plus possible, toutes autres choses restant restant egales. e´ gales. Cependant, il importe de maintenir une distance d’isolation minimale entre celles-ci. Cette distance est d’autant plus grande que la tension nominale nominale du reseau e´ seau est elev´ e´ lev´ee. ee. Dans le cas d’un cˆable, able, la permittivit´e ǫ du mat´eriau eriau isolant est beaucoup beaucoup plus elev´ e´ lev´ee ee que celle de l’air qui entoure une ligne a´erienne. erienne. Les phases peuvent donc eetre ˆ tre davantage rapproch´eees. es. Il en r´esulte esulte que l’inductance cyclique d’un cˆable able est nettement plus faible que celle d’une ligne a´erienne erienne de mˆeme eme tension nominale et de section comparable.

4.1. 4.1.2 2

Ca Capa paci cittes e´ s shunt

La ligne est entour´ee ee d’air, dont la permittivit´e di´electrique electrique est:

1 10−  ≃ ǫ  =  36π 36π

ǫ  = ǫ  =  ǫ 0 ǫr

0

9

F/m

(4.10)

Ligne triphas´ triphasee e´ e simple Consid´erons erons a` nouveau la g´eom´ eom´etrie etrie d´ecrite ecrite a` la figure 4.1. figure 4.1. Le lecteur lecteur est inv invit´ it´e a` se reporter aux aux cours cours d’Electromagn´ d’Electromagn´etisme etisme et de Transpo Transport rt et Distributi Distribution on de l’Energie electrique, e´ lectrique, pour l’´etablissement etablissement de la relation suivante suivante entre potentiels et charges eelectriques ´ lectriques :

    va vb vc

  1  = 2πǫ o ǫr

 

  

ln   1r

 

ln  d1ab ln   1r

 S

 

ln  d1ac ln  d1bc ln   1r

        q a q b q c

 

(4.11)

e´ lectrique port´ portee e´ e par une esigne le potentiel electrique e´ lectrique de la phase   a,   q a  la charge electrique ou`   va   d´esigne unit´e de longueur du conducteur de cette phase5 , et de mˆeme eme pour les deux autres phases. Le potentiel electrique e´ lectrique etant e´ tant d´efini efini a` une constante additive pr`ees, s, il faut choisir un point de ref´ e´ f´erence erence dont le potentiel est fix´e a` z´ero ero (usuelleme (usuellement nt un point du sol). La matrice matrice   S  est la matrice d’in´elastance. elastance. Cette matrice est sym´etrique; etrique; les termes laiss´es es en blanc sont identiques a` ceux situ´es es sym´etriquement etriquement par rapport a` la diagonale. La similitude entre les matrices L matrices L et  et 6 S est assez remarquable . 5

rappelons que les charges se positionnent sur la p eriph´ e´ riph´eerie rie du conducteur la diff´erence erence tient dans le fait que le champ electrique e´ lectrique est nul a` l’int´erieur erieur du conducteur, contrairement au champ magn´eetique, tique, qui produit le terme de self-inductance µo µr /8π 6

42

 

´e Ligne triphas´ triphasee e´ e transpos´ transposeee Par extension du d´eveloppement eveloppement relatif aux inductances, on etablit e´ tablit l’expression suivante suivante pour la matrice d’in´elastance elastance d’une ligne triphas´ee ee transpos´ee ee :

  1 S  = 2πǫ o ǫr

ln   1r   ln √  d 3

1

ab dac dbc

ln   1r



 

ln √  d 3

1

ab dac dbc

ln √  dab1dac dbc ln   1r 3



(4.12)

dans laquelle on retrouve la distance moyenne g´eom´ eom´etrique. etrique. Les termes non diagonaux de S de  S ´  ´etant etant tous egaux, e´ gaux, on peut calculer la capacit´e shunt par phase, +3C m de la figur figuree 2.7, relative 2.7, relative a` un tro tronc nc¸¸on on de lon longue gueur ur infi infinit´ nit´esimale esimale c’est-`a-dire a-dire la ca capac pacit´ it´e C +3C  dx, divis´ee figure 2.8.. ee par dx. Les capacit´es es C   et et  C m proviennent de la figure 2.8 Pour ce faire, nous faisons l’hypoth`ese ese que la charge charge totale port´ portee e´ e par les trois phases est nulle:

q a + q   +  q b + q   +  q c   = 0

 

(4.13)

En fait, il est possible d’obtenir le r´esultat esultat sans calculer au pr´ealable ealable les capacit capacit´es e´ s C  et  et  C m . En effet, de (4.12 (4.12)) on tire pour la phase  a, par exemple :

 



  1  1   1 va   = ln   q a + ln (q b + q   +  q c ) 2πǫ oǫr r dab dac dbc   1  1   1 = ln ln q a 2πǫ oǫr r dab dac dbc

√  3



 − √  3

On en d´eduit eduit la capacit´e recherch´ee ee (en F/m) :

c  = 2πǫ o ǫr

ln

√ d

  3

1

ab dac dbc

(4.14)

r

´ e  a` faisceaux de conducteurs Ligne triphas´ triphaseee  Revenons a` la g´eom´ eom´etrie etrie d´etaill´ etaill´ee ee a` la figure 4.3 figure 4.3.. Nous consid´erons erons a` nouveau que chacun des conducteurs de la phase a est a` la distance  d ab  de chacun des conducteurs de la phase b, et de meme eˆ me pour les autres phases. Sous cette hypoth`eese, se, la relation entre potentiels et charges charges des six conducteurs de la figure 4.3 figure 4.3

43

 

qui fait intervenir la distance et le rayon moyens g´eom´ eom´etriques. etriques. Les capacit´es es mutuelles etant e´ tant a` nouveau toutes egales, e´ gales, on peut calculer la capacit´e shunt par phase, toujours sous l’hypoth`ese ese (4.13 (4.13). ). De (4.16 (4.16)) on tire pour la phase a, par exemple :

 

  1   1 ln q a + ln va   = 2πǫ o ǫr dr

√ 

√ 

=   1 ln   1 2πǫ o ǫr dr

  1 (q b + q   +  q c ) dab dac dbc

3

  1 q a dab dac dbc

√  − ln √  3





(4.18)

On en d´eduit eduit la capacit´e recherch´ee ee (en F/m) :

c  = 2πǫ o ǫr

ln

√ d

  3

1

(4.19)

ab dac dbc

√ d r

Les lois de l’Electromag´etisme etisme montr montrent ent que   ℓ c   =   v12   ou`   v  est la vitesse de propagation des ondes eelectro-magn´ ´ lectro-magn´etiques etiques dans le milieu s´eparant eparant les conducteurs. Qu’en est-il avec les expressions trouv´ees ees pour les inductances et capacit´eess par phase, sous les hypoth`eses eses adopt´ees ees ?

Discussion Revenons a` notre comparaison ligne-cˆable. able. La permittivit´e plus plus elev´ e´ lev´ee ee du milieu isolant conduit a` une capacit capacit´e´ shunt par phase plus elev´ e´ lev´ee ee pour le cˆable. able. Les distances plus faibles entre phases contribuent contribuent eegalement ´ galement a` une valeur plus eelev´ ´ lev´ee ee de cette capacit´ee.. Il s’en suit qu’un cˆable able pr´esente esente une capacit capacit´e´ equivalente e´ quivalente par phase nettement plus elev´ e´ lev´ee ee que celle d’une ligne a´erienne erienne de mˆeme eme tension nominale et de section comparable.

4.1.3

Resistance e´ sistance s´ serie e´ rie

Aux fr´equences equences de 50 ou 60 Hz, on peut n egliger e´ gliger l’effet pelliculaire et supposer que le courant se r´epartit epartit uniform´ement ement dans la section du conducteur.

 Ω/m) est donn´ee La r´esistance esistance lin´eique eique (en Ω/m ee par : r  =

 ρ s

45

 

(4.20)

 

 Ω.m) et s la section du conducteur (en m2 ). Le cuivre a la ou`  ρ est la r´esistivit´ esistivit´e du mat´ mat´eriau eriau (en Ω.m plus faible r´esistivit´ esistivit´e mais est devenu trop cher. L’aluminium a une r´esistivit´ esistivit´e plus eelev´ ´ lev´ee ee mais co coˆu ute ˆ te moins cher. Cependant, il n’a pas pas la r´esistance esistance m´ecanique ecanique requise pour les longues port´ees ees entre pylˆo ones nes d’une ligne THT. On utilise donc un alliage d’aluminium plus r´eesistant sistant ou l’on arme les conducteurs d’une ame aˆ me en acier.

4.1.4 4.1 .4

Co Cond nduc uctan tance ce shu shunt nt

La conducta conductance nce shunt shunt (ou “lat´eerale”) rale”) d’une d’une ligne est tr`es es faible. En fait, il existe des courants courants de fuite, principalement a` la surface des isolateurs et surtout quand l’atmosph`ere ere est poussi´ereuse ereuse (en milieu industriel) industriel) ou saline saline ( a` proximit´e de la mer). Toutefois outefois les pertes pertes associ´ees ees a` ces courants sont tr`es es faibles devant les puissances v´ehicul´ ehicul´ees ees par les lignes et l’on n´eglige eglige tr`es es souvent cette conductance en pratique.

4.1.5 4.1 .5

Or Ordr dres es de grand grandeu eurr

Le tableau ci-apr`es es donne l’ordre de grandeur des r´esistances esistances s´erie, erie, r´eactances eactances s´erie erie et admittances shunt, par phase, lin´eiques eiques et a` 50 Hz, pour un echantillon e´ chantillon repr´esentatif esentatif de lignes HT et THT pr´esentes esentes dans le r´eseau eseau belge. Le tableau reprend eegalement ´ galement les limites thermiques consid´er´ er´ees ees en fin de chapitre. tensions nominales (kV) 380 220 150 70 r (Ω /km) 0.03 0.04 – 0.09 0.05 – 0.12 0.09 – 0.35 2 2 1 ωl  (Ω /km) 0.3 ( ) 0.3 ( ) ou 0.4 ( ) 0.4 (1 ) 0.2 – 0.4 (1 ) ωc  (µS  /km) 3.0 3.0 3.0 3.0 S max 250–500 150 – 350 30 – 100 max  (MVA) 1350 ou 1420 1 2 ( ) 1 conducteur par phase ( ) 2 conducteurs par phase On voit qu’il y a une assez grande dispersion dans les valeurs des r´esistances, esistances, correspondant correspondant a` une assez grande vari´eet´ t´e de sections de conducteurs. On notera qu’en THT la r´esistance esistance est faible devant devant la rr´eactance. e´ actance. La susceptance shunt est relativement constante pour les diff´erents erents niveaux de tension consid´er´ er´es es dans le tableau t ableau ci-dessus.

46

 

4.2

Caracteristiques e´ ristiques des c ˆables ables

Pour des raisons evidentes, e´ videntes, les cˆables ables sont utilis´es es en milieu urbain et en milieu aquatique. Sous la pression de l’opinion et des pouvoirs publics, par souci du respect du paysage, on tend a` les substituer aux lignes a´eriennes eriennes HT ou THT, du moins lorsqu’il s’agit de remplacer une ligne arriv´ee ee en fin de vie ou de renforcer le r´ reseau e´ seau existant. Il faut cependant cependant noter que l’investissemen l’investissementt relatif `a un cˆaable ble est plusieurs fois sup´erieur erieur a` celui d’une ligne a´erienne erienne de mˆeme eme capacit´ee.. Par ailleurs, ailleurs, la maintenanc maintenancee est plus malais´ee ee en ce sens qu’une inspection visuelle n’est pas possible comme pour les lignes a´eriennes eriennes et que la reparation e´ paration n´ecessite ecessite d’ouvrir le sol. Enfin, il existe des limitations de nature electrique, e´ lectrique, comme mentionn´e plus loin. En principe, les d´eeveloppements veloppements qui pr´ prec` e´ c`edent edent s’appliquent eegalement ´ galement aux cˆables. ables. Cependant, Cependant, les valeurs des param`etres etres lin´eiques eiques sont tr`es es diff´erentes. erentes. Le tableau ci-apr`es es donne l’ordre de grandeur des r´esistances esistances s´erie, erie, r´eactances eactances s´erie erie et admittances shunt, par phase, phase, lin´ lineiques e´ iques et a` 50 Hz, pour un echantillon e´ chantillon repr´esentatif esentatif de cˆables ables utilis´es es dans le r´eseau eseau belge (transport (transport et r´ r epartition). e´ partition).

r (Ω /km) ωl  (Ω /km) ωc  (µS  /km) S max max  (MVA)

tensions nominales (kV) 150 36 0.03 – 0.12 0.06 – 0.16 0.12 – 0.22 0.10 – 0.17 30 – 70 40 – 120 100 – 300 10 – 30

Toute autre chose egale, e´ gale, la r´eactance eactance s´eerie rie par phase est plus faible car les phases sont plus proches. proc hes. La susceptan susceptance ce shunt par phase est nettement nettement plus elev´ e´ lev´ee ee pour la mˆeme eme raison et aussi parce que le milieu isolant qui entoure les conducteurs m´etalliques etalliques est caract´eris´ eris´e par une permittivit´e relative ǫr  nettement sup´erieure erieure a` 1. La valeur elev´ e´ lev´eeee de cette susceptance shunt est un obstacle a` l’utilisation de cˆables ables HT ou THT sur de longues distances. En effet :

•   plus la longueur augmente, augmente, plus le courant capacitif capacitif total augmente. Il existe mˆeme eme une

longueur a` laquelle ce courant pourrait atteindre la limite thermique admissible pour le cˆable, able, auquel cas ce dernier fonctionnerait fonctionnerait a` sa limite rien que par le fait d’ˆetre etre mis sous tension, avant avant mˆ meme eˆ me d’y faire transiter une puissance !

•  plus la longueur augmente, plus le cˆable able produit de la puissance r´eactive, eactive, ce qui peut provoquer provoqu er des surtensions dans le r´ reseau. e´ seau.

Ceci conduit a` utiliser le transport a` courant continu (sous haute tension) au del`a d’une certaine longueur de cˆable, able, par exemple pour des liaisons sous-marines. 47

 

4.3

La ligne ligne en tant tant que que composa composant nt distrib distribu ue´

La figure 4.4 figure 4.4 repr´  repr´esente esente le sch´ema ema par phase d’une ligne de longueur  d . Nous d´esignons esignons par zz   ¯   =   r   +  j ωℓ  l’imp´edance edance s´erie erie lin´eique eique (en   Ω/m) et par   y¯   =   g   +  j ωc  l’admittance shunt lin´eique eique (entre phase et neutre, en  S/m )7 . Nous Nous consi consid´ d´erons erons la pr´esence esence d’une conductance conductance shunt, dans un souci de g´en´ en´eeralit´ ralit´e. e.

¯1 I 

1

¯ + d ¯ I   +  dI 

r dx  

ℓ dx

¯   + dV  ¯ V  V  

¯ I  ¯ V 

¯1 V 

¯2 I 

2

¯2 V 

g dx c dx

2’

1’

dx

x

d Figure 4.4: sch´ema ema par phase d’une ligne en r´egime egim e sinuso¨ sin uso¨ıdal ıdal D´esignons esignons par  x  la position d’un point de la ligne, rep´er´ er´ee ee par rapport a` l’extr´emit´ emit´e 22’8 . Les imp´edance, edance, admittance, tensions et courants relatifs a` une section de longueur infinit´eesimale simale dx sont indiqu´es es a` la figure 4.4 figure 4.4.. L’application des lois d’Ohm et de Kirchhoff a` cette section infinit´esimale esimale donne:

¯   =   I   ¯  zdx dV  I  z¯dx ¯   = (V  ¯   + dV  ¯ ) ydx dI  V   V ) y¯dx

≃  V V  ¯   ydx y¯dx

ou` le produit  d V¯ dx a eet´ ´ t´e n´ neglig´ e´ glig´e. e. Ceci conduit aux deux equations e´ quations diff´erentielles erentielles du premier ordre:

¯ dV  ¯   = z  z¯ I  dx ¯ dI  ¯   = y¯V  dx

 

(4.21)

qui peuvent etre eˆ tre combin´ees ees en une equation e´ quation diff´erentielle erentielle du second ordre:

¯   d2 V  ¯   = γ  ¯   = y¯z  z¯ V  V   γ¯ 2V  soit 2 dx ¯   d2I  ¯  = γ  ¯   = y¯z  z¯ I  γ¯ 2 I  soit 2 dx 7 8

Nous utilisons des lettres minuscules pour d´eesigner signer des grandeurs lin´eeiques iques ce choix simplifie certains des calculs qui suivent

48

 

(4.22)

 

(4.23)

 

ou` l’on a pos´e: e:

γ  γ¯  =

√ y¯z z¯ 

 

(4.24)

Cette grandeur est appel´ee ee la  constante de propagation propagation de la ligne et s’exprime en m−1 . L’´equation equation caract´eristique eristique relative a` (4.22) 4.22) est   s2 solution de l’´equation equation (4.22 (4.22)) est donc de la forme:

2

−  γ γ¯ 

= 0, dont les racines sont

¯x ¯x +  ¯ V  V   ¯   =  ¯k1   eγγx k2  e −γγx

 ±γ γ¯ .

La

(4.25)

La solution de l’´equation equation (4.23 (4.23)) est de la mˆeme eme forme. Avant de poursuivre le d´eveloppement, eveloppement, un commentaire s’impose sur la signification des deux k1 , k¯2 et  ¯γ  γ  comme termes de (4.25 (4.25). ). D´ecomposons ecomposons  ¯ comme suit :

k¯1   =   k1 e jν  k¯2   =   k2 e jν  γ  γ¯    =   α + j  + j β  1

2

 

(4.26)

La relation (4.25 (4.25)) devient: αx  j  j((βx+ βx +ν  ) αx  j(  j ( βx βx+ +ν  ) ¯ V  V    =  k 1 e e + k2 e− e − La tension a` l’instant t et a` la coordonn´ee ee x vaut donc: 1

√  v (x, t) =  k 2e

 

1

αx

2

√  cos(ωt cos( ωt + βx  β x + ν  ) + k 2e−



1

v1 (x, t)

  

2

αx

 −    

cos(ωt cos( ωt

βx + ν 2 )

v2 (x, t)

Le terme v 1 (x, t) correspond a` une onde qui se propage de la gauche vers la droite, en s’att´eenuant. nuan t. En effet, effet, pour un un   x  fix  fix´e, e´ ,   v1 (x, t)  est une fonction sinuso¨ıdale ıdale du temps et, pour un   t fix´ee,, c’est une fonction sinuso¨ıdale ıdale de la position   x. Cette onde est appel´ appel´ee ee  onde incidente, tandis que   α  est appel´e  constante d’att enuation ´  ´   et   β   constante de phase. De mˆeme eme   v2 (x, t) correspond a` une onde qui se propage, en s’att´enuant, enuant, de la droite vers la gauche. Il s’agit de l’onde r efl  ´´   echie ´´   . La vitesse de propagation de ces ondes, soit ω/β   ω /β , est celle de la lumi`ere ere dans l’air qui entoure la ligne, soit un peu moins de 300.000 km/s. La longueur d’onde  λ  est la distance entre deux maxima voisins voi sins de la cosinuso¨ cosi nuso¨ıde, ıde, a` un instant donn´e. e. On tr trouv ouvee ai ais´ s´ement ement que   λ   = 2π/β . En combinant ces deux informations, on conclut que la longueur d’onde d’un signal `a 50 Hz est d’environ d’environ 6.000 6.000 km. Mˆeme eme les lignes les plus longues utilis´ees ees dans le monde sont donc courtes par rapport a` cette longueur l ongueur d’onde. L’interpr´etation ci-dessus prend tout son sens lorsque l’on ´etudie etudie les transitoires electromagn´ e´ lectromagn´eetiques se produisant suite a` un coup de foudre sur la ligne ou suite a` une manoeuvre (mise sous tension par exemple). exemple). Ainsi, si une onde de tension due a` la foudre se propage sur une ligne et atteint une extr´emit´ emit´e ouverte, elle se r´eefl´ fl´echit echit enti` entierement, e` rement, ce qui peut conduire a` une tension double a` cette extr´emit´ emit´e ouverte. ouverte. De tels ph´ phenom` e´ nom`enes enes doivent evidemment e´ videmment etre eˆ tre pris en compte 49

 

lors du design de l’isolation des equipements. ´equipements. Leur etude e´ tude requiert de r´esoudre esoudre des equations e´ quations el aux d´eriv´ eriv´ees ees partielles (´equation equation “des t el´  ´  ´  egraphistes ´  ”), qui sortent du cadre de ce cours. Revenons a` l’expression (4.25 (4.25)) et transformons-la en l’expression suivante, suivante, plus pratique: γ γx ¯x

¯   = (k¯1 +  ¯k2 )   e V  V  

¯x + e−γγx   + (k¯1 2

γ γx ¯x

−

 e k¯2)

− e− 

γ γx ¯x

2

¯ 1  ch  ¯γx ¯ 2 sh  ¯γx =  K  γx +  K  γx

 

(4.27)

¯1 ,  ¯ ¯1,  V  ¯2 (resp.   I  I 2 ) les tensions (resp. courants) aux extr´emit´ emit´es es 11’ et 22’ de la ligne. Notons  V    ¯   ¯ erant les conditions aux fronti`eres. eres. Ainsi, Ainsi, en On identifie les constantes K 1   et K 2  en consid´erant x  = 0, on a:

•   V V  ¯   =  V ¯  ce qui fournit:   K ¯   =  V ¯ •   I ¯  =  I ¯ , c’est-`a-dire, a-dire, en vertu de (4.21 ( 4.21): ): 2

1

2

 

2

⇔

¯ dV  dx

  K  ¯ 1 γ  ¯ 2γ  γ¯  sh γx + γx  +  K  γ¯  ch γx γx sh  ¯ ch  ¯

⇔





¯2 = z  z¯ I 

x=0

x=0

¯2 = z  z¯ I 

¯2 z¯ I    K  ¯ 2   =   z    = γ  γ¯ 

 

z  z¯  ¯ I 2 y¯

En rempl r emplac ac¸ant dans (4.27), 4.27), on obtient donc l’expression l ’expression de la tension en un point d’abscisse x:

¯c I  ¯2  sh  ¯γx ¯   =  V  ¯2 ch  ¯γx + γx γx  +  Z  V  V   ou` l’on a pos´e: e:

¯c  = Z 

 

z  z¯  y¯

 

(4.28)

 

(4.29)

caract eristique Cette grandeur est appel´ee ee imp edance ´  ´  ´   de la ligne et s’exprime en Ω.

Nous laissons au lecteur le soin d’´etablir etablir l’expression correspondante du courant en un point d’abscisse x:

¯ ¯2 ch  ¯γx ¯  = V 2 sh ¯ γx γx + γx  +  I  I  Z  ¯c

 

(4.30)

 x  = d  d , ces eequations Enfin, evalu´ e´ valu´ees ees en x = ´ quations fournissent les relations entre tensions et courants aux extr´emit´ emit´es es de la ligne: ¯1   =   V  ¯2 ch  ¯γd + ¯c I  ¯2 sh  ¯γd V  γd  +  Z  γd ¯ ¯2 ch  ¯γd ¯1   = V 2 sh ¯γd + γd  +  I  γd I  ¯ Z c

   

(4.31) (4.32)

Montrer que l’on aboutit aux mˆemes emes relations en plac¸ ant l’admittance shunt   g   +   jω jωcc   a` droite de l’imp´edance edance r  r +  + jω  jωℓℓ (et non a` gauche, comme sur la figure 4.4. figure  4.4.))

50

 

4.4 4. 4

Quel Quelqu ques es prop propri ri´et´ e´ tes e´ s li´ liees  e´ es  a` l’imp´ l’impedance e´ dance caract´ caracteristique e´ ristique

Consid´erons erons le cas d’une ligne sans pertes :   r   = 0, g   = 0, hypoth`eese se justifi´ee ee par le fait que  g est tout a` fait n´egligeable egligeable et  r  faible pour une ligne THT. On a successivement:

z  z¯    =   jω jωℓℓ y¯   =   jω jωcc γ  γ¯    =   jβ  jβ    =  jω  j ω ℓc

√ 

 

ℓ c ¯   =   V  ¯2   cos βx + jZ  ¯2   sin β x V   j Z c I  ¯2 V  ¯   =   I  ¯2   cos βx  + j sin β x I  βx +  j Z c

¯c   =   Z c   = Z 

 

(4.33)

 

(4.34)

Que se passerait-il si l’on connectait a` un r´eseau eseau une ligne de longueur  λ/  λ/44  (ligne “au quart d’onde”), ouverte a` l’autre extrˆemit´ emit´e ? On supposera la ligne sans perte pour simplifier. simplifier.

L’imp´edance edance caract´eristique eristique est donc une r´esistanc esistancee pure. Si l’on ferme la ligne ligne sur cette cette ¯2   =   Z c I  ¯2 , le r´egime resistance, e´ sistance, c’est-`a-dire a-dire si  V  egime qui s’installe poss`ede ede plusieurs propri´eet´ t´es es remarquables. En effet, les relations (4.33, ( 4.33, 4.34) 4.34) fournissent:

¯   =   V  ¯2  e jβ x V  ¯   =   I  ¯2  e jβ x I  En comparant avec (4.25 (4.25), ), on voit qu’il n’y a pas d’onde r´ refl´ e´ fl´echie. echie. On en d´eduit eduit que:

•  l laa tension (resp. le courant) a une amplitude amplitude  V   (resp.   I  ) constante tout au long de la 2

2

ligne

 ¯ ¯  vue en   la tension et le courant sont en phase phase en tout point de la ligne. L’imp´edance edance V / I  vue n’importe lequel de ses points est la r´esistance esistance Z c

• •  en cons´equence, equence, la ligne ne consomme ni ne produit de puissance r´eactive. eactive. Les productions ωcV   ω cV 2 eequilibrent ´ quilibrent les pertes ωℓI   ω ℓI 2

•  la puissance triphas´ee ee qui transite au droit de n’importe quel point de la ligne est donc la puissance active active fournie a` la r´esistance esistance Z c , soit:

V 22 P c  = 3 Z c

(4.35)

ou`  V 2  est la tension de phase. Lorsque l’on prend pour  V 2  la tension  nominale V N  N  de la ligne, c’est-`aa-dire -dire la tension pour laquelle elle a eet´ ´ t´e conc con c¸ue, la val valeur eur de d e  P c  est appel´ee ee  puissance naturelle de la ligne 51

 

•  ces propri´eet´t´eses s’appliquent quelle que soit la longueur d de la ligne ! Nous laissons au lecteur le soin de montrer que si la ligne est ferm´ee e e sur une r´esistance esistance inf´erieure erieure (resp. (resp. sup´erieure) erieure) a`   Z c , c’est-`a-dire a-dire si elle rec¸¸oit oit une puissance active sup´erieure erieure (resp. inf´erieure) erieure) a`  P c , elle consomme (resp. produit) de la puissance r´eactive. eactive. En particulier une ligne ouverte a` une de ses extr´emit´ emit´es es se comporte comme un condensateur condensateur a` l’autre.

Remarque. Dans la transmissio transmission n d’informatio d’information, n, on s’arrange s’arrange g en´ e´ n´eralement eralement pour fermer les cˆables ables (coaxiaux p.ex.) sur leurs imp´edances edances caract´eristiques eristiques (p.ex. 75  Ω ) afin de minimiser la r´eflexion eflexion d’onde. d’onde. Par contre, contre, ce n’est jamais le cas pour les lignes de transp transport ort d’´energie energie eelectrique. ´ lectrique. En effet, en pratique, celles-ci ne fonctionnent jama jamais is a` leurs puissances naturelles, les flux de puissance etant e´ tant variables variables car dict´ dictes e´ s par les consommations et les productions.

4.5

Schema  e´ ma  equivalent e´ quivalent d’une ligne

La structure la plus employ´ee ee pour repr´esenter esenter une ligne est le sch´eema ma equivalent e´ quivalent en pi, repr´ repree´ ¯ser ¯sh sent´e a` la figure ure 4.5. 4.5. D´ Determi e´ terminon nonss la valeu valeurr a` donne donnerr a` l’ l’im imp´ p´edance edance  Z  ` l’admittanc l’admittancee  Y  ser et a sh de ce circuit  a`  ´  el el´  ements condenses condens´  es 11’ et 22’, il ait le mˆ meme eˆ me comportement ´  ´   pour que, vu des acc`es que le  composant distribu´  distribue´  consid´er´ er´e a` la figure 4.4. figure 4.4.

¯1 I 

¯ser Z  ser

1

¯sh Y  sh

¯1 V 

 

¯2 I 

2

¯sshh Y 

¯2 V 

2’

1’

Figure 4.5: sch´ema ema equivalent e´ quivalent en pi de la ligne (´ (eel´ ´ l´ements ements condens´es) es) D´efinissons efinissons au pr´ealable ealable les grandeurs suivantes, relatives a` la totalit´e de la ligne:

R  = r  =  r d

L  = ℓ  =  ℓ d

¯   = z¯ d   Y  ¯   = y¯ d C   =  c d   Z  Y  

G  = g  =  g d

On etablit e´ tablit ais´ement ement a` partir de la figure 4.5 figure 4.5 que:  que:

¯1  =  V  ¯2 +  Z  ¯ser ¯   ¯shV  ¯2) = (1 +  Z  ¯ser  ¯ h)V  ¯2 +  Z  ¯ser ¯ V  ser (I 2  + Y sh ser Y ssh ser I 2 Une identification terme a` terme avec (4.31 (4.31)) fournit:

¯ser  ¯sh   = ch ¯γd 1 +  Z  γd ser Y sh

  ⇔

¯ser   ¯ Z  γd γd   ser   = Z c  sh  ¯ γ¯d γd γd 1   1 γd   ch ¯   Y  ¯sh   = th sh   = ¯c  sh  ¯γd ¯c 2 Z  γd Z 

−

52

(4.36)  

(4.37)

 

 | |

γ¯d  est suffisamment Pour des lignes d’une longueur inf´erieure erieure a` 150 km, on consid`eere re que γd faible pour pouvoir remplacer les fonctions hyperboliques par leurs d´eeveloppements veloppements en s´eerie rie limit´es es au premier ordre:

  ≃   γd + γ¯d  + . . . .   γd   γd γ¯d γ¯d   ≃   + . . . th 2 2 sh ¯ γd γd

Une substitution dans (4.36 (4.36,, 4.37)  4.37) donne alors:

¯ser   ¯ γ¯d  = Z  ser   = Z c γd =

  √    √ 

z  z¯  ¯ z ¯ z¯ yd = y¯d  = zd = z¯d  =  Z  y¯

  1 γd γ¯d   1 ¯sh Y  sh   = ¯c 2   = 2 Z 

¯ Y  y¯  1 z ¯ z¯ yd = y¯d  = yd = y¯d  = 2 z  z¯  2

En conclusion, une ligne de transport peut toujours eetre ˆ tre mod´elis´ elis´ee ee par un sch´eema ma equivalent e´ quivalent en pi. Pour une une longueur longueur inf´ inf´erieure erieure a` 150 km, les param`eetres tres de ce sch´ema ema equivalent e´ quivalent sont obtenus en multipliant simplement les valeurs lin´eiques eiques par la longueur de la ligne. On parle de ligne courte. Au-del`a de 150 km, il i l convient d’utiliser les expressions expressions (4.36 (4.36,, 4.37  4.37). ).

Etablir l’expression de la puissance active entrant dans une ligne sans pertes, en fonction des modules V 1 , V 2  et du d´ephasage ephasage  θ 1 θ2  des tensions d’extr´emit´ emit´e. e. En supposant  V 1  et  V 2   eegales ´ gales et constantes, discuter l’influence de la longueur  d sur la puissance maximale transmissible. Que devient cette expression dans le cas d’une ligne courte ?

−

4.6 4. 6

Limite Limite therm thermiq ique ue d’une d’une ligne ligne

G´en´ en´eeralement ralement chaque phase d’une ligne de transport ´electrique electrique THT ou HT est constitu´ee ee d’une ame aˆ me en acier pour la tenue m´ecanique, ecanique, entour´eeee de conducteurs en aluminium, tr`es es bon conducteur de l’´electricit´ electricit´e. e. Le passage du courant dans un conducteur de ligne y entraˆıne ıne des pertes par effet Joule, qui eechauffent ´ chauffent le mat´ materiau. e´ riau. Un tel echauffement e´ chauffement doit etre eˆ tre limit´e pour deux raisons:

•   il entraˆıne ıne une dilatation du conducteur, qui le fait se rapprocher du sol, d’o u` un risque de court-circuit ou d’´electrocution; electrocution;

•  au del`a d’une certaine temp´erature, erature, l’aluminium subit une d´egradation egradation irr´eversible eversible par un effet de “recuit”, diminuant diminuant sa r´ resistance e´ sistance m´ecanique. ecanique.

53

 

La temp´erature erature maximale typique des conducteurs conducteurs d’une ligne aa´erienne e´ rienne est de 75o C. Chaque ligne est caract´ Chaque caract´eeris´ ris´ee ee par un courant maximal admissible en permanence, dans une quelconque de ses phases. Nous noterons ce dernier  I max esign´ esign´ee ee max . Cette valeur est souvent d´ sous le vocable d’ampacit e´  ´ . C’est principalement la densit´e de courant maximale (en A/mm2) qui d´etermine etermine la valeur de augmente, plus le courant  I max est elev´ e´ lev´e. e. I max . Evidemment, plus la section du conducteur augmente,

I max epend epend des conditions conditions de refroidisseme refroidissement nt de la ligne. ligne. Ainsi Ainsi,, en hiver hiver une ligne peut max   d´ supporter un courant courant plus elev´ e´ lev´e qu’en eet´ ´ t´e, e, car l’air ambiant la refroidit davantage. davantage. Par ailleurs, a` section de m´etal etal egale, e´ gale, un faisceau offre une plus grande surface de contact avec l’air, d’o`u une meilleure evacuation e´ vacuation de la chaleur et donc un courant maximal admissible plus elev´ e´ lev´e. e. De mani` mani`ere ere a` ti tire rerr le meill meilleu eurr pa parti rti po poss ssib ible le de dess ligne lignes, s, cert certai ains ns expl exploi oita tant ntss de r´eseau eseau s’efforcent e d’estimer la valeur de  I max max  en fonction des conditions climatiques du moment. Une difficult´ reside e´ side dans le fait que tous les tronc¸ons ¸ons de la ligne ne sont pas n ecessairement e´ cessairement expos´es es aux memes eˆ mes conditions de refroidissement (p.ex. vitesse du vent) et que c’est le tronc¸¸on on le moins favoris´e qui limite le courant que la ligne peut v´ehiculer ehiculer.. Pour plus de de d´etails, etails, le lecteur est invit´e a` se reporter au cours ELEC0014 “Transport “Transport et distribution de l’ energie e´ nergie electrique”. e´ lectrique”. En ce qui concerne la limite thermique d’un cˆable: able:

•   a` section de m´etal etal egale, e´ gale, elle est plus faible faible que pour pour une ligne, etant e´ tant donn´e que l’´eevacuavacua-

tion de la ch tion chal aleu eurr se fait fait be beau auco coup up moin moinss bien bien et qu qu’u ’une ne te temp´ mp´erature erature exc excessi essive ve d´egraderait egraderait l’isolant entourant les conducteurs; conducteurs;

•  un obstacle a` l’augmentation de la section des conducteurs est la perte de souplesse mecanique e´ canique du cˆable, able, rendant son enroulement impossible.

Tr`es es souvent on caract´erise erise la capacit´ capacit´e thermique par la puissance apparente triphas´ee ee   S max max qui traverse le composant composant lorsque la tension est a` sa valeur nominale et le courant egal e´ gal a`  I max max . On a donc:

S max max   = 3V N N  I max max

√   = 3

U N  N I max max

dee ou`  V N  N   celle entre phases. Des exemples d N   est la valeur nominale de la tension de phase et U N  valeurs sont donn´es es a` la section 4.1.5 section 4.1.5.. Notons que, Notons que, par inertie inertie thermiq thermique, ue, la mont´ mont´eeee en temp´ temp´erat e ratur uree de la li lign gnee ou du cˆable a ble n’es n’estt pas pas ininstantan´ee. ee. Une surcharge surcharge thermique au del`a de I max tol´erable e´ rable durant un certain temps. max est donc tol Ce dernier est d’autant d’autant plus court que la surcharge surcharge est forte. Certains exploitants exploitants d´efinissent efinissent des limites thermiques admissibles a` 1, 10 ou 20 minutes, par ex exemple. emple. Au-del Au-del`a` d’une certaine valeur du courant, la ligne est mise hors service par les l es protections. Mentionnons enfin le d´eveloppement eveloppement au cours de la derni`ere e re d´ecennie ecennie de lignes a´eriennes eriennes eequip´ ´ quip´ees ees de conducteurs HTLS, abbr´eviation eviation pour “High Temperature Low Sag9 ”. Dans ces 9

fl`eeche che

54

 

derniers, l’ˆame ame aussi bien que les conducteurs peuvent supporter des temp´eratures eratures plus elev´ e´ lev´ees ees o - jusque 210 C - sans se d´eet´ t´eriorer eriorer et ni s’allonger autant que les mat´eriaux eriaux traditionnels (coefficient de dilatation de 3 a` 6 fois plus faible). L’ˆame ame en acier, en alliage sp´ecial ecial ou en mat´eriau eriau composite reprend tout l’effort m´ecanique ecanique au del`a d’une certaine temp´erature. erature. Ceci Ceci permet permet de transporter des courants environ 2 fois plus ´elev´ elev´es, es, soit un gain consid´eerable rable en termes de limite  S max variations ions de r´eesistance sistance importantes accompagnent de telles excursions de max . Des variat temp´erature: erature: la r´esistance esistance est de 1.5 a` 2 fois plus elev´ e´ lev´ee ee a` 210o C qu’`a 25o C. Il convient donc d’ajuster R  dans le mod`ele ele de la ligne, en fonction du courant v´ehicul´ ehicul´e par celle-ci. Pour une o ligne traditionnelle traditionnelle o` ou` la temp´erature erature se situe entre 25 C et 75o C, cette variation de   R  est nettement moins importante.

55

 

Chapitre 5 Le syst` systeme e` me “per unit” La plup plupar artt de dess calc calcul ulss da dans ns les les syst` syst`emes emes electr e´ lectriqu iques es de puissa puissanc ncee se fon fontt en traita traitant nt des des gra grande ndeurs urs adimension adime nsionelles elles.. Ces derni` derni`eres eres s’obtiennent en divisant chaque grandeur (tension, courant, puis puissa sanc nce, e, et etc.. c.. . ) par par une une gran grande deur ur de mˆeme eme dimen dimensio sion, n, ap appel´ pel´ee ee base. On On dit dit qu quee le less gran grande deur urss sans dimension ainsi obtenues sont exprim´ees ees en per unit , ce que l’on note par  pu . Cette pratique universellement r´epandue epandue offre principalement les avantages suivants: 1. En per unit, les param`etres etres des equipements e´ quipements construits d’une mani`ere ere semblable ont des valeurs valeurs assez proches, proches, quelle que soit leur puissance puissance nominale. nominale. Les valeurs valeurs des param`etres etres etant e´ tant pr´ previsibles, e´ visibles, on peut:

•   v´erifier erifier plus ais´ement ement la plausibilit´e de donn´ees ees ou de r´esultats esultats •  affecter des valeurs par d´efaut efaut a` des param`etres etres manquants, lorsque l’on d´esire esire chiffrer en premi`ere ere approximation tel ou tel ph´enom` enom`ene. ene.

2. En per unit, unit, les tensions tensions sont, sont, en r´eegime gime de fonctionnement normal, proches de l’unit´e (c`ad a d pr proc oche hess de 1 pu pu). ). Ceci Ceci cond condui uitt g´en´ en´eeralement ralement a` un meille meilleur ur co condi nditio tionne nnemen mentt num´erique erique des calculs, par suite d’une moins grande dispersion des valeurs num´eriques. eriques. 3. Le passage en per unit fait disparaˆ disparaˆıtre ıtre les transformateurs id´ id eaux e´ aux qui sont pr´esents esents dans les sch´emas emas equivalents e´ quivalents des transformateurs r´eels. eels. En d’autres d’autres termes, termes, le syst` syst`eme eme per unit permet de faire abstraction des diff´erents erents niveaux de tension.

Exemple. La r´eeactance actance interne d’une machine synchrone vaut typiquement entre 1.5 et 2.5 pu (dans la base de la machine). Pour une machine de caract´eristiques eristiques 20 kV et 300 MVA, une reactance e´ actance de 2.667  Ω  est-elle normale ? Mˆeme eme question pour une machine de caract´eristiques eristiques 15 kV et 30 MVA. Pour Po ur la prem premi` i`ere ere machine, machine, l’imp´edanc edancee de base base Z B v  vau aut, t, comm commee on le verr verraa ci ci-a -apr` pr`ees, s, 202 /300 = 1.333 Ω. La r´eactance eactance en per unit vaut donc  2.  2 .667 667//1.333 = 2 pu, soit une valeur tout a` fait normale. 56

 

7.5 Ω. La r´eactance eactance en per unit vaut donc Pour la seconde machine,   Z B  vaut   152 /3 0 = 7. 2.667 667//7.5 = 0.356 pu, soit une valeur anormalement faible.

Pass Passage age en per per uni unitt d’u d’un n cir circu cuit it  electrique e´ lectrique

5.1 5. 1

La mise en per unit des equations e´ quations qui r´egissent egissent un circuit electrique e´ lectrique requiert le choix de  trois grande gra ndeurs urs de ba base. se. Par Par ex exemp emple, le, si nous nous choisis choisisson sonss (arbit (arbitrai rairem remen ent) t) une puiss puissanc ance, e, une tensio tension n et un temps de base, que nous notons respectivement S B , V B et  tB , les autres grandeurs de base s’en d´eduisent eduisent en utilisant les lois fondamentales fondamentales de l’´ l’electricit´ e´ lectricit´ee::

•  courant de base:  I    =   S V 

B

B

B

  V B   V B2   imp´edance edance de base:  Z B   = = I B S B

• •  flux de base:  ψ

B   =  V B tB  2

•  inductance de base:  L •   pulsation de base: ω

B   =   ψB I B

B =

B t B =   V S  B

  Z B   1 = tB LB

Notons que, conform´ement ement a` l’usage, V B et  I B  sont des valeurs  efficaces. On peut evidemment e´ videmment choisir une pulsation plutˆot ot qu’un temps de base, tous deux ´eetant tant li´es es par la derni`ere ere relation ci-dessus. ci-dessus. Dans ce cours, nous choisissons choisissons pour pour   ωB  la pulsation  ω N  correspondant corresponda nt a` la fr´equence equence nominale f N  N :

ωB   =  ω N   = 2π 50   ou   2π 60 et donc:

tB   =

  1   1   1  1   ou = = 100π 100π 120π 120π 2πf N ωB N  

eme eme valeur Notons au passage que moyennant moyennant ce choix, une r´eactance eactance a` la fr´equence equence  f N  N  a la mˆ que l’inductance correspondante, puisque:

X  pu  =

  X    ωB L  L = = =  L pu Z B ωB LB LB

Consid´erons erons a` pr´eesent sent le passage en per unit d’une relation typique d du u r´ reegime ´ gim e ssinus inuso¨ o¨ıdal: ıdal :

¯  =  V I   S  I   cos(φ cos(φ

− ψ) + j +  j V I  I  sin(  sin(φ φ − ψ) 57

 

On a successivement:

¯ S    V I    V I  ¯ = cos(φ cos( φ ψ )+ )+ j  j S  pu  = sin(φ sin( φ ψ ) =  V  pu  cos(φ φ ψ )+ )+ jV   jV  pu  sin(φ φ ψ)  pu I  pu  cos(  pu I  pu  sin( S B V B I B V B I B

−

−

−

−

e. Seule la puissance et Comme cette relation ne fait pas intervenir le temps,  tB  n’est pas utilis´e. la tension de base sont utilis´ees ees en r´egime egim e ssinus inuso¨ o¨ıdal. ıdal . Consid´erons erons ensuite la mise en per unit d’une equation ´equation diff´erentielle erentielle typique typique du r´eegime gime dynamique:

v   =  R i + L

di dt

On a successivement:

v pu  =

  L di 1 d i pu   Ri  v d i pu +   =  R pu i pu + L  +  L pu =   =  R pui pu + L  +  L pu ωB d t Z B I B ωB LB I B d t V B d t pu

Dans ce second exemple, le temps apparaˆıt ıt explicitement. explicit ement. On voit qu’il y a deux possibilit possibil it´es: e´ s:

•   soit toutes les grandeurs grandeurs sont mises en per unit, y compris le temps: l’´ l ’´equation equation est alors strictement identique en unit´es es physiques et en per unit;

•   soit on pr´ pr´ef` ef`ere ere conserver le l e temps en secondes: secondes : il apparaˆıt ıt alors alor s un facteur  1  1/ω /ω

B  devant

l’op´erateur erateur de d´erivation. erivation.

5.2 5. 2

Passa assage ge en per per unit unit de deux deux ci cirrcuit cuitss magn magn´etiquement e´ tiquement coupl´es coupl e´ s

Consid´erons erons de deux ux bobine bobiness magn´ magn´etiquemen etiquementt coupl´ coupl´ees, ees, poss´edant edant respectivement respectivement n1 et n2 spires. Les flux totaux   ψ1   et   ψ2  embrass´es es par ces bobines sont reli´es es aux courants   i1   et   i2  qui les traversent par:

ψ1   =   L11 i1 + L  +  L12 i2 ψ2   =   L21 i1 + L  +  L22 i2

 

(5.1)

 

(5.2)

En principe, la mise en per unit de ces deux circuits requiert de choisir 6 grandeurs de base (4 en r´egime egime sinuso¨ıdal). ıdal). Il existe toutefois toutef ois deux contraintes contraint es pratiques, qui ne laissent laissen t en fait que 4 degr´es es de libert´e (3 en r´egime egim e sinuso¨ si nuso¨ıdal): ıdal ): 1.  Temps identiques. Pour des raisons de simplicit´e, e, on d´eesire sire avoir le mˆeme eme temps en pu dans les deux circuits. On choisit donc:

t1B   =  t 2B 58

 

(5.3)

 

2.   Sym´ Symetrie e´ trie des matrices d’inductances.  En Henrys, on a toujours   L12   =   L21 . Il est indiqu´e de conserver cette propri´eet´ t´e apr`es es passage en per unit. La relation (5.1 (5.1)) se met en per unit comme suit:

ψ1 pu   =

  ψ1   L11 i1   L12 i2   L12 I 2B = + =  L 11 pu i1 pu + i2 pu ψ1B L1B I 1B L1B I 1B L1B I 1B

On en d´eduit eduit la valeur de L12  en per unit:

L12 pu   =

  L12 I 2B L1B I 1B

L21 pu   =

  L21 I 1B L2B I 2B

On obtient de mˆeme: eme:

(5.4)

 =  L21 pu , il faut donc que: Pour avoir L12 pu  = L   I 1B I 2B = L2B I 2B L1B I 1B soit apr`es es calcul:

S 1B  t 1B   =  S 2B  t 2B

Etant donn´e que l’on a choisi le mˆeme eme temps de base dans les deux circuits, il faut, pour conserver la sym´etrie etrie de la matrice d’inductances, choisir egalement e´ galement la mˆeme eme puissance de base: S 1B   =  S 2B   (5.5) Un syst`eme e me pe perr un unit it qu quii satis satisfa fait it a` (5.3, 5. 5.3, 5.5 5) est est dit dit r eciproque . En effet, effet, la matrice matrice d’inducta d’inductance nce ´  ´  des deux bobines etant e´ tant sym´etrique, etrique, le quadripˆole ole correspondant correspondant est r´ reciproque. e´ ciproque. En application de ce raisonnement, dans un circuit comportant plusieurs niveaux de tension eme reli´es es par des transformat transformateurs eurs,, on choisira partout partout un mˆeme eme temps de base   tB  et une mˆeme puissance de base S B . Ensuite, a` chaque niveau de tension, on choisira une tension de base  V B .

5.3 5. 3

Pass Passage age en per per unit unit d’un d’un syst syst`eme e` me triphas´ triphase´

Un circuit triphas´e n’est jamais qu’un cas particulier de circuit et l’on peut lui appliquer ce qui pr´ec` ec`ede, ede, c’est-`a-dire a-dire choisir :

•   partout: un temps de base t  et une puissance puissance de base S  •  par niveau de tension: une tension de base   V   entre phase et neutre, a` laquelle on va B

B

B

rapporter toutes les tensions entre phase et neutre. 59

 

On notera que le choix d’une mˆeme eme tension de base pour les 3 phases a du sens puisque le syst`eme eme est es t conc con c¸u avec la l a mˆ meme eˆ me tension nominale dans chaque phase. En ce qui concerne le choix de S B , il convient convient de distinguer distinguer r´egimes egimes equilibr´ e´ quilibr´es et d´es´ es´equilibr´ equilibr´es.

5.3.1

Regime e´ gime d´ des´ e´ sequilibr´ e´ quilibre´ - analyse des 3 phases

Si le r´egime egime est d´es´ es´equilibr´ equilibr´e, il y a lieu d’analyser chacune chacune des trois phases. Dans ce cas, il i l est confortable de prendre une puissance monophas  monophas´  ee eduit duit le courant de ´   comme base S B . On en d´e base:

I B   = l’imp´edance edance de base:

  S B V B

(5.6)

  V B   V B2 Z B   = = I B S B

(5.7)

et ainsi de suite pour les autres grandeurs. Que devie devient, nt, en pe perr unit, unit, l’expr l’express ession ion de la puissa puissanc ncee co compl mplex exee trans transita itant nt dans dans les trois trois phase phasess ? On a:

¯  =  V  ¯a  ¯ ¯b  I  ¯⋆  +  V  ¯c  I  ¯⋆ S  I a⋆  +  V  b c

et en divisant par S B , on obtient la puissance en per unit:

¯a I  ¯b I  ¯c I  ¯ ¯⋆ ¯⋆ ¯⋆ V  V  V  S  a b c ¯c pu  I  ¯⋆ ¯ ¯b pu  I  ¯⋆  +  V  ¯a pu  I  ¯⋆  +  V  = + + S  pu  = =  V  c pu b pu a pu V B I B V B I B V B I B S B On voit que l’expression est la mˆeme, eme, que l’on travaille en unit´es es physiques physiques ou per per unit. Ce est bien bien evident e´ vident qu’on peut faire un autre choix pour  S B , a` confort justifie le choix de  S B . Il est condition d’ajuster les relations en pr unit par rapport aux expressions en unit´es es physiques.

5.3.2

Reegime  ´ gime  eequilibr´ ´ quilibre´ - analyse par phase

Si le r´egime egime est equilibr´ e´ quilibr´e, l’analyse du syst`eme eme triphas´e peut se ramener a` l’analyse d’une de ses phases, comme on la montr´e a` la section 2.4 section 2.4.. Dans ce ce cas, comme comme montr´ montr´e ci-apr`es, es, il est eduit le courant plus confortable de prendre une puissance triphas  triphas´  ee ´   comme base S B . On en d´eduit de base:

I B   =

  S B , 3V B

 

(5.8)

l’imp´edance edance de base:

  V B   3V B 2 Z B   = = I B S B et ainsi de suite pour les autres grandeurs.

60

(5.9)

 

L’expression de la puissance complexe transitant dans les trois phases devient, compte tenu de l’ l’´equilibre e´ quilibre entre phases1 :

¯  =  V  ¯a  I  ¯⋆  +  V  ¯b  I  ¯⋆  +  V  ¯c  I  ¯⋆  = 3  V  ¯a  I  ¯⋆ S  a b c a En per unit, cette expression devient devient ⋆

¯a puI  ¯a⋆ pu ¯a  I  ¯a =  V  S  ¯ pu  = S  ¯ =   3  V  3 V B  I B S B c’est-`a-dire a-dire la puissance calcul´eeee dans le circuit monophas´e relatif a` une phase. phase. Le syst` syst`eme eme per unit prolonge prolonge la technique technique de l’analyse l’analyse par phase phase en ce sens que les calculs calculs en per unit ne doivent plus du tout tenir compte de la pr´esence esence des deux deux autres phases phases.. Le facteur facteur 3 intervenant dans la puissance disparaˆıt. ıt. Evidemment, une fois effectu´ee ee l’analyse de la phase a, en per unit, on revient `a la puissance triphas´ee, ee, en MW, Mvar ou MVA, par la multiplication par  S B , cette derni`ere ere valeur incluant le facteur 3  qui tient compte de la pr´esence esence de 3 phases.

Remarque Comme l’a d´eej` j`de a mentionn´ e, e, entre l’usage est de caract´ eriser eriser lapar tension syst`eme ede mebase triphas´ par la valeuron efficace la tension phases . En d´esignant esignant  U B  lad’un tension de ecette nature, les grandeurs de base  I B  et  Z B  sont donn´ees ees par:

I B   =

  S  √  3U  B

Z B   =

B

5.4 5. 4

  U B2 S B

(5.10)

Chan Change geme ment nt de base base

Enfin, en pratique, on est souvent amen´e a` transf´erer erer d’une base a` une autre des param`etres etres fournis en per unit. Les formules s’´etablissent etablissent ais´ement ement comme suit. Pour un syst`eme eme triphas´e, e, une imp´edance edance Z  (en  (en ohms) vaut en per unit: dans la premi`ere ere base:   Z  pu1  pu1  =

  Z    Z S B1 = Z B1 3V B 21

dans la seconde base:   Z  pu2  pu2  =

  Z    Z S B2 = Z B2 3V B22

En divisant une relation par l’autre, on trouve ais´ aiseement: ´ ment:

S B2 Z  pu2  =  Z  pu1  pu2  = Z   pu1 S B1 1

le choix de la phase a est eevidemment ´ videmment arbitraire

61

  V B1 V B2

2

(5.11)

 

Chapitre 6 Le transformateur de puissance Au-del`a d’une d’une ce certa rtaine ine distan distance ce et/ou et/ou d’une d’une ce certa rtaine ine puissa puissanc nce, e, le tra transp nsport ort d’´eenergie nergie electrique e´ lectrique doit se faire sous une tension suffisamment elev´ e´ lev´ee. ee. En effet, la puissance est le produit de la tension par le courant; pour une puissance donn´ donnee, e´ e, plus la tension es estt elev´ e´ lev´ee, ee, plus le courant est faible. faib le. Il en r´esulte esulte donc des pertes par effet Joule et des sections de conducteurs plus faibles. A l’heure actuelle, l’´energie energie electrique e´ lectrique se transporte sous des tensions allant de 70 a` 380 kV en Europe, et jusque 765 kV dans certains pays tr` tres e` s etendus. e´ tendus. Or, la tension aux bornes d’un alternateur ne d´epasse epasse pas 25 kV en pratique. Il s’agit en effet d’une machine relativement compacte et son fonctionnement sous des tensions plus elev´ e´ lev´ees ees poserait des probl`emes emes d’isolation. Le transformateur est le composant permettant d’´elever elever l’amplitude de la tension alternative disponible a` la sortie de l’alternateur pour l’amener aux niv niveaux eaux requis pour le transpo transport. rt. A l’autre bout de la chaˆıne, ıne, du c ot´ oˆ te´ des consommateurs, les transformateurs sont utilis´es es pour abaisser la tension et la ramener aux valeurs valeurs utilis´ utilisees e´ es dans les r´eseaux eseaux de distribution. Enfin, en plus de transmettre de l’´energie energie electrique e´ lectrique d’un niveau de tension a` un autre, les transformateurs peuvent etre eˆ tre utilis´es es pour contrˆoler oler la tension et les flux de puissance dans le reseau. e´ seau.

6.1 6.1. 6.1.1 1

Transfo ransformat rmateur eur monopha monophasse´ Pr Prin inci cipe pe

Un transformateur monophas´e est constitu´e: e:

•   d’un noyau magn´etique etique feuillet´ feuillet´e, e , ob obte tenu nu pa parr empi empile leme ment nt de tˆoles o les r´ealis´ ealis´ees e es dans dans un mat´ mat´eriau eriau a` haute perm´eabilit´ eabilit´e magn´etique etique

62

 

•  de deux bobinages enroul´eses autour du noyau magn´etique etique de mani`ere ere a` assurer un bon couplage magn´etique etique entre ces deux circuits.

Un des enroulements enroulements est qualifi´e de  primaire  et sera rep´er´ er´e par l’indice 1 dans ce qui suit; l’autre est qualifi´e de   secondaire  et sera rep´er´ er´e par l’indice l’indice 2. Si la tension se second condaire aire est sup´erieure erieure (resp. (resp. inf´erieure) erieure) a` la tension primaire, on parle de transformateur  el el´  ´  evateur  ´   (resp.  (resp. abaisseur ))..

Un sch´ema ema de principe est donn´e a` la figure figure 6.1.  6.1. Insistons  Insistons sur le fait qu’il s’agit d’un sch´ema ema id id´ealis´ e´ alis´ee.. Ainsi, les enroulements enroulements primaire et secondaire secondaire ont eet´ ´ t´e repr´esent´ esent´es es s´epar´ epar´es es pour des raisons de lisibilit´ lisibilit e´ mais dans dans un transformateur r´eel, eel, ils se pr presentent e´ sentent g´en´ en´eralement eralement sous forme de deux cylindres concentriques, ou parfois de galettes altern´ees, ees, de mani`ere e re a` assurer le meilleur couplage possible.

φm

i1 i2

ψℓ1 n1

n2

spires

v1

spires

 

ψℓ2

v2

noyau magn´eetique tique

Figure 6.1: transformateur monophas´e Le principe principe du transformateu transformateurr est simple. Lorsque Lorsque le primaire est aliment´ aliment´e par une source de tension alternative, il circule un courant   i1  qui cr´ee ee dans le noyau magn´eetique tique un champ eegalement ´ galement alternatif dont l’amplitude d´epend epend du nombre de spires   n1  du primaire et de la tension appliqu´ee. ee. Ce champ coupe les spires de l’enroulement secondaire secondaire et y cr´ee ee un flux d’induction variable. variable. Ceci induit une tension proportionnelle proportionnelle au nombre de sp spires ires   n2  de cet enroulement. La fermeture du circuit secondaire sur une charge (par exemp exemple) le) provoque la dans cet enroule enroulement. ment. Ce courant courant g´en` en`eere re a` son tour un champ circulation d’un courant   i2   dans magn´etique etique dans le noyau.

63

 

6.1.2

Modelisation e´ lisation

Lignes de champ et flux Les lignes du champ magn´etique etique cr´ cre´ e´ e´ par les courants  i 1  et  i 2  sont esquiss´ees ees a` la figure figure 6.1  6.1.. Comme le sugg`eere re la figure, la majeure partie des lignes de champ sont contenues dans le noyau magn´etique etique et coupent les deux enroulements. Cependant, certaines lignes de champ se ferment a` l’ext´eerieur rieur du noyau en ne coupant les spires que d’un seul enroulement. Notons   ψ1  (resp.   ψ2 ) le flux total embrass´e par l’enroule l’enroulement ment primaire primaire (resp. seconda secondaire). ire). Notons egalement e´ galement φm le flux cr´e´ ee´ par le champ dans une section du noyau magn´etique. etique. Ce flux est reli´e aux courants  i 1 et  i2 par:

n1i1 + n  +  n2 i2   = ou`

Rφ

m

 

(6.1)

1

R est la reluctance du noyau magn´etique etique .

Compte tenu des deux types de lignes de champ, on peut d ecomposer e´ composer  ψ1 en:

ψ1   =  ψ ℓ1 + n  +  n1 φm

 

(6.2)

 cr´e´ e´ e´ par les lignes de champ qui ne passent pas par le noyau et ne ou`  ψ ℓ1  est le  flux de fuite cr ee´ par les lignes du champ qui coupent que l’enroulement 1, tandis que   n1 φm  est le flux cr´e´ passent par le circuit magn´etique etique et sont communes aaux ux deux enroulements. On peut de mˆ meme eˆ me d´ecomposer ecomposer  ψ2 en: ψ2   =  ψ ℓ2 + n  +  n2 φm   (6.3)

Transformateur id´ ideal e´ al Supposons d’abord que le transformat tr ansformateur eur est construit construi t de fac¸on parfaite, c’est c’est--aa-dire: ` -dire:   avec des des enroulements sans r´esistance esistance

• •  ne pr´esentant esentant aucun flux de fuite •   enroul´eses autour d’un mat´eriau eriau de perm´eabilit´ eabilit´e infinie. La troisi`eme eme hypoth`ese ese simplificatrice conduit conduit a` une reluctance nulle. La relation ((6.1 6.1)) fournit directement: n1 i2   = i1   (6.4)

−n

2

1

le signe + s’expli  s’explique que par le fait qu que, e, les deu deux x circui circuits ts eetant ´ tant bobin´es e s co comm mmee mon montr´ tr´e a` la figure 6.1, 6.1, les  les courants i1 et i2 cr´eeent ent dans le no noyau yau des champ champss qui s’ajo s’ajoutent. utent. Si, par exempl exemple, e, le second secondaire aire etait e´ tait bobin´e en sens invers inverse, e, le signe  +  deviendrait un signe . Dans ce cas cas,, on pourrait continuer continuer a` appliquer appliquer les developpements e´ veloppements qui vont suivre, a` condition d’inverser le sens du courant i2

−

64

 

En l’absence de r´eesistances sistances et de flux de fuite, on a par ailleurs:

dφm   dψ1   =   n1 dt dt   dψ2 dφm v2  =   =   n2 dt dt

v1  =

d’o`u on tire evidemment: e´ videmment:

v2  =

  n2 v1 n1

 

(6.5)

Les relations (6.4 (6.4)) et (6.5 (6.5)) correspondent bien au transformateur id´eal eal tel qu’utilis´e en th´eeorie orie des circuits et repris a` la figure 6.2 figure 6.2..

n1   n2

i1 v1

i2

 

v2

Figure 6.2: transformateur id´eal eal Ces relations montrent montrent clairement que, dans le cas d’un transformateur transformateur abaisseur, abaisseur, on a n2   < n1 , v2   < v1  et  i 2   > i1 . L’enroulement secondaire pr´esente esente moins de spires mais une section plus grande. C’est evidemment e´ videmment l’inverse l’inverse pour un ttransformateur ransformateur eel´ ´ l´evateur evateur2 . On d´eduit eduit encore de (6.4 (6.4,, 6.5)  6.5) que:

v1 i 1   =

−v  i

 

2 2

(6.6)

Le transformateur id´eal eal est sans pertes; la puissance electrique e´ lectrique qui entre par un enroulement sort enti`erement erement par l’autre.

Transformateur r´ reel e´ el Nous allons a` pr´esent esent relˆ rel acher aˆ cher les trois hypoth`eeses ses simplificatrices faites plus haut et bˆatir atir un sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur r´ reel e´ el au d´epart epart du transformateur id´eal. eal. D´efinissons efinissons au pr´ealable ealable les  inductances de fuite relatives aux deux enroulements:

Lℓ1  = 2

  ψℓ1 i1

Lℓ2   =

il suffit d’ailleurs de permuter les acc`eess 1 et 2 !

65

  ψℓ2 i2

(6.7)

 

magnetisante (vue du primaire) primaire): ainsi que l’inductance magn´  ´ 

Lm1   =

  n21

 

R

(6.8)

En introduisant (6.1 (6.1)) et (6.7 (6.7)) dans (6.2 (6.2), ), on obtient pour l’enroulement l ’enroulement primaire:

n1 i1 + n  +  n2i2 ψ1   =   Lℓ1 i1 + n  +  n1   n21   n1n2 =   Lℓ1 i1 + i1 +   i2  n 2 =   Lℓ1 i1 + L  +  Lm1 i1 + Lm1 i2 n1

R

R R

 

(6.9)

et pour l’enroulement secondaire: secondaire:

ψ2   =   Lℓ2 i 2 + n  +  n2 =   Lℓ2

n1 i1 + n  +  n2i2

R  n n  i  + i  +  i R R    n 22

2

1 2

2

n2 =   Lℓ2 i 2 + n1

 

1

2

Lm1 i2 +

(6.10)

  n2 Lm1 i1 n1

Les tensions aux bornes des enroulements s’obtiennent alors comme suit:

  dψ1 di1 di1   n2 di2   =  R 1 i1 + L  +  Lℓ1   + Lm1   + Lm1 dt dt dt dt n1 2   dψ2 di2 n2 di2   n2 di1 v2   =   R2 i2 +   =  R 2 i2 + L  +  Lℓ2   + Lm1   + Lm1 dt dt n1 dt dt n1

v1   =   R1 i1 +

 

Le lecteur est invit invit´e´ a` v´erifier erifier que le sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la figure 6.3 figure 6.3 correspond  correspond parfaitement a` ces deux derni`eres eres relations.

R1

i1

v1

 

Lℓ1

 

Lm1

n1   n2

 

Lℓ2

 

R2

 

i2

v2

Figure 6.3: sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur monophas´ monophase´ (1`ere ere version) Ce dernier sch´ema ema peut etre eˆ tre modifi´e en faisant passer la r´esistance esistance R 2  et l’inductance  L ℓ2  de  (n n1 /n2 )2 . Ceci conduit au l’autree cˆ l’autr cot´ oˆ te´ du transformateur id´eeal, al, moyennant multiplication par  ( sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la figure 6.4 figure 6.4.. Le mod`ele ele qui vient d’ˆetre etre etabli e´ tabli pourrait etre eˆ tre raffin´e en consid´erant erant (voir trait pointill´e dans la figure 6.4 figure  6.4): ): 66

 

R1

Lℓ2

Lℓ1

i1

v1

 

 n1 n2

2

R2

 n1 n2

2

n1   n2

Lm1

i2

v2

Figure 6.4: sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur monophas´ monophase´ (2`eme eme version) 1. les pertes Joule caus´ees ees par les courants de Foucault induits dans le mat´eriau eriau magn´etietique. On d´esigne esigne couramment couramment ces pertes sous le nom de “pertes fer”, par opposition aux “pertes cuivre”  R 1 i21  + R  +  R2 i22  subies dans les enroulements. Celles-ci peuvent ˆetre etre prise en compte com pte en plac pl ac¸ant une un e rr´esistance e´ sistance en parall`eele le sur l’inductance magn´etisante etisante Lm1  non n li lin´ n´eaire. eaire. 2. en cons consid´ id´eeran rantt la satu satura ratio tion n du mat´ mat´eriau eriau magn´ magn´eetique tique,, via une induct inductanc ancee Lm1 no

Les pertesdans evoqu´ e´ voqu´ etransformateur es au point 1 sont toutefois tout a` fait n´egligeables egligeables devant les puissances transitant unees de puissance. En pratique, on utilise couramment un sch´ema ema equivalent e´ quivalent simplifi´ simplifie´ d´eriv´ eriv´e de celui de la figure 6.4.. La simplification tient compte du fait 6.4 fait que la r eactance magnetisante magn´   ωL m1 est tr`es es grande ´  ´  ´   ω Lℓ1, ωL ℓ2. Rappelons en effet que Lm1 devant deva nt les r´ resistances e´ sistances  R1 , R2 et les r´eactances eactances de fuite ωL est associ´ee ee aux lignes de champ qui passent par le noyau, a` forte perm´eabilit´ eabilit´e magn´etique, etique, tandis que  L ℓ1  et   Lℓ2  correspondent aux lignes de champ a` l’ext´erieur erieur du noyau, c’est-`a-dire a-dire dans un milieu non magn´etique etique (isolant entourant les conducteurs, huile du transformateur). Les ordres de grandeur donn´es es a` la section 6.3 section 6.3 confirmeront  confirmeront cette assertion. Dans ces conditions, on commet une erreur tr`es es faible en d´eplac eplac¸ ant la branche magn´ magnetisante e´ tisante a` l’entr´ee ee 1 du sch´ema ema equivalent, e´ quivalent, ce qui conduit au sch´ schema e´ ma de la figure 6.5 figure 6.5,, dans lequel:

n =

  n2

n1  R 2 R   =   R1 + 2 n   ωL ℓ2 X    =   ωL ℓ1 + 2 n X m   =   ωL m1 Une des raisons pratiques d’utiliser ce sch´ema ema est que les mesures classiquement effectu´ees ees sur un transformateur (essais a` vide et en court-circuit: voir travaux pratiques) ne permettent d’identifier que les param`etres etres combin´es es   R  et   X  de   de la figure 6.5 figure  6.5 et  et non les param`etres etres individuels apparaissant apparaissant a` la figure 6.4. figure 6.4.

67

 

R

i1

X 

1 n

i2

X m

v1

v2

Figure 6.5: sch´ema ema equivalent e´ quivalent simplifi´ simplifie´ usuel du transformateur monophas´e

 ≫

 X ,  R +  R  + j  jX  X  est Compte tenu du fait que  X m  est l’imp´edance edance vue de l’acc`es es 1 lorsque l’acc`es es de court-circuit  du est court-circuit´ee.. C’es C’estt la raison pour laquelle laquelle  X  est   est appel´ee ee   r eactance ´  ´   du transformateur.

6.1.3 6.1. 3

Matr Matrice ice d’i d’indu nductan ctance ce

Le transformateur monophas´e etant e´ tant constitu´e de deux circuits coupl´es, es, les flux  ψ 1 , ψ2  sont, en regime e´ gime lin´eaire, eaire, reli´es es aux courants  i1 , i2 via la matrice d’inductance, selon:

  

  L11   L12   ψ1  = L12   L22 ψ2

    i1 i2

Une comparaison avec les relations (6.9,6.10 ( 6.9,6.10)) fournit directement les termes de la matrice en question:

  n21

L11   =   Lℓ1 + L  +  Lm1   =  L ℓ1 +   n2   n1 n2 L12   = Lm1   =   n1 n2 2   n22 L22   =   Lℓ2 + Lm1   =  L ℓ2 +

R

 

(6.11) (6.12)

R

n1

6.1.4

Schema  e´ ma  equivalent e´ quivalent en pi

 

 

(6.13)

R

Dans certains calculs, il est opportun de repr´esenter esenter les transformateurs au moyen d’un sch´ema ema eequivalent ´ quivalent en pi, comme montr´ montre´ a` la figure 6.6. figure 6.6. impedances On passe assez ais´ement ement du sch´ema ema equivalent e´ quivalent  en imp´  ´   de la figure 6.5 figure 6.5 au  au sch´ema ema   en admittances  de la figure 6.6. figure 6.6. Le  Le lecteur est invit´e a` v´erifier erifier les valeurs de ces admittances.

68

 

1 1 n R+ jX 

−

n 1 1   1  + n R+ jX   jX m

−

1 n 1 n2 R+ jX 

Figure 6.6: sch´ema ema equivalent e´ quivalent en pi (admittances)

6.2 6.2.1 6.2 .1

Transfo ransformat rmateur eur triphas triphas´e´ Co Cons nstit tituti ution on

Un transforma transformateur teur triphas´ triphas´e est est essen essentie tielle llemen mentt un assem assembla blage ge de tro trois is transf transform ormate ateurs urs monoph monophas´ as´ees. s. Cet assemblage peut peut etre eˆ tre r´ealis´ ealis´e de deux mani`eres: eres: 1. trois transforma transformateurs teurs monophas´ monophas´ess´ e ss´epar´ epar´es. e s. Les Les tr troi oiss ph phas ases es ne sont sont do donc nc pa pass magn´ magn´eetiquement tiquement coupl´ees. ees. La figure 6.7 figure 6.7 repr´  repr´esente esente le cas d’un montage montage en etoile e´ toile au primair primairee et en triangle triangle au second secondaire aire.. En r´egime egime equilibr´ e´ quilibr´e, chaque transformateur voit transiter un tiers de la puissance totale; 2. un noyau magn´etique etique commun aux trois phases. phases. Deux agencements agencements sont montr´es es a` la figure 6.8 figure  6.8.. Les enroulements enroulements primaire et secondaire de chaque chaque phase sont situ´ees ees sur une meme eˆ me “colonne”. Dans ce cas, il existe evidemment e´ videmment un couplage magn´etique etique entre les trois phases. Dans le cas d’un noyau commun aux trois phases, le volume du noyau magn´etique etique est inf´ inferieur e´ rieur a` celui des trois noyaux s´epar´ epar´es, es, d’o`u un coˆu utt moindre. Ceci est rendu possible par le fait que les flux cr´e´ ees e´ s par les trois phases sont d´ecal´ ecal´es es dans le temps, et donc pas maximum au mˆeme eme moment. L’assemblage a` trois noyaux s´epar´ epar´es es offre cependant cependant deux avantages: avantages: (i) (i ) en cas de d´ deefaillance ´ faillance d’une phase, il suffit de remplacer le transformateur monophas´e concern´e et non la totalit´e du transformateur3 ; (ii) dans le cas de postes situ´es es dans des r´egions egions difficilement accessibles (p.ex. a` cause cause du gaba gabarit rit routie routier), r), il est est plus plus ais´e de transpor transporter ter trois trois unit´ unit´es es monophas´eees es qu’une qu’une unit´e triphas´ee. ee. Dans le cas d’un noyau magn´etique etique commun, il convient convient de proc´ proceder e´ der a` une analyse par phase pour eeliminer ´ liminer les inductances mutuelles entre phases, comme expliqu´e a` la section 2.4 section 2.4.. Dans la 3

dans un poste comportant plusieurs transformateurs identiques, on peut disposer d’une unit´e monophas´ee ee de r´eserve eserve

69

 

a

b

c

Figure 6.7: assemblage de trois transformateurs monophas´ monophas´es es colonne

”core”

a

b

”shell”

a

c

b

c

enroulements primaire et secondaire de la phase a

Figure 6.8: transformateurs triphas´es es a` noyau unique suite du chapitre, pour simplifier les d´eveloppements, eveloppements, nous consid´ considerons e´ rons un assemblage a` trois noyaux s´epar´ epar´es. N´eanmoins eanmoins,, le fonctionnemen fonctionnementt et la mod´elisation elisation sont les mˆeemes mes pour les deux types d’assemblage. d’assemblage.

70

 

6.2.2

Schemas  e´ mas  equivalents e´ quivalents monophas´ monophases e´ s

Il existe quatre types de transformateurs triphas´es, es, selon que l’on connecte les enroulements primaires et secondaires en triangle ou en en etoile. e´ toile. Alors que dans les sections pr prec´ e´ c´edentes, edentes, tensions et courants pouvaient etre eˆ tre des fonctions quelconques du temps, nous supposons dans qui alents suit unmonophas´ r´eegim´ gim´e triphas´ e equilibr´ e´ quilibr´ e. Une an anaalyse par phase va nous fournir les sch´ emas emasceequivalents e´ quiv monophas es, e´ s, utiles pour l’analyse des reseaux e´ seaux en r´egime egime etabli e´ tabli et equilibr´ e´ quilibr´e.

 ´etoile-´ Montage ´ Montage etoile-etoile e´ toile Le sch´ema e ma equivalent e´ quivalent du transformateur intervenant dans chaque phase est donn´e a` la figure 6.5. gure  6.5.   En assemblan assemblantt ces sch´emas emas equivalents e´ quivalents en etoile-´ e´ toile-´etoile, etoile, on aboutit ais´eement ment au sch´ema ema de la figure 6.9 figure 6.9.. Cette figure donne eegalement ´ galement les phaseurs des tensions au primaire et au secondaire de chaque transformateur transformateur id´ ideal. e´ al.  Remarques. Pour les besoins du dessin, les deux branches symbolisant symbolisant un transformateur id´eeal al

ont eet´ ´ t´e eloign´ e´ loign´ ees ees l’une l’autr Cep endant, nt,rappelle les deuxcelle branche branches s qui sedes correspond corres pondent ent ont eet´ ´ t´e dessin´ ees ees parall` eeles. les. de De l’autre. plus,e.leurCependa direction du phaseur tensions `a leurs bornes. Le sch´ema ema equivalent e´ quivalent monophas´ monophase´ de l’ensemble s’obtient en ne consid´erant erant tout simplement qu’une des trois phases, ce qui nous ram` ramene e` ne evidemment e´ videmment au sch´ema ema de la figure 6.5 figure 6.5.. R

X 

a

1

a’

n1 spires

X m

n

 

n2  spires

n

n

3

b

b’ 2 c’

c

¯1n V  ¯a n V  ′

¯3n V 

¯2n V 

¯c n V  ′

¯b n V  ′

Figure 6.9: sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur triphas´ triphase´ eetoile-´ ´ toile-´etoile etoile

71

 

Montage triangle-triangle En partant a` nouveau du sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur intervenant dans chaque phase (cf fig. 6.5 fig. 6.5)) et en les assemblant en triangle-triangle, on abou aboutit tit au sch sch´ema e´ ma de la figure 6.10. figure 6.10. On constate que ce sch´ema ema est en fait la mise en parall`ele ele de deux triangles: le premier comm , le second une imp´ porte dans un chacune de ses branches imp´edance e n = edance edance  R +  en  R  + j  jX  X  en  ndance  = n  n X  s´ erie erie avec transformateur transformateu r id´ id eal e´ al deune rapport 2 /n1 .

a R X 

1 n  spires 1 X m

a’ 3

n2 spires b’

b

c’

¯b1 V 

¯b a V 

2

′

c

¯a3 V 

¯a c V  ′

′

¯c b V  ′

¯c2 V 

′

′

Figure 6.10: sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur triphas´ triphase´ triangle-triangle Pour se ramener au sch´ema ema equivalent e´ quivalent monophas´e, e, il faut transformer ces deux triangles en eetoiles. ´ toiles. Conform´ Conform´ement ement a` la formule (2.13 (2.13), ), l’imp´edance edance qui intervient dans cette eetoile ´ toile est le tiers de celle intervenant dans le triangle. Par ailleurs, les tensions phase-neu phase-neutre tre au primaire et au secondaire sont dans le mˆeeme me rapport que les tensions entre phases correspondantes, soit n2 /n1. Ceci conduit au sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la figure 6.11 figure 6.11..

 ´etoile-triangle Montage ´ Montage etoile-triangle Par combinaison des deux configurations pr´ec´ ec´edentes, edentes, on obtient directement le sch´ema ema de la figure 6.12 figure  6.12.. Cette derni`ere ere montre eegalement ´ galement les phaseurs des tensions et des courants. On d´eduit eduit du phaseur des tensions t ensions que:

  n2  jπ/  jπ/ /6   ¯ ¯a   =   1 e jπ ¯1n   = n ¯1n V  V a c   = ¯ V  e jπ /6  V  3 3n1 ′

√ 

′

′

√ 

72

 

(6.14)

 

R/33 R/

X/33 X/

1 n  = n  =  n 2 /n1

X m /3

Figure 6.11: sch´ema ema equivalent e´ quivalent monophas´ monophase´ du transformateur triphas´e triangle-triangle ¯1 I 

X 

R

a

¯a I 

1

¯a c I 

n1 spires

X m

′

′

′

′

b’

¯c b I 

3

b

a’

¯b a I 

n2 spires

n

n

′

′

′

c’

2 c

¯b a V  ′

¯1n V  ¯a V  ¯a c V  ′

¯a I  ′

¯1 I  ¯a c I 

′

′

′

′

¯3 I 

¯c b V  ′

¯3n V 

′

¯2n V 

′

¯c b I  ′

′

¯b a I 

¯2 I 

′

′

Figure 6.12: sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur triphas´ triphase´ etoile-triangle e´ toile-triangle

2  jπ /6 ¯  =   n n e jπ/ 3 n1

ou` l’on a pos´e: e:

√ 

(6.15)

√ 

On voit qu’il existe une avance de phase de 30o et une division par 3 lorsque l’on passe de la tension primaire (phase-neutre) (phase-neutre) a` la tension secondaire (phase-neutre) du transformateur id´eal. eal. Nous reviendrons reviendrons plus loin sur les cons´equences equences de ce d´ dephasage. e´ phasage. Pour les courants, on eetablit ´ tablit de mˆeme eme que:

¯a   =  I  ¯a c I  ′

′

′

−  I ¯

ba ′

′

√    = 3  e

 jπ  jπ/ /6   ¯ I a c ′

′

 =

√ 3 n

1

n2

 jπ /6 e− jπ/

1

¯1   =   1 I  ¯1 I  n ¯⋆

 

(6.16)

Ces relations etant e´ tant etablies, e´ tablies, on obtient ais´ement ement le sch´eema ma equivalent e´ quivalent monophas monophas´e´ de la figure 73

 

eal  n ¯  complexe, dont 6.13. Notons que ce dernier fait intervenir un transformateur id eal 6.13. ´  ´   a` rapport   ¯ les relations caract´eristiques eristiques sont rappel´ees ees en marge de la figure.

R

¯a I 

¯a V 

X 

¯1 I 

¯a I 

1 n ¯

¯1 V 

X m

′

¯a V 

′

V  ¯a   = n ¯  V  ¯1 ¯1/n ¯a   =  I  ¯⋆ I  ′

′

Figure 6.13: sch´ema ema equivalent e´ quivalent monophas´ monophase´ du transformateur triphas´e etoile-triangle e´ toile-triangle Le transformateur a` rapport complexe complexe est une abstraction qui qui permet de tenir compte du d´eephaphao sage de 30 cr´e´ ee´ par l’utilisation d’un montage mixte etoile-trian ´etoile-triangle. gle. Notons Notons les propri´ propri´eet´ t´es es suivantes: 1. dans le cas cas ou`  n  est r´eel, eel, on retrouve le transformateur transformateur id´ ideal e´ al “classique” 2. il y a conservation conservation de la puissance puissance complexe: complexe:

¯a  I  ¯⋆   = n ¯1 1 I  ¯⋆  =  V  ¯1 I  ¯⋆ V  ¯ V  a 1 1 n ¯ ′

′

3. le quadripˆole ole de la figure 6.13 figure 6.13 n’est  n’est  pas r eciproque : ´  ´ 

¯a I 



¯a =0 ¯ =1 V  =0,,V  a ′

= −  I ¯

a

′



¯a =1 ¯ =0 V  =1,,V  a ′

symetrique Il en r´esulte esulte que la matrice d’admittance de de ce mˆ meme eˆ me quadripˆole ole n’est  pas sym´  ´  :

¯a ¯a a =  Y  Y  ′

 

′

a

et qu’il n’est pas possible d’´etablir etablir un sch´ema ema equivalent e´ quivalent en pi du type de celui de la figure 6.6 figure  6.6 (relative  (relative au cas o`u n est r´eel). eel).

Montage triangle-´ triangle-etoile e´ toile Ce cas est semblable au pr´ec´ ec´edent, edent, sauf que le sch´eema ma equivalent e´ quivalent monophas´e comporte a` pr´esent esent le rapport de transformation complexe: complexe:

n ¯  =

√ 3 n

2

n1

 jπ /6 e− jπ/

 R/33, X/ X/33, X m/3 (comme a` la figure 6.11 et les r´esistances esistances et r´eactances eactances  R/ figure 6.11). ). 74

(6.17)

 

6.2.3

Designation e´ signation des transf transformateur ormateurss et group groupee horair horairee

Pour caract caracteriser e´ riser compl`etement etement le couplage des enroulements d’un transformateur triphas triphas´e, e´ , on utilise une abbr´eviation eviation standardis´ee ee par l’I.E.C.4 , caract´eris´ eris´ee ee au minimum par 3 symboles:   pour le cˆot´ ot´e “haute” tension, une lettre majuscule d´esignant esignant le type de couplage couplage:: Y pour eetoile, ´ toile, D pour triangle

• •  pour le cˆot´ ot´e “basse” tension, une lettre minuscule d´esignant esignant le type de couplage couplage:: y pour eetoile, ´ toile, d pour triangle

•   un nombre compris entre entre 0 et 11, appel´e  groupe horaire ou indice horaire, caract´erisant erisant le d´ephasage ephasage entre tensions primaire et secondaire secondaire relatives a` une mˆeme eme phase. phase. Ce nombre est obtenu obten u en plac¸ant sur un cadran d’horloge, d’ horloge, le l e phaseur de la tension tensi on primaire primair e sur le nombre 12 et en lisant le nombre point´e par le phaseur de la tension second secondaire. aire.

Dans le cas d’un montage en etoile, e´ toile, on ajoute la lettre “n” apr`es es “Y” ou “y” pour indiquer que le neutre est mis a` la terre. La figure 6.14 figure 6.14 reprend  reprend les diff´erentes erentes couplages obtenus en combinant les types de montages avec les orientations possibles des enroulements5 . Toutes outes ces variantes variantes ne sont sont pas utilis´es es en pratique. pratique. En Europe, Europe, les  plus fr equemment    utilis´ees  utilis´ ees sont Yy0, Dd0, Yd11 (mais d’autres ´  ´  couplages sont sont permis). Selon la norme ANSI ANSI6 , seuls les couplages Yy0, Dd0, Dy1 et Yd1 sont autoris´es. es. Lorsqu’un Lorsqu ’un mˆeme eme sous-r´ sous-r´eseau eseau est aliment aliment´e´ par plusieurs plusieurs transforma transformateurs teurs “en para parall` ll`ele” ele” (c’est (c’est-` -`aadire qu’il existe dans ce sous-r´eseau eseau au moins une connexion entre les points d’alimentation), ces derniers doivent tous etre eˆ tre du mˆeme eme groupe horaire, sous peine de cr´eer eer des d´ephasages ephasages et donc des transits de puissance tr`es es importants que l’´equipement equipement ne pourrait supporter. Par exemple, la figure 6.15 figure 6.15 montre  montre deux situations autoris´ees ees et une interdite, respectivement.

6.2.4 6.2. 4

Sim Simpli plificat fication ion des calc calculs uls

Consid´erons erons le cas d’un r´eseau eseau R1 reli´e a` un r´eseau eseau R2 via deux transformateurs. Les modules nA   et   nB  de leurs rapports de transformation peuvent etre eˆ tre diff´erents erents mais, comme indiqu´e pr´ec´ ec´edemment, edemment, les deux transformateurs doivent avoir avoir le mˆeme eme groupe horaire; les phases des rapports de transformation sont donc egales: e´ gales: ϕ A   =  ϕ B   =  ϕ . La figure 6.16 figure 6.16 fait  fait apparaˆ ap paraˆıtre ıtr e le sch ema e´ ma eequivalent ´ quivalent de chacun d’entre eux, dans lequel le trans¯ A   =   nA  e j ϕ A (resp.   n ¯ B   =   nB   e j ϕB ) a eet´ formateur id´eal eal a` rapport complexe n ´ t´e remplac´e par 4

International Electrotechnical Commission tout en veillant, bien entendu, a` ne pas permuter de phases, afin que les phaseurs (a,b,c  (a,b,c)) constituent toujours une s´eequence quence directe ! 6 American National Standards Institute 5

75

 

a

b

a’

b’

a’

c’

c’ b

c

a’

b’

c’

  a’

b

 

 

Yd5 = Dy7

a

c’

b

a

c

b

c

b

 

a

c

b’

b’

a’

b’

c’

a

b

c

 

a’  

a

b

c

b a’

c’

b’

b’

c’

a

b

c

c’

a’

Yd11 = Dy1 b’

Dy11 = Yd1

a’   b’

c’

c’

a’ a

c

Dd6

c’

b’ a’

Yy6

a’

b’

c

b c’

b’

c’ a

 

b’

a

c Dd0

 

a

c

c

a’ a

b

b

c Yy0

a

a

c

a

b

a

c

c

b

 

a’

b c’

b’

Dy5 = Yd7

b’

c’

a’

b’

c’

 

a’

Figure 6.14: couplages possibles (en th´eorie) eorie) des enroulements d’un transformateu transformateurr triphas´ triphase´

76

 

Y

∆

 

autoris´e´ autoris

Y

Y

Y

Y

Y

Y

∆

Y

∆

∆

autoris´e´ autoris

interdit

Figure 6.15: connexion de transformateurs en parall parall`ele e` le  0  j  0 un transformateur id´eal eal a` rapport r´eel eel nA e j j 0 (resp.  n B  e j 0 ) en cascade avec un transformateur  j ϕA  j ϕB id id´eal e´ al a` rapport complexe e (resp.  e ).

1 nA

1 e j ϕA

1 nB

1 e j

R2

R1 ϕB

Figure 6.16: sch´ema ema equivalent e´ quivalent d’un ensemble de transformateurs en parall` parallele e` le Lors de l’analyse l’analyse d’un tel syst`eme, eme, en r´egime egime triphas´e equilibr´ e´ quilibr´e, on peut  supprimer tous les  j ϕ  e sans modifier les amplitudes des courants et des tentransformateurs transforma teurs id eaux ´  ´  de rapport  e sions, ni les puissances transitant dans les branches. branches. En effet, cette simplification simplification conduit a` d´ephaser ephaser la tension  V  ealit´e. e. Le courant  I  ¯i en tout noeud de R2 , de ϕ radians par rapport a` la r´ealit´ ¯ j dans une quelconque branche de R2 , fonction de la diff´erence erence des tensions a` ses ex extr trˆemit´ eˆ mit´es, es, est ¯i I  ¯ j⋆  transitant dans les bra d´ephas´ ephas´e de la mˆeme eme quantit´e ϕ. Les puissances complexes  V  branches nches de R2 sont donc inchang´ees. ees. Enfin, les puissances complexes complexes transitant dans les transformateurs reliant  R 1  et  R 2  sont elles aussi inchang´ees, ees, les transformateurs id´eaux eaux supprim´es es etant e´ tant sans pertes.

6.3 6. 3

Valeu aleurs rs nomi nomina nale les, s, syst syst`eme e` me per per unit nit et ordr ordres es de gran grand deur eur

Un transformateur est caract´eeris´ ris´e par diverses valeurs nominales: 77

 

•  les tensions nominales primaire   U 

sont nt les les tensio tensions ns pour pour secondaire   U 2N . Ce so lesquelles l’isolation des enroulements a eet´ ´ t´e pr´eevue. vue. Un ccert ertain ain d´epassement epassement de ces valeurs est toutefois admissible en pratique. Sauf mention contraire, il s’agit de tensions entre phases en valeurs efficaces; 1N    et

•   les co coura urants nts nomina nominaux ux prima primaire ire I 

secondairee I 2N . 1N  et secondair

Ce sont sont les co coura urants nts pour pour lesque lesquelle lless les sections des conducteurs ont eet´ ´ t´e pr´evues. evues. Il s’agit donc des courants maxima admissibles pendant un temps infini. Sauf mention contraire, il s’agit de courants de phase en valeurs efficaces;

•   la puissance puissance apparente apparente nominale nominale S  . Il s’ag s’agit it de la puis puissa sanc ncee tri triph phas´ as´ee li´ee aux grande grandeurs urs pr´ec´ ec´edentes edentes par la relation (6.6 (6.6)) du transformateur id´eal: eal: √  √  S    = 3U  I    = 3U  I  N N  

N N  

1N  1N 

2N  2N 

La conversion des param`etres etres du transformateur en per unit se fait conform´eement ment aux consid´erations erations des sections 5.2 sections 5.2 et  et 5.3  5.3::

•   on choisit la puissance puissance de base S    =  S  •   da dans ns la pa parti rtiee conn connec ect´ t´ee ee au prima primaire ire,, on choisi choisitt la tensio tension n de bas basee V  B

N N  

√ 3 (valeur √    =   U  / 3

1B   =  U 1N /

efficace entre phase et neutre)

•  dans la partie connect´ee ee au secondaire, on choisit la tension de base   V 

2B

2N 

(valeur efficace entre phase et neutre)

•  les imp´edances edances du sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la figure 6.5 figure 6.5 se  se situant au primaire, on les divise par l’imp´edance edance de base Z 1B   = 3V 12B /S B

•  le rapport n n   =  n /n  se convertit convertit comme suit. Le transformateur id´eeal al etant e´ tant caract´eris´ eris´e 2

1

par:

v2  =

  n2 v1 n1

on divise cette relation par  V 2B , ce qui donne:

v2 pu  =

  v2   n2   n2 V 1B v1   n2 V 1B = v1   = = v1 pu V 2B n1 V 2B n1 V 2B V 1B n1 V 2B

En valeurs unitaires, le rapport de transformation vau vautt donc:

n pu  =

  n2 V 1B n1 V 2B

Si les tensions nominales sont dans le rapport des nombres de spires, c’est-` c’est-a-dire a` -dire si:

V 2B   n2 = V 1B n1 78

 

on a simplement:

n pu  = 1 et le transformateur id´eal eal disparaˆıt ıt du sch s ch´ema e´ ma de la figure 6.5 figure  6.5 C’est  C’est un des avantages, d´eej` j`a mentionn´e, du syst`eme eme per unit. e´ gal a`  n2 /n1 , surtout lorsque le transforEn pratique, le rapport  V 2B /V 1B  est proche, mais pas egal mateur est dot´e d’un r´eglage eglage du nombre de spires, comme expliqu´e a` la section section 6.5.  6.5. Dans  Dans ce cas, il reste dans le sch´eema ma equivalent e´ quivalent un transformateur id´eal eal avec un rapport  n pu  proche de l’unit´e. e. On peut citer les ordres de grandeur suivants suivants pour les transformateurs utilis utilis´es e´ s dans les r´eseaux eseaux de transport: r´esistance esistance R S N  N . Il en r´esulte esulte des economies e´ conomies en termes de coˆut ut de fabrication mais aussi de pertes. 80

 

Le gain en puissance est   n  + 1; il est donc d’autant d’autant plus grand grand que   n  est elev´ e´ lev´e, e, c’est-`a-dire a-dire (6.18)) montre que plus  n  augmente, plus le que n 2 est grand devant  n1 . Cependant, la relation (6.18 rappor rap portt de transf transform ormati ation on se rappro rapproch chee de l’unit´ l’unit´ee.. On utilisera utilisera donc un auto autotrans transforma formateur teur dans le cas o`u on l’on doit relier des niveaux niveaux de tension relativement proches par un transformateur de puissance relativement relativement elev´ e´ lev´ee. ee. L’autotransformateur ’autotransformateur pr´eesente sente cependant l’inconv´enient enient d’avoir d’avoir une connexion m´etallique etallique entre ses deux enroulements: des perturbations de tension peuvent donc passer plus facilement d’un enroulement a` l’autre que dans le cas du seul couplage par induction.

6.4.2 6.4. 2

Autotrans utotransfor formate mateur ur triphas triphas´e´

La figure 6.19 figure 6.19 donne  donne le sch´ema ema de principe d’un autotransformateur triphas´e, e, obtenu en montant en etoile e´ toile trois autotransformateurs monophas´es. es. a’

a

b

b’ c’

c

Figure 6.19: autotransformateur triphas´e

6.5 6.5. 6.5.1 1

Ajusteme Ajustement nt du du nombr nombree de spire spiress d’un d’un transf transforma ormateur teur Pr Prin inci cipe pe

Il est souve souvent nt utile utile de pouvo pouvoir ir modifie modifierr le nombre nombre de spires spires d’un d’un transf transform ormate ateur ur,, en vue d’ajus d’ajuster ter les tensions au voisinage de ce dernier. Ce r´eeglage glage est discret par nature: un transformateur pr pr´esente e´ sente typiquement entre 15 et 25  prises de r eglage ´´   , comme symbolis´e a` la figure 6.20 figure 6.20.. Dans certains transformateurs, la modification requiert de mettre l’appareil hors service et de changer manuellement ses connexions.

81

 

Figure 6.20: principe de la modification de la prise de r´ reglage e´ glage Dans de nombreux nombreux transformateurs, ccependant, ependant, cette modification peut peut eetre ˆ tre effectu´ee ee en charge c’est-`a-dire a-dire sans interrompre le courant qui parcourt l’enroulement dont on modifie le nombre de spires. spires. Le dispositif dispositif correspondant, correspondant, appel´ appel´e r egleur en charge, comport comp ortee un contacteu cont acteurr conc¸ u ´  ´  pour eviter e´ viter la formation d’arcs electriques e´ lectriques (susceptibles d’endomma d’endommager ger les contacts) et un moteur electrique e´ lectriq ue pour pou r entraˆ entr aˆıner ıner ce contacteur. cont acteur. Notons Noto ns en enfin fin qu qu’u ’un n r´egleu egleurr en ch char arge ge peut peut etre eˆ tre co comma mmand´ nd´e manu manuel elle leme ment nt (en (en fait fait t´eel´ l´ecommand´ ecommand´e par l’op´eerateur rateur depuis un centre de conduite) ou automatiquement (syst`eme eme asservi commandant localement le r´egleur egleur en charge). En g´en´ en´eral, eral, le r´egleur egleur en charge modifie les spires de l’enroulement dont la tension nominale est la plus elev´ e´ lev´ee ee (primaire d’un transformateur t ransformateur abaisseur) parce que:

•   les courants y sont plus faibles; la commutation est donc plus ais´ee ee •   les spires plus nombreuses; le r´eglage eglage est donc plus fin. Il existe toutefois des exceptions a` cette r`egle. egle.

6.5.2 6.5 .2

Pr Prise ise en compt comptee d dan anss le le ssch ch´eema  ´ ma  eequivalent ´ quivalent

A chaque changement de prise, il est clair que le rapport de transformation  n 2 /n1  se modifie. En principe, tous les param`etres etres du sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur se modifient. Cette variation est surtout significative pour l’inductance de fuite  L  (cf figure 6.5 figure 6.5)) car la r´esistance esistance R  ´etant etant faible et l’inductance  L m  tr es e` s elev´ e´ lev´ee, ee, les variations de ces deux param`etres etres sont sans grand effet. Dans un logiciel de calcul, il est possible de sp´ecifier ecifier des valeurs de L et de n2 /n1 pour chaque prise. Une simplification est toutefois possible, comme expliqu´e ci-apr`es. es. Supposons que l’on ajuste les spires de l’enroulement secondaire. En admettant, en premi`ere ere approximation, que l’inductance de fuite Lℓ2 varie comme le carr´e du nombre de spires  n2 , on 82

 

a:

Lℓ2   =  L oℓ2

 

2

n2 no2

Suppos posons ons de de plus que que la ou`   Loℓ2  est la valeur de l’inductance de fuite lorsque   n2   =   no2 . Sup resistance e´ sistance R2 varie de la mˆeme eme mani`ere, ere, soit: 2

R2   =  R 2o

n2o n2

 

Cette derni`ere ere hypoth`ese ese est beaucoup plus difficile difficile a` admettre mais, comme a l’a indiqu´e plus haut, les cons´equences equences de cette simplification sont mineures. Remplac¸o ¸ons, ns, dans le sch´ schema e´ ma equivalent e´ quivalent de la figure  figure   6.3, 6.3,   R2   et   Lℓ2  par les expressions cidessus et faisons-les passer de l’autre cˆot´ ot´e du transformateur id´eal, eal, moyennant multiplication  ( n1 /n2 )2 . On obtient par (n obtient le sch´ sch´eema ma equivalent e´ quivalent de la l a figure 6.21, figure 6.21, analogue  analogue a` celui de la figure 6.4.. On voit que les imp´edances 6.4 edances a` gauche du transformateur id´eal eal sont toutes ind´ependantes ependantes du nombre de spires  n2 .

R1

Loℓ2

 

Lℓ1

i1

 n1 no2

2

n1 no2

Ro2

2

n1   n2 i2

 v1

 

Lm1

v2

Figure 6.21: autre forme du sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la figure 6.4 figure 6.4 En conclu conclusio sion, n, sous sous les hypoth` hypoth`eses eses enonc´ e´ nonc´ees e es plus plus ha haut ut,, on pe peut ut gard garder er cons consta tant ntes es le less imp´ imp´edances edances du sch´ema ema equivalent, e´ quivalent, a` condition de les placer du cˆot´ ote´ du transformateur id´eeal al o` ou` le nombre 7 de spires n’est pas modifi´e . Seul le rapport de transformation t ransformation change change alors avec la prise.

6.6 6. 6

Transf ransfor ormat mateu eurr  a` trois enroulements

On utilise fr´equemment equemment des transformateurs “`a trois enroulemen enroulements”. ts”. C’est C’est un raccourci raccourci de langage pour “trois enroulements par phase”. Un transformateur monophas´e a` trois enroulements est repr´esent´ esent´e sch´ematiquement ematiquement a` la figure 6.22 gure  6.22.. Cet appareil permet de transf´eerer rer de la puissance entre trois niveaux de tension, le sens de transfert de la puissance d´ependant ependant de ce qui est connect´e au transformateur. transformateur. Dans un transformateur triphas´ee,, on retrouve ces trois enroulements dans chaque phase. 7

ce qui est toujours possible, pourvu que l’on choisisse le primaire du bon cˆot´ ot´e

83

 

i2

i1 n2 spires

n1

v2 i3

spires

v1

n3 spires

v3

noyau magn´eetique tique

Figure 6.22: transformateur monophas´e a` trois enroulements Dans un transformateur monophas´e et dans chaque phase d’un transformateur triphas´e “`a deux enroulemen enroulements”, ts”, les enrouleme enroulements nts primaire et seconda secondaire ire ont la mˆeme eme puissance nominale etant e´ tant donn´e que la puissance qui entre par l’un ressort par l’autre, aux pertes pr`ees. s. Dans un transformateur a` trois enroulements, les puissances nominales des divers enroulements sont g´en´ en´eralement eralement diff´erentes. erentes. Le troisi`eme eme enroulement enroulement peut egalement e´ galement servir:

•   a` alimenter alimenter des auxiliaires auxiliaires dans un poste.

Il s’agit alors d’un enroulemen enroulementt de petite puissance nominale par rapport aux deux autres;

•   a` connecter une inductance ou un condensateur condensateur shunt de compensation; •   a` am´eliorer eliorer le fonctionnement en r´egime egime d´es´ es´eequilibr´ quilibr´e (transformateur triphas´e a` deux enroulements dot´e d’un troisi`eme, eme, dont les phases sont connect connectees e´ es en triangle et ne sont parcourues par aucun courant courant en r egime e´ gime equilibr´ e´ quilibr´e).

Un sch´ema ema equivalent e´ quivalent usuel de transformateur a` trois enroulements est donn´e a` la figure 6.23 figure 6.23.. Le noeud O est fictif. Les rapports de transformation permettent de repr´esenter esenter des r´egleurs egleurs en charge.. Ils peuvent etre charge eˆ tre complexes pour tenir compte des couplages.

 +  R2  + j  +  j((X 1 + X   +  X 2) est l’imp´edance En supposant  X m infinie, on etabli e´ tabli ais´ement ement que R1  + R edance vue de l’acc`es es 1 lorsque l’acc`es es 2 est court-circuit´e et l’acc`es es 3 lai laiss´ ss´e ouve ouvert. rt. De mˆeme, eme,   R1   + R3 + j(  j (X 1 + X 3 ) est l’imp´edance edance vue de l’acc`eess 1 lorsque l’acc`eess 3 est court-circuit´e et l’acc`es es 2 laiss´e ouver ouvert. t. Ces propri´ propri´eet´ t´es es sont utilis´ees ees lors de l’´etablissement etablissement du sch´eema ma equivalent e´ quivalent a` partir de mesures (voir travaux pratiques). pratiques). On notera que dans ce sch sch´ema e´ ma equivalent, e´ quivalent, certaines reactances e´ actances peuvent etre eˆ tre n´egatives egatives (dans le cas o`u les puissances nominales des enroulements sont tr`es es diff´erentes). erentes).

84

 

R1 1

X 1

O

R  2

X 2

1 n2

2

X m 2’

1’

R3

X 3

1   n3

3

3’

Figure 6.23: sch´ema ema equivalent e´ quivalent d’un transformateur a` trois enroulements

6.7 6. 7

Transf ransfor ormat mateu eurr dephaseur e´ phaseur

Le transformateur d´ephaseur ephaseur8 est un dispositif destin´e a` d d´eephaser ´ phaser plus ou moins fortement la tension secondaire par rapport a` la tension primaire, afin d’ajuster les transits de puissance active dans les branches branches du r´ reseau. e´ seau. Il peut s’agir:

•   soit soit d’un d’un transf transform ormate ateur ur tripha triphas´ s´e connec connectan tantt deux deux nive niveaux aux de ten tensio sions ns nomina nominales les diff´ diff´erentes erentes auquel on ajoute un dispositif de r´eglage eglage

•  soit d’un transformateur triphas´e de mˆemes emes tensions nominales au primaire et au secondaire, ne servant qu’`a effectuer le r´eglage eglage de phase.

La figure figure 6.24 pr´esen e sente te un prem premie ierr sch´ sch´ema ema de princ principe ipe.. Les en enrou roulem lement entss dessin´ dessin´es es paral parall` l`element element sont mont´es es sur le mˆeme eme noyau magn´etique. etique. Comme le montre le diagramme de phaseur, on ajoute a` la tension d’entr´ ee eephas´ uneee de la compos´ etension e prise d’entr´ entre ee, deux autres phases.phase-neutre Cette derni`ere ere est d´ eephas´ eefraction de 90 degr´ es estension par rapport a` laee eles e, d’o`u le nom de  r ´   r eglage en quadrature fr´  freequemment ´ quemment utilis´e. e. Dans ce dispositif, le module de ´  la tension de sortie varie l´eg` eg`eerement rement ave avecc le d´ d ephasage, e´ phasage, d’autant plus que ce dernier est important. Il existe des montages plus ´elabor´ elabor´es o`u le module de la tension reste constant au fur et `a mesure du r´eglage eglage du d´ephasage. ephasage. L’inconv´enient enient du montage de la figure 6.24 figure 6.24 reside  reside dans le fait que le r´egleur egleur en charge charge (utilise´ pour ajuster l’amplitude de la tension en s´erie erie dans chaque phase) supporte le plein courant de ligne, d’o`u d’´eventuels eventuels probl`emes emes de de commutation commutation.. Pour eeviter ´ viter cet inconv´enient, enient, on peut utiliser le montage repr´esent´ esent´e a` la figure 6.25. figure 6.25. Comme  Comme dans la figure pr´ec´ ec´edente, edente, les enroulements dessin´es es parall`element element sont mont´es es sur le mˆeme eme noyau magn´etique. etique. Dans ce montage, 8

en anglais: “phase shifting transformer” ou “phase shifter”

85

 

a

a’

¯a V 

  V  ¯a

′

¯b V 

′

V  ¯c c

c’

b

b’

¯c V 

¯b V 

′

Figure 6.24: transformateur avec r´eglage eglage en quadrature (1er type) moyennant l’utilisation d’un transformateur transformateur suppl´ementa ementaire ire en s´eerie rie ave avecc la ligne, le r´ regleur e´ gleur en charge v´ehicule ehicule des courants plus faibles. a

a’

b

b’

c

c’

Figure 6.25: transformateur avec r´eglage eglage en quadrature (2nd type)

86

 

Chapitre 7 Le calcul de r´ repartition e´ partition de charge (ou load flow) de charge, ou encore  calcul d’´  d’ecoulement de charge  (ou de puisLe   calcul de r epartition ´´   ´  sance) est sans aucun doute le calcul le plus fr´equemment equemment effectu´e dans les r´eseaux eseaux d’´energie energie

eelectrique. ´ lectrique. En termes simples, son objectif est de d´eterminer eterminer l’´etat etat electrique e´ lectrique complet du r´eseau, eseau, a` savoir les tensions a` tous les noeuds, les transits de puissance dans toutes les branches, les pertes, et etc.. c.. . a` partir des consommations et des productions sp´ecifi´ ecifi´ees ees en ses noeuds. On utilise couramment la traduction anglaise “ load flow”. En anglais, anglais, le terme “ power flow” est pr´ef´ ef´er´ er´ee..

7.1 7.1. 7.1.1 1

Les  equations e´ quations de load flow Qu Quad adri rip p ˆole ole universel

Afin de simplifier les d´eveloppements eveloppements analytiques, nous supposerons toutes les branches du reseau e´ seau mod´elis´ elis´ees ees par le quadripˆole ole repr´esent´ esent´e a` la figure 7.1. figure 7.1. On v´erifie erifie ais´ement ement que:

•  le sch´ema ema equivalent e´ quivalent en pi de la ligne (ou du cˆable) able) de la figure 4.5 figure 4.5 s’obtient  s’obtient en posant nij   = 1 et φij   = 0

•  le sch´ema ema equivalent e´ quivalent du transformateur de la figure 6.13 figure 6.13 s’obtient  s’obtient en posant  B seuls les transformateurs d´ephaseurs ephaseurs ont un param parametre e` tre φij  diff´erent erent de z´ero. ero.

87

sji   =

0;

 

¯i  = V  V   =  V i e jθ i

 

¯ j   =  V  j j e jθ j V 

¯ij Y  ij   = Gij  + j  +  jB Bij

¯ij I  ij i

 

1

nij  φij

   jB sij

j

 jB sji

Figure 7.1: quadripˆo ole le universel

¯ij Supposons que que le quadripˆ quadripole oˆ le relie les noeuds i et j . Le courant courant  I  oˆ te´ du noeud ij  qui y entre du cot´ i vaut: ¯ij  ¯   ¯ij (V  ¯i I  ij   =  j Bsij V i  + Y ij

7.1.2 7.1. 2

−

¯ j V  ¯i e− jφ ij ) =  j Bsij ¯ V i  + (Gij  + j  +  jB Bij )(V  nij

−

¯ j V  e− jφ ij )   (7.1) nij

Bil Bilans ans de puissan puissance ce nod nodaux aux

 N 

Soit  N  le  le nombre de jeux de barres du r´eseau. eseau. On note (i) l’ensemble des noeuds reli´eess au i-eme e` me noeud (i  = 1, . . . , N )  par au moins une branche (cf figure 7.2 figure 7.2). ).

¯i I 

 N (i)

i

¯i V 

I  ¯ij  j Bsi  j

Figure 7.2: topologie au voisinage du i-`eme eme noeud La premi`ere ere loi de Kirchhoff donne:

¯ij I  ij

¯i  = j ¯i  + I   =  j Bsi V   j

(i)

 ∈N 

88

 

i  = 1, . . . , N  

 

¯i est compt´e positivement quand quand il entre dans le reseau. e´ seau. ou` le courant  I  La puissance complexe complexe entrant dans le r´ reseau e´ seau au i-eme e` me jeu de barres vaut:

¯i  I  ¯⋆  =  jB si V  2  + P i   +   jQ i   =  V  i i

−

 j



¯i  I  ¯⋆ V  ij

 

(7.2)

∈N (i)

 ¯ En remp r empla lacc¸ant I ij   par son expression (7.1 (7.1), ), on obtient successivement: ⋆  2 ¯ ¯i I  V  P i   +   jQ i   =  jB si V    +

 −

= =

i

 ∈N    − ∈N   −   j

 jB si V i 2

 −

Bsij V i 2  +

 j

 j

  − jB

ij

(i)

 2 si V i

Bsij V i 2  +

 j

 j

 j

(i)

∈N (i)

 j

 ∈N  

¯i (Gij V 

(i)

(Gij

∈N (i)

−

¯⋆ V   j  jφ ij e ) nij

)(V   jB ij )( V i⋆

− jB

 −

  −   V nV  e

i  j  j(  j (θi θj +φij )

)(V  V i 2 ij )(

−

)

ij

et une d´ecomposition ecomposition en en parties r´ reelle e´ elle et imaginaire fournit:

P i   =  j

Qi   =



 

  −(B

  7.2. 7.2.1 1

 −

∈N (i)

+

7.2

Gij V i 2

si  +  j



V i V  j [Gij cos(  cos(θθi n ij  j ∈N (i)



Bsij  +

∈N (i)

 j



 j

+  Bij sin(  sin(θθi ij ) + B

f i (. . . , Vi , θi , . . .) .) Bij )V i2  +



∈N (i)

V i V  j [Bij cos(  cos(θθi n ij  j ∈N (i)



− θ   + φ

− θ  + φ  +  φ ) − G  j

ij

 sin(θθi ij  sin(

− θ  + φ  +  φ

  − θ  + φ  +  φ



gi (. . . , Vi , θi , . . .) .)

 j

 j

ij )]

(7.3)

  ij )]

(7.4)

 

Specification e´ cification des donn´ donnees e´ es du load flow Don onn nees e´ es nodales

 2N  equations Le r´eseau eseau est d´ecrit ecrit par les  2N  e´ quations (7.3, (7.3, 7.4). 7.4). En chaque noeud noeud du r´eseau, eseau, ces equations e´ quations font intervenir quatre grandeurs: le module V i et la phase θi de la tension, les puissances activ activee P i et r´eactive eactive Qi . Pour qu’inconnues et equations e´ quations soient en nombre egal, e´ gal, il faut donc sp´ecifier ecifier deux de ces quatre grandeurs en chaque noeud. La figure 7.3 figure 7.3 d´  d´etaille etaille les diff´erentes erentes donn´ees ees nodales que que l’on sp´ specifie e´ cifie en pratique ainsi que les eequations ´ quations et les inconnues correspondantes. En un jeu de barres o`u est connect´ee ee une charge, on sp´ecifie ecifie les puissances active et r´eactive eactive consomm´ees ees par celle-ci, car ces informations sont g´en´ en´eeralement ralement disponibles au d´epart epart de mesures. Les equations e´ quations relatives a` un tel noeud noeud sont donn´ees ees par (7.3,7.4 (7.3,7.4)) o u`  P i , Qi  sont les consommations chang´ees ees de signe. En un tel noeud, les inconnues sont donc V i et  θi . 89

 

Figure 7.3: load flow : donn´ees, ees, equations e´ quations et inconnues nodales en remplaçant modules et phases

EQUIPEMENT

EQUATIONS

CONNECTE

INCONNUES

dans l’équ. de bilan de puissance non utilisée, on en déduit :

   E    G    R    A    H    C

V i  θi P ic Qci

   R    U    E    T    A    R    E    N    E    G

c i

i

V i

c i

i

θi

−P    = f  (. . .) −Q   = g (. . .) NOEUD "PQ"

V i  θi

P ig  =  f i (. . .)

V i

Qgi   = g i (. . .)

θi

NOEUD "PQ"

P ig

P ig  =  f i (. . .)

Qgi

θi

V i   = V io

Qig

NOEUD "PV"

   E    G    R    A    H    C    +    R    U    E    T    A    R    E    N    E    G

P ig

c i

i

V i

g i

c i

i

θi

  − P    = f  (. . .) Q  − Q   = g (. . .)

V i  θi

NOEUD "PQ"

P ic

P ig

Qci

Qgi

P ig

c i

  − P    = f  (. . .) i

θi

V i   = V io

Qig

NOEUD "PV"    "    R    E    I    C    N    A    L    A    B    "

V N N   θN  g P N 

θN   = 0

g P N 

o V N  N   =  V N 

QgN 

g QN 

Les mˆemes emes informations sont g´en´ en´eeralement ralement sp´ecifi´ ecifi´ees ees pour les g´en´ en´eerateurs rateurs de faible puissance. La production active  P  est, aux pertes pr`es, es, la puissance g´en´ en´eer´ r´ee ee par la turbine, tandis qu’un 2 2 ecifi´ee, ee, ce qui asservissement maintient le facteur de puissance  P / P  + Q a` une valeur sp´ecifi´ fournit la puissance r´eactive eactive g´en´ en´eer´ r´ee. ee.

√ 

90

 

Ces noeuds o`u l’on sp´ecifie ecifie  P   et Q  sont souvent d´esign´ esign´es es sous le vocable de “noeuds PQ”. Comme nous le verrons au chapitre 11, chapitre  11,  les g´en´ en´eerateurs rateurs des grandes centrales sont dot´es es de regulateurs e´ gulateurs de tension qui maintiennent maintiennent constante constantess leurs tensions tensions terminales. terminales. En un tel jeu de barres, il est plus naturel de sp´ecifier ecifier la tension que la puissance r´eactive eactive.. Les donn´ees ees sont donc   P i   et   V i . Le modu module le de la tens tensio ion n etant e´ tant directement sp´eecifi´ cifi´e, e, il ne reste que   θi comme inconnue inconnue.. L’´equation equation (7.4 (7.4)) n’est donc pas utilis´ee ee pour calculer l’´etat etat electrique e´ lectrique du syst`eme. eme. Cependa Cependant, nt, elle est utilis´eeee a posteriori pour calculer la puissance r´eactive eactive produite par le g´en´ en´erateur. erateur. Ces noeuds o`u l’on sp´ecifie ecifie  P   et V  sont d´esign´ esign´es es sous le vocable de “noeuds PV”. Certains jeux de barres peuvent recevoir une charge et un g en´ e´ n´eerateur rateur1 . Dans ce cas, ce sont les donn´ees ees relativ relatives es au g´en´ en´eerateur rateur qui dictent dictent le type du noeud noeud:: PQ ou P PV V selon selon le cas. cas. L’injec L’injection tion de puissance active   P i   (r (res esp. p. r´eactive eactive   Qi ) est evidemment e´ videmment la diff´erence erence entre la puissance g´en´ en´er´ er´ee ee et la puissance consomm´ee. ee.

7.2.2

Le gen´ e´ nerateur e´ rateur balanci balancier er

A ce stade, deux remarques s’imposent: 1. on ne peut sp´ecifier ecifier les puissances puissances  P i  a` tous les noeuds. En effet, le bilan de puissance active du r´eseau eseau s’´ecrit: ecrit: N 



P i  = p  =  p

 

(7.5)

i=1

ou`  p  repr´esente esente les pertes actives totales dans le r´eseau. eseau. Sp´ecifier ecifier toutes les valeurs  P i reviendrait donc a` sp´ecifier ecifier les pertes. Or, ces derni`eres eres sont fonction des courants dans les branches et donc des tensions aux noeuds, lesquelles ne sont pas connues a` ce stade; 2. seules des diff´eerences rences angulaires interviennent dans les equations e´ quations ((7.3 7.3,,   7.4 7.4); ); on peut ajouter une mˆeme eme constante a` toutes les phases sans changer changer l’´ l’etat e´ tat electrique e´ lectrique du r´eseau. eseau. Il convient convient en fait de calculer les d´ deephasages ´ phasages de N  eux pris comme r´ef´ ef´erence. erence.

  −− 1 noeuds par rapport a` l’un d’entre

Pour traiter ce double probl`eeme, me, un des jeux de barres du r´eseau eseau est d´esign´ esign´e comme r´ef´ ef´erence erence angulaire et se voit imposer la phase de sa tension, plutˆ plutot oˆ t que la puissance active. active. Il est d’usage de sp sp´eecife ´ ciferr une phase phase nulle, nulle, mais mais c’est c’est arbitra arbitraire ire.. En ce noeud, noeud, l’´eequati quation on (7.3 7.3)) n’es n’estt pas pas util utilis´ is´ee ee et la phase ne doit evidemment e´ videmment pas etre eˆ tre calcul´ee. ee. Ce jeu de barres est qualifi´e de  balancier 2 . Nous supposerons dans ce qui suit qu’il s’agit du N -eme e` me noeud. 1 2

c’est c’est le cas qua quand nd les auxili auxiliaire airess d’un d’unee centra centrale le son sontt alimen aliment´ t´es via via leje lejeu u deba debarr rreso` eso`u est connect´ connect´e l e g een´ ´ n´eerateur rateur en anglais:  slack bus

91

 

Au balancier, la relation (7.5 (7.5)) donne:

−  −

N  1

P N N    =

P i  + p  +  p

i=1

ou` le less dif diff´eren e rents ts te term rmes es de la so somm mmee so sont nt sp´ecifi´es e s dans dans le less donn´ donn´ees, tandis tandis que, que, co comme mme indiqu´e plus haut,   p connuactive qu’`a l’issue dubalancier, calcul. calcu l. Pour disposer oser d’une d’un e flexibilit´ flexibi e au l’injection de n’est puissance au noeud bala ncier, il estdisp d’usage de choisir unlit´ jeu deniveau barres o` ode u` est connect´e un g´en´ en´eerateur. rateur. Si les pertes sont mal connues, on peut ajuster it´ iterativement e´ rativement les productions des divers g g´en´ e´ n´eerarateurs, selon la proc´edure edure suivante. suivante. Pour une charge totale donn´ee, ee, on estime les l es pertes actives et l’on r´epartit epartit la somme des deux sur les diff´erents erents g´en´ en´eerateurs, rateurs, en ce compris le balancier balancier.. A l’issue du calcul, on connait les pertes  p  relatives a` ce sch´ema ema de production. Si l’estimation des pertes etait e´ tait impr´ecise, ecise, la production du balancier est eloign´ e´ loign´ee ee de ce qu’on a suppos´e lors de la r´epartition epartition de la production sur les diff´erents erents g´en´ en´eerateurs rateurs.. Si l’´ecart ecart est trop grand, on peut corriger cette cette r´ reepartition ´ partition en prenant comme estimation des pertes la valeur valeur qui vient d’ˆ d’ etre eˆ tre calcul´ee. e e. On peu peutt it´erer erer de la sorte jusqu’`a ce que la production du balancier apr`eess calcul soit proche de l’estimation avant calcul. Quand une telle correction est n´eecessaire, cessaire, une seule it it´eration e´ ration suffit dans la plupart des cas pratiques. Qu’en est-il des pertes r´eactives eactives et du rˆole ole du balancier ? Notons d’abord que ces pertes sont beaucoup plus variables variables et g´ gen´ e´ n´eralement eralement plus importantes que leur contrepartie active. Cependant, il existe une diff´erence erence majeure: majeure: en chaque noeud PV, PV, la puissance r´ reactive e´ active n’est pas sp´ecifi´ ecifi´ee; ee; elle est le r´esultat esultat du calcul. En cons´equence, equence, le probl`eeme me de la sp´ecifier ecifier indˆ indument uˆ ment a` tous les noeuds ne se pose pas. En quelque sorte, chaque noeud PV joue le rˆo ole le de balancier (local) pour la puissance r´eactive. eactive. Evidemment, le probl`eme eme resurgit si l’on sp´ecifie ecifie la puis3 sance r´eactive eactive de de tous les g´ gen´ e´ n´eerateurs rateurs . Si l’on met ce cas cas de cˆot´ ote, e´ , il est permis de sp´ecifier ecifier soit la tension, soit la puissance r´eactive eactive au au noeud balancier. balancier. Dans la mesure o`u une centrale relativement puissante est connect´ee ee a` ce noeud (voir ci-dessus), il sera plus naturel d’y sp´ecifier ecifier la tension V  ,  , pour les raisons d´eej` j`a mentionn´ees. ees. C’est le choix qui a eet´ ´ t´e consid´er´ er´e a` la figure 7.3.. Dans ce cas, il n’y a aucune inconnue a` calculer au noeud balancier. Les equations 7.3 e´ quations (7.3 (7.3)) et (7.4 (7.4)) y sont utilis´ees ees pour calculer les puissances active active et r´ reactive e´ active inject´ees. ees.

7.2.3 7.2. 3

Equ Equatio ations ns de load flow sous fo forme rme vec vectori toriell ellee

Soient N P V  le nombre de noeuds PV et  N P Q le nombre de noeuds PQ, avec:

N P V   + N P Q + 1 =  N  Soient: 3

une telle situation ne se pr´eesente sente jamais en pratique dans les calculs de r´ reeseaux ´ seaux de transport mais elle peut se pr´eesenter senter dans un r´eeseau seau de distribution h´ebergeant ebergeant des sources d’´energie energie renouvelables dont aucune ne participe au r´eglage eglage de la tension, pratique tr`eess r´epandue epandue a` l’heure actuelle

92

 

v   le vecteur des modules des des tensions aux noeuds PQ (dimen (dimension sion N P Q ) actives sp´ specifi´ e´ cifi´ees ees aux noeuds PV et PQ (dimension  N  po le vecteur des injections actives

 − 1 )  −

eactives sp´ specifi´ e´ cifi´ees ees aux noeuds PQ (dimension  N P Q ) qo le vecteur des injections r´eactives θ   le vecteur des phases phases des tensions aux noeuds noeuds PV et PQ, rapport´eees es au balancier (dimension N 

 − 1).  −

Les equations e´ quations de load flow peuvent peuvent s’´ s’ecrire e´ crire sous forme form e vectorielle vectori elle de la fac¸on suivante:

 − 1 ´equations  − equations de puissance active (7.3 (7.3)) aux noeuds PV et PQ: f (v, θ ) − p =  0

N 

o

 

(7.6)

 

(7.7)

N P Q  ´equations equations de puissance r´eactive eactive (7.4 (7.4)) aux noeuds PQ: g(v , θ )

o

−q

=  0

ou` les composantes de f  de  f  (resp. g  (resp.  g)) sont les fonctions  f i (resp.  g i ) d´eefinies finies par ((7.3 7.3)) (resp. 7.4 (resp.  7.4). ).

7.3 7. 3

Un exem exempl plee simp simple le

Consid´erons erons le syst`eme eme simple a` deux noeuds de la figure  7.4,  dans lequel un g´een´ n´eerateur rateur alimente une charge via une ligne repr´esent´ esent´ee ee simplement par sa r´eactance eactance s´erie erie   X . Cononform´ement ement a` ce qui pr´ec` ec`ede, ede, le jeu de barres de gauche est pris comme balancier tandis que celui de droite est du type PQ (N P V   = 0, N P Q  = 1, N   = 2).

BALANCIER NOEUD PQ

V g  0

V    θ P, Q X  Figure 7.4: syst`eme eme simple a` 2 noeuds

La r´eactance eactance s´erie erie X  correspond  correspond au quadripˆole ole de la figure 7.1 figure 7.1 simplifi´  simplifi´e comme suit:

Gij   = 0   Bij   =

− X 1

  Bsij   =  B sji  = 0   nij   = 1   φij   = 0.

93

 

Les equations e´ quations de load flow se pr´esentent esentent sous forme d’une equation e´ quation de puissance active ((7.3 7.3)) et d’une equation e´ quation de puissance puissance r´ reactive e´ active (7.4 (7.4), ), toutes deux relatives au noeud PQ. Compte tenu des simplifications ci-dessus, ces relations deviennent: deviennent:

− P    =   V V  X 1   sin θ   ⇔

  P   P   =

g

− VX V   sin θ g

 

(7.8)

 1 V  2   V V g   (7.9) X V X V V g cos θ   Q = X   X   + X   X    cos θ   θ celle du noeud charge et P  + jQ  +  jQ  la consommation de ou`  V g  0 est la tension du balancier,  V     1  2 Q   = X V  X V 

−

−

  ⇔

−

celle-ci. celle -ci. On On retrouve retrouve les eequations ´ quations (3.11, 3.12) 3.12) de transf transfert ert de pui puissa ssance nce a` tr traavers ers une une r´eactance. eactance. Consid´erons erons les co condi nditio tions ns so sous us lesque lesquelle lless les equations e´ quations (7.8, 7.9) 7.9) on ontt un unee solu solutio tion. n. En eliminant ´ θ de ces relations, on trouve apr`es es calcul:

  V 2

2

+ (2QX  (2QX 

 2 g

 2

− V   )V   ) V 

+ X 2 (P 2 + Q2 ) = 0

En posant  V  2 =   y , cette derni`ere ere relation se pr´esente esente comme une eequation ´ quation du second degr´e en y . Pour avoir (au moins) une solution, le discriminant doit etre eˆ tre positif. positif. Apr`es es calcul, cette condition se pr´esente esente sous la forme:

P X  V g 2

2

−  −

  Q X  0.25 V g2 + 0.

≥0

 

(7.10)

 (P, Q), la courbe correspondant Dans le plan (P, correspondant a` l’´egalit´ egalit´e est une parabole parabole d’axe vertical, comme repr´esent´ esent´e a` la figure   7.5, 7.5, ou` l’on a consid´er´ er´e les grandeurs adimensionnelles   PX/V g2  et QX/V g2  plutˆot ot que P   et Q. 0.3

QX  V g2

0 solution

0.2

M 0.1

1 solution

φ

0

−0.1

2 solutions

−0.2

−0.3

−0.4 −0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

P X  V g2

Figure 7.5: condition d’existence d’une d’une solution Si le point  (P,  (P, Q) se situe “en dessous” de la parabole, le discriminant est est positif et l’ equation e´ quation en y  a deux solutions, donn´ees ees par:

  V g 2 y  = 2

  − QX  ±

 

V g4 4

94

  − X  P  − X QV  2

2

 2 g

 

V  est donn´e par finalement:

±√ y mais comme cette grandeur est positive par d´efinition, efinition, les solutions sont √  V  V    = + y   =

    − V g 2 2

QX 

±

 

V g4 4

  − X  P  − X QV  2

2

 2 g

On obtient la phase  θ  `a partir de (7.8 (7.8): ):

θ  =

−arcsin  VP V X  g

L’existence de deux solutions s’explique intuitivement en consid´erant erant que la puissance est le produit de la tension par le courant et qu’il y a donc deux fac¸ons ¸ons d’atteindre une puissance donn´ee: ee: avec une tension elev´ e´ lev´ee ee et un courant faible ou avec une tension faible et un courant eelev´ ´ lev´e. e.

 P    =   Q   = 0 la solution avec le On peut identifier la solution a` retenir comme comme suit. Lorsque Lorsque  P   V    = 0 tandis que celle avec le signe + est  V   V    =   V g . La premi`ere ere correspond a` un signe - est  V  court-circuit au noeud charge tandis que la seconde correspond `a une chute de tension nulle dans la r´eactance eactance  X . C’est donc la solution avec avec le signe + qui doit etre eˆ tre retenue.  ( P, Q) se situe “au-dessus” de la parabole, les equations Si le point  (P, e´ quations n’ont pas de solution. On peut donc interpr´eter eter la parabole comme le lieu des points de cons consommation ommation (ou de production, suivant le signe de  P ) maximale . Par exemple, exemple, le point M a` la figure 7.5 figure 7.5 correspond  correspond a` la puis =  P / P 2 + Q2 . sance maximale que l’on peut consommer, sous le facteur de puissance cos φ  = P Nous reviendrons plus en d´etail etail sur ces aspects dans la partie du cours ELEC0047 consacr´e a` la stabilit´e de tension.

√ 

7.4

Prise Prise en en compte compte de contr contraint aintes es de fonct fonctionn ionneme ement nt

Un sy syst` st`eme eme electr e´ lectriqu iquee de puiss puissanc ancee doit doit satis satisfai faire re un ce certa rtain in nombr nombree de co contr ntrain aintes tes de fon foncti ctiononnement, qui expriment que des grandeurs physiques ne doivent pas d´epasser epasser certaines limites. Math´ematiquement, ematiquement, une contrainte contrainte se pr´ pr esente e´ sente sous la forme d’une in´egalit´ egalit´ee::

h(v, θ )

≤0

 

(7.11)

ou`  h  est une fonction des modules et des phases des tensions. En pratique, h  ne fait intervenir i ntervenir qu’un petit nombre de ces variables. Si la solution d’un premier calcul de load flow ne satisfait pas une contrainte de fonctionnement, il est possible dans certains cas d’imposer la contrainte en question, sous forme de l’ l’´egalit´ e´ galit´ee:: h(v, θ ) = 0 a` condition de pouvoir ajouter une inconnu inconnuee pour equilibrer e´ quilibrer cette equation e´ quation suppl supplementaire. e´ mentaire. On resoud e´ soud alors le nouvel ensemble d’´equations; equations; on recommence recommence si n ecessaire. e´ cessaire. 95

 

Les contraintes les plus importantes pouvant etre eˆ tre trait´ees ees de cette cet te fac¸ on sont les pro productions ductions reactives e´ actives des g´en´ en´erateurs erateurs.. Supposon Supposonss qu’un g´en´ en´eerateur rateur soit connect´e au   i-`eme eme noeud et que en´eerateur rateur doit rester a` l’int´erieur erieur de celui-ci soit du type PV. La production r´eactive eactive   Qi  du g´en´ limites dict´ees ees par l’´echauffement, echauffement, voire la stabilit´ stabilite´ de son fonctionnement. Nous analyserons ces limites un peu plus en d´etail etail dans le chapitre 8 chapitre 8.. Ces limites s’expriment p par: ar: min

Qi ou encore:

max

  ≤ Q (v, θ ) ≤ Q i

i

Qmin Qi (v, θ) i Qi (v, θ) Qmax i

 −

−

 ≤   0   ≤ 0

ou`  Q i  est une fonction des tensions au  i -`eme eme noeud et a` tous ses voisins, comme le montre la relation (7.4 (7.4). ). Si a` l’issue du calcul, ou au cours de celui-ci, la production   Qi  vient a` d´eepasser passer la borne max sup´erieure erieure Q i   , on impose: Qi (v, θ) Qmax   (7.12) i   = 0

−

ce qui fait passer le noeud du type PV au type PQ. La tension  V i , pr´ec´ ec´edemment edemment fix´ee ee a` une o consigne V i   , devient une inconnue, ce qui augmente la dimension de v d’une unit´e. e. On r´esoud esoud alors l’ensemble des equations e´ quations pr´ec´ ec´edentes, edentes, augment´e de (7.12 (7.12). ). En fonctionnement normal, V i prend une valeur valeur inf´ inferieure e´ rieure a`  V i o . On proc`ede ede de la mˆeme eme mani`ere ere si la production vient a` passer sous la borne inf´erieure erieure Q imin   . o erieure a`  V i  . Dans ce cas, V i prend une valeur sup´erieure

7.5

Resolution e´ solution num´ numerique e´ rique des  des  equations e´ quations de load flow

Dans l’exemple simple a` 2 noeuds de la section 7.3, section  7.3, nous  nous avons pu r´esoudre esoudre analytiquement les equations e´ quations de load flow flow. Pour un r´ reseau e´ seau plus complexe, complexe, ce n’est pas possible. Les eequations ´ quations doivent etre eˆ tre r esolues e´ solues num´eriquemen eriquement. t. La m´ethode ethode la plus r´epandue epandue est celle de Newton (ou Newton-R New ton-Raphs aphson), on), dont nous rappelon rappelonss le principe principe avant avant de l’app l’applique liquerr au cas qui nous occ occupe. upe.

7.5.1

Meethode ´ thode de Newton: rappels

Cas d’une fonction scalaire  scalaire  a` une variable Soit a` r´esoudre: esoudre:

f  f ((x) = 0   avec   f   :  R Nous notons   f x   =

  df 

  la d´eriv´ eriv´ee ee de f  par  par rapport a`  x.

dx 96

→R

 

Ayant choisi une valeur initiale   x(0) , la m´ethode ethode de Newton consiste a` calculer la suite de points: (k +1)

x

=  x

(k )

−

  f  f ((x(k) ) f x(x(k) )

 

k   = 0, 1, 2, . . .

 jusqu’`a ce que:

f  f ((x(k+1) ) < ǫ

|

ou`  ǫ  est une tol´erance. erance.

|

Ce proc´ed´ ed´e it´eratif eratif est repr´esent´ esent´e graphiquement a` la figure 7.6 figure 7.6..

f ((x) f 

solution

(1)

(2)

x

x

(0)

x

x

Figure 7.6: illustration graphique de la m´ethode ethode de Newton Pour autant que   x(0) soit “suffisamm “suffisamment ent proche” proche” de la solution, solution, cette m´ethode ethode pr´esente esente une convergence rapide (quadratique).

Cas d’une fonction vectorielle  vectorielle  a` plusieurs variables Soit a` r´esoudre: esoudre:   avec   f   :  R n

f (x) =  0

→R

n

 par rapport a` x, c’est-`a-dire a-dire la matrice des d´eriv´ eriv´ees ees Nous notons   f x  la matrice jacobienne de f  par partielles telle que:

[f x ]ij   =

  ∂f i ∂x j

i, j   = 1, . . . , n

Ayant choisi une valeur initiale x initiale  x(0) , on calcule la suite de points: x(k+1) =  x (k)

(k)

− [f  (x x

)]−1 f (x(k) )

 

 jusqu’`a ce que:

max f i (x(k+1) ) < ǫ i

|

|

97

k   = 0, 1, 2, . . .

 

(7.13)

 

ou`  ǫ  est une tol´erance. erance. En pratique, plutˆo ott que d’invers d’inverser er la matrice jacobienne, on r´ resoud e´ soud le syst`eme eme lin´eaire: eaire: f x (x(k) ) ∆x  =

(k )

−f (x

)

 

(7.14)

et on incr´emente x emente x selon:  selon: x(k+1) =  x (k) + ∆x

 

(7.15)

La r´esolution esolution du syst`eme eme lin´eaire eaire se fait en deux etapes: e´ tapes: 1.   factorisation (aussi appel appelee e´ e LDU-d ecomposition ´  ´  ): elle consiste a` d´ecomposer ecomposer la matrice f x en:   (7.16) f x  =  L D U ou` L est une matrice triangulaire inf´erieure erieure a` diagonale unitaire, U est une matrice triangulaire sup´erieure erieure a` diagonale unitaire et D et  D une  une matrice diagonale, comme repr´esent´ esent´e `a la figure 7.7 figure 7.7..

1

X

O

1

O X

1 1

L

O

1

O

X

D

1

U

Figure 7.7: structure des matrices L matrices  L,,  D  et U  D et  U

2.   Substitution  du membre membre de droite. droite. En introdu introduisa isant nt (7.16 (7.16)) dans ((7.14 7.14), ), le syst`eme e me a` resoudre e´ soudre devient: L D U ∆x  = Ce dernier est r´esolu esolu a` son tour en deux etapes: e´ tapes:

−f 

(a) On r´esoud esoud d’abord: L y  =

−f 

par rapport a`  y  y,, (b) puis on r´esoud: esoud: U ∆x  =  D −1 y par rapport a`  ∆x. Ces deux op´erations erations sont simples etant e´ tant donn´e le caract`ere ere triangulaire des matrices impliqu´ees. ees. 98

 

7.5.2 7.5. 2

Appl pplicat ication ion au load flow

La matrice jacobienne des equations e´ quations (7.3, (7.3, 7.4) 7.4) se suit:   f v   f x  = gv  



d´ecompose ecompose en quatre sous-matrices comme f θ gθ



 

(7.17)

La caract´eeristique ristique principale de cette matrice est d’ˆetre etre tr`es es  creuse, c’est-`a-dire a-dire de comporter une tr`es es grande proportion d’´eel´ l´ements ements nuls. Cette propri´eet´ t´e vient du fait que chaque equation e´ quation de load flow (7.3 (7.3,,   7.4) 7.4) ne fait intervenir que la tension du noeud auquel elle se rapporte et celless des noeuds celle noeuds voisins. voisins. Plus le r´ reseau e´ seau trait´e est grand, grand, plus la proportion proportion d’´eel´ l´ements ements nuls augmente, le nombre moyen de voisins d’un noeud restant constant. Les matrices creuses sont manipul´eees es en faisant appel a` des algorithmes sp´eciaux eciaux4 dont le principe peut se r´esumer esumer comme suit:

•  seuls les eel´ ´ l´ements ements diff´erents erents de z´ero ero sont stock´es. es. Un syst`eme eme de pointeurs permet de parcourir les eel´ ´ l´ements ements non nuls pr´esents esents dans une ligne ou une colonne de la matrice d’origine;

•   en ne manipulant manipulant que ces eel´ ´ l´ements, ements, on evite e´ vite toutes les op´eerations rations ma math th´ematiques e´ matiques inutiles impliquant des z´eros; eros;

•   lors de la factorisation de la matrice, matrice, on permute ses lignes eet/ou t/ou ses colonnes colonnes de mani`ere ere

a` ce que le nombre de nouveaux eel´ ´ l´ements ements non nuls cr´ees ees par cette op´eration eration reste le plus 5 faible possible . L’ordre ’ordre dans lequel lequel les lignes et/ou colonnes colonnes vont vont etre eˆ tre trait´ees ees6 est d´ecid´ ecid´e par analyse des emplacements des eel´ ´ l´ements ements non nuls. Cette analyse est souvent effectu´ee ee avant avant de proc´ proceder e´ der aux calculs proprement dits. Si n´ecessaire, ecessaire, les permutations sont combin´ees ees avec avec les op´ operations e´ rations de pivotage, pivotage, destin´ destinees e´ es a` pr´eserver eserver la pr´ecision. ecision.

L’algorithme de Newton (7.14 (7.14)) comporte en principe la mise a` jour de la matrice jacobienne a` chaque it´eeration. ration. On peut cependant gagner du temps de calcul en conservant cette matrice consta con stante nte apr` es esde quelques it´ iteerations. ´ rations. effet, autant l’algorithme converge, conEn verge, la solution ne d´ epend epend pas la matrice choisieEn dans le pour membre de que gauche de ((7.14 7.14). ). prat pratique, ique, pour pour eeviter ´ viter la divergence, la matrice ne sera bloqu´ee ee que lorsque l’amplitude des fonctions  f i  sera suffisamment suffisamme nt faible, ce qui est l’indice que l’on est proche de la solution. Quand la matrice n’est plus mise a` jour, ses facteurs L facteurs  L,,  D  D et  et U  U ne  ne le sont plus non plus et l’on ne proc`ede ede plus qu’`a l’´etape etape de substitution. Enfin,, si l’on Enfin l’on ne di disp spos osee pa pass d’un d’unee estim estimat atio ion n plus plus pr´eecise cise,, la s´equenc equencee d’it´ d’it´erat e ratio ions ns est est d´emarr´ emarr´ee ee en initialisant toutes les composantes de v `a 1 pu et toutes celles de θ  `a z´ero ero (plus pr´ecis´ ecis´ement: ement: 4

en anglais:   sparsity programming rappelons qu’on ne modifie pas la solution d’un syst`eme eme lin´eaire eaire si l’on permute l’ordre des lignes ou des colonnes, a` condition evidemment e´ videmment de r´eepercuter percuter ces permutations sur le vecteur des inconnues et sur le terme ind´eependant pendant 6 en anglais:  optimal ordering 5

99

 

a` la phase suppos´eeee pour le bala balancie ncier). r). Les tensions tensions aux aux noeuds PV sont sont eevidemment ´ videmment initialis´ees ees aux valeurs sp´ecifi´ ecifi´ees ees pour ces noeuds. L’algorithme ci-apr` ci-aprees ` s r´esume esume les diff´erentes erentes etapes e´ tapes du calcul.

Load flow par par la m ethode e´ thode de Newton 1.   k   := 0 2. initialiser   v(0) et θ (0) 3. calculer   f (v(k) , θ(k) ) 4. SI   maxi gi (v(k) , θ(k)

|

o

− p et   g(v ) − Q | < δ  : o i

(k )

, θ (k) )

o

−q

Q

tester les limites r´eactives eactives des g´ gen´ e´ n´eerateurs rateurs SI d´epassements: epassements: basculer les noeuds correspondants de PV en PQ aller en 3 5. SI   maxi f i (v(k) , θ(k) )

| 6. SI   max |f  (v i

i

(k )

, θ(k)

o i

P 

  et   maxi gi (v(k) , θ (k) )

o i

P  P 

  ou   maxi gi (v(k) , θ (k)

− P  | < ǫ ) − P  | > β 

|

|



calculer et factoriser la matrice jacobienne:

  

  ∆v   po  = 7. r´esoudre esoudre   LDU ∆θ qo

, θ (k) ) (k) , θ(k) )

(k )

− f (v − g(v

o i

− Q | < ǫ   : STOP ) − Q | > β    : 

  f v   f θ gv   gθ

Q

o i

Q

 =  LDU



8. incr´ementer ementer les inconnues:   v(k+1) :=  v (k) + ∆v   θ (k+1) := θ (k) + ∆θ

:= k  k +  + 1 9.   k   := 10. aller en 3. 3. Dans cet algorithme:

δ Q  est le seuil de puissance r´eactive eactive en dessous duquel on consid`ere ere que les productions reactives e´ actives des g´ gen´ e´ n´eerateurs rateurs sont connues av avec ec une pr´ precision e´ cision suffisante suffisante pour tester les limili mites de celles-ci

ǫP    (resp.   ǫQ ) est la tol´eerance rance en dessous de laquelle on consid`ere ere que les equations e´ quations de puissance active active (resp. r´ reactive) e´ active) sont r´ resolues e´ solues (p.ex. 0.1 MW, 0.1 Mvar)

β PP     (resp.   β Q ) est un seuil de de puissance puissance activ activee (resp. (resp. r´eactive) eactive) en dessous duquel on ne rafraˆıchit ıchit plus la l a matrice matr ice jacobienne. jaco bienne. 100

 

7.6

Decouplage  e´ couplage  electrique e´ lectrique

A la section 3.1.2, section  3.1.2, nous  nous avons mis en evidence e´ vidence le d´ecouplage ecouplage electrique e´ lectrique qui existe dans les reeseaux ´ seaux de transport entre les puissances actives et les phases des tensions, d’une part, les puissances r´eactiv eactives es et les modules modules des tensions, tensions, d’autre d’autre part. Cette propri´ propri´eet´ t´e se marque au niveau de la matrice jacobienne par le fait que les sous-matrices f  sous-matrices  f   et  g  (cf Eq. (7.17 (7.17)) )) sont v θ dominantes, comme le montrent les calculs ci-apr`es. es. A partir de (7.3 (7.3), ), on calcule ais´ement ement les d´eriv´ eriv´ees ees partielles suivantes:

∂P i = 2V i Gij ∂V i  j ∈N (i)



∂P i = ∂V   jj ∂P i = ∂θ i

  − nV 

∂P i = ∂θ j

  − V nV  [G

i

−

V  j [Gij cos(  cos(θθi n ij  j ∈N (i)

[Gij cos(  cos(θθi

ij



− θ  + φ  +  φ  j

V i V  j [Gij sin(  sin(θθi n ij  j ∈N (i)



i  j

 sin(θθi ij  sin(

ij

 +  φ − θ  + φ  j

+  Bij sin(  sin(θθi ij ) + B

− θ  + φ  +  φ  j

− θ  + φ  +  φ ) − B  j

 cos(θθi ij  cos(

ij

− θ  + φ  +  φ ) − B  j

 cos(θθi ij  cos(

ij

+  Bij sin(  sin(θθi ij ) + B

 +  φ − θ  + φ  j

ij )]

ij )]

− θ  + φ  +  φ  j

− θ  + φ  +  φ  j

ij )]

ij )]

Si l’on suppose que les l es modules des tensions et les rapports des transformateurs sont proches de l’unit´e: e: V i   =  V   jj   =  n ij   1 pu

 ≃

et que le d´eephasage phasage angulaire le long de chaque branche est faible:

θi

− θ  + φ  +  φ  ≃ 0  j

ij

les d´eriv´ eriv´ees ees partielles ci-dessus deviennent:

∂P i ∂V i

≃

 j



∂P i ∂V   jj

Gij

∈N (i)

∂P i ∂θi

≃ −G

ij

≃−

 j



∂P i ∂θ j

Bij

∈N (i)

≃B

ij

 ≪ |B | dans les r´eseaux eseaux de transport, transport, on en d´ deeduit ´ duit que: | ∂P  |, | ∂P  | ≪ | ∂P  |, | ∂P  | ∂V  ∂V  ∂θ ∂θ

Etant donn´e que Gij

ij

i

i

i

i

i

  jj

i

 j



V  j [Bij cos(  cos(θθi nij

On a de mˆeme eme pour la puissance r´eactive: eactive:

∂Q i = ∂V i

  −2[2[BB

si  +



(Bij  + B  +  Bsij )] )]V  V i  +

 j

 j

 +  φ ) − G − θ  + φ  j

ij

∂Q i   V i = [Bij cos(  cos(θθi θ j  + φ  +  φij ) Gij sin(  sin(θθi θ j  + φ  +  φij )] ∂V   jj nij V i V  j ∂Q i [Bij sin(  sin(θθi θ j  + φ  +  φij ) + G +  Gij cos(  cos(θθi θ j  + φ  +  φij )] = n ∂θ i ij  j ∈N (i) ∂Q i   V i V  j = [Bij  sin(  sin(θθi θ j  + φ  +  φij ) + G +  Gij cos(  cos(θθi θ j  + φ  +  φij )] ∂θ j nij

−

 −



−

−

−

−

−

−

101

 sin(θθi ij  sin(

 +  φ − θ  + φ  j

ij )]

 

En appliquant les mˆemes emes simplifications que ci-dessus:

∂Q i ∂V i

≃ −2[2[BB

si  +  j



(Bij  + B  +  Bsij )]

∈N (i)

  ∂Q i ∂V  j j

∂Q i = ∂θ i

≃B

ij

−

 j



∈N (i)

Gij

∂Q i ∂θ j

≃G

ij

 ≪ |B |, on trouve: | |, | ∂Q | ≫ | ∂Q |, | ∂Q | ∂Q ∂θ ∂θ ∂V  ∂V 

et en consid´erant erant a` nouveau que G ij

ij

i

i

i

i

i

 j  j

i

 j

Ces in´egalit´ egalit´es es confirment bien les propri´etes etes de d´ecouplage ecouplage electrique e´ lectrique rappel´eees es plus haut. La dominance des sous-matrices f  sous-matrices  f θ   et  ecoupl´  ee et   gv  est a` la base de la variante   d ecoupl ´  ´  ´  rapide de la methode e´ thode de Newton, Newton, qui consiste a` incr´ementer ementer en alternance les phases et les modules en utilisant les equations e´ quations actives (7.3 (7.3)) et la matrice f θ  pour les premi`eres, eres, les equations e´ quations r´eactives eactives (7.4 (7.4)) et la matrice g matrice gv pour les seconds.

7.7

L’appro ’approxima ximation tion du couran courantt contin continu u (ou DC load load flow) flow)

courant continu continu est un mod`ele L’approximation du courant ele simplifi´ simplifi´e de l’´ecoulement ecoulement de puissance puissance dans un r´eseau, eseau, qui consiste a: a` :

•  approximer la relation entre puissances actives et phases des tensions par une fonction lin´eaire eaire

•   n´eegliger gliger les pertes actives dans toutes les branches •   supposer que les les modules des tensions tensions sont tous egaux e´ gaux a` 1 pu •   n´egliger egliger les transits de puissance r´eactive. eactive. Etant donn´etr` son caract`ere ere lin´ eaire eaire que et non it´eratif, ecalculer ratif, ce par mod` ele ele simplifi´e est pour all´eger eger des calculs es es volumineux ainsi pour superposition les utilis´ effetse de plusieurs modifications appliqu´eees es au r´eseau. eseau. En g´en´ en´eeral, ral, l’erreur commise sur les transits de puissance active est de l’ordre de quelques pourcents de la valeur exacte.

 =  V   jj On suppose donc:   V i  = V 

 ≃ 1 pu

Cette ap Cette appro proche che s’appl s’appliqu iquant ant ex exclu clusi sive vemen mentt aux r´esea e seaux ux de trans transpo port rt,, on supp suppos osee comm commee pr´eec´ c´edemment edemment que les conductances sont n´egligeables: egligeables:

Gij

 ≃ 0

Il en r´esulte esulte que:

Bij   =

 1 − X 

iijj

102

 

eactance eactance s´erie erie de la branche  ij . ou`  X ij ij  est la r´ Enfin, on n´eeglige glige l’effet des transformateurs en prenant:

 ≃ 1

nij

En introduisant ces simplifications dans l’expression (7.3 ( 7.3)) de la puissance active inject´eeee au i-eme e` me noeud, on trouve ais´ement: ement:

P i

 ≃

1 sin(θθi sin( X  ij i j  j ∈N (i)



− θ  + φ  +  φ  j

ij )

et, en supposant enfin que les d´ephasages ephasages angulaires sont faibles, on obtient l’expression lin´earis´ earis´ee: ee:

P i

 ≃

 j

θi



 +  φ − θ  + φ  j

ij

(7.18)

X iijj

∈N (i)

Les conductances  G ij   etant e´ tant n´eglig´ eglig´eees, es, les pertes actives le sont aussi et le bilan de puissance active du syst systeme e` me s’´ecrit: ecrit: N 



−  −

N  1

P i  = 0

i=1

 ⇔

  P N  N   =

P i

i=1

Les modules des tensions etant e´ tant suppos´es es egaux e´ gaux a` 1 et les transits de puissance r´eactive eactive etant e´ tant n´eglig´ eglig´es, es, le module du courant dans la branche ij  vaut  en per unit :

 +  φ θ  + φ | | | θ − X  | i

I iijj   = P iijj =

 j

ij

iijj

Supposonss pour simplifier Supposon simplifier qu’il n’y a pas de transforma transformateurs teurs d´ephaseur ephaseurss dans le syst`eme (φij   = 0). En regroupant les relations (7.18 (7.18)) sous forme matricielle, les equations e´ quations de load flow sous l’approximation du courant continu s’´ecrivent: ecrivent: po =  A θ

 

et   θ  sont les vecteurs de dimension  N  ou`   po et d´efinie efinie par:

(7.19)

 − 1 d´  −  d efinis e´ finis pr´ec´ ec´edemment edemment et la matrice  matrice   A  est

[A]ij   = [A]ii   =

 1   − X 

ij ij

1 X iijj  j ∈N (i)



 −  i  = 1, . . . , N −   1

i, j   = 1, . . . , N   1;   i =  j

Exemple 103

 

P 1

1

3

X 13 13

P 3

X 13 13

V c1

V c3

P 1

3

X 34 34

X 12 12

X 14 14

−P 

X 34 34

X 14 14

X 12

V c4

2

4

X 24 24

−P 

2

X 24 24

P 2

P 4

V c2

P 4

a.

b. Figure 7.8: exemple a` 4 noeuds

Consid´erons erons le r´eseau eseau a` 4 noeuds de la figure 7.8 figure 7.8.a. .a. Le noeud 4 est pris comme balancier, avec P 4  = P 1 + P   +  P 2  + P   +  P 3   et   θ4   = 0.

−

Avec les r´eactances eactances et les puissances actives d´efinies efinies a` la figure 7.8. figure  7.8.a, a, les equations e´ quations de load flow sous l’approximation du courant courant continu s’´ s’ecrivent: e´ crivent:

    −   − P 1 P 2 P 3

1 X 1122

 =

+

  1 +  X 114 X 13 13 14  1 X 12 12  1 X 13 13

 1 X 1122 +  X 12244  

−

1 X 1122

− −

− 1 X 1133

0

 1 X 1133

0 +

  1 X 3344

     θ1 θ2 θ3

 

(7.20)

Il est temps de justifier la terminologie “courant continu”. Consid´erons erons pour cela le circuit de la figure 7.8. figure  7.8.b, b, qui a la mˆeme eme topologie topologie mais est purement purement r´ resistif, e´ sistif, la r´esistance esistance de chacune de ses branches etant e´ tant egale e´ gale a` la r´eactance eactance de la branche correspondante du r´eseau eseau de la figure 7.8.a. 7.8 .a. Supposons que l’on injecte aux noeuds de ce circuit des courants continus valant respectivement  P 1 , P 2 , P 3 , P 4 . En prenant le noeud 4 comme r´ef´ ef´erence erence des tensions, la m´ethode ethode des noeuds fournit les relations:

− −

    −   − P 1 P 2 P 3

 =

1 X 1122

+

  1   1 + X 13 X 14 13 14  1 X 12 12  1 X 13 13

− −

 1 X 12 12 +  X 12244  

−

1 X 12 12

0

− 1 X 1133

 1 X 1133

0 +

  1 X 3344

  

V c1 V c2 V c3

− V  − V  − V 

c4 c4 c4

 

En supposan supposantt V c4   = 0, o on n vo voit it qu quee les les tens tensio ions ns cont contin inue uess aux aux noeu noeuds ds du ci circ rcui uitt de la figur figuree 7.8.b 7.8.b ne sont rien d’autre que les phases des tensions aux noeuds du r´eseau eseau de la figure 7.8. figure 7.8.a. a.

7.8 7. 8

Analy Analyse se de sens sensib ibil ilit it´e´

La m´ethode ethode de Newton est non seulement efficace pour r´esoudre esoudre les equations e´ quations de load flow mais elle offre egalement e´ galement la possibilit´e d’effectuer d’effectuer une analyse de sensibilit´ sensibilite, e´ , comme expliqu expliqu´e´ 104

 

ci-apr`es. es.

7.8. 7.8.1 1

For ormu mule le gen´ e´ nerale e´ rale de sensibilit´ sensibilite´

Pour les d´eveloppements eveloppements qui suivent, il est confortable de pr esenter e´ senter les equations e´ quations de load flow sous la forme compacte: φ(x, p) =  0   (7.21) ou`   x  est le vecteur des modules et phases des tensions et   p  un vecteur de param`eetres. tres.   x  est aussii appel´ auss appel´e   vecteur d’´  d’etat   car, une fois ce vecteur connu, on peut calculer l’´etat etat electrique e´ lectrique ´   car, complet du syst`eme. eme. Soit n =  n  = N   N P V   + 22N  N P Q la dimension de x de  x et  et m celle de p de  p.. Les d´eveloppements eveloppements qui suivent sont souvent utilises e´ s dans le cas o`u les composantes de p de  p sont  sont des productions ou des consommations nodales mais on peut egalement e´ galement les appliquer a` des imp´edances edances de branches, des des rapports de transformation, transformation, etc. . . Soit η(  η (x, p) une grandeur electrique, e´ lectrique, fonction du vecteur vecteur d’´ d’etat e´ tat x et eeventuellement ´ ventuellement du vecteur de param`etres p etres p.. Suivant l’application, il peut s’agir de la tension en un noeud, du transit de puissance dans une branche, branche, de la production r´ r eactive e´ active d’un g´ geen´ ´ n´erateur, erateur, des pertes actives dans le syst`eme, e me, etc etc.. . . etres. Supposons que l’on equation (7.21 (7.21)) pour la valeur p valeur  p ⋆ des param`etres. Soit  x ⋆ la solution de l’´equation Soit x d´esire esire calculer de combien varierait   η   si l’on imposait une variation variation ∆p des param`etres etres et que l’on recalculait l’´etat etat du syst`eme. eme. Une solution “brutale” consiste a` r´ r esoudre e´ soudre les equations e´ quations de load flow pour la nouvelle valeur des param`etres, etres, c’est-`a-dire a-dire a` rechercher la valeur ∆ x telle que: φ(x⋆ + ∆x, p⋆ + ∆p) =  0

 

(7.22)

et a` calculer la valeur correspondante correspondante de η  :   η (x⋆ + ∆x, p⋆ + ∆p). Cependant, si on se limite a` de petites variations, il est possible de calculer   directement   le vecteur des sensibilit sensibilit´es e´ s de η  `a  p  :  p :

S ηp   =

  

∆η lim ∆ p →0 ∆ p1 1

.. .

∆η ∆ pm →0 ∆ pm lim

  

esimales d p et A cette fin, remplac remp lac¸¸ons o ns les variations finies fin ies  ∆ p et  ∆ x par des variations infinit´esimales dx et lin´earisons earisons (7.22 (7.22): ): φ(x⋆ + dx, p⋆ + dp)

⋆

⋆

≃ φ(x , p ) + φ

x

dx + φp dp = φx dx + φp dp  =  0

105

 

(7.23)

 

ou` φx (resp.  (resp. φ  φ p ) est la matrice jacobienne de φ par rapport a` x (resp.  (resp.   p), de dimensions n (resp.  n m).

×

×n

Supposant que la matrice φx n’est pas singuli`eere, re, on tire de ((7.23 7.23): ):

dx =

−φ−   φ 1

x

p

dp

 

(7.24)

 η((x, p) donne par ailleurs: Une lin´earisation earisation de la fonction η



dη dη =  =

i

∂η dpi + ∂p i

 i

∂η dxi ∂x i

soit, sous forme matricielle:

dη dη   =  d pT 

T 

∇ η + d  +  dx ∇ η

ou: u` :

∇ η  = p

 

p

 

∂η ∂p 1

.. .

∂η ∂p m

 

x

  ∇ η  = x

 

∂η ∂x 1

.. .

∂η ∂x n

(7.25)

 

En introduisant (7.24 (7.24)) dans (7.25 (7.25), ), on a: T 

dη = dη  = d  d p

T 

T 

∇ η − dp p

 − ∇ T 

φp φx

1

x

T 

η   =  d p

∇

p

η

−φ

T  p

 − ∇  1

φT  x

x

η

relation qui fournit directement les sensibilit´es es recherch´ees: ees:

S ηp  =

∇ η−φ p

T  p

 − ∇ φT  x

1

x

η

 

(7.26)

En pratique, la proc´edure edure pour calculer ces sensibilit sensibilit´es e´ s est la suivante: 1. calculer

 ∇ η x

etant disponible disponible sous forme factoris´ factoris´ee ee a` l’issue de l’algorithme de Newton, Newton, 2. la matrice φx  ´etant resoudre e´ soudre le syst`eme eme lin´eaire: eaire: φT  xη x   y  =

∇

par substitution 3. calculer   S ηp   =

T 

∇ η−φ p

p y.

Comme on le voit, il est possible d’obtenir le vecteur des sensibilit´eess en effectuant une seule op´eration eration de substitution.

106

 

7.8. 7.8.2 2

Ex Exem empl ples es

Dans les exemples qui suivent, on calcule la sensibilit´e de diff´erentes erentes grandeurs aux  n  puissances actives actives et r´ reactives e´ actives sp´ecifi´ ecifi´ees ees aux noeuds du r´eseau. eseau. Consid´erant erant les equations e´ quations de load flow sous la forme (7.6, (7.6, 7.7), 7.7), on a: p  =

    poo q

ou`  U  U est  est la matrice unit´e de dimensions n

 

et

 

φp  =

−U

× n.

Sensibilit´e´ de la tension du i-eme Sensibilit e` me noeud On a simplement:

η  = V   =  V i

  ∇ η  =  0   ∇ η   = e p

x

V i

ou`  eV i  est un vecteur unit´e dont toutes les composantes sont nulles, sauf celle correspondant a` V i , qui vaut 1. En rempl r emplac ac¸ant dans (7.26), 7.26), on obtient simplement:

 −

T  S V  Vi  p   = φx

1

eV i

Sensibilit´e´ de la production r´ Sensibilit reactive e´ active du i-eme e` me g´ gen´ e´ nerateur e´ rateur Le g´en´ en´erateur erateur consid´er´ er´e doit etre eˆ tre du type PV. En effet, s’il ´eetait tait du type PQ, sa production reactive e´ active serait sp´ecifi´ ecifi´ee ee et la sensibilit´e de celle-ci a` n’importe quel param`eetre tre serait nulle. La puissance puissance r´ reactive e´ active g´en´ en´eer´ r´ee ee  Q gi (x)  est donn´ee ee par la formule (7.4 ( 7.4). ). Le vecteur xη  a ses composantes nulles, a` l’exception de celles correspondant au noeud  i et a` ses voisins.

∇

On a:

η   =  Q gi (x)

  ∇ η  = 0 p

 

−1 S Qgi p   = φT  x

 

∇Q x

gi

Sensibilit´e´ des pertes actives Sensibilit

 η((x), il est possible d’additionner les pertes dans toutes les branches Pour obtenir la fonction  η du r´eseau, eseau, chacune etant e´ tant une fonction des tensions aux extr´emit´ emit´es es de la branche. branche. Une m ethode e´ thode plus directe et plus pr´eecise cise consiste a` passer par le bilan de puissance ((7.5 7.5)) dont on d´eduit eduit que les pertes valent :

−

 p =  p  = P   P N N    +

−

N  1

N  1

P i   =  P N N  (x) +

i=1

i=1

107

P i

 

Le prem premie ierr te term rmee du memb membre re de dr droi oite te repr´ repr´esen e sente te la pr prod oduc uctio tion n du g´een´ n´eerateur rateur balancier, balancier, donn´ee ee par la formule (7.3 (7.3). ). Le vecteur x η  a ses composantes nulles a` l’exception de celles correspondant au noeud balancier balancier et a` ses voisins.

∇

On a:

−

N  1

η  = P   =  P N (x) +

 i=1

P i

p

  ∇

 1 η = 0

 

 

S  pp  =

 1 0

T 

+

1 x

   − ∇ φx

P N 

et  0 est  est ou`  1 est eme dimension que p que  p o dont toutes les composantes valent 1 et 0  1  est un vecteur de mˆeme o un vecteur nul de mˆeeme me dimension que que q  q .

108

 

Chapitre 8 La machine synchrone La majeure partie de l’´energie energie electrique e´ lectrique est produite a` l’heure actuelle par les machines synchrones chro nes des centrale centraless thermiques thermiques et hydrauliqu hydrauliques. es. Les machines machines synchrones synchrones jouent jouent un r o ole ˆ le important: ce sont elles qui imposent la fr´equence equence du syst`eme eme et elles permettent de produire et absorber de la puissance r´eactive, eactive, n n´ecessaire e´ cessaire a` la r´egulation egulation des tensions. Dans ce chapitre nous donnons le principe de fonctionnement et nous ´etablissons etablissons un mod`ele ele dynamique g´en´ en´eral eral de ce composant composant important. Nous consid´ considerons e´ rons ensuite le cas particulier du foncti fon ctionn onneme ement nt en r´egime egime etabli e´ tabli.. Nous Nous termin terminons ons par par les limites limites de foncti fonctionn onneme ement nt ad admis missib sible. le.

8.1 8. 1

Princi incip pe

Une machine synchrone est constitu´ee: ee:

•  d’un stator, dot´e d’un ensemble de trois enroulements triphas´eses d´ecal´ ecal´es es de 120 degr´es es les uns par rapport rapport aux autres. En r´ regime e´ gime eetabli, ´ tabli, ces enroulements sont parcourus par des

courants triphas´es es equilibr´ e´ quilibr´es. Comme expliqu´e a` la section 2.6, section 2.6, ces  ces courants produisent  ω /p, ou`  ω  est la dans l’entrefer de la machine un champ tournant a` la vitesse angulaire  ω/p pulsation des courants et p le nombre nombre de paires paires de pˆo oles les de la machine. Pour faire simple,  p  = 1; nous supposons provisoirement que p =

•  d’un rotor, dot´e d’un enroulement  d’excitation.

En r´eegime gime etabli, e´ tabli, cet enroulement est parco par couru uru par du couran courantt co contin ntinu. u. Ce dernie dernierr produi produitt dans dans l’entr l’entrefe eferr un ch champ amp magn´ magn´etique etique fixe par rapport au rotor.

Une machine synchrone est caract´eris´ eris´eeee par le fait qu’en r egime egime  le rotor tourne   a` la ´  ´    etabli ´  meme ee  vitesse de synˆ  vitesse  ω  que le champ produit par le stator . Cette vitesse est appel´ee chronisme. En cons´equence, equence, les champs statorique et rotorique sont fixes l’un par rapport a` l’autre et tournent tous deux a` la vitesse de synchronisme. 109

 

Ces deux champs tendent a` s’aligner a` la fac¸on de deux aimants attir es e´ s l’un l’un par l’autr l’autre. e. Si l’on cherche a` les ecarter, e´ carter, un couple de rappel s’y oppose (du moins jusqu’` jusqu’a` un certain point). Ce couple de rappel est appel´e  couple   electromagn´  electromagn ´  etique ´  . Il est a` l’origine de la conversion d’´energie energie m´ecanique ecanique en energie e´ nergie electrique e´ lectrique et invers´eement. ment. Consid´erons erons plus pr´ecis´ ecis´ement ement les deux situations suivantes:

•   supposons que que l’on applique au rotor de la machine un couple m´  mecanique r esistant   T   T  , ´  ´  ´  m

oppos´e a` la rotation, comme si l’on voulait voulait freiner le rotor. rotor. Dans ce cas, il apparaˆ apparaˆııtt un couple de rappel   T e  de mˆeme eme sens sens que la rotation. Cette situatio situation, n, repr´eesent´ sent´ee ee a` la figure 8.1 figure  8.1 (partie  (partie gauche), est celle d’un  moteur synchrone entraˆınant ınan t un ventila vent ilateur, teur, une  ω T e ; pompe,, eetc. pompe tc. . . La puissance puissance m´ecanique ecanique transmise au rotor par le moteur est  ωT 

•   suppos supposons ons que l’on l’on appl appliqu iquee au rotor rotor de la la machi machine ne un couple m´  mecan ecanique d’entraˆ  ınement  ´  ique d’entra ˆ  T m , dans le mˆeeme me sens que la rotation, comme si l’on voulait acc´eel´ l´erer erer le rotor rotor.. Dans ce cas, il apparaˆ appar aˆıt ıt un u n couple de rappel  T e  de sens oppos´e a` la rotation. rotation. Cette situation situation,, en´  synchrone  en repr´esent´ esent´ee ee a` la figure 8.1 figure  8.1 (partie  (partie droite), est celle d’un   gen ´  erateur ´   entr traˆ aˆın ın e´  ω T e . par une turbine. La puissance m´ecanique ecanique transmise par par la turbine t urbine au rotor est  ωT 

T e

T m

T m

T e

 

ω  

ROTOR

ω ROTOR

générateur

moteur

Figure 8.1: orientation relative des des couples et de la vitesse Notons que, dans un cas comme dans l’autre:

•  en r´egime egime etabli, e´ tabli, la vitesse de rotation du rotor est constante et egale e´ gale a`  ω ; les couples T 

m

et T e sont donc de mˆeme eme amplitude;

•  au fur et a` mesure que l’on augmente le couple m´ecanique ecanique  T  , les deux champs magn´eem

tiques s’´eecartent cartent l’un de l’autre mais continuent a` tourner a` la mˆeme eme vitesse;

•  il existe une valeur maximale du couple de rappel   T  . Si le couple  T   tend a` depasser e´ passer e

m

cette valeur, valeur, il n’est plus possible de l’´ l’equilibrer; e´ quilibrer; le rotor ne peut plus tourner tourner a` la vitesse de synchronisme. On parle de  rupture de synchronisme.

110

 

8.2

Les deux deux types types de machine machiness synchr synchrone oness

Les machines synchrones ont toutes un stator portant des enroulements triphas´ees, s, comme indiqu´e pr´ec´ ec´edemment. edemment. Notons que ce stator est constitu´e par un empilement de tˆoles oles (r´ealis´ ealis´ees ees dans un mat materiau e´ riau a` haute perm´eabilit´ eabilit´e magn´etique) etique) de mani maniere e` re a` r´eduire eduire le plus possible l’effet des courants de Foucault. En revanche, on distingue deux types de machines synchrones, en fonction de la structure du rotor: 1. Machines  a` rotor lisse: cf figure 8.2. figure 8.2.

Figure 8.2: machine a` rotor lisse ( p  p =  = 1) Ces machines, appel appelees e´ es egalement e´ galement  turbo-alternateurs, sont g´een´ n´eeralement ral ement entraˆ en traˆın´ ınees e´ es par des turbines a` vapeur ou a` gaz. Ces derni`eres eres fonctionnent de pr´ef´ ef´erence erence a` des vitesses eelev´ ´ lev´ees. ees. Conform´ement ement aux consid´erations erations de la section 2.6 section  2.6,, ces machines synchrones comportent une, ou au plus deux, paires de pˆoles. oles. Dans Dans un un syst` syst`eme eme a` 50 Hz, elles tournent donc a` 3000 tours par minute ( p   = 1, centrales thermiques classiques) ou a` 1500 tours par minute ( p = eaires).  p  = 2, centrales nucl´eaires). Le rotor est constitu constitu´e´ d’un cylindre en acier forg´ee,, de forme allong´eeee dont le diam`etre etre est relativement petit par rapport a` la longueur, afin de r´eduire eduire les contraintes m´eecaniques caniques li li´ees e´ es a` la force centrifuge. Les conducteurs de l’enroule l’enroulement ment d’excitation sont log´eess dans des encoches, creus´eees es longitudinalement dans le rotor rotor,, comme montr´ montre´ a` la figure 8.2 figure 8.2.. Les turbo-alternateurs d’une puissance sup´erieure erieure a` 100 MVA tournent g´een´ n´eeralement ralement dans l’hydrog`ene, ene, utilis´e pour ses bonnes capacit´es es d’´evacuation evacuation de la chaleur. 2. Machines  a` poles ˆ  saillants: cf figure 8.3 figure 8.3.. Ces machin Ces machines es sont sont g´en´ en´eeralement ralement entraˆın´ ıneees ´ es par par des des turbin turbines es hydrau hydrauliqu liques es1. Ces derni`eres eres tournent a` des vitesses nettement plus faibles que les pr´ec´ ec´edentes. edentes. Les machines machines synsyn1

ou, dans les installations de petite taille, par des moteurs diesels

111

 

 p  = 2) Figure 8.3: machine a` pˆ poles oˆ les saillants ( p = chrones qu’elles qu’el les entraˆınent ınent doivent donc comporter compo rter un nombr nombree de paires de pˆ poles oˆ les beaucoup plus elev´ e´ lev´e (au moins quatre en pratique). Or, il serait malais´e de loger de nombreux poles oˆ les dans un rotor cylindrique comme celui de la figure figure 8.2  8.2.. Il est plus indiqu´e de les placer en st“excroissance” comme e: sent´ e a`minimum la figure 8.3. figure  8.3.  L’entrefer telle machine n’est n’e pas d’ epaisseu e´ paisseur r constante constarepr´ nte esent´ il est en face d’un pˆole od’une le et maximum entre deux pˆoles. oles. Compar´e a` celui d’un turbo-alternateur de mˆeme eme puissance, le rotor a` poles oˆ les saillants pr´esen e sente te un diam` diam`etre etre nette nettemen mentt plus plus elev´ e´ lev´e (force (forcess centr centrifu ifuges ges plus plus faibl faibles) es) et une longue longueur ur nettement plus courte. Le rotor est g´en´ en´eeralement ralement constitu´e d’un empilement de tˆoles oles magn´etiques etiques serr´ees ees les unes contre les autres. L’ensemble est cal´e sur l’axe de la machine, con constitu stitu´e´ d’un cylindre de diam`etre etre plus faible. Enfin, de nombreuses machines sont equip´ e´ quip´ees ees d’amortisseurs . Dans les machines a` rotor lisse, il s’agit de conducteurs plats, log´es es dans les mˆemes emes encoches que l’enroulement d’excitation et reli´es es en leurs extr´emit´ emit´es. es. Dans les machines a` pˆ poles oˆ les saillants, les amortisseurs sont sont constitu´ constitues e´ s de barres log´ees ees dans les pˆoles oles et reli´ees ees a` leurs extr´emit´ emit´es es par des anneaux (cf figure  figure   8.3, 8.3, sch´ema ema en haut a` droite) ou par des segments (mˆeeme me figure, en bas a` droite). En r´egime egime eetabli ´ tabli parfait, aucun courant ne circule dans les barres d’amortisseur. En effet, les champs statorique et rotorique sont fixes par rapport au rotor; le flux d’induction magn´eetique tique est donc constant dans le circuit constitu´e par les barres d’amortisseurs et aucune tension n’y est induite. induite. Par contre, contre, suite suite a` une perturbation, il se peut que le rotor oscille par rapport au champ statorique. Des courants sont alors induits dans les barres d’amortisseurs. En vertu de la loi de Lenz, ces courants induits tendent tendent a` s’opposer a` la cause qui les cr´ee. ee. Il ap apparaˆ paraˆıt ıt donc do nc un couple de rappel suppl´ementaire ementaire qui tend a` amortir les oscillations du rotor et a` r´ealigner ealigner ce dernier avec le champ statorique. Ce   couple d’amortissement  n’existe  n’existe qu’en r´egime egime perturb´e. e. Dans les turbo-alternateurs, des courants sont induits dans la masse m´ metallique e´ tallique du rotor et ces 112

 

courants cr´eent eent egalement e´ galement un couple d’amortissement.

8.3

Modelis e´ lisat atio ion n au moye moyen n de cir circuit cuitss magn magn´etiqueme e´ tiquement nt coupl couples e´ s

Pour l’ana Pour l’analys lysee des r´eseau eseaux x d’´energie energie electrique e´ lectrique,, on repr´esent esentee la machin machinee par par un ce certa rtain in nombre nombre d’enroulements, magn´etiquements etiquements coupl couples, e´ s, dont certains sont en mouvement. Le comportement qualitatif d’une machine n’est pas influenc´e par le nombre   p  de paires de poles oˆ les qu’elle comporte (´evidemment evidemment les valeurs de certains param`etres etres changent avec p). Pour des raisons de simplicit´e, e, on peut donc consid´eerer rer une machine a` une seule paire de pˆo oles, les, hypoth`ese ese que nous adoptons dans la majeure partie de la pr´ pr esentation e´ sentation qui suit.

8.3.1 8.3. 1

Sig Signifi nificati cation on des enr enroule oulemen ments ts

La machine id´ealis´ ealis´ee ee que nous allons etudier e´ tudier est repr´esent´ esent´ee ee a` la figure 8.4. figure 8.4. Le  Le stator est muni de 3 enroul enrouleme ements nts rep´er´ er´es es a, b et c, d´ecal´ ecal´es es de 120 degr´ degr´es. es. Le rotor comporte comporte un certa certain in nombre nombre d’enroulements equivalents, e´ quivalents, r´epartis epartis selon deux axes:  l’axe direct  qui  qui co¨ııncide ncide avec celui cel ui de l’enroulement d’excitation et  l’axe en quadrature, perpendiculaire perpendiculaire au pr´ prec´ e´ c´edent. edent . Nous pl plac ac¸ons arbitrairement l’axe en quadrature en retard  sur  sur l’axe direct par rapport au sens de rotation. axe de la phase a

θ

axe direct

c

b

q1

 

axe en quadrature

f 

q2 d1 a

a f  q1 d1

q2

c

b

Figure 8.4: machine synchrone id´ idealis´ e´ alis´ee ee Nous avons donn´e au rotor une forme forme en pˆ poles oˆ les saillants mais les d´eveloppements eveloppements qui suivent s’appliquent egalement e´ galement a` une machine a` rotor lisse. Pour celle-ci, il suffit de consid´erer erer que le rotor pr´esente esente une parfaite parfaite sym´ symetrie e´ trie de r´evolution. evolution.

113

 

Le nombre d’enroulements rotoriques caract´erise erise le degr´e de raffinement du mod`ele. ele. Toutefois, il ne faut pas perdre de vue qu’un mod`ele ele plus sophistiqu´e requiert davantage de donn´eees es pour tous les param`etres etres qui y interviennent et que le gain est marginal si les donn´ees ees ne sont pas fiables. fiables. Cette remarque remarque prend prend tout son sens si l’on consid` consid`ere ere qu’en pratique seul le circuit d’excitation est accessible aux instruments de mesure. Les param`eetres tres (r´esistances, esistances, induc ind uctan tance ces, s, . . . ) des des autres autres circu circuits its sont sont d´etermin´ etermin´es de mani`ere ere indirec indirecte te (p.ex. (p.ex. r´eeponse ponse de la machine lors d’un essai en court-circuit, r´eponse eponse en fr´equence, equence, identification par calcul num´erique). erique). Compte tenu de ces consid´erations, erations, le mod`ele ele le plus r´epandu epandu pour la machine synchrone est celui a` quatre quatre ou trois enrouleme enroulements nts rotoriques rotoriques.. L’axe direct direct comporte comporte l’enroulem l’enroulement ent d’excitati d’excitation, on,  2 3 d´esign´ esign´e par   f  et un circuit equivalent e´ quivalent d´esign´ esign´e par   d1 . Ce d der erni nier er rep repr´ r´esente esente l’effet des amortisseurs. L’axe en quadrature comporte deux enroulements, d´esign´ esign´es es par   q 1  et  q 2 4 . L’un repr´eesente sente l’effet des courants de Foucault induits dans la masse du rotor, l’autre tient compte des amortisseurs. Toutefois, dans les machines a` pˆoles oles saillants, le rotor est g´en´ en´eeralement ralement constitu´e d e t oles oˆ les et les co coura urants nts de Fouc Foucaul aultt sont sont n´egligeabl egligeables. es. Pour ces machines, machines, on ne consid` consid`ere ere donc qu’un seul enroulement (q 2 ) dans l’axe en quadrature. Les d´eveloppements eveloppements qui suivent s’appliquent au cas g´en´ en´eeral ral d’une machine a` quatre enroulements rotoriques rotoriques.. Le mod`ele ele a` trois enroulements s’en d´eduit eduit par des simplifications assez eevidentes. ´ videntes. Notons enfin que l’enroulement d’excitation est soumis a` une tension vf   tandis que les circuits d1, q 1 et q 2 sont court-circuit´eess en permanence.

8.3.2 8.3. 2

Rel Relatio ations ns ten tension sions-co s-couran urants-fl ts-flux ux

Comme nous nous int´eressons eressons principalement principalement a` des g´en´ en´eerateurs, rateurs, nous adoptons la convention convention g´en´ en´erateur erateur dans chaque enroulement enroulement statorique. statorique. En revanche, revanche, eetant ´ tant donn´e qu’on fournit de la puissance a` l’enroulement d’excitation, nous y adoptons la convention moteur. Rappelons que ces choix sont arbitraires; leur m´erite erite est de conduire a` des puissances positives pour un g´en´ en´erateur erateur en r´egime egime etabli. e´ tabli. Pour les enroulements statoriques, on a:

  −R i (t) −   dψdt   dψ =   −R i (t) − dt   dψ =   −R i (t) − dt

a

va(t) =

a a

vb (t)

a b

vc (t)

a c

b

c

ou` Ra es  estt llaa r´esistanc esistancee d’une d’une des phases phases et et ψ le flu flux x total embrass´e par par l’enro l’enroule ulemen mentt co consi nsid´ d´er´ er´e. e. 2

“f” pour “field winding” en anglais “d” pour “direct” 4 “q” pour “quadrature” 3

114

 

θ˙

 

STATOR

ROTOR

d

vd1  = 0

ib θ

vb

vf  id1

if 

ia

axe de la phase  a

vc

vq1  = 0

va

iq1 vq2  = 0 iq2

ic q 

Figure 8.5: enroulements de la machine synchrone: synchrone: conventions conventions de signe

Ces relations s’´ecrivent ecrivent sous forme matricielle: vT   = RT iT 

 −  dtd ψ

−

 

T 

(8.1)

ou` l’indice T   d´eesigne signe des grandeurs triphas´ees ees et et o` ou` l’on a pos´e RT   = diag(Ra  Ra  R a ). Pour les enroulements rotoriques rotoriques on a de mˆ meme: eˆ me:

 dψ  d ψf  dt   dψd1 0 =   Rd1 id1 (t) + dt  dψ  d ψq1 0 =   Rq1 iq1 (t) + dt

vf (t) =   Rf if (t) +

 

q2 0 =   Rq2 iq2 (t) + d +  dψ ψ dt

et sous forme matricielle: vr   =  R r ir  +

 d ψ dt r

(8.2)  

(8.3)

 

(8.4)

 

(8.5)

 

(8.6)

ou` l’indice r  d  d´esigne e´ signe des grandeurs grandeurs rotoriques et o` ou` l’on a pos´e Rr   = diag(Rf   Rd  R q  R q ). 1

8.3.3 8.3 .3

1

2

Ind Induc uctan tance cess

Les equations e´ quations ci-dessus sont tout-`a-fait a-fait g´ gen´ e´ n´erales; erales; en particulier, aucune hypoth`ese ese n’est faite sur les propri´eet´ t´es es du milieu magn´etique. etique. Dans ce cours, nous nous limitons toutefois au r´egime egime lin´eaire eaire et n´egligeons egligeons la saturation du mat materiau e´ riau magn´etique. etique. 115

 

Sous cette hypoth`ese ese flux et courants sont sont li´ lies e´ s par:

     ψ T  ψr

 =

  LT T (θ )   LT r (θ ) LTT r (θ )   Lrr

    iT  ir

 

(8.7)

dans laquelle  θ  est la position angulaire du rotor, d´efinie efinie par convention comme l’angle entre l’axe direct du rotor et l’axe de la phase a (voir figures 8.4 figures 8.4 et  et 8.5  8.5). ).  d´ependent e´ pendent de la position positi on du rotor. Ce n’est pas le cas de Les matrices d’inductances d’inductances LT T  et LT r d etant donn´e que, vu du rotor, le stator se pr´ presente e´ sente toujours de la mˆeeme me mani`ere, ere, la matrice L matrice  Lrr  ´etant quelle que soit la position du rotor (on n´eglige eglige ici l’effet des encoches dans lesquelles sont log´es es les conducteurs). e´ videmment des fonctions p´eriodi eriodique ques. s. D´eeveveLes composantes de   LT T (θ)  et   LT r (θ )  sont evidemment lopp´ees en s´erie erie de Fourier Fourier,, celles-ci celles-ci comporten comportent, t, en principe, principe, des harmonique harmoniquess spatiaux. spatiaux. Comme mentionn´e a` la section 2.6, section 2.6, on  on s’arrange en pratique pour rendre ces harmoniques aussi faibles que possibl possible. e. Nous les les n´egligerons egligerons donc, ce qui conduit au mod`ele ele de  machine sinuso¨  sinuso¨  ıdale dans lequel les matrices d’inductances prennent la forme suivante: suivante: 1

 π 6

1

  23π  π 2

 π 6

  −L − L  co  coss 2( 2(θθ + )   −L − L  co  coss 2( 2(θθ − )  −−LL −− LL  co cos   (θ) =   coss 2(θ  co 2(θ + )   L  + L  +  L  co  coss 2( 2(θθ −  )   −L − L  co  coss 2( 2(θθ + )  s 2(θ 2(θ − )   −L − L  co  coss 2( 2(θθ + )   L  + L  +  L  co  coss 2( 2(θθ +   ) L0 + L  +  L1 co  coss 2θ

LT T 

LT r (θ ) =

 

m

1

m

1

m

 π 6  π 6

0

1

m

m

1

m

1

0

 π 2   2π 3

1

Laf  cos θ Lad1 Laq1 Laq2 ad1 cos θ aq 1 sin θ aq 2 sin θ   2π   2π   2π Laf  cos(  cos(θθ   )   Lad1  cos(θθ  )   Laq1  sin(θθ  )   Laq2  sin(θθ   23π ) ad1 cos( aq1 sin( aq2 sin( 3 3 3 Laf  cos(  cos(θθ +   23π  )   Lad1  cos(θθ +   23π )   Laq1  sin(θθ +   23π  )   Laq2  sin(θθ +   23π  ) ad1 cos( aq 1 sin( aq 2 sin(

−

Lrr   =

−

  

Lf f    Lf d1 Lf d1   Ld1d1 0 0   0 0  

−

  0 0   0 0 Lq1q1   Lq1q2 Lq1q2   Lq2q2

−

 

   −

Dans ces expressions, toutes les constantes  L  sont positives, les signes  ad  ad´eequats ´ quats ayant eet´ ´ t´e introduits. Partant de la figure 8.4 figure 8.4,, ces diff´eerentes rentes expressions se justifient comme suit:

•   la self-inductance de la phase phase statorique a est maximale m aximale quand l’axe l’ axe direct co¨ııncide ncide avec

l’axe de cette phase (θ  = 0). En effet, les lignes de champ champ (dont le contour est esquiss´e a` la figure 2.10 figure 2.10)) trouvent alors le chemin maximal dans le mat´eriau eriau ferromagn´etique. etique. Pour la mˆeme eme raison, la l a self-inductance self-ind uctance est minimale mi nimale quand l’axe l ’axe en quadrature co¨ıncide ıncide avec l’axe de la phase  a  (θ   =   π/ π/22). Par ailleurs, un retournement de 180 degr´es es du rotor ne modifie pas cette self-inductance; self-inductance;

•   les self-inductances des phases phases  b  et  c  se d´eduisent eduisent de celle de la phase  a  en remp r emplac lac¸ ant π/33; simplement θ  par θ ± 2π/ 116

 

•  l’inductance mutuelle entre deux phases statoriques est maximale quand l’axe direct

co¨ıncide ıncide avec la bissectrice de l’angle aigu form´e par leurs leurs axes. axes. Ce Cette tte inducta inductanc ncee ee dans la phase   y  un flux mutuelle est toujours n´egative egative car un courant positif   ix   cr´ee de sens oppos´e a` celui cr´e´ ee´ par un courant   iy  positif. Ici encore, encore, un retourneme retournement nt du rotor de 180 degr´es es ne modifie pas cette inductance mutuelle

mutuelle entre un enroulement statorique et un enroulement rotorique est •  l’inductance maximale quand ces enroulements sont coaxiaux et nulle quand il sont perpendiculaires. Un retournement de 180 degr degres e´ s du rotor change le signe du couplage;

•  le caract`ere ere constant des termes de la matrice L matrice  L  a d´ deej` ´ j`a eet´ ´ t´e justifi´e; e; •  les termes nuls de la matrice L matrice  L  se justifient par le fait que les enroulements sont perrr

rr

pendiculaires.

De toute evidence, e´ vidence, une substitution de ces expressions dans les relations (8.1 ( 8.1,,  8.6  8.6)) serait tr`es es fastidieuse, a` cause de la d´ependance ependance angulaire. Ceci justifie le recours a` de nouvelles variables, plus appropri appropri´ees e´ es que les grandeurs de phase ia , va , . . . Ce changement de variables indispensable est la transformation de Park 5 .

Comment les expressions des inductances se simplifient-elles dans le cas d’une machine a` rotor lisse ?

8.4 8. 4 8.4.1 8.4. 1

Transf ransfor ormat mation ion et  et  equations e´ quations de Park La tran transf sforma ormation tion de Park

 P 

La transformation de Park est d´efinie efinie par une matrice  qui   qui s’applique aux grandeurs statoriques pour donner les grandeurs de Park correspondantes, correspondantes, de la mani mani`ere e` re suivante: T 

 

(8.8)

ψ P 

T 

 

(8.9)

iP  ou`

  P   v   =   P   ψ   =   P   i 

vP    =

  P   =

 

T 

    2 3

cos θ   cos(θ cos(θ sin θ   sin( sin(θθ

− −

1 2

1 2

√ 

√ 

5

  2π  ) 3   2π  ) 3

(8.10)

cos(θ +   23π  ) sin(θ +   23π  ) 1 2

√ 

 

 

(8.11)

du nom de son auteu auteur. r. La transforma transformation tion util utilis´ is´eeee ici est une varian variante te de celle propos´ee ee originellement par Park. Elle est plus simple, conserve les puissances et et la sym sym´eetrie ´ trie des matrices d’inductance. Certains auteurs font r´ef´ ef´eerence rence a` Blondel plutˆo ott qu’`a Park 

117

 

Les grandeurs vectorielles de Park sont rep´er´ er´ees ees par l’indice   P  tandis que les composantes  d,, q, o: individuelles sont sont d´ design´ e´ sign´ees ees par les indices d



vP    = ψ P    =



iP    =



  vd   vq   vo

T 

  ψd   ψq   ψo   id   iq   io

T 

 T 

On montre ais´ement ement que: T 

P P 

=  I

ou`  I  I est  est la matrice unit´e. e. Il en r´esulte esulte que:

P − = P  1

La matrice de transformation

T 

(8.12)

P  est donc orthogonale.

La transformation des variables T  en   en variables P  rec   rec¸ oit l’inter l’i nterpr pr´etation e´ tation suivante. a  qui parcourt la phase  a  cr´ee Le courant ee un etique etique  i d’amplitude e selon  ki  k ia  dirig´  a. De mˆeme, l’axe de la  i bobine eme, les champs cr´e´ echamp es e´ s par magn´ les courants es es selon les b  et  ic  sont dirig´ axes des enroulements b et c . La projection sur l’axe d  du champ total vaut:

k  (cos θ ia + cos(θ cos(θ

 4  4π π −   23π  ) i  + cos(θ cos(θ −   ) i ) =  k 3 b

c

 

3 id 2

et la projection sur l’axe  q :

k  (sin θ i a + sin(θ sin(θ

−

  2π   ) ib + sin(θ sin(θ 3

−

  4π   ) ic ) =  k 3

 

3 iq 2

Consid´erons erons a` pr´esent esent deux enroulements fictifs   d   et   q , situ´es es respectivement sur l’axe direct et sur l’axe en quadrature quadrature (et tournant tournant donc avec avec le rotor). Le courant courant   id  produit un champ magn´etique champ etique dirig´ e selon l’axe   d  et d’amplitude   k ′ id  tandis que le courant   iq  produit ′ un champ d’amplitude k iq et dirig´e selon l’axe q . Les relations ci-dessus ci-dessus montrent qu’`a condi-

 

tion d’admettre que k ′   =  k 3/2, les enroulements fictifs d et q , solidaires du rotor, produisent le mˆeme eme effet que les enroulements statoriques a, b et c . On peut egalement e´ galement consid´erer erer un enroulement fictif   o, qui n’est pas coupl´e aux deux autres. Notons au passage que cet enroulement n’est parcouru par un courant qu’en cas de r´egime egime d´es´ es´equilibr´ equilibr´e. Apr`es es application de la transformation de Park, les enroulements de la machine synchrone sont ceux repr´esent´ esent´es es a` la figure 8.6. figure 8.6.

118

 

 

axe d

θ axe de la phase a

d

id vd

axe q 

f 

q 

if  q 1

vf  d1

 

q 2

vq

iq

Figure Fig ure 8.6: 8.6: enro enroule uleme ments nts de la machin machinee synch synchron ronee apr`es es trans transforma formation tion de Park Park (o non montr´e) e)

8.4.2 8.4. 2

Equ Equatio ations ns de de P Park ark de lla a ma machi chine ne synch synchron ronee

Partant de (8.1 (8.1), ), on a successivement:

P −

1

 −  dtd ψ   −R i  −  d   =   −R I P − i  − (P − ψ ) dt  d  d   =   −R P P − i  − P   ( P − )ψ  − P P − ψ dt dt  d   =   −R   i  −  θ˙Pψ  − ψ   dt

vT    =

T  T 

vP 

a

vP  vP 

T 

1

1

a

1

P 

P 

1

P 

P  P 

P 

P 

1

P 

P 

(8.13)

avec RP    =   RT 

  −

0 1 0 1 0 0

P =

0

0 0

 

P est un op´erateur erateur de rotation de 90 degr´es es dans le plan d -q . Rappelons que la transformation de Park ne s’applique qu’au stator. Le rotor reste d´eecrit crit par l’ l’´equation e´ quation (8.6 (8.6). ). En d´etaillant etaillant (8.13 (8.13), ), on trouve ais´ement ement les  equations de Park : ´ 

˙ −   dψ   −R i −  θψ dt   dψ ˙ −   =   −R i  +  θψ dt

d

vd   =

a d

q

vq

a q

d

vo   =

  dψo

Ra io

 −

−

119

dt

q

 

 

(8.14)

 

(8.15) (8.16)

 

˙   sont appel´es  forces  electromotrices de rotation et les dans lesquelles les termes du type   θψ es forces ´  forces  electromotrices de transformation. termes en   dψ/dt   forces  ´ 

8.4.3 8.4. 3

Matr Matrice ice des ind inducta uctances nces de Park Park

Partant de (8.7 (8.7), ), on a successivement:

    P −      P    ψ T  ψr

 =

 =

  LT T    LT r LTT r   Lrr

1

ψP  ψr

  ψP  ψr

Posons

 

 P 

LT T  LTT r

 =

LT T  LTT r

    P −  P − P    

  LT T    LT r LTT r   Lrr

P −

Tr

1

1

1

LT r Lrr

  iP  ir

  LP P    LP r LrP    Lrr



1

 =

Lrr

iP 

ir

 

P −− P L 1

  iT  ir

P 

Nous laissons au lecteur le soin de v´erifier erifier que cette matrice prend la forme simple suivante: suivante:



  LP P    LP r LrP    Lrr

ou` l’on a pos´e: e:

       =

Ldd

 

Ldf    Ldd dd1 1  

Lqq

Lqq qq1 1   Lqq qq2 2

Loo Ldf  Ldd dd1 1

   

Lf f    Lf d1 Lf d1   Ld1d1   Lq1q1   Lq1q2   Lq1q2   Lq2q2

Lqq1 qq 1 Lqq2 qq 2

 3 Ldd   =   L0 + L  +  Lm  + L1 2  3 Lqq   =   L0 + L  +  Lm L1 2 3 Ldf    = Laf  2 3 Ldd Lad1 dd1 1   = ad1 2 Lqq1 qq 1   =

3 Laq1 aq1 2

3 Laq2 aq2 2   =   L0 2Lm

Lqq2 qq 2   = Loo

       

−

−

120

    

(8.17)

 

La matrice (8.17 (8.17)) est la  matrice des inductances de Park . Contrairement a` ceux de ((8.7 8.7), ), ses termes sont tous ind´ependants ependants de la position   θ  du rotor rotor.. Ce r´esultat esultat etait e´ tait pr´evisible evisible dans la mesure mesu re o` ou, u` , contrairement aux enroulements d’origine, les enroulements d, f , d1 , q , q1   et q 2 sont tous fixes les uns par rapport aux autres (cf figure 8.6 figure 8.6). ). Par ailleurs, ailleurs, les enroulements enroulements se r epartissent e´ partissent en deux groupes entre lesquels les inductances mutuelles sont nulles:  d  d’autre utre p part. art. Ce r´esultat esultat etait e´ tait egalement e´ galement  d,, f , d1  d’une part et   q, q 1 , q 2  d’a pr´evisible evisible puisque les axes  d  et q  sont  sont perpendiculaires perpendiculaires et que deux bobines d’axes perpendicperpendiculaires ont une inductance mutuelle nulle. Abandonnant le circuit   o et regroupant les circuits  d,  d, f , d1  d’une part et   q, q 1, q 2  d’autre part, les equations e´ quations de la machine s’´ecrivent: ecrivent:

  −   

vd vf  0 vq 0 0

    

   −     −         

Ra Rf 

 =

Rd1

Ra Rq1

 =

Rq2

avec les relations flux-courants:

ψd ψf  ψd

 =

1

ψq ψq 1 ψq 2

 =

   

     

id if  id1 iq iq1 iq2

   −             

˙ q θψ 0 0 ˙ d θψ  + 0 0

  −  −     

Ldd   Ldf    Ldd dd1 1 Ldf    Lf f    Lf d1 Ldd dd1 1   Lf d1   Ld1d1

id if  id1

Lqq   Lqq   Lqq Lqq1 qq 1   Lq1q 1   Lq 1q 2 Lqq2 qq 2   Lq1q 2   Lq 2q 2

iq iq1 iq2

1

2

 d dt  d dt

    

ψd ψf  ψd1 ψq ψq 1 ψq 2

    

 

(8.18)

 

(8.19)

 

(8.20)

 

(8.21)

Comparer les expressions de Ldd et Lqq  dans le cas d’une machine a` rotor lisse. Idem pour une machine a` p pˆoles ˆ saillants.

8.5

Energie Energie,, puissan puissance ce et couple couple

Nous allons a` pr´esent esent etablir e´ tablir l’expression du couple electromagn´ e´ lectromagn´etique etique   T e , en utilisant les eequations ´ quations ((8.14 8.14--8.16) 8.16) et en exprimant le bilan de puissance du stator et du rotor, respectivement. Le bilan de puissance au stator de la machine s’´ecrit: ecrit:

 pT   + pJ s +

  dW m mss   =  p r→s dt 121

 

(8.22)

 

 l’energie e´ nergie ee sortant du stator,  pJ s les pertes Joule statoriques, W m ou`  pT   la puissance instantan´ee mss l’´ er´ee ee magn´etique etique emmagasin´ee ee dans les enroulements statoriques et   pr→s  la puissance transf´er´ du rotor au stator. A ce stade, nous ne connaissons p pas as encore la nature de  pr→s  (puissance mecanique e´ canique et/ou electrique e´ lectrique ?). La puissance instantan´ee ee sortant du stator vaut: T  T   pT (t) =  v a ia + v  +  vb ib  + v  +  vc ic   =  v T  iT   =  v P 

T 

T   +  vq iq  + v  +  vo io P   =  v P iP   =  v d id  + v

P P  i

Ce r´esultat esultat montre que la transformation transformation de Park Park conserve conserve la puissanc puissance: e: les enroule enroulements ments (d, q, o) o) produisent la mˆeme  (a,b,c a,b,c)). eme puissance que les enroulements statoriques ( En remplac rempl ac¸ant ¸an t les tensions par leurs leur s expressions expressi ons (8.14 (8.14--8.16), 8.16), l’expression ci-dessus devient:

 pT (t) =

dψ dψ dψ  +  R i ) − (i  +  R i  + R   + i   + i   ) +θ˙ (ψ i − ψ i ) − (R i  + R    dt dt dt 2 a d

2 a q

d

2 a o

o

q

d q

o

q d

  (8.23)

    

 

 pJ s

q

d

dW m mss /dt

Une comparaison avec (8.22 (8.22)) fournit directement l’expression de la puissance transf´er´ er´ee ee du rotor au stator:

 pr→s   =  θ˙ (ψd iq

−ψ i )

 

q d

(8.24)

Consid´erons erons a` pr´esent esent le bilan de puissance du rotor:

P m  + p  +  pf   =  p J r  +

 d  dW  W m  dW   d W c mrr   + pr→s + dt dt

 

(8.25)

ou`  P m  est la puissance m´ecanique ecanique fournie par la turbine,  p f  la puissance electrique e´ lectrique fournie a` l’enroulement d’excitation, pJ r les  l es pertes Joule rotoriques, W m  l’ energie e´ nergie magn´etique etique dans les mrr l’´ enroulements rotoriques et W c l’´  l’ energie e´ nergie cin´etique etique des masses tournantes.

 =  v q2   = 0 on peut encore ecrire: e´ crire: La puissance pf  vaut pf   =  v f if  mais comme vd1   =  v q1  = v  pf   =  v f if   + vd1 id1 + v  +  vq1 iq1  + v  +  vq2iq2 et en remplac¸ ant les tensions par p ar leurs leu rs expressions expressio ns (8.2 (8.2--8.5 8.5): ):

 +  Rq2 iq22 ) + if   +  Rq1 iq21 + R  pf   = (Rf i2f   + Rd1 i2d1 + R

    



  

 pJ r

dψf  dψd1 dψq1 dψq2   + id1   + iq1   + iq2 dt dt dt dt dW m mrr /dt

 



 

En tenant compte de cette derni`ere ere relation et de ((8.24 8.24), ), le bilan de puissance (8.25 (8.25)) devient simplement:

P m

W    ˙ −  d dW    = θ (ψ i − ψ i ) dt c

d q

122

q d

 

(8.26)

 

Le membre de gauche de cette expression repr´esente esente la puissan puissance ce transmise sous forme de cou˙ e . On en d´eduit eduit l’expression particuli`erement erement simple du couple couple electromagn´ e´ lectromagn´etique: etique: ple, soit  θT 

T e   =  ψ d iq

−ψ i

 

q d

(8.27)

A posteriori, nous voyons que la puissance transmise du rotor au stator est exclusivement de naturee m´ natur mecanique. e´ canique. En remplac rempl ac¸ant ¸an t les flux par leurs expressions tir t ir´ees e´ es de (8.20, (8.20, 8.21), 8.21), la relation ((8.27 8.27)) devient:

−L

T e   =  L dd idiq  + L  +  Ldf if iq  + L  +  Ldd dd1 1 id1 iq

qq iq id

−L

qq qq1 1 iq 1 id

−L

qq qq2 2 iq 2 id

On peut distinguer trois composantes dans dans le couple:

T e1  = (Ldd

−L

qq ) id iq

 

(8.28)

Cette composante n’existe que dans une machine a` pˆoles oles saillants. Elle correspond au fait que, meme etique ˆ  sans excitation (if   = 0), le rotor tend a` aligner son axe direct sur le champ magn´etique tournant tourn ant cr´ cre´ e´ e´ par le stator, ce qui cr´ee ee un certain couple. couple. Dans cette pos position, ition, les lignes du champ statorique passent au maximum dans le milieu ferromagn´etique etique et au minimum dans l’entrefer. En d’autres termes, le rotor tend a` se positionner de mani`ere ere a` minimiser la reluctance offerte au champ statorique.   T e1  est appel´e  couple synchrone reluctant 6 . Il est d’autant ere fortement de Lqq ; plus elev´ e´ lev´e que la  saillance est marqu´ee, ee, c’est-`a-dire a-dire que Ldd diff`ere

T e2  = L  =  L dd id1 iq 1

−L

qq1 qq 1 iq 1 id

−L

qq qq2 2 iq 2 id

 

(8.29)

Cette composante est nulle en r´egime egime etabli, e´ tabli, car tous les courants d’amortisseurs sont nuls, comme mentionn´e pr´ec´ ec´edemment. edemment. T e2 est un couple d’amortissement;

T e3  = L  =  L df if iq

 

(8.30)

Cette composante, la seule d´ependant ependant du courant d’excitation, constitue la majeure partie du couple coup le en r´ regime e´ gime etabli. e´ tabli. En r´egime egime etabli, e´ tabli,  i f  est constant et  T e3  est le  couple synchrone d uˆ  ˆ  a` l’excitation. En r´egime egime perturb´e, e, une composante dynamique de if   appar apparaˆ aˆııt, t, du mˆ meme eˆ me type que les courants d’amortisseurs, et une partie de T e3 contribue au couple d’amortissement total.

˙  et la Remarque. Dans le cas d’une machine a`  p  paires de de pˆ po oles, ˆ les, la vitesse de rotation est  θ/p ˙ e /p. Le couple electromagn´ e´ lectromagn´etique etique vaut donc: puissance transmise sous forme de couple est  θT  T e   =  p (ψd iq

8.6 8. 6

−ψ i ) q d

 

(8.31)

La mach machin inee sync synchr hrone one en regime  e´ gime  etabli e´ tabli

Apr`es es avoir etabli e´ tabli le mod`ele ele dynamique g´een´ n´eeral, ral, nous consid´erons erons le cas particulier d’une machine: 6

ce type de couple est a` la base du moteur “`a reluctance” utilis´e dans les applications de positionnement

123

 

•   dont le stator est parcouru parcouru par des courants courants triphas´es es equilibr´ e´ quilibr´es, de pulsation ω   = 2πf  •   dont l’enroulement l’enroulement d’excitation est est soumis a` une tension continue  V   et est parcouru par N 

N  N 

f  f 

un courant continu

if   =

  V f f  Rf 

(8.32)

•  tournant a` la vitesse de synchronisme: θ  = θ  =  θo + ω  +  ωN t

 

(8.33)

id1   =  i q1  = i  =  i q2   = 0

 

(8.34)

Pour des raisons d´eej` j`a mentionn´ees, ees, on a:

8.6.1 8.6 .1

Fonctio onctionn nnem ement ent  a` vide

Le stator etant e´ tant ouvert, on a evidemment: e´ videmment:

 =  i b   =  i c   = 0 ia  = i Il en r´esulte esulte que:

id   =  iq   =  i o   = 0 et pour les flux:

ψd   =   Ldf if  ψq   = 0 Les equations e´ quations de Park Park s’´ s’ecrivent: e´ crivent:

vd   = 0 vq   =   ωN ψd  = ω  =  ω N Ldf if  En repassant aux grandeurs statoriques par la l a transformation de Park inverse, on trouve, pour la phase a par exemple:

va (t) =

 

2 ωN Ldf if  sin(  sin(θθo + ω  +  ωN t) = 3

ou: u` :

E q   =

  ωN Ldf if  3

√ 

√ 2E   sin(  sin(θθ  + ω  +  ω q

o

N t)

(8.35)

est une force electromot e´ lectromotrice rice proportionne proportionnelle lle au courant courant d’excitation. d’excitation. C’est C’est aussi aussi la tension tension apparaissantt aux bornes de la machine a` vide. apparaissan

124

 

8.6.2 8.6. 2

Fo Foncti nctionn onnemen ementt en charge charge

Consid´erons erons a` pr´esent esent le r´egime egime d´efini efini par:

va (t) = vb (t) = vc (t) = ia (t) = ib (t) = ic (t) =

√ 2V  cos(ω   cos(ω t + φ  + φ)) √    2π   cos(ω t + φ  + φ − 3   ) √ 22V V  cos(ω   2π   cos(ω t + φ  cos(ω  + φ +  +   ) 3 √ 2I  cos(ω   cos(ω t + ψ)  ψ ) √ 2I  cos(ω   2π   cos(ω t + ψ −   ) 3 √ 2I  cos(ω  2  2π π   cos(ω t + ψ +  ψ  +   ) N 

N 

N 

N 

N 

N 

3

en plus des equati equ ´ ations ons (8.32, 8.32, 8.33 e  8.33 ett 8.34),  8.34), toujours toujours d’applica d’application. tion. On en d´eeduit duit successivement:

  √ 

2   2π   2π 2I  [cos(θ   [cos(θo + ω  +  ωN t)cos( )cos(ω ωN t + ψ)  ψ ) + cos(θ cos(θo + ω  +  ωN t   )cos(ω )cos(ωN t + ψ  + ψ  ) 3 3 3   2π   2π +cos(θθo + ω +cos(  +  ωN t + 3  ) cos( cos(ω ωN t + ψ  + ψ +  + 3   )]   I    4π  4  4π π = [cos(θθo + 2ωN t + ψ [cos(  +  ψ)) + cos(θ cos(θo + 2ω 2 ωN t + ψ  ) + cos(θ cos(θo + 2ω 2 ωN t + ψ +  ψ  +   ) 3 3 3 +3 cos( cos(θo ψ )] = 3I  cos(θ   cos(θo ψ )   (8.36)

id   =

−

√ 

−

−

−

√ 

−

et par un calcul semblable:

iq io vd vq vo

         

√ 

−

√  √ 

− −

= 3I  sin(θ  sin(θo ψ ) = 0 = 3V   cos(θ cos(θo φ) = 3V   sin(θ sin(θo φ) = 0

 

(8.37)

 

(8.38)

 

(8.39)

En r´egime egime triphas´e equilibr´ e´ quilibr´e, les courants id et iq sont donc constants. Ce r´esultat esultat est conforme a` l’interpr´eetation tation de la transformation de Park. En effet, en r´egime egime etabli, e´ tabli, le champ statorique est fixe par rapport au rotor. Pour produire un tel champ avec les enroulements fictifs d  et q , il faut injecter dans ces derniers des courants continus. Les flux dans les enroulements d et q  sont  sont egalement e´ galement constants et valent:

ψd   =   Ldd id + L  +  Ldf if  ψq   =   Lqq iq L’expression (8.27 (8.27)) montre d`es es lors que le couple electromagn´ e´ lectromagn´etique etique est egalement e´ galement constant en r´egime egime etabli. e´ tabli. C’est un avantage suppl´ementaire ementaire important du syst`eme eme triphas´e. e. En effet, 125

 

au niveau de l’usure m´ecanique, ecanique, on pr´ef` ef`ere ere que le couple appliqu´e au rotor d’une machine tournante soit constant, au lieu, par exemple, de pr´esenter esenter une composante alternative. Les equations e´ quations de Park (8.14 (8.14  -8.16 8.16)) s’´ecrivent: ecrivent:

  −R i − ω   =   −R i  + ω  +  ω

vd   =

vq vo   = 0

−R i − X  i   i  + ω  +  ω L i   = −R i  + X   +  X  i  + √ 3E 

a d

N Lqq iq   =

a q

N Ldd d

a d

N  df  f 

(8.40)

q q

a q

d d

 

q

(8.41)

La r´eactance eactance  X d   =   ωN Ldd  (resp.   X q   =   ωN Lqq ) est appel´ee ee   r eactance synchrone dans l’axe ´  ´  direct  (resp.  (resp.  dans l’axe en quadrature). Ces deux r´eactances eactances sont des param`etres etres importants de la machine synchrone. synchrone. Dans le cas d’une machine machine a` rotor lisse, elles sont egales: e´ gales:  X d   =  X q .  d eefinie ´ finie a` la section pr´ec´ ec´edente. edente. Notons que la relation (8.41 ( 8.41)) fait appar a pparaˆ aˆıtre ıtr e la f.e.m. f.e. m.  E q  d´ Montrons a` pr´esent esent que le fonctionnement de la machine peut etre ˆetre d´ecrit ecrit par un diagramme de phaseur relativement simple. Etant donn´e que le rotor de la machine tourne a` la vitesse angulaire   ωN , il est possible de repr´esenter esenter sur une mˆeme eme figure les vecteurs tournants relatifs aux grandeurs sinuso¨ıdales ıdales et les axes  d  et  q  de  de la machine, a` condition de choisir correctement la r´ef´ ef´erence erence des angles. Un tel diagramme est repr´esent´ esent´e a` la figure 8.7. figure 8.7.  Cette figure montre le diagramme de phaseur `a t   = 0. L’axe horizontal repr´esente esente a` la fois l’axe sur lequel on projette les vecteurs tournants pour retrouver l’´evolution evolution temporelle tem porelle des grandeurs g randeurs sinuso¨ si nuso¨ıdales ıdales et l’axe l’ axe par rapport auquel on mesure la position du rotor, c’est-`a-dire a-dire l’axe de la phase statorique a. L’angle entre cet axe  t  = 0 de l’angle θ , soit θo . horizontal et l’axe direct est donc la valeur en  t = q  ¯q E 

d

¯q  jX q I 

B

¯  jX q I a

θ o

¯d  jX d I 

ϕ

¯q I 

axe de la phase a

¯a V  ¯d I 

¯a I 

 

φ ¯a Ra  I  ψ

Figure 8.7: diagramme de phaseur de la machine synchrone synchrone en r´ reegime ´ gime etabli e´ tabli

126

 

En introduisant les relations (8.36 (8.36--8.39) 8.39) dans (8.40, (8.40, 8.41), 8.41), on obtient:

V   cos(θ cos(θo V  sin(θ   sin(θo

− φ) − φ)

= =

  −R I  cos(θ   cos(θ − ψ ) − X  I  sin(θ  sin(θ − ψ )   −R I  sin(θ  sin(θ − ψ ) + X  +  X  I  cos(θ   cos(θ − ψ) + E  +  E  a

o

q

o

a

o

d

o

q

Nous laissons au lecteur le soin de v´ verifier e´ rifier a` partir de la figure 8.7 figure 8.7,, que ces deux eequations ´ quations sont en fait les projections sur les axes  d et q  de  de l’´equation equation complexe:

¯q ¯d + j ¯a + j ¯q   =  V  ¯a + R  +  jX  X q I   +  jX  X dI  E   +  Ra I 

 

(8.42)

¯q  est un vecteur dirig´e selon l’axe  q   et ¯d  (resp.   I  ¯q ) est la projection de  I  ¯a  sur dans laquelle  E  et  I  l’axe d (resp.  q ). ). On a donc: ¯q   =   E q e j j((θo − π ) E  2

¯d   =   I  cos(θ I   cos(θo ¯q   =   I  sin(θ I    sin(θo

  id  jθ o e 3   iq  jθ o  j  j((θo − π ) =  j e 3  jθ o

− ψ)e − ψ )e

√ 

=

− √ 

2

avec:

¯a   =  I  ¯d +  I  ¯q   = (   id I  3

i )e √  − j  √  3 q

 jθ o

(8.43)

Dans le cas d’une machine a` rotor lisse, X d   =  X q   =  X  et  et (8.42 (8.42)) devient simplement:

¯q   =  V  ¯a + R ¯a + j ¯d +  I  ¯q ) =  V  ¯a + R ¯a + j ¯a E   +  Ra I   +  jX  X (I   +  Ra I   +  jX  X I 

 

(8.44)

Il y correspond le sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la l a figure 8.8. figure 8.8. Notons  Notons qu’il n’est pas possible de construire un tel sch´ema ema equivalent e´ quivalent dans le cas d’une machine a` pˆo oles les saillants.

X 

E q

+−

Ra

 

¯a I 

V  ¯a

Figure 8.8: sch´ema ema equivalent e´ quivalent d’une machine a` rotor lisse en r´egime egime etabli e´ tabli

¯a  +  R a I  ¯a   +  j Montrer que le vecteur Montrer vecteur  V   jX  X q ¯ I a  aboutit sur l’axe   q  (cf   (cf point B de la figure  8.7  8.7). ). Cet Cette te ¯   et  I  ¯a  (cf travaux propri´et´e peut etre eˆ tre utilis´ee ee pour localiser directement l’axe  q  lorsque l’on connait  V  pratiques).

127

 

8.6.3 8.6 .3

Re Retou tourr aux aux champ champss magn magnetiques e´ tiques

Revenons Reve nons bri` brievement e` vement sur la composante du couple electromagn´ e´ lectromagn´etique: etique:

 =  L df if iq T e3  = L

 

(8.45)

L’explication de l’origine de ce couple a ´eet´ t´e donn´ee ee a` la section section 8.1:  8.1:  il correspond a` la tendance des champs magn´etiques etiques rotorique et statorique a` s’aligner s’aligner a` llaa fac¸ on de deux aimants (en rotation). rotation). Cette analogie analogie est illustr´ illustr´ee ee a` la figure 8.9, figure  8.9, o  o u` l’on a une fois encore superpos´e vecteurs tournants et axes de la machine. d θo

H f  f    N

q 

β 

¯q I 

   S

axe de la phase  a

  S

  N

¯a I  ψ

H 3φ

Figure 8.9: champs magn´etiques etiques rotorique et statorique Le champ magn´etique etique H f  e´ e´ par le courant d’excitation if  est dirig´e selon l’axe d tandis que f  cr e´ le champ magn´etique etique   H 3φ   cr´e´ ee´ par les trois courants statoriques est coaxial avec le vecteur tournant repr´esentant esentant le courant   ia , comme comme expliqu´e a` la section 2.6 section  2.6.. L’angle entre les d deux eux champs est  β   `a` la figure 8.9 figure 8.9.. En remp r emplac lac¸ ant  i q  par l’expression (8.37 (8.37)) et en introduisant l’angle  β , l’expression du couple devient :

T e3   =

√ 3L

 sin(θo df if I  sin(θ

− ψ) = √ 3L

 sin β  df if I  sin

On voit que ce couple est proportionnel aux courants  i f   et   I . Il d´eepend pend eegalement ´ galement de la poβ    =   π , il est nul et les deux champs sont sition relative des des deux champs. champs. En particulier, particulier, si   β  align´es, es, le pole oˆ le nord nor d de l’un l’ un co¨ıncidant ıncidant avec le p ole oˆ le sud de l’autre. Si l’on augmente le couple en s’arrangeant pour que les courants   if   et   I  restent   restent constants, l’angle   β  diminue;   diminue; les deux “aimants” sont sont ecart´ e´ cart´es es l’un de l’autre.

128

 

8.6. 8.6.4 4

Pu Puis issa sanc nces es

¯ : Comme pour le courant, d´efinissons efinissons les projections du vecteur  V   :   vd  jθ o e 3 π  v o− )  j  j( ( θ =  j q3 e jθ o φ) e

¯d   =   V  cos(θ V    cos(θo

− φ) e

V  ¯q   =   V  sin(θ   sin(θo

−

avec:

 jθ o

=

√ 

2

(8.46) (8.47)

− √ 

¯a  =  V  ¯d +  V  ¯q   = (  v d V  3

v √  − j  √  )e 3 q

 jθ o

(8.48)

La puissance complexe fournie par la machine vaut:

¯  = 3V  ¯aI  ¯⋆  = 3(  v d S  a 3

v  i  i √  − j  √  )( √  + j √  ) = (v − j v )( )(ii  + j  +  j i ) 3 3 3 q

d

q

d

q

d

q

dont on tire directement:

P    =   vdid + v  +  vq iq Q   =   vdiq vq id

−

 

(8.49)

 

(8.50)

Il est fort utile d’´eetablir tablir les expressions des puissances active et r´eactive eactive en fonction de la tension V  ,  , de la f.e.m.   E q  et de  l’angle interne  ϕ  de la machine (cf figure 8.7 figure 8.7). ). Pour ce faire, es faible devant X d et  X q . nous n´egligerons egligerons la r´esistance esistance statorique Ra , qui, en pratique, est tr`es Sous cette hypoth`ese, ese, les equations e´ quations (8.40, (8.40, 8.41) 8.41) deviennent:

  −X  i   ⇒   i   = − X v √  √    v − 3E    =   X  i  + 3E    ⇒   i  =

vd   =

q q

q

d

q

vq

q

d d

q

d

q

X d

tandis que l’on tire de la figure 8.7 figure 8.7 et  et de (8.46 (8.46,, 8.47):  8.47):

vd   = vq   =

√  3V   sin ϕ   −√ 3V   cos ϕ

Une substitution de toutes ces relations dans (8.49 (8.49,, 8.50)  8.50) fournit les expressions recherch´ recherch´ees: ees:

E q V    3V 2   1  1 P    = 3 sin ϕ +  ( )sin2ϕ )sin2 ϕ X d 2 X q X d 2 E q V    cos2 ϕ  2 sin ϕ Q = 3 cos ϕ 3V  ( + ) X d X q X d

−

−

 

(8.51)

 

(8.52)

qui, dans le cas d’une machine a` rotor lisse, deviennent deviennent evidemment: e´ videmment:

E q V    sin ϕ X  E q V  Q = 3   cos ϕ X 

P    = 3

129

 

3

−

V 2 X 

(8.53)  

(8.54)

 

1. Que devient le bilan de puissance du stator (8.22 (8.22)) en r´egime egime eetabli ´ tabli ? 2. A quelles composantes du couple peut-on d`es es lors associer chaque terme de ((8.51 8.51)) ? 3. Etablir les expressions (8.53 expressions (8.53,, 8.54)  8.54) en partant du sch´eema ma equivalent e´ quivalent de la figure 8.8. figure 8.8.

Valeu aleurs rs nomi nomina nale les, s, syst syst`eme e` me per per unit nit et ordr ordres es de gran grand deur eur

8.7 8. 7 8.7. 8.7.1 1

St Stat ator or

Au stator, une machine synchrone est caract´eris´ eris´eeee par trois grandeurs nominales:

•   la tension nominale U  . C’est la tension pour laquelle laquelle la machine a eet´ ´ t´e conc con c¸ue. Un eecart ´ cart N N  

de quelques pour-cents pour-cents par rapport a`  U N N   est admissible;

 le courant nominal  I N N  . C’est le courant maximal permanent pour lequel la section des ´ t´e pr´evue; evue; • enroulements statoriques a eet´ •   la puissance s’agit it de la puis puissa sanc ncee tri triph phas´ as´ee li´ee aux grande grandeurs urs puissance apparente apparente nominale nominale S  . Il s’ag pr´ec´ ec´edentes edentes par: √  S    = 3U  I  N N  

N N  

N  N  N  N 

La conversion des param`etres etres de la machine en valeurs unitaires se fait conform´ement ement aux consid´erations erations de la section 5.3 section  5.3.. On choisit choisit la puissanc puissancee de base  S B   =   S N  N  et la tension de base  V B   =   U N eduit eduit le courant de base  I B   =   S N  edance edance de base N  / 3. On en d´ N /3V B  et l’imp´ Z B   = 3V B2 /S B .

√ 

Le tableau ci-apr`es es donne les ordres de grandeur des param`etres etres  R a , X d  et  X q , pour des machines d’une puissance sup´erieure erieure a` 100 MVA. Ces valeurs s’entendent dans la base de la machine, telle que d´efinie efinie plus haut. haut. Dans un calcul calcul de r´eseau eseau utilisant une autre base, il y a lieu de proc´eder eder a` une conversion, en utilisant par exemple la formule ((5.11 5.11). ). machines a` roto rotorr li lissse pˆoles oles saillants resistance e´ sistance Ra   0.005 pu r´eactance eactance dans l’axe direct  X d   1.5 1.5 - 2.5 2.5 pu 0.9 0.9 - 1.5 1.5 pu 1.5 - 2.5 2.5 pu 0.5 0.5 - 1.1 1.1 pu reactance e´ actance dans l’axe en quadrature X q   1.5 Comme expliqu´e a` la section 5.3 section 5.3,, apr`es es passage en per unit, le coefficient 3 disparait des formules (8.51 (8.51  - 8.54  8.54)) donnant la puissance triphas´ee. ee.

130

 

8.7.2 8.7 .2

En Enro roul ulem emen ents ts de Park Park

Nous avons montr´e que des grandeurs telles que  v d , vq , id , iq , . . . se rapportent a` des enroulements fictifs  d  et  q  solidaires  solidaires du rotor. On peut ´egalement egalement utiliser le syst`eme eme per unit dans ces enroulements. A cette fin, nous prenons dans chacun:

•   comme puissance puissance de base: base:  S  , pour les raisons expos´eees es a` la section 5.2 section 5.2 •   comme tension de base: √ 3V  , pour la raison expliqu´eeee ci-apr`eses N  N 

B

On en d´eduit eduit le courant de base:

√ S 3V  N  N 

=

√ 3I 

B

B

expression correspondant correspondant a` un enroulement monophas´e (et non triphas´e). e). Ce choix permet quelques simplifications confortables des relations etablies e´ tablies a` la section 8.6 section  8.6.. Ainsi, par exemple, la relation (8.36 (8.36)) devient en per unit:

idpu

√  = √ 3 I I  cos( cos(θθ − ψ ) =  I    = √    i 3 3I  d

 pu  pu cos(  cos(θθo

o

B

B

− ψ)

De mˆeme, eme, les relations (8.37, (8.37, 8.38 et 8.38 et 8.39  8.39)) deviennent:

iqpu   =   I  pu sin(  sin(θθo vdpu   =   V  pu cos(θ  cos(θo vqpu   =   V  pu sin(  sin(θθo

− ψ) − φ) − φ)

tandis que (8.43 (8.43)) et (8.48 (8.48)) s’´ecrivent ecrivent a` pr´esent: esent:

¯a   = I  ¯a   = V 

  I  ¯d +  I  ¯q   = (id  j iq )e jθ o   V  ¯d +  V  ¯q   = (vd  j vq )e jθ o

− −

√ 

On voit qu’en per unit tous les coefficients 3 disparaissent et que les courants (resp. tensions) ¯a ) sur les axes   d  et   q  de ¯a  (resp.   V    de la de Park sont directement les projections du vecteur   I  machine.

8.7.3 8.7. 3

Enr Enroule oulemen ments ts rotoriq rotoriques ues

Dans les etudes e´ tudes dynamiques d´etaill´ etaill´ees, ees, on met egalement e´ galement en per unit les grandeurs relatives a` chaqu chaquee enroulemen enroulementt rotorique. rotorique. Nous ne d´etaillerons etaillerons pas ici cette op´eeration, ration, qui n’est pas requise pour l’analyse du r´egime egime etabli. e´ tabli.

131

 

8.8 8. 8

Cour Courbe bess de capa capaci citte´

Vu du r´eseau, eseau, le fonctionnement d’un g´en´ en´erateur erateur est caract´eris´ eris´e par trois grandeurs: la tension terminale V  ,  , la production active P  et  et la production r´eactive eactive Q . Comme on l’imagine ais´ement, ement, il existe des limites sur les valeurs que peuvent peuvent prendre P, Q et V  ,  , limites dict´ees ees par un fonctionnement fonctionnement admissible de la machine. Les   courbes de capacit e´  e´ limitent le lieu des points de fonctionnement admissible dans le ´  d elimitent  (P, Q), a` tension V  constante. plan (P,  constante. Cette derni`ere ere hypoth`ese ese est acceptab acceptable le consid´erant erant que les g´en´ en´erateurs erateurs sont dot´es es de r´egulateurs egulateurs qui maintiennent leurs tensions (quasiment) constantes en fonctionnement normal (cf  11.2.1 11.2.1). ).

§

Un exemple de courbes de capacit capacit´e´ est donn´e a` la figure 8.10 figure 8.10,, correspondant a` une machine a` rotor lisse. P 

R

puissance maximum turbine

E qmax qmax V /X  STATOR

V I N N  

 

V  =1.05  =1.05 pu  =1.00 pu V  =1.00

sous-excitation

V  =0.95  =0.95 pu ROTOR puissance minimum

V =1.05 pu V =1.00 pu

turbine

V =0.95 pu

−V 

2

/X 

Q

Figure 8.10: courbes de capacit capacit´e´ d’une machine a` rotor lisse On distingue les limites limi tes suivantes suivantes:: 1.  puissance maximale turbine : c’est evidemment e´ videmment aussi la puissance active maximale que le g´en´ en´erateur erateur peut fournir; 2.   puissance minimale minimale turbine . Dans les centrales thermiques, la n´ecessit´ ecessit´e de produire une puissance minimale est est li´ liee e´ e a` des probl`emes emes de stabilit´e de la combustion; 3.   limite statorique : elle correspo correspond nd a` des points points de foncti fonctionn onneme ement nt pour pour lesque lesquels ls le couran courantt efini efini a` la section 8.7.1 section 8.7.1.. On a, en per unit: statorique est egal e´ gal a`  I N N  , d´ 2 (S 2 = ) P 2 + Q2 =  V  2 I N 

V   etant e´ tant fix´e, e, cette equation e´ quation est celle d’un cercle cercle centr´ centre´ a` l’origine, de rayon  V I N  N ; 132

 

4.  limite rotorique : elle correspond a` des points de fonctionnement pour lesquels le courant e´ gal a` la valeur maximale permise en r´egime egime permanent, pour des d’excitation  I f  f  est egal raisons d’´echauffement. echauffement. L’expression de cette courbe s’ etablit e´ tablit ais´ aisement e´ ment dans le cas d’une machine a` rotor lisse, dontt on n eglige don e´ glige la r´esistance esistance statorique. Notons   I fmax f max  la valeur maximale du courant e´ gale a: a` : rotorique. En vertu de (8.35 ( 8.35), ), la f.e.m.  E   est constante et egale q

E qmax qmax   =

  ωN Ldf I fmax f max 3

√ 

Les relations (8.53 (8.53,, 8.54)  8.54) s’´ecrivent, ecrivent, apr` apres e` s passage en per unit:

  E qmax qmax V    sin ϕ X    E qmax qmax V  Q =   cos ϕ X  P    =

−

 V  2 X 

Une elimination e´ limination de ϕ donne:



V E qmax qmax X 

2

  V 2 = Q + X 

 

2 2



+ P 

P   = 0, Q  = so soit it l’´eequa quatio tion n d’un d’un cerc cercle le do dont nt le cent centre re est est (P  

 2

−V  /X ) et le rayo rayon n V E 

qmax /X ; qmax

5.   limite en sous-excitation sous-excitation. Il existe une puissance r´eactive eactive maximale que la machine peut absorber, sous peine d’une rupture de synchronisme. La figure 8.10 figure 8.10 mont  montre re qu’une qu’une mani` mani`ere ere d’augmenter la puissance r´eactive eactive maximale productible par une machine consiste a` diminuer sa production de puissance active. La mˆeeme me figure montre l’influence d’une variation de la tension terminale V  . Pour une valeur donn´ee ee de P , une augmentation de  V  augmente les limites r´eactives, eactives, tant en production qu’en absorption (voir cependant cependant la remarque plus loin). A la figure 8.10 figure 8.10,, les courbes 1, 3 et 4 ci-dessus se croisent en un mˆeme eme point, sous  V   V    = 1 pu. En pratique, ce n’est pas toujours le cas mais cependant les points d’intersection de ces courbes  P    =   P max  V    = 1 pu, deux a` deux sont toujours tr`es es proches (ce qui traduit le fait que pour  P  max et  V  le rotor et le stator sont dimensionn´es es de mani`ere ere coh´erente). erente). La figure 8.11 figure 8.11 montre  montre les courbes 1, 3 et 4 d’une machine r´eelle, eelle, compte tenu de la saturation du mat´eriau. eriau. L’allure ’allure g´en´ en´eerale rale des courbes est celle de la figure  8.10.   Cependant, les caract´eristiques eristiques de saturation de cette machine sont telles que la limite rotorique devient moins contraignante quand la tension  V   diminue. Mentio Ment iono nons ns enfin enfin qu quee les les limite limitess stat stator oriq ique ue et ro roto toriq rique ue d´epende ependent nt des conditi conditions ons de ref refroi roidis dissesementt de la machin men machine. e. Dans Dans une machin machinee refroi refroidie die a` l’hydrog`ene, ene, par exemple, exemple, une augmenta augmentation tion elev´ ´ lev´es. es. de la pression de ce gaz autorise des courants  I N f max plus e N   et  I fmax 133

 

P  (MW)   (MW) 1200

1000

puiss. max turbine

800

V  =1.05  =1.05 pu V  =1.00  =1.00 pu

600

V  =0.95  =0.95 pu

400

 =1.05 pu V  =1.05

V  =1.00  =1.00 pu 200

0 0

V  =0.95  =0.95 pu Q (Mvar) 200

400

600

800

1000

1200

Figure 8.11: courbes de capacit´e tenant compte de la saturation (courbes 1, 3 & 4, rotor lisse)

134

 

Chapitre 9 Comportement des charges Ce chapitre aborde le comportement des charges. Nous nous int´ interessons e´ ressons d’abord au moteur asynchrone triphas´e. e. La machine asynchrone eest st tr` tres e` s utilis´eee, e, princi principal paleme ement nt en tant tant que moteur moteur,, par ex exemp emple le dans dans les instal installat lation ionss indust industrie rielle lles. s. Elle est egalement e´ galement utilis´ee ee pour produire de petites quantit quantit´es e´ s d’´energie energie electrique, e´ lectrique, par exemple dans les eolien e´ oliennes nes de premi` premi`ere e re g´en´ en´eeratio ration n ou dans dans des ce centr ntrale aless hydrau hydrauliq liques ues au fil de l’eau. l’eau. L’in L’int´ t´erˆ erˆeett de cette machine est sa simplicit´e, e, qui conduit a` des coˆuts uts de fabrication et de maintenance relativement relativeme nt faibles. Nous nous int´eressons eressons ensuite a` des mod`eles eles simples convenant a` divers types de charges, utilis´es es couramment dans les etudes e´ tudes de grands syst systemes e` mes et permettant de prendre en compte la variation des puissances consomm´ees ees avec avec la tension et la fr´ frequence. e´ quence.

9.1 9. 1 9.1.1 9.1. 1

Comp Compor orte teme ment nt du mote moteur ur asyn asynch chrrone one en tan tant que char charge ge Rap Rappel pel : pri princip ncipee d dee fon foncti ctionne onnemen mentt

Rappelons bri` Rappelons bri evement e` vement le principe principe de fonctionne fonctionnement ment d’une machine asynchrone asynchrone en r´eegime gime  p  = 1) eetab ´ tabli. li. Nous Nous supp suppos oson onss po pour ur simp simplifi lifier er qu quee la mach machin inee po poss ssib ible le une une seul seulee pa paire ire de pˆoles o les ( p = mais la th´eorie eorie qui suit s’applique au cas o`u elle en poss`ede ede plus. Soit  ω s la pulsation des tensions et courants au stator. Le stator a la mˆeme eme structure que celui d’une machine synchrone. Son rˆo ole le est de produire un champ tournant a` la vitesse angulaire ωs . erente de la vitesse   ωs  du champ tournant Le rotor, quant a` lui, tourne a` une vitesse   ωm  diff´erente

135

 

statorique, la diff´erence erence etant e´ tant caract´eris´ eris´eeee par le glissement :

g  =

  ωs

−ω

m

ωs

=1

−  ωω

m

(9.1)

s

Les circuits rotoriques, que l’on peut assimiler a` des circuits triphas´es, es, sont le si siege e` ge de courants induits, alternatifs, de pulsation g ωs. Ces courants cr´eent eent un champ tournant a` la vitesse g ωs  (g ω s ) + ω +  ωm   =  ω s par rapport au stator. Les deux par rapport au rotor, c’est-`a-dire a-dire a` la vitesse (g champs sont donc fixes l’un par rapport a` l’autre et leur interaction est a` l’origine du couple eelectromagn´ ´ lectromagn´etique, etique, constant en r´egime egime etabli. e´ tabli. Il existe deux cat´eegories gories de machines asynchrones :

•   moteurs a` rotor  en cage (d’´  (d’ecureuil) : le circuit rotor rotorique ique est constitu´ constitu´e de barres (en Al ´ 

ou Cu) nues, nues, court-circ court-circuit´ uit´ees ees en leurs extr´emit´ emit´es es par des anneaux pour permettre une circulation ais´ee ee du courant. Les moteurs a` cage d’´ecureuil ecureuil sont de construction simple, de maintenance ais´ee ee et fiable fiables. s. Ils peuve peuvent nt etre eˆ tre dot´es es d’une double double cage cage.. L’une sert alors a` obtenir un couple electromagn´ e´ lectromagn´etique etique suffisant suffisant au d´ deemarrage. ´ marrage.

 bobin´  e´ : le rotor porte des enroulements isol´es, a` rotor  bobin es, g´en´ en´eeralement ralement triphas´es. es. •  moteurs Ces moteurs se rencontrent dans des applications o`u il faut avoir acc`es es aux circuits

rotoriques (via des bagues et des balais) pour contrˆoler oler le courant et/ou le couple de d´emarrage, emarrage, ou encore la vitesse de rotation. Une technique tr`es es ancienne, par exemple, exemple, consiste a` ins´erer erer des r´eesistances sistances dans les circuits rotoriques pour augmenter le couple de d´emarrage. emarrage. Ces moteurs sont plus coˆuteux uteux que les moteurs a` cage d’´eecureuil cureuil eu egard e´ gard a` leur construction et leur maintenance. Sans nuire a` la g´en´ en´eralit´ eralit´ee,, la th´eorie eorie de ce chapitre est eetablie ´ tablie pour un moteur a` une cage.

Ra Rapp ppel el : sch schema  e´ ma  equivalent e´ quivalent en r´ regime  e´ gime  etabli e´ tabli

9.1. 9.1.2 2

Le lecteur voudra bien se reporter au cours de Conversion Conversion de l’´ l’energie e´ nergie electromagn´ e´ lectromagn´etique etique pour l’ l’´etablissement e´ tablissement du sch´ema ema equivalent e´ quivalent d’une machine asynchrone triphas´ee, ee, en r´eegime gime etabli, e´ tabli, donn´e a` la figure 9.1. figure 9.1.  Il s’agit bien entendu d’un d’un sch´ema ema equivalent e´ quivalent par phase. Dans ce dernier:

•   R  repr´esente esente la r´esistance esistance d’une phase statorique •   R  repr´esente esente la r´esistance esistance d’une phase rotorique •   L − L  et L − L  sont les inductances de fuite et L •   V ¯  est la tension phase-neutre phase-neutre aux bornes du stator s r

ss

sr

rr

sr

  I  ¯ est  est le l e courant de phase au stator

•

136

sr  l’inductance

magn´etisante etisante

 

Lss

Rs

¯ I 

−L

Lrr

sr

−L

sr

¯r I  ¯ V 

R g

r

Lsr

Figure 9.1: sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la machine asynchrone asynchrone en r eegime ´ gime etabli e´ tabli

•   I ¯  es  estt le couran courantt circu circulan lantt dans dans une phase phase rotori rotorique que,, rap rappor port´ t´e au stator stator:: le vecte vecteur ur tou tourna rnant nt r

correspondant corresponda nt tourne a` la vitesse angulaire ω s .

Le tableau ci-apr`es es donne les ordres de grandeur des r´esistances esistances et inductances, en per unit  1 dans la base de la machine .

s R Lss Lsr

− L 

sr

 

r 0.01 - 0.12 pu Lrr   0.07 - 0.15 pu    R 1.8 - 3.8 pu

− L 

sr

0.01 - 0.13 pu   0.06 - 0.18 pu

En r´egime egime etabli, e´ tabli, le bilan de puissance au stator s’´ecrit: ecrit:

P   P   =  p J s + p  +  ps→r ou`  P  repr´esente esente la puissance active consomm´ee ee par le moteur,  pJ s les pertes Joule au stator et  ps→r  la puissance passant passant du stator au rotor (ou puissance “dans l’entrefe l’entrefer”). r”). On d´eduit eduit ais´ement ement du sch´ema ema equivalent e´ quivalent que ps→r  est la puissance dissip´eeee dans la r´esistance esistance eequivalente ´ quivalente  Rr /g , soit:

  Rr 2  ps→r   = g   I r

 

(9.2)

Les pertes Joule dans les r´eesistances sistances rotoriques valent  Rr I r2 . Elles repr´esentent esentent donc une fraction  g  de la puissance passant du stator au rotor. La fraction compl´ementaire ementaire est transform´ee ee en puissance m´ecanique, ecanique, la machine d´eveloppant eveloppant un couple eelectromagn´ ´ lectromagn´etique etique   T e  sous une vitesse de rotation ω m  = (1 g )ωs.

−

On a donc:

ωm T e  = (1 dont on tire:

 ps→r  = 1

− g) p → s

r

  ωm T e  = ω  =  ω s T e 1 g

−

 

(9.3)

Rappelons que, en per unit, les r´eeactances actances a` la pulsation nominale ont les mˆemes emes valeurs que les inductances

137

 

9.1.3 9.1. 3

Cou Couple pless et et poin points ts d dee ffonct onctionn ionneme ement nt

¯ , comme repr´esent´ Consid´erons erons une machine asynchrone aliment´ee ee sous une tension  V  esent´e a` la figure 9.2 figure  9.2.a. .a. Le sch´ema ema equivalent e´ quivalent de Th´ Thevenin e´ venin de la partie a` gauche de AA’ (voir figure 9.2. figure 9.2.b) b) a pour param`etres etres : ¯e   =   V  ¯   jω s Lsr V   +  jω Rs  + j ωs Lss  +  jX  Re  + j X e   =   jω s (Lrr

Rs

Lss

−L

sr

B

¯ V 

−L

sr ) +

Lrr

−L

  jω s Lsr (Rs + j  +  jω ωs(Lss Rs  + j  +  jω ωs Lss

−L

sr ))

=  jω  j ωs Lrr  +

Re  +  + jX   jX e

sr

¯r I 

A

A

¯r I 

¯e V 

+ −

R g

r

Lsr

B

¯ V 

+ −

R g

r

A’

B’

  ωs L2sr Rs + j  +  jω ωs Lss

A’

b.

a.

+ −

Rm  +  + jX   jX m

B’

c.

Figure 9.2: manipulations du sch´ema ema equivalent e´ quivalent Des relations (9.2 (9.2)) et (9.3 (9.3)) on d´eduit: eduit:

  1 Rr 2   1 Rr V e 2 T e  =   I    = ωs g r ωs g (Re +   Rgr  )2 + X e2

(9.4)

La variation du couple  T e  en fonction du glissement  g  est montr´ee ee a` la figure 9.3, figure 9.3, pour  pour deux valeurs de  V   . Ces  . sont a` un moteur industriel grande puissance, 867, , Lrelatives 800, , Lrr  = 3.970 970, , Rs  = 0de .013 013, , Rr   = 0.009 pu,dont  p =  p  = les 1. param`etres etres sont :  Lcourbes ss  = 3.867 sr   = 3.800 ecanique (r´esistant). esistant). Ce En r´egime egime etabli, e´ tabli, on a evidemment e´ videmment T e   =   T m , ou`  T m  est le couple m´ecanique de dern rnie ierr va vari riee g´en´ en´eral e ralem emen entt ave vecc la vite vitess ssee de rota rotati tion on (et (et do donc nc le glis glisse seme ment nt). ). La loi loi de va vari riat atio ion n d´epend epend du type de charge charge m´ecanique ecanique entraˆın´ ınee e´ e (ventilateur, (ventilateur, pompe, pompe, compresseur compresseur,, etc. etc. . . ). Dans ce qui suit, nous supposerons pour simplifier que  T m  est constant, ce qui est acceptable pour de faibles variations du glissement. e, les points A et B a` la figure 9.3 figure  9.3 sont  sont des points d’´equilibre. equilibre. Le Pour un couple   T m  donn´e, raisonnement intuitif suivant suivant montre que A est un point d’ d’´equilibre e´ quilibre stable. En effet, le moteur fonctionnant en A, si l’on suppose qu’une perturbation augmente le glissement   g , le couple eelectromagn´ ´ lectromagn´etique etique devient sup´eerieur rieur au couple couple m ecanique; e´ canique; le moteur acc´eel` l`ere, ere, le glissement diminuee et le moteur retourne diminu retourne vers son point de fonctionnem fonctionnement ent initial. initial. De mˆ meme, eˆ me, le point 138

138

 

2 1.8

V = 1.00 pu V = 0.95 pu

1.6

T e

1.4 1.2    )   u   p    (

  e

T m

A

1

   T

A

T

B

m

A’

0.8 0.6 0.4 0.2 0 

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 g

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 9.3: variation du couple electromagn´ e´ lectromagn´etique etique en fonction du glissement d’´equilibre equilibre B est est instable. instable. En effet, effet, si l’on applique applique la mˆeme eme perturbation lorsque le moteur fonctionne en B, le couple electromagn´ ´electromagn´etique etique devient inf´erieur erieur au couple couple m ecanique; e´ canique; le moteur d´ec´ ec´eel` l`ere, ere, le glissement augmente et le moteur s’´eloigne eloigne davantage de son point de fonctionnement. On aboutit a` la mˆeme eme conclusion si l’on consid`ere ere une diminution initiale du glissement plutˆot ot qu’une augmentation. On voit qu’il existe un couple maximum au del`a duquel le fonctionnement n’est pas possible. Ce couple maximum varie comme le carr´e de la tension  V e  et donc le carr´e de la tension  V  . Le moteur doit etre eˆ tre conc¸ u pour fonctionner fo nctionner avec une marge de s ecurit´ e´ curit´e par rapport a` ce couple maximum. maxim um. Le couple couple   T m  choisi a` la figure 9.3 figure  9.3  correspond aux conditions d’´echauffement echauffement maximum car la puissance apparente absorb´ee ee par le motor est proche de 1. pu.

9.1.4

Reponse  e´ ponse  a` une chute de tension

Supposons Suppos ons que le moteur moteur foncti fonctionn onnee initia initialem lemen entt en A lor lorsqu squ’un ’unee ch chute ute de tensio tension n (en echelon) ´ se produit. Un agrandissement du voisinage du point A est montr´e a` la figure 9.3. figure 9.3. La  La courbe du couple electromagn´ e´ lectromagn´etique etique apr`es es perturbation est est repr´ represent´ e´ sent´ee ee en pointill´e. e. Dans les premiers instants qui suivent cette cette perturbation, a` cause de l’inertie l’i nertie des masses tournantes, le glissement du moteur ne peut changer et la r´esistance esistance R r /g  conserve sa valeur d’avant perturbation. Le moteur se comporte donc comme une admittance constante. Suite a` la chute de tension, le couple  T e est devenu inf´erieur erieur au couple T m . Le moteur d´ec´ ec´eel` l`ere ere donc et rejoint son nouveau point d’´equilibre equilibre stable A’. En vertu de ((9.3 9.3)) la puissance passant

139

 

du stator au rotor reprend sa valeur avant perturbation. Comme on le voit, le moteur asynchrone est une charge qui, suite a` une perturbation de la tension a` ses bornes tend a` restaurer a` sa valeur avant perturbation une puissance consomm´ee ee en interne. Ce processus de restauration est rapide : de l’ordre d’une seconde. Un tel comportement est inconfortable car dans les r´egimes egimes perturb´es e s o`u la tension chute, il est avantageux que les puissances consomm´ees ees par les charges diminuent, pou pourr soulager le r´ reseau. e´ seau. Le moteur asynchrone n’a pas un tel comportement, du moins pas en ce qui concerne la puissance active. Pour une Pour une chut chutee de tens tensio ion n tr`es es import importan ante, te, le co coupl uplee electromagn´ ´ etique etique T e pe  peut ut deve devenir nir inf´erieur erieur 2 au couple m´ecanique, ecanique, auquel cas un “d´ecrochage” ecrochage” du moteur va se produire produire : ce dernier dernier va ralentir jusqu’`a s’arrˆeter. eter. Cette augmenta augmentation tion du glissement glissement a pour effet effet de diminuer diminuer la resistance e´ sistance  Rr /g ; il s’en suit que le courant consomm´e augmente consid´eerablemen rablement. t. En pratique, ceci peut amener une protection a` d´econnecter econnecter le moteur du r´ reseau. e´ seau.

9.1. 9.1.5 5

Var aria iati tion on de dess puis puissa sanc nces es ac acti tive ve et react e´ actiive avec la tens tensio ion n et la fr´ frequence e´ quence

Consid´erons erons pour terminer la variation des puissances active et r´eactive eactive avec la tension et la fr fr´equence. e´ quence. Nous supposons supposons toujours le couple m´ecanique ecanique constant. constant. Les puissances active active et reactive e´ active consomm´ees ees par le moteur sont donn´ees ees par :

  Rm 2 V  2 2  + X   +  X m Rm   X m Q = V 2 2 2 Rm  + X   +  X m P    =

(9.5) (9.6)

 +  jX  X m est l’imp´edance ou`  Rm  + j edance equivalente e´ quivalente du moteur vu de l’acc`es es BB’, comme repr´eesent´ sent´e `a la figure 9.2. figure 9.2.cc : Rm  + j  +  jX  X m   =   Rs  + j  +  jω ωs (Lss

−L

sr ) +

 jω s Lsr ( Rgr  + jω  j ωs (Lrr Rr   g

+ jω  j ωs Lrr

=   Rs  + j  +  jω ωs Lss  + R r ωs2 Ls2srr   + jω  j ωs Lrr g

−L

sr ))

(9.7)

Rm   et   X m   d´ependen ependentt du glissemen glissement. t. Ce dernier dernier s’obtient par la condition condition d’´ d’eequilibre ´ quilibre des couples :

T m  = T   =  T e

 ⇔

  1 Rr V e 2   T m   = ωs g (Re +   Rgr  )2 + X e2

(9.8)

´ t´e d´efinis efinis pr´ec´ ec´edemment. edemment. ou`  Re , X e et  V e ont eet´ Pour une paire (V,  (V, ωs ) donn´ee, ee, le glissement s’obtient en r´esolvant esolvant (9.8 (9.8). ). A cette fin, il est plus ais´e de consid´erer erer  Rr /g comme inconnue interm´ediaire, ediaire, puis d’en tirer la valeur de g . On peut alors calculer les valeurs de  Rm et  X m  `a partir de (9.7 (9.7)) et les puissances a` partir de (9.5 (9.5,, 9.6  9.6). ). 2

en anglais : “motor stalling”

140

 

Les figures 9.4 figures 9.4 `  `a 9.7 montrent  9.7 montrent les variations recherch´ees ees pour le moteur consid´er´ er´e a` la figure 9.3 et 9.3  et pour deux valeurs du couple. On notera la plage de variation de la fr fr´eequence ´ quence par rapport a` celle de la tension. Ces figures appellent les commentaires suivants :

•  les courbes sont limit´ees ees aux tensions basses par le d´ecrochage ecrochage du moteur; avec la tension tension.. En fait, elle augmen augmente te l´eg` eg`eerement rement •  la puissance active varie tr`eses peu avec quand la tension diminue;

Montrer que si  Rs est n´eglig´ eglig´ee, ee, cette puissance est exactement constante.

•  la puissance active varie quasi lin´eairement eairement avec la fr´equence. equence. La sensibilit´e de  P   a`  ω

s

est d’autant plus prononc´ee ee que le moteur est charg´ee;;

Montrer que si  Rs est n´eglig´ eglig´ee, ee, cette relation est exactement lin´eeaire. aire.

•

 la puissance r´eactive eactive evolue e´ volue significativement significativement avec avec la tension. Lorsque la tension augmente, la consommation de la r´eactance eactance magn´etisante, etisante, proportionnelle au carr´e de la tension, finit par dominer. Par contre, lorsque la tension diminue, c’est la consommation des r´eactances eactances de fuite qui finit par l’emporter. l’emporter. Entre les deux, il existe une tension o`u la sensibilit´e de Q  `a V  change de signe. Cette tension augmente avec la charge du moteur;

•   la sesensi nsibil bilit´ it´e de Q `a ω  peut etre eˆ tre positi positive ve ou n´egative egative selon le niveau niveau de char charge ge du moteur moteur. s

9.2

9.2.1

Modeles e` les simples des variations des charges avec la tension et la fr´ frequence e´ quence Modeles e` les dynamique et statique

Le mod`ele ele dynamique g´en´ en´eeral ral d’une charge pe peut ut s’ s’´ecrire: e´ crire:

P    =   H P  P (V,f, x) Q   =   H Q (V,f, x) x˙   =   g(V,f, x)

 

 

(9.9)

 

(9.10) (9.11)

ou`   P   (resp.   Q) est la puissanc puissancee active active (resp. (resp. r´eactive) eactive) consomm´ee, ee,   V  est le module de la tension aux bornes de la charge,  f  la  la fr´equence equence de cette tension et x un vecteur d’ d’etat e´ tat relatif au processus dynamique pouvant pouvant exister a` l’int´erieur erieur de cette charge.

141

 

1 T  = 0.50 pu m

0.95

T  = 0.85 pu m

0.9 0.85 0.8    )   u   p 0.75    (    P

0.7 0.65 0.6 0.55 0.5   0.5

0 .6

0.7

0.8 V (pu)

0.9

1

1.1

Figure 9.4: variation avec avec la tension de la puissance active consomm´ee ee par un moteur

1 T  = 0.50 pu m

T  = 0.85 pu

0.9

m

0.8 0.7    )   u   p    (   0.6    Q

0.5 0.4 0.3 0.2   0.5

0 .6

0.7

0.8 V (pu)

0.9

1

1.1

Figure 9.5: variation avec avec la tension de la puissance r´eactive eactive consomm´ consommee e´ e par un moteur

142

 

0.95 0.9 0.85 Tm = 0.50 pu T  = 0.85 pu

0.8

m

0.75    )   u   p    (    P

0.7

0.65 0.6 0.55 0.5 0.45   0.94

0.96

0.98

1  ou f (pu)

1.02

1.04

1.06

ω

Figure 9.6: variation avec la fr´equence equence de la puissance active consomm´ee ee par un moteur

0.5 0.48 0.46 0.44 T  = 0.50 pu

0.42    )   u   p    (      Q

m

T  = 0.85 pu m

0.4

0.38 0.36 0.34 0.32 0.3   0.94

0.96

0.98

1  ou f (pu)

1.02

1.04

1.06

ω

Figure 9.7: variation avec avec la fr´equence equence de la puissance puissance r´ reactive e´ active consomm´ consommee e´ e par un moteur

143

 

Dans de nombreux cas, on se contente d’un mod`ele ele statique, soit parce que la dynamique est n´egligeable, egligeable, soit parce parce qu’on ne s’y int´ interesse e´ resse pas, pas, soit parce que l’on ne dispose pas de donn´eees es fiables a` son sujet. Le mod`ele ele statique est obtenu en consid´erant erant que la dynamique interne est a` l’´equilibre, equilibre, ce qui se traduit par:   g(V,f, x) =  0 En eliminant e´ liminant x des relations ((9.9, 9.9, 9.10, 9.12 9.10, 9.12), ), on obtient formellement:

P    =   hP (V, f ) f ) Q   =   hQ (V, f ) f )

(9.12)

 

(9.13)

 

(9.14)

C’est aux mod`eles eles de ce type que nous nous int´eressons eressons dans le reste de ce chapitre.

9.2.2

Modele  e` le  a` exposant de charges individuelles

Consid´erons erons dans un premier temps a` la variation variation de la charge avec avec la tension. tension. Un mod`ele ele exposant : statique tr`es es utilis´e en pratique est le mod`ele ele  a` exposant 

P    =   P o Q   =   Qo

α

    V  V o V  V o

(9.15) β

(9.16)

dans lequel   V o  est une tension de r´ef´ ef´erence erence et   P o  (resp.   Qo ) est la puissance active (resp. reactive) e´ active) consomm´ consommee e´ e sous cette tension.  α  et β  caract´   caract´erisent erisent le type de la charge, charge, tandis que  P o esentent le “volume” d’ d’equipements e´ quipements de ce type. et Q o repr´esentent



Notons que le facteur de puissance d’une telle charge d´epend epend de la tension, si  α =  β , ce qui est souvent le cas en pratique. Mentionnons quelques cas particuliers:

•   α = β   =  β    = 2 : charge a` admittance constante •   α = β   =  β    = 1 : charge a` courant constant •   α = β   =  β    = 0 : charge a` puissance constante. ´ f erence Choix de la tension de r eef  e´ rence. La puissance active active consomm´ee ee sous une tension V 1 vaut:

P 1   =  P o

α

  V 1 V o

144

 

rel ation et en remplac rempl ac¸ant dans (9.15), 9.15), on trouve: En tirant  P o de cette relation

P   P   =  P 1

α

  V  V 1

ave vecc un unee re rela latio tion n semb sembla labl blee po pour ur la pu puis issa sanc ncee r´eact e activ ive. e. On voit oit do donc nc qu quee la te tens nsio ion n de r´ef´ ef´erence erence peut  P  etre eˆ tre etchoisie sans que la sous caract´ eristique eristique soitdemodif´ ee, ee, a` condition de prendre pour  Qo lesarbitrairement puissances consomm´ ees ees cette tension r´eef´ f´erence. erence. o

Interpretation Interpr´ e´ tation des exposants.   α et  β  peuvent   peuvent etre eˆ tre interpr´eet´ t´es es comme comme suit. Consid´ Consid´erons erons une  ∆V  V   pour laquelle on peut lin´ variation de tension ∆ lineariser e´ ariser (9.15 (9.15)) en:

V  α −1 ∆P   P   =  αP o  α ∆V  V o Evalu´ee ee a` la tension de r´ef´ ef´erence erence  V o , cette expression donne:

∆P  ∆V  =  α P o V o

⇔   α =   ∆∆PV // P V 

o

(9.17)

o

avec un r´esultat esultat similaire pour la puissance r´eactive: eactive:

∆Q ∆V  =  β  Qo V o

⇔   β   =   ∆∆QV // QV 

o

(9.18)

o

Comme on le voit,   α  et   β  repr´   repr´esentent esentent les sensibilit´es es “normalis´ees” ees” (sans dimension) de la puissance a` la tension. Le mod`ele ele peut etre eˆ tre am´elior´ elior´e en tenant compte de la sensibilit´e de la charge a` la fr´equence equence  f :

 

P    =   P o 1 + D +  D p Q   =   Qo 1 + D +  Dq

 − f   −

f 

N  N 

f N  N 

 − f   −

f 

   

N  N 

f N  N 

V  V o

α

V  V o

β

(9.19) (9.20)

 −  −

equence equence nominale du syst`eme. eme. La d´ependance ependance lin´eaire eaire vis-`a-vis a-vis de  f  f N  ou`  f N N   se N   est la fr´  justifie par la faible amplitude des variations de fr´ frequence e´ quence auxquelles les r´eseaux eseaux modernes sont sujets. On v´erifie erifie ais´ement ement que:

  ∆P / P o D p   = ∆f / f N  N 



V  =V   =V o

  ∆Q / Qo et   Dq   = ∆f / f N  N 



V   =V  =V o

Le tableau ci-apr`es es pr´esente esente des valeurs typiques du facteur de puissance (`a la tension nominale) et des param`etres etres α  α,, β, D p, Dq  pour divers types de charges.

145

 

cat´egorie egorie de charge   r´esidentielle, esidentielle, en eet´ ´ t´e r´esidentielle, en hiver commerciale, en eet´ ´ t´e comme merrciale, en hiver industrielle

cos φ

α

β

D p   Dq

0.9 0.99 0.85 0.9 0.85

1.2 1.5 1.0 1.3 0.2

2 2..9 3.2 3.5 3.1 6.0

0. 0 .8 1.0 1.2 1.5 2.6

-2 -2.2 -1.5 -1.6 -1.1 1.6

auxiliaires de centrales

0.8

0.1

1.6

2.9

1.8

En pratique, dans les etudes e´ tudes faisant intervenir un tel mod`ele ele de charge, on effectue un calcul de load flow pr´eliminaire eliminaire pour d´eterminer eterminer le point de fonctionnement initial du syst`eme. eme.  P o et Qo sont alors les puissances sp´ecifi´ ecifi´ees ees au noeud PQ o`u est connect´ee ee la charge et  V o la tension de celui-ci, fournie par le calcul de load flow. On peut tenir compte d’une composition non homog`ene ene de la charge en combinant diff´erents erents mod`eles, eles, avec une pond´eration eration pour chaque type:



P    =   P o 1 + D +  D p Q   =   Qo 1 + D +  Dq



 − f   −

f 

N  N 

f N  N 

ai

i

 − f   −

f 

   

N N  

f N 

bi

V  V o

αi

V 

βi

avec

ai  = 1

 

(9.21)

bi   = 1

 

(9.22)

i

V o

    i



avec

 i

active (resp. r´ reactive) e´ active) totale consomm´ consommee e´ e par la ou`  ai (resp.  b i ) est la proportion de la puissance active  f   =  f N   V    =  V o et f   composante de caract caracteristique e´ ristique αi (resp.  β i ) lorsque V  N . Notons enfin que certains mod`eles eles valables aux environs environs de la tension nominale cessent d’ˆeetre tre applicables en cas de d´eviations eviations importantes et/ou prolong´ees ees de la tension. Parmi les ph´enoenomenes e` nes responsables de ceci, nous avons d´eej` j`a mentionn´e le d´ecrochage ecrochage des moteurs asynchrones. Il y a egalement e´ galement l’extinction rapide des lampes fluorescentes lorsque la tension tombe en dessous d’environ 0.7 pu.

9.2.4 9.2. 4

Iden Identifi tificati cation on des par param am`etres e` tres du mod` modele e` le

Dans de nombreux r´eseaux, eseaux, on cherche actuellement a` mieux mi eux connaˆıtre ıtre le comportement comp ortement des charges et en particulier a` identifie identifierr les param`etres etres intervenant dans leurs mod`eles. eles. Il eexiste xiste deux approches: 1. la premi` premi`ere ere tente d’iden d’identifier tifier la composit composition ion de la charge charge,, par exemple exemple a` partir partir d’informad’informations collect´eees es par les services de facturation et consign´ees ees dans les syst`emes emes informatiques de gestion du r´eseau eseau de distribution. distribution. A chaque type de charge charge individu individuelle elle est associ´e un mod`ele ele typique et les diverses composantes sont combin´eees es en un mod`ele ele unique; 2. la seconde seconde tente tente de mesurer mesurer sur site la r´eponse eponse de la charge a` des variations de tension ou de fr´eequence. quence. Evidemment, ces essais sont limit´es es a` des variations ne perturbant pas les consommateurs. Des variations permanentes permanentes de fr equence e´ quence sont difficiles a` r´ealiser. ealiser.

147

 

Dans le cas du mod`ele ele a` exposant, les coefficients  α  et β  peuvent  peuvent eetre ˆ tre d´etermin´ etermin´es es en mesurant les variations de puissance   ∆P   et   ∆Q  r esultant e´ sultant d’une variation de tension   ∆V  et en introduisant ces donn´ees ees dans (9.17 (9.17,, 9.18).  9.18). La variation de tension peut etre eˆ tre provoqu´eeee en agissant sur le(s) transformateur(s) alimentant le d´epart epart de distribution. Ce type de transformateur est souvent equip´ e´ quip´e d’un r´egleur egleur en charge permettant d’ajuster le rapport de transformation comme d´ecrit ecrit a` la section 6.5 section 6.5.. La variation de tension peut etre eˆ tre obtenue:

•   en passant rapidement rapidement des prises sur le(s) transformateur(s) •  si l’on dispose de deux transformateurs en parall`ele, ele, en d´eclenchant eclenchant l’un d’entre eux, a` condition qu’il n’y ait pas de risque de surcharge du transformateur restant

•  si l’on dispose de deux transformateurs en parall`ele, ele, en augmentant momentan´eement ment le rapport de l’un et en diminuant le rapport de l’autre avant avant d’en d´ deeclencher ´ clencher un.

En ce qui concerne la r´eponse eponse du syst`eme e me a` des variations importantes de tension ou de fr fr´equence, e´ quence, l’analyse l’analyse d’enregi d’enregistrem strements ents pris au cours cours d’inciden d’incidents ts s´ev` ev`eres e res eest st du plus plus haut haut int´ int´erˆ erˆeet. t. En tout etat e´ tat de cause, face a` l’incertitude sur le comportement de la charge, il importe de proc´eder eder a` des etudes e´ tudes de sensibilit´e dans lesquelles on fait varier les param`etres etres des mod`eles eles dans les plages de valeurs plausibles.

148

 

Chapitre 10 Regulation e´ gulation de la fr´ frequence e´ quence Dans tout syst`eme eme electrique e´ lectrique de puissance, puissance, il importe de maintenir la fr equence e´ quence dans une plage eetroite ´ troite autour de sa va valeur leur nominale (50 ou 60 Hz). Le respect strict de cette valeur valeur est non seulement n´ecessaire ecessaire au fonctionnement fonctionnement correct des charges mais, comme on va le voir, voir, il est eegalement ´ galement l’indicateu l’indicateurr d’un equilibre e´ quilibre entre puissances actives produites produites et consomm´ees. ees. Le maintien de cet equilibre e´ quilibre est essentiel car l’´energie energie electrique e´ lectrique n’est pas emmagasinab emmagasinable, le, du moins pas dans les quantit´eess suffisantes pour faire face aux fluctuations de la demande ou aux incidents. Elle doit donc etre eˆ tre produite au moment o`u elle est demand´ee. ee. Consid´erons erons par exemple une une augmentation brutale de la demande. Dans les toutes premi`eres eres secondes, l’´energie energie correspondante va etre eˆ tre pr´elev´ elev´ee ee sur l’´energie energie cin´etique etique que poss`edent edent les masses tournantes des unit´es es de production. production . Ceci va entraˆıner ıner une diminuti di minution on de la vitesse de rotation de ces unit´es, es, c’est-`a-dire a-dire de la fr´equence equence du r´eseau. eseau. Cet ecart e´ cart de vitesse est d´eetect´ tect´e de vitesse. Dans l’exemp et corrig´e automatiquement par les   r egulateurs ´  ´  l’exemple le qui nous occupe, occupe, ces r´egulateurs egulateurs vont augmenter l’admission de fluide (vapeur, gaz ou eau) dans les turbines de mani`ere ere a` ramener les vitesses autour de leurs valeurs nominales, et donc la fr´equence equence du reseau. e´ seau. Une fois le syst`eeme me revenu a` l’´equilibre, equilibre, les unit´ unites e´ s conservent cette admission de fluide plus elev´ e´ lev´ee, ee, donc une production de puissance plus elev´ ´elev´ee, ee, eequilibrant ´ quilibrant la demande egalement e´ galement plus elev´ e´ lev´ee. ee. primaire primaire1 . Elle inte Cette r´egulation egulation en centrale est appel´ee ee   r egulation ´  ´  intervien rvientt la premi` premi`ere ere sur l’ l’´echelle e´ chelle des temps: typiquement, quelques quelques secondes apr`es es une perturbation. Comme nous le secondaire, intervenant typiqueverrons dans ce chapitre, il existe egalement e´ galement une   r egulation ´  ´  ment en quelques minutes. 1

dans ce chapitre, “r´eegulation” gulation” et “r´eeglage” glage” sont utilis´eess indistinctement

149

 

10.1

Regulateur e´ gulateur de vitesse

10.1.1 10. 1.1

Descr Descrip ipti tion on et sch´ schema e´ ma bloc

Un sch´ema ema de principe de la r´egulation egulation de vitesse vitesse est donn´e a` la figure 10.1 figure  10.1.. Un dispo dispositif  sitif  mesure la vitesse de rotation de l’ensemble (turbine + g´en´ en´eerateur). rateur). Dans le r´egulateur, egulateur, cette mesure est compar comparee e´ e a` la vitesse de rotation nominale (correspondant (correspondant a` une fr´equence equence de 50 ou 60 Hz) et l’´ecart ecart entraˆ entr aˆıne ıne une augmentation augmentat ion ou une diminution diminut ion de l’admission l’admis sion de fluide dans la turbine, par action sur ses  soupapes de r eglage ´  ´  . Le r´egulateur egulateur de vitesse utilise un  servomoteur  pour manoeuvrer les soupapes. soupapes. Ce dispositif (voir figure figure 10.1  10.1)) comporte un piston, mˆu par de l’huile sous pression. Celle-ci est admise dans dans le cylindre, d’un cˆo ot´ t´e ou de l’autre du piston  vanne ne pilote pilote. Le pist selon le sens de la correc correction, tion, par une van piston on se d´eplac eplacee tant tant que la vann vannee pil pilote ote ne bloque pas l’admission d’huile, c’est-`a-dire a-dire tant que le signal de correction qui commande la vanne pilote n’est pas revenu a` z´ero. ero. vapeur

signal d’erreur de vitesse

turbine mesure de vitesse

g´een´ n´eerateur rateur

 

r´eetroaction troaction de la position des soupapes

vanne pilote

soupapes de r´eeglage glage

huile sous pression vapeur

soupapes de r´eglage eglage

r´eegul. gul. de vitesse

servomoteur

Figure 10.1: sch´ema ema de principe de la r´egulation egulation de vitesse et du servomoteur On peut etablir e´ tablir un sch´ema ema bloc comme a` la figure 10.2. figure 10.2. Le  Le signal d’entr´ee ee ω  est la vitesse de rotation.   z  repr´  repr´esente esente la fraction d’ouverture des soupapes de la turbine ( 0 mz  1).   G(s) est  deelivr´ ´ livr´ee ee par la turbine : la fonction de transfert entre  z  et  et la puissance m´ecanique ecanique  P m d´

≤  ≤  ≤

P m   =  G(  G (s) z 

 

F ((s) est la fonction de transfert entre ωm et z . Nous allons la d´etailler F  etailler quelque peu. ωm

F ( F (s) régul gulateur de vitesse

z   

G(s)

P m

turbine

Figure 10.2: sch´ema ema bloc du r´egulateur egulateur de vitesse et de la turbine

(10.1)

150

 

Un premier type de r´egulateur egulateur de vitesse est d´ecrit ecrit par le sch´ema ema bloc de la figure 10.3. figure  10.3.   Il s’agit d’un sch´ema ema simplifi´e; e; en particilier, on n’a pas repr´esent´ esent´e les limites impos´eees es a`  z  et  et a` e´ lectrique. sa d´eriv´ eriv´ee. ee.  p  est le nombre de paires de pˆ poles oˆ les du g´en´ en´eerateur; rateur; pωm est donc la vitesse electrique. En r´egime egime etabli, e´ tabli, celle-ci est egale e´ gale a` la pulsation  ω   = 2πf  du syst`eme. eme. Le servomoteur servomoteur est est repr´esent´ esent´e par un gain et un int´egrateur. egrateur. Lorsque le syst`eme eme est en r´egime egime etabli, e´ tabli, l’entr´ee ee de l’int´egrateur egrateur est n´ecessai ecessaireme rement nt nulle. nulle. Le r´egulateur egulateur de vitesse ajuste donc les soupapes de reglage e´ glage jusqu’`a ce que l’erreur de vitesse soit totalement annul´ee. e e. Un te tell r´egulateur egulateur est dit isochrone.

ωm

ω

 p

+

1 ωN 

−

z 

1 s

−K  K >  0

ωN 

Figure 10.3: sch´ema ema bloc d’un r´egulateur egulateur de vitesse isochrone Dan Da ns un r´eseau eseau compo comportant rtant plusieurs plusieurs g´en´ en´eerateurs rateurs,, un seul d’entr’eu d’entr’eux x peut etre eˆ tre do dot´ t´e d’un r´eegulateur gulateur isochrone.. En effet, isochrone effet, d’in´evitables evitables petites diff´erences erences entre les consignes de deux r´egulateurs egulateurs isochrones les conduiraient conduiraient a` “se disputer” la correction des erreurs de fr fr´equence. e´ quence. Cependant, Cependant, il n’est pas pensable de faire fonctionner un r´eseau eseau de grande taille avec un seul g´en´ en´eerateur rateur dot´e d’un d’un r egulateur e´ gulateur isochrone car ce g´en´ en´eerateur rateur devrait a` lui seul assurer l’´eequilibre quilibre entre production et consommation consommation de tout le syst` systeeme. ` me. Pour r´epartir epartir l’effort sur un certain nombre de g´en´ en´erateurs erateurs on a recours a` un autre type de regulateur, e´ gulateur, dont le sch´ sch ema e´ ma bloc est repr´esent´ esent´e a` la figure 10.4. figure 10.4. Ce  Ce dernier diff`ere ere du r´egulateur egulateur isochrone par la pr´esence esence d’une r´eetroaction troaction de la position de la soupape de r´eglage eglage  z . De plus, o il fait intervenir z  la consigne d’ouverture des soupapes, soupapes, que l’on peut ajuster pour modifier la production de l’unit´ee.. Comme on le verra dans les sections suivantes, le param`etre etre  σ  joue un role oˆ le important dans la participation de l’unit´e a` l’´equilibre equilibre production-consommation. production-consommation.

ωm

 p

ω +

−

ωN 

1 ωN 

− −

  z o

 

K 

1 s

z 

σ

−

+

Figure 10.4: sch´ema ema bloc d’un r´egulateur egulateur de vitesse avec statisme Quelques manipulations permettent de passer du sch´ema ema de la figure 10.4 figure  10.4  a` celui de la fig-

151

 

e aux param`etres etres de la figure 10.4 figure 10.4 par  par : ure 10.5, ure  10.5, plus  plus utilis´e en pratique.  T sm sm est reli´

 1 Kσ

T sm sm   = On tire ais´ement ement :

  1 o z   = 1 +   s T sm sm z 



  ω ωN  σ ω N 

− −

 



(10.2)

qui fait apparaˆ appar aˆıtre ıtr e T sm sm comme une constante de temps, relative au servomoteur. ωN  ωm

 p

ω

−

+

zo 1   σω N 

+

− −

z

1 s

1 T sm sm

Figure 10.5: sch´ema ema bloc d’un r´egulateur egulateur de vitesse avec statisme (seconde version)

10.1 10 .1.2 .2

Ca Cara ract ct´eristique e´ ristique statique d’un ensemble ensemble turbin turbine-r e-r´egulateur e´ gulateur

La caract´eristique eristique statique d’un ensemble turbine - r´egulateur egulateur de vitesse est la relation, en regime e´ gime etabli, e´ tabli, entre la puissance m´ecanique ecanique fournie fournie par la turbine et la fr equence e´ quence du r´eseau. eseau.

 s  = 0 dans (10.1 En posant s = (10.1)) et (10.2 (10.2), ), on trouve ais´ement ement : P m  = G  =  G(0) (0)



− z  −

  ω ωN  σ ω N 

o



 

(10.3)

Consid´erons erons qu’en r´egime egime etabli, e´ tabli, lorsque les soupages de r´eeglage glage sont ouvertes au maximum (z   = 1), la turbine d´elivre elivre sa puissance nominale P N . La relation (10.1 (10.1)) seule donne :

P N  G (0) N    =  G(0) et en introduisant cette relation dans (10.3 ( 10.3)) on obtient : o P m  = P   =  P N  N z 

−   P σ ω −ω ω N  N 

N 

N 

=  P o

−  P σ f   −−f  f  N  N 

N  N 

(10.4)

N  N 

ou`   P o est la consigne consigne de productio production n de la turbine. Le diag diagramme ramme   f -P m  correspondant se pr´esente esente donc sous la forme d’une droite inclin´ee, ee, comme montr´e a` la figure 10.6 figure 10.6.. Les limites de puissance sont evidemment e´ videmment 0 et  P N eˆ tre plus elev´ e´ lev´ee ee (voir N  , mais la puissance minimale peut etre ligne en pointill´e) e) pour des raisons de stabilit´e de combustion dans dans les unit unit´es e´ s thermiques ou de vibrations dans les unit´es es hydrauliques.

152

 

P m

σf N  N 

P N N  

P o min P m

0

f N N  

f 

Figure 10.6: caract´eristique eristique statique (id´eale) eale) de l’ensemble turbine-r´egulateur egulateur Le rapport de la variation relative de fr´equence equence a` la variation relative de puissance est donn´e par :

|

  ∆f /f N   ∆ω/ω N  N   ∆P m /P N N   = ∆P m /P N  N  =  σ

| |

|

σ est appel´e le  statisme du r´egulateur egulateur de vitesse. En Europe, il vaut typiquement 4 % pour les 2  ∆f  f   =  σf   σ f N  unit´es es thermiques . Comme le montre la figure 10.6, figure 10.6, une  une variation de fr´equence equence  ∆ N   = 0.04 50 = 2 Hz provoquera  ∆P  P m  ´eegale provoquerait it une variation variation de puissan puissance ce m´ecanique ecanique  ∆ gale a` la puissance nominale P N correspond a` une machine fonctionnant a` puissance constante N  . Un statisme infini correspond

×

et ne participant donc pas a` la r´egulation egulation de la fr´equence. equence. Lorsquee l’on Lorsqu l’on ajuste ajuste la co consi nsigne gne de puissa puissance nce P o , la ca carac ract´ t´eristi eristique que se trans translat latee co comme mme repr´ repr´esent´ esent´e a` la figure figure 10.6  10.6.. La pente de la caract´eeristique ristique statique indique clairemen clairementt que les r egulateurs e´ gulateurs de vitesse sont du type proportionnel. Ils laissent donc une erreur statique sur la fr´equence. equence. Comme nous allons le voir a` la section suivante, cette propri´eet´ t´e permet pr´ecis´ ecis´ement ement le partage de l’effort par les diff´erents erents g´en´ en´erateurs erateurs interconnect interconnectes. e´ s.

10.2

Regulation e´ gulation primaire

10.2 10 .2.1 .1

Hy Hypo poth th`eses e` ses de mod´ modelisation e´ lisation

D´eterminons eterminons a` pr´esent esent les variations de fr´eequence quence et de production r´esultant esultant d’une perturbation du bilan de puissance active. active. Nous supposons que les transitoires qui suivent cette perturbation 2

5 % en Am´erique erique du nord

153

 

sont eteints, e´ teints, auquel auquel cas toutes toutes les machines machines tournent tournent a` l a m eme eˆ me vitesse vitesse eelec ´ lectr triq ique ue et la fr´equence equence est la mˆeme eme dans tout le r´eseau. eseau. Nous supposons pour simplifier que le r´eseau eseau est sans pertes et que la puissance de chaque turbine est int´egralement egralement transform transform´ee e´ e en puissance electrique. e´ lectrique. Par contre, nous consid´erons erons la sensibilit´e de la charge a` la fr´equence, equence, en ecrivant e´ crivant que la puissance active totale consomm´ee ee par les charges vaut:

P c   =  P co  p(f )

 

(10.5)

f ))  traduit la d´ependance ou`   p(f  ependance vis-`a-vis a-vis de la fr´equence equence   f . A llaa fr´ fr´equence equence nominale, on a o  p(  p(f N suit, nous nous nous limiterons limiterons `a de faibles variations de   f  N  ) = 1  et   P c   =   P c . Dans ce qui suit, autour de f N earisation: earisation: N  , ce qui autorise la lin´   dp  p(  p(f ) =  p(  p (f N ) + N   df 



 − f  ) = 1 + D  − +  D((f  −  − f  )

(f 

f =f N  N 

N  N 

N  N 

ou`  D  est le coefficient de sensibilit´e de la charge a` la fr´equence equence (pu/Hz). L’expression de la puissance consomm´ee ee par la charge devient donc: o c c + D  D (  (f  f  P    =  P    (1 +

 − f  ))  −

10.2.2 10.2 .2

 

N 

(10.6)

Part Partage age des des va variat riation ionss de p prod roduct uction ion eentr ntree g g´en´ e´ nerateurs e´ rateurs

Les caract´eeris ristiq tique uess de tous tous les les g een´ ´ n´eerateurs rateurs peuvent eetre ˆ tre co combi mbin´ n´eees es en une ca carac ract´ t´eristique eristique globale: n

n

P m  =



P m mii  =

 i=1

i=1

 − f    −  − f    f 

P io

N  N 

N  N 

n

P N i i=1 σi



(10.7)

ou` n es estt le nomb nombre re de g´en´ en´eerateurs rateurs en service. service. Sous les hypoth` hypoth`eses eses simplifica simplificatrice tricess mentionn´ mentionn´ees, ees, le bilan de puissance s’´ecrit ecrit simplement:

P m   =  P c

 

(10.8)

Supposons que le r´eseau eseau fonctionne initialement a` la fr´equence equence nominale   f N  erons erons N  et consid´  ∆P  P co  de la demande. l’effet d’une variation ∆ demande. La relation (10.8 (10.8)) donne:

∆P m   = ∆P c soit, en utilisant (10.6 (10.6)) et (10.7 (10.7): ):

−

∆f  n P N i = ∆P co  + DP co ∆  ∆f  f  f N N   i=1 σi



ou` l’on a consid´er´ er´e que les consignes de production sont inchang´ees ees apr`es es r´eglage eglage primaire. En posant:

β   =  D  DP  P co  +

 1

n

P N i

f N  i=1 σi



(10.9)

154

 

la relation ci-dessus s’´ecrit ecrit simplement: o c

− β ∆f   = ∆P 

 

(10.10)

Le param`etre etre β  est  est appel´e  ´  energie r eglante ´  ´   du syst`eme. eme. On notera qu’il a en effet la dimension d’une energie. e´ nergie. Il caract´erise erise la pr´ecision ecision de la r´egulation egulation primaire de fr´eequence quence dans le syst`eeme me consid´er´ er´e: e: pour pour une mˆeme eme varia variatio tion n de char charge, ge, la varia variation tion de fr´eequence quence est d’autant d’autant plus faible que l’´energie energie r´eglante eglante est elev´ e´ lev´ee. ee. On en d´eduit eduit l’erreur de fr´eequence: quence:

∆f   =

−

∆P co β 

et la variation de puissance du du j-` j-eme e` me g´en´ en´eerateur: rateur:

∆P m mjj   =

−

∆f P N j   ∆P co  P N j = f N  f N  N   β σ j N   σ j

Des r´esultats esultats ci-dessus on peut tirer les conclusions suivantes: suivantes:

•  l’existence d’une erreur statique de fr´equence equence permet un partage   pr evisible  et   r eglable ´  ´  ´  ´  de la variation de production par par les diff´ differentes e´ rentes machines;

•  tous les statismes etant e´ tant fix´es, e s, un g´en´ en´erateur erateur participe d’autant plus que sa puissance nominale est elev´ e´ lev´ee; ee;

•  toutes les puissances nominales etant e´ tant fix´ees, ees, un g´en´ en´eerateur rateur participe d’autant plus que son statisme est petit;

•   la variatio variation n de fr´equence equence est d’auta d’autant nt plus petite petite que le nombre nombre de g´en´ en´eerateurs rateurs participant a` la r´egulation egulation est elev´ e´ lev´e. e.

10.3

Regulation e´ gulation secondaire

10.3.1 10. 3.1

Inter Intercon conne nexio xion n des des reseaux e´ seaux

Si l’on excepte les syst`emes emes insulaires autonomes et quelques autres situations3, la plupart des reseaux e´ seaux g´er´ er´es es par des gestio gestionnair nnaires es distincts distincts sont regr regroup´ oup´es es au sein de grandes grandes interconn interconnexio exions. ns. Les avantages de celles-ci sont:

•  une meilleure r´egulation egulation de la fr´equence, equence, comme montr´e a` la section pr´ec´ ec´edente edente 3

p.ex. Texas et Qu´eebec bec qui ne sont pas connect´es es en courant alternatif avec le reste de l’Am´ l’Am erique e´ rique du Nord

155

 

•   une assistance mutuelle mutuelle en cas d’incident •   etet don oncc une r´educ e ductio tion n de la r eser eserve tournantee que ch chaqu aquee par parten tenair airee doit doit mettre mettre en oeuvr oeuvree ´  ´  ve tournant

pour faire face a` la perte de g´en´ en´eerateurs. rateurs. La r´eserve eserve tournante est la puissance prˆete ete a` eetre ˆ tre produite par des unit´es es synchronis´ees ees sur sur le r´ reseau e´ seau et fonctionnant evidemment e´ videmment endessous de leur maximum. En simplifiant, on peut dire qu’elle est assur´ assureee ´ e par les unit´es es

les plus ch`eres, eres, les moins ch`eres eres etant e´ tant exploit´ees ees au maximum

•   la possib possibilit´ ilit´e de vendre et d’acheter d’acheter de l’ l’´energie e´ nergie a` des conditions plus avantageuses •   une meilleure tenue tenue de la tension a` l’interface entre syst`eemes, mes, apr`es es interconnexion interconnexion.. La formation de grands syst`emes emes interconnect interconnectees ´ s n’est cependant pas exempte d’inconv´enients: enients:

•   des incidents peuvent peuvent se propager propager d’un r´eseau eseau a` un autre, via les l es lignes d’interconnexion •  des flux de puissance peuvent traverser un r´eseau eseau situ´ situe´ au sein d’une structure maill´ee, ee, suite a` des modifications topologiques ou des injections inattendues (p.ex. variabilit variabilit´e´ de la production eolienne) e´ olienne) dans les r´eeseaux seaux voisins

•  des oscillations electrom´ e´ lectrom´ecaniques ecaniques lentes (0.1 a` 0.5 Hz) et mal amorties peuvent appa paraˆ raˆııtre t re..

Ces inconv´enients enients peuvent peuvent conduire a` s’interconnecter via des liaisons `a courant continu. Les reseaux e´ seaux ainsi connect´eess conservent chacun leur fr´equence. equence. Dans ce chapitre, toutefois, nous nous int´eressons eressons a` une interconnexion a` courant alternatif dans laquelle laquelle la fr fr´equence e´ quence est unique en r´egime egime etabli. e´ tabli.

10.3.2

Regulation e´ gulation primaire primaire d’une interconnexi interconnexion on : exempl exemplee  `a de deux ux reseaux e´ seaux

Consid´erons enombre rons pour r´eseaux, eseaux, rep´er´ er´es e 10.7). s respectivement respective menta` 1laetsection 2, interconnec i nterconnect tes e´ s via un certain desimplifier lignes de deux transport (cf. figure 10.7 figure ). Comme pr´ec´ ec´edente, edente, nous supposons pour pour simplifier qu’il n’y a pas de pertes dans le r´eseau, eseau, en particulier dans les lignes d’interconnexion. d’interconnex ion. Soit P 12 active totale transitant du r´ reeseau ´ seau 1 vers le r´eseau eseau 2 via 12  la puissance active les lignes li gnes d’interconnexion. En adaptant les r´esultats esultats de la section pr´eec´ c´edente, edente, on etablit e´ tablit ais´ement: ement:

•  la caract´eristique eristique des g´en´ en´erateurs erateurs du r´eseau eseau 1 : P m1   =

 ∈

i 1

P m mii   =

 ∈

i 1

 − f    −   f  − f 

P io

N  N 

N  N 

P N i i∈1 σi



156

 

P 12 12

1

2

Figure 10.7: interconnexion de deux r´eseaux eseaux

•  la caract´eristique eristique de la charge du r´eseau eseau 1 :  +  D1 P co1 (f  P c1  = P   =  P co1 + D

 − f  )  − N  N 

•   l’l’´equilibre e´ quilibre des puissances dans dans le r eseau e´ seau 1 : P m1  = P   =  P c1 + P   +  P 12 12

•  la caract´eristique eristique des g´en´ en´erateurs erateurs du r´eseau eseau 2 :  P   =  P   − f  − − f  P    = f  m2

m mii

∈

N  N 

o i

N  N 

∈

i 2

i 2

P N i i∈2 σi



•  la caract´eristique eristique de la charge du r´eseau eseau 2 : P c2  = P   =  P co2 + D  +  D2 P co2 (f 

 − f  )  − N  N 

•   l’l’´equilibre e´ quilibre des puissances dans dans le r eseau e´ seau 2 : P m2  = P   =  P c2 + P   +  P 21 21   =  P c2

− P 

12 12

e´ quilibre des puissances dans dans le syst` syst eme e` me complet : •   l’l’´equilibre

P m1 + P   +  P m2   =  P c1 + P   +  P c2

Ces diff´erentes erentes caract´eristiques eristiques sont repr´eesent´ sent´ees ees a` la figure 10.8 figure 10.8.. On suppose que le syst`eme eme fonctionne initialement a` la fr´equence equence  f N N  .

 ∆P  P co1 dans le r´eseau Consid´erons erons le cas d’une variation de la demande ∆ eseau 1. En utilisant les equations e´ quations ci-dessus, on etablit e´ tablit ais´ aisement e´ ment la relation entre l’augmentation de la demande, la chute de fr´equence equence et la variation du ttransit ransit dans les lignes li gnes d’interconnexion d’interconnexion :

•  dans le r´eseau eseau 1 :

∆ P  β  ∆f   = ∆P o  + ∆P 

−

1

c1

12

157

 

P 

P m1

reseau e´ seau 1

P 12 12 P c1

avant perturbation f 

apr`es es perturbation et action du r´eglage eglage primaire

reseau e´ seau 2

apr`es es perturbation et action des r´eglages eglages primaire et secondaire

f N N   + ∆f  f N N   P 

P c2

P 21 21  = P m2

f N N  N   + ∆f    f N  P 

−P 1212

f  interconnexion (1+2)

P c1  + P c2

P m1  + P m2 f N N   N   + ∆f  f N

f 

Figure 10.8: caract´eristiques eristiques des g´ gen´ e´ n´eerateurs rateurs et des charges dans les deux r´eseaux eseaux interconnect´eess

•  dans le r´eseau eseau 2 :

− β  ∆f   = −∆P  2

12 12

 

ou`  β 1 et  β 2 sont les energies e´ nergies r´eglantes eglantes des r´eseaux eseaux 1 et 2, respectivement. De ces relations, on tire :

(10.11)

158

 

•  la variation de fr´equence equence :

∆f   =

−

•  la variation de l’´echange echange de puissance : ∆P 12  =

−

  ∆P co1 β 1 + β   +  β 2

  β 2 o β 1 + β   +  β 2 ∆P c1

Revenons a` la figure 10.8 figure  10.8 o  o u` l’on a consid´er´ er´e le cas d’une augmentation augmentation de deman demande. de. Sous l’effet l’ef fet de celle-ci, celle-ci, il y a un d´ deplacement e´ placement de la caract´eristique eristique de la charge dans le r´eseau eseau 1 et un d´eplacement eplacement correspondant correspondant a` l’´eechelle chelle de l’interconne l’interconnexion. xion. Le diagramme relatif a` celle-ci permet de trouver la nouvelle fr´equence equence   f N  eme, eme, a` l’intersection des courbes N   + ∆f  du syst` de charge et de production. Connaissant cette nouvelle fr´equence, equence, on peut remonter dans les diagrammes des r´eseaux eseaux individuels individuels et d´ determiner e´ terminer la nouvelle puissance echang´ e´ chang´eee. e. On voit que le transit de puissance de 1 vers 2 diminue suite a` la perturbation. En effet, les machines du r´eseau eseau 2 participant a` la r´egulation egulation primaire contribuent contribuent a` equilibrer ´equilibrer l’augmentation de la charge dans dans le r´ reseau e´ seau 1 : c’est l’assistance mutuelle d´eej` j`a mentionn´ee. ee. Il en r´esulte esulte un flux de puissance de 2 vers 1, qui diminue le transit existant avant perturbation. Cette diminution est d’autant plus forte que   β 2  est elev´ e´ lev´e par rapport a`   β 1 , ce qui est normalement le cas si le reseau e´ seau 2 est grand par rapport au r´eseau eseau 1.

10.3.3 10.3 .3

Obj Objecti ectifs fs et princi principe pe de la regulation e´ gulation secondaire

Le rˆole ole de la r´egulation egulation secondaire secondaire est double: double: (i) eliminer ´eliminer l’erreur l’erreur de fr´ fr´equence equence sur laquelle laquelle repose le r´eglage eglage primaire et (ii) ramener les echanges ´echanges de puissance puissance entre r´ reseaux e´ seaux interconnect interconnectes e´ s aux valeurs d´esir´ esir´ees ees (sp´ecifi´ ecifi´ees ees dans les contrats d’achat d’achat d’´ d’energie). e´ nergie). Revenons une derni`ere ere fois a` l’exemple de la figure  10.8.   Pour ramener la fr´eequence quence   f   et l’ l’´echange e´ change de puissance P 12 ` leurs valeurs avant perturbation, il est clair qu’il faut augmenter 12  a la production production des g´ gen´ e´ n´eerateurs rateurs du r´eseau eseau 1. A cette fin, le r´eglage eglage secondaire va modifier les consignes de production   P io  de certains g´en´ en´eerateurs rateurs connect´es es a` ce r´esea eseau. u. Comme Comme on l’a l’a vu a` la figure 10.6, figure  10.6, ceci  ceci a pour effet de translater les caract´eristiques eristiques des g´en´ en´erateurs erateurs de la region e´ gion 1. Quand Quand la fr´equence equence revient a` la valeur   f N  ` sa valeur avant N , le transit   P 12 12  revient a perturbati pertu rbation. on. Notons que les consign consignes es des g´en´ en´eerateurs rateurs du r´eseau eseau 2 ne doi doivent vent pas etre eˆ tre ajust´ees; ees; les productions de ces g´en´ en´eerateurs rateurs se modifient suite a` la modification de la fr´eequence quence induite par les ajustements dans dans le r´ reseau e´ seau 1. Les puissances qu’ils ont apport´ees ees via le r´eglage eglage primaire sont effac´ees ees par le r´eglage eglage secondaire.

10.3.4 10. 3.4

Mise Mise en oeuvr oeuvree de la regulation e´ gulation secondaire

La r´egulation egulation secondaire s’effectue au sein d’une  zone de r eglage . Celle-ci peut co¨ıncider ıncider ´  ´  avec un pays ou avec le r´eseau eseau g´er´ er´e par une compagnie, compagnie, voire plusieurs compagnies. Dans

159

 

chaque zone de r´eeglage, glage, on mesure la fr´eequence quence ainsi que  la somme des transits dans les lignes connectant cette zone au reste du syst`eme, eme, l’objectif etant e´ tant de ramener cette somme a` une valeur de consigne. En pratique, cette r´egulation egulation est assur´eeee par un logiciel ex´ecut´ ecut´e dans un centre de conduite recevant recevant les mesures requises a` intervalle r´egulier egulier (de l’ordre de quelques secondes). secondes). Reprenons l’exemple de la figure 10.7 figure  10.7 o  o`u` nous supposons deux zones de r´eglage. eglage. Dans cha´  ´  de zone4 , soit pour la zone 1 : cune, on consid`ere ere l’erreur de r eglage

E 1   =  P 12 12

0  +  λ1 (f  12  + λ

 − f  ) = ∆P   −

− P 

 +  λ1 ∆f  12 12  + λ

N  N 

et pour la zone 2 :

E 2  = P   =  P 21 21

0  +  λ2(f  21  + λ

− P 

 − f  ) = −∆P   −

 +  λ2∆f  12 12  + λ

N N  

Chacun de ces signaux est trait´e par un r´egulateur egulateur proportionnel-int´egral egral pour obtenir la correction de production :

∆P 1o  =

−K 

i1

 

  E 1 dt

− K 

 p1  p1 E 1

pour la zone 1, et o  p2 E 2 ∆P 2   = K i2   E 2 dt K  p2 pour la zone 2. Les constantes K  sont  sont toutes positives.

−

−

 

Ayant d´efini efini un certain nombre de g´en´ en´eerateurs rateurs participant au r´eglage eglage secondaire, on distribue o o le signal   ∆P 1  (resp.   ∆P 2 ) sur ces derniers. derniers. La consigne consigne du  i-`eme eme g´en´ en´eerateur rateur de la zone 1 devient donc : ρi   = 1 P io  + ρi   ∆P 1o   avec

 i

et de mˆeme eme dans la zone 2. A l’issue du r´eglage, eglage, si l’on n’a pas rencontr´e de limites, le terme int´eegral gral impose :

  ⇒   ∆P   + λ  +  λ ∆f   = 0 E    = 0   ⇒ −∆P   + λ  +  λ ∆f   = 0

E 1   = 0 2

dont la seule solution est:

12 12

1

12

2

∆f   = 0   et   ∆P 12 12   = 0

 

(10.12)

qui correspond bien aux deux buts recherch´es es pour le r´eglage. eglage. Il faut noter que ce r´eglage eglage est   enti` entierement e` rement distribu´  distribue´ ; il ne n´ecessite ecessite pas de centraliser les mesures en un point unique, tel un centre de supervision de l’interconnexion (mˆeme eme si la pr´esence esence de ce dernier est requise pour d’autres fonctions, telle l’analyse de la s´ecurit´ ecurit´e du 5 fonctionnement ). 4 5

en anglais, area control error  voir a` ce sujet l’exemple de CORESO : www.coreso.eu

160

 

Choix des param` parametres e` tres λ i Du point de vue de l’erreur l’erreur finale, finale, quelles que que soient soient les valeurs valeurs de λ1 et λ2 , on aboutit a` (10.12) 10.12) apr`es es r´eeglage glage secondaire. Toutefois, le choix de ces param`eetres tres influence la dynamique de la regulation. e´ gulation. De ce point de vue, il est judicieux j udicieux de prendre :

λ1  = β   =  β 1   et   λ2   =  β 2

 

(10.13)

ou`  β 1  et  β 2  sont les energies e´ nergies r´eglantes eglantes d´efinies efinies ant´erieurement. erieurement. En effet, dans ce cas, l’erreur de r´eglage eglage dans la zone 2 devient:

E 2   =

−∆P 

 +  β 2 ∆f  12 12  + β 

gen en´  de la zone 2 ne r eagissent  qui, en vertu de (10.11 (10.11), ), est nul. En d’autres termes, les g´  ´  erateurs ´  ´  ´   pas, ce qui est souhaitable puisque, comme expliqu´e plus haut, seuls les g´en´ en´eerateurs rateurs de la zone 1 doivent etre eˆ tre ajust´es. e s. Plus Plus   λ2   s’´ecarte ecarte de   β 2 , plus les g´en´ en´eerateurs rateurs de la zone 2 r´eeagissent agissent inutilement  durant  durant la r´egulation egulation secondaire. secondaire.

En pratique, il n’est pas possible de r´ealiser ealiser exactement la condition ((10.13 10.13)) car les energies e´ nergies reglantes e´ glantes changent changent avec la charge du r eseau. e´ seau. On s’efforce toutefois de s’en rapprocher rapprocher le plus possible.

Choix des param` parametres e` tres K i , K  p  et  ρi Les coefficients coefficients  K i  et  K   pp  sont choisis de mani`ere ere a` optimiser la dynamique du syst`eme. eme. En particulier partic ulier le r eglage e´ glage secondaire ne doit pas etre eˆ tre trop “´energique” energique” pour ne pas interf´eerer rer avec le r´eglage eglage primaire, ce qui pourrait g´en´ en´erer erer des oscillations ind´esirables, esirables, voire a` la limite une instabilit´e. Dans certains r´eseaux, eseaux, on ne consid`ere ere que le terme int´egral egral (K  p   = 0). Les coefficients  distribuent le signal de correction sur un certain nombre de g´en´ en´eerateurs, rateurs, i   ρecessairement qui ne sont pas n´ ecessairement ceux participant au r´eglage eglage primaire. Ces g´een´ n´eerateurs rateurs doivent secondaire secondaire. eevidem ´ videmmen mentt dispos disposer er de r´eserv eserves es de produc production tion,, dont la somme somme constit constitue ue la r eserve ´  ´  Les co couts uˆ ts de production interviennent dans le choix de ces g g´en´ e´ n´eerateurs. rateurs. t aux de variation maxima permis par les tturbines. urbines. Les coefficients ρ i doivent tenir compte des taux Ces taux sont de l’ordre de :

•   quelques pourcents pourcents de la puissance nominale par par minute pour une unit´e thermique •   la puissance nominale nominale par minute pour pour une unit´e hydraulique.

161

 

10.3 10 .3.5 .5

Ex Exte tens nsio ion n  a` plus de deux zones de r´ reglage e´ glage

Les d´eveloppements eveloppements qui pr´ec` ec`edent edent s’appliquent bien entendu a` un ensemble quelconque de zones de r´eglage. eglage. L’erreur de reglage e´ glage de zone fait intervenir la  somme des puissances que la zone d´esire esire eechanger ´ changer avec toutes les autres, chacune intervenant avec son signe. Consid´erons erons par exemple exemple le cas a` trois zones de r´eglage eglage repr´esent´ esent´e a` la figure 10.9 figure 10.9.. Supposons que la zone 1 veuille vendre 1000 MW a` la zone 3 et que la zone 2 ne d´eesire sire rien acheter ni vendr vendre. e. Les consig consigne ness du r´eglage eglage second secondair airee sont sont mises mises `a 10 1000 00,, 0 et -100 -1000 0 MW resp respec ecti tive veme ment nt.. A l’issue de ce r´eglage eglage on a:

E 1   = 0 E 2   = 0 E 3   = 0

 +  P  ) − 1000 + λ + λ ∆f   = 0   ⇒   (P   + P    ⇒   (−P   + P   +  P  ) − 0 + λ +  λ ∆f   = 0   ⇒   (−P  − P  ) + 1000 + λ +  λ ∆f   = 0 12 12

13 13

1

12 12

23 23

13 13

23 23

2

3

dont on tire ais´ement ement :

∆f    = 0 P 12 + P   +  P 13   = 1000 P 12 12   =   P 23 23 P 13  +  P 23 13  + P  23   = 1000 700 MW

3

1

300 MW

300 MW

2

Figure 10.9: exemple a` trois zones de r´eglage eglage Notons que les transits de puissance individuels individuels ne sont pas contr contrˆolables. oˆ lables. Comme illustr´e a` la figure 10.9 figure  10.9,, une partie du flux de puissance du r´ reseau e´ seau 1 vers le r´eseau eseau 3 passe par par r´ reeseau ´ seau 2, les eelectrons ´ lectrons n’ob´eissant eissant qu’aux lois de l’´electricit´ electricit´e ! Ce transit entraˆıne ıne des pertes pour po ur le r´ reseau e´ seau 2, ainsi qu’une mise en charge de ses lignes pouvant diminuer ses marges de s´ecurit´ ecurit´e. e. Pour se d´edommager edommager des pertes, le gestionnaire doit faire payer l’usage de son r´eeseau. seau. Pour faire face face a` de dess situat situation ionss dange dangereu reuse ses, s, il peut peut instal installer ler un ou plu plusie sieurs urs transf transform ormate ateurs urs d´ephaseurs ephaseurs destin´es es a` reduire e´ duire la puissance active qui le traverse, c’est-`a-dire a-dire dans l’exemple ci-dessus forcer tout ou partie des 1000 MW a` passer par les lignes qui connectent directement les

162

 

reseaux e´ seaux 1 et 3   6 . Il faut evidemment e´ videmment eetudier ´ tudier les emplacements optimaux et l’efficacit´e de tels d´ephaseurs ephaseurs en consid´erant erant un mod`ele ele d´etaill´ etaill´e du r´eseau. eseau. Dans l’´eventualit´ eventualit´e o u` plusieurs gestionnaires installeraient de tels dispositifs, se profile le probl`eme eme de l’interaction entre ces diff´erents erents dispositifs !

6

ce qui n’est bien entendu possible que parce qu’une qu’u ne liaison directe existe entre 1 et 3

163

 

Chapitre 11 Regulation e´ gulation de la tension Il existe deux diff´eerences rences fondamentales entre la r´egulation egulation de la fr´equence equence et celle de la tension:

fr´equence equence est un “signal” commun a` tous les composants d’un mˆeme eme r´eseau. eseau. Auss Aussii •  lagrand soit ce dernier, en r´egime egime etabli, e´ tabli, la fr´equence equence est la mˆeme eme partou partout. t. Lorsqu’on Lorsqu’on augmente la production d’une quelconque des des centrales, la fr equence e´ quence est ajust´ee ee par les regulateurs e´ gulateurs de vitesse a` une valeur un peu sup´erieure. erieure. Il n’y a pas de signal ni de comportement equivalent ´equivalent pour la r´eegulation gulation de tension. Les reglages e´ glages ont une port´ee ee locale : lorsque l’on ajuste la tension en un noeud d’un r´eseau, eseau, cela influence la tension des noeuds noeuds situ´ situes e´ s dans un certain voisinage. Au del`a, a, les effets sont n´egligeables; egligeables;

•  la fr´equence equence est usuellement tenue pr`es es de sa valeur nominale avec grande pr´ecision, ecision, parce que tout ecart e´ cart de fr´equence equence est r´ev´ ev´elateur elateur d’un d´es´ es´eequilibre quilibre entre puissances actives produite et consomm´ee. ee. En comparaison, la r´egulation egulation de la tension est moins pr´ecise. ecise. Dans un r´eseau eseau de trans-

port, admet couramment ecart e´ cartqui de proviennent a` la valeur nominale. fait, 5 % par rapport on neon peut empˆ echer echer de telsun eecarts, ´ carts, des chutes de tension cr´e´ eees e´ esEn par le passage du courant courant dans les imp´ impedances e´ dances du r´eseau. eseau.

±

Il convient toutefois de maintenir la tension dans des limites acceptables:

•  elle ne doit pas eetre ˆ tre trop elev´ e´ lev´ee ee sous peine d’endommager les isolants, les appareils sensibles sens ibles,, etc. . .

•  elle ne peut pas etre eˆ tre trop basse, sous peine de perturber, voire interrompre le fonction-

nement de certains composants : mise hors service des charge chargess se prot´ protegeant e´ geant contre les sous-tensions, blocage de l’´electronique electronique de puissance dans les redresseurs et onduleurs, d´ecrochage ecrochage des moteurs moteurs asynchrones, asynchrones, etc. . .

164

 

Les deux mani`eres eres les plus usuelles d’ajuster les tensions d’un r´ reseau e´ seau sont :

•   produire ou consommer consommer de la puissan puissance ce r´eactive eactive en ses noeuds •   ajuster le nombre de spires des transformateurs qui permettent de passer passer d’un niveau de tension a` un autre (dans certains certains cas, des transformateurs d´edi´ edi´es e s au r´eglage eglage de la tensio tension). n).

11.1

Contr ˆole ole de la tension par condensateur ou inductance shunt

Le moyen le plus economique e´ conomique de corriger une chute de tension en un jeu de barres est d’y connecter des bancs de condensateurs shunt, afin d’y produire de la puissance r´eeactiv active. e. De meme, eˆ me, les augmentations de tension peuvent peuvent etre eˆ tre corrig´ees ees en connectant des selfs shunt shun t1 , afin d’y consommer de la puissance puissance r´ reactive. e´ active. Le principe de ce contrˆole ole est illustr´e a` la figure 11.1. figure  11.1.   On suppose que que,, sous l’effet d’une perturbation, la caract´eristique eristique QV du r eseau e´ seau passe de la droite 1 a` la droite 2. En l’absenc l’absencee de compensation shunt shunt au jeu de barres consid´ consider´ e´ r´e, e, le point de fonctionnement passe de A en B sous l’effet de la perturbation. La caract´eristique eristique QV de la compensation shunt est simplement:

Q  = B  =  B V 2  (V, V, Q). avec B >  0  pour un condensateur et B <  0  pour une self, soit une parabole dans le plan ( Apr`eess connexion du condensateur, le nouveau point de fonctionnement est C. La figure  11.1 montre la correction (partielle) de la tension ainsi obtenue. La mˆeme eme figure montre la correction, au moyen d’une inductance shunt, d’une augmentation de tension due au passage de la caract´eristique eristique 1 a` la caract´eristique eristique 3. Ces enclenchements peuvent etre eˆ tre command´es es manuelleme manuellement nt ou automatiq automatiqueme uement. nt. Dans le premier cas, il est souvent r´ealis´ ealis´e, e, depuis un centre de conduite, par un op´erateur erateur disposant d’une t´eel´ l´emesure emesure de la tension. Dans le second cas, un dispositif situ situ´e´ dans le poste enclenche le condensateur automatiquement automatiquement lorsque la tension passe sous un seuil bas et y reste pendant un d´elai elai sp´ecifi´ ecifi´e et le d´eclenche eclenche lorsque lorsque la tension d epasse e´ passe un seuil haut pendant un temps donn´ee.. Evidemment, on ne peut pas parler de “r´egulation” egulation” mais plutˆot ot de r´eglage eglage “par tout ou rien” ou “par paliers” si plusieurs capacit´es es (ou selfs) shunt sont disponibles en parall`eele. le. Par ailleurs, ailleu rs, l’´ l’eel´ ´ l´ement ement shunt etant e´ tant mis en/hors service par fermeture/ouverture fermeture/ouverture de son disjoncteur, disjoncteur, des manoeuvres r´eep´ p´eet´ t´ees ees et/ou rapides rapides ne sont pas possible possibles. s. A la section section 11.4  11.4,, nous nous int´eresserons eresserons a` un dispositif electronique e´ lectronique permettant permettant de faire varier continˆ continument uˆ ment et rapidement la valeur de la susceptance susceptance shunt. 1

par facilit´ee,, on parle souvent de “capacit´eess shunt” et “d’inductances shunt”

165

 

V  3

1 A 2

C B

condensateur self 

Q 0

Figure 11.1: caract´eristiques eristiques QV d’un r´eeseau seau et de llaa compensation shunt

11.2

Regulation e´ gulation de tension des machines machines synchrones synchrones

11.2.1 11. 2.1

Descr Descrip ipti tion on

La figure 11.2 figure 11.2 donne  donne le sch´ema ema de principe du syst`eme eme d’excitation d’une machine synchrone. 2.

limiteur de g´een´ n´eerateur rateur

courant rotorique

rotor

1.

stator ¯ I 

−

if 

+

V  o

amplificateur

min

excitatrice

−

+

¯ V  

∆V  s

stabilisateur

transformateur

eel´ ´ l´evateur evateur

vitesse de rotation du rotor puissance active produite fr´eequence quence

V  c

r´eegulateur gulateur de tension redresseur et filtre

¯ ¯   ± Z c I  V  

Figure 11.2: sch´ema ema de principe du syst`eme eme d’excitation d’une machine synchrone La tension V   au jeu de barres barres MT du g´en´ en´eerateur rateur est mesur´ee ee au moyen d’un transformateur de

166

 

potentiel, puis redress´ee ee et filtr´ee ee pour donner un signal continu  V c , proportionnel a` la valeur efficace de la tension alternative. Le r´egulateur egulateur de tension compare le signal V c  `a la consigne de tension V o , amplifie la diff´erence erence et met le r´esultat esultat sous la forme ad´equate equate pour la commande de l’excitatrice (p.e (p.ex. x. impulsions pour l’alluma l’allumage ge de thyristo thyristors, rs, etc. etc. . . ). Le principe principe g´en´ en´eral eral de cette r´egulation egulation est d’augmenter la tension d’excitation  v f  du   du g´en´ en´erateur erateur lorsque la tension terminale  V  diminue ou lorsque la consigne V o augmente, et inversement. Le r´egulateur egulateur est souvent dot´e de boucles de compensation internes2 destin´ees ees a` procurer une reponse e´ ponse dynamique satisfaisante satisfaisante a` l’ensemble r´egulateur-excitatrice-g´ egulateur-excitatrice-g´en´eerateur. rateur. Le r´eglage eglage de cette compensation se fait g´en´ en´eeralement ralement en relevant l’´evolution evolution de la tension   V   en r´eponse eponse a` un echelon e´ chelon de consigne  V o , le g´en´ en´eerateur rateur fonctionnant a` vide vide.. Au d´eepart part de cette r´eponse eponse indicielle, on ajuste le temps de r´eponse, eponse, le taux de d´epassem epassement, ent, l’erreu l’erreurr statique, statique, etc. etc. . . du syst`eme. eme. Tr`es es souvent, le r´egulateur egulateur est aussi dot´e d’un “stabilisateur”, circuit dont le rˆole ole est d’ajouter  ∆V  au signal d’erreur  V o V c une composante transitoire ∆ V s am  am´eliorant e´ liorant la dynamique de la machine en fonctionnement fonctionnement sur le r´ reseau. e´ seau. Nulle en r´egime egime etabli, e´ tabli, cette composante ∆  ∆V  V s am´eliore eliore

−

3

l’amortissement des oscillations du rotor suite a` une perturbation.   ∆V s est elabor´ e´ labor´ee ee au d´eepart part de mesu mesure ress de la vi vite tess ssee roto rotoriq rique ue,, de la fr´eequen quence ce,, de pui puissa ssance nce ac activ tive, e, etc. etc. . . pas pass´ s´ees ees au travers travers de fonctions de transfert appropri´ees ees4 . L’excitatrice est une machine auxiliaire qui procure le niveau de puissance requis par l’enroulement d’excitation du g´en´ en´eerateur. rateur. En r´egime egime etabli, e´ tabli, cette machine fournit une tension et un courant continus mais elle doit egalement e´ galement eetre ˆ tre capable de faire varier rapidement la tension d’excitation vf  en r´eponse eponse a` une perturbation survenant survenant sur le rr´eseau. e´ seau. Une excitatrice peut peut se pr´ presenter e´ senter sous forme:

•  d’une machine tournante plac´ee ee sur le mˆeme eme axe que la turbine et le g´een´ n´erateur. erateur. Cette machine tire donc la puissance d’excitation   vf if   de la puissance fournie par la tur-

bine. bin e. Dans Da ns les le s syst` syst`eemes mes anciens, il s’agissait machine a` courant dans les syst` emes emes modernes, modernes , il s’agit d’une machine a`d’une courant alternatif (en fait,continu; une machine synchrone du type d´ecrit ecrit dans ce chapitre, mais de puissance beaucoup plus faible que le g´en´ en´erateur erateur qu’elle alimente) dont la sortie est redress´ee; ee;

•  d’un syst`eme eme “statique” dans lequel la puissance d’excitation   v i  est fournie par un f  f 

transformateur aliment alimente´ lui-mˆeme eme par le r´eseau eseau et dont la sortie est eegalement ´ galement redress´ee. ee.

Dans certains cas, le signal  V c utilis´e est de la forme :

¯ V c  = V 

|   ±±  Z ¯ I ¯|

2 3

c

 

non repr´eesent´ sent´eees es a` la figure 11.2 figure 11.2 oscillations par rapport au mouvement uniforme correspondant au r´ regime e´ gime etabli e´ tabli parfait

4

la synth`ese ese de celles-ci est eetudi´ ´ tudi´eeee dans le cours ELEC0047

(11.1)

167

 

¯ le ¯c  est une imp´edance   le courant mesur´e a` la sortie du g´en´ en´eerateur. rateur. edance de compensation et  I  ou`  Z  L’objectif est le suivant:

•  en utilisant le signe moins et en prenant pour  Z ¯  une fraction (entre 50 et 90 %) de c

l’imp´edance edance s´erie erie du transformateur eel´ ´ l´evateur, evateur, V c repr´esente esente la tension en un point fictif 

situ´e entre le jeu de barres de la machine et le jeu de barres rr´eseau e´ seau correspondant. correspondant. De la sorte, la chute de tension dans le transformateur eel´ ´ l´evateur evateur est partiellement compens´ee ee et la tension du r´eseau eseau est mieux r´egul´ egul´ee; ee;

•  le signe plus est utilis´e pour r´eguler eguler la tension en un point fictif situ´e “` “a` l’int´erieur” erieur” du

g´en´ en´erateur. erateur. Une telle compensation est utilis´ee ee lorsque plusieurs g´en´ en´eerateurs rateurs sont connect´es es au mˆeme eme jeu de barres MT, MT, une configuration typique des centrales hydrauliques ou` plusieurs g´en´ en´eerateurs rateurs de petite puissance pa partagent rtagent le mˆ meme eˆ me transformateur eel´ ´ l´evateur. evateur. Si on laissait les r´egulateu egulateurs rs des diff´erentes erentes machines contrˆoler oler la mˆeme eme tension, les petites diff´erences erences in´evitables evitables entre g´en´ en´eerateurs rateurs et r´egulateurs egulateurs pourraient conduire a` un d´es´ es´equilibre equilibre important entre les puissances puissances r´eactives eactives produites par les diverses machines, tandis que la compensation en question assure un partage equitable. e´ quitable.

Dans ce qui suit, nous consid´erons erons  Z ¯ c  = 0.

11.2.2 11. 2.2

Aspec Aspects ts stati statiqu ques es de la regulation e´ gulation

En r´egime egime etabli, e´ tabli, on peut en premi`eere re approximation repr´esenter esenter le syst`eme eme d’excitation et le g´en´ en´erateur erateur par le sch´ema ema bloc statique de la figure 11.3 figure 11.3,, dans lequel  G 1  (resp.   G2 ) est le gain statique du r´egulateu egulateurr de tension (resp. (resp. de l’excitatric l’excitatrice) e) et le dernier bloc tient compte des relations (8.32 (8.32)) et (8.35 (8.35). ). r´egulateur

excitatrice

V o

geen´ ´ n´erateur erateur

vf  G1 +

ωL √  3R

df 

G2

E q

f 

−

V 

Figure 11.3: sch´ema ema bloc de la r´egulation egulation de tension en r´eegime gime etabli e´ tabli On d´eduit eduit ais´ement ement de cette figure:

E q   =  G 1 G2

ωN Ldf  (V o 3Rf 

√ 

− V V )) = G(  G (V  − V   )) o

 

(11.2)

ou` G est est le ga gain in st stat atiq ique ue en bo bouc ucle le ouve ouvert rtee de l’ens l’ensem embl blee (r´egul e gulat ateu eurr + exci excita tatr tric icee + g´en´ en´eerateur). rateur). C’est un nombre sans dimension, que l’on peut encore d´ deefinir ´ finir comme la sensibilit´ee::

∆E q G  = ∆V 

|  |

168

 

Ce param`etre etre vaut typiquement entre 20 et 400, les valeurs faibles se rapportant g´ gen´ e´ n´eeralement ralement aux syst`emes emes d’excitation plus anciens. Le comportement en r´egime egime etabli e´ tabli de la machine r´egul´ egul´ee ee en tension s’obtient donc en rempl plac ac¸ an antt E q  par l’expression (11.2 (11.2)) dans les relations de la section 8.6. section 8.6. Ceci permet par exemple de d´eterminer eterminer la caract´eristique eristique QV. Un exemple est donn´e a` la figure re 11.4  11.4 pour  pour un turbo-alternateur d’une puissance apparente nominale de 1200 MVA, dont la turbine a une puissance nominale de 1020 MW. MW. Ces courbes ont eet´ ´ t´e etablies ´etablies en tenant compte de la saturation. On a suppos´e la consigne V o telle que Q =  Q  = 0 lorsque V   V    = 1 pu.

V   (pu)

4      0      0     . 1    

1.004 2      0      0     . 1    

1.002 G  = 200 pu/pu

1.

1    

P =1020 MW

0.998  8      9      9     .  0    

P =765 MW P =1020 MW

 6      9      9     .  0    

0.996

P =765

4      9      9     .

MW

 0    

0.994 0.992 2      9      9     .  0    

G=70 pu/pu

 9      9     .  0    

0.99  8      8      9     .  0      0     0     2     −

-200

 0  0     1     −

0    

0

 0      0     1    

100

 0      0     2    

 0      0      3    

 0      0     4    

 0      0      5    

500

 0      0      6    

 0      0     7    

Q (Mvar) Figure 11.4: caract´eristiques eristiques QV d’un g´en´ en´eerateur rateur sous contrˆo ole le de son r´egulateur egulateur de tension Les courbes courbes montren montrentt une l´eg` eg`eere re cchute hute de la tension tension au fur fur et a` mesur mesuree que que la puiss puissanc ancee r´eactive eactive produite produ ite augmente augmente.. Ceci Ceci provient provient de l’erreur l’erreur statique statique introduite introduite par le r´egulateu egulateurr proportionn proportionnel. el. La chute de tension est evidemment e´ videmment plus prononc´ee ee pour des gains  G  faibles. La pente de la caract´eristique eristique QV   n’est que faiblement faiblement influenc´ influenc´eeee par la puissance active active produite. Notons que l’on rencontre parfois (en France, par exemple) des r´egulateurs egulateurs comportant un terme int´egral egral qui annulle l’erreur statique de r´egulation. egulation. Dans ce cas on peu peutt supposer supposer en  V    =  V o. regime e´ gime que V 

11.2.3

Reponse  e´ ponse  a` une perturbation d’une machine r´ regul´ e´ gulee e´ e en tension

Consid´erons erons pour simplifier:

•  une machine a` rotor lisse (X    =   X    =   X ) dont on n´eglige eglige la saturation et la r´eesistance sistance d

statorique;

q

169

 

•  dont le gain statique en boucle ouverte  G  est tr`eses elev´ e´ lev´e, e, de sorte que la tension  V   aux bornes de la machine peut etre eˆ tre suppos´ee ee constante (V   ≃ V  ); •   une production de puissance puissance active active P   constante, ce ce qui correspond correspond a` l’absence de variao

tion de la fr´equence equence ou de r´egulateur egulateur de vitesse.

Le diagramme de phaseur correspondant correspondant a` ((8.44 8.44)) est donn´e a` la figure 11.5, figure 11.5, dans  dans laquelle nous ¯  est constant. supposons donc que  V  C

O

A

B

¯q E  ¯  jX I  XP  V 

ϕ ¯ V 

XQ V 

¯ I 

O’

Figure 11.5: diagramme de phaseur phaseur d’une machine sous contrˆo ole le de son r´egulateur egulateur de tension (X d   =  X q   =  X ,Ra   = 0)

¯ sur ¯   vaut: Dans ce diagramme, la projection de jX   j X I   sur l’axe de  V  X I Q   =

 X Q V 

et sur la perpendiculaire a` cet axe:

  X P  V  ¯. ¯ doit P   et  j X I  et  V   etant e´ tant constants, l’extr l’extr´emit´ e´ mit´e du vecteur jX   doit donc se d´eplacer eplacer sur une parall parall`eele ` le a`  V  X I P  P   =

Le point 0 correspond a` une production de puissance r´eactive eactive nulle par la machine. A droite, on parle de  fonctionnement en sur-excitation, a` gauche de fonctionnement en sous-excitation. Consid´erons erons a` pr´esent esent la caract´eristique eristique   QV   du r´eseau eseau vu des bornes de la machine, approxim´ee ee par la droite inclin´ inclin´eeee num´erot´ erot´ee ee 1 a` la figure figure 11.6.  11.6. Sous l’hypoth`ese ese eenonc´ ´ nonc´ee ee plus haut, la caract´eristique eristique QV de la machine est une horizontale. Le point de fonctionnement du syst`eme eme est l’intersection de la caract´eristique eristique de la machine et de celle du r´eseau. eseau. C’es C’estt le point A a` la figure 11.6 figure 11.6.. Supposons qu’une perturbation perturbation survienne dans le r´ reseau e´ seau qui modifie sa caract´eristique eristique de 1 en 2. Si la machine produisait une puissance puissance r´eactive eactive constante QA , le nouveau point de fonctionnement serait A’ A’ et la tension aux bornes de la machine tombe tomberait. rait. Cependant, Cependant, celle-ci etant e´ tant regul´ e´ gul´ee, ee, le nouveau point de fonctionnement est B. Le maintien de la tension requiert que la machine produise davantage davantage de puissance r´eactive eactive (QB   > QA ).

170

 

r´eseau eseau

V 

machine

3

A

C

B

1 2

A’

Q QC 

 

QA QB

Figure 11.6: caract´ Figure caract´eeristiques ristiques QV du r´eeseau seau et du g´en´ en´eerateur rateur sous contrˆole ole du r´egulateur egulateur de tension De mˆeme, eme, une perturbation qui ferait passer de la caract´eristique eristique 1 a` la caract´eristique eristique 3 causerait un accroissement de tension si la machine produisait une puissance r´eeactive active constante mais en pr´esence esence de la r´egulation egulation de tension, le nouveau point de fonctionnement est C, ou` la machine produit moins de puissance r´ reactive e´ active (QC   < QA ). Les diagrammes de phaseur correspondant aux points B et C ont eet´ ´ t´e trac´es es a` la figure 11.5 figure  11.5.. ¯q  se d´eplace eplace vers la droite. Sous l’effet de la premi`ere ere perturbation, l’extr´emit´ emit´e du vecteur  E  f.e.m. et donc le coura courant nt d’exc d’excitation itation  if  augmentent sous l’action L’amplitude   E q  de cette f.e.m. du r´egulateur. egulateur. Sous l’effet de la seconde seconde perturbation,   E q  et donc le courant d’excitation  i f  diminuent sous l’action du r´egulateur. egulateur.

11.2.4 11.2 .4

Dis Disposi positifs tifs limite limiteurs urs

A la section 8.8 section 8.8 nous  nous avons enum´ e´ num´er´ er´e les diff´erentes erentes limites impos´ees ees au fonctionnement d’un g´en´ en´erateur. erateur. Dans ce qui suit, nous nous int´ interessons e´ ressons aux deux limites affectant la production de puissance r´eactive. eactive.

Limiteur de courant rotorique (ou de sur-excitation) En r´eponse eponse a` une perturbatio perturbation n importante, importante, tel tel un court-circu court-circuit, it, il importe de laisser laisser le r´egulateur egulateur de tension et l’excitatrice fournir un courant d’excitation ´elev´ elev´e. e. Dans de telles circonstances, la tension d’excitation peut croˆıtre ıtre rapidement jusqu’` jusqu’a` une valeur “de plafond” et le courant d’excitation peut atteindre une valeur de l’ordre de  2 I fmax f max . Une te Une telle lle va vale leur ur ne pe peut ut etre et ˆ re tol´ tol´er´ er´ee e e pe pend ndan antt plus plus qu quee qu quel elqu ques es seco second ndes es,, sous sous pe pein inee de d´eet´ t´eriorer eriorer l’enroulem l’enr oulement ent d’excita d’excitation. tion. Toutefois, outefois, etant e´ tant donn´e que l’´echauffement echauffement est proportionnel a` 2   i dt, une surcharge plus petite pourra etre eˆ tre tol´er´ er´ee ee plus longte longtemps. mps. Cette capa capacit´ cit´e de surcharge est illustr´ee ee par la courbe de la figure 11.7 figure  11.7 (norme  (norme ANSI), donnant la relation entre le

 

171

 

courant et la dur´ee ee admise pour celui-ci. celui-ci. Une telle caract caracteristique e´ ristique est dite  a` temps inverse. 210

if  (en % de I fmax f max )

200

190

180

170

160

150

140

130

120

110 0

20

40

60

80

100

120

d´eelai lai (s) Figure 11.7: relation entre le courant rotorique et et la dur dur´ee e´ e admise pour celui-ci Les limiteurs les plus simples (souvent les plus anciens) fonctionnent av avec ec un seuil de courant e tund´eelai lai de pa pass ssag agee en limite limite fixes fixes;; ils n’ex n’expl ploi oite tent nt do donc nc pa pass vrai vraime ment nt la capa capaci cit´ t´e de surch surchar arge ge thermique d´eecrite crite plus haut. Par contre, de nombreux limiteurs (souvent de construction plus recente) e´ cente) ont une caract´eristique eristique a` temps inverse. Une fois le d´elai elai de surcharge ecoul´ e´ coul´e, e, le courant rotorique doit etre eˆ tre diminu´e. e. Deux techniques sont utilis´ees ees a` l’heure actuelle pour transf´erer erer le contrˆole ole de l’excitation au limiteur: 1. la premi`ere ere (branche 1 a` la figure 11.2 figure  11.2)) consiste a` fournir a` l’excitatrice le plus petit des signaux fournis, respectivement, respectivement, par le r´ regulateur e´ gulateur de tension et par le limiteur. Ceci “ouvre” donc la boucle de r´etroaction etroaction de la tension   V  . Co Comm mmee le r´egulateur egulateur est mis hors service, ses boucles internes de compensation compensation (cf section 11.2.1 section 11.2.1)) le sont aussi et le limiteur doit etre eˆ tre conc¸ u pour assurer assur er la stabilit st abilit e´ du syst`eme eme d’excitation; 2. dans la seconde seconde technique technique (branche 2 a` la figure 11.2 figure  11.2), ), le limiteur injecte un signal au point d’entr´ee ee du r´egulateur. egulateur. En temps normal, ce signal est est nul tandis que lorsque le limiteur agit, il est tel que le courant d’excitation est ramen´e a` la limite d´esir´ esir´ee. ee. Cec Cecii peut etre eˆ tre vu comme une diminution de la consigne  V o  telle que le courant d’excitation reste au niveau d´esir´ esir´e. e. Avec cette technique, la protection de l’enroulement d’excitation repose sur le r´egulateur egulateur de tension. tension. Un syst`eme eme doit donc etre eˆ tre pr´evu evu pour prot´eger eger le g´en´ en´erateur erateur en cas de disfonctionnement du r´egulateur. egulateur. Dans de nombreux cas, le r´egulateur egulateur de tension reprend automatiquement le contrˆole ole de la tension d`es es que les conditions de fonctionnement le permettent, par exemple suite a` une intervention dans le r´eseau. eseau.

172

 

Limiteur de courant statorique Les limiteurs de courant statorique ne sont pas aussi r´epandus epandus que les limiteurs rotoriques. rotoriques. La raison principale est la plus grande inertie thermique du stator, qui autorise une action plus lente par l’op´erateur erateur en centrale. Ce dernier r´eagira eagira a` une alarme de surcharge surcharge statorique, soit en diminuant diminuant la consigne consigne V o (ce qui r´eeduit duit la pro produc duction tion de pui puissa ssanc ncee r´eeacti active ve)) soit soit en r´eduidant eduidant la puissance active produite. Dans certains pays, on rencontre toutefois des limiteurs (automatiques) de courant statorique qui agissent sur le syst`eme eme d’excitation d’excit ation de la fac¸o ¸on n d´ d ecrite e´ crite pour le rotor.

11.2 11 .2.5 .5

Ca Cara ract ct´eristique e´ ristique QV d’une machine en limite de courant rotorique et statoriqu statoriquee

Pour la machine d´eej` j`a consid´er´ er´ee ee a` la figure 11.4, figure 11.4, la  la figure 11.8 figure 11.8 donne  donne :

trait plein, les courbes courbes QV re relatives latives a` la limite de courant courant rotorique, pour trois niveaux •   en de puissance active. active. On voit qu’en limite de courant rotorique, la production rr´eactive e´ active du g´en´ en´erateur erateur varie quelque peu avec la tension;

•   en trait trait pointill´ pointill´e long, les courbes QV correspondant au courant statorique nominal  I  . N  N 

Elles correspondent correspondent a` la relation:

S   =  V I N N    =

 

P 2

+ Q2

⇒

  Q  =

 

2 (V I N  N )

− P 

2

•   en trtraiaitt po poin intil till´ l´e court, court, la courbe courbe QV relati relative ve au foncti fonctionn onneme ement nt sous sous co contrˆ ntrˆole du r´eegulateur gulateur de tension, d´eej` j`a pr´esent´ esent´ee ee a` la figure 11.4 figure 11.4..

Consid´erons erons d’abor d’abord d llee ca cass d’un d’unee produc productio tion n de 765 MW et suppos supposons ons que la ca carac ract´ t´eristiq eristique ue de resea e´ seau u soit soit la co cour urbe be nu num´ m´erot´ erot´ee e e 1. Le po poin intt de fonc fonctio tionn nnem emen entt du syst` syst`eme e me est est A, a` l’intersec l’intersection tion des caract´eristiques eristiques du r´eseau eseau et du g´en´ en´eerateur. rateur. Une premi`ere ere perturbation fait passer la caract´eristique eristique du r´eseau eseau de la courbe 1 a` la courbe 2. Le nouveau point de fonctionnement fonctionnement du syst` systeme e` me est B. En ce point, le g´en´ en´eerateur rateur est toujours sous contrˆole ole du r´egulateur egulateur de tension. tension. La tension reste tr`es es proche de sa valeur avant incident tandis que la production de puissance r´eactive eactive augmente augmente en r´ reaction e´ action a` la perturbation. Une seconde perturbation fait passer la caract´eristique eristique du r´eseau eseau de la courbe 2 a` la courbe 3. Le point de fonctionnement se d´eplace eplace de B en C. Toutefois, en ce point, le courant rotorique est sup´erieur erieur a` la limite permise. Sous l’action du limiteur, la caract´eristique eristique du g´en´ en´eerateur rateur se modifie et le point de fonctionnement qui en r´ resulte e´ sulte est C’. La machine n’est plus contr contrˆol´ oˆ l´ee ee en tension.

173

 

1  

1.1.1  

V  (pu)   (pu)

rotor pour P = 1020 MW

 5  

pour P = 765 MW

 0   1.05 . 1  

pour P = 510 MW

sous contrôle du régulateur de tension 1.1  

A

 5  

 9   . 0.95  0  

C

B

1

C’ 2

3

 9  

. 0.9  0  

stator pour P = 1020 MW  5    8   .  0  

pour P = 765 MW

0.85

pour P = 510 MW  8   .  0   0  

 0  

 0  

 0    0   100 200 1   2  

 0    0    3  

 0    0   4  

 0    0    5  

500

 0    0    6  

 0    0   7  

 0    0    8  

Q (Mvar)

 0    0    9  

 0  

 0   1000  0   1  

Figure 11.8: caract´eeristiques ristiques QV du r´eeseau seau et du g´en´ en´eerateur rateur Dans le cas d’une production de 1020 MW, la seconde perturbation entraˆıne ıne le d´epassement epassement de la limite statorique, plus contraignante que la limite rotorique. Si le courant statorique est ramen´e a` la valeur maximale permise (par l’op´erateur erateur ou par un dispositif limiteur), la chute de tension est plus s´ev` ev`eere re que dans le premier cas. Dans les situations extrˆeemes mes o`u la tension du g´en´ en´eerateur rateur pass´e en limite d´ecroˆ ecroˆıt ıt fort f ortement ement,, les auxiliairess de la centrale auxiliaire centrale (p.ex. les moteurs moteurs des pompes) pompes) risquant risquant de ne plus eetre ˆ tre aliment´es es correctement, une protection de sous-tension d´eclenche eclenche le g´en´ en´erateur. erateur. La perte correspondante des productions active et r´eactive eactive risque d’aggraver la situation. Une telle protection ne doit donc pas etre eˆ tre r´egl´ egl´ee ee a` un niveau de tension trop elev´ e´ lev´e sous peine de d´eeclencher clencher la machine dans une situation d’urgence d’urgence o` ou` l’on en a pr´ecis´ ecis´eement ment besoin pour soutenir le r´eseau. eseau.

11.3

Compens Compensateu ateurs rs synchr synchrones ones

Un compensateur synchrone est une machine synchrone eequip´ ´ quip´ee ee d’un r´egulateur egulateur de tension et utilis´ee ee seulement pour r´eguler eguler la tension en un point d’un r´eseau. eseau.

174

 

Une te Une telle lle mach machin inee est est capa capabl blee de prod produi uire re ou d’ab d’abso sorb rber er de la puis puissa sanc ncee r´eeacti active ve,, sel selon on n´eecessit´ cessit´e. e. Par contre, elle n’est pas equip´ e´ quip´eeee de turbine et ne fournit pas de puissance active. Elle fonctionne en fait comme un moteur synchrone qui n’entraˆıne ıne aucune charge m eecanique ´ canique.. Elle consomme donc une faible puissance active correspondant correspondant aux pertes Joule statoriques et aux frottements m´ecaniques. ecaniques. Le diagramme de phaseur de la figure 11.5 figure  11.5 se  se simplifie et devient celui de la figure 11.9, figure  11.9, qui  qui montre s´epar´ epar´ement ement les fonctionnements en sur-excitation sur-excitation et sous-excitation. sous-excitation.

XQ/V  Q >  0  fonct. sur-excit´e ¯ V 

¯ I 

¯ I 

 

¯q E 

XQ/V  Q <  0  fonct. sous-excit´e ¯q E 

 

¯ V 

 =  X q   =  X , Ra   = 0) Figure 11.9: diagramme de phaseur d’un compensateur synchrone (X d  = X  Au lieu d’installer des compensateurs synchrones on opte plutˆot ot a` l’heure actuelle pour des compensateurs compensateu rs statiques, qui font appel a` l’´electronique electronique de puissance.

11.4

Compens Compensateu ateurs rs statiqu statiques es de puissan puissance ce reactive e´ active

11.4 11 .4.1 .1

Us Usag agee 5

Les compensateurs statiques de puissance puissance rr´eactive e´ active (en abr´eg´ eg´ee,, compensateurs statiques ) sont des dispositifs rapides d’injection de puissance r´eactive eactive faisant faisant appel a` l’´electronique electronique de puissance. On les rencontre d’abord comme eel´ ´ l´ements ements de compensation dynamique des charges, o`u ils servent :

•   a` equilibrer des charges charges pr´ presentant e´ sentant un d´es´ es´eequilibre quilibre entre phases •   a` stabiliser la tension aux bornes d’une charge variant rapideme rapidement nt (fours a` arc, laminoirs, etc. . . ). Ces variatio variations ns peuvent peuvent donner donner lieu au “flicker “flicker de tension”, tension”, fluctuation fluctuation d’une d’une fr fr´eequence ´ quence entre 2 et 10 Hz qui cause le “papillottement” des lampes a` incandescence et perturbe appareils appareils electroniques, e´ lectroniques, t´eel´ l´eevise viseurs urs,, etc. . .

5

en anglais: Static V Var ar Compensators (SVC)

175

 

Dans ce cours, c’est aux applications r´eseau eseau que nous nous int´eeressons. ressons. Dans ce contexte, les compensateurs compensateu rs statiques constituent la premi` premiere e` re g´en´ en´eration eration de dispositifs FACTS ACTS6 , apparus a` la fin des ann´ees ees 70. Leur rˆole ole premier est de maintenir quasi constantes les tensions en certains noeuds. Les compensateurs statiques font appel au   thyristor , composant electronique e´ lectronique utilis´e comme interrupteur.. Son symbole est donn´e a` la figure 11.10 interrupteur figure 11.10.. Il fonctionne selon le principe suivant:

•   le thyristor laisse passer passer le courant quand l’anode est a` un potentiel electrique e´ lectrique sup´erieur erieur a` la cathode cathode (v  − v   >   0) et si une impulsion de tension est envoy´ee ee sur la gachette A

C 

(cette impulsion est donn´ee ee par le circuit de commande, ind´ependant ependant mais synchronis´e sur la partie puissance);

•   lorsque le courant veut changer de sens, le thyristor se bloque et le courant ne peut plus passer.

A

A : anode C : cathode G : gachette G

C

Figure 11.10: thyristor

11.4.2 11. 4.2

TSC: TSC: pr prin incip cipee

Le premier type de compensateur statique est le  Thyristor Switched Capacitor  (TSC)  (TSC) dont le sch´ema ema de principe est donn´e a` la figure 11.11. figure 11.11. Le TSC est constitu´e d’un certain nombre de condensateurs shunt en parall`ele, ele, chacun dot´e d’un interrupteur bidirectionnel a` thyristors. Lorsque la tension au jeu de barres HT diminue (resp. augmente), le nombre de de condensateurs condensateurs mis en service augmente (resp. (resp. diminue). La variation est donc typiquement typiquement par paliers. La logique de contrˆ controle oˆ le comporte une bande morte dans laquelle il n’y a pas de r´ reaction e´ action du dispositif. Le processus de commutation commutation d’un TSC est illustr´ illustre´ a` la figure 11.12. figure 11.12. En  t   = 0, le thyristor thyristor B est en train de conduire. conduire. Le courant courant   ic  qui traverse le condensateur o est en avance de 90 sur la tension  v c  `a ses bornes, qui est aussi la tension  v  du r´eseau eseau (cf fig. 11.11). 11.11 ). A l’instan l’instantt  t 1 , le courant courant s’annulle et le thyristor thyristor B se bloque. bloque. Dans les instants instants qui 6

Flexible Alternating Current Transmission Systems

176

 

V 

Q

V MV   MV  

ic

vc

−

v

commande

+

B

A

V o

vA

Figure 11.11: sch´ema ema de principe d’un TSC

vc

V max max

v

ic

t2

t3

t1

−V 

max max

t vc

Figure 11.12: commutation dans un TSC suivent imm´ediatement ediatement , le condensateur reste charg´e a` la tension de crˆete ete , tandis que 1 max  t  V   11.11)) valant fig. la tension v  du r´eseau eseau diminue. La tension  v A  aux bornes du thyristor A (cf fig. 11.11 vc v >  0 , ce de dern rnie ierr est est po pola lari ris´ s´e da dans ns le bo bon n sens sens po pour ur la cond conduc uctio tion. n. L’e L’en nvo voii d’un d’un si sign gnal al sur sur sa gachette le fait conduire. Il importe de ne pas attendre pour envoyer envoyer ce signal, car la diff´ diff eerence ´ rence de tension aux bornes du thyristor est en train d’augmenter et sa commutation cr´eerait eerait alors un courant transitoire important. En pratique, on ne peut empˆecher echer compl`etement etement ce dernier; c’est la raison pour laquelle on place en s´erie erie avec le condensateur une faible inductance, qui n’est pas repr´esent´ esent´ee ee a` la figure 11.11. figure 11.11.

−

l’on suppos supposee qu’`a cet instant on d´esire esire mettre le Le thyristor A se bloque a` l’instant   t2 . Si l’on condensateur hors service, on n’envoie pas de commande sur la gachette du thyristor B. Ce faisant, le condensateur reste charg´e a` la tension V max pourra rra le rem remettre ettre en en service service max . On pou 7 au plus tˆot ot a` l’instant   t3 , quand la tension   v  du r´eseau eseau sera a` nouveau egale e´ gale a` V max max . En

 −

 −

7

notons qu’en pratique, si l’on attend suffisamment longtemps, le condensateur finit par se d´echarger, echarger, ce qui

177

 

conclusion, la commutation du condensateur ne peut se faire qu’`a des multiples entiers de la demi-p´eriode. eriode.

11.4.3 11. 4.3

TCR: TCR: pr princ incip ipee

Le second type de compensateur statique est le  Thyristor Controlled Reactor  (TCR)  (TCR) dont le sch´ema ema de principe est donn´e a` la figure 11.13. figure 11.13. V 

Q

V MV   MV  

− commande

+ V  o

Figure 11.13: sch´eema ma de principe d’un TCR Dans un TCR, on retarde l’instant d’allumage des thyristors plac´ places e´ s en s´eerie rie avec l’inductance, retard   a` l’allumage comme repr´esent´ esent´e a` la figure 11.14. figure  11.14.  Dans cette figure,   α  est l’angle de retard   mesur´e par rapport au z´ero ero de tension, tandis que  σ  est l’angle de conduction. Ce dernier peut varier de 180 a` 0 degr´es. es. v

i ωN t

α

σ

Figure 11.14: retard a` l’allumage dans un TCR Pour diff´erentes erentes valeurs de   σ , on obtient les ondes de courant montr´ees ees a` la figure 11.15 figure  11.15.. Un d´eveloppement eveloppement en s´erie erie de Fourier de ce signal p´eeriodique riodique montre que l’amplitude de la fondamentale (50 ou 60 Hz) vaut:

I fond f ond   = complique le choix de l’instant de commutation

  V  σ ωN L

− sin σ π

 

(11.3)

178

 

ero, ´ ro, ou`  σ  est exprim´e en radians. Quand on fait fait varier  σ  de  π  a` 0,   I fond f ond  varie de   V /ωN L  `a z e ce qui revient a` consid´erer erer que l’on a une inductance variant entre   L  et l’infini. l’infini. Le TCR TCR se comporte donc comme une inductance contin continˆument uˆ ment variable. 3000 courant pour

tension

 sigma = 2000

180° 135° 90°

1000

45° 0

−1000

−2000

−3000 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Figure 11.15: ondes de tension et de courant dans un TCR pour diff´erentes erentes valeurs de σ Ceci permet de faire varier l’absorption de puissance r´eeactiv active. e. Pour obteni obtenirr un dispositif  dispositif  pouvant produire de la puissance r´eactive, eactive, on place un condensateur fixe en parall`ele ele avec l’inductance variable. La production r´eactive eactive de l’ensemble l ’ensemble est maximale quand les thyristors ne conduisent pas; elle est minimale lorsqu’ils conduisent conduisent en permanence. permanence. En g´ gen´ e´ n´eeral, ral, la plage de variation va de l’absorption a` la production. Contrairement au TSC, le TCR permet un r´eglage eglage continu de la susceptance mais il g´een` n`eere re des harmoniques, qui doivent etre eˆ tre filtr´es. es. L’onde de courant etant e´ tant sym´etrique etrique dans le temps, elle ne contient que des harmoniques d’ordre impair. impair. Ceux-ci peuvent etre eˆ tre filtr´es es comme suit:

•  pour obtenir un syst`eme eme triphas´e, e, trois TCR monophas´es es sont mont´es es en triangle, con-

form´ement ement au sch´ema ema de la figure 11.16 figure  11.16(a). (a). Dans ce ce montage, montage, les trois trois phases phases eetant ´ tant eequilibr´ ´ quilibr´ee ees, s, les harmon harmoniqu iques es de rang 3, 6, 9, etc . . . circu circulen lentt dans le triangl trianglee et les courants cour ants de ligne en sont exempts. exempts. A titre indic indicatif, atif, la figure figure 11.17 mont montre re l’´evolution evolution des courants dans deux branches du triangle et dans la ligne incidente `a ces deux branches. Les autres autres harmon harmoniques iques (de rang rang 5, 7, 11, 11, etc.. etc. . . ) sont eelimin´ ´ limin´es es au moyen de filtres (qui repr´esentent esentent une partie importante de l’i l’inv nvestissement). estissement).

•  on peut eliminer e´ liminer les harmoniques de rang 5 et 7 en utilisant deux syst`emes emes triphas´es es de

meme eˆ me puissance, connect´es es aux enroulements secondaires d’un transformateur a` trois enroulements, l’un etant e´ tant mont´e en triangle et l’autre en etoile e´ toile (cf figure 11.16 figure 11.16(b)). (b)). Grˆace ace

au dephasage dephasage de 30 degres degres entre tensions secondaires, secondaires, les courants de ligne l igne au primaire 179

 

sont exempts des harmoniques 5 et 7; les autres harmoniques sont ´elimin´ elimin´es es avec des filtres plus simples.

Figure 11.16: montages des TCR pour eliminer e´ liminer les principaux harmoniques 2500 courant iba 2000

courant iac

1500 1000

   )    A    (   s    t   n   a   r   u   o   c

500 0

ia

−500 −1000

iac courant ia = iba−iac

−1500

ic

iba  

icb

−2000 −2500 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

t (s)

ib

Figure 11.17: ondes de courant dans un TCR Mentionnons que l’on peut combiner au sein d’un mˆeme eme compensateur le TCR, le TSC, des capacit´es es commutables par disjoncteurs et des capacit capacit´es e´ s fixes. En anglais, un tel ensemble est est

appelee Static Var System. appel 180

 

11.4 11 .4.4 .4

Ca Cara ract ct´eristique e´ ristique QV et r´ regulation e´ gulation de tension

Le sch´ema-bloc ema-bloc statique du TCR, relatif au r´egime egime etabli, e´ tabli, est donn´e a` la figure figure 11.18.  11.18.   Le dispositif mesure la tension  V  au jeu de barres du r´eeseau seau de transport, la compare a` une consigne  V o  et amplifie amplifie la diff´erence. erence. Les limites  B Lmin  et  B Lmax  correspondent aux conditions de conduction extrˆemes emes des thyristors :

BLmin   =

− ω  1 L   et   B

Lmax   =

N 

0

tandis que   BC  est la susceptance du condensateur en parall`ele. ele.   B  est donc la susceptance eequivalente ´ quivalente de l’ensemble.   I M T  est le courant r´eactif eactif inject´e au jeu de barres MT du transformateur eel´ ´ l´evateur, evateur, dont la tension est  V M T . V 

V MT  MT  I 

π

MT 

BLmax +

V o

−

B BL

K 

BC  +

+

BLmin

Figure 11.18: sch´ema-bloc ema-bloc statique du TCR La caract´eristique eristique statique   QV   vue du jeu de barres contrˆol´ ole´ par le compensateur statique est la ligne bris´ee ee en trait plein a` la figure 11.19 figure  11.19.. La plage de fonctionn fonctionnemen ementt normal est la partie a` faible pente, o`u la tension est contrˆo ol´ l´ee. ee. Cette partie peut eetre ˆ tre assimil´ee ee a` un segment de droite, car   V    reste proche de  dans cette fonct ionnement. Les autres autres parties   V  0=   Bmax   >   plage 0  et   Bde   =fonctionne   Bmin   <   ment. 0.   Bmin correspondent respectivement a`   B  correspond a` la  +  BC  derri`ere ere la r´eactance eactance de fuite du transformateur eel´ ´ l´evateur evateur tandis que susceptance  BLmin  + B  +  BC  derri`ere Bmax correspond a` la susceptance BLmax + B ere cette mˆeme eme r´eactance. eactance. Supposons que le compensateur compensateur soit destin´ destin e´ a` produire plus de puissance qu’`a en consommer ( Bmin   < Bmax ), comme c’est souvent le cas cas en pratique. Sa puissance nominale nominale est alors donn´ee ee par :

|

|

2 Qnom  = B  =  B max V nom

compensateurr est connect´e. e. Le ou`  V nom nom est la tension nominale du jeu de barres MT auquel le compensateu gain K  vaut  vaut de 25 a` 100 pu/pu dans la base du compensateur. La figure 11.20 figure  11.20,, d´esormais esormais famili` famili`ere, ere, superpose la caract´eristique eristique du compensateur a` celle

du reseau reseau vu du jeu de barres THT, dans trois configurations differen differentes. tes. Lors du du passage passage 181

 

V 

max

B  =  B min

B  =  B capacitif 

inductif 

Q 0

Figure 11.19: caract´eristique eristique QV d’un compensate compensateur ur statique de la caract´eristique eristique 1 a` la caract´eeristique ristique 2, le compensateur maintient la tension (presque) constante en produisant plus de puissance puissance rr´eactive. e´ active. Si une perturbation plus importante conduit a` la caract´eristique eristique 3, le compensateur entre en limite et se comporte alors comme un simple condensateur. V  1   2 3

max B  =  B min   B   = B

Q 0

Figure 11.20: principe de la r´eegulation gulation de tension par un compensateur compensateur statique En foncti fonctionn onneme ement nt normal normal,, les op´erat e rateu eurs rs (ou (ou un syst` syst`eme eme au autom tomati atique que)) proc` proc`edent edent adesr´ a` desr´eglages eglages de mani`ere ere a` maintenir la production r´eeactive active du compensateur dans un intervalle autour de z´ero. ero. L’objectif ’objectif est est de m´enager enager une r´eserve eserve de r´eeactif actif sur le compensateur afin que celui-ci puissee rr´epondre puiss e´ pondre rapidement a` des incidents. Pour ce faire, ils peuvent par exemple mettre en service des condensateurs par fermeture de disjoncteurs. Par rapport aux compensateurs synchrones, les compensateurs statiques pr´esentent esentent une plus grande vitesse de r´eponse, eponse, ne contribuent pas aux courants de court-circuit et sont d’un en-

tretien tretie n plus aise. aise. Par contre, contre, par construc construction, tion, ils ne presentent presentent pas pas de f.e.m. f.e.m. interne, ce qui 182

 

diminue leur capacit´e a` soutenir la tension en r´egime egime tr`es es perturb´e. e. Notons toutefois qu’il s’agit de dispositifs relativement coˆuteux, uteux, dont l’usage se justifie dans les cas o`u l’on a besoin d’une grande rapidit´e d’action et/ou une r´egulation egulation pr´ecise. ecise. Dans les autres cas, il convient d’analyser si des condensateurs ou inductances shunt manoeuvr´eess par ouverture/fermeture ouverture/ferme ture de disjoncteur ne suffisent pas.

11.5

Regulation e´ gulation de tension par les r´ r egleurs e´ gleurs en charge

11.5 11 .5.1 .1

Pr Prin inci cipe pe

Un proc´ed´ ed´e tr`es es couram couramment ment utilis´e pour pour cont contrˆ rˆoler o ler la te tens nsio ion n de dess r´eseaux eseaux de tens tensions ions nominales nominales inf´erieures erieures consiste a` dot doter er les tra transf nsform ormate ateurs urs qui les alimen alimenten tentt de r´egleurs egleurs en charge automatiques. Ces derniers sont dot´es es d’un asservissement dont le rˆole ole est de maintenir la tension du  jeu de barres contr ol´ oˆ l´e au voisinage d’une consigne, en ajustant le rapport de transformation. De la sorte, les variations de tension en amont sont corrig ees. e´ es. On trouve de tels dispositifs sur les transformateurs qui alimentent les r eseaux e´ seaux de distribution, ou` ils constituent le moyen le plus r´epandu epandu de contr contrˆoler oˆ ler la tension. Les autres moyens de r´eegler gler la tension d’un r´eseau eseau de distribution sont les condensateurs condensateurs shunt et eventuellement e´ ventuellement les petits g´en´ en´erateurs erateurs connect´es es a` ces niveaux de tension et dot´es es d’un r´egulateur egulateur de tension. Ce dernier proc´ed´ ed´e n’est pas encore tr`es es r´epandu epandu mais avec avec le d´ developpement e´ veloppement de la production distribu´ee, ee, il pourrait prendre de l’importance l’i mportance dans le futur. futur. On rencontre egalement e´ galement des transformateurs avec r´egleurs egleurs en charge automatiques entre les niveaux niveau x de transport (THT) et de r´ repartition e´ partition (HT). L`a encore, ils constituent souvent le principal moyen de r´egler egler la tension en l’absence de g´en´ en´eerateurs rateurs8 . La figure 11.21 figure  11.21 montre  montre le sch´ema ema equivalent e´ quivalent simplifi´e d’un transformateur alimentant le jeu de barres barres de d´ depart e´ part9 d’un r´eseau eseau de distribution. Le rapport  r  s’ajuste automatiquement pour maintenir V 2 dans une bande morte [V   [V 2 0 ǫ V 20  + ǫ  ǫ]].

 −

La consigne V 2 0 est g´en´ en´eeralement ralement choisie sup´erieure erieure a` la tension nominale, de mani`eere re a` compenser la chute de tension dans le r´eseau eseau de distribution et alimenter le consommateur le plus eeloign´ ´ loign´e du d´epart epart sous une tension encore correcte, usuellement garantie par le contrat de fourniture d’´electricit´ electricit´ee..

¯2  de la tension MT, on fournit au Mentionnons que dans certains cas, au lieu du module V  ¯2  Z  ¯cI  ¯ ou`  I  ¯ est regleur e´ gleur en charge le signal V   est le courant entrant dans le r´eseau eseau de distribution ¯c  une imp´edance et  Z  edance de compensation. De la sorte, la tension n’est pas r´egul´ egul´ee ee a` la sortie du

| − |

8

 | |

typiqueement, les centrales qui d´ebitaient ebitaient sur le r´eeseau seau HT, du temps o`u ce dernier constituait l’ossature principale du r´eseau eseau electrique, e´ lectrique, ont eet´ ´ t´e remplac´ees ees par des centrales de plus grande puissance, d´eebitant bitant sur le r´eseau eseau THT 9

couramment appele appele  feeder 

183

 

transformateur mais bien en un point situ´e “en aval”, c’est-`a-dire a-dire plus pr`es es des consommateurs situ´es es en bout de r´eseau eseau de distribution. Cette technique technique est similaire a` celle, evoqu´ e´ voqu´ee ee ant´erieurement erieurement dans ce chapitre, consistant a` compenser une partie de l’imp´edance edance du transformateur eel´ ´ l´evateur evateur d’un d’un g´ gen´ e´ n´eerateur rateur synchrone. Les r´eegleurs gleurs en charge agissent assez lentement, passant les prises une par une tant que la tension surveill´ee ee reste reste en dehors dehors de sa bande morte. morte. Le d´elai elai minimum  T m  pour passer une prise est d’origine m´eecan caniqu ique; e; il est de de l’ordre l’ordre de de 5 s. Des d´elais elais suppl´ementaires, ementaires, allant ere a` de quelques secondes a` 1 ou 2 minutes, minutes, sont intentionn intentionnellem ellement ent ajout´es es a`   T m , de mani`ere eeviter ´ viter des passages de prises fr´equents equents ou inutiles, synonymes d’usure de l’´equipeme equipement. nt. En particulier, suite suite a` une perturbation, il importe de laisser s’´ s’eteindre e´ teindre les transitoires sur le r´eseau eseau avant de corriger, si n´eecessaire, cessaire, les tensions MT. Ces d´elais elais additionnels peuvent eetre ˆ tre fixes ou variables. Dans le second cas, on utilise souvent une caract´eristique eristique a` temps inverse inverse dans laquelle le d´elai elai est plus grand pour des erreurs erreurs de tension plus petites. Mentionnons egalement e´ galement que tr`eess souvent le premier passage de prise s’effectue avec un d´elai elai plus important (p.ex. de 30 a` 60 s) que les passages ult´erieurs erieurs (p.ex. (p.ex. 10 s par prise). Enfin, dans le cas o`u il y a plusieurs niveaux niveau x de r´ regleurs e´ gleurs en charge en cascade, cascade, c’est le r eegleur ´ gleur de niveau de tension le plus elev´ ´elev´e qui doit agir le premier, sous peine de cr´eer eer des oscillations entre r´egleurs. egleurs. La limite inf´erieure erieure du rapport de transformation r  est de l’ordre de 0.85 - 0.90 pu et la limite sup´erieure erieure de l’ordre de 1.10 - 1.15 pu. Le pas de variation ∆  ∆rr est quant a` lui de l’ordre de 0.5  ∆rr est g´en´  2ǫǫ; il y a donc alors deux - 1.5 %. Pour des raisons de de stabilit´e, e, ∆ en´eeralement ralement inf´erieur erieur a`  2 positions possibles du r´eegleur gleur dans la bande morte.

11.5.2 11.5 .2

 ˆol´ Com Comport portemen ementt d’ d’un un ensem ensemble ble d dee charg charges es co contr ntr ˆ ole´ par un r´ regleur e´ gleur automatique

Revenons a` la figure 11.21 figure 11.21.. Supposons que l’ensemble (charge + r´eseau) eseau) situ situ´e´ en aval aval du noeud 2 varie avec la tension  V 2  selon le mod`ele ele statique   P 2 (V 2 ) +  j Q2 (V 2 ). En fait, les fonctions P 2(V 2 ) et  Q 2 (V 2) d  d´ecrivent e´ crivent le comportement de la charge imm´ediatement ediatement apr`es es une variation de la tension V 2  ou du moins apr`es es extinction de la dynamique d´eecrite crite par ((9.11 9.11), ), soit au plus quelques secondes secondes apr` apres e` s la variation en question. question. On parle de caract´eristique eristique  a` court terme de la charge. Pour une des valeurs possibles de   r , il existe egalement e´ galement une caract´eristique eristique a` court terme P 1(V 1 , r ) + j +  jQ Q1 (V 1, r ) de l’ensemble charge + condensateur + r´eseau eseau de distribution + transformateur vu du cˆot´ ot´e HT du transformateur. Une telle caract´eristique eristique peut se d´eterminer eterminer point par point comme suit. Soit  V 1  θ1  la tension du noeu noeud d HT et V 2  θ2 la tensio tension n du noeud noeud MT. MT. La tensio tension n au noeud noeud fictif fictif en av aval al du transf transform ormaateur id´eal eal vaut evidemment e´ videmment

  V 1  θ1 . Les puissances active active et r´eactive eactive sortant du transformateur t ransformateur r

eetant ´ tant donn´ees ees par les relations (3.11 (3.11,, 3.12),  3.12), le bilan de puissance au noeud 2 s’´ecrit: ecrit:

  V 1 V 2

P 2 (V 2 ) =

rX    sin(θ rX  sin(θ1

−θ )

 

2

(11.4)

184

 

P 2 (V 2 ) + j +  jQ Q2 (V 2)

P 1(V 1, r ) + j +  jQ Q1 (V 1 , r) 1

r   1

 

¯ I 

2

HT

X  V 1  θ1

MT

B V 2  θ2

Figure 11.21: r´eseau eseau de distribution aliment´e par un transformateur avec r´egleur egleur en charge

Q2 (V 2 )

−

BV 2 2

  =

 −

V 2 2   V 1V 2  +   cos(θ cos(θ1 X  rX 

−θ ) 2

 

(11.5)

Pour une valeur donn´ee ee de V 1  et de r , ((11.4, 11.4, 11.5) 11.5) constituent un ensemble de deux eequations ´ quations θ2 . Une fois non lin´eraires eraires faisant intervenir deux inconnues:   V 2   et   θ1 fois   V 2  connu, on peut d´eterminer eterminer la consommation   P 2 (V 2 ) +  j Q2 (V 2 )   au secondaire secondaire du transformateur. transformateur. Les puis-

 −

sances qui entrent dans le transformateur par le noeud HT sont donn eees ´ es par:

P 1   =   P 2 (V 2) Q1   =   Q2 (V 2)

 

−

BV 2 2  + X  XI  I 2

=  Q 2(V 2 )

−

 P 22 (V 2 ) + Q +  Q22 (V 2 )  2 BV 2   + X  V 2 2

(11.6)   (11.7)

Consid´erons erons a` pr´esent esent la r´eponse eponse de ce syst`eme eme a` une diminution en echelon e´ chelon de la tension  V 1 , comme repr´esent´ esent´e `a la figure 11.22. figure 11.22.a. a. La figure 11.22. figure 11.22.d d repr´esente esente les caract´eristiques eristiques a` court terme   P 1 (V 1 )  du syst`eme eme pour diff´erentes erentes valeurs de   r . Soit A le po point int de fonctionn fonctionnemen ementt initial, situ´e sur une de de ces courb courbes es.. Apr`es es extinction des transitoires, le nouveau point de fonctionnement est B, situ´e sur la mˆeme eme caract´eristique eristique a` court terme, et ce aussi longtemps que le rapport  r  ne se modifie pas. Sous l’effet de la diminution de  V 1 ,   V 2  diminue egalement. e´ galement. Supposons, comme le montre la  o  ǫ]] du r´eegleur ǫ V 2o  + ǫ  V   [V   [ V  gleur en charge. Le d´elai elai figure 11.22. figure  11.22.b, b, que 2  sorte de la bande morte 2 initial une fois ecoul´ e´ coul´e, e, le r´egleur egleur passe des prises aux instants  t 1 , t2 , . . . , tk  jusqu’`a ce que  V 2 revienne dans dans sa bande morte. Sous l’effet du changement changement de  r , les caract´eristiques eristiques a` court terme se modifient modifient et les points de fonctionnement successifs sont sont B, C, . . . , D. La puissanc puissancee P 1 retourne donc progressivement a` sa valeur initiale, comme illustr´e a` la figure figure 11.22  11.22.c. .c.

 −

En pratiq pratique, ue, la tensio tension n V 2 n’e  n’est st pas ex exac actem temen entt ramen´ ramen´eeee a` la val aleu eurr V 2 0 , a` ca cause use de l’inse l’insensi nsibil bilit´ it´e du r´eegleur gleur en charge dans sa bande morte. Toutefois, si l’on n n´eeglige ´ glige cette erreur finale, on voit que l’effet du r´egleur egleur en charge est de restaurer les puissances consomm´ consomm´ees ees en MT et en HT a` leurs valeurs avant perturbation. Vu les temps de r´eaction eaction des r´egleurs egleurs en charge, ce processus de restauration de la charge est

dynamique  a long terme. On peut dire que, un exemple typique de   dynamique  que, sous l effe effett du regleur r egleur en

185

 

V 1 V  ′1 a.

P 1 V 1′′

r

t V 2

V 2 + ǫ  +  ǫ D

V 2

A

−ǫ C

t

b.

t1   t2

B

tk

P 1

V 1   ′′

V 1 c.

↓

t

 

′

V 1

d.

Figure 11.22: comportement d’une charge charge contrˆ control´ oˆ l´ee ee par un r´egleur egleur automatique

charge, la caract´eristique eristique a` long terme de la charge est une puissance constante. Ceci n´eglige eglige l’effet de la bande morte et ne s’applique bien entendu entendu que si le r´ regleur e´ gleur n’arrive pas en but´eee. e.

186

 

Chapitre 12 Analyse des d´ defauts  e´ fauts  equilibr´ e´ quilibres e´ s Un d efaut  ´´   es estt un unee pe pertu rturb rbat atio ion n qu quii empˆ empˆeche e che le flux flux norm normal al de puis puissa sanc ncee dans dans un r´esea e seau u d’´eenergie nergie eelectrique. ´ lectrique. Une grande partie des d´efauts efauts survenant survenant dans les r´ reseaux e´ seaux d’´energie energie electrique e´ lectrique sont caus´es es par la foudre, qui cr´ee ee un court-circuit entre au moins une des phases et la terre. Ce chapitre est consacr´e a` l’´etude etude des courts-circuits triphas´es es sym´etriques, etriques, pour lesquels on equilibr e´  peut encore recourir recourir a` une analyse par phase, d’o`u le nom de  d efaut  ´  ´   ´   ´  ´ .

12.1

Phenom` e´ nomenes e` nes li´ lies e´ s aux d´ defauts e´ fauts

12.1 12 .1.1 .1

Foudr oudree

La foudre tire son origine d’un m´ecanisme ecanisme de separation e´ paration des charges electriques e´ lectriques au sein des nuages, suite aux frottements frottements de ces derniers dans l’air l’air.. Des char charges ges n´egatives egatives s’accumulent dans le bas du nuage, des charges positives positives dans le haut. Par induction, des charges positives positives s’accumulent dans le sol sous le l e nuage. Un eclair e´ clair se forme de la mani`ere ere sui suiva vante nte.. Suite Suite a` une rupture di´electrique electrique dans la partie inf´erieure erieure du nuage, n uage, un “aiguillon” “aigui llon” prend naissance n aissance et descend des cend vers le sol en avanc¸ant par pas successifs (de plusieurs dizaines de m`etres etres chacu chacun). n). Le point d’impac d’impactt n’est pas d´etermin´ etermin´e avant d’arriver a` quelques dizaines de m`etres etres du sol. sol. La conne connexion xion a` ce dernier se fait par rencontre avec un second aiguillon, issu du sol, et partant g´en´ en´eeralement ralement d’un “objet” pointu (arbre, chemin´ee, ee, ligne electr e´ lectriqu ique, e, etc. etc. . . ). Le principe du paratonnerre est de placer un objet pointu au dessus d’une zone a` prot´eger eger de mani`ere ere a` augmenter la probabilit´e que l’aiguillon provenant du sol parte du paratonnerre; de la sorte l’´eeclair clair touche le sol au travers du paratonnerre plutˆot ot que via les objets environnants. de garde plac´e(s) Dans le cas des lignes a´eriennes eriennes de grand transport, c’est le (ou lles) es) c able(s) ˆ  e(s)

au sommet du pylone qui joue(nt) le role role de paratonnerre. Ce ccable able est connecte connecte a la structure 187

 

metallique e´ tallique de chaque pylone, et via la base de celui-ci, a` la terre. Une fois cette communication entre le nuage et le sol etablie, e´ tablie, les charges n´egatives egatives du nuage se d´eeversent versent dans le sol; leur vitesse est environ un tiers de celle de la lumi lumi`ere. e` re. Ce mouvement de charges correspond a` un courant du sol vers le nuage. En moyenne, ce courant atteint une valeur maximale d’environ 30 kA et a un temps de mont´ee ee de l’ordre de 5   µs. Ce vio violen lentt d´eplacement eplacement de charges electriques e´ lectriques induit dans les object environnants des champs electrique ´electrique et magn´etique etique pouvant pouvant s’av´ s’av´erer erer destructeurs. Le premier coup de foudre es estt g´ geen´ ´ n´eeralement ralement suivi de plusieurs coups rapproch´es es (qui ne frappent pas n´ecessairement ecessairement le sol au mˆ meme eˆ me endroit). La foudre peut toucher une ligne electrique e´ lectrique directement directement sur un de ses pylones, sur son cˆ cable aˆ ble de garde ou, si ce dernier n’est pas pr´esent esent ou n’a pas rempli son rˆole, ole, sur un conducteur de phase. Quand la foudre touche un conducteur de phase, les charges electriques ´electriques se d´eversent eversent dans les deux directions, a` partir du point d’impac d’impact. t. Ceci Ceci donne naissanc naissancee a` deux ondes de tension se propageant le long de la ligne a` la vitesse de la lumi`eere re1. Lorsq Lorsqu’une u’une telle onde onde atteint atteint l’isolateur le plus proche, ce dernier est soumis a` une diff´erence erence de potentiel tr`es es elev´ e´ lev´ee. ee. S’il y a rupture di´electrique electrique de l’intervalle d’air d’air qui l’entoure, un arc electrique e´ lectrique prend naissance entre le conducteur et le pylone. Un telle situation peut egalement e´ galement se produire lorsque la foudre touche directement un pylone ou le cˆable able de garde. Dans ce cas, le haut du pylone touch´e (ou des pylones les plus proches du coup de foudre) monte en tension sous l’effet de l’injection brusque d’un courant ´elev´ elev´e dans la structure structure m´ m etallique e´ tallique et dans la prise de terre (qui, toutes deux, pr´esentent esentent une imp´edance). edance). Cette tension tension est nettement nettement plus elev´ e´ lev´ee ee que celle pr´esente esente sur les conducteurs conducteurs de phas phase. e. Ici aussi, les isolateurs, soumis a` des diff´erences erences de potentiel potentiel tr` tres e` s eelev´ ´ lev´ees, ees, peuvent etre eˆ tre contourn´es es par un arc electrique. e´ lectrique. Dans les deux cas ci-dessus, mˆeme eme apr`eess que les charges provenant du coup de foudre se soient evacu´ e´ vacu´ees ees dans le sol, l’air ionis´e par l’arc reste conducteur et une connexion de faible imp´edance edance demeure demeure entre le r eseau e´ seau et la terre, cr´eant eant ainsi un court-circuit, aliment´e en courant par les g´en´ en´eerateurs. rateurs.

12.1.2 12.1 .2

Pro Protect tections ions et dis disjonc joncteu teurs rs

Les courants circulant circulant dans le r´ reseau e´ seau en pr presence e´ sence du court-circuit ont une amplitude elev´ e´ lev´ee ee par rapport aux courants existant en fonctionnement fonctionnement normal. Ils doivent etre eˆ tre rapidement elimin´ e´ limin´es es sous peine de d´eet´ t´eriorer eriorer les equipements. e´ quipements. Par ailleurs, la mise au potentiel nul d’un point du resea e´ seau u de trans transpo port rt ris risqu quee de d´estab estabilis iliser er le syst` syst`eme e me (rup (ruptu ture re de sync synchr hron onis isme me entr entree g´en´ en´eerateurs rateurs ou instabilit´e de tension). Enfin, les consommateurs subissent subissent une chute de tension d’autant plus marqu´ee ee qu’ils sont proches du d´eefaut; faut; certains processus industriels sont sensibles a` de tels creux de tension. 1

en premi`ere ere approximation approximation la tensi tension on maxima maximale le de chaque onde vaut   V   Pour ur  Z c V    =   Z c I /2. Po I /2 = 15 kA, on obtient V    V   = 44..500 500..000 V !

  ≃   300Ω et

188

 

Les protection protectionss d´etectent etectent l’apparition des courants courants elev´ e´ lev´es es (ou la diminut diminution ion de l’imp´eedanc dancee vue des extrˆemit´ emit´es es de la ligne) et envoyent aux disjoncteurs concern´es es l’ordre d’ouv d’ouverture. erture. Le d´ delai e´ lai total d’´elimination elimination du d´efaut efaut se d´ecompose ecompose en trois parties: 1. temps pour pour les circuits de d´etecter etecter le d´efaut efaut et d’envoyer d’envoyer l’ordre l’ ordre d’ouverture au disjoncteur 2. temps pour les contacts contacts de ce dernier de se mettre en mouvement mouvement 3. temps pour eteindre e´ teindre d’arc electrique e´ lectrique qui a pris naissance d`es es que les contacts eelectriques ´ lectriques se sont ecart´ e´ cart´es. es. Pour les disjoncteurs qui equipent e´ quipent les r´eseaux eseaux de transport, on peut consid´erer erer que le d´elai elai total d’´elimination elimination est d’au plus 5 alternances (0.1 s) . Les disjoncteurs les plus performants performants permettent de descendre a` 2 alternances. Notons que les disjoncteurs disjoncteurs qui ´equipent equipent les r´eseaux eseaux de repartition e´ partition ou de distribution sont g´en´ en´eeralement ralement plus lents (mais moins coˆuteux uteux !). Ils peuvent prendre 8 alternances, voire davantage, pour elimin e´ liminer er un d´eefaut faut appa apparu ru a` ces niveaux de tension inf´erieurs. erieurs. Lorsque les disjoncte Lorsque disjoncteurs urs d’extrˆ d’extrˆemit´ emit´e de la ligne ligne en ccou ourt-c rt-circ ircuit uit ont ont d´eeconnect´ connect´e celle-ci celle-ci du reste reste du r´eseau, eseau, l’arc electrique e´ lectrique n’est plus aliment´e et s’´eteint eteint de lui-mˆeme. eme. Le r´eseau eseau se retrouve priv´e de la ligne ainsi mise hors hors service. service. Dans les grands grands r´eeseaux seaux de transport, on souhaite g´en´ en´eralement eralement la remettre en service le plus rapidement possible. C’est le rˆole ole du dispositif de   r eenclenc eenclenchement hement automatique de la ligne. ligne. Ce dernier doit cependant cependant ´  ´  attendre que l’air ai recouvr´e ses propri´eet´ t´es es d’isolant. Le d´elai elai est typiquement de l’ordre de 0.3 seconde.  d efaut fugitif : la mise hors service de Le court-circuit caus´e par la foudre est typiquement un  d ´  ´  permanent  est la ligne suffit a` le faire disparaˆıtre. ıtre. Un   d efaut ´  ´   est caus´e par le contact de la ligne avec un objet, par la glace accumul´ee ee sur les isolateurs, voire dans les cas extrˆemes, emes, la chute des pylones. Dans ce cas, le r´eenclenchement eenclenchement se fait sur d´ deefaut ´ faut et les disjoncteurs doivent eetre ˆ tre

a` nouveau ouverts dans les plus brefs d´elais. elais.

12.1 12 .1.3 .3

Typ ypes es de defaut e´ faut

Les diff´erents erents d´efauts efauts qu’un syst`eeme me triphas´e peut subir sont repris a` la figure 12.1, figure 12.1, on  on l’on ne consid`ere ere pas les variantes de courts-circuits avec avec imp´ impedance, e´ dance, pour simplifier. De tous les courts-circuits, le monophas´e est le plus courant, puisque de 70 a` 80 % des d´efauts efauts sont de ce type. Le court-circuit triphas´e ne se produit que dans environ 5 % des cas, mais il est le plus s´ev` ev`ere ere et les equipements e´ quipements doivent doivent pouvoir y faire face. Notons que si les trois phases sont court-circuit´ees, ees, le syst`eme eme triphas´e reste equilibr´ e´ quilibr´e. Le point commun aux trois phases est virtuellement au potentiel nul et il est equivalent e´ quivalent de consid´ consideerer ´ rer que le court-circuit s’est produit

entre les phases et la terre. 189

 

court-circuit monophas´e

court-circuit triphas´e

court-circuit biphas´e

ouverture d’une phase

court-circuit biphas´e-terre e-terre

ouverture de deux phases

Figure 12.1: les diff´erents erents types de d´eefaut faut Dans ce chapit chapitre re nous nous limitons limitons au courtcourt-circu circuit it triphas´ triphas´e, e, pour pour leq leque uell un unee an analy alyse se par par phase phase s’applique encore. encore. Les autres types de d´ defauts e´ fauts cr´eent eent un d´es´ es´eequilibre. quilibre. Leur analyse requiert de recourir a` la th´eeorie orie des composantes, qui sort du cadre de ce cours.

12.2 12. 2

Compo Comporte rteme ment nt de la machi machine ne synch synchrrone one pendan pendantt un court-circuit

Les principaux composants responsables responsables de la production des courants de court-circuit sont les g´en´ en´erateurs erateurs synchrones. synchrones. Dans cette section, section, nous consid´ consid´erons erons comment les repr´esenter esenter dans les etudes e´ tudes de courts-circuits courts-circuits equilibr´ e´ quilibr´es.

12.2.1 12.2 .1

Expr Expressi ession on du courant courant d dee court-c court-circ ircuit uit d d’un ’un g g´een´ ´ neerateur ´ rateur fonctionnant initialement  initialement  a` vide

Sur une p´eriode eriode d’un ou deux dizi`emes emes de seconde apr`eess apparition d’une perturbation, la vitesse de rotation d’une machine synchrone ne peut changer significativement, ´etant etant donn´e l’inert l’in ertie ie m´eecan caniqu iquee des masse massess tourna tournante ntes. s. Dans ce cett interv intervall allee de temps, temps, les les transi transitoir toires es sont sont esessentiellement de nature electromagn´ e´ lectromagn´etique; etique; ils proviennent des variations des flux magn´eetiques tiques dans les divers enroulements de la machine. Consid´erons erons le cas cas simple d’un g´en´ en´eerateur rateur fonctionnant initialement a` vide vide et soumis soumis a` l’insta l’instant nt t   = 0  `a un court-circuit triphas´e sans imp´edance. edance. La machine rec¸ oit une tension tensi on d’excitation d’excitati on o continue vf   =  R f if  et tourne a` la vitesse de synchronisme:

θ  = θ  =  θ o + ωN t

190

 

ou`  θ o est la position du rotor au moment o`u survient le court-circuit. La relation ((8.35 8.35)) donne l’amplitude de la tension aux bornes d’une des phases de la machine:

  ωN Lf d iof  o E q   =

√ 3

Consid´erons erons d’abord le cas o`u seul le circuit d’excitation est pris en compte au rotor. On peut eetablir ´ tablir l’expression analytique du courant de court-circuit en consid´erant erant les equations e´ quations de Park, 2 en leur appliquant la transform transform´ee e´ e de Laplace , en extrayant les expressions de I d (s) et I q (s), en revenant revena nt au domaine temporel pour obtenir  i d (t) et  i q (t) et enfin en employant la transform´ee ee de Park inverse inverse pour obtenir les courants au stator. Ce d´ developpement e´ veloppement analytique, assez long, et compl´eet´ t´e par quelques simplifications justifi´ees ees par les ordres de grandeurs des param`etres etres fournit les expressions suivantes suivantes pour le courant dans la phase  a :

ia (t)

 1  1   1  −  √  − X  e cos( cos(ω ω t + θ ) + =   − 2E    X  X    1  −   1  − √  √  1  1 1  1 + cos(2ω + 2E  − X  e cos(2 ω t + θ ) + 2E  e X  2 X  2 X  o q

o q

′

t/T d

′

d

N 

d

t/T α

N 

′

d

(12.1)

o

d

o q

o

q

t/T α

′

d

cos θo

q

et pour le courant d’excitation :

if (t)

  X d =  i f o   +

′

′

− X  i   e− −  X  − X  X  X  d

′

′

d

t/T d

o f 

d

′

iof   e−t/T α cos ωN t

 

(12.2)

d

d

Ces expressions font intervenir :

•   la constante de temps du circuit d’excitation d’excitation lorsque le stator est court-circuit´e : L  − T ′   = f f 

d

  L2f d Ldd

Rf 

(12.3)

On notera quealors si leavec statoraucun eetait ´ tait ouvert, la constante mˆeme eˆ me enroulement (qui n’interagirait auc un autre circuit) serait : de temps du m

′  = T do

  Lf f  Rf 

(12.4)

La constante de temps est donc plus petite lorsque le stator est court-circuit´e :

′ T d′   < T do

 

(12.5)

•  la r´eactance eactance  transitoire dans l’axe direct  :  :  =  ω N L′d X d′  = ω 2

le fait que l’on suppose la vitesse de rotation constante supprime une non-lin´eearit´ arit´e majeure majeure en pr´ presence e´ sence de

laquelle il ne serait pas possible d’utiliser la transformee transformee de Laplace

191

 

elle-mˆeme eme fonction de l’inductance transitoire dans l’axe direct   :: 2

 L L′   =  L dd − f d d

(12.6)

Lf f 

En utilisant (12.3 (12.3)) et (12.6 (12.6)) on etablit e´ tablit ais´ement ement que :

′ L′d   =  L dd T ′d T do

′  =  X d T ′d et donc   X d′  = X 

T do

(12.7)

On voit ais´ement ement que la r´eactance eactance transitoire est est plus petite que la r´ reactance e´ actance synchrone.

•   la constante de temps temps statorique : T α  =

12.2 12 .2.2 .2

 2 Ra

1 Ld ′

1 +  L1qq

(12.8)

In Inte terp rprretation e´ tation physique de l’´ l’evolution e´ volution du courant

Les diff´erentes erentes composantes du courant  ia se justifient comme suit. Avant apparition du court-circuit, l’enroulement statorique  a  est le si`ege ege d’un flux alternatif  ψaf (t) cr  cr´e´ e´ e´ par l’enroulement d’excitation d’excitation en mouvement. Lors de l’application du d d´efaut, e´ faut, ce circuit est referm´e sur lui-mˆeme eme et un courant peut y circuler. En vertu de la loi de Lenz, ce courant est tel que, dans les premiers instants, le flux dans l’enroulement reste constant, egal ´egal a` la valeur  ψ af (0)  qu’il avait au moment o`u le court-circui court-circuitt est apparu. apparu. Plus pr´ecis´ ecis´ement, ement, ce courant produit un flux  ψ aa  qui s’oppose aux variations de flux que tente d’imposer le circuit d’excitation en mouvement. mouvement. La situation est repr´ represent´ e´ sent´ee ee a` la figure 12.2. figure 12.2. Pour  Pour produire ce flux ψaa , le courant induit dans la bobine a doit comporter une composante unidirectionnelle et une composante alternative de pulsation ω N . Les compo composa sante ntess altern alternati ative vess des coura courants nts induit induitss dans dans les trois trois phase phasess sont de mˆeme eme amplitude amplitude mais d´ephas´ ephas´ees ees de 120 degr´es es electrique e´ lectriquess les unes par rapport rapport aux autres. autres. Ensemble Ensemble,, elles produisent un champ magn´etique etique H ac  tournant a` la mˆeme eme vitesse que le rotor. Ce champ est dirig´e selon l’axe direct et dans le sens oppos´ oppose´ au champ produit par le courant d’excitation iof . Les co compo mposa sante ntess unidir unidirec ectio tionne nnelle lless des couran courants ts induit induitss au stator stator diff` diff`erent erent d’une d’une pha phase se a` l’autr l’autree car les trois phases embrassent des flux diff´erents erents a` l’instant t  = 0. Ensemble, ces co composantes mposantes cr´eent eent un champ magn´etique etique  H ddcc  fixe par rapport au stator, c’est-`a-dire a-dire tournant a` la vitesse ωN  par rapport au rotor. Dans un court intervalle intervalle de temps apr`es es l’apparition du court-circuit, le flux dans l’enroulement l’enroulement d’exc d’e xcita itation tion ne peut peut pas non plus plus change changerr. Un co coura urant nt unidir unidirec ection tionne nell va don doncc y eetre ˆ tre induit induit pour pour cr´eer eer un champ qui s’oppose au champ  H ac ac  provenant du stator, et un courant alternatif pour l’expression ression ((12.2 12.2). ). s’opposer au champ H ddcc . On retrouve bien ces deux composantes dans l’exp Suite a` la dissipation d’´energie energie dans les r´esistances, esistances, les flux, tant statoriques que rotorique, ne

restent pas constants: 192

 

ψa

flux ψaa  induit par le courant ia dans l’enroulement a lorsque ce dernier est en court-circuit

ψaf (0) flux total dans l’enroulement a en court-circuit

t

flux ψaf  indu  induit it par le courant if  dans l’enroulement a ouvert

Figure 12.2: flux dans l’enroulement a avec et sans court-circuit

composante antess unidirecti unidirectionne onnelles lles des couran courants ts statoriqu statoriques es d´ecroissent ecroissent avec la constante •   les compos de temps  T α . Cette d´ecroissance ecroissance est egalement e´ galement celle de l’enveloppe de la composante alternative du courant d’excitation;

•  la composante unidirectionnelle du courant d’excitation d´ecroit ecroit avec la constante de ′

temps  T d . Cette d´ecroissance ecroissance est eegalement ´ galement celle de l’enveloppe de la composante alternative des courants statoriques.

Comme mentionn´e plus haut, le champ magn´etique etique H ac e aux composantes alternatives alternatives ac  associ´ est dirig´e selon l’axe direct de la machine. Ceci explique pourquoi seules les r´eactances eactances dans l’axe direct interviennent dans les expressions de ces composantes composantes.. Enfin, le chemin offert aux lignes du champ magn´etique etique H ddcc , fixe par rapport au stator, comporte en fait un entrefer de largeur variable, variable, suivant la position du rotor rotor.. Ceci se marque de deux mani`eres: eres: ′

•  la composante unidirectionnelle du courant   i  fait intervenir la moyenne entre   1/X  , a

d

valeur correspondant a` l’alignement de l’axe direct avec celui de la phase   a, et   1/X q , valeur correspondant correspondant a` l’alignement de l’axe en quadrature avec avec celui de la phase a;

•   l’apparition d’une composante  2ω ω composante alternative alternative a` la pulsation 2

N .

Cette pulsation se justifie par le fait que quand le rotor a fait un  demi tour, la largeur de l’entrefer est de nouveau la mˆeme. eme.

193

 

12.2.3

Expre Expressions ssions tenant compte des autres enrou enroulements lements rotori rotoriques ques

Lorsque l’on prend en compte les autres enroulements rotoriques, on aboutit a` l’expression plus pr´ecise ecise du courant statorique que voici : ′′

′

ia (t) =

   1 +    1 −   1  e− +    1 −   1  e− cos(ω cos( ω t + θ )   (12.9)   −√ 2E   X  X  X  X  X    1  −   1  − √  √  1  1 1  1 − e cos(2 + 2E  + cos(2ω ω t + θ  +  θ ) + 2E  cos θ e o q

o q

t/T d

′

d

d

d

t/T α

2

′′

X d

′′

′

d

d

N 

X q

′′

t/T d

o q

o

N 

o

t/T α

2

′′

X d

X q

′′

dans laquelle : ′′

•   X    est la   r eactance subtransitoire dans l’axe direct . ´  ´ 

Cett ttee r´eactance eactance provient de la cessairement : reaction e´ action de l’amortisseur mod´elis´ elis´e par le circuit d1 . On a n´eecessairement d

X d   < X d′  < X d ′′

′′

  T    est la constante constante de temps subtransitoire, asso associ´ ci´ee ee elle aussi a` l’amortisseur dans l’axe d direct. Cette constante de temps est est plus petite que T d′ ;

• •   X   est la r eactance ´´   subtransitoir subtransitoiree dans l’axe en quadrature quadrature. Cette r´eactance eactance provient de ′′

q

la r´eaction eaction de l’amortisseur mod´elis´ elis´e par le circuit q 2 .

On voit que la pr´esence esence des amortisseurs modifie l’amplitude de :

•   la composante alternative alternative du courant courant •   la composante unidirectionnelle. unidirectionnelle. En pratique X   ≃ X    et l’amplitude va vaut ut plus simplement: √ 2 E  ′′

′′

d

q

o q

′′

X d

•  la composante a`  2ω  2 ω

N .

Compte tenu de l’approximation l’approximation ci-dessus, l’amplitude de cette composante est tr`es es faible en pratique et peut etre eˆ tre n´eglig´ eglig´ee. ee.

Enfin, une expression plus pr´ecise ecise pour la constante de temps T α est : ′′

  X d T α  = ωN Ra

(12.10)

Le tableau ci-dessous donne l’ordre de grandeur des diverses r´eactances eactances et constantes de temps apparaissantt plus haut. apparaissan

o

194

 

machine a` machine a` roto rotorr lisse lisse pˆoles saillants rotor lisse pˆoles oles saillants (pu) (pu) (s) (s) X d   0.2-0.4 0.3-0.5   T do   8.0-12.0 3.0-8.0 X d   0. 0.15 15-0 -0.3 .30 0 0.25 0.25-0 -0.3 .35 5   T d   0.95-1.30 1.0-2. -2.5 ′

′′

′

′′

′′

0.15 15-0 -0.3 .30 0 X q   0.

12.2 12 .2.4 .4

′

0.25 0.25-0 -0.3 .35 5   T d   0.02 0.02-0 -0.0 .05 5 T α   0.02 0.02-0 -0.6 .60 0

0.02 0.02-0 -0.0 .05 5 0.02 0.02-0 -0.2 .20 0

Ex Exem empl plee num numerique e´ rique et discussion

A titre illustratif, consid´erons erons une machine caract caracteris´ e´ ris´eeee par: ′′

′

′′

E qo  = 1, X d  = X   =  X q   = 2, X d   = 0.3, X d   =  X q   = 0.2, Ra   = 0.005   pu ′′

′

T do   = 9, T d   = 0.0333   s On en d´eduit eduit : ′ ′

′

T d   =   T do

X d

X d

= 1.35   s

′′

  X d T α   = = 40   pu Ra   40 =   = 0.127   s 2π50

(12.11)

On suppose que le court-circuit se produit au moment o`u l’axe l’ axe direct dir ect co¨ııncide ncide avec l’axe de o la phase  a , c’est-`a-dire a-dire que  θ = 0. Dans ces conditions, la valeur valeur initiale de la composante unidirectionnelle est maximale dans la phase  a . Celles Celles dans les phases phases b  et  c  sont n´egatives, egatives, eegales ´ gales et d’amplitude plus faible. Il importe de noter que les courbes ci-apr ci-apres e` s se rapporten rapportentt a` un court-circuit permanent permanent et a` une vitesse de rotation constante. constante. En pratique, le court-circuit est elimin´ e´ limin´e par les protections apr`es es le d´elai elai d´eej` j`a mentionn´e, e, tandis que la vitesse varie sous l’effet du d´es´ es´eequilibre quilibre entre couples mecanique e´ canique et electromagn´ e´ lectromagn´etique etique (au point que si le d´efaut efaut est elimin´ e´ limin´e trop tard, la machine perd le synchronisme). Les courbes ne peuvent donc eetre ˆ tre utilis´ees ees que sur le court intervalle de temps correspondant au court-circuit. La figure 12.3 figure  12.3 montre  montre l’´evolution evolution du courant   ia  sur un intervalle de temps de l’ordre de 15 ′ fois  T d  ou un tiers de  T d . On voit que la composante unidirectionnelle retarde l´eg` eg`eerement rement le premier passage par z´ero ero du courant, n´ecessaire ecessaire a` la coupure par le disjoncteur. Elle peut aussi provoquer la saturation du noyau magn´etique etique des transformateurs de mesure utilis´es es par les protections. ′′

Les courants dans les phases a et b sont compar´es es a` la figure 12.4 figure 12.4.. On voit qu’une fois eteints e´ teints les transitoires initiaux, ib devient egal e´ gal a`  ia  d  d´ephas´ e´ phas´e de 120 degr´es. es.

195

 

14 courant i  (pu) a

12

10

8

6

4

2

0

−2

−4   0

0.05

0 .1

0.15

0.2

0.25 t (s)

0 .3

0.35

0.4

0.45

0 .5

Figure 12.3: evolution e´ volution du courant de court-circuit dans la phase a

15 courant i  (pu) a

courant i (pu) b

10

5

0

−5

−10   0

0.05

0 .1

0.15

0.2

0.25 t(s)

0 .3

0.35

0.4

0.45

Figure 12.4: evolution e´ volution des courants de court-circuit dans les phases  a et b

0 .5

196

 

8 composante alternative du courant i  (pu) a

composante unidirectionelle unidirectionelle du courant i  (pu) a

6

4

2

0

−2

−4

−6

−8   0

0.05

0 .1

0.15

0.2

0.25 t (s)

0 .3

0.35

0.4

0.45

0 .5

Figure 12.5: composantes alternative alternative et unidirectionnelle du courant dans la phase a La figure 12.5 figure 12.5 montre  montre s´epar´ epar´ement ement les composantes alternative alternative et unidirectionnelle du courant ia . Elles sont initialement de valeurs valeurs oppos´ees, ees, ce qui conduit a` un courant initialement nul. Enfin, la figure 12.6 figure 12.6 montre  montre l’´evolution evolution de l’amplitude de la composante alternative alternative du courant ia . La ligne ligne horizo horizonta ntale le en pointi pointill´ ll´e donne l’amplitude vers laquelle tend le courant, soit o 2E q /X d. On voit qu’avan qu’avantt d’atteindre d’atteindre cette valeur valeur,, l’amplitude l’amplitude du courant courant de d´ defaut e´ faut est nettement plus elev´ e´ lev´ee, ee, sous l’effet du circuit circuit d’excitation. La relation (12.1 (12.1)) montre en effet o ′ qu’en   t   = 0, l’amplitude vaut 2E q /X d . L’expression plus pr´ecise ecise (12.9 (12.9)) montre que sous o l’effet suppl´eementaire mentaire des amortisseurs, l’amplitude initiale est 2E q /X d , soit une valeur en-

√ 

√ 

√ 

′′

core un peu plus elev´ e´ lev´ee. ee. La figure 12.6 figure 12.6 montre  montre l’accroissement correspondant du courant de d´efaut. efaut. Il r´eesulte sulte de ce ceci ci que les disjon disjoncte cteurs urs sont sont appel´ appel´es es a` couper un courant nettement nettement plus important que celui qu’on observerait observerait en rr´egime e´ gime etabli, e´ tabli, ce qui doit evidemment e´ videmment etre eˆ tre pris en compte dans leur dimensionnement.

12.2.5 12. 2.5

Effet Effet d dee la la local localis isati ation on d du u d´ defaut e´ faut

En pratique, il est extrˆemement emement rare d’avoir un court-circuit aux bornes d’un g´een´ n´eerateur, rateur, ce dernier etant e´ tant abrit´e dans la centrale. L’endroit le plus proche du g´ gen´ e´ n´eerateur rateur o` ou` un court-circuit est susceptible de survenir survenir est le poste o` ou` se trouve le transformateur eel´ ´ l´evateur evateur du g´een´ n´eerateur. rateur.

197

 

8 amplitude de la composante alternative de i  (pu) a

idem sans la composante subtransitoire amplitude de la composante permanente de i  (pu)

7

a

6

5

4

3

2

1

0  0

0.2

0 .4

0 .6

0.8

1 t (s)

1 .2

1.4

1.6

1.8

2

Figure 12.6: evolution e´ volution de l’amplitude de la composante alternative alternative du courant dans la phase a Pour eetudier ´ tudier l’effet de la localisation du court-circuit, il convient d’interposer, dans chaque phase, un dipˆ dipole oˆ le (Re , Le ) entre la machine et le court-circuit. Compte tenu des valeurs valeurs typiques du rapport  Le /Re , on montre que :

•  pl  plu us le d´efaut efaut est eloign´ e´ loign´e de la machin machine, e, plu pluss la compos composant antee alt altern ernati ative ve du cou couran rantt d´ecro ec roˆˆıt ′ lentement; la constante de temps se situe entre   T d  (court-circuit aux bornes de la ma′  (court-circuit infiniment eloign´ chine) et  T do e´ loign´e de celle-ci);

•

 plus le d´efaut efaut est eloign´ e´ loign´e de la machine, plus la composante unidirectionnelle d´ecro ec roˆˆıt rapidement.

12.2.6 12. 2.6

Si Simp mplifi lifica catio tions ns usuel usuelle less p pou ourr le ca calcu lcull de dess cou couran rants ts de cou courtrt-ci circ rcui uitt

Les calculs de courants de court-circuit usuels n´egligent: egligent:

•  les composantes unidirectionnelles des courants produits par les machines synchrones.

En effet, ces composantes d´ecroissent ecroissent assez rapidement, d’autant plus que le d´eefaut faut est eeloign´ ´ loign´e des machines. Toutefois, on peut compenser cette approximation en multipliant le cour courant ant calcul´e sans cette composante par un facteur empirique sup´eerieur rieur a` l’unit´e, e, afin de se placer en s´ecurit´ ecurit´e; e;

198

 

•   les composantes alternatives  2ω alternatives de pulsation 2ω

N  des

courants, n´egligeables egligeables pour la raison

mentionn´ee ee pr´ec´ ec´edemment. edemment.

Les calculs portent donc sur les composantes alternatives de pulsation  ω N , ce qui permet de calculer les courants de d´efaut efaut via les techniques (mais pas les param`etres etres !) s’appliquant au regime e´ gim e sinuso¨ sin uso¨ıdal ıdal etabli. e´ tabli. Dans les r´eeseaux seaux de transport, compte tenu de la rapidit´e des disjoncteurs, on consid`eere re qu’il fa faut ut pouvo pouvoir ir couper couper la valeu valeurr initia initiale le de ce cette tte co compo mposan sante, te, ce qui revie revient nt a` cons consid´ id´erer rer la r´eactance eactance subtransitoire des machines machines dans les calculs. Ceci procure une marge de s´ecurit´ ecurit´e puisqu’ult´eerieurement l’amplitude du courant courant de d´ defaut e´ faut d´ecro ec roˆˆıt. Dans le Dan less r´eseau eseaux x de distrib distributi ution, on, les dis disjon joncte cteurs urs sont sont moins moins rapide rapidess et l’on l’on co consi nsid` d`ere g´en´ en´eeralement ralement la r´eactance eactance transitoire dans dans les calculs. Dans ce cas, il est encore plus l´eegitime gitime de n´egliger egliger la composante unidirectionnelle unidirectionnelle du courant de d´ defaut. e´ faut.

12.2 12 .2.7 .7

Sch ch´ema  e´ ma  equivalent e´ quivalent simplifi´ simplifie´ d’une machine synchrone

L’analyse du court-circuit d’un g en´ e´ n´eerateur rateur initialement a` vide a montr´e que ce dernier se comporte comme comme une f.e.m. f.e.m. d’amplitude d’amplitude 2E qo  derri`ere ere la r´eactance eactance subtransitoire   X d . Qu Qu’e ’en n est-il dans le cas usuel o`u le g´en´ en´erateur erateur produit un courant avant apparition du d´efaut efaut ?

√ 

′′

En fait, on peut montrer que la machine synchrone ob´eeit it au sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la figure   ¯ 12.7,, dans lequel  la f.e.m. E  est constante. En effet, 12.7 effet, on d´eemontre montre (dans le cours ELEC0047) que cette f.e.m. est proportionnelle aux flux dans les enroulements rotoriques de la machine, lesquels ne changent changent dans les premiers instants qui suiven suiventt le court-circuit. En pratique, on   ¯ appelle E  la  f.e.m. derri` derriere e` re r eactance subtransitoire. La r´esistance esistance statorique a eet´ ´ t´e n´eeglig´ glig´ee. ee. ´  ´  ′′

′′

′′

X d

+ −

¯ E 

′′

¯ I 

 

¯ V 

Figure 12.7: sch´ema ema equivalent e´ quivalent d’une machine synchrone Supposant le court-circuit appliqu´e en t =  t  = 0, la continuit´e de cette f.e.m. se traduit par:

¯((00− ) ¯ (0+ ) =  E  ¯ (0−) =  V  ¯  (0 E  (0− ) + j +  jX  X d I  ′′

′′

′′

On pe peut ut do donc nc d´eterminer eterminer cette f.e.m f.e.m.. au d´epart epart d’un d’un ca calcu lcull de load load flow flow pr´ee-inciden -incidentt fournissa fournissant nt − −   ¯ ¯ V  (0  (0 ) et I ((00 ). On retrouve evidemment e´ videmment le cas du g´een´ n´eerateur rateur initialement a` vide en posant ′′

o

I  ¯((00− ) = 0 d’o`u   E  (0− ) =  V  (0  (0− ) =  E q . 199

 

12.3

Calcul Calcul des courants courants de court-ci court-circ rcuit uit triphas triphas´e´

Il importe d’´evaluer evaluer l’amplitude des courants de d´ defaut e´ faut pour :

les disjoncteurs, qui doivent avoir un pouvoir de coupure suffisant pour •  dimensionner interrompre les courants en question; •   regler e´ gler les protections protections commandant commandant les disjoncteurs. disjoncteurs. Celles-ci Celles-ci doivent doivent imp´ imperativement e´ rativement

agir lorsqu’il leur incombe d’´eliminer eliminer le d´eefaut faut mais ne doivent pas agir intempestivement lorsque ce n’est pas n´ecessaire. ecessaire.

12.3 12 .3.1 .1

Hy Hypo poth th`eses e` ses de calcul

Consid´erons erons un r´eseau eseau a`  N  noeuds, comportant des lignes, des cˆables ables et des transformateurs. Soit n  le nombre de machines synchrones. synchrones. Sans perte de g´en´ en´eeralit´ ralit´e, e, nous supposerons que les noeuds noe uds du r´eseau eseau sont num´erot´ erot´es e s en r´eservant eservant les n premiers num´eros eros aux noeud noeudss de co conne nnexio xion n des machines synchrones. Chaque machine synchrone synchrone est repr´ repr esent´ e´ sent´ee ee par le sch´ema ema equivalent e´ quivalent de Th Th´evenin e´ venin de la figure 12.7.. 12.7 Chaque charge est suppos´ee ee se comporter a` admittance constante. Cette hypoth`ese ese est raisonnable pour de nombreux equipements, e´ quipements, dans les premiers instants qui suivent un court-circuit.   ¯c d’une charge peut se calculer a` partir des puissances active P   P (0 (0− ) L’admittance equivalente e´ quivalente Y   (0− )  a` ses bornes, toutes grandeurs et r´eactive eactive   Q(0− )  qu’elle consomme et de la tension   V  (0 relatives a` la situation avant court-circuit3 :

  P (0 P (0− )  jQ  jQ(0 (0− ) ¯ Y c  = [V  (0  (0− )]2

−

¯f f  se produit au noeud  f  du r´eseau. Nous supposons qu’un court-circuit d’imp´edance edance  Z  eseau. On a donc : ¯f f  ¯ V ¯f f   =  Z  I f f    (12.12) ¯f f  est nul dans ¯f f  est le courant de d´eefaut. ¯ff    est la tension au noeud faut.  Z  noeud f  pendant  pendant le d´efaut efaut et  I  ou`  V  le cas d’un court-circuit franc. Le syst`eme eme se pr´esente esente comme indiqu´e a` la figure 12.8 figure  12.8.a. .a. En fa fait, it, la formul formulati ation on qui qui suit s’accomode mieux d’un equivalent e´ quivalent de Norton pour chaque g en´ e´ n´eerateur. rateur. Ceci conduit au sch´eema ma   ¯ de la figure 12.8 figure  12.8.b, .b, auquel nous nous r´ef´ ef´ererons ererons dans dans ce qui suit. Le courant courant I f  e f  est compt´ positivementt lorsqu’il sort du r eseau. positivemen e´ seau. 3

en MW et Mvar,  P   et  Q  repr´eesentent sentent les puissances consomm´eees es par phase; en per unit, ils repr´esentent esentent la − puissance triphas´ee. ee. La notation (0 ) ´eevoque voque la situation juste avant l’apparition du d´eefaut faut en t =  t  = 0

200

 

′′

¯ E  1

− +

′′

X 1

− +

′′

¯n E 

′′

 

X n

¯1 I 

 

′′

X 1

′′

¯n I 

X n

b a

réseau

réseau f 

f  ¯ff   Z 

¯f  Z  f 

¯ff   V 

¯ff   I 

Figure Figu re 12. 12.8: 8: r´eseau eseau soumis soumis a` un court-c court-circ ircuit, uit, machin machines es repr´ repr´esent´ esent´ees e es par leur sch´emas emas eequivalents ´ quivalents de Th´ Thevenin e´ venin et de Norton

12.3.2 12. 3.2

Equat Equation ionss du reseau e´ seau fond´ fondees e´ es sur la matrice d’admittance

Les lignes et les cˆables ables peuvent peuvent etre eˆ tre repr´esent´ esent´es es par le sch´ema ema equivalent e´ quivalent en pi de la figure 4.5 figure  4.5.. Mettons momentan´ement ement de cot´ oˆ te´ le cas des transformateurs d´ephaseurs ephaseurs (cf section 6.7 section 6.7). ). D`es es lors, tous les transformateurs peuvent peuvent etre eˆ tre repr´esent´ esent´es es par le sch´ema ema equivalent e´ quivalent de la figure 6.5 figure 6.5,, dans lequel  n  est r´eel. eel. Ce sch´ema ema peut etre, eˆ tre, a` son tour, remplac´e par le sch´ema ema equivalent e´ quivalent en pi de la figure 6.6 figure 6.6.. Ces diff´erents erents sch´emas emas en pi sont assembl´es es conform´ement ement a` la topologie du r´eeseau. seau. A cet cet ensemble, nous ajoutons les admittances shunt repr´esentant esentant les charges, celles repr´esentant esentant la compensation, ainsi que celles provenant des machines (cf figure 12.8 figure 12.8.d). .d). Enfin, aux noeuds en´eerateurs rateurs nous ajoutons les admittances 1  1/jX  /jX ”” et aux noeuds charges les  Y  ¯c . g´en´ admittances

¯  la matrice d’admittance de cet ensemble. Soit  Y ensemble. Rappelons les rr`egles e` gles de construction de cette matrice:

•   choix d’un noeud de de r´ef´ ef´erence erence : nous prenons le neutre a` cet effet; •   un terme non diagonal diagonal [  ¯ Y]  est la somme de toutes les admittances joignant les noeuds ij

i et j , chang´ee ee de signe;

•   le terme diagonal diagonal [ ¯ admittances connect´ees ees au noeud i. Y]  est la somme de toutes les admittances ii

Il est tr`es es ais´e d’impl´ementer ementer ces ces r` regles e` gles dans un logiciel de calcul. 201

 

¯  est une matrice carr´ee, Y ee, de dimension  N  et sym´etrique. etrique. Elle est non singuli` singuli`ere ere pour autant qu’il existe au moins un eel´ ´ l´ement ement shunt dans chaque partie connexe du graphe unifilaire du reseau. e´ seau. Revenons sur le cas des transformateurs d´ephaseurs, ephaseurs, dont le rapport de transformation est complexe.. Comme expliqu´e a` la section 6.2.2 complexe section  6.2.2,, il n’est pas possible de construire un sch´eema ma eequivalent ´ quivalent en pi. Toutefois, ce composant est caract´eris´ eris´e par une matrice d’admittance de dimension 2, non sym´etrique. etrique. Il suffit d’ajouter les quatre quatre termes de cette matrice aaux ux termes appropri´eess de la matrice d’admittance relative au reste du syst`eme, eme, obtenue a` partir des r`egles egles ¯  ainsi obtenue n’est plus sym´eetrique. trique. ci-dessus. La matrice  Y Les equations e´ quations du r´eseau eseau s’´ecrivent: ecrivent:

¯I  =  Y ¯  V ¯

 

(12.13)

¯  celui des tensions aux  N  noeuds. ou`  ¯I est le vecteur des courants inject´es es aux  N  noeuds   noeuds et  V   noeuds. Toutes les composantes de ces vecteurs sont des nombres complexes. Les courants sont consid´er´ er´es es comme positifs quand ils  entrent  dans  dans le r´eseau. eseau. ¯  et ¯f f  a ´eet´ Notons que l’imp´edance edance de d´efaut efaut  Z  t´e conserv´ee ee a` l’ext´erieur erieur du circuit mod´elis´ elis´e par  Y ¯   = 1/Z  ¯  au terme n’intervient donc pas dans cette matrice. On pourrait l’inclure en ajoutant  Y  f  ¯ . Cependant, cela pr´esente diagonal correspondant de  Y esente deux inconv´enients: enients:f 

•  en pratique, on est amen´e a` calculer les courants de d´eefaut faut a` tous les noeuds du r´eseau. eseau. ¯f f   a` la matrice d’admittance  Y ¯  requiert de modifier celle-ci pour chaque Incorporer  Y  d´efaut; efaut;

•   en pratique, pratique, on consid` consid`ere ere fr´equemment equemment des d´efauts efauts francs. francs. Ceci correspond a` une valeur

¯f f  ce qui n’est pas compatible avec l’utilisation de  Y ¯ . Notons n´eanmoins infinie pour  Y  eanmoins   ¯ qu’en qu’e n pratique, pratique, on peut donner donner une tr es e` s grande valeur a` Y f  f , ce qui donne une tension quasiment nulle.

¯  relative a` la configuration La formulation qui suit permet de n’utiliser que la seule matrice  Y saine (sans d´efaut) efaut) du r´eseau eseau et s’applique au cas cas particulier o o`u`  Z  ¯f f   = 0.

12.3.3 12.3 .3

Cal Calcul cul des tens tensions ions pendant pendant defaut e´ faut par superpo superposition sition

Nous allons calculer les tensions pendant pendant d d´efaut. e´ faut. A partir de celles-ci il est possible de calculer le courant dans n’importe quelle branche branche du r´ reseau. e´ seau.

¯1 ,  ¯ ¯f f  soutir´e au I 2 , . . . , ¯ I n inject´es Sous l’effet des courants  I  es par les g´en´ en´eerateurs rateurs et du courant  I 

202

 

¯  qui satisfait a` : noeud f  (cf  (cf figure 12.8. figure 12.8.b), b), les tensions prennent une valeur  V

¯  V ¯  = Y

    

    

¯1 I  ¯2 I  .. .

I  ¯n 0 .. . .. .

0

    − 

0 .. . .. .

+

0 ¯f f  I  0 .. .

0

    

¯  est la somme de deux termes : Par superposition, la solution  V   ¯V ¯ (0− ) + ∆ ¯  =  V V avec

 

(12.14)

¯1 I 

¯  V ¯ (0− ) = Y

et

Y ¯ ∆   ¯V  =

−I ¯

f  f 

    

0 .. . .. .

0 1 0 .. .

0

         

I  ¯.2 ..

¯n I  0 .. . .. .

0

=

     −I ¯   e f  f 

 

f 

(12.15)

¯ (0− ) n’est rien d’autre que le vecteur des tensions aux noeuds avant l’application du d´efaut V efaut − (c’est-`a-dire en   t   = 0 ).  ∆¯V  apparaˆıt ıt donc comme une correction repr repr´esentant e´ sentant l’effet du court-circuit.   ef   est un vecteur unitaire dont toutes les composantes court-circuit. composantes sont nulles, a` l’exception de la f -eme e` me qui vaut 1. ¯f f . Provisoirement, r´esolvons A ce stade, on ne connaˆıt ıt pas la valeur de  I  esolvons le syst` systeme e` me lin´eraire eraire : ¯ ∆   ¯V Y

(1)

=  e

 

(12.16)

f 

203

 

Les membres de droite des syst`emes emes lin´eaires eaires (12.15 (12.15)) et (12.16 (12.16)) diff`erent erent par le facteur On a donc : ¯ (1) ¯f f   ∆V ∆¯V  = I 

−I ¯ . f  f 

−

En introduisant ce r´eesultat sultat dans ((12.14 12.14)) on obtient : (1)

 I  ¯f 

V ¯  =  V ¯ (0− ) ∆   ¯V La f -eeme ` me composante de cette relation vectorielle s’´ecrit ecrit :

−

¯f f   =  V  ¯f f (0− ) V 

(12.17)

(1) f  f 

−  I ¯ ∆  ¯V  f  f 

En combinant cette relation avec (12.12 (12.12), ), on obtient enfin la valeur du courant de d´efaut efaut :

¯f f   = I 

¯f f (0− ) V  (1) ¯f f  ∆¯V f f  +  Z 

(12.18)

et en remplac remp lac¸ ant dans d ans (12.17 ( 12.17,, 12.14),  12.14), on trouve les tensions recherch´ees ees :

¯  =  V ¯ (0− ) V

12.3.4 12. 3.4

−

¯f f (0− ) V  (1) ∆¯V (1) ¯f f  ∆¯V f f  +  Z 

Rela Relatio tion na ave vecc le sch´ schema  e´ ma  equivalent e´ quivalent de Th´ Thevenin e´ venin

Au chapitre 3 chapitre 3,, nous avons mentionn´e le lien entre le courant de court-circuit, l’imp´edance edance de Th´evenin evenin et et la puissance de court-circuit. court-circuit. Consid´erons erons le sch´eema ma equivalent e´ quivalent de Th´eevenin venin du reeseau, ´ seau, dans sa configuration avant court-circuit et vu du jeu de barres f  (cf  (cf figure 12.9 figure 12.9). ).

¯th Z  th

¯tthh Z 

f 

¯f f  Z  ¯th E  th

+

 

 

¯tthh E 

+

¯f f  V 

−

−

a.

 

¯ I f 

b.

Figure 12.9: sch´ema ema equivalent e´ quivalent de Th´ Thevenin e´ venin sans et avec d´efaut efaut La f.e.m. de Th´evenin evenin est donn´ee ee par :

¯th   ¯f (0− ) E  th   = V f 

 

(12.19)

L’imp´edance edance de Th´evenin evenin peut etre eˆ tre obtenue en injectant un courant unitaire au noeud   f   du reseau e´ seau passifi´e et en relevant relevant la tension apparaiss apparaissant ant en ce noeud. noeud. Dans ces cond conditions itions,, les tensions aux noeuds valent :

Y ¯ −1 ef   = ∆   ¯V(1) 204

 

et celle au noeud  f  vaut  vaut :



  −

¯th   ¯ f (1) = Y−1ef  Z  th   = ∆V f 

f 

= Y

1

f f 

= [Z]f f 

d’impedance ou` Z est la matrice d’imp´  ´   aux jeux de barres. L’imp´ ’impedance e´ dance de Th´evenin evenin vue d’un noeud

 est donc egale e´ gale au terme diagonal  (f, edance. f  est  (f, f  f )) de la matrice d’imp´edance. Le courant de d´efaut efaut s’obtient tr`es es ais´ement ement a` partir du sch´ema ema de la figure 12.9 figure 12.9.b .b :

¯th V ¯f f (0− ) V ¯f f (0− ) E  th ¯ I f f   = ¯ ¯f f  = ∆¯V  (1) +  Z    ¯f  = [Z]   +  Z  ¯f f  Z th th  + Z f  f f  f  f  On retrouve bien l’expression (12.18 (12.18). ).

(12.20)

205

 

Chapitre 13 Analyse des syst` systemes e` mes et r´ regimes e´ gimes triphas triphases e´ s des´ e´ sequilibr´ e´ quilibres e´ s