Analogia de Circuitos Electricos

Para comprender las analogías vamos a ver un caso sencillo de un circuito mecánico con un grado de libertad. li bertad. No importa en ningún caso l a complejidad de los sistemas, solo importa que las ecuaciones que rigen su comportamiento sean iguales. Sea el siguiente sistema mecánico de traslación:

En este sistema M es la masa, R el coeficiente de rozamiento o amortiguamiento, K la constante de elasticidad del muelle, x el desplazamiento lineal y F la fuerza aplicada. La ecuación diferencial que def ine su comportamiento es:

Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:

En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:

que puede ponerse en términos de l a carga eléctrica q como:

(Expresión B)   A la vista de las expresiones A y B es evidente que las ecuaciones diferenciales para ambos sistemas son idénticas, por lo que estos sistemas se denominan sistemas análogos, y las m agnitudes que los representan se llaman magnitudes análogas. Esta correspondencia es conocida como analogía de impedancia, o Fuerza-Tensión, y se representa en la siguiente tabla:

Sistema Mecánico

Sistema Eléctrico

Fuerza (F)

Tensión (v)

Desplazamiento (x)

Carga (q)

 Velocidad (dx/dt)

Corriente (i)

Cte. elasticidad (K)

Capacidad (1/C)

Rozamiento (R)

Resistencia (R)

Masa (M)

Inductancia (L)

Existe otro tipo de analogía, también muy útil, entre sistemas mecánicos y eléctricos que es la analogía de movilidad o admitancia y que es simplemente la dual de la anterior. De hecho, es este tipo de analogía la que se suele emplear (y la que se ha empleado en el análisis que realiz a este programa) por la facilidad con que se halla el circuito eléctrico a partir de su mecánico análogo, y porque el circuito eléctrico es fácilmente analizable eléctricamente usando análisis nodal. Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:

En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:

que puede ponerse en términos de carga eléctrica como:

(Expresión C)  Comparando las expresiones A y C, vemos que al igual que ocurría con la analogía de impedancia, las ecuaciones diferenciales son iguales. La correspondencia mecánico-eléctrico de la analogía de mo vilidad se muestra en la siguiente tabla:

Sistema Mecánico

Sistema Eléctrico

Fuerza (F)

Corriente (i)

Desplazamiento (x)

Carga (q*Z)

 Velocidad (dx/dt)

Tensión (v)

Cte. elasticidad (K)

Inductancia (1/L)

Rozamiento (R)

Resistencia (1/R)

Masa (M)

Capacidad (C)

La impedancia mecánica En el punto anterior hemos visto las analogías entre elementos mecánicos y eléctricos, manejando sus componentes. Vamos ahora a entrar más en detalle sobre cada uno de los componentes mecánicos en concreto y sus análogos eléctricos. La impedancia mecánica Zm se define como la relación compleja entre la fuerza eficaz que actúa sobre un área de un dispositivo mecánico (o un medio acústico) y la velocidad eficaz compleja lineal resultante a través de tal área. Sus unidades son los Ohmios mecánicos (N*seg)/m.

La inversa de la impedancia compleja mecánica recibe el nombre de movilidad mecánica, y se representa por Zm . Su unidad es el Mho mecánico. En los circuitos mecánicos vamos a m anejar tres componentes básicos:



Resistencia mecánica Rm



Masa mecánica Mm



Compliancia mecánica Cm

estando los tres están relacionados con l a impedancia mecánica, como se verá.

Resistencia mecánica Rm La resistencia mecánica está asociada a la parte real de la impedancia, y es donde se disipa toda la potencia mecánica entregada al dispositivo. Un dispositivo mecánico se comportará pues como una resistencia mecánica cuando accionado por una fuerza, ésta es proporcional a la velocidad que adquiere, es decir:

Sus unidades son el

Como

, si sustituimos podemos obtener también que la unidad de Resistencia

mecánica es también Kilogramo/Segundo.

Esta expresión se corresponde con la analogía de tipo impedancia que hemos visto, puesto que: Fuerza = Resistencia Mecánica * Velocidad por analogía se convierte en: Tensión = Resistencia Eléctrica * Corriente El símbolo usado para la resistencia mecánica suele ser el de la figura, aunque también se usa un símbolo similar a la resistencia eléctrica:

 A la inversa de la Resistencia Mecánica se le llama Responsabilidad Mecánica , cumpliéndose que:

de forma que podemos obtener:

Lo que se corresponderá con la analogía de movilidad puesto que  Velocidad= Responsabilidad Mecánica * Fuerza por analogía se convierte en: Tensión = Resistencia Eléctrica * Corriente

Masa mecánica Mm La masa mecánica está asociada con la parte imaginaria positiva de la impedancia compleja. Un dispositivo mecánico se comportará como una masa mecánica cuando accionado por una fuerza resulta acelerada en proporción directa con la fuerza, es decir:

Su unidad es el Kilogramo. En la analogía de impedancia hemos visto que sustituimos Fuerza por Tensión, Masa por Inductancia, y  Velocidad por Corriente, por lo que sustituyendo tenemos:

Lo que efectivamente es cierto. El símbolo usado para la masa mecánica se representa en el programa como:

Si en la primera expresión despejamos u(t), nos queda:

Lo que en la analogía de tipo movilidad se corresponde a (se sustituye Velocidad por Tensión, Masa por Capacidad, y Fuerza por corriente):

Efectivamente esto se corresponde con el comportamiento de un condensador, por lo que el del análogo de movilidad de la masa será el condensador

Compliancia Mecánica Cm La compliancia mecánica está relacionada con la parte imaginaria negativa de la impedancia compleja. Una estructura o dispositivo mecánico se comporta como un a compliancia mecánica cuando, accionada por una fuerza, sufre un desplazamiento, en proporción directa con la fuerza. Es decir:

y como

tendremos que haciendo una analogía de ti po impedancia, obtenemos:

Como vemos el análogo eléctrico de la compliancia mecánica es el condensador en la analogía de impedancia puesto que ambas ecuaciones son correctas e iguales. En la mayoría de los casos (incluído ANALOGIA.EXE) no se trabaja con compliancias, sino con sus inversos. Se define la elasticidad (caracterizada por la constante de elasticidad K) como el inverso de la compliancia mecánica, es decir:

Siendo su símbolo:

En cuanto a la analogía de movilidad de la compliancia (o de la elasticidad) tenemos:

Dibujo del circuito eléctrico análogo de uno mecánico Hemos visto las analogías de forma teórica a partir de la similitud entre las ecuaciones diferenciales que rigen los sistemas mecánicos y eléctricos. Por tanto, ya estamos en condiciones de dibujar el circuito eléctrico análogo de un circuito mecánico. Para ello deberíamos hacer: 1.

Obtener las ecuaciones diferenciales del circuito mecánico.

2.

Hacer la analogía de impedancia o movilidad de dichas ecuaciones.

3.

Obtener el esquema eléctrico a partir de las ecuaciones diferenciales análogas.

 Veamos un ejemplo de conversión mecánico a eléctrico utilizando este método, y lo compararemos posteriormente con otro método mucho más rápido y directo. Sea el siguiente circuito mecánico (dibujado con  ANALOGIA.EXE):

Para la conversión, vamos a tratar de encontrar la ecuación de movimiento de cada una de las masas M1 y M2 que forman los dos sistemas vibratorios del circuito mecánico. La ecuación dinámica de l a masa M1 será:

Ordenando la ecuación, y poniéndola en función de la velocidad de vibración, obtenemos:

Para la masa M2, la ecuación de la dinámica será:

De igual forma que el caso anterior, podemos escribirla como:

Una vez obtenidas esta dos ecuaciones, obtenemos las ecuaciones eléctricas análogas de tipo i mpedancia según lo que hemos visto, sustituyendo L (autoinducción) por M (masa), R (resistencia) por Rm (resistencia mecánica), 1/C (capacidad) por k (constante de elasticidad), E (tensión) por F (fuerza), e I (corriente) por V (velocidad):

Como se puede ver, tenemos dos ecuaciones de mallas, cada una con un generador de tensión, que forman una red eléctrica. Por la primera malla circulará la corriente i1, y por la segunda i2. Las dos mallas tendrán una malla común que se verá recorrida por la corriente i1-i2, de forma que el circuito de impedancia será:

Si usamos ahora la analogía ti po movilidad debemos cambiar C (capacidad) por M (masa), 1/R (resistencia) por Rm (resistencia mecánica), 1/L (autoinducción) por k (constante de elasticidad), I (corriente) por F (fuerza) y V (tensión) por V (velocidad). De esta forma obtenemos:

En el circuito que describen estas ecuaciones tenemos un generador de corriente por cada malla. Además tenemos los elementos C1, R1 y L1 sometidos a un potencial V1, mientras que C2, R2 y L2 están al potencial  V2, mientras que R y L tienen un potencial V1-V2, de forma que el circuito eléctrico de movilidad será:

Este procedimiento es correcto, pero trabajoso de realizar. En su lugar, tenemos un procedimiento mucho más rápido para obtener directamente el circuito eléctrico de movilidad a partir del circuito mecánico por simple inspección del mismo. Para ello seguiremos los siguientes pasos (que son los realizados por ANALOGIA.EXE p ara la creación del circuito análogo): 1.

Definimos un punto de masa eléctrica.

2.

Las masas mecánicas se transforman en condensadores con uno de sus extremos unido a la masa eléctrica.

3.

Las fuerzas mecánicas se transforman en generadores independientes de corriente que salen de la masa eléctrica.

4.

Los resortes se transforman en bobinas de valor 1/k o lo que es lo mismo, Cm.

5.

Las resistencias mecánicas se convierten en conductancias eléctricas, o lo que es lo mismo, en resistencias de valor 1/Rm.

6.

Se unen a la masa eléctrica todos aquellos elementos que están conectados a la tierra en el circuito mecánico.

7.

Se unen los elementos eléctricos (los pines que queden libres tras aplicar las reglas anteriores) uniendo los elementos eléctricos entre si tal y como estén conectados los elementos mecánicos análogos.

 Veamos un ejemplo de conversión a través de este sistema obtenido con ANALOGIA.EXE: