Analiza 2 Ispitivanje Toka i Crtanje Grafika (1)

Analiza 2 Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcija 23. 02. 2011. god.

6.

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 1

f (x) = xe x . ◭

1) Df = {x|x ∈ R\{0}}. 2) (a) Nema nula. (b) Znak x∈

(−∞, 0) (0, +∞)

x

−

+

f (x)

−

+

(c) Iz f (−1) = − 1e 6= ±f (1) = ±e slijedi da funkcija nije ni parna ni neparna. Nije periodiˇcna. Nema presjeka sa Oy osom. 1

3) (a) lim f (x) = lim xe x = 0. x→0−

x→0−

1

1 x

ex

lim f (x) = lim xe = (0 · ∞) = lim

x→0+

x→0+ 1 x

x→0+

=

x = 0 vertikalna asimptota desnoj grani krive. (b) (c)



∞ ∞



1

e x (− x12 ) = +∞. Pa je prava = lim x→0+ − x12

1

lim f (x) = lim xe x = ±∞.

x→±∞

lim

x→±∞

x→±∞

1 f (x) = lim e x = 1 = k, x→±∞ x

lim (f (x) − k · x) = lim

x→±∞

x→±∞

1

0 0

 

= lim

e x − x12 − x12

x→±∞ 1

4) (a) f ′ (x) = e x





x−1 x







1

1 x





1 x



xe − x = lim x · e − 1 = (∞ · 0) = lim x→±∞

. x∈

(−∞, 0) (0, 1) (1, +∞)

x−1

−

−

+

x

−

+

+

+

−

+

ր

ց

ր

f (x) fmin = f (1) = e. e x1 x3

. x∈ x3 f ′′ (x) f (x)

Nema prevojnih taˇcaka. 5) Grafik

1 x

=

= e0 = 1 = n. Prava y = x + 1 je kosa asimptota sa obije strane.

f ′ (x)

(b) f ′′ (x) =

x→±∞

ex − 1

(−∞, 0) (0, +∞) −

+

−

+

a

`

y 4 3 2 1

−4

−3

−2

−1

0 −1

−2

−3

−4

◮

1

2

3

4

x

7.

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 2x . +1

f (x) = arcsin

x2

◭ n

1) Df = x| − 1 ≤ R

2x x2 +1

2) (a) f (x) = 0 ⇐⇒

o

n

≤ 1 = x|0 ≤

2x x2 +1

2x x2 +1

+1∧

2x x2 +1

o

n

− 1 ≤ 0 = x|0 ≤

(x+1)2 x2 +1

2

o

∧ − (x−1) x2 +1 ≤ 0 =

= 0 ⇐⇒ x = 0.

2x (b) ∀x ∈ R : f (−x) = arcsin x−2x 2 +1 = − arcsin x2 +1 = −f (x). Tj. funkcija je neparna. Presjek sa Oy osom je taˇcka (0, f (0)) = (0, 0). Nije periodiˇcna.

(c) Znak x∈

(−∞, 0) (0, +∞)

2x

−

+

f (x)

−

+

3) (a) Nema vertikalnih asimptota.(Zaˇsto?) 2x (b) Iz lim arcsin 2 = arcsin 0 = 0 slijedi da je prava y = 0 horizontalna asimptota i sa x→±∞ x +1 lijeve i sa desne strane. (c) Nema kosih asmptota.(Zaˇsto?) 4) (a)

f ′ (x)

=q

1

1−

4x2 (x2 +1)2

2 · 2(x (x+1)−2x·2x 2 +1)2

2 2(1−x2 ) √ x 2+1 2 · (x 2 +1)2 (x −1)

=

x∈

2(1−x2 ) (x2 +1)·|x2 −1|

=

=

(−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)

f ′ (x)

−

+

−

f (x)

ց

ր

ց

fmin = f (−1) = − π2 , fmax = f (1) = π2 . (b)

f ′′ (x)

=

(

− (x24x +1)2 4x (x2 +1)2

, x ∈ (−1, 1)

,x ∈ / (−1, 1)

x∈ −4x

(−1, 0) (0, 1)

f ′′ (x) x∈ 4x f ′′ (x) Dakle, x∈

+

−

+

−

(−∞, −1) (1, +∞) −

+

−

+

(−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, +∞)

f ′′ (x)

−

+

−

+

f (x)

a

`

a

`

Prevojne taˇcke su P1 (−1, − π2 ), P2 (0, 0) i P3 (1, π2 ).

(

2 x2 +1 − x22+1

, x ∈ (−1, 1) ,x ∈ / (−1, 1)

5) Grafik funkcije y 4 3 2 1

−4

−3

−2

−1

0 −1

−2

−3

−4

◮

1

2

3

4

x