Analitica (Recuperado Automáticamente)

 

  UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURÍMAC FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL FILIAL - TAMBOBAMBA

Temas: ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

Curso: Geometría Analítica

Estudiante: BARCENA MENOR, Dany Marino

Docente: Doce nte: Mg Mg.. SALGADO LOAIZ LOAIZA, A, Víctor Hugo 

Semestre: 2020-1 

Haquira - Cotabambas 2020

 

1. LA ELIPSE. 1.1 ECUACIÓN DE LA ELIPSE: dados dos puntos fijos F1 y F2 llamados FOCOS, (F1 y F2) separados por una distancia 2c, y dada una constante a tal que a > c > 0, se define la elipse £ como el conjunto de todos aquellos puntos P tales que la Suma de las distancias de p a los focos f1 y f2 es constante y siempre igual a a2. Es decir, tales que d [ P; F 1] + d[P; F2] = 2a o en forma equivalente, tales que I P - F 1 I I P - F2 F2 | = 2a 2a

Representación gráfica de una elipse.

 

Punto y segmento característicos.

c = h,h,kk: centro de la elipse x: eje focal vv:vértices f  , f :focos vv:ej:eje mayor RR :eje mayor BBenB=0, el:esijsetbemenor menor ma  x,ydeB: lu=0, ngitu−d 2b2bb  C=0, 0   F =−c,0  F =c,0   

 

 

 

 

1.2 RECTAS DIRECTRICES.

Dos rectas L1 y L2 se llaman rectas directrices de la elipse £, correspondientes a los focos F1 y F2 respectivamente, si es que son perpendiculares al Eje Focal de £ y no cortan al segmento , y si es que existe una constante  (llamada de la elipse) tal que pasa todo punto P   se tiene que:

FYF

d P ; FL = e = d P ; LF

e

∈£

 

1.3 ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE. A) primer método.

dadadodo p = x,x,yy = c+ xu+y  u   p − F =c−F + x u+y u = c u + x u+x u ⟹ |p − F2| =|xx + cu + y1u1 =  x + c + y …a  

 

 

 

p| − F11=c−F | =|xx1−+cx1u +yx11u1= −cux1− +cx21u+ +y1y21u1 |p − F1| +|p − F2| = 2a,2a, eses decdeciir  x1 − c2 + y12 +  x1 + c2 + y12 = 2a2a,, y opeoperarandndo:o: a − c + y = aa −c ⟹ bx+ ay = ab pues pues a = b + c  ⟹ x /a  + yy /b =1. =

…(b) 

Reemplazando a y b

 

 

 

 

u

Luego, un punto p= (x, y) pertenece a la elipse £ si es que para el vector  de rotación de ejes

coordenados, se tiene que:

p=c+xu+yu

, donde

xa122 + y12 =1, . .  ∗

 

Que es llamada la ecuación vectorial de la elipse, e lipse, y donde:

x = x,x, y − c. u, y1 = x,x, y − c. x⊥

 

De la figura previa vemos que si, c = (h, K) es el centro de £ y se p = (x, y), entonces:

v=c±au …vertices;b=c±bua 1…extremos del eje menor F = c ± cu…focos;L: x1 = ± e …directrices,  x  u

Y donde

 

=(p-c). , p= (x, y) 

B. Segundo Segundo método.

Como para todo punto p de £:

dpp;; FL =e…a dpp;; F = |pp;; F| =  x1 − c2 + y12, dpp;; L =  x1 + ae . Asi,dee a y de c = aeae:: dP; F    = e2 dP ; L    ⟹ x21   + c2    + y1   = ex1 +a/e.Y desarrollando obtenemos:  

 

 

 

 

1 1 Para xa2 +todoyb =p1= (x, y)ϵ  

£ tal que p= c

xu+yu

 

1.4 LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X.

u ̅

rotación] y si C = (h, (h, k) es el Centro de la elipse, que Corresponde al vector   =   = (1,0) [no hay rotación] origina el radio vector de Traslación de Ejes, Ej es, entonces:

x y

 = x  – h  = y  – k

que al reemplazar en (*) produce la ecuación. e cuación.

x −ah  + y −bk  = 1

 

 

 

A) De la elipse con eje focal paralelo al eje x.

C = hh,, k . . cent centrroo B = h, k ±b ±b …extremos de B B VF = h ±±aac ,k. v. ertifoocococses L∶ X=h± X =h±…directriz u x = x−x−hh,y− k. u 1 y =  x1 − h ,y − k − u donde x =x−h  =−x−h y y−ka  + x−hb  = 1 V = h,k ±a±a, F = h, k i ca B = h ±b,k, L: y = k ± e  

 

 

 

B) Ecuación de la elipse con eje focal paralelo al eje y

Corresponde a  = (0, 1) [Rotación de 90°], y si C = (h, k) es el Centro, que origina el radio vector de traslación de los ejes Coordenados, entonces.  

 

 

 

Que al reemplazar en (*):  

 

 

 

  1.5 CASO PARTICULAR: EL CENTRO C EN EL ORIGEN. Cuando el centro C (h,k) de una elipse se encuentra en el origen (0,0), c = (h,k) = (o,o) 0, entonces las ecuaciones de las elipses con ejes focales paralelos al Eje X y al eje y:

a x−h ay−k + y−k bx−h = 1 b a + b = 1  

 

Respectivamente toman las formas siguientes.

I) Elipse con el eje x como eje focal.

x + y = 1 a b

 

⟹

 h = 0,k =

 

II) Elipse con el eje y como eje focal.

y x a + b  = 1

 

1.6 PROPIEDADES DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE.

Se nos pide hallar las rectas tangentes rectas tangentes a una una elipse  elipse conocidos el eje mayor AB y el eje menor CD y que pasan por un punto P que pertenece a dicha elipse. Si no conocemos los focos, el primer paso será hallarlos. Si los conocemos, trazamos la circunferencia focal que corresponde al foco más alejado del punto. En este  

caso F’. Prolongamos la recta que parte de F’ y pasa por P hasta cortar a la circunferencia focal en el

punto Q. Una vez conocido esto, si trazamos la bisectriz del ángulo FPQ, habremos hallado la tangente buscada. Tened en cuenta que en este caso solo encontraremos una única recta al tratarse de un punto propio a la elipse.

 

A Rectas que pasan por un punto exteri exterior or y son tangentes a la elipse. En este caso se nos pide hallar las rectas que pasan por un punto externo a la elipse y que son tangentes a la misma. Como en el caso anterior, se nos proporcionan los dos ejes. Si no se nos indican los focos, deberemos hallarlos para poder continuar. co ntinuar. Al igual que en el ejercicio anterior, dibujamos la circunferencia focal de la elipse. Acto seguido, con P y radio focalcentro en losen puntos Q y R.PF dibujaremos un arco de circunferencia que corta a la circunferencia Trazamos las mediatrices de los segmentos QF y RF, éstas serán las rectas que estamos buscando.

lo que tenemos que hacer es trazar los segmentos F’Q y F’R,

Para hallar los puntos de tangencia donde cortan a la elipse encontraremos los puntos de tangencia T1 y T2. 

B Rectas tangentes a una elipse y q que ue son paralelas a una recta dada En esta ocasión, aparte de una elipse (o de la información para dibujarla) se nos proporciona una recta r y se nos solicita encontrar las rectas tangentes a la elipse que son paralelas a dicha recta. Como siempre, si no conocemos los focos, lo primero que debemos hacer es hallarlos. Una vez hallados éstos, dibujaremos la circunferencia focal. Desde el foco más alejado a la recta trazaremos la recta perpendicular a la recta r. En nuestro ejemplo utilizaremos el foco F. Ésta perpendicular cortará a la circunferencia focal en los puntos Q y R. Las mediatrices de los segmentos FQ y FR serán las rectas tangentes que estamos buscando.

Si trazamos los segmentos F’Q y F’R, encontraremos los lugares donde dichos segmentos cortan a la l a elipse.

 puntos de tangencia T 1 y T2 en los

 

2. LA HIPÉRBOLA. 2.1 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA:

F F

F F

a |p − F| − |p − F| = 2a

Dados dos puntos fijos  y . distintos, tales que su distancia es l  - l = 2c, y dada una constante  tal que 0 < a < c, se define una hipérbola h como el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que la diferencia de sus distancias a los puntos fijos y , en valor absoluto, es igual a 2a ; es decir.

F F

 

C = h, kk centro de la hiperbol erbola x: eje focal V, V ∶ verticeses F, F: focos dFVVC∗;;F−c, , FC erso;=FC,o  D=c  B B: eje conjugado de lungitud 2b  F∶ej e0=transv a dnsvers en el sistema coordenado XY’: circunferencia con centro en C ,radio c ,y que pasa por los dos focos Fy F . LF y LyF e  

 

 

 

 

2.3 RECTA DIRECTRICES:

dos rectas a los focos

, perpendiculares al eje focal, son llamadas rectas directrices de H correspondiente cor respondiente   respectivamente, si existe una constante , denominada excentricidad de la

hipérbola H, tal que para todo punto p є H debe cumplirse que:

    dpp;; FL  = e = dpp;; FL 

 

Además: 

MNx RS  

lados rectos de H, son cuerdas que pasan por los focos y son perpendiculares al eje focal . en toda hipérbola se cumple la relación r elación pitagórica. 

c = a + b

 

y pueden presentarse los tres casos: a > b, a = b, a < b. En el caso en que a = b, H es llamada hipérbola equilátera.

2.2 ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA HIPÉRBOLA H:

u u′ e = ddppp;p;;; LF ⇔ dpp;; F  = edpp;; L dpp;; F = F; F = |C − F + x′u + y′u′| = −cu−cu + x′u + y′ u′′

Para todo punto P = (x, y)  C + x'  + y'  є H, donde C es el centro de la hipérbola, se tiene que: =

 

Y como;

 

    =pp,F| ,F x− c +y′u′| =  xx − c + y x − c  + y = e2x − ae, dondndee cc== ae c   −2 a x 2− a  y = ac   − a  b x′   −a2 y′ = a2b, pupueses c2 = a1 + b2  xa −  yb = 1  p = x,x, y = C + x′u + x′x′u⊥,donde: xa −  yb = 1, |u| = 1 C=C = centro ddee H

Además, d = | x1 - (a/e) |, pues P Al reemplazar en (a) se obtiene:

=

 

Luego, la ecuación vectorial de la hipérbola H es:  

 

De la figura anterior se tiene que, siendo C el centro de H:

vertice:V=C±au focos:F=C±cu  extremos del eje conj′ ugado: B; B =C±bu directrices L1: x = −a/−a/e , L1 ∶ x ′ = a/e xP − C. u , P = x .y. y  

x′

(x, y) tiene coordenadas ( , y') en el sistema transformado.

 

 

vector unitario de rotacion de ejes: u

 

2.3 RECTAS ASÍNTOTAS DE LAS HIPÉRBOLAS. Las ecuaciones de las rectas L' y L'', en X'Y', tie tienen nen las formas:

  b

b L :y = −aX ,  

L:y = aX ,

y se puede demostrar que la distancia de cualquier punto P є  H hasta la recta L' tiende a cero conforme la coordenada x' del punto P tiende al infinito. En efecto, si P = (x', y') є H, en el sistema X'Y', entonces.

xa′ − yb′ = 1 ′ ′  b x −ay′   b x  dP;P; L′ = √ a + b = −ay′ c  ′ x bx′ − a b a  − 1 ⟹ bc d[pp:L: L′]c= x′ −  x′ − a =  x′a− a  

 

 

 

∞ y′=±  {P = x,x,yy = C + tau ± bu⊥  / t є R} CL′cesonelsiCentgnor+o de,yHL".Aconnálosigament gno −e,las ecuaciones de las rectas

de donde vemos que si x' tiende a , entonces d [ P L'] tiende a cero. Por lo tanto, L' (y L'') resulta ser recta asíntota de H, y pasa por el Centro de esta hipérbola H. Como las ecuaciones de L' y L" son

 x', entonces en XY, estas asíntotas tienen la ecuación

vectorial.

 

 

 

 

directrices∶ x =± a/e ,tienen la forma vectorial ,en XY , L , L u u ϵ R  

 : P  (x, y)  C ± a/e   + t , t =

 

=

donde c es el centro de la hipérbola. hipérbola. (ver la figura 2)

2.4 CASOS PARTICULARES DE LA DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA. A) con el eje focal paralelo el eje x

u

Corresponde a  =  =  = (1,0). No hay rotación de ejes, pero si hay traslación traslación c = (h, k). Luego: si p = (x, y)

x y′ x a22 − ′ x−ha  + y−kb  = 1 F = h−c, k, F = h+c, k  V = h+a, k  V = h+a, k  B = h, k +b +b a B = h, k −b −b  a diectrices: L1:x=h− e, L2:x=h+ e,  y′ y = ±b/a b/acx= a + b  asiy−k=± ntotas ba x − h; xc=ae, = (p-c). (1,0) = x-h,

= (p-c) -(1,0) = y-k

Remplazando: (

)=1

Se obtiene la forma:

 

;

L' y L'': reemplazando

,

 en

 

 

B) con el eje focal paralelo al eje y

rotacion de 90°: u =0,1 C = h, k centro de h traslacion  

 

⊥

 

′/ay′−x,x,y(y′)−=1, x′x,x,yya−zando c. u =y−k, c. u =−x−h y′ =±b/ax′ reempl en x   x−k y−k H = a − b = 1 y−k=±  x−h F1 = h,k+c  F2 = h,k−c VF11 = h−b,k h,k+a  VF22 = h+b,k h,k−a L1 ∶ y=y = k+ ae  L2 ∶ y = k − aa/e

 

 

Asíntotas:

 

Directrices:

 

 

 

 

 

2.5 HIPÉRBOLAS CONJUGADAS.

H1   H2

 tienen las mismas asíntotas y tienen intercambiados el eje transverso cuando las hipérbolas y y el eje conjugado, entonces e ntonces estas hipérbolas se denominan hipérbolas conjugadas. Así son las ecuaciones:

H1 =  xa′2 −  by′2 = 1   H2 =  ya′2 −  bx′2 = 1 H2  H1   x y H: 16 − 12 = 1 H: 16y − 12x = 1  −   = 1 xa −  yb =0⟹ xa −  yb ⟹ y = ± ba x corresponden a un par de h

 

pérbolas conjugadas.

CLAVE; note que multiplicando el primer miembro de cualquiera de las ecuaciones (

-1 se obtiene la otra ecuación (

o´ o´

) respectivamente.

H1  H2 o´ o´

) por

Por ejemplo, sea H la hipérbola hi pérbola de ecuación;

 

La ecuación de la conjugada resulta  

NOTA: Existe un artificio muy útil para conocer las ecuaciones de las asíntotas, dada la ecuación. .

y consiste en reemplazar en esta ecuación el 1 por 0, en el segundo miembro:

 

2.6 PROPIEDADES DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA HIPÉRBOLA.

Vamoslaaecuación ver ahorade cómo calcular la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en un punto, así como la recta normal. A Ecuación de la recta ta tangente ngente a la hipérbola. La recta tangente a una hipérbola es aquella que toca a la curva de la hipérbola en un punto: La ecuación de la recta tangente a una hipérbola en un punto es la siguiente:

 b y − y = x x−x ay

 

 

Donde X0 e Y0 son las coordenadas del punto, «a» es la longitud del semieje real y «b» la longitud del semieje imaginario. B Ecuación de la recta normal a la h hipérbola ipérbola en un punto. La recta normal a la hipérbola es un punto es la recta perpendicular a la recta tangente y que pasa por el punto P:

La ecuación de la recta normal a la hipérbola en un punto es:

 −a y − y = byx x−x

 

Donde X0 e Y0 son las coordenadas del punto, «a» es la longitud del semieje real y «b» la longitud del semieje imaginario. B Hipérbola equilátera. Una hipérbola equilátera es aquella donde la longitud del eje real y la del eje imaginario son iguales:

xa − ya = 1

 

Obteniendo denominador común y después pasando el denominador al segundo miembro, la ecuación de la hipérbola equilátera queda:

x − y = a 

 

Las asíntotas de la hipérbola equilátera son:

y=x y=−x  

 

Y su excentricidad:

e = √ 2

 

Si giramos la hipérbola equilátera 45 grados a la izquierda, las asíntotas pasan a ocupar el lugar de los ejes de coordenadas:

En este caso, la ecuación de la hipérbola equilátera queda de la siguiente manera:

 a x.x.yy 2

 

Si la giramos 45 grados a la derecha (-45º), entonces la ggráfica ráfica de la hipérbola es:

Y la ecuación en este caso es:

x.y=− 