Elementos de An´ alisis Funcional Fernando Galaz Fontes Centro de Investigaci´on en Matem´aticas
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CIMAT
Elementos de An´alisis Funcional
QA320 G147 Galaz Fontes, Fernando Elementos de an´alisis funcional / Fernando Galaz Fontes. – M´exico : Centro de Investigaci´ on en Matem´ aticas, A.C., 2006. xiv, 370 p.; 23 cm. ISBN 968-5733-07-4 MSC: 46-XX 1. An´ alisis Funcional ISBN 968-5733-07-4 c D.R. Centro de Investigaci´ on en Matem´ aticas, A.C. Jalisco s/n, Mineral de Valenciana, 36240 Guanajuato, Gto., M´exico Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente, por ning´ un medio electr´onico o de otro tipo, sin autorizaci´ on escrita del editor. This book may not be reproduced, whole or in part, by any means, without written permission from the publisher. Cuidado de edici´ on: Hern´ an Gonz´ alez Aguilar Dise˜ no de portada: Galileo Mart´ınez ISBN 968-5733-07-4
90008 Impreso por: S y G Editores, S.A. de C.V. Cuapinol 52, Santo Domingo de los Reyes, Coyoac´an 04369 - M´exico, D.F.
9 789685 733076
a EDITH
´Indice general Nota del Consejo Editorial
VII
Prefacio
IX
Introducci´ on
1
1. Espacios de Banach
3
1.1. Estructura Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Espacio Vectorial Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Espacio Vectorial Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Espacio Normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Completez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4. Espacio de Funciones Acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Espacio de Funciones Continuas en un Compacto . . . . . . . . . . 27 1.5. Espacios p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Espacios c y c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Integraci´ on de Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Espacios Lp (E), 0 < p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Espacio Normado Inducido por una Seminorma . . . . . . . . . . . 39 i
ii
´INDICE GENERAL
Espacios Lp (E), 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Espacio L∞ (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.7. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2. Topolog´ıa y Continuidad
59
2.1. Espacios Topol´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2. Espacios M´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Topolog´ıa Inducida por una M´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Convergencia Uniforme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Completez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Distancia a un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3. M´etrica Inducida por una Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Espacios p , 0 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.4. Teorema de Contracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.5. Existencia y Unicidad en Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . 90 2.6. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Espacio de Funciones Continuas en un Compacto . . . . . . . . . . 101 2.7. Densidad y Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Separabilidad de Lp (RN ), 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3. Operadores Lineales Acotados
115
3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.2. Espacio de Operadores Lineales Acotados . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3. Ejemplos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4. Norma en el Espacio Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.5. Normas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.6. Norma en el Espacio Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7. Extensi´ on Lineal y Continua 3.8. Proyecci´ on Ortogonal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 ii
´INDICE GENERAL
iii
3.9. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Proceso de Ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 145 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.10. Base ortonormal cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4. Tres Resultados Fundamentales
161
4.1. Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Funciones Continuas y Derivables en Ning´ un Punto . . . . . . . . . 163 4.2. Teoremas del Mapeo Abierto y de la Gr´ afica Cerrada . . . . . . . . 167 4.3. Principio de Acotamiento Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.4. Aplicaci´ on a Series de Fourier Cl´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.5. Completaci´on de un Espacio Normado . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Espacio Pre-Hilbert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5. Dualidad
183
5.1. Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Importancia del Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.2. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.3. Dualidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.4. Representaci´ on de Espacios Duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Espacio Dual de un Espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Espacio Dual de p , 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Espacio Dual de Lp (RN ), 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5. Dos Propiedades D´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.6. Operador Transpuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.7. Espacios Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6. Teor´ıa Espectral
225
6.1. Algebra de Operadores Lineales Acotados . . . . . . . . . . . . . . 225 Polinomios y Funciones Enteras en L(X) . . . . . . . . . . . . . . . 227 iii
iv
´INDICE GENERAL
6.2. Grupo de Operadores Invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.3. Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Funciones Vectoriales Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7. Operadores Compactos
253
7.1. Definici´ on y Propiedades B´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.2. Operadores Integrales Tipo Fredholm
. . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.3. Compacidad de la Bola Unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.4. Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Espacio complementable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Teorema Espectral para Operadores Compactos . . . . . . . . . . . 274 7.5. Problema de Subespacios Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8. Operadores Autoadjuntos
281
8.1. Operador Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 8.2. Operadores Autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Proyecci´on Ortogonal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Formas Inducidas por un Operador Lineal . . . . . . . . . . . . . . 290 Rango Num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.3. Operadores Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Caso Sim´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 8.4. Teorema Espectral: Caso Compacto Autoadjunto . . . . . . . . . . 303 8.5. Funci´ on Continua de un Operador Autoadjunto . . . . . . . . . . . 307 Caracterizaci´on de P(T )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Aplicaci´ on al Problema de Subespacios Invariantes . . . . . . . . . 312 8.6. Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Ra´ız Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.7. Representaci´ on Polar de T ∈ L(H, Y )
. . . . . . . . . . . . . . . . 320
Representaci´on Polar de un Operador Acotado . . . . . . . . . . . 320 Representaci´on de un Operador Compacto . . . . . . . . . . . . . . 322 iv
v
´INDICE GENERAL
9. Teorema Espectral para un Operador Autoadjunto
325
9.1. Convergencia Fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 9.2. M´ as Funciones de un Operador Autoadjunto
. . . . . . . . . . . . 328
9.3. Resoluci´ on de la Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.4. Teorema Espectral para T Autoadjunto . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.5. Caracterizaci´on del Espectro
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.6. Ideal de Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Bibliograf´ıa
353
Lista de S´ımbolos
355
´ Indice Alfab´ etico
363
v
vi
´INDICE GENERAL
vi
Una Nota del Consejo Editorial Desde la fundaci´ on misma del Centro de Investigaci´on en Matem´ aticas (CIMAT) hubo un claro inter´es por tener un medio para la difusi´ on del trabajo cient´ıfico de sus investigadores, y las “Comunicaciones T´ecnicas del CIMAT”, que iniciaron sistem´ aticamente hacia 1988, fueron la primera serie de publicaciones producidas en el Centro en forma estructurada. M´ as recientemente, y en concreto desde hace cinco a˜ nos, el CIMAT ha editado varios libros de matem´ aticas, algunos de ellos en colaboraci´ on con la Sociedad Matem´atica Mexicana bajo un esquema de financiamiento compartido. Estos libros ya fueron editados bajo un sistema riguroso de arbitraje por pares, conforme a los est´andares de excelencia que hoy d´ıa se exigen. Pero ahora el CIMAT quiere dar un paso adelante en esta direcci´ on, y el libro que el lector tiene ahora entre sus manos es el primer fruto de este nuevo proyecto editorial del Centro. El prop´ osito de este proyecto es la producci´on de libros, escritos fundamentalmente por investigadores del Centro, pero continuando con una pol´ıtica editorial que contempla un arbitraje de primera calidad; y el objetivo es llegar a difundir estos trabajos en un mercado internacional, primordialmente el iberoamericano. Para conseguir dar inicio a esta ambiciosa empresa, se busc´o y obtuvo apoyo del Consejo de Ciencia y Tecnolog´ıa del Estado de Guanajuato (CONCyTEG); es un placer expresar aqu´ı nuestro agradecimiento al CONCyTEG por haber asistido nuestros esfuerzos, mediante el financiamiento proveniente del convenio 06-02-K119-074. Estamos convencidos de que este proyecto editorial tiene un considerable potencial de tener ´exito para la difusi´ on de la matem´atica mexicana, y estamos orgullosos de presentar este libro, escrito por el Dr. Fernando Galaz Fontes, como primer volumen de esta colecci´on; esperamos contar pronto con muchos m´ as de la misma calidad. Por el Consejo Editorial del CIMAT Helga Fetter Nathansky vii
viii
Nota del Consejo Editorial
viii
Prefacio Originalmente, este libro estaba pensado u ´nicamente para cubrir el material correspondiente a un primer curso sobre an´ alisis funcional, que sirviera tanto a estudiantes de licenciatura como de maestr´ıa en Matem´ aticas. Sin embargo, poco a poco y de manera natural, los temas fueron ampli´ andose hasta alcanzar el tama˜ no que se presenta y que, m´as o menos, se puede desarrollar en dos semestres. Su contenido y exposici´ on es el producto de los cursos respectivos que he tenido oportunidad de impartir en diversas ocasiones dentro de la Maestr´ıa en Matem´aticas que ofrece el Centro de Investigaci´ on en Matem´ aticas. Su objetivo es iniciar y encaminar al lector en el estudio del an´ alisis funcional, particularmente en los espacios de Banach y en la teor´ıa de operadores. A fines del siglo XIX, result´ o significativo el comprender que diversos problemas, la mayor´ıa de los cuales se traduc´ıa en ecuaciones diferenciales, se pod´ıan interpretar en t´erminos de resolver una ecuaci´on de la forma F x = b, donde el dato b pertenec´ıa a cierto conjunto B y la inc´ ognita x se buscaba en otro conjunto A. Una primera aproximaci´ on a este problema es tratar de estudiar el comportamiento de F como en el caso de funciones en RN , el espacio formado por los vectores con N componentes reales. De manera natural, esto conduce a buscar propiedades de un conjunto que permitan hacer en ´el an´ alisis “como” el que conocemos en RN . Se llega as´ı a distinguir tres caracter´ısticas de RN : su estructura de espacio vectorial, su norma y su completez. Estas tres propiedades motivan el concepto de espacio de Banach. El trabajo est´ a organizado en 9 cap´ıtulos. En el primero se introducen los espacios de Banach cl´asicos, B(D), C(K), p y Lp (RN ), los cuales est´an formados, respectivamente, por las funciones acotadas en un conjunto D, las funciones continuas en un compacto K, las sucesiones p-sumables y las clases de equivalencia de funciones p-integrables. Tambi´en se inicia aqu´ı el estudio de los espacios de Hilbert, de importancia fundamental en las aplicaciones. A lo largo del texto siempre se busca analizar si los espacios anteriores tienen las propiedades que se van introduciendo. ix
x
Prefacio
La generalizaci´ on de las nociones de convergencia para sucesiones y de continuidad para funciones en RN se realiza inmediatamente a un espacio X con una norma. Sin embargo, con frecuencia sucede que el dominio de la funci´ on F en la cual estamos interesados no es todo X, sino un subconjunto que no es un subespacio vectorial. Esto lleva a buscar un marco m´as flexible, dentro del cual se incluya cualquier subconjunto de un espacio normado. El marco m´ as cercano es el de espacios m´etricos. Sin embargo, tomando en cuenta que la mayor´ıa de los conceptos necesarios admiten una formulac´ıon m´ as general y que las pruebas de los resultados involucrados no resultan ser m´ as complicadas, en este trabajo partimos del concepto de espacio topol´ ogico. As´ı, en el cap´ıtulo 2 se introducen los conceptos de espacio topol´ogico, de espacio m´etrico y se establecen aquellas propiedades y resultados necesarios para nuestra presentaci´ on. Para mostrar el funcionamiento de las ideas desarrolladas, en las secciones 4 y 5 se establece la existencia y unicidad de la soluci´ on para una clase de ecuaciones diferenciales. Se estudia despu´es el concepto de compacidad, que es fundamental en el an´ alisis y en sus aplicaciones. Aunque la compacidad en espacios normados cae en el marco de espacios m´etricos, el desarrollo en t´erminos de espacios topol´ogicos permite la construcci´ on de los espacios de Banach cl´asicos en situaciones m´as generales. Por ejemplo, se consideran ahora espacios C(K), donde el conjunto compacto K puede no ser un espacio m´etrico. Para concluir este cap´ıtulo se discute la separabilidad de los espacios de Banach cl´ asicos. Entre las funciones de inter´es definidas entre espacios normados, los operadores lineales son de las m´as sencillas; los cap´ıtulos restantes de este trabajo se refieren a esta clase de funciones. En el cap´ıtulo 3 se introduce el concepto de operador lineal acotado y se establece su equivalencia con la continuidad. Si X y Y son espacios normados, lo anterior permite definir una norma en L(X, Y ), el espacio formado por aquellos operadores lineales T : X → Y que son continuos. En este cap´ıtulo tambi´en se estudian varias construcciones de espacios normados a partir de otros espacios normados. As´ı, se define una norma en un espacio cociente, una norma en un espacio producto. As´ımismo, se construye la extensi´on lineal y continua a la cerradura del dominio de un operador lineal y continuo que toma valores en un espacio de Banach. Las u ´ltimas secciones de este cap´ıtulo est´an desarrolladas en el contexto de espacios de Hilbert y en ellas se establecen conceptos y resultados b´asicos como los de complemento ortogonal, proyecci´on ortogonal, proceso de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt, base ortonormal y teorema de Riesz-Fischer. En particular, se estudia el caso de la base ortonormal cl´ asica para L2 (−π, π). x
Prefacio
xi
En los siguientes dos cap´ıtulos se presentan los llamados principios del an´ alisis funcional: teorema del mapeo abierto, teorema de la gr´ afica cerrada, principio del acotamiento uniforme y teorema de Hahn-Banach. Los tres primeros requieren de la propiedad de completez y, a partir del teorema de categor´ıa de Baire, se establecen en el cap´ıtulo 4. Se presentan adem´ as dos aplicaciones y se construye la completaci´on de un espacio normado. El cap´ıtulo 5 trata sobre el teorema de Hahn-Banach y sus consecuencias. Dado un espacio normado X, se estudia con detenimiento su espacio dual X ∗ y la idea de propiedades “d´ebiles”. En particular, la convergencia d´ebil se discute en la secci´on 5 y la secci´on 3 trata con la identificaci´ on can´ onica J : X → X ∗∗ . Se analiza despu´es la representaci´on del espacio dual de un espacio de Hilbert, de p y de Lp (RN ). El concepto de operador transpuesto se introduce en la secci´ on 6 y se establecen relaciones entre las propiedades de un operador lineal acotado y las de su operador transpuesto. En la u ´ltima secci´on se demuestran las propiedades fundamentales de los espacios de Banach reflexivos y se analiza la reflexividad de los espacios de Banach cl´asicos. En el cap´ıtulo 6, motivado por las importantes propiedades de los valores propios de una matriz, comienza el estudio del espectro de un operador lineal acotado T ∈ L(X), donde X es un espacio de Banach. En este punto la composici´on de operadores en L(X), que en adelante llamaremos producto, desempe˜ na un papel esencial y lleva, naturalmente, a introducir otras estructuras abstractas, como son la de ´algebra (no- conmutativa) y la de a´lgebra de Banach. Los polinomios, reales o complejos seg´ un sea el caso, constituyen un a´lgebra y desempe˜ nan un papel relevante en el estudio de cualquier otra a´lgebra de Banach. Cuando el espacio de Banach X es complejo, se prueba que el espectro de T es un conjunto compacto no-vac´ıo y se establece una f´ormula muy importante para el radio del disco m´as peque˜ no que lo contiene. Para ello se estudia antes un poco acerca de funciones holomorfas con valores en un espacio de Banach X. El cap´ıtulo 7 trata sobre los operadores compactos, los cuales constituyen una clase de operadores muy importante, tanto por su simplicidad (relativa) como por las numerosas aplicaciones en que aparecen. La secci´on 2 se refiere a los operadores integrales y se prueba en ella que algunos de estos operadores son compactos. En la secci´on 4 se presenta la teor´ıa espectral para un operador compacto y en la u ´ltima secci´on se establece que cualquier operador compacto tiene un subespacio invariante no-trivial. xi
xii
Prefacio
A partir del cap´ıtulo 8 todo el desarrollo es en el contexto de un espacio de Hilbert H. En este marco, el concepto de operador transpuesto de T ∈ L(H) toma una forma m´ as sencilla y u ´til, la del operador adjunto T ∗ . Este permite distinguir aquellos operadores tales que T = T ∗ , llamados autoadjuntos. Esta clase de operadores, al igual que los operadores compactos, resulta ser de enorme importancia tanto por su simplicidad (relativa) como por las numerosas aplicaciones donde intervienen. Los cap´ıtulos 8 y 9 se dedican al estudio del espectro de un operador autoadjunto. Cercano al concepto de operador autoadjunto, est´ a el de operador normal, definido por la condici´ on de que, bajo el producto, T conmute con su adjunto T ∗ . A lo largo del cap´ıtulo 8 se establece que los operadores normales tiene algunas propiedades semejantes a las de los operadores autoadjuntos. La secci´ on 4 es un punto culminante de este trabajo. Se establece ah´ı que un operador compacto autoadjunto tiene una representaci´ on en forma de serie, que corresponde a la diagonalizaci´ on de una matriz hermitiana o sim´etrica. La cuesti´on de obtener una representaci´ on similar para cualquier operador autoadjunto es lo que explica el resto del trabajo. En la secci´on 5 se define lo que es una funci´ on continua de un operador autoadjunto, asociando de esta manera a una funci´ on continua un operador. Esta asociaci´on tiene propiedades muy u ´tiles, a las cuales se les llama el c´alculo funcional. Se define despu´es un orden parcial en los operadores autoadjuntos, dando lugar as´ı a los operadores positivos. Mediante el c´alculo funcional, se prueba que todo operador positivo tiene una u ´nica ra´ız cuadrada con ciertas propiedades. Esto tiene dos consecuencias importantes. Por una parte, permite obtener para cualquier operador acotado una representaci´ on similar a la representaci´ on polar de un n´ umero complejo. Por otra, permite establecer que el c´alculo funcional preserva el orden parcial usual que se tiene en las funciones continuas. Con el prop´ osito de extender el c´alculo funcional, en lugar de trabajar con la convergencia bajo la norma de operadores, en el cap´ıtulo 9 se considera la convergencia puntual, que en adelante es llamada convergencia fuerte. El nuevo c´alculo funcional permite construir una familia de proyecciones ortogonales llamada resoluci´on de la identidad para el operador autoadjunto T . En la secci´on 4 se define la integral de una funci´ on continua respecto a esta familia, lo cual constituye otro punto culminante de este trabajo, y se prueba que T tiene una representaci´on en forma de integral respecto de la resoluci´ on de la identidad. xii
Prefacio
xiii
En la siguiente secci´ on se caracteriza el espectro de T en t´erminos del comportamiento de su resoluci´ on de la identidad. Para concluir el cap´ıtulo, como una aplicaci´ on de los m´etodos desarrollados, se establece que, en el caso de un espacio de Hilbert separable, el u ´nico ideal cerrado de L(H), distinto de {0} y de L(H), es el formado por los operadores compactos. Como antecedentes para asimilar el material que se acaba de describir se requieren familiaridad con el a´lgebra lineal, as´ı como un conocimiento del an´ alisis N N b´ asico en R y de la integral de Lebesgue en R . En la secci´on 6.3 se utilizan algunos resultados b´ asicos relativos a funciones enteras (variable compleja). Sin embargo, su contenido no es esencial al resto del trabajo. Fuera de los temas anteriores, se ha tratado que el libro sea auto-contenido. Por ello, la exposici´ on no presupone familiaridad con espacios m´etricos o espacios topol´ogicos. Los conceptos y las propiedades correspondientes que son necesarias se discuten y se establecen gradualmente, siempre con cuidado, a lo largo del texto. Para ayudar a su comprensi´on se han incluido un poco m´ as de 500 ejercicios. Estos se encuentran distribuidos, tanto en n´ umero como en dificultad, a lo largo de casi todas las secciones que conforman los distintos cap´ıtulos. Nunca sobra la recomendaci´ on de intentarlos hacer sistem´aticamente. Para hacer las referencias hemos empleado 1, 2 o 3 n´ umeros. De derecha a izquierda, ´estos indican el lugar, la secci´on y el cap´ıtulo donde se encuentran. Cuando uno o dos de ellos faltan, debemos entender que lo referido se encuentra en el cap´ıtulo o secci´on correspondiente. Por ejemplo, la proposici´ on 2.2 es la proposici´ on 2 de la secci´on 2 en el cap´ıtulo donde la referencia aparece. As´ımismo, el lema 2 se refiere al lema 2 de la secci´on donde se est´a. Quiero agradecer la generosidad que mostraron dos a´rbitros an´ onimos al revisar este trabajo y las observaciones realizadas. Para terminar, es un gusto reconocer la deuda que tengo con todos mis ex-alumnos de los distintos cursos, sin cuya interacci´ on no hubiera sido posible emprender ni realizar este trabajo. Fernando Galaz Fontes Guanajuato, Gto., 31 de marzo, 2005
xiii
