Análisis y Síntesis de Mecanismos

Análisis y Síntesis de Mecanismos

Instituto Politécnico Nacional

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Índice 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 2.

CONCEPTOS BÁSICOS Y CLASIFICACIÓN DE MECANISMOS APLICACIÓN DE LOS MECANISMOS A TRAVÉS DE LA HISTORIA. CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES SOBRE MECANISMOS Y MÁQUINAS. ESLABONES, PARES CINEMÁTICOS, SU CLASIFICACIÓN, ARREGLO Y CONFIGURACIÓN. GRADOS DE LIBERTAD, CRITERIO DE KUTZBACH. TIPOS DE MOVIMIENTO EN UN MECANISMO. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS 2D.

2.1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. 2.2. ROTACIONES DE UN CUERPO RÍGIDO. 2.3. CINEMÁTICA DE MECANISMOS MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN 2.4. ANÁLISIS DE POSICIÓN. 2.4.1. MÉTODO GRÁFICO 2.4.2. MÉTODO ANALÍTICO 2.4.3. MÉTODO MATRICIAL 2.5. ANÁLISIS DE VELOCIDAD. 2.5.1. MÉTODO GRÁFICO. 2.5.2. MÉTODO ANALÍTICO 2.5.3. MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA 2.5.4. MÉTODO MATRICIAL 2.6. MECANISMO DE BIELA CORREDERA. 2.6.1. MÉTODO GRÁFICO 2.6.2. MÉTODO ANALÍTICO. 2.6.3. MÉTODO ÁLGEBRA COMPLEJA. 2.6.4. MÉTODO MATRICIAL. 2.7. MECANISMO DE 4 BARRAS. 2.7.1. MÉTODO MATRICIAL. 2.7.2. MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA. 2.8. ACELERACIÓN 2.8.1. MÉTODO GRÁFICO 2.8.2. MÉTODO ANALÍTICO 2.8.4. MÉTODO ANALÍTICO PARA UN MECANISMO DE BIELA CORREDERA. 2.9. ANÁLISIS DEL MECANISMO DE COLISA INVERTIDA. 2.9.1. MÉTODO ALGEBRA COMPLEJA 2.9.2. MÉTODO GRAFICO. 2.9.3. MÉTODO MATRICIAL. 2.9.4. MÉTODO MATRICIAL. 2.10. ANÁLISIS DEL MECANISMO DE COLISA. 2.10.1. MÉTODO MATRICIAL.

4 4 4 5 6 7 9 9 18 20 25 27 27 27 29 29 29 30 31 33 35 35 35 36 38 39 39 40 43 43 44 47 49 49 52 55 58 61 61

2

2.10.2. 2.10.3. 2.11. 2.11.1. 2.11.2. 2.11.3. 3.

MÉTODO ANALÍTICO. MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA. ANÁLISIS DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS. MÉTODO GRÁFICO MÉTODO ANALÍTICO MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA.

PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL

3.1. 3.2. 3.2.1. 3.3. 3.4. 3.4.1. 3.4.2.

TRABAJO VIRTUAL MODELO DINAMICO TEOREMA DE STEINER MODELO DINÁMICO (COLISA) CÁLCULO DE REACCIONES EN PARES CINEMÁTICOS. D.C.L VECTORES DE POSICIÓN.

62 63 64 64 66 67 69 72 78 80 84 88 89 89

SIMULACIÓN DE MATLAB Y WM2D CON RESORTE Y AMORTIGUADOR GRAVEDAD Y FRICCIÓN 103

3

Análisis y Síntesis de Mecanismos El análisis y la síntesis en el estudio de un mecanismo son dos aspectos completamente distintos, la síntesis es el proceso de idear un patrón o método para lograr un propósito dado. Mientras que el análisis es un conjunto de técnicas que permiten que el diseño de una máquina o mecanismo, ya existente o propuesto, sea examinado en forma crítica con el fin de determinar si es adecuado para el trabajo que desempeñará. Es preciso tener siempre en mente que aunque la mayor parte de los esfuerzos realizados se dediquen al análisis, la meta real es la síntesis, es decir, el diseño de una máquina o un sistema. El análisis es una simple herramienta y, sin embargo, es tal vital que se usará inevitablemente como uno de los pasos en el proceso de diseño.

1. Conceptos básicos y Clasificación de Mecanismos Con los continuos avances realizados en el diseño de instrumentos, controles automáticos y equipo automatizado, el estudio de los mecanismos toma un nuevo significado. Al aplicar la teoría de los mecanismos y las máquinas, se comprende las relaciones entre la geometría y los movimientos de las piezas de la máquina o un mecanismo, y las fuerzas que general tales movimientos. A continuación se proporcionan los conceptos básicos de mecanismos y máquinas para presentar un cuadro completo de los componentes que se van a estudiar.

1.1. Aplicación de los mecanismos a través de la historia. Las maquinas y los mecanismos han sido ideados por el hombre desde el principio de la historia. Los antiguos egipcios inventaron las maquinas necesarias para efectuar la construcción de las pirámides y monumentos. Aunque la rueda y la polea (rueda en un eje) no fueron conocidos por los egipcios del Antiguo Reino, hicieron uso de la palanca, el plano inclinado (o cuña), y probablemente, del rodillo de tronco. El origen de la rueda y el eje no se conoce con precisión. Su primera aparición parece haber sido en Mesopotamia, por los años 3000 a 4000 a.C. La ingeniería mecánica tuvo sus inicios en el diseño de máquinas, a medida que las invenciones de la revolución industrial requerían soluciones más complicadas y refinadas para problemas de control de movimientos. James Watt (1736-1819) probablemente merece el titulo de primer cinemático, por su síntesis de un eslabonamiento mecánico de línea recta para guiar los pistones de muy larga carrera en las entonces nuevas máquinas (o motores) de vapor. Watt fue ciertamente el primero en reconocer el valor de los movimientos del elemento acoplador en el eslabonamiento de cuatro barras. Oliver Evans (1755-1819) un inventor estadounidense, también diseñó un eslabonamiento de línea recta para un motor de vapor. Euler también surgió la separación del problema de análisis dinámico en lo “geométrico” y lo “mecánico” con el fin de simplificar la determinación de la dinámica de un sistema. Este es el origen de la división actual de la dinámica, en cinemática y cinética, como se describió entes.

1.2. Conceptos y definiciones fundamentales sobre mecanismos y máquinas. Los términos mecanismo y máquina se emplearán a menudo en el estudio de los mecanismos, por lo que los definiremos a continuación.

4

Una máquina es una combinación de cuerpos resistentes de tal manera que, por medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar un trabajo acompañado de movimientos determinados. Un mecanismo es una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo, y cuyo propósito es transformar el movimiento. Cabe mencionar que una estructura, también es una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones, pero su propósito no es efectuar un trabajo ni transformar el movimiento. La estructura carece de movilidad interna, no tiene movimientos relativos entre sus miembros (mientras que una máquina y un mecanismo los tienen). Por lo anterior podemos decir que una máquina o un mecanismo tiene como propósito aprovechar estos movimientos internos relativos para transmitir potencia o transformar el movimiento.

1.3. Eslabones, pares cinemáticos, su clasificación, arreglo y configuración. Los pares cinemáticos o juntas, son las forma geométricas mediante las cueles se unen dos miembros de un mecanismo de manera que el movimiento relativo entre ambos sea consistente. Dicho de otra forma son las conexiones o articulaciones entre eslabones. Si la unión o articulación mediante la cual se conectan dos miembros tiene un contacto superficial tal como una unión de perno, la conexión se llama par inferior. Si la conexión ocurre en un punto o a lo largo de una línea tal como en un rodamiento de bolas o entre dos dientes de engranes en contacto, se le conoce como par superior. Un par que sólo permite rotación relativa es un par de giro o revoluta; uno que solamente permite el deslizamiento es un par deslizante. Un par de giro puede ser inferior o superior, dependiendo de que se emplee un perno o buje o un rodamiento de bolas para la conexión. Un par deslizante es un par inferior como entre un pistón y la pared del cilindro.

Figura 1 Arreglo de eslabones para la conexión de 2 (a), 3 (b) y 4 (c) elementos.

Un eslabón es un cuerpo rígido que tiene dos o más pares, por medio de los cuales se puede conectar a otros elementos y que tiene movimiento relativo entre ellos. Un eslabón puede servir de soporte, de guía de otros eslabones, para transmitir movimiento y/o fuerza, o bien funcionar de las tres formas.

5

 

Eslabón rígido o cinemático. Es el que transmite fuerza por compresión o por tensión indistintamente. Eslabón flexible. Es el que transmite fuerza por tensión únicamente (cadena o banda) o bien compresión únicamente (fluido).

Cuando se conectan varios eslabones por medio de pares, el sistema resultante es una cadena cinemática.  



 

Cadena trabada. Cuando estos eslabones se conectan de forma tal que no exista movimiento se le llama cadena trabada. Cadena cerrada. Cuando todos y cada uno de los miembros se uno a otros dos. Los elementos forman un circuito cerrad, el primero y el último están unidos (aunque no siempre en el mismo punto). Cadena restringida. Es aquella en la que independientemente del número de ciclos de movimientos efectuados, el movimiento relativo entre sus eslabones es siempre el mismo. Cuando se fija un eslabón en este tipo de cadena, se tiene un mecanismo. Cadena abierta. Cuando hay algún miembro no unido a otros dos. Un elemento esta fijo a una base o sistema de referencia y el último está en el extremo. Cadena no restringida o cadena libre. Es aquella en la que se tiene posiciones variadas para los eslabones de un instante a otro varía, no tienen un patrón de movimiento fijo.

Figura 2 (a) Cadena abierta. (b) Cadena cerrada

1.4. Grados de libertad, criterio de Kutzbach. La movilidad o grados de libertad, es el número de parámetros de entrada (casi siempre variables del par) que se deben controlar independientemente, con el fin de llevar al dispositivo a una posición en particular. Cuando las restricciones de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de los eslabones no conectados, se encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado. (

)

̇

̇

Donde: es el número total de eslabones (incluyendo el fijo). son los pares cinemáticos de un grado de libertad. son los pares cinemáticos de dos grados de libertad.

6

La ecuación anterior se conoce como criterio de Kutzbach para la movilidad de un mecanismo plano. Ejemplo 1.4.1 De acuerdo a la Figura 3 encontrar los grados de libertad del mecanismo utilizando el criterio de Kutzbach:

Figura 3 Mecanismo ejemplo 1.4.1

Se tiene: (número de eslabones) (número de juntas) Sustituyendo en la ecuación: (

)

( )

En este caso el mecanismo no tiene grados de libertad. Por lo cual se considera un eslabonamiento sobre restringido, de acuerdo a la siguiente relación. : el dispositivo es un mecanismo con m grados de libertad. : el dispositivo es una estructura estáticamente determinada. : el dispositivo es una estructura estáticamente indeterminada.

1.5. Tipos de movimiento en un mecanismo. En el estudio de los mecanismos es necesario definir los distintos tipos de movimientos producidos por estos mecanismos. Movimiento plano. Traslación. Cuando un cuerpo rígido se mueve en tal forma que la posición de cada línea recta del cuerpo es paralela a todas sus otras posiciones, el cuerpo tiene movimiento de traslación.  

Traslación rectilínea. Todos los puntos del cuerpo se mueven en trayectoria de líneas rectas paralelas (eslabón 4 de la Figura 4). Traslación curvilínea. Las trayectorias de los puntos son curvas idénticas paralelas a un plano fijo.

7

Figura 4 Mecanismo de biela corredera.

Figura 5 Mecanismo de unión de las ruedas de una locomotora.

Rotación. Si cada punto de un cuerpo rígido que tiene movimiento plano permanece a una distancia constante de un eje fijo que está perpendicular al plano del movimiento, el cuerpo tiene movimiento de rotación. Si el cuerpo se mueve en vaivén en un ángulo dado, se dice que oscila. Muchos cuerpos tiene un movimiento que es una combinación de rotación y translación.

Figura 6 Mecanismo de cuatro barras articuladas.

8

Movimiento helicoidal. Cuando un cuerpo rígido se mueve de manera que cada punto del mismo tiene movimiento de rotación alrededor de un eje fijo y al mismo tiempo tiene una traslación paralela al eje, se dice que el cuerpo tiene movimiento helicoidal. Por ejemplo, una tuerca cuando se atornilla en un perno. Movimiento esférico. Cuando un cuerpo rígido se mueve de tal manera que cada punto del cuerpo tiene movimiento alrededor de un punto fijo en tanto que permanece a una distinta constante del mismo, el cuerpo tiene movimiento esférico. Movimiento espacial. Si el cuerpo tiene movimiento de rotación alrededor de tres ejes no paralelos y de traslación en tres direcciones independientes, se dice que tiene un movimiento espacial general. CLASE #3 (27/ENERO/2012)

2. Análisis cinemático de mecanismos 2D. 2.1. Fundamentos matemáticos. Iniciaremos nuestro estudio con los conceptos básicos del algebra lineal para deducir una transformación lineal ortogonal, cuya matriz asociada tiene determinante positivo. Esta transformación representa una rotación de un cuerpo rígido, y está definida como:

(

)

Donde mapea todo el espacio vectorial de V al espacio V’1. Esta transformación la usaremos para modelar los mecanismos de cadena cinemática abierta y cerrada.

Grupo. Sea V un conjunto de al menos dos elementos, y sea una operación binaria. Se dice ) es un grupo, donde es llamada operación aditiva (suma). que la pareja ( Un grupo debe cumplir las siguientes propiedades:

i)

PROPIEDAD DE CERRADURA

⨁

ii) ( ⨁ )⨁

⨁(

PROPIEDAD ASOCIATIVA

)

iii) iv) v) La pareja (

PROPIEDAD DE ELEMENTO NULO ⨁

PROPIEDAD ELEMENTO INVERSO PROPIEDAD DE CONMUTATIVIDAD

) tendrá estructura de grupo conmutativo (Abeliano).

Siendo Sir William Hamilton (1843) quien inició esta teoría, posteriormente Euler con su parámetro de rotación. 1

9

CLASE #4 (30/ENERO/2012) Ejemplo 2.1.1 ) Sea *( Recordando que (

+y ) en un par ordenado. )⨁(

*(

)

Demuestre que tiene estructura de grupo ( 1. 2.

llamadas operación aditiva, definida como:

(

)

).

Por simple inspección se cumple la propiedad de cerradura. *( ) ( )+ ( ) ( ) *( Desarrollando la parte izquierda de la igualdad: *(

)

(

(

)+

(

)

(

)+

)

(

)

( (

)

) (

)

(

)⨁(

(

)⨁*(

)

( ) )⨁(

)+

Por lo anterior, Se cumple la propiedad asociativa. 3.

( )⨁ Si definimos

(

) ( *( (

)

) )+ ( ) (

(

) )

Conocemos el elemento nulo aditivo de la suma dentro de (

)

Se cumple la propiedad del elemento nulo aditivo 4.

*( + ) Si definimos

(

)

( (

(

)

)⨁(

)

(

)

)

(

)

Conocemos el elemento inverso aditivo de la suma dentro de lo mismo para . ( )

. Se cumple

Se cumple la propiedad del elemento inverso aditivo

10

5.

(

)⨁(

) (

)

Por asociatividad de la suma: (

)

(

)⨁(

)

Se cumplieron las cinco propiedades, por lo tanto la pareja (

) es un grupo aditivo Abeliano.

Ejemplo 2.1.2 )

*(

Sea

+y

llamada operación multiplicación, definida como:

(

) (

)

(

)

 

). Demuestre que tiene estructura de grupo multiplicativo ( Demuestre que la pareja ( ) es un grupo multiplicativo Abeliano.

1.

Por simple inspección se cumple la propiedad de cerradura. *(

2.

)+ (

) (

)

(

) *(

) (

)+

Desarrollando el lado izquierdo de la igualdad de la ecuación. *( *(

) (

) (

)+ (

)+ (

)

)

(

) *(

) (

(

) (

)+ )

Desarrollando el lado izquierdo de la ecuación. Metemos el par ordenado z dentro de los paréntesis. *(

)

(

)

(

)

(

) +

(

)

Desarrollando el lado derecho de la ecuación, Extrayendo el par. ( ) *( ) ( )+ ( ) *( (

)+ )

Obtenemos el mismo resultado en ambos lados de la ecuación.

Se cumple la propiedad asociativa. 3.

*( ) ( ) )+ ( Nos habla de la existencia del nulo multiplicativo. Significa que ambos pares permanecen a V, si yo opero este valor por un par de la misma forma tiene que dar el mismo valor. ( ) ( )

Este sistema de ecuaciones es no lineal donde las incógnitas a encontrar son y es compatible con una única solución. Resolviendo por el método de sustitución:

el sistema

11

De la ecuación (1)

Sustituimos

en (2). 4

5 (

)

(

)

Se cumple la propiedad del elemento nulo multiplicativo. Existe un par ordenado ( ) que pertenece al espacio V tal que al ser multiplicado por el nulo multiplicativo debe ser el mismo par ordenado. Comprobamos la existencia del nulo multiplicativo ( ( Aplicando la definición de producto ( ( 4.

*(

) (

)+

(

) ( ) (

)

) (

)

( (

)

) (

) )

(

)

)

) ( ( (

) )

) ( ( ) ( )

)

Sustituimos en ecuación (1) 4

5

Despejando ( ) En la ecuación (2) sustituimos (3) y nos queda la siguiente expresión para 4

4

5

5

Se cumple la propiedad del elemento inverso multiplicativo de (

).

12

4

5

El nulo aditivo de V no cumple con la propiedad del inverso aditivo. Si fuéramos rigurosos ( ) no es un grupo. Se dice que es un grupo solo por la excepción del nulo aditivo (campo de los reales).

Se cumple la propiedad del elemento inverso aditivo.

Comprobamos tomando (

) .

/

(

)

Desarrollamos el lado izquierdo. 4

5

(

)

.

/

(1)

.

/

(2)

Por simple observación se ve que el único para ordenado (0,0) que inverso multiplicativo. 5.

Propiedad de conmutatividad

(

) (

)

(

) (

)

Desarrollamos ambos lados de la ecuación. ( (

) (

)

(

)

(

) ) (

)

Se cumple la propiedad conmutativa De este ejercicio se concluye que: la pareja (V,*) es un grupo multiplicativo excepto por la existencia del inverso aditivo y el nulo multiplicativo. CLASE #5 (1/FEBRERO/2012) Espacio vectorial. Sea la terna (V, propiedades: I) II) III)

) abstracta, se dice que tiene estructura de campo, si cumple con las siguientes

Sea el par ordenado (V, ), un grupo aditivo abeliano. Sea ( ), un grupo multiplicativo conmutativo (excepto por la existencia del inverso multiplicativo del nulo aditivo). Se cumpla la propiedad de distributividad de la operación * bajo la operación (aditiva). se cumple que

(

)

Ejemplo 2.1.3 Desarrollamos la propiedad III)

13

( *(

Recordando:

) ,(

)

( (

)-

(

) (

)

(

)

(

) (

)

+

)

) ,(

(

(

))

(

( )

(

)

(

)

))

( {(

) (

) )

(

)

(

)

(

( {(

)} )

)⨁ (

)}

(

)

( ) forman un campo que le llamaremos el campo de los números complejos campo parcialmente incompleto por la ausencia del elemento nulo aditivo. Quaterniones: Donde giro.

(

. Es un

)

representa la cantidad de rotación (giro). Y

representan la cantidad de

Espacio Vectorial Es un conjunto de al menos dos elementos y sea ⨁ pareja ( ⨁) es un espacio vectorial sobre el campo (

una operación binaria, se dice que la ⨁) si existe:

Llamada multiplicación escalar y se cumplen las siguientes propiedades: I) II) III) IV) V) VI)

,y , existe un único . ̃ , siendo el elemento nulo multiplicativo de k y -̃ el inverso aditivo de ̃, se cumple que ( ̃) , donde es el elemnto nulo de . ( ) y , se cumple que , propiedad distributiva de la operación , bajo la operación aditiva . y , se cumple que: ( ⨁ ) , propiedad distributiva de la operación , bajo la operación aditiva ⨁. ) y , se cumple que: ( ( ), propiedad asociativa. , se cumple: ̃

Si un espacio vectorial trabaja sobre el campo de los reales entonces se dice que es un espacio vectorial real. Por que el campo es el que define la naturaleza del número y las operaciones. Para modelar mecanismos necesitamos trabajar en . Los espacios vectoriales descansan sobre un campo siempre y cuando exista una operación multiplicación escalar que elije escalares con pares ordenados.

14

Ejercicio 2.1.4 Siendo (( usuales y sea

) el campo de los números reales con las operaciones (+) suma y ( ) multiplicación definida como:

(

)

{( (

) )

(

) }

(

)

(

)

Esto tiene que ver con la combinación lineal de los elementos del campo. Se construye un campo sobre las operaciones usuales, contamos con una multiplicación escalar que hace que nuestra vector se haga mas grande o mas pequeño, con una operación que nos permite sumar, y con la operación multiplicación podemos se puede construir una transformación lineal para rotar a los vectores Comprobar si (

i)

) es un espacio vectorial.

Cerradura (

)

ii)

(

)

(

)

Siendo el nulo multiplicativo de k y el inverso aditivo de 1 ( ) cumple que: donde es el nulo aditivo de . ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ))

( ( ( (

Se

)

iii)

Propiedad de distributivita de la operación multiplicación escalar bajo la operación aditiva ⨁ .

( ⨁ ) )⨁( (( (

⨁

( (

)⨁( (

)⨁

( (

) ) (

.(

)

(

))

(

)⨁

)

(

)

(

) )

( (

)⨁ ( )⨁ ( )⨁ (

)

(

)⨁

) ) ) )

(

iv)

(

⨁ ) ( )⨁(

( )

)⨁

( (

/ )

) )⨁

(

)⨁

(

) (

)

15

( v)

)⨁

(

)

(

)⨁

(

)

Asociatividad

(

)

(

(

)

) ( (

)

)

(

)

( (

(

(

)

(

) (

(

))

)

(

)

)) (

) (

(

) (

(

))

(

) (

(

)) ))

vi) ( (

) (

(( (

)

) )( (

( ))

) (

)

)

Como se cumplieron las 6 propiedades, comprobamos que (

) es un espacio vectorial.

Sub-espacio vectorial. Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio bajo las operaciones de suma y multiplicación por estar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub-espacio de V. Se puede decir que el sub-espacio H hereda las operaciones del espacio vectorial padre V.

Figura 7 Representación vectorial de un vector.

Además r es un vector que pertenece a V el cual representa a un eslabón. La pareja ( llamaremos espacio vectorial real.

) le

CLASE #6 (3/FEBRERO/2012) Transformación lineal Sea ( )y ( transformación:

) , dos espacios vectoriales sobre el mismo campo (

⨁) , se dice que la

16

Es lineal, si: I) II)

( ⨁ ) ( )

Definamos a ( de Sea también

)

(

,

(Principio de Superposición) (Homogeidad)

*

+ al conjunto de todas las tranformaciones lineales

) se dice que el núcleo de T denotado por: *

⨁+

El núcleo de T esta dotado por elementos de u que pertenecen a tal que cuando se le aplica una transformación al elemento u mapea como resultado al elemento nulo. Y se dice que el rango de T es: *

+

Como macatrónicos debemos de trabajar en la zona lineal

Ejemplos

Base. Es un conjunto de V que al combinarse generan todos los valores posibles.

Figura 8 Esquema de espacios vectoriales y transformación lineal T

17

Tarea 2 Realizar una práctica en donde se explique grupos a espacios vectoriales en Mathematica 8.0. Tienen que tener sus propiedades. Se debe de entregar en Word, con las fórmulas y aparte su código hecho en Mathematica 8.0. 2.2. Rotaciones de un cuerpo rígido.

Rotación. *( ) Sea multiplicación usuales. Además

+, se propone la transformación lineal con las operaciones de suma y

esta definida como: (

)

(

)

Una rotación de cuerpo rígido es una transformación lineal, ortogonal y de determinante positivo (+1). (

)

Definida como: (

)

*

+

( ) Donde , está fijo y es llamado parámetro de rotación. El cual contiene la información de rotación, la cantidad de giro y el eje de giro.

r es un vector que pertenece a . Cuando el determinante es negativo se presenta una reflexión.

Figura 9 Reflexión de un vector.

La norma es arbitraria siempre y cuando ‖ ‖ parámetros de Euler lo cual nos conviene.

Cuando la norma es unitaria hablamos de los

18

Figura 10

Recordemos que la base de

esta definida como: { }

*(

)(

)+

Los elementos de B, son linealmente independientes. Observando que la dimensión de V=2 debido a que es el número de elementos de la base. La operación (

) (

)

(

)

La norma de p denotada como: ‖ ‖

〈

〈

〉

〉 Es una función producto punto (producto interno)

Y

, es un vector que apunta coordenadas ( r’

La función

)

r

Figura 11 Rotación del vector r.

es llamada función producto punto o “interno”.

Ejemplo 2.2.1. r

∑

Demostrar que ( a) Lineal i)

) es una rotación

(

⨁ )

(

)

(

)

Desarrollando el lado izquierdo para llegar al lado derecho. Donde aplicando la definición de transformación y la propiedad distributiva operación * bajo la operación (propiedad de campo).

de la

19

(

⨁ ) *

(

ii)

)

(

*

( ⨁ )+

+

*

*

+

(

⨁

+

)⨁ (

)

) (

*

)

(

*

)+

+

(

)

b) Ortogonal (

,

c)

(

) (

)

)-

*AGREGAR PRIMER PROGRAMA MATEMATICA

tarea realizar una practica comprobando las propiedades de grupo hasta espacio \ vectorial. Usando Teoría y Mathematica. CLASE #7 (8/FEBRERO/2012)

2.3. Cinemática de mecanismos

Tendremos la oportunidad de comprobar y comparar resultados constantemente. los vectores y las graficas proporcionan una compresión visual que frecuentemente se oculta al usar métodos numéricos. la situación por métodos gráficos elimina largas soluciones trigonométricas y simplifica grandemente el calculo. Los cálculos deberán ser usados donde quiera que sean simples y en todos los cálculos son de las soluciones graficas no ofrezcan ventaja. Así todos los problemas llevaran consigo algún trabajo analítico. Uno podría no esforzarse para evitar cálculos, pero más bien deben confinarse hábilmente los dos métodos en provecho del rendimiento y exactitud. El método mas cortó el más simple es normalmente el más exacto. Para calcular la posición, velocidad y aceleración lineal y angulares en un sistema articulado es necesario determinar el modelo cinemático, que describe la cinemática del mismo. Antes recordamos nuestro marco teórico. Sea

*(

)

Sea la operación transformación (Rotacional).

+ y sea

*(

)(

)+

definida como: (

(

)

|| ||

, una base de V de )

*

(

)

(

, )

y la

+

20

La transformación (

) (

)

‖ ‖ ,

Donde

(

Además;

0

(7)

1 ( )-

)

es la operación multiplicación (

) (

)

(

)

Y la normal: || ||

∑

Puede tomar cualquier valor arbitrario en este caso: || || Gráficamente el vector

(parámetros de Euler)

nace de rotar(aplicar la trasformación)del vector . Y está expresado en

componentes cartesianas. ( Para encontrar

)

podemos relacionar la función producto interno.

‖ ‖‖ ‖ (

)

‖ ‖‖ ( (

)

‖ ‖

)‖

(

) (

)

‖ ‖ (

)(

) ‖ ‖ ‖ ‖

(

)

(

)

‖ ‖ ‖ ‖ ( ‖ ‖ ‖ ‖

) ‖ ‖

‖ ‖

21

Signo: (+)Rotación, (-)Reflexión.

Metodología de estudio Para encontrar el modelo cinemático de cualquier mecanismo plantearemos una metodología de estudio basada en 3 pasos. 1) Definición del problema, definición de las bases (sistema de coordenadas) *( )( )+ 2) Observar que las bases locales (móviles) son una rotación de la base global (fijo) , 3) Ecuación de lazo (vectores) relación de solución para el problema definido. Ejemplo 2.3.1 Encontrar el modelo cinemático del mecanismo: Datos:

. El modelo cinemático relaciona la posición (parametros de rotación ( ) )

con los ángulos

Figura 12 Mecanismo del Ejemplo 2.3.1

Cinemática Directa Dados los datos lineales.

encontrar el vector de posición

. Ecuaciones

Se definen las bases (sistema de coordenadas)de cada eslabón.

Figura 13 Base orto normal de un sistema de coordenadas en 2D.

{ }

Base global fija (inercial) = *

+

*(

)(

)+

‖ ‖

Cinemática del mecanismo La base móvil para el eslabón 2 y 3. {

}

Eslabón 2

{

}

Eslabón 3

Observar que cada eslabón debe tener asociado un sistema de coordenadas (base).

22 Figura 14 Definición de bases móviles y fija del mecanismo a analizar.

Simplificando la notación: {

}

{

Por la propiedad de ortogonalidad de (

}

).

Rotación Las bases móviles son una rotación de la base global fija. {

}

. { }

/

‖ ‖

2

{ }

3

Para cada rotación se necesita un parámetro. (

*

)

+ (

{

}

)

) (

)

)

. { } (

(

/

‖ ‖

(

) (

(

)

2

{ } ) (

3 )

Para los eslabones: {

}

{

}

Construccion de vectores

Para la posición de lazo:

respecto a la base fija se construye la ecuación de

(1) Es una representación matemática de las restricciones físicas del momento de los eslabones del mecanismo. ⨁ Figura 15 Vector que va de la base fija a la posición A.

,( (

) (

)-⨁

)

(

,(

) (

) (

)-

)

23

Separando

Siendo

y

en componentes (

)

(

)

Ecuación cinemática…… (2)

incognitas.

+

(

)

+

(

)

Cinemática inversa Dados los datos , encontrar el vector de posición . Ecuaciones no lineales. Plantear un sistema de ecuaciones que determine el ángulo que debe de rotar el eslabón para alcanzar una nueva posición. Definimos: (

)

(

)

Figura 16 Representación del movimiento del mecanismo, de un punto A al B.

Construir bases con parámetros virtuales: (

)

(

) (

) (

)

Caso 1 (

)

Caso 2 (

)

(

) (

) (

) (

)

Vector de posición

(

,(

) (

) ( )

) ( ,

)-⨁ (

,(

) ( )

) ( (

) (

)-

)-

24

(

,

)

(

)

)-

(

|| || || || Sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial. Un método de solución es el de Newton-Rhapson. CLASE #8 (10/FEBRERO/2012)

Métodos numéricos de solución Es un método numérico iterativo, que sirve para encontrar una raíz de un a función no lineal. Este método inicia con valores iniciales estimados y consistentes con el sistema de ecuaciones. En esencia consiste en representar con una recta tangente que pasa por un punto de la ecuación lineal. Esta recta corta al eje de las X dando un valor aproximado de la solución real.

Ejemplo 2.3.2 Se desea conocer la ecuación de una recta que intercepte con la función.

( ̅ ̅

̅ ) ̅

̅̅̅ ̅̅̅

Valor inicial (se propone un valor inicial del cual partiremos ha realizar las iteraciones) Supongamos que: ̅ ̅ ̅

( )

( )

, no es solución

Evaluamos para comprobar que no es solución

̅ ̅ . /

̅

̅̅̅

( )

( )

, no es solución ya que se debe cumplir con la ecuación ( )

25

Podemos observar que podríamos repetir la operación n veces y no llegaría a cero, por lo tanto para efecto de nuestro estudio usaremos dos criterios de paro: 1º CRITERIO DE PARO Determinar un cierto numero de ceros para el cual consideremos que la aproximación es correcta. ( ) 2º CRITERIO DE PARO El tiempo de ejecución de un programa es fundamental en el optimo desempeño de la tarea que deseamos realizar, es por eso que se debe considerar el tiempo disponible para saber cuantas veces nuestro programa será capaz de iterar.

Para encontrar una solución a nuestro problema de cinemática inversa haremos uso de éste método. Vamos a representar las ecuaciones con un vector ,

-

y buscamos la solución ( )

donde ,

- es el vector de incognitas

Para encontrar el valor (raíz) de ̅ Donde: ̅

Punto estimado o valor estimado. Factor de corrección: es el error, la diferencia entre el punto estimado y la solución real.

Taylor (Serie truncada de Taylor)- La serie de Taylor linealiza sistemas, expresa un sistema no lineal de manera lineal. (

)

(

)

|

|

̅

̅

|

|

̅

̅

Lo escribiremos de manera matricial

( ( ( [ (

) ) ) )]

( ( ( [ (

̅) ̅) ̅)

[

]

̅ )] [

]

Rescribiremos la ecuación de una manera reducida

26

( ̅) Despejamos [ Sustituyendo

en

̅

( ̅)

]

nos queda de la siguiente manera ̅

[ ̅

( ̅)

] ̅

CLASE #9 (13/FEBRERO/2012)

2.4. Análisis de Posición. Al analizar el movimiento, el problema inicial y más fundamental que se encuentra es definir y manejar los conceptos de posición y desplazamiento. Puesto que se puede considerar que el movimiento es una serie de desplazamientos en el tiempo siguiendo posiciones sucesivas, es importante comprender con exactitud el siguiente significado del termino posición; en otras palabras, es necesario establecer reglas o convenciones para que la definición sea precisa. La posición de un punto, es el vector que va del origen de un sistema de coordenadas de referencia especificado al punto. Recordando que la posición de los elementos de un mecanismo se encuentra a través de la ecuación de restricción (Ecuación de Lazo). Hemos analizado el mecanismo mostrado en la Figura 12 usando el método de algebra compleja.

2.4.1. Método Gráfico Este método consiste en trazar a escala todas las longitudes y ángulos del mecanismo, después se pueden medir en forma directa las medidas correspondientes del dibujo realizado.

Caso práctico Análisis de posición Método Gráfico

2.4.2. Método Analítico Este método se basa en el uso de números de Euler (1843), y su representación en coordenadas cartesianas. La posición de un punto p en el plano ( ) se puede representar a través de la siguiente rotación:

27

Donde

es el vector de posición.

Podemos rescribir lo anterior como: (

)

Analizando la posición del mecanismo siguiente

(

⁄

( Donde

)

) ‖ ‖, es la magnitud de r en su representación

(

)

Definiendo el modelo cinemático del mecanismo. Utilizando la ecuación de lazo ⁄

Donde

(

y

)

(

)

(

)

(

)

“Cinemática inversa” (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Caso práctico Análisis de posición Método Analítico

28

2.4.3. Método matricial Cinemática Directa. Componentes de vectores. (

)

(

)

Donde las incógnitas de las ecuaciones anteriores son:

y

Cinemática Inversa ( ( Donde las incógnitas son

y

) )

( (

) )

. Caso práctico Análisis de posición Método Matricial

2.5. Análisis de Velocidad.

En la Figura 17 un punto en movimiento se observa primero en la ubicación P, definida por el vector de posición R(t). Después de un breve intervalo de tiempo, , se obseva que su posición ha cambiado a P’, definida por ( ). Por definición: (

)

( )

La velocidad de un punto es una cantidad vectorial igual a la rapidez de cambio de su posición respecto al tiempo. Al igual que los vectores de posición, el vector velocidad se define para un punto específico; “velocidad” no debe aplicar a una recta, sistema de coordenadas, volumen u otra colección de puntos, puesto que la velocidad en cada punto puede diferir. Figura 17 Desplazamiento de una partícula.

2.5.1. Método Gráfico. Consiste en trazar la configuración geométrica del mecanismo respecto a las longitudes y ángulos de los eslabones este debe de estar a escala de tal forma que pueda construir el polígono de velocidades correspondientes. Después tomo medidas de las variables de interés. Para éste método se siguen lo siguientes pasos:   

Trazar mecanismo a escala. Trazar las velocidades lineales a escala. Recabar la información cinemática del mecanismo.

29



Trazar y encontrar en forma grafica la ecuación de lazo de velocidad.

Nota: El método grafico trabaja con magnitudes no con vectores.

Caso práctico Análisis de velocidad Método Gráfico

Ejemplo 2.5.1

Calcular la velocidad del punto B (

)(Velocidad lineal)

Es la ecuación de lazo de velocidad. Sabemos que

y que (

)

Trazo el vector ( )

Figura 18 Polígono de velocidades del mecanismo.

Trazo el vector Tomo

las medidas de Se debe de utilizar y respetar la escala apropiada. Una vez trazado el polígono tomamos medida del vector Vo.

2.5.2. Método Analítico

Partir de la posición ( )

Si se deriva (1) con respecto al tiempo obtenemos lo siguiente

̇

(

̇

)

( ) ̇

30

Aplicando lo anterior Figura 18.

(

)(

) (

⁄

( )(

⁄

(

)

)

(

))

⁄

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

√

√

(

) Caso práctico Análisis de velocidad Método Analítico

CLASE #10 (15/FEBRERO/2012)

2.5.3. Método de Álgebra Compleja

Deducción de las ecuaciones de velocidad partiendo de r ( (

̅) )

‖ ‖

*

̅+

‖ ‖

, es un parámetro de rotación

con

y

Entonces si deseamos saber su velocidad debemos calcular la derivada de ( ̇ con

̇y

)

̇

Entonces podemos rescribir a ̇ como ̇

( ̇

̇)

entonces

31

̇

̇

(

̇)

) ̇

(

Entonces para calcular la velocidad nos queda de la siguiente manera ( ̇ ̅)

‖ ‖

* ̇

̅+

‖ ‖

)̇ (

̇ ̇ ̇

{(

)}

̇

{(

‖ ‖

̇

Vamos a manejar un parámetro de velocidad donde incluiremos los valores de eslabon. ̇+

* ,

-

̇ )}

respectiva de cada

Parametro de velocidad

̇} *

{

̇

,

-

(

)

+

Recordando algunos conceptos:

(

)

Entonces la ecuación de velocidad queda de la siguiente manera ,

-

̇} *

{ ̇

(

+

̇

(

)

)

Aplicando la ecuación anterior Ecuacion vectorial de velocidad

⁄

*

+ Parametro de velocidad de barra ,

-

*

+ *

*

+ *

,

⁄

⁄

*

( (

*

+

+

+ * ( )) ( ( ( (

)+ ( (

))+ )) )) Caso práctico Análisis de velocidad Método Álgebra Compleja

32

2.5.4.Método Matricial

Recordemos las ecuaciones de posición de cinemática directa ( ( teniendo como incógnitas

y

) )

.

y las de cinemática inversa son las siguientes ( ( con

( (

) )

) )

como incognitas.

Entonces obtendremos las ecuaciones de velocidad derivando las ecuaciones de posición de cinemática directa. ( ̇

)(

( ̇

)

)(

)

Lo escribimos de manera matricial expresado en [ ̇

̇

]

(

[

)

(

( (

)

) ]0 )

1

El jacobiano es una transformación lineal que mapea velocidades angulares (articulares) a velocidades lineales, varían con respecto a la posición cada posición tiene un jacobiano diferente y además geométricamente hablando es tangente a la trayectoria que genera el mecanismo.

Donde: ( )

̇

La cinemática directa de velocidad dados como datos ̇ La cinemática lineales); (

inversa

de );

encontrar:

̇.

velocidad dados como ( )eencontrar

datos .

las

̇

̇

(velocidades

de manera simplificada queda de la siguiente manera ̇

( )̅

y para la cinemática inversa de velocidad las ecuaciones quedan de la siguiente manera ( )

̅ 0

1

̇

, ( ) -[ ̇

̇

]

33

( )

, ( )-

, ( )-

34

2.6. Mecanismo de biela corredera.

Donde:

Figura 19 Biela corredera.

2.6.1.Método Gráfico 2.6.1.1.

Análisis de posición.

Se debe medir las magnitudes de forma directa, y establecer los sentidos de los vectores de posición y velocidad, basándonos en la ecuación vectorial de que se trate:

2.6.1.2.

Análisis de Velocidad. Se calcula la magnitud de la velocidad del punto A. ( )( ) Considerando que es paralela a eje de las x y que es perpendicular a , podemos terminar de construir el polígono de velocidades y procedemos a tomar medidas.

Figura 20 Polígono de velocidades.

2.6.2. Método Analítico.

35

2.6.2.1.

Análisis de Posición.

Planteamos la ecuación de lazo | | | |

2.6.2.2.

.

( )(

(

)

(

),

)

(

√

)-

3636

Análisis de Velocidad. ( )( (

)(

),

(

)(

)

√

(

( (

√

) )-

)

,

(

)

(

(

)

)-

)

Figura 21 Análisis de velocidad, método analítico.

CLASE #10 (17/FEBRERO/2012)

2.6.3. Método Álgebra compleja.

2.6.3.1.

Análisis de Posición.

Cinemática Directa Definimos las bases:

Figura 22 Definición de bases.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

36

(

)

(

)

Cinemática Inversa

Sea: ( (

) )

Definir las bases ( (

) )

Figura 23 Definición de bases, Cinemática inversa.

| | | |

| |*( | |*(

) ( ) (

)+ )+

+

| |* | |*

+

Por la ecuación de lazo.

Formando un sistema de ecuaciones. | |( | |(

2.6.3.2.

) )

| |( | |(

) )

Análisis de Velocidad.

Cinemática Directa , , * ,

+ -

,

-

Donde: | | ( | | (

) )

37

2.6.4. Método Matricial.

2.6.4.1.

Análisis de Posición

( (

) )

( ) ( )

Figura 24 Biela corredera, método matricial.

2.6.4.2.

Análisis de Velocidad

Derivamos las ecuaciones (1) y (2) ̇

̇ ̇

̇ ̇ [ ] ̇

̇ ̇

̇

0

1[ ̇ 1[ ] ̇

0 ̇ [ ] ̇

̇0

̇ ̇

̇[ 1

] ]

[

]

̇ [

̇

]

[ ̇

]

[ ̇] [

]

[

]

38

CLASE #11 (20/FEBRERO/2012)

2.7. Mecanismo de 4 barras. 2.7.1. Método Matricial. 2.7.1.1.

Análisis de Posición. Construimos la ecuación de lazo.

(

Siendo las incógnitas

)

.

Figura 25 Mecanismo de 4 barras.

2.7.1.2.

Análisis de Velocidad. ̇ ̇ [

]0

1

[

]

Solución: 0

1

[

]

[

]

Figura 26 Mecanismo de 4 barras. El eslabón 1 paralelo al eje de las x.

39

[

]

[

]

(

)

[

][

,-

]

(

)

Teniendo como datos:

Sustituyendo: (

( (

) tierra fija. ,

) )

,

-

2.7.2. Método de Álgebra Compleja. 2.7.2.1.

Análisis de Posición.

Cinemática Directa.

Por la ecuación de lazo: (

)

Construyendo las bases: ( ( (

( ( ( *

) ( ) ( ) (

) ) )

) ) ) +

Figura 27 Mecanismo de cuatro barras. Método de álgebra compleja.

Se separan los componentes

40

Figura 28 Definición de bases para cinemática directa.

Cinemática Inversa.

Definir las bases: ( ( (

) ( ) ( ) (

*

) ( ) ( ) (

) ( ) ) ( ) ) ( )

+

Por la ecuación de lazo: (

)

Figura 29 Definición de las bases, cinemática inversa.

Teniendo como incógnitas:

2.7.2.2.

Análisis de Velocidad.

Cinemática Directa Ecuación de lazo de la velocidad:

41

Número dual:

*

+ ,

Número dual:

Número dual:

*

*

-

(

) (

)

(

)

+ ,

-

(

) (

)

(

)

,

-

(

) (

)

(

)

+

Donde las incógnitas son:

42

CLASE #12 (22/FEBRERO/2012)

2.8. Aceleración En la Figura se observa primero un punto m vil en la ubicación P en donde tiene una velocidad . Después de un breve intervalo de tiempo , se observa que el punto se ha desplazado siguiendo cierta trayectoria hasta la nueva ubicación P’ y que su velocidad ha cambiado a , que puede diferir de tanto en magnitud como en dirección.

La aceleración promedio del punto P durante el intervalo es . La aceleración instantánea del punto P se define como la rapidez de cambio de su velocidad respecto al tiempo, es decir, el límite de la aceleración promedio para el intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño.

Figura 30 Sistema de coordenadas normal y tangencial de la aceleración

El vector aceleración se define apropiadamente sólo para un punto; no aplicable a una recta, sistema de coordenadas, volumen o cualquier otra colección de puntos.

2.8.1. Método Gráfico

La relación vectorial de la aceleración parte de la ecuación vectorial de la aceleración:

En componentes cartesianas (coordenadas cartesianas X-Y)

Para el movimiento circular en el método gráfico, sabemos que este Figura 31 Vector de aceleración, referenciado en el sistema de coordenadas inercial en el punto B.

tipo de problemas de composición de velocidad:

Sin embargo, para el tipo de mecanismo de contacto deslizante, se le agrega un termino denominado aceleración de Coriolis 2.

La aceleración de coriolis es una aceleración que nace del movimiento relativo de los eslabones, es decir una fuerza interna que aparece debido a la interacción interna de los eslabones. Esta aceleración se representa como: Figura 32 Componentes radial ( ) y tangencial ( ) de la aceleración en un movimiento circular.

Donde:

Nota: La velocidad relativa se da entre puntos y la diferencia de velocidad se da entre eslabones. Por lo anterior podemos decir que: Para mecanismos donde no existe contacto deslizante se utiliza [Newton] Para mecanismos que utilizan o tienen contacto deslizante se utiliza [Coriolis]

2.8.2. Método Analítico Sea:

Entonces:

̇ Donde: ̇

Figura 33 Componentes normal y tangencial en una trayectoria S. 2

Gaspard Gustove de Coriolis. (1792-1843). Ingeniero

francés.Especializado en ingeniería de obras públicas, cursó también los estudios de física y matemática. Fue profesor en la Escuela Politécnica de París y miembro de la Academia de Ciencias. En sus trabajos sobre el movimiento relativo evidenció la influencia del movimiento rotatorio de la Tierra.

En componentes cartesianas X-Y: ̇(

)

̇

(

)

̇

Reacomodando en una matriz tenemos: [ ]

0

10

̇

1

Matriz de rotación: (

)

‖ ‖

0

1

Despejando: 0

Ahora derivamos

̇

1

0

1

[ ]

respecto al tiempo:

̇ ̈ ( ̈

)

(

̇)

Donde existen dos componentes del “vector” de aceleración ̈

Y además ̇

Figura 34 Componentes de aceleración de Coriolis en una trayectoria S.

Para comprender lo anterior: ( ̈

)(

)( )

(

)

(

̇ )(

)

Reacomodando: ( ̈ ( ̈ Además

)

( ̇)

̇ )( ,( ̈

) )

(

del mecanismo no es constante.

Figura 35 Representación gráfica del producto cruz.

̇)

-

CLASE #13 (24/FEBRERO/2012)

2.8.3. Método analítico contacto deslizante.

Recordando que un mecanismo con contacto deslizante, la ecuación de aceleración total es: ( ̈ Observando que ̈ Mientras que

)

(

̇)

̇ son medidas en el marco (

)

son medidas desde (x,y), es decir,

velocidad en ̈

inducen la

̇ en el eslab n “A”

Figura 36 Ejemplo: mecanismo de una barra y una corredera

2.8.4. Método Analítico para un mecanismo de biela corredera.

Como caso particular se plantearon las ecuaciones de aceleración sin pérdida de generalidad: Análisis de Posición.

, Ec. De restricción de cinemática

Figura 37 Mecanismo de biela corredera.

Análisis de Velocidad Si

, -

,

-

Vector

[ ̇] [ ̈]

[ ̇ ̇] , ̈ ̈-

incógnitas

, -

, -

, -[ ̇ ]

̇[

, -

]

Comprobación:

, -

, -

], -

[

0

̇ [ ] ̇ ̇

0

̇ [ ] ̇

1

1[

]

[ ̇]

̇, -

̇, -

Construyendo la ecuación de velocidad:

0

̇ 1[ ] ̇

̇[

]

*Resolviendo Analíticamente De [

]

Análisis de Aceleración Caso 1 , -

, -

Caso 2 , ( )Para el caso 2 Calculando la aceleración [ ̈]

̈, ̇

, -

[ ̈]

̈, ̇

, -

Para un sistema de contacto deslizantes la aceleración se encuentra enseguida en la [ ̈ ].

CLASE #18 (5/MARZO/2012)

2.9. Análisis del mecanismo de colisa invertida.

Figura 38 Mecanismo de colisa invertida.

2.9.1. Método Algebra Compleja

2.9.1.1.

Análisis de posición.

,

-

,

Sean las bases ( (

2.9.1.2.

) )

Análisis de velocidad.

* *

+ +

-

,

,

2.9.1.3.

-

Análisis de aceleración.

* *

+ + ,

,

-

Respondiendo:

̇ ̇ ̇ ̇ ̇

̈

̈ ̈

̈ Representando en forma matricial se tiene: ̇ 6 ̇7

0

1[

̇ ̈

]

Ejemplo 2.9.1. Plantear la ecuación de aceleración para un mecanismo de contacto deslizante:

Datos:

Figura 39 Mecanismo de colisa invertida (bases)

Donde las incógnitas son:

̇ ̈ Calculamos

sistema (

) *

+ ,

-

Posición debe ser consistente (las variables y parámetros están relacionadas) |

|

|

|

Donde: *

+ ,

-

Y además: | |

| | ̇

(

|

|

|

|

̇= ,

)

̇

|

CLASE #19 (6/MARZO/2012)

Datos:

Figura 40 Mecanismo de colisa invertida.

2.9.2. Método grafico.

2.9.2.1.

Análisis de posición. √ ( )

2.9.2.2.

Análisis de velocidad.

Para este tipo de mecanismo se utilizara la siguiente ecuación de lazo:

Hacemos un análisis de lo que conocemos y lo que no (Dirección y magnitud de cada eslabón). Trazamos el vector de velocidad y tomamos medidas.

Figura 41 Polígono de velocidades.

( )(

2.9.2.3.

)

Análisis de aceleración

Para la aceleración aplicamos una metodología igual a la de la velocidad. Sabemos que la ecuación Vectorial de la Aceleración es:

Incógnitas: ̈ Ecuación de lazo en la que nos Figura 42 Polígono de aceleraciones.

basaremos, ya que conocemos la información de

Para el metodo gráfico necesitamos construir el polígono de aceleraciones, pero primero necesitamos conocer la aceleración total.

Es importante saber, que cuando representamos la aceleración total en dos componentes (normal y tangencial), cada uno define un cambio. Cambio de dirección de la velocidad (componente normal de la aceleración). es el cambio de magnitud de la Figura 43 Componente radial y tangencial de la aceleración.

velocidad (componente tangencial de la aceleración.

Por lo tanto: (

)( )

(

) (

)

No podemos determinarla porque

es una incognita.

Conocemos la aceleración de Coriolis 3 ya que esta siempre va a estar en términos de su velocidad angular. Si ésta varia entonces existe una aceleración de Coriolis. La aceleración de Coriolis no es constante.

Tomando medidas de los vectores obtenidos:

Figura 44 Polígono de aceleraciones del lazo I, incluyendo los componentes normal y tangencial, y la aceleración de Coriolis

Nota: La aceleración de Coriolis tiene un valor máximo (esto ocurre cuando el termino diferencia de velocidades es máximo) y mínimo. Al momento de diseñar un mecanismo

tenemos que tomar en cuenta su valor máximo. 3

Gaspard Gustove de Coriolis. (1792-1843).

Ingeniero francés. Especializado en ingeniería de

obras públicas, cursó también los estudios de física y matemática. Fue profesor en la Escuela Politécnica de París y miembro de la Academia de Ciencias. En sus trabajos sobre el movimiento relativo evidenció la influencia del movimiento rotatorio de la Tierra.

2.9.3. Método Matricial.

Para este método vamos a analizar dos casos. Caso I (derivar función respecto al tiempo) , - ,

,

Caso II , ̈-

̈,

-

, -

,

, ̇

-

f compuesta por dos funciones. -

Es importante definir los vectores. Ecuación de Lazo

, -

)

No podemos resolver Velocidad y Aceleración si antes no resolvemos Posición.

Figura 45 Vectores de posición.

2.9.3.1.

(

Análisis de velocidad.

Partimos de la siguiente ecuación: , -[ ̇ ] ,

̇ -

̇

[ ̇

̇ ]

̈

[ ̈

̈ ]

Construimos el Jacobiano4

, -

[

]

Jacobiano=Restricción Geométrica (trayectorias). El Jacobiano es una trasformación lineal que varia con respecto a la posición, es decir, no es constante. Relaciona la velocidad física de una partícula que se mueve a través de una trayectoria con la velocidad generalizada y plantea la restricción geométrica del movimiento de una partícula, le quita grados de libertad.

Figura 46 Dirección tangencial de la velocidad que tiene una partícula a lo largo de la trayectoria S.

Velocidad Generalizada ̇ ( )

, -

[

]

[

]

[

]

̇ 1,

0 [

-

]

̇ ̇

0

1

[ ̇]

Sacamos el determinante del Jacobiano: , Y su inversa: , -

[

]0

1

Karl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). Matemático Alemán. Cursó estudios en la Universidad de Berlin. Obtuvo su Doctorado en 1825 y ejerció como profesor de matemáticas en la Universidad de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia). Estableció con Abel la Teoría de las funciones Elípticas. Demostró la solución de integrales elípticas mediante la aplicación de las funciones, series exponenciales introducidas por él mismo. Desarrolló los determinantes funcionales, que más tarde fueron llamados jacobianos, y las ecuaciones diferenciales. En 1834 probó que si una función univaluada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los periodos es imaginaria. 4

,

-

[

]

,

(

)

,

(

2.9.3.2.

)

Análisis de aceleración.

̈

[

( ]

̈[

(

) (

[

̈

(

) )]

(

)

̈[

(

) )]

(

(

(

(

(

)

( ]

, ̇

)

)

,

-

(

)

)[

)

)[

]

(

)

]

CLASE #20 (8/MARZO/2012)

2.9.4. Método Matricial.

Caso II Encontrados Coeficientes de velocidad ̇

( )

̇ ̇

( )

̇

(

)

(

)

Calculamos la velocidad: ̇

Figura 47 Definición de velocidades y aceleraciones angulares en el mecanismo de Colisa invertida

2.9.4.1.

̇

̇

Análisis de velocidad.

, ̈-

,

-

,

-

,

(Ecuación de la aceleración) -

,

-

Podemos reescribir la ecuación de la aceleración como: , ̈-

̈,

-

,

-

Calculamos: ( )

(

0

)1

variable (

Simplificando:

)[

(

) ]

(

)

̇

),

(

,

),

(

),

(

),

(

-

-

(

-

(

)-

(

)

)

(

)

(

-

)

(

)

(

)

(

),

(

)

Pasamos a la forma matricial: (

[ ̈]

̈[

) )]

(

[

-

(

) ]

Y de esta forma sacamos la aceleración. Para calcular la aceleración del punto C:

2.9.4.2.

Análisis de posición

| |

| |

Nota: Recordemos que el método matricial trabaja con componentes. Ecuación de lazo II (

)

|

|

|

| |

| |

Figura 48 Mecanismo de colisa invertida. Definición de lazos.

|

̇

̇ ̇

̇

̇

̇ ̇

,

-

*

̇

+ *

*

+

+

(

)

̇ ̇

̇

̇ Depende de ̇ ̇ ̇

̇

Para la aceleración derivamos la velocidad del punto c: ̈ ̈ 0

1

̈ [

̇ ̇ ̇

]

̇ ̇ [

̈ ̇

̇ ̇ ̈

]

̇

̈

̇ ̇ [

̇

̇ ]

̇ ̇ [

̈

̇ ]

̇

[

̈ ]

̇ 0

1

Al calcular la aceleración del punto C, aparece la aceleración de Coriolis. Ya que con respecto al eje de giro ( ): varia en magnitud y en ángulo.

CLASE #21 (12/MARZO/2012)

2.10.

Análisis del mecanismo de colisa.

2.10.1. Método matricial.

CASO I

Lazo 1 Ecuación De lazo 1 (

)

̇

Figura 49 Mecanismo de colisa. Definición de lazos.

̇ ̇

̇ ̇

̇ ̇

̇

̈

̇

̈

̇ ̇

̇

̇

̈

̈

̇

̈ ̈

̇ ̇

̇ ̇

̇

̈

̈

̈ [

[

]

̇

[

]

] ̇ ̇ [

]

̈ [

]

̇

[

]

̇ [

]

Para el punto

2.10.1.1.

Análisis de posición.

(

) (

) ̇

) ̇

( ̇

(

) (

)

(

)

(

) ̇

̈

) ̈

(

(

)

)

+

) ̈

(

( ;

2.10.2. Método analítico.

2.10.2.1.

Análisis de posición.

Ecuación de lazo I (

*

+

)

( ̇

Ecuación de acoplo entre lazos

*

) ̇

) ̈

(

) ̇

( ̇

( ̈

(

) ̇

)

) ̇

(

) ̇

)

)

) ̈

(

(

(

( ̇

( ) ̇

(

̇

) ̇

(

̇

) ) ̇

(

(

(

)

) ̇

Ecuación de lazo II (

2.10.2.2.

)

Análisis de velocidad.

Lazo I

̇

̈

Lazo II ( ;

) (

)

2.10.3. Método de Álgebra compleja.

*

+ ,

*

-

̈

̇+ ,

Figura 50 Tipos de trayectorias con su representación en algebra compleja.

CLASE #22 (13/MARZO/2012)

2.11.

Análisis del mecanismo de cuatro barras.

Datos: ;

Figura 51 Mecanismo de cuatro barras. Lazo I.

2.11.1. Método gráfico 2.11.1.1.

Análisis de posición.

Ecuación de la posición *

+

Calcular

2.11.1.2.

Análisis de velocidad.

Ecuación de lazo Velocidad * Calcular

+

Figura 52 Polígono de velocidades

2.11.1.3.

Análisis de aceleración.

*

+

Datos

Una vez construyendo el Polígono de Aceleraciones: Calcular

Figura 53 Componentes normal y tangencial del punto C.

2.11.2. Método Analítico

2.11.2.1.

Análisis de posición.

Ecuación de Lazo *

+

Encontrar

2.11.2.2.

Análisis de velocidad *

Encontrar Caso I

Encontrar Caso II

, -[ ̇ ]

̇

2.11.2.3.

̇

,

-

[ ̇

̇ ]

Análisis de aceleración.

Debido a que se trata de movimiento Circular:

+

*

+

Caso I

Encontrar Caso II , ̈-

̈,

-

[ ̇]

̇,

-

̇

,

-

2.11.3. Método de Álgebra compleja.

2.11.3.1.

Análisis de posición.

(

)

(

)

(

) *

+ *

Encontrar

Figura 54 Definición de bases.

2.11.3.2.

Análisis de velocidad.

* ,

-

*

,

-

,

-

+ *

*

+ +

+

+

Encontrar

2.11.3.3.

Análisis de aceleración.

* *

+ ,

*

+

-

+ ,

*

-

+ ,

-

CLASE #23 (15/MARZO/2012)

3. PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL

El trabajo realizado por las fuerzas y pares e ternos es proporcional al desplazamiento “virtual” de los puntos de aplicación de las fuerzas y/o pares externos. Por definición: ∫

Funci n producto punto o producto “interno” Sabemos que:

| ||

Figura 55 Proyección del vector F sobre el vector dS.

|

| |

|

|

Necesitamos enunciar lo siguiente ∑ Donde:

∑

, -

virtual

real ( )

Variable generalizada

Desplazamiento consistente depende de las restricciones geométricas de sistema y está en función de “q” (variable generalizada)

¿Qué fuerza

, necesito para lograr el equilibrio, dado como dato ∑

?

∑

Trabajo virtual: Es un numero / fuerza que genera el desplazamiento de un punto Una aplicación de la ecuación 1 es el equilibrio estático ∑

Es de vital importancia entender que el desplazamiento virtual

Ejemplo 3.1. Encontrar la magnitud de la fuerza

, dado como dato, la magnitud

Nota: Se considera que las fuerzas internas (reacción) no generan trabajo virtual ***working model*** Gravity off G= 9.8066

Figura 56 Ejercicio de trabajo virtual.

M= 1kg

Si quiero equilibrar el sistema con las fuerzas y momentos externos

CLASE #24 (20/MARZO/2012)

3.1. Trabajo virtual

Se genera por las fuerzas y los torques externos al sistema Reacciones: No generan trabajo ni la fricción consistente

Entonces el trabajo también es virtual

Equilibrio

Figura 57 Desplazamiento virtual de un eslabón debido a la acción de la fuerza Fi

Ejemplo 3.2. Calcular para lograr el equilibrio estático bajo las fuerzas aplicadas al sistema N

Sabemos que solo contamos con una sola ecuación por lo tanto, solo podemos declarar una sola incógnita (escalar) Enfoque

Escalar - La Grange Vectorial - Newton

Figura 58 Característica de congelación del tiempo en el método de trabajo virtual.

1. Puntos de aplicación de las fuerzas en x y y

Figura 59 Definición de las fuerzas que actúan en el mecanismo de biela-corredera.

2.

3.

obtener desplazamientos virtuales

Construir vectores

* *

4.

(

)

(

)

(

)

+ +

Aplicando la ecuación de trabajo virtual

Figura 60 Diagrama de los desplazamientos virtuales que tiene los centros de masa de los eslabones

∑

| || | *

+ 2

3 *

+

*

+ {

*

}

+

Figura 61 Componentes cartesianas del desplazamiento virtual

Nota: Donde c No importa Con gravedad

*

+

CLASE #25 (22/MARZO/2012)

Supongamos que queremos encontrar la fuerza F, que mantiene el equilibrio estático del sistema dado como datos .

̇ ̇ ̇ ̇ , -

) ̇

̇ ̇ ̇ ̇ ∑(

)

]

)

)

̇

[

∑(

Sustituir:

̇

, -

principio

mecanismo de biela-Corredera.

∑(

]

Partiendo del trabajo virtual Figura 62 Definición de las velocidades angulares en el

∑(

[

de

∑(

̇

̇

̇

̇ ̇

̇ ̇

̇)

̇

∑(

) ̇ ̇

[]

Fuerza generalizada Fuerza generalizada es el conjunto de todos los pares externos aplicados a puntos materiales del sistema Para encontrar F

Figura 63 Definición de los desplazamientos virtuales que posee el mecanismo de Biela-Corredera por acción de la fuerza F y el momento M

Se necesita conocer la posición A y x [

Agregando la gravedad

]

Para incluir la gravedad

CLASE #26 (26/MARZO/2012)

3.2. MODELO DINAMICO

Plantearemos las ecuaciones para obtener el modelo dinámico de mecanismos de 1 GDL recordando la ecuación fundamental de la dinámica. ( ) ̈ ̇

[]

Fuerzas externas que dependen del tiempo, amortiguadores, friccion, dashpot Donde: =Fuerzas generalizadas no conservativas ( )=Inercia generalizada que se refiere a la inercia total del sistema ( )= La derivada de

( )respecto q total

=Energia potencial del sistema, recordando que

Trabajo

Lo importante es obtener la “Inercia generalizada” pero para ello, plantearemos la siguiente metodología 1) Calculamos los coeficientes , - y sus derivadas , - partiendo de la cinemática del mecanismo 2) Calcular los coeficientes de velocidad de los centros de gravedad de todos los eslabones partiendo del análisis cinemático del mecanismo 3) Calcular la energía cinética total del sistema *Partir de la primera ley de la termodinámica El trabajo interno generado sobre un sistema es igual al cambio de la energía cinética del sistema.

Considerando: ̇ ∑(

Fuerza generalizada

Coeficientes de velocidad lineal

Coeficientes de velocidad anular

( ̇ [

̇ )

( ̇

̇ )

]

Si uso los coeficientes de velocidad ̇

̇

̇

̇ ̇

Reescribiendo T ,

0( ̇

)

( ̇

[ (

Inercia de un cuerpo rígido

(

) 1 )

)

] ̇

( ) considerando ( ) ( ) ̇ ( )

( )

̇ ̈

̇ ̇

*La inercia depende de la posición ( )

( ) ̇ ̈

̇

( )

( ) ̇ ̈

( ) ̈

̇ ̇

̇ ̇

̇

( )

( ) ̈ ̇

Ecuación fundamental de la dinámica

[]

3.2.1. Teorema de Steiner5

( )

∑

Figura 64 Definición de las fuerzas y momentos en una barra con un extremo fijo

2° ley de Newton Cuando

( ) ∑

̈

La grange

(

( ̇

̇

)

̇ )

̇

a)

Jakob Steiner (1796 - 1863) Matemático suizo. Realizó preferentemente estudios sobre geometría proyectiva utilizando métodos sintéticos (independientes de las coordenadas). Fue profesor honoris causa de la Universidad de Königsberg y catedrático de la Universidad de Berlín. 5

̇ ̇

̇

̇ ̇ ̇ ̇ ̇

̇

Figura 65 Valor negativo del ángulo A por medirse en sentido horario.

̇

̇ ̇

(

)

(

).

( ̇ ,

/

) (

)

̇ - ̇

CLASE #27 (28/MARZO/2012)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

La energía potencial ∑,

(

( ) ̈

̈

)

̇

̇

En la dinámica es fundamental encontrar las velocidades y la energía cinética de los centros de gravedad de cada eslabón. 

Los centros de gravedad [Posición] [Velocidad] Coeficientes de velocidad Derivadas de los coeficientes [L] [Energía cinética]

Figura 66 Diferentes configuraciones de la corredera.

,

- ̇ ̇

,

(

)

- ̇

,

(

)

- ̇ ̇

( )

(

)

Inercia generalizada propiedades depende q ( )

,

( (

) )

(

)-

CLASE #28 (29/MARZO/2012)

3.3. MODELO DINÁMICO (Colisa)

Plantear la ecuación dinámica del mecanismo de colisa, mostrado en la figura. Sabemos

que:

,

-

(Sabiendo

que ̇

A ̇

̇ ̇ ̇ , -

Estos coeficientes provienen de:

y

B

(

)

(

)

son

nuestras

0 1

Datos:

Figura 67 Mecanismo de colisa invertida.

Por la metodología, necesitamos calcular la derivada de (

(

)

)[

]

(

)

(

)

(

)

incognitas)

(

)

(

)

( Se remplaza: 2

(

)[

)

]

3 (

Ahora nos interesa calcular la inercia generalizada

-

), ( )

( ) ̈ ̇

Calculamos la inercia de la barra 1 (clase 28):

( ) Por el teorema de los Ejes paralelos. Para la barra 2: El momento de inercia de la barra 2 depende de ̇ . Por lo tanto no podemos plantearla de esta manera: ( )

Para determinar la inercia de la barra 2, debemos seguir la siguiente metodología: Se calcula la posición 2 en x y en y.

Figura 68 La barra 1 tiene un momento (M) y una velocidad angular.

Este sistema de coordenadas gira y esta acelerado. Por lo tanto para poder sumar la posición del punto B referido al sistema de coordenadas fijo , es necesario rotar el sistema de coordenadas (orientarlo) para poderlo sumar con el de xy.

0 1

0 1

0

1[

]

Por lo tanto:

Derivamos con respecto al tiempo para sacar la velocidad: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Nos interesa sacar la inercia en términos de los coeficientes, por lo tanto: ̇ ̇ Sustituimos ̇ : ̇ ̇

Figura 69 Todos los sistemas de coordenadas fijos van pegados al eslabón.

( ̇ ) ( ̇ )

( ̇ ) ( ̇ )

Formamos los coeficientes: ̇

( ̇ ̇

( ̇

Derivamos

los

coeficientes

con

) )

respecto

(

de )

(

q

y

sabiendo

(

)

que

) )

(

Ahora determinaremos la inercia generalizada a partir de la energía cinética del sistema, entonces:

Partiendo de la energía cinética del eslabón 2: ( ̇

̇

̇ )

Siendo ̇ la velocidad angular de la barra 2. )

0( ̇ [

( [

( )

( ̇

( ̇

) 1 ( ̇

)

(

) (

) ] ] ̇

)

Calculamos la derivada de la inercia generalizada con respecto de q. [

( )]

)

:

La derivada de la inercia con respecto al eje de giro del primer eslabón es 0. [

(

)

(

]

)

Ahora calcularemos la energía potencial del sistema. Por definición sabemos que:

A depende de q, el ángulo q controla al ángulo A.

( )

( )

( )

( )

La fuerza generalizada: ∑

∑

La potencia en términos de los coeficientes de velocidad. ∑( De manera simplificada obtenemos:

) ̇

̇

Figura 70 Obtención de la energía potencial del sistema.

Donde Q es la fuerza generalizada. En este caso sabemos que es necesario encontrar una fuerza dado un momento para equilibrar el sistema. (encontramos la fuerza generalizada aplicando el principio de trabajo virtual). = Fuerzas no conservativas del sistema. Son todas las fuerzas externas fisicas (cuerpo en contacto con otro cuerpo). Y la obtenemos en terminos de los coefientes de velocidad. De las fuerzas conservativas solo necesitamos la energía potencial. Cuando las fuerzas conservativas no se trabaja directamente con esta, sino que obtenemos su energía potencial. ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

CLASE #29 (9/ABRIL/2012)

3.4. Cálculo de Reacciones en Pares Cinemáticos.

Hay una metodología para representar las reacciones, que son las fuerzas internas que se generan en los pares cinemáticos (los elementos de unión) básicamente. Y esta metodología está basada en las ecuaciones de movimiento de newton. Tenemos ciertas herramientas para plantear las ecuaciones, una de ellas es el diagrama de cuerpo libre. Para poder utilizar la metodología de Newton necesitamos el conocimiento completo de la cinemática del mecanismo, ya que una vez que se conocen las aceleraciones de los centros de masa, las incógnitas son los componentes de las reacciones. Luego es posible aplicar las ecuaciones de movimiento (Newton). ∑ Fuerzas de Inercia D’Alambert * ∑ Pares de Inercia D’Alambert* Donde: = es el momento de inercia del eslabon irespecto al centro de masa ,

-

=es el vector de aceleración lineal del centro de masa del eslabón i 0 1 = es la aceleración angular del eslabon i 0

1

Nota: Planteamos una convención de notación para las fuerzas Denotada la fuerza ejercida por el eslabón i, sobre el eslabón j. D’Alambert6 propone una metodología diferente a la de Newton, en el cual plantea un sistema dinámico como un sistema estático al restar el término de fuerzas y pares de inercia a las sumatorias de fuerzas y momentos respectivamente, ambas metodologías llegan a los mismos resultados, en este caso nosotros utilizaremos la metodología de Newton.

6

Jean Le Roud D'Alembert (1717-1783). Científico y pensador francés (París, 1717-1783). Sus investigaciones en matemáticas, física y astronomía le llevaron a formar parte de la Academia de Ciencias con sólo 25 años; y resultaron de tal relevancia que aún conservan su nombre un principio de física que relaciona la estática con la dinámica y un criterio de convergencia de series matemáticas. En su obra Tratado de Dinámica (1743), enuncia su conocido Principio de D'Alembert.

Figura 71. Obtención del DCL del eslabón 2.

Donde

, es el par subministrado desde la bancada (el eslabón 1) al eslabón 2

3.4.1. D.C.L

De la Figura 72 se Tiene: La aceleración g genera una fuerza a la barra la cual es conocida como peso. En la metodología de Newton se fija un Sistema de Coordenadas en el centro de masa del eslabón y es paralelo al Sistema de Coordenadas mundo (xy), Nota: EL torque y las fuerzas externas hacen que la barra 2 tenga una velocidad y una aceleración angular dada, en otras palabras, si no existieran dichas fuerzas sobre la barra, la barra estaría en equilibrio y su aceleración del Cm sería 0.

Figura 72 Diagrama de cuerpo libre de una barra sometida a una fuerza F y su peso.

3.4.2. Vectores de Posición.

, es un vector que apunta al punto de aplicación de la fuerza de reacción, inicia en el centro de masa del eslabón 2, para definirlo se necesita el ángulo que tiene respecto al sistema de referencia del centro de masa. 

Aplicando las Ecuaciones e Movimiento D.C.L.

Sumatoria de fuerzas en forma vectorial:

∑

( )

∑

( )

La sumatoria de momentos puede ser hecha en cualquier punto de la barra, sin embargo, conviene hacerla en el centro de masa para reducir el número de componentes. ∑ Explicitando: ( )

∑

Score [3 X 3] (3 ecuaciones y 3 incógnitas) Se puede reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial, el cual nos proporciona mayor orden en el planteamiento del problema y nos permite hallar rápidamente la solución del sistema.

Forma matricial del sistema de ecuaciones.

[

]

[

Matriz de parámetros geométricos

]

[

] )

(

Incógnitas Matriz de parámetros dinámicos

Solución:

Para resolver el sistema de ecuaciones lo único que falta es conocer la magnitud de los vectores de posición: [Posición] (

)

(

)

( ) ( )

CLASE #29 (10/ABRIL/2012)

El torque genera una condición cinemática, en ese instante el mecanismo se mueve. Tomamos ciertas consideraciones como caso particular para resolver el problema, cuando el coeficiente de fricción cinético dinámico es cero. Esta metodología de estudio evita cometer errores, plantea para este tipo de problemas 3 pasos. Figura 73 Mecanismo de biela corredera. Con una fuerza externa Px.

Ejercicio 3.4.2. Datos:

,

-

,

-

Calcular Necesario para generar una aceleración Consideraciones:

a la manivela.

.

“Stiction” (Static and Friction)

1.

Encontrar las aceleraciones lineales de todos los centros de gravedad de los eslabones que se están moviendo en el mecanismo, utilizando el método analítico, el método de algebra compleja, el método grafico o el método matricial.

En este caso utilizaremos el método analítico. Sabemos que la aceleración depende de la velocidad angular y sus aceleraciones angulares. La aceleración de la barra flotante es la suma de la aceleración del punto A mas la relativa del punto respecto a A. La fricción depende del signo de la velocidad, no de la magnitud de la velocidad.

( )

( )

Por estas consideraciones se originan discontinuidades en la magnitud de la fricción. Cuando la velocidad es igual a cero la fricción dinámica se anula, y la fricción estática es la que ahora se considera. Por lo tanto solo consideraremos la fricción dinámica cuando el mecanismo se encuentre en movimiento.

(

) (

)

Calcular la aceleración ⁄

(

) (

⁄

(

) )

Cuando se trabaja con Fricción es necesario conocer la velocidad de posición. 2. Describir el diagrama de cuerpo libre y los vectores de posición en los puntos de aplicación de las fuerzas.

3. De acuerdo a los Figura 74 Diagrama de cuerpo libre del eslabón 1 y 2.

diagrama de cuerpo libre aplicar las ecuaciones de movimiento de Newton.

Figura 75 Diagrama de cuerpo libre del eslabón 3.

Nota: Cuando se genera un desequilibrio dinámico se acelera el sistema. Se plantean ecuaciones auxiliares que permitan eliminar incógnitas por medio de la tercera ley de Newton. ∑

( )

∑

( )

∑ Explicitando:

( )

∑

SCORE: 3 Ecuaciones, 5 Incógnitas (

)

Ecuaciones Auxiliares debido a que necesitamos 2 Ecu. ( )

( )

∑ ∑

( ) ∑

∑

( )

∑ ∑

SCORE:[6 X7] : 6 Ecuaciones, 7 Incógnitas

( )

( )

CLASE #30 (13/ABRIL/2012)

DATOS: ,

-

,

-

Figura 76 Mecanismo de biela corredera con una fuerza Px.

Nota: Las aceleraciones y velocidades angulares son 0 lo que indica que el mecanismo comienza a funcionar desde un estado de apagado.

Determinar las reacciones de las juntas y el par necesario para generar las aceleraciones especificadas. Metodología de Estudio 1) Calculo de las aceleraciones de los centros de masa. Encontrar:

(

) (

Calcular la aceleración

)

⁄

(

) (

⁄

(

) )

2) D.C.L. y definición de los vectores posición de los puntos de aplicación de las fuerzas (internas y externas)

Nota: Es conveniente medir el ángulo de los vectores de posición de manera positiva desde el centro de coordenadas móvil, esto permite reducir la probabilidad de errores en el momento de hacer el cómputo de los cálculos.

Figura 77 Diagrama del cuerpo libre del eslabón 2

Figura 78 Diagrama de cuerpo libre del eslabón 3.

Figura 79 Diagrama del cuerpo libre de la corredera (eslabón 4).

3) Aplicar las ecuaciones de Newton en su forma escalar. ∑

( )

∑

( )

∑ ( )

∑

SCORE: 3 Ecuaciones, 5 Incógnitas (

). [Sistema Incompatible]

∑ ∑ ∑ ∑

SCORE: 6 Ecuaciones, 9 Incógnitas (

). [Sistema Incompatible]

Necesitamos entonces ecuaciones auxiliares que nos permitan reducir el número de incógnitas, estas surgen al aplicar la sobre las reacciones del mecanismo: (

)

(

)

Reescribiendo las ecuaciones anteriores y sustituyendo Ecu. (7) y (8)

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )

SCORE: 6 Ecuaciones, 7 Incógnitas (

) [Sistema Incompatible]

Eslabón 4 ∑

( ) ∑

(

)

Como tenemos más incógnitas que ecuaciones hacemos uso de la ecuación auxiliar (Fricción). (

)

(

)

(

)

Sustituyendo las ecuaciones (11), (12), (13) en las ecuaciones anteriores tenemos: ∑ ∑

(

)

(

)

Finalmente conseguimos un SCORE: 8 Ecuaciones, 8 Incógnitas , el cual es expresado en su forma Figura 80 Fuerzas externas e internas que actúan en la corredera.

[

matricial para resolverlo, esto debido a que es un sistema de ecuaciones lineal .

][ Matriz de parámetros geométricos

]

Incógnitas

[

] Matriz de parámetros dinámicos

RESULTADOS MATHEMATICA

[

, , , , , , , , -]

[

]

RESULTADOS WM2D

[

]

[

, , , , , , , , -]

CLASE #31 (18/ABRIL/2012)

Implementación de un resorte y un amortiguador en un mecanismo Biela-Manivela-Corredera

Para incluir, un resorte y un amortiguador matemáticamente es necesario haber planteado el modelo dinámico, basado en la ecuación fundamental de la dinámica, es decir: ( ) ̈

̇̇

Nota: e, es la longitud natural del resorte.

Figura 81 Mecanismo de biela manivela con resorte y amortiguador.

Los datos del mecanismo son:

( ) ,

-

Es el momento de Inercia del eslabón referido al eje de giro O. ,

-

Es el momento de Inercia del eslabón 2, referido a su centro de masa. Recordando el Análisis Dinámico: [POSICION] (

[COEFICIENTES DE VELOCIDAD]

)

[DERIVADA DE LOS COEFICIENTES] (

)

Ahora bien, recordemos que para realizar un análisis dinámico, es necesario obtener los coeficientes de velocidad de los centros de masa de cada eslabón.

Posición del centro de masa del eslabón 2 referido al sistema de coordenadas , (

-

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

Y la inercia generalizada (

)

(

)

Observamos que: La constante de rigidez del resorte es:

y la constante de amortiguamiento es

Es muy importante, observar que la fuerza del amortiguador es no conservativa y entonces, es necesario usar el principio de trabajo Virtual. El trabajo virtual realizado por el amortiguador, es: ̇

Reescribiendo la ecuación en términos de los coeficientes ( ̇

̇)

̇ Ahora sabemos que la fuerza del resorte es conservativa por lo tanto, necesitaremos conocer su energía potencial

( (

) )

De la figura podemos observar:

Figura 82 Longitud inicial y estiramiento del resorte.

(

)

Por lo tanto la ecuación de la Dinámica es:

̈

̇̇

Simulación de MatLab y WM2D con Resorte y Amortiguador Gravedad Y Fricción

Figura 83. Modelo dinámico en Simulink

function qpp=dinamicaT(u) clc; %DATOS: m1=0.2; m2=0.4; m3=0.14; R=1; L=2; c=0.0; I1o=0.01668 + m1*(R/2)^2 ; % kg-m2 momento de inercia eslabón R % respecto eje de giro I2cm=0.1334; %RETROALIMENTACIÓN qp=u(1); q=u(2); %........................................... % COEFICIENTES DE VELOCIDAD: Dependen solo de la posición "q" %............................................ % ANALISIS DE POSICION: A=-asin((R*sin(q)-c)/L); X=R*cos(q)+L*cos(A); %COEFICIENTES DE VELOCIDAD: ka= (-R*cos(q))/(L*cos(A)); kx= -R*sin(q)+R*cos(q)*tan(A); %COEFICIENTES la y lx: la=((R*sin(q))/(L*cos(A)))-( (R*cos(q))/(L*cos(A)) )*tan(A)*ka; lx=-R*cos(q) - R*sin(q)*tan(A) + ( (R*cos(q))/(cos(A)^2) )*ka;

%COEFICIENTES DE VEL. PUNTO INTERES. up=L/2; vp=0; k2x = -R*sin(q)-ka*( up*sin(A) + vp*cos(A) ); k2y = R*cos(q)-ka*(-up*cos(A) + vp*sin(A) ) ; %DERIVADA DE LOS COEFICIENTES DE VELOCIDAD l2x=-R*cos(q)-la*( up*sin(A) + vp*cos(A) )-ka^2*( up*cos(A) - vp*sin(A)); l2y=-R*sin(q)-la*(-up*cos(A) + vp*sin(A) )-ka^2*( up*sin(A) + vp*cos(A)); %ECUACION DE MOVIMIENTO EKSERGIAN (inercia no constante) FQ = I1o + m2*(k2x*k2x + k2y*k2y) + I2cm*ka*ka + m3*kx*kx; dFQ = m2*(k2x*l2x + k2y*l2y) + I2cm*ka*la + m3*kx*lx; C=1; F=5.0; %datos de amortiguador (Dashpot) b=1.5; %N-s/m Q= C + F*kx - b*kx*kx*qp; %DATOS DEL RESORTE k=25; x0=3; e=0.697; dv=-k*(x0-X-e)*kx; %EFECTOS DELA GRAVEDAD g=9.807; V= -m1*g*(R/2)*sin(q) - m2*g*(-up*sin(A) + vp*cos(A)); dV_dq=-m1*g*(R/2)*cos(q) + m2*g*(up*cos(A)*ka - vp*sin(A)*ka ); qpp = (1/FQ)*(Q - dFQ*qp*qp - dv + dV_dq);

Figura 84. Aplicando fricción en las juntas y en la ranura del bloque.

Figura 85. Fricción de la corredera

µ=0.6.

Figura 86. Simulación de la dinámica del mecanismo considerando la fuerza de fricción

Comentarios: Aparece una fuerza, será la fuerza de fricción. Que se opone al sentido de la velocidad. La velocidad se reduce. Parece que la fuerza de fricción cinética: ( ̇ ), f representa la fricción de coulomb su magnitud es proporcional a la velocidad del bloque. Y su dirección es contraria al sentido de la velocidad del bloque. La fuerza viscosa se puede representar con el amortiguador: Sin(x)= 1 si x>0; 0 si x=0; -1 si x