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BENEDICTO XVI

FÍSICAI ANÁLISIS VECTORIAL Autor: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez Trujillo-2014 1

Análisis Vectorial INTRODUCCIÓN MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES ¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra? Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad de medida. Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su intensidad, necesitamos su dirección y su sentido. Estamos ante dos tipos de magnitudes: • Las magnitudes escalares, son aquellas que quedan completamente determinadas

•

mediante el conocimiento de su valor expresado mediante una cantidad (un número real) seguida de una unidad . Así, por ejemplo, si decimos que la masa de un objeto es 3 kg, hemos aportado toda la información necesaria. Las magnitudes vectoriales, son aquéllas que no quedan completamente determinadas por su valor (cantidad y unidad), sino que requieren además el conocimiento de la dirección y el sentido de su actuación y su punto de aplicación. Así, al decir que sobre un objeto se aplica una fuerza de 3 N, no poseemos toda la información, ya que habrá que indicar hacia dónde se dirige dicha fuerza. Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez

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Análisis Vectorial VECTORES VECTOR: Es un segmento de línea recta orientado que sirve para representar a las magnitudes vectoriales. ELEMENTOS DE UN VECTOR:

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Análisis Vectorial TIPOS DE VECTORES • VECTORES COLINEALES : Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. • VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un punto

• VECTORES COPLANARES: Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.

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Análisis Vectorial • VECTORES IGUALES:Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

•

VECTORES PARALELOS:Son aquellos que tienen su línea de acción paralelas.

•

VECTOR OPUESTO: Se llama vector opuesto − A  de un vector A cuando tiene el mismo módulo, la misma dirección; pero de sentido contrario



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Análisis Vectorial •

VECTORES EQUIPOLENTES:Dos o más vectores son equipolentes cuando las magnitudes físicas que representan tienen el mismo valor y producen los mismos efectos. En general, para que dos o más vectores sean equipolentes no basta que tengan el mismo módulo, dirección y sentido. Las condiciones de equipolencia, más o menos restrictivas, permiten clasificar las magnitudes vectoriales en tres clases o categorías. - Vectores libres: En esta categoría o clase, dos o más vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque sus rectas de acción (directrices) sean diferentes. De este modo, en la figura que se adjunta son equipolentes los vectores: A = B = C= D = E Ejemplos de vectores libres: la velocidad y la aceleración de una partícula, el momento de un par, etc

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Análisis Vectorial

- Vectores deslizantes: Las condiciones de equipolencia imponen que los vectores tengan el mismo módulo y que actúen en un mismo sentido sobre una misma recta de acción (recta directriz), siendo indiferente el punto de la recta en que estén aplicados. Reciben esta denominación porque los vectores pueden deslizar a lo largo de su recta de acción sin cambiar los efectos asociados a la magnitud física que representan. Así, en la figura anterior, tan sólo son equipolentes los vectores: C=D Ejemplos de vectores deslizantes: las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido, la velocidad angular del sólido rígido, etc.

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Análisis Vectorial

-Vectores ligados: Las condiciones de equipolencia son aún más restrictivas ya que imponen que los vectores tengan el mismo módulo, que actúen en un mismo sentido sobre una misma recta de acción (recta directriz) y estén aplicados en un mismo punto. Obviamente, los vectores no pueden desplazarse paralelamente ni deslizar, por lo que está ligados a un punto. En la figura, cada uno de los vectores tan sólo es equipolente consigo mismo. Ejemplos de vectores ligados: intensidad del campo gravitatorio (g), intensidad del campo eléctrico (E), o, en general, de cualquier otro campo vectorial.

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Análisis Vectorial •

VECTOR UNITARIO: Es un vector adimensional que tiene módulo 1 y señala en cualquier dirección conveniente.  = A A ≠0 Si

, entonces el vector unitario viene dado por:

 A uˆ =  A Luego podemos construir un vector en la dirección de un vector cualquiera, dividiendo el vector entre su módulo, así:   B  A ; A uˆ =  uˆ =   B A B uˆ

Podemos afirmar que la dirección de un vector está dado

por su vector unitario

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Análisis Vectorial OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno solo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es igual que la  suma aritmética. R

 B

 A

 C  D

18/03/2014

=      R = A+ B +C + D

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Análisis Vectorial •

Método del Triángulo: Válido sólo para dos vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente: Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo, y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

   R = A + B = A2 + B 2 + 2 AB cosθ

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Análisis Vectorial •

Método

del

Paralelogramo:

Válido sólo para dos vectores concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une a los vectores por el origen(deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en una de las diagonales y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.

   R = A + B = A2 + B 2 + 2 AB cosθ

Si θ = 0º

⇒ R = A+ B máx

θ = 90º ⇒ = R

θ = 180º

A2 + B 2

Rmín= A − B

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Análisis Vectorial •

Método del Polígono: Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente: Se unen los vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.

     R = A+ B +C + D

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Análisis Vectorial SUSTRACCIÓN DE VECTORES Método del Triángulo: En este caso se unen los dos vectores por sus orígenes y luego se unen sus extremos, el vector D será el vector  diferencia. A

 A

θ θ

 D  B

 B

   D = A− B =

A2 + B 2 − 2 AB cosθ

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Análisis Vectorial Método del Paralelogramo: En este caso se invierte el sentido del vector, el cual resultará acompañado del signo negativo, y luego se sigue el mismo procedimiento para adición de vectores por el método del paralelogramo.  A  D

 A

   D = A− B =

A2 + B 2 + 2 AB cos (180 − θ )

180º −θ

θ  B

 −B

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=

A2 + B 2 − 2 AB cosθ

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Análisis Vectorial Ejercicios de Aplicación Nº 1 1. Dos vectores de 4 y 2 2 unidades de magnitud forman entre ellos un ángulo de 135º . Determinar la magnitud de su suma y la dirección respecto al vector de menor magnitud. Rpta: 2 2 , 90º     2. En la figura determinar el vector suma C + D en función de A + B

Rpta :

  2   C+= D 2A + B 3

(

)

    A y B son dos vectores no colineales, las operaciones vectoriales A − 2 B y   A − B tienen como módulos 2 2 u y 2u respectivamente y forman un ángulo  de 45º . Hallar A . Rpta: 2 2 u      a y b en el plano y los vectores A , B y F en función de 4.Dados los vectores          A 3a + 2b ; B= a + b y F= a − b . Escribir los anteriores. = en función lineal de     A y . Rpta: = F 2 A − 5B

3.

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Análisis Vectorial COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR A) EN EL PLANO    = A Ax + Ay

Y

 A= A=

= Ax iˆ + Ay ˆj =( Ax , Ay )

 A

 Ay

Ax2 + Ay2

Ax = A cosθ Ay = Asenθ  = A A cosθ iˆ + Asenθ ˆj

ˆj

θ

iˆ  Ax

=

A cosθ , Asenθ ) (=

A ( cosθ , senθ )

X = Auˆ

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Análisis Vectorial Ejercicios de Aplicación Nº 1 1.En la figura nº 1, determinar las magnitudes de c y d, de tal forma que la resultante sea nula. Rpta: ,

2.A partir de figura nº 2. Determinar

fig nº1 18/03/2014

;

;

que se muestra en la

. Rpta: 1

fig nº 2 Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez

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Análisis Vectorial B) EN EL ESPACIO

    A = Ax + Ay + Az

= Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ = ( Ax , Ay , Az )  A =A = Ax2 + Ay2 + Az2

Los cosenos directores A  cos α = x ⇒ Ax = A cos α  A β  Ay  = ⇒ Ay = A cos β cos β  α A  Az  = ⇒ Az = A cos γ cos γ  A  donde: α ,β y γ son los ángulos directores   A = A cos α iˆ + A cos β ˆj + A cos γ k cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 A cos α , A cos β , A cos γ ) A ( cos α ,cos β ,cos γ ) (= 0º ≤ α , β , γ ≤ 180º = Auˆ γ

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Análisis Vectorial Ejercicios de Aplicación Nº 3 

1.Un vector A tiene magnitud 8 y forma un ángulo de 60º con el eje Y y 120º   con el eje –Z. Escribir su expresión vectorial. Rpta: A= 4 2iˆ + 4 ˆj + 4k   2. Dado el vector A = 4iˆ + 5 ˆj + 6k .Hallar  a) El módulo del vector A b) Calcular el vector unitario de Z c) Encontrar los cosenos directores de 3. Hallar el vector resultante si:   A =6iˆ + 10 ˆj + 16k  B = 2iˆ − 2 ˆj  C = 10 2  D = 10 2

 D

 Rpta : R =18iˆ + 30 ˆj + 25kˆ 37º

Y

45º  C

X

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Análisis Vectorial VECTOR LOCALIZADO O VECTOR POSICIÓN RELATIVO DE

DOS PUNTOS Z

   r2= r1 + P1 P2

P1 ( x1 , y1 , z1 )

 r1

P2 ( x2 , y2 , z2 )

 r2 Y

   P1 P2= r2 − r1  P1 P2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )

X

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Análisis Vectorial Ejercicios de Aplicación Nº 4 1.Calcular las componentes del vector representativo del desplazamiento del punto P(3;4;5) al punto Q(1;-3;0).  ¿Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Rpta: PQ =( −2; −7; −5 ) , PQ = 78 u 1 1 1 2.Las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC son: A  , ,  , B (1,0,1) 2 2 2

 1  C  0, ,1  2 

.Si sobre el vértice A actúa una fuerza de 10 3 N , cuya dirección y sentido va de A hacia B y sobre el vértice B actúa una fuerza de 5 5 N , cuya dirección y sentido va de C a B, encontrar la resultante de las dos fuerzas. Rpta: R = 10 ( 2iˆ − 1,5 ˆj + kˆ )

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Análisis Vectorial PRODUCTO ESCALAR Llamado también producto interno o producto punto. El producto escalar es una cantidad escalar o un número y puede ser positivo, negativo o cero. El producto escalar se utiliza para representar diferentes magnitudes físicas como el Trabajo mecánico o el potencial eléctrico     A B = A B cosθ     θ = 0º ⇒ A B = A B ( condición de paralelismo )   θ = 90º ⇒ A B = 0 ( condición de perpendicularidad )     θ= 180º ⇒ A B = −A B

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Análisis Vectorial Producto escalar de vectores unitarios iˆiˆ = 1 ˆj  ˆj = 1

iˆ ˆj = 0 ˆj kˆ = 0

kˆkˆ = 1

iˆkˆ = 0

Producto escalar de dos vectores  A = ( Ax , Ay , Az )  B = ( Bx , B y , B z )

    A B =B  A =Ax Bx + Ay B y + Az B z

Propiedades     A B = B  A        A B + C = A B + AC       m= A B = mA  B A= m B

(

(

)

) ( )

(

 

) ( A B ) m

m es escalar

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Análisis Vectorial Ejercicios de Aplicación Nº 5 

1.Determinar el vector A y su módulo, sabiendo que los otros componentes   son: Ax = 4 , Ay = −12 , además A es perpendicular con = B ( 3;0; −4 ) .   Rpta: A =4iˆ − 12 ˆj + 3kˆ ; A = 13 2. Calcular la expresión vectorial de un  vector unitario paralelo al plano YZ y A = 5iˆ + 4 ˆj − 3kˆ Rpta: uˆ = ±  3 , 4  que sea perpendicular al vector     5 5 ˆ ˆ ˆ ˆ 3. Dados los vectores A = xi+ 3 j − 2k , B =−iˆ − 3 ˆj + k , determinar el valor de x  para que el vector ( A − B ) sea perpendicular a B Rpta: x=-22    4. Los vectores A y B forman un ángulo de 45º y el módulo de es 3. A  Determinar cuál debe ser el módulo de B para que sea   perpendicular a A . Rpta: B = 3 2

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Análisis Vectorial PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO  A

 u

θ O

M B

   A B A Comp= OM = B B    A B B    A Pr oy= OM = OM = u ( ) B B2    A B Pr oyB A = B

(

)

Ejercicio de Aplicación Nº 6

1.Encuentre la proyección del vector A =iˆ − 2 ˆj + 3kˆ sobre el vector

 B =iˆ + 2 ˆj + 2kˆ

 1 2 2 Rpta: Pr oy A = iˆ + ˆj + kˆ 3 3 3  B

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Análisis Vectorial PRODUCTO VECTORIAL

 C

uˆc  B θ

 A

      C = A × B = A × B uC   A× B = ABsenθ     C = A × B = ABsenθ uC   θ= 0º ⇒ A × B= 0    = θ 90º ⇒ A × = B ABuC

Producto Vectorial de dos Vectores  A = Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ  B = Bxiˆ + By ˆj + Bz kˆ

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iˆ   A= × B Ax Bx

ˆj kˆ Ay = Az iˆ ( Ay Bz − Az By ) − ˆj ( Ax Bz − Az Bx ) + kˆ ( Ax By − Ay Bx ) By Bz

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Análisis Vectorial Producto Vectorial de Vectores Unitarios

Propiedades     A × B =− B × A        A× B + C = A× B + A× C

(

)

        m A × B = mA × B = A × mB = A × B m

(

) ( )

( ) (

)

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Análisis Vectorial ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

Área=

  A× B

ÁREA DE UN TRIÁNGULO 1   Área = A× B  2 Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez

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Análisis Vectorial Ejercicios de Aplicación Nº 7   ˆ ˆ A= i − j , B= iˆ + ˆj . a) Hallar el área del paralelogramo 1. Dados los vectores:   formado por A y B como lados. b)Hallar el vector unitario perpendicular 1 a los vectores dados. Rpta: a) 3 u b) uˆ = ± (1; −1;1) 3       = 3iˆ + 2 ˆj y B = 2. Dados los vectores A −2iˆ + 3 ˆj .Hallar: A + B × A − B Rpta: −26kˆ

(

) (

)

3. Hallar la expresión vectorial de un vector de magnitud 3 y perpendicular a   los vectores A = −2 ˆj + kˆ , B =iˆ + 2 ˆj − 2kˆ Rpta: ± ( 2;1;2 )

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Análisis Vectorial PRODUCTOS TRIPLES TRIPLE PRODUCTO ESCALAR O MIXTO            A B C  = A ⋅ B × C =B ⋅ C × A =C ⋅ A × B  

(

)

(

)

(

)

Ax    A⋅ B ×C = Bx

Ay By

Az Bz

Cx

Cy

Cz

(

TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL    A× B × C =    A × B × C=

(

(

)

)

 B  B

( (

     A⋅C − C A⋅ B      A⋅C − A B ⋅C

) ( ) (

)

) )

VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO    V = A⋅ B ×C

(

)

Si tres vectores son coplanares    A⋅ B ×C = 0

(

)

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Análisis Vectorial Ejercicios de Aplicación Nº 8    ˆ ˆ ˆ ˆ 1. Dados los vectores A= i + 2 j , B= 3i + 4 j ,= 2iˆ + 3 ˆj . C    Calcular A ⋅ B × C Rpta: 0 2. Determinar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas a    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,C −2i + k = A =i + 8 j + 3k , B = 2iˆ + 5 ˆj

(

)

3 Rpta: V= 35 − 8 2 u

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Análisis Vectorial GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL OPERADOR NABLA

GRADIENTE

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Análisis Vectorial

DIVERGENCIA

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Análisis Vectorial ROTACIONAL

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Análisis Vectorial EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 9 1. Rpta: 2.

Rpta: 7 3.

Rpta:

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Análisis Vectorial DIFERENCIACIÓN VECTORIAL

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