Análisis Vectorial.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN DEPARTAMENTO DE FÍSICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL

F Í S I C A GENERAL MSc. HUGO ALFREDO TORRES MURO LICENCIADO EN FÍSICA 19/09/2017

1

C 2 MAGNITUDES FÍSICAS.

• Magnitudes físicas escalares vectoriales. Algebra vectorial. •Ejemplos Bibliog. Sears, Física universitaria 1999,

Hewitt, Física conceptual 1999

y

Magnitudes físicas por su naturaleza

Escalares

Vectoriales

Magnitudes físicas Escalares Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad

Vectoriales Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido

Escalares

Magnitudes físicas

Masa, densidad, temperatura, energía, trabajo, etc

Vectoriales Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.

z

Vectores θ

A y



y

Ap 

x

x

Notación

A

Módulo

A >0

Dirección

θ, 

Propiedades de Vectores

 A

 B

 C • Dados A y B, si A = B entonces

A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a    si mismo

ABC

Suma de Vectores

C

A

B C

A

B

R

Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo

Entonces si se tiene los siguientes vectores

 A

 D

 B

 C

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

 A

 B

 C

 R

     R  A B C  D

 D

Propiedades de Vectores

Opuesto Nulo Vector unitario

A



  A  A ˆ

-A

0 = A + ( -A )  A μ  A

Ley Conmutativa

Propiedades de la suma de Vectores

R  AB  BA

Diferencia

Ley Asociativa

   R  A -B    R  A  (- B )

       R  A  (B  C )  ( A  B )  C

A

R

B

-B A

Ley conmutativa (Método paralelogramo)

B

A

B

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma

¿Como se explica esta regla?

B

Multiplicación de un vector por un escalar Dado dos vectores

  AyB

Se dicen que son paralelos si

  si   0 A  B   si   0 A  B   si   1 A  B

  A  B

 A

 1  B A 2

 B  A

 B

 1  B A 4

Ejemplo 8: Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores A

B C

A

B R = 2C

Vectores unitarios en el plano

y

ˆj ˆi

ˆj

ˆi

x

Vector unitario en la dirección del eje x+ Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

z

ˆk ˆi x

ˆj

y

z

Representación de un vector

Az θ

A Ay y

Ax



x

A x  A cos  sen θ A y  A sen  sen θ A z  A cos θ

    A  Ax i  A y j  Az k  A A 

A x2  A y2  A z2

Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores 4u

 A



3u

 B    R  A B 7u

 A 8u

 B +

4u

=

   R  A B

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?

 B

 A    R  A B

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

 A

3u

 Ax

 B

  Ay

By

4u

 Bx 6u

3u

4u

 Ax

 Ay

   A  Ax  Ay

 By  Bx 6u  

 B  Bx  B y

10u

  Ax  Bx 5u

  Ay  B y

     R  Ax  Bx  Ay  By

R  10  5  5 5u 2

2

Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

 Ay 

By

 Ax  Cy

 Bx

 Dy

 Cx

 Dx

 Rx 15 u 5u

   R  Rx  Ry R  5 10

 Ry

     Rx  Ax  Bx  Cx  Dx      Ry  Ay  By  C y  Dy

(x2,y2,z2)

 A z

x

(x1,y1,z1)

y

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

(x2,y2,z2)

 A z

x

(x1,y1,z1)

y

 A  (x 2  x1 )ˆi  (y 2  y1 )ˆj  (z2  z1 )kˆ

Producto escalar de dos vectores

  A  B  AB cos θ

Proyección de A sobre B

A B  A cosθ Proyección de B sobre A

B A  B cosθ

Propiedades del producto escalar i) ii) iii) iv) v) vi)

    conmutativa : a  b  b  a        distributiva : c  a  b   c  a  c  b     asociativa respecto a escalares : a   b    a  b         si a , b  0 y a  b  0  a  b             i  i  j  j  k  k  1, i  j  j  k  k  i  0    a  a  a a

Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.   a  b  a x bx  a y by  a z bz Ángulo que forman dos vectores.   a b a b a b a b y y z z cos    x x ab ab

iˆ  iˆ  1 ˆj  ˆj  1

iˆ  ˆj  0 iˆ  kˆ  0

kˆ  kˆ  1

ˆj  kˆ  0

 A  iˆ  A x  A  ˆj  A y  A  kˆ  A z

  A  B  A XB X  A YB Y  A ZB Z

Producto vectorial de dos vectores

   C AB C  A B sen θ   ˆj  ˆj  0 ˆi  ˆi  0  kˆ  kˆ  0

iˆ  ˆj  kˆ

ˆj  kˆ  iˆ

kˆ  iˆ  ˆj

Propiedades del producto vectorial     i) anticonmutativo: a b  b  a        ii) no - asociativo:  a b  c  a   b  c  







       iii) asociativo para el producto por un escalar: a b  a  b    a b           iv) distributivo respecto a la suma : c   a  b   c  a  c b           v) Si a,b  0 y a b  0  a || b VI) Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.    j k i           a b  ax a y az   a ybz  azby i   azbx  axbz  j   axby  a ybz k     bx by bz

Demostrar:    C  A  B  ( A x ˆi  A y ˆj  A z kˆ )  ( B x ˆi  B y ˆj  B z kˆ )

C X  AY B Z  A Z B Y

C y  Az B x  Ax B z C z  Ax B y  A y B x

Ejemplo 1: Determine la suma de los siguientes vectores:

 A  3 ˆi  8ˆj  5kˆ

 B  -5ˆi  2ˆj  3kˆ

 C  4 ˆi  7ˆj  2kˆ

Ejemplo 2 Dados los vectores:

 A  3ˆi  3ˆj  5kˆ  B  4ˆi  5ˆj  3kˆ Determine : a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambos c) el ángulo que forman entre sí.

Tarea para la próxima clase 1. Un vector tiene una componente x de -25,0 unidades y una componente y de 40,0 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.

2. Considere dos vectores A = 3i - 2j y B = -i - 4j. Calcule a) A + B, b) A - B, c) |A + B|, d) |A - B| y e) las direcciones de A + B y A - B. 3. Una partícula efectúa los siguientes desplazamientos consecutivos: 3,50 m al sur, 8,20 m al noreste y 15,0 m al oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?

• 4.

• 5.

• 6.

• 7.